Một số dạng toán tính tuổi cấp tiểu học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VI THỊ KHÁNH CHI

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH TUỔI
CẤP TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán và Phƣơng pháp dạy học Toán ở Tiểu học

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu
học, trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trƣờng. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã hƣớng dẫn, tận tình chỉ bảo và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh
khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em xin chân thành cảm ơn đã nhận
đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa
luận của em đƣợc hoàn thiện nhƣ hiện tại.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Vi Thị Khánh Chi

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận
tốt nghiệp “Một số dạng toán tính tuổi cấp tiểu học” đƣợc hoàn thành
theo sự nhận thức vấn đề của riêng tác giả, không trùng với bất kì khóa
luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên

Vi Thị Khánh Chi


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu.. ................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
5. Phƣơng pháp.................................................................................................. 2
6. Giả thiết khoa học ......................................................................................... 2
CHƢƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ........................................... 3
1. Cơ sở lí luận .................................................................................................. 3
1.1. Đặc điểm tƣ duy của học sinh Tiểu học ..................................................... 3
1.2. Vị trí và mục tiêu của môn Toán ở trƣờng Tiểu học ................................. 4
1.2.1. Vị trí của môn Toán ở trƣờng Tiểu học. ................................................. 4
1.2.2. Mục tiêu của môn Toán ở Tiểu học ........................................................ 4
1.3. Cấu trúc nội dung môn Toán ở Tiểu học ................................................... 5

1.3.1. Số học ...................................................................................................... 5
1.3.2. Đại lƣợng – đo đại lƣợng ........................................................................ 6
1.3.3. Một số yếu tố hình học ............................................................................ 6
1.3.4. Giải toán có lời văn ................................................................................. 6
1.4. Tầm quan trọng của giải toán có lời văn và toán tính tuổi ở Tiểu học ...... 7
1.5. Kiến thức cần nắm vững về dạng toán tính tuổi ........................................ 8
1.5.1. Nhận dạng các bài toán về tính tuổi ........................................................ 8
1.5.2. Các phƣơng pháp giải bài toán tính tuổi ................................................. 8
1.5.3. Một số lƣu ý ............................................................................................ 9
2. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................ 10
2.1. Thực tiễn trong việc giảng dạy về bài toán tính tuổi cấp Tiểu học.......... 10


2.2. Những sai lầm thƣờng mắc phải của thầy và trò trong quá trình dạy và
giải toán tính tuổi ........................................................................................... 11
CHƢƠNG II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH TUỔI CẤP TIỂU HỌC ........ 15
1. Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai ngƣời................................................ 15
2. Cho biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số tuổi của hai ngƣời ................................. 18
2.1. Cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai ngƣời ................................................. 18
2.2. Cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai ngƣời ................................................. 23
3. Cho biết tỉ số tuổi của hai ngƣời ở các thời điểm khác nhau ...................... 29
3.1. Cho biết tỉ số tuổi của hai ngƣời ở hai thời điểm khác nhau ................... 29
3.2. Cho biết tỉ số tuổi của hai ngƣời ở ba thời điểm khác nhau .................... 35
4. Một số bài toán khác ................................................................................... 38
CHƢƠNG III. BIỆN PHÁP BỒI DƢỠNG HỌC SINH CHUYÊN ĐỀ TOÁN
TÍNH TUỔI ..................................................................................................... 42
1. Lựa chọn nội dung và phƣơng pháp dạy phù hợp với từng dạng bài và đối
tƣợng học sinh .................................................................................................. 42
2. Rèn kỹ năng phân tích đề, phân loại các bài toán về tính tuổi và đƣa ra hệ
thống bài tập phù hợp, hợp lí .......................................................................... 45

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 48


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Ở Tiểu học môn Toán là một môn học phát triển con
ngƣời toàn diện. Ngoài mục tiêu chủ yếu là rèn luyện kĩ năng tính toán và giải
toán thì môn Toán ở Tiểu học còn chú ý tới việc phát triển tƣ duy và khả năng
suy luận của học sinh. Hơn nữa, các kiến thức của Toán học giúp học sinh có
thêm hiểu biết và giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn.
Đối với môn Toán ở Tiểu học, dạy giải toán có lời văn có vị trí đặc biệt quan
trọng và chiếm khoảng thời gian tƣơng đối lớn trong nhiều tiết học cũng nhƣ
toàn bộ chƣơng trình môn Toán. Cùng với một số dạng toán có lời văn khác,
các bài toán về tính tuổi là một trong những chuyên đề chính. Thông qua việc
dạy học giải toán về tính tuổi giúp học sinh biết vận dụng các kiến thức về
môn Toán nói chung và các kiến thức về toán tuổi nói riêng, rèn luyện kĩ năng
thực hành với những yêu cầu đa dạng.
Tuy nhiên, việc giải các bài toán tính tuổi nhƣ thế nào là một vấn đề đƣợc
nhiều học sinh, các thầy cô và phụ huynh quan tâm. Để giải đƣợc dạng toán
này đòi hỏi học sinh phải huy động các kiến thức toán tổng hợp mà các em đã
học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp và sử dụng linh hoạt các phƣơng
pháp giải toán ở Tiểu học.
Trong quá trình thực tế ở trƣờng Tiểu học Tiến Thắng A tôi thấy việc giải các
bài toán có lời văn trong đó có dạng “các bài toán tính tuổi” thƣờng gây khó
khăn cho học sinh, các em còn lúng túng khi gặp dạng bài này. Bên cạnh đó,
một số giáo viên chƣa biết cách hƣớng dẫn cho học sinh để các em có thể
nhanh chóng tìm ra hƣớng giải quyết, giáo viên cảm thấy khó khăn khi tìm
hƣớng để giúp các em học sinh có thể hiểu đƣợc.
Để góp phần nâng cao năng lực giải toán nói chung, năng lực giải “các bài
toán tính tuổi” nói riêng trong môn Toán ở Tiểu học và góp phần trong việc

