Về phần tử bất khả quy trên một số miền nguyên (Khóa luận tốt nghiệp)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THÚY NGỌC

VỀ PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY
TRÊN MỘT SỐ MIỀN NGUYÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Quảng Bình, 2018


TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THÚY NGỌC

VỀ PHẦN TỬ BẤT KHẢ QUY
TRÊN MỘT SỐ MIỀN NGUYÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN
Th.S TRẦN MẠNH HÙNG

Quảng Bình, 2018


LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian thực hiện khóa luận tốt nghiệp, ngoài sự nỗ lực
của bản thân, tôi còn nhận được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của các thầy
giáo, cô giáo trong Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình.
Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.s Trần Mạnh
Hùng. Thầy đã dành nhiều thời gian quý báu tận tình hướng dẫn tôi trong
suốt quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp tôi lĩnh hội
được những kiến thức chuyên môn và rèn luyện cho tôi tác phong nghiên cứu
khoa học.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong
Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè và những người luôn sát cánh
bên tôi, đã nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong quá trình học tập
cũng như thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này.
Mặc dù đề tài đã được chuẩn bị và nghiên cứu một cách kĩ lưỡng về thời
gian cũng như nội dung nhưng không khỏi có những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất
mong nhận được sự góp ý của các thầy giáo, cô giáo để khóa luận được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy Ngọc
1


MỤC LỤC

Mục lục

3

Mở đầu

4

1 Kiến thức cơ sở

6

1.1. Miền nguyên và trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Đa thức trên một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Trường phân rã của đa thức
1.4. Một số hàm số số học
2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Phần tử bất khả quy trên một số vành

2.1. Số nguyên tố trên vành số nguyên

16

. . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Phần tử bất khả quy trên vành số nguyên phức

. . . . . . . . . 25

2.3. Đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50

3


MỞ ĐẦU

Phần tử bất khả quy là một trong những khái niệm quan trọng của lý
thuyết vành và lý thuyết đa thức, đặc biệt các bài toán về số nguyên tố, đa
thức bất khả quy thường được đề cập trong các đề thi chọn học sinh giỏi
bậc THPT quốc gia, khu vực và Olympic Toán quốc tế. Việc tìm hiểu một
số tính chất đặc trưng của phần tử bất khả quy là thực sự cần thiết vì vậy
chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu là: Về phần tử bất khả quy trên một số
miền nguyên.
Mục đích của khóa luận là dựa vào các tài liệu Đa thức và ứng dụng ([2]),
Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galois ([6]), Cơ sở lý thuyết số và đa thức

([?])...nhằm hệ thống lại và chứng minh chi tiết một số tính chất đặc trưng
của phần tử bất khả quy (còn gọi là số nguyên tố) trên vành số nguyên, trên
vành nguyên phức và trên vành đa thức.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận
được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Trong chương này tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của miền nguyên,
Đa thức, trường phân rã của đa thức và một hàm số số học.
Chương 2. Phần tử bất khả quy
Nội dung của chương này là hệ thống lại và chứng minh chi tiết một số
tính chất đặc trưng của phần tử bất khả quy trên một số vành nguyên, trên
vành nguyên phức và trên vành đa thức.
Khóa luận được hoàn thành tại trường Đại học Quảng Bình dưới sự hướng
4


dẫn của Th.S Trần Mạng Hùng. Tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy,
người đã tận tình hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.
Quảng Bình, tháng 05 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy Ngọc

5


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1

Miền nguyên và trường

1.1.1 Định nghĩa. Ta gọi một vành là một tập hợp R = ∅ cùng với hai
phép toán, gồm phép cộng

+:R×R→R
(x, y) → x + y
và phép nhân

.:R×R→R
(x, y) → xy
thõa mãn các điều kiện sau:
i. (R,+) là một nhóm abel.
ii. (R,.) là một nửa nhóm.
iii. Phép nhân phân phối đối với phép cộng.

• Nếu phép nhân của vành có tính chất giao hoán thì ta nói vành đó là
vành giao hoán.

• Nếu phép nhân của vành có đơn vị thì ta nói vành đó là vành có đơn vị.
Đơn vị của vành thường được ký hiệu bởi 1. Chú ý rằng tồn tại những vành
không có đơn vị.
6


• Tập hợp chỉ gồm một phần tử không với phép cộng và phép nhân cũng
lập thành một vành và gọi là vành không. Hơn nữa, mọi vành bất kỳ chỉ gồm
một phần tử đều là vành không. Nếu R là vành có đơn vị mà không phải là
vành không thì 1 = 0. Thật vậy, nếu 1 = 0 thì ∀x ∈ R ta có x = x1 = x0 = 0.

