giáo án dạy thêm toán 9 cả năm

Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Buæi 1, 2
Ngµ 26,28/8/
y
17

LUYỆN TẬP

CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

A2 = A

A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Căn bậc hai
- Định nghĩa: Căn bậc hai của số thực a là số x sao cho x2 = a
- Chú ý:
+ Mỗi số thực a > 0, có 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau số dương
+ Số 0 có căn bậc hai là chính nó:

a , số âm − a

0 =0

+ Số thực a < 0 không có căn bậc hai (tức

a không có nghĩa khi a < 0)

2. Căn bậc hai số học
- Định nghĩa: Với a ≥ 0 thì số x = a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng
được gọi là căn bậc hai số học của 0
- Chú ý: Việc tìm căn bậc hai số học của 1 số không âm được gọi là phép khai phương
- Định lý: Với a, b > 0, ta có:
+ Nếu a < b ⇒ a < b
+ Nếu a < b ⇒ a < b
3. Căn thức bậc hai
- Cho A là 1 biểu thức thì biểu thức

A được gọi là căn thức bậc hai của A ; A được gọi

là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
-

A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) ⇔ A ≥ 0

4. Hằng đẳng thức

A2 = A

- Định lý : Với mọi số thực a, ta có :

a2 = a

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 1

Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 A nêu A ≥ 0
A2 = A = 
-A nêu A<0

- Tổng quát : Với A là biểu thức, ta có :
B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG

Dạng 1 : Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Viết số đã cho dưới dạng bình phương của một số
- Tìm căn bậc hai số học của số đã cho
- Xác định căn bậc hai của số đã cho
Bài 1 : Tìm căn bậc hai của các số sau : 121 ; 144 ; 324 ;

1
; 3− 2 2
64

G
+ Ta có CBHSH của 121 là : 121 = 112 = 11 nên CBH của 121 là 11 và -11
+ CBHSH của 144 là : 144 = 122 = 12 nên CBH của 121 là 12 và -12
+ CBHSH của 324 là : 324 = 182 = 18 nên CBH của 324 là 18 và -18
1
+ CBHSH của
là :

64

2
1
1
1
1
1
1
là và −
=  ÷ = nên CBH của
64
8
8
64
8
8

+ Ta có : 3 − 2 2 = 2 − 2 2 + 1 =

(

)

2

2 − 1 = 2 − 1(vi

2 − 1 > 0) nên CBH của 3 − 2 2 là

và − 2 + 1
Dạng 2 : So sánh các căn bậc hai số học
* Phương pháp :
- Xác định bình phương của hai số
- So sánh các bình phương của hai số
- So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số
Bài 2 : So sánh
a) 2 và 3

b) 7 và

47

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

c) 2 33 và 10

Page 2

2 −1


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

d) 1 và 3 − 1

e) 3 và 5- 8

g)

2 + 11 và

3 +5

G
a) Vì 4 > 3 nên

4 > 3⇒ 2 > 3
49 > 47 ⇒ 7 > 47

b) Vì 49 > 47 nên

c) Vì 33 > 25 nên 33 > 25 ⇒ 33 > 5 ⇒ 2 33 > 10
d) Vì 4 > 3 nên

4 > 3 ⇒ 2 > 3 ⇒ 2 −1 > 3 −1 ⇒ 1 > 3 −1

e) * Cách 1: Ta có:

3 < 2 
⇒ 3 + 8 < 5⇒ 3 < 5− 8
8 < 3 

* Cách 2: Giả sử 3 < 5 − 8 ⇔ 3 + 8 < 5 ⇔

(

3+ 8

)

2

< 52 ⇔ 3 + 2 24 + 8 < 25

⇔ 2 24 < 14 ⇔ 24 < 7 ⇔ 24 < 49

Bất đẳng thức cuối cùng đúng do đó bất đẳng thức đầu tiên đúng
g) Ta có:

2 < 3 
 ⇒ 2 + 11 < 3 + 5
11 < 5 

Dạng 3: Tìm điều kiện để căn thức xác định:

A xác định ⇔ A ≥ 0

Bài 3: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau xác định
a)

2
1
x−
3
5

b) x 2 + 2

c)

1+ x
2x − 3

d ) 3x − 5 +

2
x−4

G
Để các căn thức trên có nghĩa thì
a)

2
1
2
1
3
x− ≥0⇔ x≥ ⇔ x≥
3
5
3
5
10

b) Ta có: x 2 + 2 > 0, ∀x ⇒ x 2 + 2 xác định với mọi x
c)

1 + x ≥ 0
1 + x ≤ 0
1+ x
≥0⇔
hoặc 
2x − 3
2 x − 3 > 0
2 x − 3 < 0

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 3


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 x ≥ −1
1 + x ≥ 0
3

⇔
+ Với 
3 ⇔x>
2
2 x − 3 > 0
 x > 2

 x ≤ −1
1 + x ≤ 0

⇔
+ Với 

3 ⇔ x ≤ −1
2
x
−
3
<
0
x
<


2

Vậy căn thức xác định nếu x >

3
hoặc x ≤ −1
2

5
3 x − 5 ≥ 0

3 x − 5 ≥ 0


x ≥
⇔
⇔
3⇔ x>4
d)  2
x − 4 > 0
 x − 4 ≥ 0
 x > 4

Dạng 4 : Rút gọn biểu thức
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 4 + 2 3 + 4 − 2 3

c) C = 9 x 2 − 2 x ( x < 0)

b) B = 6 + 2 5 + 6 − 2 5

d) D = x − 4 + 16 − 8 x + x 2 ( x > 4)
LG

(

a) Cách 1 : A =

Cách 2 :

)

(

2

3 +1 +

)