đổi mới phƣơng pháp bồi dƣỡng học sinh trên cở sở kiến thức chuẩn theo

1


chƣơng trình để hình thành và phát triển những kiến thức nâng cao một các
phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh. Chính vì những lí do trên tôi đã
chọn đề tài “Một số dạng toán tính tuổi cấp Tiểu học” để hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp ngành đào tạo cử nhân bậc tiểu học.
2. Mục đích nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu của đề tài là phân loại các
dạng về “các bài toán tính tuổi” bậc Tiểu học. Qua đó, đƣa ra biện pháp bồi
dƣỡng cho học sinh các dạng bài này nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của
việc dạy và học giải toán ở Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu thực tiễn về việc giải bài toán có lời văn
và những khó khăn trong việc giảng dạy về bài toán tính tuổi ở trƣờng Tiểu
học Tiến Thắng A.
Phân loại các bài toán tính tuổi thƣờng gặp ở Tiểu học và nghiên cứu phƣơng
pháp chung để giải các dạng toán về tuổi.
Đƣa ra các biện pháp bồi dƣỡng học sinh về các bài toán tính tuổi ở Tiểu học.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu. Đối tƣợng nghiên cứu: Phân loại các
dạng về bài toán tính tuổi ở Tiểu học.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán tính tuổi ở Tiểu học.
5. Phƣơng pháp
Phƣơng pháp nghiên cứu tài liệu.
Phƣơng pháp quan sát.
Phƣơng pháp điều tra.
Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp.
6. Giả thiết khoa học. Nếu phân loại đƣợc các dạng toán tính tuổi ở Tiểu học
sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán ở Tiểu học.

2


CHƢƠNG I
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lí luận
1.1. Đặc điểm tƣ duy của học sinh Tiểu học. Tƣ duy Toán học, thực chất là
một hình thức tƣ duy nhƣng đƣợc xem xét trong phạm vi toán học. Những tri
thức Toán học mà ta biết trƣớc đây là chƣa đủ. Tri thức Toán học là vô tận,
quá trình nhận thức nó cũng vô tận. Do đó, tƣ duy Toán học rất cần thiết cho
mỗi chúng ta trong hoạt động học tập cũng nhƣ trong các hoạt động khác của
cuộc sống. Có thể nói tƣ duy Toán học cũng là một quá trình tâm lý phản ánh
những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong, có tính
chất quy luật của Toán học nhằm giúp con ngƣời nhận thức và ứng dụng toán
học vào học tập và cuộc sống.
Đặc điểm tƣ duy của học sinh lứa tuổi tiểu học
Giai đoạn 1 (6 – 7 tuổi): Tƣ duy trực quan hành động chiếm ƣu thế
+ Trẻ học chủ yếu bằng phƣơng pháp phân tích, so sánh, đối chiếu dựa trên
các đối tƣợng hoặc những hình ảnh trực quan.
+ Những khái quát của trẻ về sự vật hiện tƣợng ở giai đoạn này chủ yếu dựa
vào những dấu hiệu cụ thể nằm trên bề mặt của đối tƣợng hoặc những dấu
hiệu thuộc công dụng và chức năng.
+ Tƣ duy còn chịu ảnh hƣởng nhiều bởi yếu tố tổng thể.
+ Tƣ duy phân tích bằng đầu hình thành nhƣng còn yếu.
Giai đoạn 2 (8 – 12 tuổi): Tƣ duy trực quan hình tƣợng
+ Trẻ nắm đƣợc các mối quan hệ của khái niệm.
+ Những thao tác về tƣ duy nhƣ phân loại, phân hạng tính toán, không gian,
thời gian,... đƣợc hình thành và phát triển mạnh.
− Đến cuối giai đoạn 2, tƣ duy ngôn ngữ bắt đầu hình thành. Đây là giai đoạn
vận dụng năng lực tƣ duy cụ thể. Tuy nhiên năng lực tƣ duy của trẻ còn bị hạn

