Một số dạng bài toán về số nguyên tố

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VŨ THỊ THẢO MAI

MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. NGUYỄN VĂN HÀO

HÀ NỘI - 2018


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS. Nguyễn Văn Hào
ngƣời đã định hƣớng chọn đề tài và tận tình hƣớng dẫn để em có thể hoàn
thành khóa luận này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong
khoa Giáo dục Tiểu học, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ em
trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và do thời gian
có hạn cùng năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những
thiếu sót. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận đƣợc những ý kiến đóng góp

của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em đƣợc hoàn thiện
nhƣ hiện tại.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Thảo Mai


LỜI CAM ĐOAN
Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Một số dạng bài toán về số
nguyên tố” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận
của mình. Danh sách tài liệu tham khảo em đã đƣa vào mục tài liệu tham khảo
của khóa luận.
Em xin cam đoan khóa luận đƣợc hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của
bản thân cùng với sự hƣớng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Hào đề tài do
em thực hiện không trùng với đề tài của các tác giả khác.
Hà Nội, tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Vũ Thị Thảo Mai


CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
ƢCLN

: Ƣớc chung lớn nhất

BCNN

: Bội chung nhỏ nhất

ƢNT

: Ƣớc nguyên tố


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài.. ......................................................................................... 1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu.. ............................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
CHƢƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................... 3
1. Tập hợp đẳng lực........................................................................................... 3
1.1. Khái niệm và một số ví dụ về tập hợp đẳng lực ........................................ 3
1.2. Một số tính chất. ......................................................................................... 3
2. Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn .............................................................. 5
2.1. Một số khái niệm và ví dụ .......................................................................... 5
2.2.

ột số t nh chất của tập hợp đẳng lực ....................................................... 5

3. Tập hợp số tự nhiên ¥ .................................................................................. 5
3.1. Bản số của tập hợp ..................................................................................... 5
3.2. Số tự nhiên. ................................................................................................. 6
3.3.

ột số v dụ................................................................................................ 6

3.4. Quan hệ thức tự trên ¥ .............................................................................. 6

3.4.1. Một số khái niệm ..................................................................................... 6
3.4.2. Tính chất.................................................................................................. 7
3.5. Số tự nhiên liền sau .................................................................................... 8
3.5.1. Một số khái niệm và ví dụ ....................................................................... 8
3.5.2.

ột số t nh chất của số tự nhiên liền sau ................................................ 8

3.5.3. ản số của tập hợp số tự nhiên ............................................................. 10
3.6. Phép cộng và ph p nhân trên tập hợp số tự nhiên ................................... 10
3.6.1. Một số khái niệm ................................................................................... 10


3.6.2. Các t nh chất của các ph p toán trên tập hợp số tự nhiên ..................... 11
3.7. Ph p tr .................................................................................................... 14
4. Số nguyên tố ................................................................................................ 15
4.1. Khái niệm về số nguyên tố và hợp số ...................................................... 15
4.2. Sàng Eratosthene. ..................................................................................... 16
4.3. Định lý cơ bản về phân tích số nguyên tố ................................................ 18
4.4. Sự phân tích tiêu chuẩn ............................................................................ 21
4.5. Ƣớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ............................................. 22
CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ ............. 24
1. Nhận biết số nguyên tố và sự phân bố số nguyên tố ................................... 24
1.1. Kiểm tra một số có phải là số nguyên tố không ....................................... 24
1.1.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 24
1.1.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 24
1.2. Sự phân bố số nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên ................................. 28
1.2.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 28
1.2.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 29
1.2.3. Bài tập áp dụng...................................................................................... 30

2. Sử dụng phƣơng pháp phân t ch để giải quyết các bài toán về ƣớc
chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ............................................................ 31
2.1. Ƣớc của một số ........................................................................................ 31
2.1.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 31
2.1.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 31
2.1.3. Bài tập áp dụng...................................................................................... 35
2.2. Bài toán về ƣớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất ........................... 36
2.2.1. Kiến thức cần nhớ ................................................................................. 36
2.2.2. Một số ví dụ .......................................................................................... 36
2.2.3. Bài tập áp dụng...................................................................................... 39


3. Tìm số nguyên tố để thỏa mãn điều kiện đề bài ......................................... 41
3.1. Phƣơng pháp chung .................................................................................. 41
3.2. Một số ví dụ.............................................................................................. 41
3.3. Bài tập áp dụng......................................................................................... 46
4. Các bài toán chứng minh có liên quan đến số nguyên tố............................ 49
4.1. Phƣơng pháp chung .................................................................................. 49
4.2. Một số ví dụ.............................................................................................. 49
4.3. Bài tập áp dụng......................................................................................... 53
5. Các bài toán khác liên quan đến số nguyên tố ............................................ 54
5.1.