3 −1

2

= 3 +1 + 3 −1 = 2 3

A2 = 4 + 2 3 + 4 − 2 3 + 2 (4 − 2 3).(4 + 2 3) = 8 + 2 16 − 12 = 8 + 2.2 = 12
⇒ A=2 3

b) B =

(

)

c) C =

( 3x )

2

5 +1 +
2

(

)

5 −1

2

= 5 +1+ 5 −1 = 2 5

− 2 x = 3 x − 2 x = −3x − 2 x = −5 x (vi x < 0)

d) D = x − 4 + 16 − 8 x + x 2 = x − 4 + (4 − x) 2 = x − 4 + 4 − x = x − 4 + x − 4 = 2( x − 4) (vi x > 4)
Dạng 5 : Tìm Min, Max
Bài 5 : Tìm Min
a) y = x − 2 x + 5
2

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

b) y =

x2 x
− +1
4 6
Page 4


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

G
a) Ta có : x 2 − 2 x + 5 = ( x − 1) 2 + 4 ≥ 4 ⇒ x 2 − 2 x + 5 ≥ 4 = 2
Vậy Miny = 2. dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 => x = 1
2

x2 x
 x 1  35 35
− +1 =  − ÷ +
≥
⇒ y=
4 6
 2 6  36 36

b) Ta có :

vậy Miny =

x2 x
35
35
− +1 ≥
=
4 6
36
6

x 1

x 1
1
35
. Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi − = 0 ⇔ = ⇔ x =
2 6
2 6
3
6

Buæi 3
Ngµ 8/9/
y
17

LUYỆN TẬP

HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH sao cho ta có :
AH = h, BC = a, AB = c, AC = b, BH = c ' , CH = b ' khi đó :
1) b 2 = a.b' ;

c 2 = a.c '

2) h = b .c
3) b.c = a.h
1
1 1
4) 2 = 2 + 2
h

b c
2
5) a = b 2 + c 2 ( Pitago)
2

'

A

'

b
c

B

h

c'

b'
C

H
a

B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1 : Tìm x, y trong các hình vẽ sau
a)

+ Ta có :
BC = AB 2 + AC 2 ( Pitago)
⇒ BC = 42 + 62 = 52 ≈ 7, 21
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 5


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

+ Áp dụng định lý 1 :

A

4

AC 2 = BC.CH ⇒ 62 = 52. y ⇒ y ≈ 4,99
x

B

AB 2 = BC.BH ⇒ 42 = 52.x ⇒ x ≈ 2, 22

6

y

Hay y = BC – x = 7,21 – 2,22 = 4,99

C

H

b)

- Xét tam giác ABC vuông tại A. áp dụng định
lý 1 ta có :

A

AC 2 = BC.CH ⇒ 122 = 18. y ⇒ y = 8
⇒ x = BC − y = 18 − 8 = 10

12

x

B

y
C

H
18

c)

* Cách 1 :
AH2 = BH.CH = 4.9 = 36 => AH = 6

A

B

Theo Pitago cho các tam giác vuông AHB;

y

x

AHC ta có:
4

9
H

C

x = BH 2 + AH 2 = 42 + 62 = 52
y = CH 2 + AH 2 = 62 + 92 = 117

* Cách 2: Áp dụng định lý 1 ta có:
AB 2 = BC.BH = ( BH + CH ).BH = (4 + 9).4 = 52
⇒ AB = 52 ⇒ x = 52
AC 2 = BC.CH = ( BH + CH ).CH = (4 + 9).9 = 117
⇒ AC = 117 ⇒ y = 117

d)

Áp dụng định lý 2, ta có:
AH 2 = BH .CH ⇒ x 2 = 3.7 = 21 ⇔ x = 21

A

Áp dụng định lý 1. ta có :

y
x

AC 2 = BC.CH = ( BH + CH ).CH
B

3

7
H

C

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

⇒ y 2 = (3 + 7).7 = 70 ⇔ y = 70
( y = x 2 + CH 2 = 21 + 49 = 70)
Page 6


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

e)

Theo Pitago, ta có :
BC = AB 2 + AC 2 ⇒ y = 132 + 17 2 = 458

A

13

Áp dụng định lý 3, ta có :

17

x

AB. AC = BC. AH
B

C

H

⇒ 13.17 = 458.x ⇔ x =

y

g)

221
≈ 10,33
458

Áp dụng định lý 2, ta có :
52
AH = BH .CH ⇒ 5 = 4.x ⇔ x =
= 6, 25
4

A

2

y

Theo Pitago cho tam giác AHC vuông tại H, ta

5

có :

x

4

B

2

C

H

y = AH 2 + CH 2 = 52 + 6, 252 ≈ 8
( DL1: y 2 = BC.x = (4 + 6, 25).6, 25 ⇔ y ≈ 8)

Bài 2 : Cho ∆ABC vuông tại A, có các cạnh góc vuông AB = 15cm, AC = 20cm. Từ C kẻ
đường vuông góc với cạnh huyền, đường này cắt đường thẳng AB tại D. Tính AD và CD
µ = 900 , CA ⊥ BD . Theo định lý
∆BCD, C

D

có : CA2 = AB. AD ⇒ 202 = 15. AD ⇔ AD =

x
y

B

80
3

Theo Pitago trong tgiác ACD vuông tại A, ta

A
15

3, ta

20
2

80
100
có : CD = AD 2 + CA2 =  ÷ + 202 =
3
 3 

C

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 60cm, AD = 32cm. Từ D kẻ đường thẳng vuông
góc với đường chéo AC, đường thẳng này cắt AC tại E và AB tại F. Tính độ dài EA, EC, ED,
FB, FD
LG
Xét tam giác ADC vuông tại D, ta có: AC = AD 2 + CD 2 = 322 + 602 = 68
Theo định lý 1: AD 2 = AC. AE ⇔ AE =

AD 2 322 256
=
=
AC
68
17

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 7


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

F

A

60

Theo định lý 1, ta có:

B

E

CD 2 = AC.CE ⇒ CE =

32

Theo định lý 2, ta có:

C

D

DE = AE.EC = ... =

Xét tam giác DAF, theo định lý 1: AD 2 = DF .DE ⇒ DF =
Theo Pitago: AF = DF 2 − AD 2 = .... =

CD 2 602 900
=
=
AC
68
17

480
17

AD 2
544
= ... =
DE
15

256
256 644
⇒ FB = AB − AF = 60 −
=
15
15
15

Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa A, B. Tia DE và tia CB cắt nhau

ở F. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DE, cắt đường thẳng BC tại G. Chứng minh rằng:
a) Tam giác DEG cân
b) Tổng

1
1
+
không đổi khi E chuyển động trên AB
2
DE
DF 2
F

A

E

B

¶ =D
¶ (cùng phụ với D
¶ )
a) Ta có: D
1
3
2

xét ∆ADE và ∆CDG ta có :



∠D1 = ∠D3 ( cmt )  ⇒ ∆ADE = ∆CDG ( g .c.g )

∠A = ∠C = 900 
AD = DC ( gt )

1
D

2
3

C

⇒ DE = DG ⇒ ∆DEG cân tại D

b) vì DE = DG ⇒
G

ta có :

1
1
=
2
DE
DG 2

1
1
1

1
+
=
+
2
2
2
DE
DF
DG
DF 2

xét tam giác DGF vuông tại D, ta có :
1
1
1
=
+
(định lý 4)
2
2
CD
DG
DF 2

Vì
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

1
không đổi khi E chuyển động trên AB, suy

CD 2
Page 8


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

ra tổng

1
1
1
1
+
=
+
không đổi khi E
2
2
2
DE
DF
DG
DF 2

thay đổi trên AB
Bu
æi

Ngµ

4,5,6
15,22,29/8
/17

LUYỆN TẬP
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC BẬC HAI

A./ KIẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Khai phương một tích. Nhân các căn bậc hai
a) Định lý : a; b ≥ 0, ta có: a.b = a. b
b) Quy tắc khai phương một tích : Muốn khai phương một tích các số không âm, ta có
thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau ( a; b ≥ 0, ta có: a.b = a. b )
c) Quy tắc nhân các căn bậc hai : Muốn nhân các CBH của các số không âm, ta có thể
nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó ( a; b ≥ 0: a. b = a.b )
d) Chú ý :
- Với A > 0 ta có :

( A)

2

= A2 = A

- Nếu A, B là các biểu thức : A; B ≥ 0 ta có: A.B = A. B
- Mở rộng :

A.B.C = A. B . C ( A, B, C ≥ 0)

2. Khai phương một thương. Chia các căn bậc hai
a) Định lý : a ≥ 0, b > 0 ta có:

a
a
=
.
b
b

b) Quy tắc khai phương một thương : Muốn khai phương một thương

a
, trong đó số a
b

không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy kết quả thứ nhất
chia cho kết quả thứ hai ( a ≥ 0, b > 0 ta có:

a
a
=
.)
b
b

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 9

Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c) Quy tắc chia hai CBH : Muốn chia CBH của số a không âm cho số b dương, ta có
thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó ( a ≥ 0, b > 0 :

a
a
=
)
b
b

A
A
=
B
B

d) Chú ý : Nếu A, B là biểu thức : A ≥ 0, B > 0 :
3. Đưa thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn
 A B ( A ≥ 0; B ≥ 0)
A2 B = A B = 
− A B ( A < 0; B ≥ 0)

− A ≥ 0; B ≥ 0 : A B = A2 B
− A < 0; B ≥ 0 : A B = − A2 B

4. Khử mẫu của biểu thức lấy căn : A.B ≥ 0; B ≠ 0 :

A
=
B

A.B
B

5. Trục căn thức ở mẫu
a) B > 0 :

A
A B
=
B
B

c) A, B ≥ 0; A ≠ B :

b) A ≥ 0; A ≠ B 2 :

C
C
=
A± B

(

Am B

(

C A mB
C
=
A − B2
A±B

)

)

A− B

B./ BÀI TẬP ÁP DỤNG :
Dạng 1 : Tính
Bài 1 : Thực hiện phép tính
2

2

2

24 1
49 81 1
7 9 1
63
7 9  1 

a ) 1 .5 .0, 01 =
. .
=  ÷.  ÷.  ÷ = . . =
25 16
25 16 100
5 4 10 200
 5   4   10 
b) 2, 25.1, 46 − 2, 25.0, 02 = 2, 25(1, 46 − 0, 02) = 2, 25.1, 44 = (1,5.1, 2) 2 = 1,5.1, 2 = 1,8
c ) 2,5.16,9 =

25 169
(5.13) 2 5.13 13
.
=
=
=
10 10
102
10
2

d ) 117,52 − 26,52 − 1440 = (117,5 + 26,5).(117,5 − 26,5) − 1440 = 144.91 − 144.10
= 144(91 − 10) = 144.81 = (12.9) 2 = 108

Dạng 2 : Rút gọn các biểu thức
Bài 2 : Tính giá trị các biểu thức
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 10

Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

1
9
64
4
441
+
+
+
+
10
10
10
10
10

a ) A = 0,1 + 0,9 + 6, 4 + 0, 4 + 44,1 =

1
3
8
2
2
35 35 10 7 10
+

+
+
+
=
=
=
10
2
10
10
10
10
10
10

=

b) B =

(

c) C =
=

)

(

)

2 3+ 7
2 3+ 7
6 + 14
2
=
=
=
2
2 3 + 28
2 3+2 7
2( 3 + 7)

(

)(

) (
)(

)(

3+ 5 4+ 3 + 3− 5 4− 3
3+ 5 3− 5
+
=
4− 3 4+ 3
4+ 3 4− 3

(

)