3


chế bởi sự ràng buộc với những thật tại vật chất cụ thể. Trẻ gặp khó khăn
trong tƣ duy trừu tƣợng.
1.2. Vị trí và mục tiêu của môn Toán ở trƣờng Tiểu học
1.2.1. Vị trí của môn Toán ở trƣờng Tiểu học. Mỗi môn học ở Tiểu học đều
hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu, rất quan trọng của nhân cách
con ngƣời Việt Nam. Môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng, có khả năng to
lớn giúp học sinh phát triển đƣợc các năng lực và phẩm chất trí tuệ. Toán học
đƣợc xem là môn học công cụ trong nhà trƣờng.
Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời
sống, rất cần thiết cho ngƣời lao động và rất cần thiết cho môn học khác ở tiểu
học và việc học tiếp bậc trung học.
Môn Toán giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lƣợng và hình
dạng không gian của thế giới hiện thực. Nhờ đó mà học sinh có phƣơng pháp
nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu
quả trong đời sống.
Môn Toán góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phƣơng pháp suy
luận, phƣơng pháp suy nghĩ, phƣơng pháp giải quyết có vấn đề. Nó đóng góp
vào việc phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt sáng tạo và
hình thành các phẩm chất cần thiết, quan trọng của ngƣời lao động nhƣ: cần
cù, cẩn thận, có ý chí vƣợt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và yacs
phong khoa học.
1.2.2. Mục tiêu của môn Toán ở Tiểu học. Có những kiến thức cơ bản ban
đầu về số học các số tự nhiên, các số thập phân, phân số, các đại lƣợng cơ bản và
một số yếu tố hình học, thống kê đơn giản.
Hình thành và rèn kỹ năng thực hành tính đo lƣờng, giải bài toán có nhiều
ứng dụng thực tế trong cuộc sống.

4


Bƣớc đầu hình thành và phát triển năng lực trừu tƣợng hóa, khái quát hóa,
kích thích trí tƣởng tƣợng, gây hứng thú học tập toán, phát triển hợp lý khả năng
suy luận và diễn đạt đúng (bằng lời, bằng viết các suy luận đơn giản,…) góp
phần rèn luyện phƣơng pháp học tập làm việc khoa học linh hoạt sáng tạo.
Ngoài ra môn toán góp phần hình thành và rèn luyện phẩm chất các đạo đức
của ngƣời lao động trong xã hội hiện đại.
1.3. Cấu trúc nội dung môn Toán ở Tiểu học. Nội dung môn Toán ở Tiểu
học bao gồm các chủ đề kiến thức sau
1.3.1. Số học
Khái niệm ban đầu về số tự nhiên: số tự nhiên liền trƣớc, số tự nhiên liền sau,
ở giữa hai số tự nhiên, các số từ 0 đến 9.
Cách đọc và ghi số tự nhiên: hệ nghi số thập phân.
Các quan hệ bé hơn, lớn hơn, bằng nhau (=) giữa các số tự nhiên, so sánh các
số tự nhiên, xếp thứ tự các số tự nhiên thành dãy số tự nhiên. Một số đặc điểm
của dãy số tự nhiên (rời rạc, xếp thứ tự tuyến tính, có phần tử đầu, không có
phần tử cuối,…).
Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia các số tự nhiên: ý nghĩa, bảng tính một số
tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm, tính bằng cách thuận tiện nhất (lớp
4 –5) thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức có nhiều dấu tính, mối
quan hệ các phép tính.
Giới thiệu bƣớc đầu về phân số: khái niệm ban đầu, cách đọc, cách viết, so
sánh, thực hành cộng, trừ, nhân, chia trong trƣờng hợp đơn giản.
Khái niệm ban đầu về số thập phân, cách đọc, cách viết (trên cơ sở mở rộng,
hệ ghi số thập phân), so sánh và sắp xếp thứ tự, cộng, trừ, nhân, chia các số
thập phân (một số tính chất cơ bản của phép tính, tính nhẩm nhân).
Làm quen với việc dùng chữ thay số.

5


Biểu thức số và biểu thức chữ, giá trị của biểu thức, bƣớc đầu làm quen với
biến số, với mối qun hệ phụ thuộc giữa hai đại lƣợng.
Giải phƣơng trình và bất phƣơng trình đơn giản bằng phƣơng pháp phù hợp
với Tiểu học.
1.3.2. Đại lƣợng – đo đại lƣợng
Khái niệm ban đầu về các đại lƣợng thông dụng nhƣ: độ dài, khối lƣợng, thời
gian, diện tích, thể tích, tiền Việt Nam.
Khái niệm ban đầu về đo đại lƣợng: một số đơn vị đo thông dụng nhất, kí
hiệu, quan hệ giữa một số đơn vị đo thông dụng nhất, kí hiệu và quan hệ giữa
một số đơn vị đo và việc chuyển đổi đơn vị đo
Thực hành đo đại lƣợng: giới thiệu dụng cụ đo và thực hành đo đại lƣợng.
Cộng, trừ, nhân, chia các số đo đại lƣợng cùng loại.
1.3.3. Một số yếu tố hình học
Các biểu tƣợng về hình học đơn giản (điểm, đoạn thẳng, đƣờng thẳng, đƣờng
gấp khúc, góc, tam giác, tứ giác, hình chữ nhật, hình thang, hình vuông, hình
tròn, hình hộp chữ nhật, hình lập phƣơng).
Khái niệm ban đầu về chu vi, diện tích của các hình, cách tính diện tích, chu
vi một số hình.
Cách tính thể tích hình hộp chữ nhật và hình lập phƣơng.
1.3.4. Giải toán có lời văn
Giải các bài toán đơn (bằng một phép tính cộng, trừ, nhân hoặc chia).
Giải các bài toán hợp (toán hợp là sự kết hợp của các bài toán đơn).
Trong số các bài toán hợp có một số dạng toán có cấu trúc toán học giống
nhau và có thể sử dụng phƣơng pháp giải giống nhau, chúng thƣờng đƣợc
gọi bằng tên riêng nhƣ: các bài toán tìm trung bình cộng, tìm hai số khi biết
tổng và hiệu của chúng,… (có khi ngƣời ta gọi các bài toán này là các bài

toán điển hình).