ột số v dụ.............................................................................................. 54

5.2. Bài tập vận dụng....................................................................................... 58
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 61

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Toán học là công cụ giúp học sinh học tập các môn
khác cả về kiến thức và tƣ duy. Đặc biệt môn Toán có tiềm năng phát triển
năng lực trí tuệ, rèn luyện tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tính chính xác,
thẩm mĩ cùng sự kiên trì, nhẫn nại cho học sinh.
Trong chƣơng trình toán học đa dạng và phong phú, các bài toán số học luôn
để lại những vấn đề mới mẻ đã làm say mê nhiều ngƣời, t những nhà toán
học vĩ đại trên thế giới tới đông đảo bạn đọc yêu toán. Trong đó điển hình là
các bài toán về số nguyên tố. Số nguyên tố đã hóa trang cho mình rồi lần
khuất trong các số tự nhiên khiến cho chúng ta rất khó nhận ra. Bởi vậy số
nguyên tố đƣợc ví nhƣ những đứa trẻ bƣớng bỉnh, nó nấp ở ph a Đông, chạy ở
phía Tây, trêu tức các nhà toán học. Vậy làm sao chúng ta có thể tìm ra đƣợc
các số nguyên tố và các số nguyên tố đƣợc phân bố nhƣ thế nào trong tập hợp
số tự nhiên? Điều này thực sự thú vị thôi thúc các nhà toán học tìm tòi, nghiên
cứu về „„những đứa trẻ bướng bỉnh này”.
Tuy nhiên, cho đến nay có rất nhiều lí thuyết về số nguyên tố vẫn chƣa tìm
đƣợc quy luật của nó. Do vậy không thể tránh khỏi hiện tƣợng các bạn học
sinh, sinh viên lúng túng, lo sợ khi gặp các bài toán về số nguyên tố, đa phần
các bạn khó khăn trong việc định hình ra phƣơng pháp giải. Số nguyên tố nói
riêng hay số học nói chung đều có những nét thú vị riêng, độc đáo riêng.
Để phục vụ cho việc dạy học sau này cũng nhƣ rèn luyện cho học sinh, sinh
viên năng lực tƣ duy và định hình ra phƣơng pháp để giải quyết các dạng bài
toán về số nguyên tố, em quyết định chọn đề tài: ‘‘Một số dạng bài toán về số
nguyên tố”.
2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu về tập hợp số tự nhiên để
bổ sung thêm một số kiến thức giúp cho việc giải quyết các bài toán trong
phần này.

1

Xây dựng hệ thống về tập hợp số tự nhiên và giới thiệu một số vấn đề cơ bản
về số nguyên tố và phân dạng các bài toán về số nguyên tố.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Số nguyên tố và một số dạng bài toán
về số nguyên tố.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu. Nghiên cứu tài liệu, phân tích, so sánh và
tổng hợp.

2


CHƢƠNG I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1. Tập hợp đẳng lực
1.1. Khái niệm và một số ví dụ về tập hợp đẳng lực
Định nghĩa. Ta nói tập hợp A tƣơng đƣơng hay đẳng lực với tập hợp B và
viết là A : B , nếu có một song ánh f : A ® B .
Một số v

ụ

1. Tập hợp các ngón tay của bàn tay trái đẳng lực với các ngón tay của bàn
tay phải.
2. Giả sử A B và BC là hai đoạn thẳng có độ dài tùy ý chung đầu mút B và
ba điểm A, B ,C không thẳng hàng.

ý hiệu [A B ] và [CB ] tƣơng ứng là tập

hợp các điểm của hai đoạn thẳng này. Ta s chứng tỏ [A B ] : [CB ]. Thật vậy,
ta x t ánh xạ f : [A B ] ® [CB ] đƣợc xác định nhƣ sau: với mỗi điểm

X Î [A B ] ta cho tƣơng ứng nhƣ sau

+ f (X ) = C nếu X = A;
+ f (X ) = B nếu X = B ;
+ f (X ) = X ¢ mà X X ¢P A C nếu X ¹ A và X ¹ B .
dàng thấy r ng f là một song ánh t [A B ] lên [CB ]. ậy [A B ] : [CB ].
3.

t hai đƣờng tr n V 1 và V 2 đồng tâm O . ý hiệu éêV 1 ù
và
ë ú
û

éV ù tƣơng ứng
êë 2 ú
û

là tập hợp các điểm của hai đƣờng tr n này. Ta thiết lập tƣơng ứng

f : éêëV 1 ù
ú
û®

éV ù nhƣ sau: với mỗi điểm M Î éV ù tia OM cắt éV ù tại M ¢ ta
êë 2 ú
êë 1 ú
êë 2 ú
û
û
û

đặt M ¢ = f (M ) .

é ù. ậy éV ù: éV ù.
thấy f là một song ánh t éêV 1 ù
ú lên ëêV 2 ú
êë 1 û
ú ëê 2 ú
ë û
û
û

1.2. Một số tính chất. uan hệ đẳng lực " : " có các t nh chất sau:
a ) T nh chất phản ạ. ới m i t p h p A t

3

u n

A : A.


Thật vậy, với mọi tập hợp A có song ánh

fA : A ® A
x a x
b) T nh chất đối ứng.

ới m i t p h p A và B mà A : B th B : A .

