SKKN rèn luyện phương pháp và quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11

1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình toán học cấp trung học phổ thông cụ thể là ở lớp 11,
phần hình học không gian là một vấn đề không đơn giản đối với học sinh khi
học cũng như đối với giáo viên khi giảng dạy. Trong đề thi đại học ở cả ba khối
bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất
hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi,
các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây và thường chiếm một điểm và
ngoài ra nó còn là tiền đề để các em học sinh học phần hình học giải tích trong
không gian mà đó cũng là một phần mà trong đề thi cũng luôn chiếm một điểm.
Tuy nhiên hình học không gian nói chung và bài toán khoảng cách nói riêng là
nội dung mà đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, kiên trì, chịu khó tìm tòi
học hỏi ngay từ vấn đề đầu tiên, cơ bản là vẽ hình. Học sinh phải có trí tưởng
tượng hình không gian phong phú và phải đi từng li từng tí kiến thức, đối với
học sinh đây là mảng kiến thức khó và thường không làm được hoặc thường để
mất điểm trong các kì thi nói trên.
Trong sách giáo khoa, lượng bài tập này không nhiều và không hình thành
cho các em phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách. Trong sách tham
khảo cũng đưa ra lượng bài tập này rất nhiều nhưng hầu hết chưa hình thành cho
học sinh cách thức, phương pháp chung để giải quyết cũng như phân loại cho
học sinh các dạng, loại bài tập. Đối với giáo viên, có nhiều lí do mà dẫn đến việc
dạy học còn nhiều hạn chế chẳng hạn như do lượng thời gian ít ỏi ở trên lớp để
truyền đạt kiến thức, không kiên trì đối với học sinh từ khâu nhỏ nhất, không
kiểm tra một cách kịp thời việc học tập ở nhà của học sinh, do đó mà lượng kiến
thức của học sinh thường bị rỗng, dần dần trở thành nắm không vững hoặc
không còn biết gì về hình không gian.
Từ những lý do trên, trong năm học qua tôi đã thử nghiệm và thực hiện nhiều
giải pháp để nâng cao chất lượng dạy học. Một trong các giải pháp mà bản thân đã
mạnh dạn áp dụng và đúc rút thành kinh nghiệm đó là: “Rèn luyện phương pháp
và quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho học
sinh lớp 11 ” , xin được trình bày với mong muốn nhận được sự ủng hộ của đồng

nghiệp, các thầy cô giáo và hội đồng khoa học giáo dục các cấp.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, tôi đã đề ra “Rèn luyện phương pháp và quy
trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp
11 ”
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- SKKN nghiên cứu về biện pháp hướng dẫn học sinh rèn luyện phương pháp và
quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho lớp 11.
- Đối tượng khảo sát thử nghiệm là học sinh khối 11 trường PT Nguyễn Mộng
Tuân Đông Sơn Thanh Hóa.
1


1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
O

Định nghĩa: Cho điểm O và đường
thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của O
trên ∆. Khi đó: OH = d (O; a )
* Nhận xét
- ∀M ∈ a, OM ≥ d (O,a)

a

H

* Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta có thể
+ Xác định hình chiếu H của O trên ∆ và tính OH
+ Ta có thể gắn vào tam giác có đáy nằm trên đường thẳng a và có đỉnh là
điểm O.
2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
O

Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng
(α). Gọi H là hình chiếu của O trên
(α). Khi đó: OH= d (O,(P))
* Nhận xét
- ∀M ∈ (P), OM ≥ d (O,(P))

H
P

* Một số kiến thức thường được sử dụng:
1. Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy
2. Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc
hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy
3. Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao
tuyến của hai mặt bên này
4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng
nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
5. Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân
đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