6


Điều quan trọng của dạy học giải toán có lời văn là giúp học sinh biết cách
giải quyết vấn đề thƣờng gặp trong đời sống, các vấn đề này đƣợc nêu dƣới
dạng các bài toán có lời văn. Đây là sự vận dụng có tính chất tổng hợp các
kiến thức, kĩ năng, phƣơng pháp,… học đƣợc ở môn Toán ở Tiểu học.
1.4. Tầm quan trọng của giải toán có lời văn và toán tính tuổi ở Tiểu học
Trong chƣơng trình môn Toán ở Tiểu học, toán có lời văn là loại bài toán
đóng vai trò quan trọng và chiếm một thời lƣợng khá lớn. Toán có lời văn
giúp học sinh củng cố đƣợc kiến thức của bài học ở mức độ cao hơn, cụ thể
hơn, nó tạo ra sự phong phú đa dạng cho nội dung bài học. Ngoài ra, sự
phong phú của cuộc sống cũng đƣợc thể hiện rõ qua nhiều kiểu bài, dạng bài
của toán có lời văn.
Việc hƣớng dẫn học sinh hiểu và giải đƣợc các bài toán có lời văn không
những giúp các em nắm vững kiến thức toán trong từng nội dung bài học mà
còn góp phần tích cực giúp các em hiểu và vận dụng tốt những hiểu biết đó
vào cuộc sống. Điều đó càng chứng minh cho tầm quan trọng của toán có lời
văn trong chƣơng trình toán ở Tiểu học nói riêng và các bậc học khác nói
chung cũng nhƣ trong cuộc sống hàng ngày.
Dạng “các bài toán tính tuổi” là một trong những dạng toán có lời văn điển
hình thuộc loại toán khó và tính đa dạng của nó ở trong chƣơng trình môn
Toán ở Tiểu học.
Để giải đƣợc dạng toán này đòi hỏi học sinh phải huy động tối đa các kiến
thức toán tổng hợp mà mình đã học nhất là khả năng phân tích, tổng hợp, trừu
tƣợng hoa và khái quát hóa và sử dụng thành thạo, linh hoạt các phƣơng pháp
giải toán ở Tiểu học.
Chuyên đề “các bài toán tính tuổi” có số lƣợng rất phong phú, kiểu bài đa

dạng nên việc nghiên cứu để phân loại và tìm ra cách giải phù hợp là một việc
làm không phải dễ dàng đối với giáo viên bởi nó đòi hỏi phải đầu tƣ thời gian

7


và trí tuệ tƣơng đối nhiều. Việc dạy và học các bài toán điển hình mà trong đó
có các bài toán tính tuổi thƣờng gây khó khăn cho học sinh, các em còn lúng
túng khi gặp phải dạng bài này. Học sinh hiểu, ghi nhớ dạng toán và cách giải
của dạng toán thiếu bền chặt, khả năng vận dụng trong quá trình giải toán
nâng cao lại càng khiêm tốn hơn.
1.5. Kiến thức cần nắm vững về dạng toán tính tuổi
1.5.1. Nhận dạng các bài toán về tính tuổi. Có 3 dạng toán điển hình
+ Tìm hai số khi biết tổng – tỉ.
+ Tìm hai số khi biết hiệu – tỉ.
+ Tìm hai số khi biết tổng – hiệu.
Thƣờng dùng phƣơng pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải. Hiệu số tuổi của hai ngƣời
không thay đổi theo thời gian. Mỗi năm thì mỗi ngƣời tăng thêm một tuổi. Tổng
số tuổi của hai ngƣời thay đổi trƣớc hoặc sau 1, 2,... năm là 2, 4,... năm.
Trong bài toán này, ta thƣờng gặp mối quan hệ của các đại lƣợng nhƣ sau
+ Tuổi của A và B .
+ Hiệu số tuổi của A và B .
+ Tổng số tuổi của A và B .
+ Tỉ số tuổi của A và B .
+ Các thời điểm của tuổi A và B trƣớc đây, hiện nay, sau này.
1.5.2. Các phƣơng pháp giải bài toán tính tuổi. Muốn giúp học sinh có khả
năng giải quyết nhanh bài toán nâng cao về tính tuổi thì ngƣời giáo viên phải
cung cấp cho học sinh các phƣơng pháp đa dạng, sáng tạo, điều đó giúp cho các
em có thể giải một bài toán với nhiều phƣơng pháp, rút ra cách giải nhanh nhất.
- Phƣơng pháp sơ đồ đoạn thẳng

- Phƣơng pháp chia tỷ lệ
- Phƣơng pháp phân tích cấu tạo số
- Phƣơng pháp rút về đơn vị