Thật vậy, nếu A : B thì tồn tại song ánh f : A ® B .

hi đó, ánh xạ ngƣợc

f - 1 : B ® A cũng là một song ánh. Nhƣ vậy ta cũng có B : A .

ởi t nh chất này, nên khi A đẳng lực với B ta nói A và B là hai tập hợp
đẳng lực với nhau.
c ) T nh chất ắc cầu. ới m i t p h p A, B ,C n u A : B và B : C th

A : C . Thật vậy, nếu nếu A : B và B : C thì tồn tại các song ánh

f : A ® B và g : B ® C .

hi đó ánh xạ t ch g o f : A ® C cũng là một

song ánh. Nhƣ vậy, ta cũng thấy r ng A : C .
Nhƣ vậy, quan hệ đẳng lực là một quan hệ tƣơng đƣơng. o đó, khi A : B ta
cũng nói A tƣơng đƣơng với B và theo quan hệ tƣơng đƣơng ta có thể nói về
lớp các tập hợp đẳng lực.
Ta giới thiệu nhƣng không chứng minh định lý sau
Định

1(Cantor). ới h i t p h p A và B b t

, u n

y r một trong h i

B đ ng

với một bộ ph n

trư ng h p s u:
(i ) A đ ng

với một bộ ph n

B ; ho

A.
(ii ) N u

Nhận

y r đ ng th i

h i trư ng h p tr n th A và B đ ng

với nh u

t. Khi A đẳng lực với một bộ phận B 1 của B , thì tồn tại một song

ánh f : A ® B 1 .

hi đó, nếu coi f là một ánh xạ t A đến B , thì f là ánh

xạ đơn ánh. Ngƣợc lại, nếu có một đơn ánh f t

A vào B , thì khi đặt

B 1 = f (A ) Ð B ta có A : B 1 . Nhƣ vậy, khi A đẳng lực với một bộ phận của

B thì cũng có thể nói là có một đơn ánh t A vào B .

4


2. Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn
2.1. Một số khái niệm và ví dụ
Định nghĩa. Tập hợp không đẳng lực với một bộ phận thực sự nào của nó gọi
là một tập hợp hữu hạn. Tập hợp không hữu hạn gọi là tập hợp vô hạn. Nói
cách khác, tập hợp vô hạn là tập hợp đẳng lực với một bộ phận thực sự của nó.
Một số v

ụ

1. Tập hợp Æ là một tập hợp hữu hạn vì Æ không có bộ phận thực sự nào.
2. Tập hợp một phần tử {x } là một tập hợp hữu hạn vì nó chỉ có một bộ phận
thực sự duy nhất là Æ. Nhƣng r ràng tập hợp {x } không đẳng lực với tập
hợp Æ.
3. Tập hợp [A B ] các điểm của đoạn thẳng A B ( A ¹ B ) là một tập hợp vô
hạn. Thật vậy, giả sử M là một điểm bất k n m trong đoạn A B mà M ¹ A
và M ¹ B . hi đó, r ràng [A M ] là một bộ phận thực sự của [A B ]. Lấy C là
một điểm n m ngoài đƣờng thẳng A B . Nhƣ phần trên, ta biết r ng
[A B ] : [A C ] và cũng vậy [A M ] : [A C ]. o quan hệ đẳng lực là một quan hệ

tƣơng đƣơng nên [A B ] : [A M ]. Nhƣ thế, tập hợp [A B ] là một tập hợp vô hạn.
2.2. Một số tính chất c a tập hợp đẳng ực
1. Tập hợp đẳng lực với một tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.

2. Tập hợp con của một tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
3. Hợp của hai tập hợp hữu hạn là tập hợp hữu hạn.
4. T ch ecartess của hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.
3. Tập hợp số tự nhiên ¥
3.1. Bản số c a tập hợp.
lớp các tập hợp đẳng lực.

ản số là khái niệm đặc trƣng về số ư ng cho
ỗi tập hợp A đều có một bản số, ký hiệu là

cardA hay A sao cho

card A = card B Û A : B .

5


3.2. Số tự nhiên. ản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên. Các
số tự nhiên cũng lập thành một tập hợp. Tập hợp các số tự nhiên ký hiệu là ¥ .
Nhƣ vậy, a là số tự nhiên nếu và chỉ nếu tồn tại tập hợp hữu hạn A sao cho
a = card A .

3.3. Một số v

ụ

1. Ta biết tập hợp Æ là một tập hợp hữu hạn.

o đó cardÆ Î ¥ và ký hiệu

0 = card Æ.
2. Tập hợp một phần tử {x } là một tập hợp hữu hạn.

o đó card{x } Î ¥ và

ký hiệu 1 = card{x } .
3.4. Quan hệ thức tự trên ¥
3.4.1. Một số khái niệm
Định nghĩa. Giả sử a và b là hai số tự nhiên với a = card A, b = card B . Ta
nói a nhỏ hơn hoặc b ng b và viết là a £ b , nếu A tƣơng đƣơng với một bộ
phận của B .
Nếu a £ b và a ¹ b thì ta viết a < b và đọc là a nhỏ hơn b .
Hiển nhiên, định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và

B để a = card A, b = card B . Thật vậy, giả sử A ¢ và B ¢ là hai tập hợp hữu
hạn sao cho ta cũng có a = card A ¢, b = card B ¢.

hi đó, theo định nghĩa ta

có A : A ¢ và B : B ¢. o đó, tồn tại các song ánh
f : A ® A ¢ và g : B ® B ¢.