2

3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
O

Định nghĩa: Cho điểm đường thẳng a
song song với mặt phẳng (P). Khi đó:
d (a,(P)) = OH
* Nhận xét
- ∀M ∈ ∆, N ∈ (P), MN ≥ d (a,(P))

a
M

P

* Phương pháp: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P)
được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
d (a,(P)) = d (M,(P))
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song là khoảng cách từ
một điểm bất kì của mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia. Kí hiệu d ((α );( β ))
* Nhận xét
∀M ∈ (Q), N ∈ (P), MN ≥ d ((P);(Q))

M

P

Q

* Phương pháp: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy
về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
d ((P);(Q)) = d(M,(Q)) .
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồng
thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN
gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d (a, b) .
* Nhận xét
- ∀M ∈ a, N ∈ b, MN ≥ d (a, b)
- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
+ Tìm H và K từ đó suy ra d (a, b) = HK
+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó
d (a, b) = d (b,( P ))
+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó
d (a, b) = d (( P),(Q))
* Lưu ý:
3


- Nếu a ⊥ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo
ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó
d (a, b) = IH
- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung
điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Trong quá trình dạy học từ khi vào ngành đến nay, việc dạy học hình học

không gian đối với bản thân và giáo viên trong trường đang còn nhiều lúng túng.
Đặc biệt là trong đề thi đại học của các năm gần đây thường có câu hình liên
quan đến tính khoảng cách. Qua quá trình theo dõi kết quả thi của các em học
sinh nhiều năm trước thì bản thân tôi thấy rằng có một số học sinh học lực giỏi
thường làm tốt các bài toán này. Tuy nhiên số lượng đó không nhiều. Một điều
đáng tiếc và làm ta phải suy nghĩ là tại sao còn một số lượng tương đối lớn vẫn
bỏ câu này hoặc làm sai? Điều này rõ ràng trách nhiệm đầu tiên là ở bản thân
giáo viên dạy, vẫn chưa nêu bật được bài toán gốc và giải quyết bài toán gốc về
vấn đề tính khoảng cách. Chưa hình thành cho học sinh các bước giải từng loại
bài toán tính khoảng cách và do vậy mà học sinh không được rèn luyện nhiều,
dẫn đến học sinh không thích và không làm được bài. Trên đây là một trong
những lí do mà học sinh còn chưa hứng thú với bài tập hình không gian, đặc biệt
là bài toán tìm khoảng cách.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết
vấn đề.
Để học sinh tiếp thu tốt phần này, giáo viên cần phân loại các bài toán tính
khoảng cách, đồng thời nêu cách giải và các bước giải cho từng loại một.
1. Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng
cách xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
Bài toán gốc: Cho mặt phẳng (P) và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). H là
hình chiếu của S trên (P), AB là đường thẳng bất kỳ nằm trong (P) (H không
thuộc (P)). Xác định hình chiếu vuông góc của H trên (P). Từ đó suy ra khoảng
cách từ H đến (P).
Cách giải
Trong (P) hạ HI ⊥ AB; Nối S với I.
Trong mp(SHI), hạ HK ⊥ SI. Khi đó HK ⊥
mp(SHI).
Thật vậy:
 AB ⊥ HI
⇒ AB ⊥ ( SHI ) ⇒ AB ⊥ HK


 AB ⊥ SH

(1) M

ặt khác:
HK ⊥ SI
(2)
Từ (1) và (2), suy ra: HK ⊥ mp(SHI).
4


Vậy d ( H ; ( SAB) ) = HK .
Xét trong tam giác SHI, vuông tại I.
HS.HI
⇒ HK =
HS2 + HI 2

S

K
B
H

I
A

Lưu ý: Nếu SHAB là tứ diện vuông tại H thì

1

1
1
1
=
+
+
HK 2 HS 2 HA2 HB 2

2. Bài tập vận dụng
Ở các bài toán sau nhằm mục đích giúp học sinh làm quen, nhận dạng và
vận dụng được bài toán gốc vào để giải quyết tìm khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh
bằng a, SA=a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB).
Lời giải
S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD). Qua O kẻ OI vuông góc với AB
⇒ (SOI) ⊥ (SAB).
Kẻ OH ⊥ SI ⇒ OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O;(SAB)) = OH
Ta có:
AC = BD = a, OI = .
S

Xét ∆SAO ta có: SO = SA - AO =
Xét ∆SOI: = + =
⇒ OH = a
Vậy: d(O; (SAB)) = a.