8


- Phƣơng pháp “thủ thuật tạo ra tình huống không có thật”
- Phƣơng pháp tìm ẩn…
- Thủ thuật giải toán bằng cách gắn giá trị sai rồi điều chỉnh cho đúng.
- Thủ thuật thay thế hai đại lƣợng cùng giá trị…
Đây chính là một hệ thống các phƣơng pháp giúp cho học sinh nhanh chóng
tìm ra kết quả của bài toán. Nó giúp cho các em vững tin hơn trong học tập.
1.5.3. Một số lƣu ý. Bài toán về tính tuổi là một trong các bài toán có lời văn
thƣờng gặp ở tiểu học, tuy nhiên cũng là một dạng toán khó đối với các em
học sinh lớp 4, 5 . Trong đề bài của các bài toán dạng này, các yếu tố về tổng,
hiệu hoặc tỉ số giữa số tuổi của hai ngƣời thƣờng đƣợc ẩn dƣới nhiều hình
thức khác nhau.
Do hiệu số tuổi của hai ngƣời luôn không thay đổi ở mọi thời điểm nên từ
hiệu số tuổi của hai ngƣời ở một thời điểm bất kỳ nào đó ta có thể suy ra hiệu
số tuổi của hai ngƣời đó ở một thời điểm khác.
Vì vậy khi làm dạng toán này học sinh cần:
- Đọc kỹ đầu bài.
- Phân tích kĩ đầu bài để xác định rõ: Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì?
- Dựa vào các giả thiết của đầu bài đã biết để học sinh phân biệt dạng toán
(tổng – tỉ, hiệu – tỉ, tổng – hiệu)
- Dựa vào dạng toán đã học, học sinh linh hoạt, vận dụng vào yêu cầu bài toán
để giải bài toán mà đề bài yêu cầu.
- Về hiệu số tuổi của hai ngƣời luôn không thay đổi ở các thời điểm.
- Các đại lƣợng thƣờng gặp trong bài tập về tính tuổi.

- Yêu cầu học sinh nắm vững bảng đơn vị đo thời gian và cách chuyển đổi số
đo thời gian.
- Những kiến thức thực tế để biết tuổi của một ngƣời cụ thể (dùng trong
phƣơng pháp lựa chọn).

9


Các kiến thức cần củng cố và bổ sung. Khi giải các bài toán nâng cao về tính
tuổi, giáo viên giúp học sinh củng cố lại kiến thức về:
- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu (lớp 4 )
- Tìm hai số khi tổng và tỷ (lớp 4 )
- Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ (lớp 4 )
- Số thập phân, phân số (lớp 5 )
- Cấu tạo số, các dạng biểu thức chứa hai hoặc ba chữ số…
2. Cơ sở thực tiễn
2.1. Thực tiễn trong việc giảng dạy về bài toán tính tuổi cấp Tiểu học.
Qua tìm hiểu chƣơng trình, sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và qua thực tế
tôi thấy:
Về tài liệu tham khảo: Tài liệu tham khảo môn toán ở tiểu học nói chung và
dạng các bài toán tính tuổi nói riêng đƣợc viết rất nhiều. Các bài toán tính tuổi
thuộc toán điển hình đƣợc đƣa vào trong sách giáo khoa môn toán cũng nhƣ
tài liệu tham khảo ở mức độ đơn giản. Các bài tập không mang tính chất đa
dạng, bƣớc đầu phân loại và hƣớng dẫn giải các bài toán tuổi đó. Tuy nhiên
vấn đề sử dụng các phƣơng pháp suy luận nào là phù hợp với các dạng bài,
với bài toán tính tuổi đó có thể sử dụng đƣợc những phƣơng pháp nào để tìm
ra đáp số thì đó còn là hạn chế.
Về học sinh: Nhìn chung học sinh tiểu học, nhất là các em học sinh có khả
năng học toán khá, có lòng say mê học toán, yêu thích môn toán, đa phần các
em có hứng thú khi giải các bài toán tính tuổi. Nhƣng đôi khi các em chủ yếu

nghe giảng, ghi nhớ và làm theo bài mẫu. Chính vì vậy mà kiến thức của các
em còn mang tính hời hợt, thiếu linh hoạt và khả năng phân tích của các em
còn hạn chế. Đặc biệt đối với các bài toán tính tuổi đòi hỏi các em phải biết
tổng hợp, nâng cao kiến thức đã học để giải. Phƣơng pháp giải của các em
chƣa sáng tạo, chƣa linh hoạt, nhiều lúc chƣa tháo gỡ đƣợc. Thời gian học