Nếu A tƣơng đƣơng với một bộ phận của B thì tồng tại đơn ánh h : A ® B .
hi đó, ta có sơ đồ sau
f
h
g
A ¢¾ ¾
®A¾¾
® B ¾ ¾®

B ¢.

nh xạ t ch g o (h o f ) là một đơn ánh t A ¢ vào B ¢. Nhƣ vậy, ta cũng có A ¢
tƣơng đƣơng với một bộ phận của B ¢.

6


Theo định nghĩa, nếu a £ b thì A tƣơng đƣơng với một bộ phận A1 Ð B . hi
đó, ta cũng có a = card A1 . Nhƣ vậy, ta cũng có thể phát biểu định nghĩa
quan hệ £ nhƣ sau: với a, b Î ¥ , a £ b nếu tồn tại các tập hữu hạn A, B sao
cho A Ð B và a = card A, b = card B .
3.4.2. Tính chất.

u n h " £ " à một qu n h thứ t toàn ph n trong t p

h p số t nhi n ¥ .
Chứng

inh. Trƣớc hết ta kiểm tra quan hệ " £ " thỏa mãn ba tiên đề của

một quan hệ thứ tự
(i ) Phản xạ. ới mọi a Î ¥ , a = card A ta luôn có a £ a vì A Ð A .

(ii ) Phản đối xứng. Giả sử a, b Î ¥ và a = card A, b = card B . Nếu a £ b và

b £ a , thì theo định nghĩa A tƣơng đƣơng với một bộ phận của B và ngƣợc

lại B tƣơng đƣơng với một bộ phận của A .

hi đó, theo định lý Cantor, A

tƣơng đƣơng với B . Nhƣ vậy a = b .
(iii )

ắc cầu. Giả sử a, b, c Î ¥ và a = card A, b = card B , c = card C . Nếu

a £ b và b £ c , thì A tƣơng đƣơng với một bộ phận của B và B tƣơng

đƣơng với một bộ phận của C . Nói cách khác, tồn tại các đơn ánh f và g
sao cho
f
g
A¾¾
® B ¾ ¾®
C.

hi đó, ánh xạ t ch g o f là một đơn ánh t A vào C . Nhƣ vậy, ta có a £ c .
Tiếp theo ta chứng minh quan hệ trên là một quan hệ sắp thứ tự toàn phần. ới
mọi cặp số tự nhiên a, b, a = card A, b = card B . Theo định lý Cantor, giữa hai
tập hợp A và B luôn có hoặc A tƣơng đƣơng với một bộ phận của B , hoặc

B tƣơng đƣơng với một bộ phận của A . Nghĩa là a £ b hoặc b £ a .

7


3.5. Số tự nhiên iền sau
3.5.1. Một số khái niệm và ví dụ
Định nghĩa. Giả sử a và b là hai số tự nhiên, ta nói b là số kề sau a nếu tồn

tại các tập hữu hạn A và B sao cho a = card A, b = card B và A Ð B , B \ A
là tập hợp đơn tử hay card(B \ A ) = 1 . ý hiệu số kề sau của a là a ¢.
Khi b là số liền sau của a , ta cũng nói a là số liền trƣớc của b .
V

ụ. Số tự nhiên 1 là số liền sau của số tự nhiên 0 . Thật vậy, ta có

0 = card Æ,1 = card{x } và ÆÐ {x },{x } \ Æ = {x } là một tập hợp đơn tử.

3.5. . Một số t nh chất c a số tự nhiên iền sau
T nh chất . M i số t nhi n đều
Chứng

một số t nhi n iền s u uy nh t

inh. Giả sử a là một số tự nhiên và a = card A . Lấy một phần tử

x Ï A , đặt tập hợp B = A È {x } . hi đó B là một tập hợp hữu hạn hợp của

hai tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn
A Ð B , B \ A = {x } là một tập hợp đơn tử.

và r

ràng ta có

o đó, nếu đặt b = card B thì b

là số tự nhiên liền sau a . ậy mọi số tự nhiên đều có số liền sau.
Tiếp theo ta chứng minh số tự nhiên liền sau a là duy nhất. Thật vậy, giả sử

số tự nhiên a có hai số tự nhiên liền sau là b1 và b2 . ởi vì b1 và b2 là các số
tự nhiên liền sau của a , nên tồn tại các tập hợp hữu hạn B 1 và B 2 sao cho

b1 = card B 1, A Ð B 1 và B 1 \ A = {x 1} là một tập hợp đơn tử.
b2 = card B 2, A Ð B 2 và B 1 \ A = {x 2 } là một tập hợp đơn tử.
Ta xây dựng ánh xạ g : B 1 ® B 2 đƣợc xác định nhƣ sau
íï t
khi t Î A
.
t a g(t ) = ïì
ïï x 2 khi t = x 1
î

Hiển nhiên g là một song ánh. ậy B 1 : B 2 hay card B 1 = card B 2 .