H

D

A
I

O
B

C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA
vuông góc với đáy, góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng 30 0. Tính khoảng
cách từ điểm A đến mp(SBC) theo a.
Lời giải
I là trung điểm của AC nên BI ⊥ AC

(1)
5


Lại có: BI ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABC))
Từ (1), (2), suy ra: BI ⊥ (SAC) ⇒ (ABC) ⊥ (SAC).
·
·
= 300 , BSI
< 900 .
Từ giả thiết (·SB;( SAC ) ) = 300 , nên BSI

(

Ta có:

a 3
· I = a 3 . 3 = 3a .
BI =
⇒ SI = BI .cot BS
2
2
2
Xét VSAI vuông tại A, ta có:
SA = SI 2 − AI 2 = a 2
Hạ AJ ⊥ BC ⇒ J là trung điểm của BC. Hạ AH
⊥ SJ ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ d ( A;( SBC )) = AH .
Ta có:

AH =

AS.AJ
AS2 + AJ 2

=

(2)

)

S

H
I

C

A

a 6
11

J

B

Ví dụ 3: (Khối D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’, đáy ABC là tam
giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a. M là trung điểm A’C’, I llà giao điểm của AM
với A’C. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
Lời giải
’
(IBC) chính là (A BC), do vậy
C'
B'
’
d(A; (IBC))=d(A; (A BC))
A'
Ta có (A’BA) ⊥ (A’BC)
M
’
(vì BC ⊥ (A BA))
’
(A BA) ∩ (A’BC)=A’B.
I
2a
Vậy hạ AH ⊥ A’B ⇒ AH ⊥ (A’BC)

H
⇒ d(A; (A’BC))=AH.
3a
'
AA . AB
2a 5
C
=
Lại có AH=
.
B
' 2
2
5
A A + AB
a
Vậy d ( A; ( IBC ) ) =

2a 5
5

A

* Nhận xét: Ở dạng bài tập này tương đối đơn giản và thường gặp trong các đề
thi đại học ở khối D trước đây. Tuy vậy đây là bài toán cơ bản và là nền tảng để
học sinh vận dụng vào việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn.
3. Bài tập củng cố
Bài tập 1: (Khối D-2013) Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là
·
hình thoi cạnh bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD), BAD

= 1200 , M là trung
6


·
điểm của BC và SMA
= 450 . Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ
D đến mặt phẳng (SBC).
Bài tập 2: (Khối D-2012) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy là
hình vuông, tam giác A’ AC vuông cân, A’C=a. Tính thể tích khối chópABB’C’
và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh
bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a.
a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SAD);
c.Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD);
2. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp dời
điểm
Mở rộng bài toán gốc
Ở bài toán gốc trên cho học sinh thấy được sự hạn chế của nó đó là SH ⊥
(HAB) thì việc tính khoảng cách từ H đến (SAB) là đễ dàng. Tuy nhiên trong
thực tế thường phải tính khoảng cách từ I đến (SAB) mà SI không vuông góc với
(SAB). Ở bài toán sau giúp ta khắc phục điều đó.
*Bài toán mở rộng:
Cho (P), S không thuộc (P), H là hình chiếu của S trên (P); AB là đường
thẳng nằm trong (P), H không thuộc AB. Với I thuộc (P). Tìm mối liên hệ giữa
d(I;(SAB)) và d(H;(SAB))?

Lời giải
d ( H ;( SAB )) KH

=
d ( I ;( SAB ))
KI
(với K là giao điểm của IH và (SAB)).