10


dành cho chuyên đề “các bài toán tính tuổi” chƣa liền mạch cho nên đã ảnh
hƣởng ít nhiều đến chất lƣợng học của các em.
Về giáo viên: Hiện nay việc dạy – học môn Toán ở cấp Tiểu học đã có nhiều
tiến bộ và có đổi mới theo hƣớng tích cực hơn. Việc áp dụng phƣơng pháp
dạy học mới đƣợc nhiều giáo viên khai thác, áp dụng hết sức thành công.
Song bên cạnh đó cũng còn tồn tại không ít hạn chế nhƣ: việc dạy – học thụ
động vẫn xảy ra. Giáo viên giảng dạy chỉ nhằm giải quyết các bài tập chứ
chƣa chú ý đến việc rèn kĩ năng giải toán, đặc biệt là chƣa chú ý rèn các thao
tác tƣ duy cho học sinh. Chuyên đề “các bài toán về tính tuổi” có số lƣợng
rất phong phú, kiểu bài đa dạng nên việc nghiên cứu để phân loại và tìm ra
cách giải phù hợp là một việc làm không phải dễ dàng đối với giáo viên bởi
nó đòi hỏi phải đầu tƣ thời gian và trí tuệ tƣơng đối nhiều.
Bên cạnh đó một bộ phận phụ huynh học sinh còn thiếu quan tâm đến việc
học bồi dƣỡng của con em.
2.2. Những sai lầm thƣờng mắc phải của thầy và trò trong quá trình dạy
và giải toán tính tuổi. Phƣơng pháp của thầy chƣa sáng tạo, chƣa linh
hoạt. Hầu nhƣ các thầy cô thƣờng áp đặt cho học sinh cách giải theo khuôn
mẫu, dẫn đến không kích thích đƣợc óc sáng tạo, thông minh của học sinh.
Một bài toán nâng cao đƣa ra chƣa chịu khó tìm nhiều cách giải. Hầu nhƣ các
bài toán về tính tuổi các em thƣờng theo lối truyền thống dùng phƣơng pháp
sơ đồ độ tuổi dẫn đến bế tắc.

Những sai lầm thƣờng gặp của học sinh khi giải các bài toán dạng này thƣờng
là không xác định đƣợc tổng và hiệu của hai số, đặc biệt đối với các bài toán
có tổng hiệu ẩn do các em không đọc kĩ đề bài hoặc không hiểu rõ đƣợc mối
quan hệ giữa các đại lƣợng đã cho trong đề bài. Đối với các bài toán tỉ số thay
đổi, phần lớn các em đều sai lầm khi ngộ nhận đó là các đại lƣợng không đổi.

11


Ví dụ. Mẹ hơn con 27 tuổi. Sau ba năm nữa số tuổi của mẹ sẽ gấp 4 lần số
tuổi con. Tính tuổi của mỗi ngƣời hiện nay.
Lời giải sai. Sau ba năm nữa mẹ hơn con số tuổi là: 27 + 3 = 30 (tuổi). Ta có
sơ đồ tuổi của hai mẹ con ba năm nữa nhƣ sau
30 Tuổi

Tuổi mẹ:
Tuổi con:
Tuổi của con sau ba năm nữa là

30 : ( 4 - 1 ) = 10 (tuổi)
Tuổi của con hiện nay là
10 - 3 = 7 (tuổi)

Tuổi của mẹ hiện nay là
27 + 7 = 34 (tuổi)

Đáp số: mẹ: 34 tuổi; con: 7 tuổi.
Phân tích. Trong lời giải trên, học sinh đã mắc sai lầm khi cho rằng hiệu tuổi
mẹ và tuổi con sau ba năm nữa lớn hơn hiệu số tuổi mẹ và tuổi con hiện nay.
Thực tế thì hiệu số tuổi của hai ngƣời không thay đổi theo thời gian. Để khắc

phục sai lầm này, giáo viên cần hƣớng dẫn cho học sinh biết: Hiệu số tuổi của
hai ngƣời ở bất cứ thời điểm nào đều nhƣ nhau vì sau mỗi năm thì mỗi ngƣời
cùng thêm một tuổi.
Lời giải đúng. Sau ba năm nữa thì tuổi mẹ vẫn hơn con 27 tuổi. Ta có sơ đồ
tuổi của hai mẹ con ba năm nữa nhƣ sau:
27 Tuổi

Tuổi mẹ:
Tuổi con:
12


Tuổi của mẹ sau ba năm là
27 : 3 ´ 4 = 36 (tuổi)

Tuổi của mẹ hiện nay là
 36  –   3  =   33 (tuổi)

Tuổi của con hiện nay là
33  –  27  =   6 (tuổi)

Đáp số: Mẹ 33 tuổi; con  6 tuổi.
Ví dụ 2. Biết hiện nay tuổi mẹ gấp 10 lần tuổi con và hai mƣơi tƣ năm sau thì
tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi mẹ và tuổi con hiện nay.
Lời giải sai. Tuổi mẹ hai mƣơi tƣ năm sau hơn tuổi mẹ hiện nay số lần tuổi
con là:
10 - 2 = 8 (lần tuổi con)

Tuổi con hiện nay là
24 : 8 = 3 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là
3 ´ 10 = 30 (tuổi)

Đáp số: Mẹ 30 tuổi; con  3 tuổi.
Phân tích. Trong lời giải trên, mặc dù đáp số bài toán đúng nhƣng cách giải
hoàn toàn sai vì tuổi mẹ và tuổi con hiện nay so với tuổi mẹ và tuổi con hai
mƣơi tƣ năm sau thì chỉ cùng tăng một số năm chứ không phải tăng một số
lần do đó số lần tuổi con hiện nay và số lần tuổi con sau này là hai đại lƣợng
khác nhau. Để khắc phục sai lầm này, giáo viên cần giải thích cho học sinh do
tuổi của hai mẹ con thay đổi nên mỗi lần tuổi con hiện nay khác với mỗi lần
tuổi con sau hai mƣơi tƣ năm sau. Có thể lấy thêm ví dụ về sự khác biệt đó.
Từ đó đƣa ra hƣớng giải cho bài toán.