8


T nh chất . ố 0 h ng à số t nhi n iền s u
số t nhi n há 0 đều à số t nhi n iền s u
Chứng

b t

số t nhi n nào M i

một số t nhi n uy nh t

inh. ởi vì 0 = card Æ và tập hợp Æ không có một bộ phận thực

sự nào, nên số 0 không là số tự nhiên liền sau của bất k số tự nhiên nào.
Giả sử a ¢ là số tự nhiên khác 0 và a ¢= card A ¢. ởi vì a ¢¹ 0 nên A ¢¹ Æ.
o đó, tồn tại phần tử x Î A ¢. Đặt A = A ¢\ {x } thì A Ð A ¢ và A ¢\ A = {x }
là một tập hợp đơn tử. hi đó a = card A là một số tự nhiên liền trƣớc a ¢.
Giả sử a ¢ có hai số tự nhiên liền trƣớc a 1 và a2 .

hi đó, tồn tại các tập hợp

hữu hạn A1 và A2 sao cho

card A1 = a1, A1 Ð A ¢, A ¢\ A1 = {x }
và

card A2 = a2, A2 Ð A ¢, A ¢\ A2 = {y } .
Ta xây dựng ánh xạ

f : A1 = A ¢\ {x } ® A2 = A ¢\ {y }
íï t khi t Î A
t a f (t ) = ïì
ïï y khi t = x
î

T nh chất 3. i s
Chứng

a và b à h i số t nhi n

hi đ , n u a < b th a ¢£ b .

inh. Nếu a < b thì tồn tại các tập hợp hữu hạn A và B sao cho

A Ð B và a = card A, b = card B .

hi đó, bởi vì B \ A ¹ Æ nên tồn tại

x Î B \ A . Đặt A ¢ = A È {x } thì A Ð A ¢Ð B .

hi đó, số tự nhiên

a ¢= card A ¢ là số tự nhiên liền sau a và bao hàm thức A ¢Ð B chứng tỏ r ng

a ¢£ b .
Hệ quả.

iữ số t nhi n a và số iền s u a ¢

nào há

9

n

h ng

số t nhi n


Chng

inh. Gi s ngc li cú s t nhiờn b sao cho a < b < a Â. Theo

t nh cht 3, t a < b ta suy ra a ÂÊ b . iu ú mõu thun vi gi thit b < a Â.
Tp hp s t nhiờn Ơ vi quan h th t cú t nh cht trờn c gi l mt
tp sp th t ri rc. i cỏc t nh cht trờn õy, tp hp s t nhiờn c vit
thnh mt dóy nh sau 0,1, 2, 3,...
3.5.3. n s c a tp hp s t nhiờn
nh

2.

Chng

Ơ.

p h p s t nhi n Ơ v hn

inh. t Ơ * = Ơ \ {0} , thỡ r rng Ơ * l mt b phn thc s ca

t tng ng
f :Ơ* đ Ơ
n a nÂ

Trc ht f l mt ỏnh x vỡ mi s t nhiờn n cú duy nht mt s t nhiờn
lin sau n Âạ 0 .

t khỏc, theo t nh cht 2 mi s t nhiờn khỏc 0 u l s

lin sau ca mt s t nhiờn duy nht.

o ú f v a l n ỏnh v a l ton

ỏnh. Nh vy, tp hp s t nhiờn Ơ tng ng vi mt b phn thc s
ca nú, ngha l Ơ l mt tp hp vụ hn.
nh ngha. Lc lng ca tp hp s t nhiờn l v hn m .
lng hu hn hay vụ hn m c gi chung l

t lc

ng m

3.6. Phộp cng v ph p nh n trờn tp hp s t nhiờn
3.6.1. Mt s khỏi nim
nh ngha. Gi s a v b l hai s t nhiờn vi a = card A, b = card B v
A ầ B = ặ. Ta nh ngha

Ph p cng ca a vi b l s t nhiờn c ký hiu bi a + b v c xỏc
nh bi
a + b = card (A ẩ B )

10


Ph p nhân của a với b là số tự nhiên đƣợc ký hiệu bởi a .b và đƣợc xác
định bởi
a.b = card (A ´ B ) .

Nhận

t. Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A và

B . Ta d dàng chứng minh đƣợc r ng A, B , A ¢, B ¢ là những tập hợp hữu hạn
sao cho
a = card A, b = card B , a ¢= card A ¢, b¢= card B ¢, A Ç B = Æ, A ¢Ç B ¢= Æ,

thì
card (A È B ) = card (A ¢È B ¢) và card (A ´ B ) = card (A ¢´ B ¢)

3.6.2. Các t nh chất c a các ph p toán trên tập hợp số tự nhiên
T nh chất 1 T nh chất giao hoán . ới m i số t nhi n a và b t

u n

a + b = b + a và a.b = ba
. .