Ta có:

Như vậy nếu biết d(H; (SAB)) và tỉ số

KH
thì tìm được d(I; (SAB)).
KI

Trên đây cho ta mối liên hệ giữa d(I; (SAB)) và d(H; (SAB)).
S

I

H

M

N

B

I
H

K

K
A

7


* Quy trình tính d ( I ;( SAB ))
Bước 1: Xác định K = IH ∩ AB
KH
=m
Bước 2: Tìm
KI
d ( H ;( SAB )) KH
=
=m
Bước 3: Thiết lập tỉ số
d ( I ;( SAB ))
KI
Bước 4: Tính d ( H ;( SAB )) (Sử dụng phương pháp giải của bài toán gốc)
1
Bước 5: Tìm d ( I ;( SAB )) = d (H;( SAB ))
m
Bài tập áp dụng
Ví dụ 1: (Khối D năm 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam
·
giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, (SBC) ⊥ (ABC). SB = 2a 3 , SBC
= 300 . Tính
khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Lời giải

Bước 1: Thiết lập mối liên hệ giữa khoảng cách từ B đến (SAC) và khoảng cách
từ H đến (SAC).
CH
=?
Ta có: BH ∩ ( SAC ) = C và
CB
CH
=?
Bước 2:
Tìm
CB
3
VSHB vuông tại H, suy ra: BH = SB.cos300 = 2a 3.
= 3a.
2
CH 1
=
SH = SB.sin 300 = a 3. Vậy
CB 4
Bước 3:
S
Thiết lập
d ( H ;( SAC )) 1
= ⇒ d (B;( SAC )) = 4d ( H ;( SAC ))
d (B;( SAC )) 4
Bước 4: Tính d ( H ;( SAB ))
Như vậy để tìm d (B;( SAC )) ta tìm
K
d ( H ;( SAC )) . Việc tìm d ( H ;( SAC )) là việc vận
C

H
dụng bài toán gốc vào để giải.
B
Hạ HI ⊥ AC; nối S với I,
hạ HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SAC );
Ta có:
I
AB 3
3a
·
·
sin ACB =
= ⇒ HI = HC.sin ACB =
AC 5
5
A
.
8


Vậy
Bước 5:

HK =

HS .HI
HS 2 + HI 2

=

⇒ d ( B;(( SAC )) =

3a 7
14

6a 7
7

Ví dụ 2: (KA-14). Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD=

3a
2

. Hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ A
đến mặt phẳng (SBD).
Lời giải
Nhận thấy SH không vuông góc với (ABCD). Tuy nhiên SH ⊥ (ABCD).
Như vậy ta có thể chuyển về việc tính d (H, ( SBD )).
Bước 1: Ta có AH ∩ (SBD)=B.
BH 1
=
Bước 2: Mặt khác
BA 2
BH 1 d ( H ;( SBD))
= =
Bước 3:
BA 2 d ( A;( SBD))
⇒ d ( A;( SBD)) = 2d ( H ;( SBD))
S

Bước 4: Từ H hạ HI ⊥ BD (suy ra
I là trung điểm BO).
Trong mặt phẳng (SHI), hạ HK ⊥ SI.
Khi đó: HK= d ( H ;( SBD))
HI =

2

AO a 2
=
2
4

K

a2 a 5
HD = AD + AH = a +
=
4
2
2

3a

2

H

2

B

A

I

D

a

O
C

9 a 2 5a 2
SH = SD − HD =
−
=a
4
4
a 2
a
.
HS .HI
a
4
HK =
=
= .
Bước 5:
HS 2 + HI 2

a2 3
2
a +
8
’ ’ ’
Ví dụ 3: (KB-14) Cho lăng trụ ABCA B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình
chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa A ’C và đáy bằng 600.
tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’).
Xét VSHD vuông tại H:

2

2

9


Lời giải
Ta có:

A'

HC =
Bước 1:
Bước 2:

a 3
3a
⇒ A′H = HC.tan 600 =
2

2
’
BH ∩ (A AC)=A.
AH 1
= .
AB 2

B'

C'