)

12 + 3 3 + 4 5 + 15 + 12 − 3 3 − 4 5 + 15 24 + 2 15
=
16 − 3
13

Bài 3 : Rút gọn các biểu thức
a) 9 ( x − 5 )

2

b)

x2 .( x − 2)

c)

108 x 3
12 x

2

= 3 x − 5 = 3 ( x − 5)

( x < 0)

= x . x − 2 = −x ( 2 − x ) = x ( x − 2)

108 x 3
= 9 x 2 = 3 x = 3x
( x > 0) =
12 x

13 x 4 y 6

d)

( x ≥ 5)

208 x 6 y 6

( x < 0; y ≠ 0 ) =

13 x 4 y 6
1
1
1
−1
=
=
=
=
6 6
2
208 x y
16 x
4 x −4 x 4 x

Dạng 3 : Chứng minh
Bài 4 : Chứng minh các biểu thức sau
6 + 35 . 6 − 35 = 1

a)

VT = (6 + 35).(6 − 35) = 36 − 35 = 1 = VP

9 − 17 . 9 + 17 = 8

b)

VT = (9 − 17 ).(9 + 17 ) = 81 −17 = 64 = 8 = VP

c)

(

)

2

2 −1 = 9 − 8

VT = 2 − 2 2 + 1 = 3 − 2 2 
 ⇒ VT = VP
VP = 3 − 22.2 = 3 − 2 2 

d)

(

4− 3

)

2

= 49 − 48

VT = 4 − 2 12 + 3 = 7 − 2 22.3 = 7 − 4 3 
 ⇒ VT = VP
VP = 7 − 42.3 = 7 − 4 3


Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 11


Giáo án dạy thêm Toán 9A

(

) (

e) 2 2 2 − 3 3 + 1 − 2 2

)

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

2

+6 6 =9

VT = 4 2 − 6 6 + 1 − 4 2 + 8 + 6 6 = 9 = VP
g ) 8 − 2 15 − 8 + 2 15 = −2 3

( 5 − 2.

VT =

) ( 5 + 2. 5. 3 + 3) = ( 5 − 3 ) − (
3 ) = 5 − 3 − 5 − 3 = −2 3 = VP
2

5. 3 + 3 −

(

= 5− 3−

5+

5+ 3

)

2

Dạng 4: Đưa nhân tử ra ngoài, vào trong dấu căn
Bài 5: Đưa nhân tử ra ngoài dấu căn
a ) 125 x ( x > 0 )

( 4y )

2 2

=

b) 80 y 4

(

c) 5 1 − 2

)

2

(

d ) 27 2 − 5

e)

g)

( 3−

2
10

(

)

5 1− 3

( 5x )

=

.5 x = 5 x 5 x

.5 = 4 y 2 5

= 1− 2 . 5 =

)

2

)

2

2

=

2

4

=

(

)

2 −1

= 2 − 5 . 3.32 =
2
3 − 10

=

5 1− 3
2

(

2
=
10 − 3

=

5

(

( 1−

5

)

( 2−

5 − 2 .3. 3
2

(

(

10 + 3

)(

10 − 3 .

)

3 −1
2

2<0

)

10 + 3

(1−

)

5 <0
2

=

3<0

)
(

)

10 + 3

10 − 9

)=

2

(

10 + 3

)

)

Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn và so sánh
a) 3 5 và 5 3
3 5 = 32.5 = 45 
 do 75 > 45 ⇒ 75 > 45 ⇒ 5 3 > 3 5
2
5 3 = 5 .3 = 75 

b) 4 3 và 3 5
4 3 = 42.3 = 48 
 do 48 > 45 ⇒ 48 > 45 ⇒ 4 3 > 3 5
2
3 5 = 3 .5 = 45 

c) 7 2 và 72
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 12

Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Ta có: 7 2 = 7 2.2 = 98 do 98 > 72 ⇒ 98 > 72 ⇒ 7 2 > 72
d) 5 7 và 4 8
Bài 7: Đưa nhân tử vào trong dấu căn và rút gọn
2a ( a − 2 )

2

a) ( 2 − a )

2a
( a > 2)
a−2

b) ( x − 5 )

x
( 0 < x < 5) = −
25 − x 2

c) ( a − b )

3a ( a − b )
3a
0 < a < b) = −
=−

2
2 (
b −a
b2 − a 2

=−

a−2

= − 2a ( a − 2 )

x ( 5 − x)

2

( 5 − x ) .( 5 + x )

=−

x ( 5 − x)

( x − 5 < 0)

( 5 + x)

3a ( b − a )

2

( 2 − a < 0)

2

( b − a ) .( b + a )

=−

3a ( b − a )

( b + a)

Dạng 5: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức
Bài 8: Thực hiện phép tính
a ) 125 − 4 45 + 3 20 − 80 = ... = 5 5 − 12 5 + 6 5 − 4 5 = −5 5
b) 2

27
48 2 75
3
4
2 5
7
−
−
= ... = 2.
3−
3− .
3 = ... =
3
4

9 5 16
2
3
5 4
6

c) 2

9
49
25
3 1
1 5 1
−7 1
−7 2
−
+
= ... = 2. .
− 7.
+ .
= ... =
.
=
8
2
18
2 2
3
6
2 3 2

2

d ) 5 20 − 3 12 + 15

1
− 4 27 +
5

= 10 5 − 6 3 + 3 5 − 12 3 +
e) 7 + 4 3 + 28 − 10 3 =

52 − 4 2 = 5.2 5 − 3.2 3 + 15.