Chứng

inh. ởi vì A È B = B È A nên ta có ngay a + b = b + a .

ặt khác, d thấy ánh xạ

f :A´ B ® B ´ A
(x , y ) a (y, x )

là một song ánh.

o đó A ´ B : B ´ A hay card (A ´ B ) = card (A ¢´ B ¢) .

T đó suy ra a.b = ba
. .

T nh chất 2 T nh chất kết hợp . ới m i số t nhi n a, b và c t
a + (b + c) = (a + b) + c và a.(bc
. ) = (a.b).c .

Chứng

inh. ởi vì A È (B È C ) = (A È B ) È C nên ta có ngay
a + (b + c) = (a + b) + c .

ặt khác, d thấy ánh xạ
f : A ´ (B ´ C ) ® (A ´ B ) ´ C

(x,(y, z )) a ((x, y ), z )

11

u n


là một song ánh. o đó A ´ (B ´ C ) : (A ´ B ) ´ C
hay card (A ´ B ) = card (A ¢´ B ¢) . T đó suy ra a.(bc
. ) = (a.b).c .
T nh chất 3 Phần tử trung lập của các ph p toán . ới m i số t nhi n a t
u n
a + 0 = 0 + a = a và a.1 = 1.a .

Ngh

à: số 0 à ph n t trung

p

p

ph p ộng và số 1 à ph n t trung

ph p nh n.

Chứng

inh. ởi vì A È Æ = ÆÈ A; với mọi tập hợp A nên ta có ngay

a + 0 = 0 + a = a; với mọi a Î ¥ .
ặt khác, d thấy ánh xạ
f : {x } ´ A ® A
(x , a ) a a

là một song ánh.

o đó {x } ´ A : A hay card ({x } ´ A ) = card A . T đó

suy ra a.1 = 1.a .
T nh chất 4 Sự phân phối của ph p nhân đối với ph p cộng . ới á số t
nhiên a, b, c t y , t

u n

a.(b + c) = a.b + a.c và (b + c).a = ba
. + c.a

Chứng

inh. Ta có A ´ (B È C ) = (A ´ B ) È (A ´ C )

và (B È C ) ´ A = (B ´ A ) È (C ´ A ) .
T đó, ta suy ra điều phải chứng minh.
T nh chất 5 Luật giản ƣớc . ho á số t nhi n a, b, c t y
á

h ng đ nh s u

(i ) T đ ng thứ a + c = b + c ta suy ra a = b,

. ; với c ¹ 0 ta suy ra a = b.
(ii ) T đ ng thứ a.c = bc

12

hi đ , t


Chứng

inh. Thực vậy, giả sử a ¹ b . hi đó, do t nh bình đẳng của a và b

nên ta có thể giả sử r ng a < b . Tiếp theo, ta lấy các tập hợp hữu hạn A, B ,C
đại diện tƣơng ứng cho các số tự nhiên a, b, c nhƣ dƣới đây

card A = a, card B = b, card C = c và A Ç C = Æ = B Ç C .
(i ) Theo giả thiết phản chứng, do a < b nên A È C Ð B È C . T đó, suy ra

a + c = card(A È C ) < card(B È C ) = b + c

Điều này mâu thuẫn với giả thiết và ta nhận đƣợc điều phải chứng minh.
(ii ) Do A là tập con thực sự của B nên tồn tại phần tử y Î B , y Ï A và hiển

nhiên A ´ C Ð B ´ C . Thêm nữa, do C ¹ Æ nên tồn tại phần tử z Î C . hi
đó, r ràng (y, z ) Î B ´ C nhƣng (y, z ) Ï A ´ C .

ậy A ´ C là một tập con

thực sự của B ´ C hay a.c = card(A ´ C ) < card( B ´ C ) = bc
. . Điều mâu
thuẫn này, chứng tỏ điều cần chứng minh.
T nh chất 6 về số phần tử trung lập . ới m i số t nhi n a , t

u n

(i ) a + 1 = a ¢
(ii ) a.0 = 0 .

Chứng

inh. (i ) Giả sử a = card A và x Ï A . hi đó, ta có

a + 1 = card (A È {x }).
Thế nhƣng, r ràng A Ð A È {x } và (A È {x }) \ A = {x } là tập hợp đơn tử.
o đó, theo định nghĩa của số liền sau ta có

a + 1 = a ¢.
(ii )

ởi vì A ´ Æ = Æ nên a.0 = card(A ´ Æ) = card Æ = 0 .

T nh chất 7 Sự tƣơng th ch của thứ tự và ph p cộng . ới m i số t nhi n

a, b, c t y , t
(i ) N u a < b, th a + c < b + c;

13


(ii ) N u a + c < b + c, th a < b.

Chứng

inh. (i ) Giả sử a = card A, b = card B , c = card C . Theo giả thiết

a < b nên A Ð B và do đó A È C Ð B È C . Nhƣ vậy, ta nhận đƣợc
a + c = card( A È C ) Ð card( B È C ) = b + c .