13


Lời giải đúng. Hiệu số tuổi của hai mẹ con hiện nay là

10  –  1  =  9 (lần tuổi của con hiện nay)
Hiệu số tuổi của hai mẹ con sau hai mƣơi tƣ năm là

2  –  1  =  1 (lần tuổi của con sau hai mƣơi tƣ năm)
Do hiệu số tuổi của hai ngƣời không thay đổi theo thời gian.  9 lần tuổi con
hiện nay bằng tuổi của con sau hai mƣơi tƣ năm.
Ta có sơ đồ
24 năm

Tuổi con hiện nay:
Tuổi con 24 năm sau:

Tuổi con hiện nay là

24  :   (9  –  1)  =  3 (tuổi)
Tuổi mẹ hiện nay là

10 ´ 3 = 30 (tuổi)
Đáp số: Con 3 tuổi; mẹ 30 tuổi.

14


CHƢƠNG II
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÍNH TUỔI CẤP TIỂU HỌC
1. Cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai ngƣời
Ví dụ 1. (SGK Toán 4 , trang 47 ) Tuổi bố và con cộng lại đƣợc 58 tuổi. Bố
hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?
Phân tích. Tổng số tuổi của hai bố con là 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi tức là
hiệu số tuổi hai bố con là 38 tuổi. Đây là bài toán thuộc dạng: “Tìm hai số khi
biết tổng và hiệu của hai số đó”.
Ta sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng và biểu thị các dữ liệu trên sơ đồ.
Từ đó, ta tìm đƣợc lời giải của bài toán.
Lời giải. Theo bài ra ta có sơ đồ
? tuổi
Tuổi con:

38 tuổi

58 tuổi

Tuổi bố:

? tuổi
Hai lần tuổi bố là
58 + 38 = 96 (tuổi)

Tuổi bố là

96 : 2 = 48 (tuổi)
Tuổi con là

48  –   38  =  10 (tuổi)
Đáp số: Bố 48 tuổi; con 10 tuổi.
Ví dụ 2. Cách đây ba năm thì tổng số tuổi của hai anh em là 11 tuổi. Tính
số tuổi của anh và số tuổi của em hiện nay, biết rằng hiện nay anh hơn em

5 tuổi?

15


Phân tích. Khi đọc đầu bài học sinh sẽ chƣa định hƣớng đƣợc cách giải vì
đầu bài cho dữ kiện tuổi của anh và em không cùng thời điểm. Hiện nay anh
hơn em 5 tuổi có nghĩa là anh luôn hơn em 5 tuổi do hiệu số tuổi không thay
đổi theo thời gian. Và bài cho cách đây ba năm tổng số tuổi của hai anh em là

11 tuổi. Từ đây ta biểu diễn bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng và giải bài toán
theo dạng “tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số”.
Lời giải. Vì hiệu số tuổi của hai ngƣời không thay đổi nên cách đây ba năm
anh vẫn hơn em 5 tuổi.
Ta có sơ đồ sau
? tuổi

Tuổi em ba năm trƣớc:

5 tuổi

11 tuổi

Tuổi anh ba năm trƣớc:
? tuổi
Tuổi của anh cách đây ba năm là

(11

+ 5) : 2 = 8 (tuổi)

Tuổi của anh hiện nay là
8 + 3 = 11 (tuổi)

Tuổi của em hiện nay là

11  –  5  =  6 (tuổi)
Đáp số: Anh 11 tuổi; em 6 tuổi.
Ví dụ 3. Tuổi cháu kém tổng số tuổi của ông và bố là 86 tuổi, tuổi ông hơn
tuổi bố 28 tuổi. Hỏi mỗi ngƣời bao nhiểu tuổi? Biết rằng số tuổi của ông, bố
và cháu là 98 tuổi.
Phân tích. Đây là bài toán kết hợp của hai bài toán dạng tổng – hiệu. Bài toán
thứ nhất cho tổng số tuổi của ba ngƣời với hiệu số tuổi của cháu và của ông,

16

bố. Bài toán thứ hai là tổng và hiệu số tuổi của ông và bố. Từ một bài toán
phức tạp ta đƣa về hai bài toán cơ bản dạng tổng – hiệu. Giải đƣợc bài toán
thứ nhất ta tìm đƣợc tuổi của cháu và cũng biết đƣợc tổng số tuổi của ông và
bố để giải bài toán thứ hai. Giải đƣợc bài toán thứ hai ta tìm đƣợc tuổi của
ông và tuổi của bố theo yêu cầu của đầu bài.
Lời giải. Theo bài ra ta có sơ đồ sau
? tuổi
Tuổi cháu:

98
tuổi

86 tuổi

Tổng số tuổi của ông và bố:
? tuổi
Tuổi của cháu là

(98  –   86)  :  2  =

 6 (tuổi)

Tổng số tuổi của ông và bố là

98  –   6  =   92 (tuổi)
Theo bài ra ta có sơ đồ sau
? tuổi
Tuổi bố:

28 tuổi

92 tuổi

Tuổi ông:

? tuổi
Tuổi của ông là

(92

+ 28) : 2 = 60 (tuổi)