1
5 − 4.3 3 +
5

( 5 + 4) .( 5 − 4)

9 = 13 5 − 18 3 + 3 = 13 5 − 17 3

( 2 + 3)

2

+

( 5 − 3)

2

= 2+ 3 +5− 3 = 7

Bài 9: Rút gọn biểu thức với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa
a)

x x+y y

=

b)

(

x+ y

( x > 0; y > 0 )

− xy

)(

x + y . x − xy + y
x+ y

a + ab
b + ab

( a; b ≥ 0 )

=

)−
(
b(
a

xy = x − xy + y − xy = x − 2 xy + y =

)=
a)

a+ b
b+

(

x− y

)

2

a
b

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 13

Giáo án dạy thêm Toán 9A

c)

(x

)(

y +y x .

x− y

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

)

( x > 0; y > 0 )

xy
xy .

=

(

)(

x+ y .

)=

x− y

xy

(

)(

)

x+ y .

x − y =x−y

d ) A = x + 2 2 ( x − 2) + x − 2 2 ( x − 2) = x + 2
=

( x − 2) + 2 ( x − 2) .

=

(

x−2 + 2

)

2

( x − 2) − 2 ( x − 2) .

2 +2+

(

+

( x − 2) .

x−2 − 2

)

2

2 + x−2

( x − 2) .

2

2 +2

= x−2+ 2+

x−2 − 2

- Nếu

x−2 ≥ 2 ⇒ x−2≥ 2⇒ x ≥ 4 ⇒ A= x−2 + 2 + x−2 − 2 = 2 x−2

- Nếu

x−2 < 2 ⇒ x−2< 2⇒ x < 4 ⇒ A= x−2 + 2 − x−2 + 2 = 2 2

Dạng 6: Trục căn thức ở mẫu
Bài 10: Trục căn thức ở mẫu
a)

(

)

(

)

12. 3 + 3
12. 3 + 3
12
=
=
= 2. 3 + 3
9−3
3− 3
3− 3 . 3+ 3

(

8.

b)

8
=
5+2

c)

14
=
10 + 3

(

(

)(

5 −2

)(

5+2 .

14.

(

)

)

5 −2

(

=

)

10 − 3

)(

8.

(

5 −2
5− 4

)

10 + 3 .

10 − 3

(
(

)(
)(

)

=

(

) = 8.

14.

(

(

5 −2

10 − 3
10 − 3

)
)

) = 2.

(

10 − 3

)

)
)

d)

7 3 − 5 11 . 8 3 + 7 11 168 + 49 33 − 40 33 − 385 9 33 − 217
7 3 − 5 11
=
=
=
192 − 539
−337
8 3 − 7 11
8 3 − 7 11 . 8 3 + 7 11

e)

3 5 −2 2 . 2 5 +3 2
3 5 −2 2
30 + 9 10 − 4 10 − 12 18 + 5 10
=
=
=

20 − 18
2
2 5 −3 2
2 5 −3 2 . 2 5 +3 2

(
(

)(
)(

)
)

Bài 11: Trục căn thức ở mẫu và thực hiện phép tính

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 14


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

5

a)

4 − 11

+

(

1
6
7 −5
−
−
2
3+ 7
7 −2

5. 4 + 11

=

)

3− 7

+

6.

−

(

7 +2

)

7 −5
2

−

( 4 − 11 ) .( 4 + 11 ) ( 3 + 7 ) .( 3 − 7 ) ( 7 − 2 ) . ( 7 + 2 )
5. ( 4 + 11 ) 3 − 7 6. ( 7 + 2 )
7 − 5 5. ( 4 + 11 ) 3 −
=
+
−
−
=
+

7

16 − 11

−

6.

(

7 +2

)−

9−7
7−4
2
5
2
3
3− 7 − 7 +5
= 4 + 11 +
− 2 7 + 2 = 4 + 11 + 4 − 7 − 2 7 − 4 = 4 + 11 − 3 7
2

(

=

=
=

)

4
3
2
3 −1
+
−

+
6
5− 2
5 −2
3−2

b)

4

(
4
8

(

5+ 2

)

(

5+
5−2

)

−

2.

(

3+2

)

)

5 + 2 + 18.

5−4

(

)

3−4

5 + 2 + 12.

(

)

6

3 + 2 + 3 −1

6

26 5 + 8 2 + 13 3 + 59
=
6

3

=

3 −1
6

+

) ( 5 + 2 ) ( 5 − 2) .( 5 + 2) ( 3 − 2) .( 3 + 2 )
2 ) 3 ( . 5 + 2 ) 2. ( 3 + 2 )
3 −1 4 ( 5 + 2 )
+
−
+
=
+ 3.

5− 2 .

(

(

3 . 5+2

+

7 −5
2

(

)

5 + 2 + 2.

(

)

3+2 +

3 −1
6

8 5 + 8 2 + 18 5 + 36 + 12 3 + 24 + 3 − 1
6

Dạng 7 : Giải phương trình
Bài 12 : Giải các phương trình sau
a ) 2 2 x − 5 8 x + 7 18 x = 28

( 1) ⇔ 2

( 1)

dk : x ≥ 0

2 x − 5.2. 2 x + 7.3. 2 x = 28 ⇔ 13 2 x = 28 ⇔ 2 x =

28
784
392
⇔ 2x =
⇔x=
( tm )
13
169
169

1
9 x − 45 = 4 ( 2 )
3
1
( 2 ) ⇔ 4( x − 5) + x − 5 − 9( x − 5) = 4 dk : x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5
3
1
⇔ 2 x − 5 + x − 5 − .3 x − 5 = 4 ⇔ 2 x − 5 = 4 ⇔ x − 5 = 2 ⇔ x − 5 = 4 ⇔ x = 9 ( tm )
3
b) 4 x − 20 + x − 5 −

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 15

Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

c)

3x − 2
=3
x +1

Ta có (3) ⇔

d)