(ii ) Ta chứng minh b ng phản chứng. Giả sử ngƣợc lại r ng b £ a .

hi đó,

theo phần (i ) ta có b + c £ a + c . Điều này mâu thuẫn với giả thiết và chứng
tỏ điều phải chứng minh.
T nh chất 8 Sự tƣơng th ch của thứ tự và ph p nhân . ới m i số t nhi n
a, b, c (c ¹ 0) t y , t
(i ) N u a < b, th a.c < b.c;

. , th a < b.
(ii ) N u a.c < bc
Chứng

inh. (i ) Giả sử a = card A, b = card B , c = card C . Theo giả thiết

a < b nên A Ð B và do đó A ´ C Ð B ´ C . Nhƣ vậy, ta nhận đƣợc
a.c = card( A ´ C ) Ð card( B ´ C ) = bc
. .
(ii ) Ta chứng minh b ng phản chứng. Giả sử ngƣợc lại r ng b £ a .

hi đó,

theo phần (i ) ta có b.c £ a.c . Điều này mâu thuẫn với giả thiết và chứng tỏ
điều phải chứng minh.
3.7. Ph p tr
Định

3. i s a và b à á số t nhi n N u a £ b th t n tại số t nhi n

uy nh t c sao cho a + c = b .
Chứng

inh. Giả sử A và B là các tập hợp hữu hạn sao cho a = card A và

b = card B . ởi vì a £ b nên A Í B . hi đó, ta thấy r ng B \ A là một tập
hợp hữu hạn và c = card(B \ A ) là một số tự nhiên. Hơn nữa, hiển nhiên
r ng A Ç (B \ A ) = Æ nên ta có

a + c = card (A È (B \ A )) Ð card B = b .

14


Để chứng minh t nh duy nhất, ta giả sử cũng tồn tại số tự nhiên c ¢ sao cho

a + c ¢= b .
hi đó, ta có a + c ¢= a + c . Theo luật giản ƣớc của ph p cộng ta suy ra
c ¢= c .

Định nghĩa. Số tự nhiên duy nhất c thỏa mãn đẳng thức a + c = b đƣợc gọi
là hiệu của b và a , ký hiệu là c = b - a đọc là c b ng b tr a ).
T nh chất ph n phối c a ph p nh n với ph p tr .

ới m i số t nhi n

a, b, c mà c £ b t
(i ) a.(b - c) = a.b - bc
.
. - c.a .
(ii ) (b - c).a = ba

Chứng

inh (i ) Theo định nghĩa của ph p tr , ta có c + (b - c) = b .

o đó

a.[c + (b - c)] = a.b

Theo t nh chất phân phối của ph p nhân đối với ph p cộng, ta nhận đƣợc
[a.c + a.(b - c)] = a.b .

Nhƣng đẳng thức này chứng tỏ a.(b - c) là hiệu của a .b và a .c .

o đó, ta

nhận đƣợc điều phải chứng minh
a.(b - c) = a.b - bc
. .
(ii ) Đẳng thức này đƣợc suy ra t đẳng thức (i ) và t nh chất giao hoán của

ph p nhân.
4. Số nguyên tố
4.1. Khái niệm về số nguyên tố và hợp số
Định nghĩa. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 chỉ có hai ƣớc là 1 và
chính nó. Những số tự nhiên có hơn hai ƣớc đƣợc gọi là hợp số.
Tập hợp các số nguyên tố ký hiệu là Ã .
Một số ví dụ
(i ) Một vài số nguyên tố đầu tiên

15


2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,...
(ii ) Một vài số tự nhiên là hợp số

4, 6, 8, 9,10, 12, 14, 15, 18, 20, 22,...
Sự tồn tại số nguyên tố và các số nguyên tố trong dãy số tự nhiên là một vấn
đề đã đƣợc quan tâm và giải quyết t thời cổ. Về điều này, ta có kết quả sau

Định lý 4. Có vô số số nguyên tố hay t p h p số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh. Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là p1 < p2 < ... < pn . Hiển
nhiên, ta thấy r ng số tự nhiên a = p1 ´ p2 ´ ¼ ´ pn + 1 đều lớn hơn tất cả
các số nguyên tố p1, p2,..., pn nên nó phải là hợp số. Nhƣ thế, số tự nhiên a
phải có ít nhất một ƣớc nguyên tố trong các số p1, p2,..., pn .

o đó, số tự

nhiên 1 cũng phải chia hết cho ƣớc đó. Điều này, mâu thuẫn với khái niệm về
số nguyên tố.
4.2. Sàng Eratosthene. Số nguyên tố đƣợc các nhà toán học nghiên cứu t rất
sớm. Ngƣời ta đã lập ra bảng các số nguyên tố không vƣợt quá một số nào đó.
Sàng Eratosthene là một trong những phƣơng pháp để lập bảng này.
Nhà toán học Eratosthene là ngƣời đầu tiên lập đƣợc bảng này. Ông viết các
số này lên tấm giấy cỏ sậy căng trên một cái khung, ông không xóa đi các hợp
số mà dùi thủng chúng giống nhƣ một cái sàng. Tất cả các hợp số tựa nhƣ bị
sàng qua cái sàng này, chỉ còn sót lại những số nguyên tố. Tới ngày nay, bảng
số nguyên tố vẫn đƣợc gọi là sàng Eratosthene. Để giới thiệu về vấn đề này,
trƣớc tiên ta cần đến bổ đề sau
Bổ đề 1. Một h p số a có ít nh t một ước nguyên tố h ng vư t quá a .
Chứng minh. Giả sử a là một hợp số và p là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất khác 1
của a . Giả sử a = pq . Bởi vì a là một hợp số, nên a ¹ p và đƣơng nhiên

q > 1 . Nhƣ thế q cũng là một ƣớc khác 1 của a .