17


Tuổi của bố là

60  –  28  =   32 (tuổi)
Đáp số: Ông 60 tuổi; bố 32 tuổi; cháu 6 tuổi.
Bài tập ứng dụng
Bài 1. Tuổi chị và tuổi em cộng lại đƣợc 36 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi chị
bao nhiêu tuổi, em bao nhiêu tuổi?
Bài 2. Tuổi em hiện nay nhiều hơn hiệu số tuổi của hai chị em là 12 . Tổng số
tuổi của hai chị em cùng nhỏ hơn hai lần tuổi của chị là 3 . Tính tuổi của mỗi
ngƣời?
Bài 3. Tám năm về trƣớc tổng số tuổi của ba cha con cộng lại là 45 . Tám
năm sau cha hơn con lớn 26 tuổi và hơn con nhỏ 34 tuổi. Tính tuổi của mỗi
ngƣời hiện nay?
Bài 4. Tính tuổi của hai cha con biết rằng cha hơn hai lần tuổi con là 16 tuổi
và hai lần tuổi cha lớn hơn tổng số tuổi của hai cha con là 40 .

Bài 5. Ba năm về trƣớc tổng số tuổi của bố, mẹ, con là 90 tuổi. Ba năm sau
bố hơn mẹ 2 tuổi và hơn con 34 tuổi. Tính tuổi của mỗi ngƣời hiện nay.
2. Cho biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số tuổi của hai ngƣời
2.1. Cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai ngƣời
Ví dụ 1. Tổng số tuổi của hai anh em hiện nay là 32 tuổi. Tìm tuổi mỗi ngƣời
hiện nay, biết rằng cách đây hai năm tuổi anh gấp 3 lần tuổi em.
Phân tích. Hiện nay tổng số tuổi của hai anh em là 32 tuổi vậy cách đây hai
năm tổng số tuổi của hai anh em là 32  –  2  –  2  =  28 (tuổi). Và cách đây
2 năm tuổi anh gấp 3 lần tuổi em. Từ những dữ kiện đó ta vẽ sơ đồ và giải

bài toán theo dạng tìm 2 số khi biết tổng và tỉ của hai số.
Lời giải. Hiện nay tổng số tuổi của hai anh em là 32 tuổi. Cách đây hai năm
tổng số tuổi của hai anh em là (bớt mỗi ngƣời 2 tuổi)

32  –  2  –  2  =  28 (tuổi)

18


Ta có sơ đồ số tuổi hai anh em cách đây hai năm
? tuổi
Tuổi em:
28 Tuổi

Tuổi anh:
? tuổi
Tuổi của em cách đây hai năm là:
28 : (1  +   3)   ´  1  =   7  (tuổi)

Tuổi anh cách đây hai năm là

7 ´    3 =  21  (tuổi)

Tuổi em hiện nay là
7  +  2  =   9  (tuổi)

Tuổi anh hiện nay là
21  +  2  =  23  (tuổi)

Đáp số: anh 23 tuổi; em 9 tuổi.
Ví dụ 2. Hiện nay tổng số tuổi của hai chị em là 24 tuổi. Tính tuổi của hai
ngƣời hiện nay biết rằng khi tuổi của chị bằng tuổi của em hiện nay thì tuổi
của em bằng

3
lần tuổi chị khi đó.
5

Phân tích. Bài toán cho biết tuổi của hai chị em ở hai thời điểm là trƣớc đây
và hiện nay. Khi tuổi chị trƣớc đây bằng tuổi em hiện nay thì tuổi của em
bằng

3
lần tuổi chị khi đó, có nghĩa là ta coi tuổi em trƣớc đây là 3 phần thì
5

tuổi chị trƣớc đây là 5 phần nhƣ thế. Hiệu số tuổi của hai chị em không thay
đổi theo thời gian nên luôn bằng

5  –   3  =  2 ( phần)
19

Sơ đồ biểu diễn tuổi của hai chị em hiện nay là tuổi chị gồm 7 phần, tuổi em
là 5 phần. Bài toán cho biết tổng số tuổi của hai chị em là 24 tuổi. Tới đây,
bài toán đƣa về dạng tìm số tuổi của hai chị em khi biết tổng và tỉ số tuổi của
hai ngƣời.
Lời giải. Khi tuổi của chị bằng tuổi của em hiện nay thì tuổi của em bằng

3
5

lần tuổi chị khi đó nên ta coi tuổi của em là 3 phần thì tuổi của chị cũng là 5
phần nhƣ vậy.
Số phần chỉ hiệu số tuổi của chị và em trƣớc đây là

5  –   3  =  2 (phần)
Vì tuổi của chị trƣớc đây bằng tuổi của em hiện nay nên tuổi của em hiện nay
là 5 phần.
Do hiệu số tuổi không thay đổi theo thời gian nên số phần biểu thị hiệu số
tuổi của chị hiện nay là
5 + 2 = 7 (phần)

Ta có sơ đồ
? tuổi
Tuổi em hiện nay:
24 Tuổi

Tuổi chị hiện nay:
? tuổi
Tuổi chị hiện nay là

24 :   (5  +  7)  ´  7  =  14 (tuổi)
Tuổi em hiện nay là

24 - 14 = 10 (tuổi)
Đáp số: Em 10 tuổi; chị 14 tuổi.

20