2
x≥


 3 x − 2 ≥ 0
3


2

x
+
1

>
0
x
>
−
1 x ≥

3x − 2



≥0⇔
⇔
⇔
3
(3) đk :
 3 x − 2 ≤ 0

x +1
2

 x ≤

 x < −1

3
  x + 1 < 0
  x < −1


3x − 2
−11
= 9 ⇔ ... ⇔ 6 x = −11 ⇔ x =
x +1
6

thỏa mãn

4

5 x − 4 ≥ 0
4
x ≥
5x − 4
⇔
= 2 (4) đk : 
5 ⇔ x≥
5
x+2
x + 2 > 0
 x > −2

(4) ⇔ 5 x − 4 = 2 x + 2 ⇔ 5 x − 4 = 4 ( x + 2 ) ⇔ ..... ⇔ x = 12 thỏa mãn
Bài tập : (bất đẳng thức Cauchy) : Cho 2 số a và b không âm. Chứng minh rằng

a+b
≥ ab .
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

LG
* Cách 1 :
+ vì a ≥ 0; b ≥ 0 ⇒ a ; b xác định
+ ta có :

(

a− b

)

2

≥ 0 ⇔ a − 2 ab + b ≥ 0 ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔

a+b
≥ ab
2

+ dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
* Cách 2 : ta có

( a − b)

2

≥ 0 ⇔ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 ≥ 2ab ⇔ a 2 + 2ab + b 2 ≥ 4ab

⇔ ( a + b ) ≥ 4ab ⇔ a + b ≥ 2 ab ⇔
2

Bu
æi
Ngµ

7
25/10/
16

a+b
≥ ab
2

LUYỆN TẬP

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 16


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa : Cho ∠ABC = α (00 < α < 900 ) ta định nghĩa các tỉ số giữa các cạnh AB, BC,
CA của tam giác ABC vuông tại A như sau :
AC

;
BC
AC
tgα =
;
AB
Đối
sin α =

AB
BC
AB
cot gα =Huyền
AC

C

cos α =

β

α

A

B

Kề

* Nhận xét : từ định nghĩa ta thấy :

+ tỉ số lượng giác của 1 góc nhọn luôn dương
+ cot gα =

+ 0 < sin, cos < 1

1
; tgα .cot gα = 1
tgα

2. Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau
- Định lý : nếu 2 góc phụ nhau thì sin góc này bằng cosin góc kia, tg góc này bằng cotg góc
sin α = cos β ;
tgα = cot g β ;

cos α = sin β
cot gα = tg β

kia. Tức : nếu α + β = 900 thì ta có : 
- Chú ý : Nếu 00 < α < 900 thì :

+ sin và tg đồng biến với góc α
+ cosin và cotg nghịch biến với góc α
3. Các hệ thức cơ bản
sin
;
cos
cos
( 2 ) cotg = ;
sin

( 1)

tg =

( 3)

tg.cot g = 1;

( 4)

sin 2 + cos 2 = 1

B. Bài tập áp dụng
Bài 1 : Cho biết sin = 0,6. Tính cos, tg và cotg
+ Ta có: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos α = 1 − sin 2 α = 1 − 0, 6 2 = 0,8

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 17


Giáo án dạy thêm Toán 9A

+ tgα =

sin α 0, 6 3
=
= ;
cos α 0,8 4

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

cotgα =

cos α 0,8 4
=
=
sin α 0, 6 3

Bài 2:
1. Chứng minh rằng:
a ) tg 2α + 1 =

1
1
; b) cotg 2α + 1 =
; c) cos 4 α − sin 4 α = 2 cos 2 α − 1
2
2
cos α
sin α

2. Áp dụng: tính sin, cos α , cotg α , biết tg α = 2
sin α
sin 2 α
sin 2 α
2
2

⇔ tg α =
⇔ tg α + 1 =
+1
1. a) Ta có: tgα =
cos α
cos 2 α
cos 2 α
⇔ tg 2α + 1 =

sin 2 α + cos 2 α
1
=
2
cos α
cos 2 α

b) VT = cot g 2α + 1 =

cos 2 α
cos 2 α + sin 2 α
1
+
1
=
=
= VP
2
2
sin α
sin α

sin 2 α

4
4
2
2
2
2
2
2
c) VT = cos α − sin α = ( cos α + sin α ) . ( cos α − sin α ) = cos α − sin α

(

)

= cos 2 α − 1 − cos 2 α = cos 2 α − 1 + cos 2 α = 2 cos 2 α − 1 = VP

2. Ta có: tgα = 2 nên ( a ) ⇒ 22 + 1 =

1
1
1
⇔ cos 2 α = ⇔ cos =
;
2
cos α
5
5

1
+ tgα = 2 ⇒ cotgα = ;
2
2

1
1
5
4
2 5
1
+ ( b) ⇒  ÷ +1 =
⇒
= ⇒ sin 2 α = ⇒ sin =
2
2
sin α
sin α 4
5
5
2

Bài 3: Biết tg = 4/3. Tính sin, cos, cotg
LG
+ ta có: tg = 4/3 nên cotg = ¾
+ mà tg 2α + 1 =

1
9
3

⇒ cos 2 α =
⇒ cos α = ;
2
cos α
25
5
2

+ mặt khác: sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin α = 1 − co s 2 α = 1 −  ÷ =
5
5
3

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

4

Page 18


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Bài 4: Dựng góc α trong các trường hợp sau:
1
a ) sin α = ;
2