16


Theo giả thiết về số p ta có p £ q và do đó a = p.q ³ p 2 hay p £

a.

Sàng Eratosthene. Để lập đƣợc bảng các số nguyên tố không vƣợt quá số tự
nhiên A ³ 1 ta làm nhƣ sau. Viết tất cả các số tự nhiên t 1 đến A rồi tìm cách
gạch bỏ đi những số không phải là số nguyên tố. Trƣớc hết ta gạch bỏ số 1 vì số
này không phải là số nguyên tố. Số đầu tiên không bị gạch bỏ là số 2 vì nó chỉ
có hai ƣớc là 1 và chính nó (đ y à số nguyên tố chẵn duy nh t).
Ta giữ lại số 2 và gạch đi trong bảng tất cả các số khác 2 là bội của 2 . hi đó
số đầu tiên lớn hơn 2 chƣa bị gạch là số 3 cũng chỉ có hai ƣớc là 1 và chính nó.
Ta giữ lại số 3 và gạch đi trong bảng tất cả các số khác 3 là bội của 3 . Khi
đó số đầu tiên lớn hơn 3 chƣa bị gạch là số 5 , đó là một số nguyên tố.
Ta giữ lại số 5 và gạch đi trong bảng tất cả các số khác 5 là bội của 5 . Tiếp
tục quá trình với các số nguyên tố tiếp theo. Việc làm nhƣ vậy đến bao giờ kết
thúc với một bảng số tự nhiên không lớn hơn A . Quá trình trên s d ng lại
sau khi gạch tất cả các bội của p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ¼ , pn (không kể các số
này) ở đó pn là số nguyên tố lớn nhất không vƣợt quá

A thì tất cả các số

còn lại trong bảng đều là những số nguyên tố.
Ví dụ. Lập bảng số nguyên tố không vƣợt quá 100.
1
11
21
31
41
51
61
71
81

91

2
12
22
32
42
52
62
72
82
92

3
13
23
33
43
53
63
73
83
93

4
14
24
34
44
54

64
74
84
94

6
16
26
36
46
56
66
76
86
96

5
15
25
35
45
55
65
75
85
95

17

7

17
27
37
47
57
67
77
87
97

8
18
28
38
48
58
68
78
88
98

9
19
29
39
49
59
69
79
89

99

10
20
30
40
50
60
70
80
90
100


Trong bảng trên, số nguyên tố là những số in đậm.
Hệ quả 1. N u số t nhiên a > 1 không có một ước nguyên tố nào trong
kho ng t

1 đ n a thì a là số nguyên tố.

Chứng minh. Giả sử a là hợp số thì phải có ƣớc nguyên tố trong khoảng t

1 đến a . Điều này mâu thuẫn với bổ đề trên. Vậy a là số nguyên tố.
Với bảng các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc b ng 100 ở trên và dựa vào chú ý
này ta có thể kiểm tra đƣợc mỗi số tự nhiên a £ 10000 có phải là một số
nguyên tố hay không.
Ví dụ. Xét a = 257 ta có

257 < 17 , các số nguyên tố £

257 là

2, 3, 5, 7,11,13 đều không là ƣớc của 257 nên 257 là một số nguyên tố.

4.3. Định lý cơ ản về phân tích số nguyên tố. Vấn đề quan trọng nhất có
liên quan đến số nguyên tố là khả năng phân tích một số bất k dƣới dạng tích
các số nguyên tố và phƣơng pháp biểu thị đó là duy nhất. Chúng ta s nghiên
cứu một định lý về vấn đề này, qua đó thấy đƣợc vai trò quan trọng của số
nguyên tố trong tập hợp số tự nhiên. Để chuẩn bị cho việc chứng minh định lý
trƣớc hết ta chứng minh các bổ đề sau
Bổ đề 2. Với số t nhiên a và số nguyên tố p thì ho c a nguyên tố với p
ho c a chia h t cho p .
Chứng minh. Gọi d | (a, p) . Suy ra d | p. Mà p là số nguyên tố nên d = 1
hoặc d = p.
+ Nếu d = 1 thì (a, p) = 1.
+ Nếu d = p thì p | a
Vậy định lý đƣợc chứng minh.
Bổ đề 3. N u một tích các số t nhiên chia h t cho số nguyên tố p thì ph i có
ít nh t một th a số c a tích chia h t cho p .

18