K
A

H
Bước 3:
I
AH 1 d ( H ;( A′AC ))
= =
AB 2 d ( B;( A′AC ))
C
⇒ d ( B;( A′AC )) = 2d ( H ;( A′AC ))
Bước 4: Từ H hạ HI ⊥ AC; Nối A’ với I; hạ HK ⊥ A’I.
Ta chứng minh được HK ⊥ (A’AC).
HA′.HI
3a 13
3a
=
Ta có: HI = HA.sin 600 =
. Vậy: HK =

26
4
HA′2 + HI 2
3a 13
Bước 5: ⇒ d ( B;( A′AC )) =
13
Bài tập củng cố

B

Bài tập 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a,
·
góc BAD
= 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a.
a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc với đáy, SA=a. Tính các khoảng cách sau:
a. d (A;( SBC )) b. d (A;( SBD)) c. d (A;( SCD)) d. d (O;( SCD))
e. d (C;( SBD)) f. d (G;( SCD)) g. d ( H ;( SCD))
(G, H lần lượt là các trọng tâm các tam giác SAC, SAB)
Bài tập 3: Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân tại A,
AB=AC=a; M là trung điểm của AB. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC. Góc giữa SB với mặt
phẳng đáy bằng 600.
a. Tính thể tích khối chóp SABC;
b. Tính khoảng cách từ C đến (SAB).
3. Phương pháp sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách
1
3V

1. Phương pháp: Thể tích của khối chóp V = S .h ⇔ h =
. Theo cách
3
S
này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S
(Phần này chỉ áp dụng và triển khai cho đối tượng học sinh lớp 12 khi đã học về
phần công thức thể tích khối đa diện).
10


2. Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =
a, SA = a 2 . Gọi M, N,
P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD.
Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN).
Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối
chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy
ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P
đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các
khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có
thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB).

S

M

N

D

P
C

A

O
B

Lời giải.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO ⊥ (ABCD).
1
1
a2 7
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên S AMN = S ANS = S ABS =
2
4
16
PC / /( AMN ) ⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = d ( (C ,( AMN )) ) .
1
1 1
⇒ VP. AMN = S AMN .d ( ( P,( AMN )) ) = . S ABS .d ( (C ,( AMN )) )
3
3 4
1
1
1 1
= VC . ABS = VS . ABC = . S ABC .SO . S ABC = 1 a 2 , SO = SA2 − AO 2 = a 6 .
4
4
4 3

2
2
3
3V
6
1 1 a 6 a 6
⇒ d ( ( P,( AMN )) ) = PAMN = a
Vậy
VAMNP = . a 2 .
=
S AMN
7
12 2
2
48
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông
góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK).
Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một
mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác
AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.
Lời giải
2
Cách 1: Ta chứng minh VOAHK = VSABD
9
2
1
1
1 2
2

Ta có: HK = BD; OG = SO ⇒ SOHK = HK ×OG = × BD ×SO = S SBD
3
3
2
2 9
9
2
2 1
1
a3 2
⇒ VAOHK = VSABD = × SA × AB ×AD =
9
9 3
2
27
11


1
Cách 2: VOAHK = S AHK .d ( O; ( AHK ) )
3
Trong đó:
1
1
1
3
a 6
;
=
+

=
⇒
AH
=
AH 2 AB 2 AS 2 2a 2
3
a 6
∆SAD = ∆SAB ⇒ AK = AH =
3
Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng
vuông góc với SC nên HK // BD.
AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác
SAC, G thuộc HK nên:

S

K

I

G
H

D

A

O
B

C

HK SG 2
2
2 2a
.
=
= ⇒ HK = BD =
BD SO 3
3
3
Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG ⊥ HK và
2
2 1
1
2a
AG = AI = . SC = .2a =
3
3 2
3
3
1
1 2a 2 2a 2 2a 2
S AHK = AG.HK = . .
=
2
2 3
3
9
1