Suy ra R cũng là vành không, mâu thuẫn, do đó 1 = 0.
1.1.2 Ví dụ. 1. Z, Q, R là những vành giao hoán, có đơn vị là 1.
2. Cho n > 1 là một số nguyên dương. Tập hợp nZ cùng với phép cộng và
nhân các số thông thường là một vành giao hoán nhưng không có đơn vị.
3. Tập hợp M (n, R) các ma trận vuông cấp n(n > 0) với phần

 tử thực cùng
1 0 ... 0
0 1 . . . 0
với hai phép toán cộng và nhân mà trận là một vành có đơn vị  .. .. .. .. 
. . . .
0 0 ... 1
Vành này nói chung không giao hoán.
1.1.3 Định nghĩa. Một vành giao hoán, có đơn vị, khác 0 và không chứa
ước của 0 được gọi là miền nguyên.
Chẳng hạn, vành số nguyên Z là một miền nguyên. Vành Z6 không phải
là miền nguyên.
1.1.4 Định lí. [4] Vành Zn là miền nguyên khi và chỉ khi n là số nguyên tố.
1.1.5 Định lí. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 hoặc là một số
nguyên tố.
1.1.6 Định nghĩa. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị 1 = 0. Khi đó
phần tử x ∈ R được gọi là khả nghịch trong vành R nếu tồn tại y ∈ R sao
cho xy = 1. Với mỗi phần tử x ∈ R, phần tử y xác định như thế là duy nhất
và được gọi là nghịch đảo của x, ký hiệu là x−1 .
Gọi U là tập tất cả các phần tử khả nghịch của vành R. Khi đó U là một
nhóm đối với phép nhân trên R.
Chẳng hạn, U (Z) = {1, −1}; U (Q) = Q∗ ;
7

Với K là trường, U (K) = K ∗ ; U (K[x]) = K ∗ ; U (Z[x]) = {1, −1}.
1.1.7 Nhận xét. 1. Một miền nguyên mà mọi phần tử khác không đều khả
nghịch thì nó là một trường.
2. Một tập hợp cùng với phép cộng và phép nhân thỏa mãn đầy đủ các
tiên đề về trường trừ tiên đề về tính giao hoán của phép nhân được gọi là
một thể.
1.1.8 Định lí. [4] Zn là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố.

1.2

Đa thức trên một trường

1.2.1 Định nghĩa hàm đa thức. Giả sử f (x) là một đa thức thuộc vành
đa thức K[x]. Một ánh xạ f : K → K cho bởi a → f (a), ∀a ∈ K được gọi là
một ánh xạ đa thức hay hàm đa thức. Tập hợp F tất cả các ánh xạ đa thức
lập thành một vành con của vành tất cả các ánh xạ từ K tới K , với phép
cộng và phép nhân theo từng điểm:

(f + g)(a) = f (a) + g(a); (f g)(a) = f (a).g(a), ∀a ∈ K.
1.2.2 Định nghĩa. [4] Nếu K là một trường con của trường E , thì ta gọi E
là một trường mở rộng (hay nói gọn hơn là một mở rộng) của trường K .
Cho E là một trường mở rộng của trường K . Một phần tử u ∈ E gọi là
một nghiệm của đa thức f (x) ∈ K[x] nếu f (u) = 0. Khi đó, ta cũng nói u
là một nghiệm của phương trình đại số đa thức f (x) = 0.
1.2.3 Định lí. (Định lí về phép chia có dư) [4]
Giả sử f (x), g(x) ∈ K[x] là hai đa thức với hệ tử ở trong trường K ,

f (x) = 0. Khi đó tồn tại duy nhất hai đa thức q(x), r(x) ∈ K[x] sao cho:
f (x) = g(x).q(x) + r(x),trong đó r(x) = 0 hoặc r(x) = 0 thì degr(x) <
degg(x)

8


1.2.4 Định lí Bezout. [2] Cho đa thức f (x) ∈ K[x]. Khi đó phần tử u ∈ K
là nghiệm của f (x) khi và chỉ khi f (x) chia hết cho x − u trong vành đa thức

K[x].

1.2.5 Định nghĩa. Giả sử k là một số tự nhiên khác 0. Một phần tử α ∈ K
được gọi là một nghiệm bội k của đa thức f (x) ∈ K[x] nếu f (x) chia hết cho

(x − α)k và f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 trong vành K[x].
Nếu k = 1, thì α gọi là nghiệm đơn. Nếu k = 2, thì α gọi là nghiệm kép.
Ta cũng nói trong trường hợp k ≥ 2, α là nghiệm bội nếu không cần thiết
phải nói số bội k . Vậy α ∈ K là một nghiệm bội k của f (x) nếu và chỉ nếu

f (x) = (x − α)k g(x) với g(α) = 0 và khi đó ta có:
degf(x) = k + degg(x), k ≤ degf(x).
1.2.6 Công thức Viete. Cho đa thức f (x) bậc n trên trường K , với hệ tử
cao nhất bằng 1:

f (x) = xn + a1 xn−1 + . . . + ak xk−1 + . . . + an

(1.1)

Giả sử f (x) có n nghiệm α1 , α2 , . . . , αn trong K hoặc trong một số mở rộng
nào đó của K . Khi đó ta có:

a1 = −(α1 + α2 + . . . + αn )
..

.
ak = (−1)k

αi1 αi2 . . . αik
i1
..
.

an = (−1)n α1 α2 . . . αn
1.2.7 Định nghĩa. Cho K là trường, K[x] là vành đa thức của biến x trên

K, f (x) ∈ K[x] với bậc n ≥ 1. Ta gọi f (x) là đa thức bất khả quy trên K
9


Khóa luận đủ ở file: Khóa luận full