2
b) cos α = ;
3

c) tgα = 3;

d ) cot gα = 4

LG
a)* Cách dựng

y

- dựng góc xOy = 900 . Lấy đoạn thẳng làm
đơn vị
B

- trên Oy lấy điểm B sao cho OB = 1

2

1

- vẽ cung tròn tâm B, bán kính bằng 2, cung

α
A

O

này cắt Ox tại A

x

- nối A với B ⇒ ∠BAO = α cần dựng
* Chứng minh:
- ta có: sin α = sin ∠BAO =

OB 1
=
đpcm
AB 2

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 5; BC = 12; AC = 13
a) CMR tam giác ABC vuông
b) Tìm tỉ số lượng giác của góc A và góc C
LG
a) Ta có: AB 2 + BC 2 = 122 + 52 = 169 = 132 = AC 2 ⇒ AB 2 + BC 2 = AC 2
theo định lý Pytago đảo, suy ra tam giác ABC vuông tại B
Buæi 8,9
Ngµ 27/10,
y
1/11/16

BÀI TẬP
TỔNG HỢP VỀ CĂN BẬC HAI

Bài 1: Tính
a) 3 + 2 2 − 6 − 4 2 =

(

)

2

2 +1 −

( 2− 2)

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

2

(

)

= 2 −1 − 2 − 2 = 2 2 −1

Page 19


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

b)
=

5 − 3 − 29 − 12 5 =
5 − 6−2 5 =

5−

(2

5 − 3−

(

)

5 −1

2

=

5 −3

)

2

=

5 − 3− 2 5 +3

5 − 5 +1 = 1

c ) 6 + 2 5 − 29 − 12 5 = 6 + 2 5 − 2 5 + 3 = 9 = 3
d ) 2 + 5 − 13 + 48 = 2 + 5 − 13 + 4 3 = 2 + 5 −
= 2+ 4−2 3 = 2+

(

)

3 −1

2

(2

)

3 +1

2

= 2 + 5 − 2 3 −1

= 2 + 3 −1 = 1 + 3

Bài 2: Thực hiện phép tính, rút gọn kết quả
a) 2 20 − 45 + 3 18 + 3 32 − 50 = 4 5 − 3 5 + 9 2 + 12 2 − 5 2 = 5 + 16 2
b) 32 + 0,5 − 2

c)

1
1
1
2
1
17
10
−
+ 48 = 4 2 +
2−
3−
2 + 4 3 = ... =
2+
3
3
8
2
3
4
4
3

1
1
+ 4,5 − 12,5 − 0,5 200 + 242 + 6 1 − 24,5
2
8
1

3
5
3
7
13
=
2+
2−
2 − 5 2 + 11 2 + 6.
2−
2=
2
2
2
2
4
2
2

3

2
3  2
d ) 
6 +2
−4
.
3
−
12

−
6
÷

÷

÷
3
2÷
2
 3

2
1
3

=
6+
6 − 2 6 ÷. 6 − 2 3 − 6 =
6. −2 3 = − 3
3
6
2


(

)

(

)

Bài 3: Chứng minh đẳng thức
a)

a+ b
a− b
2b
2 b
−
−
=
2 a −2 b 2 a +2 b b−a
a− b

Biến đổi vế trái ta được:

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 20


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a+ b
a− b

2b
a+ b
a− b
−
−
=
−
+
2 a −2 b 2 a +2 b b−a 2 a − b
2 a+ b

VT =

(
=

a+ b
2

(

2

(

2

a− b

4 b

=

) −(

(

)(

a− b

)(

2

a+ b

a+ b

a− b

)

(

)

a+ b

+ 4b

2

(

a− b

)(

a+ b

)

)(

a+ b .
=

2

(

a− b

)

4 ab + 4b
a− b

)(

a+ b

2 b
= VP
a− b

=

)

) (

a + 2 ab + b − a + 2 ab − b + 4b

=

)

) (

2b

2 3− 6
216  1
−3
b) 
−
.
=

÷
÷
3  6
2
 8 −2

Biến đổi vế trái ta được:

(

)



2 3− 6
216  1  6 2 − 1 6 6 ÷ 1
VT = 
−
.
=
−
.
÷
3 ÷
3 ÷ 6
 8−2
 6  2 2 − 1

 6
 1

−3
1
−3
= 
−2 6÷
.
=
6.
=
= VP
÷
2
2
6
 2
 6

(

Bài 4: Cho biểu thức A = (

a+ b

)

2

)

− 4 ab

a− b

−

a b +b a
ab

a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
LG
a) ĐKXĐ : a > 0; b > 0; a khác b
b) Ta có:

(
A=
=

a+ b

)

2

− 4 ab

a− b

a − 2 ab + b
−

a− b

(

−

ab
a b + b a a + 2 ab + b − 4 ab
=
−
ab
a− b

)

a+ b =

(

a− b

)

a− b

2 x+x

1

(

a+ b

)

ab

2

−

(



)

a + b = a − b − a − b = −2 b
x −1

−
Bài 5: Cho biểu thức B = 
÷:
x −1 ÷
 x x −1
 x + x +1

a) Tìm đk xác định
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 21

)


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

b) Rút gọn biểu thức B
LG
a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 1
b) Ta có:

2 x+x
1 
x −1

B = 
−
:
=
÷
÷ x + x +1 
x
x
−
1
x

−
1



=

2 x + x − x − x −1 x + x +1
.
=
x −1
x −1 x + x +1

(

)(

(

)(

)

x −1 x + x + 1

−


1 ÷
x −1

:
x −1 ÷ x + x +1


x −1 1
1
.
=
x −1 x −1 x −1

)



2 x+x

x −3 x   x −3

x −2

9− x



+
−
Bài 6: Cho biểu thức C = 1 −
÷: 
÷
÷

x −9 ÷

  2− x 3+ x x + x −6 

a) Tìm ĐK để C có nghĩa
b) Rút gọn C

c) Tìm x để C = 4
LG

a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
b) Ta có:
 x−3 x   x −3
x −2
9− x 
C = 1 −
:
+
−
÷

÷

÷
x −9 ÷

  2− x 3+ x x + x −6 

= 1 −




= 1 −


=

(
(

(

)

 

