DE THI GIAO VIEN GIOI TOÁN THCS

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP THCS NĂM HỌC 2012 -2013
PHÒNG GD-ĐT YÊN LẠC
Thời gian làm bài 150 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHẦN KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN
Bài 1. (5,0 điểm)
mx  y  2m
�
�x  my  m  1

(*)

Cho hệ phương trình �

a) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
b) Xác định m để hệ phương trình có nghiệm nguyên
c) Chứng minh rằng điểm M(x;y) (với (x;y) là nghiệm của hệ phương trình (*)) luôn
nằm trên một đường thẳng cố định
d) Tìm giá trị của m để biểu thức P = xy có giá trị lớn nhất (với (x;y) là nghiệm của hệ
phương trình (*)) Tìm giá trị lớn nhất đó
Bài 2 (2,0 điểm ) Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng

1 1 1
1
1 �
� 1
  �4 �


�
a b c

�3a  b 3b  c 3c  a �

Bài 3 (3,0 điểm) cho tam giác ABC cân đỉnh A. Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường
thẳng vuông góc BC cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt ở E và F. Vẽ các hình chữ nhật
BDEG và CDFH. Chứng minh rằng A là trung điểm của GH
Bài 4 (2,0 điểm) Một học sinh giải bài toán “ Tìm các giá trị của m để phương trình
2 x 2   2m  1 x  m  1  0
 * có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 3x1-4x2 = 11” như sau:
Phương trình (*) có hai nghiệm khi  �0
�  2m  1  8  m  1  4m 2  12 m  9   2m  3  �0 m �R
2

2

1  2 m  2m  3
1
1  2 m  2m  3
  ; x2 
 1 m
4
2
4
3
33
33
Do đó 3x1 – 4x2= 11 �   4  1  m   11 � 4m  � m 
Vậy có duy nhất giá trị m =
2
2
8

33
m
thoả mãn điều kiện đầu bài. Theo đồng chí bài giải trên của học sinh đúng chưa? Vì
8

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm: x1 

sao? Nếu bài giải của học sinh sai , đồng chí hãy giải lại bài toán trên
Bài 5 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu m, n là các số tự nhiên thoả mãn 3m 2  m  4n2  n thì m – n và
4m + 4n +1 đều là số chính phương
b) Tìmnghiệm nguyên của phương trình 19 x 2  28 y 2  729
---------------------Hết --------------------