9− x
÷:  3 − x + x − 2 −
÷
÷

x
−
2
x
+
3
x −3
x +3
x −2

x +3 ÷
 

2
2

 
x ÷  3− x 3+ x + x − 2 −9+ x ÷
x +3− x 9− x + x − 2 −9+ x
:
:
÷=
x +3
x + 3 ÷ 
x −2
x +3
x −2
x +3
÷
 

x

3
.
x +3

c) C = 4 ⇔

x −3

)(

(

)

(

x −2

(

)

)(

x −2

)(

x +3

)

2

) (
)(

(

)=

)

(
)

)(

)

(

(

)(

)

3
x −2

3
3
11
121
= 4⇔ x −2= ⇔ x = ⇔ x =
4

4
16
x −2


Bài 7: Cho biểu thức D = 

x

 3+ x

+

x + 9   3 x +1 1 
−
÷: 
÷
9− x ÷
x
−
3
x
x÷
 


Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 22

)


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

a) Tìm ĐKXĐ

b) Rút gọn

c) Tìm x sao cho D < -1
LG
a) ĐKXĐ : x > 0; x khác 9
b) Ta có:

 


x
x + 9   3 x +1 1  
x
x+9
3 x +1
1 ÷
÷

D = 
+

:
−
=
+
:
−
÷
÷
÷ 
x÷
x÷
3+ x 3− x ÷  x x −3
 3+ x 9− x   x −3 x
  3 + x
 


(

=

=

(

(

)

)(

)

(

(

)

x 3 − x + x + 9 3 x +1− x + 3
2 x +2
3 x +9
:
=
:
3+ x 3− x
x x −3
3+ x 3− x
x x −3
3

(

)(

x +3

)

)

.

x

( 3 + x ) ( 3 − x ) 2(

c) D < −1 ⇔

(

(

x −3
x +2

)

)=

)

(

)(

)

(

)

)

−3 x
2 x +4

−3 x
< −1 ⇔ 3 x > 2 x + 4 ⇔ x > 4 ⇔ x > 16
2 x +4

(2

x +4>0

)

Bài 8. Giải các PT sau:
x 2 − 12 = 2 ;

x = x;

1)

x2 − 4 x + 4 = 3 ;

x2 − 6 x + 9 = 3 ;

2)

x2 − 2 x + 1 = x −1 ;

3)

x − 5 + 5 − x = 1 ( Xét ĐK ∃ ⇒ pt vô nghiệm);

4)

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 ( áp dụng:

x 2 − 10 x + 25 = x + 3 .

 A ≥ 0( B ≥ 0)
A= B⇔
).
A = B
A = 0

5) x 2 − 9 + x 2 − 6 x + 9 = 0 (áp dụng: A + B = 0 ⇔ 
).
B=0


6) x 2 − 4 − x 2 + 4 = 0 ( ĐK, chuyển vế, bình phương 2 vế).
7) x 2 − 4 x + 5 + x 2 − 4 x + 8 + x 2 − 4 x + 9 = 0
8) 9 x 2 − 6 x + 2 + 45 x 2 − 30 x + 9 = 6 x − 9 x 2 + 8
Biến đổi thành

(3 x − 1) 2 + 1 + 5(3 x − 1) 2 + 4 = 9 − (3 x − 1) 2 (VT ≥ 3; VP ≤ 3 ⇒ x = 1/3) .

Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 23


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

9) 2 x 2 − 4 x + 3 + 3 x 2 − 6 x + 7 = 2 − x 2 + 2 x (đánh giá tương tự).
10) x 2 − 4 x + 5 + 9 y 2 − 6 y + 1 = 1 (x =2; y=1/3);
11) 6 y − y 2 − 5 − x 2 − 6 x + 10 = 1 (x=3; y=3).
 x x −1 x x +1  

3− x 

−
Bài 9. Cho biểu thức: A = 
÷: 1 −
÷
x+ x ÷
x +1 ÷
 x− x
 


kq:

x +1

x −1

1) Tìm ĐK XĐ của biểu thức A.
2) Rút gọn A.
3) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

1
6−2 5

4) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn

−2
x +1

8) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max
9) So sánh A với − x + 1
Bài 10. Cho biểu thức:

 4 x
1  x−2 x
B = 1 −
+
÷:
x −1 ÷
 x −1
 x −1

kq:

x −3
x −2

1) Tìm x để biểu thức B xác định.
2) Rút gọn B.
3) Tính giá trị của biểu thức B khi

x = 11 − 6 2

4) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

x −1
Page 24


Giáo án dạy thêm Toán 9A

Năm học 2017−2018
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 2x +1

x

  1 + x3



− x÷
Bài 11. Cho biểu thức: C =  3 −
÷
÷
÷
 x −1 x + x +1   1+ x


kq: x − 1

1) Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x?
2) Rút gọn C.
3) Tính giá trị của biểu thức C khi

x = 8−2 7

4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.
1
3

5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn − .
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn 2 x + 3 .
7) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8) So sánh C với −

2
.
x
 x−2 x   4− x
x −2
x −3 
− 1÷
:
−
−

÷
÷  x − x −6 3− x
x +2÷
 x−4
 


Bài 12. Cho biểu thức: D = 

kq:

2
x −3

1) Tìm ĐK XĐ của biểu thức D.
2) Rút gọn D.
3) Tính giá trị của biểu thức D khi

x = 13 − 48 .

4) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1.
5) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm.
6) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2 .
7) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên.
8) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất.
9) Tìm x để D nhỏ hơn

1
.
x

 a +1

a −1 8 a   a − a − 3
1 
−
÷
a −1
a −1 ÷


−
−
Bài 13. Cho biểu thức: E = 
÷: 
a +1 a −1 ÷
 a −1
 

kq:

1) Tìm a để biểu thức E có nghĩa.
Hoàng Thế Việt −Trường THCS Thái Thịnh

Page 25