1
1
VOAHK = VAOHK = d ( A; ( OHK ) ) .S ∆OHK = d ( A; ( SBD ) ) .S ∆OHK = h.S ∆OHK
3
3
3
Tứ diện ASBD vuông tại A nên:
1
1
1
1
5
a 10
=
+
+
= 2 ⇒h=
2
2
2
2
h
AS
AB
AD
2a
5
Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng
1
1 a 10 2 2a

5a 2
1
2a 3
S = OG.HK = .
.
=
⇒ VOAHK = Sh =
2
2 6
3
9
3
27
3
2a
3×
3V
27 = a
⇒ d ( O; ( AHK ) ) = OAHK =
S AHK
2
2 2a 2
9
3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1. (Đề thi Đại học khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có
đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt
phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa
hai đường thẳng AB và SN theo a.

12


Bài tập 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2013). Cho hình chóp S.ABC có
·
đáy là tam giác vuông tại A, ABC
= 300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên
SBC vuông góc với đáy.
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng (SAB).
Bài tập 3. (Đề thi Đại học khối B năm 2013).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính
của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
4. Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Để giải quyết bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta
chia thành hai loại:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau tùy ý.
4.1. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau
Trong trường hợp này ta xác định đoạn vuông góc chung giữa hai đường
thẳng chéo nhau đó. Từ đó tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
4.1.1.Bài toán và quy trình giải:
Bài toán: Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau và a và b vuông góc với
nhau. Xác định đoạn vuông góc chung giữa a và b.
Các bước giải:
Bước 1: Xác định mp(P) chứa b và
vuông góc với a.
(Từ M bất kì thuộc b, kẻ MH vuông
góc với a. Khi đó (MH; b) chính là

(P).
Bước 2: Xác định giao điểm của (P)
và a (giả sử là H).
Bước 3: Từ H hạ HK vuông góc với
b. Khi đó HK là đoạn vuông góc
chung của a và b.
Bước 4: Tính khoảng cách đó

a

H

b
K

(P)

4.1.2. Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có các cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ OA đến
BC.

13


Bước 1: Rõ ràng OA và BC chéo
nhau và vuông góc với nhau.
Chọn mặt phẳng chứa BC và vuông
góc với OA.
mp ( OBC ) ⊃ BC


OA ⊥ (OBC )
Bước 2: Xác định giao điểm của OA
và mp(OBC).
mp ( OBC ) ∩ OA = O
Bước 3: OH ⊥ BC . Khi đó OH là
đoạn vuông góc chung của OA và BC.
Bước 4: Tìm OH:
OB.OC
a 2
OH =
=
2
OB 2 + OC 2

A

C

O

H
B

Ví dụ 2: (Đề thi Đại học khối A năm 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo
a.
Lời giải
·

⇒ MD ⊥ NC .
Ta có: ∆MAD = ∆NCD ⇒ ·ADM = DCN
Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MD ⊥ SH
MD ⊥ ( SHC )
Kẻ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) .
Suy ra HK là đoạn vuông góc chung
S
của DM và SC nên:
d ( DM , SC ) = HK
Ta có:
CD 2 2a
HC =
=
CN
5
K
N
A
D
SH ×HC
2 3a
HK =
=
×
H
19
SH 2 + HC 2
M
2 3a
d ( DM , SC ) =

Vậy
B
C
19
Ví dụ 3: (Đề thi Đại học khối B năm 2007).
14


Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E đối
xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm
của BC. Chứng minh MN vương góc với BD và tính khoảng cách từ MN đến
AC.
Lời giải
SD và AC chéo nhau. Chúng có vuông góc với nhau không?
a
 HD = 4 HM
MA
HA
HM
1 ⇒
Ta có:
2
=
=
=
=
HC = 4 HA
CD HC HD 2a 4 
Lại có:
AC = AD 2 + DC 2 = a 5

a 5
2
4
2a 5
4
4a 5
và HC = AC =
⇒ HD = MD =
5
5
5
5
Xét tam giác HDC có:
4a 2 16a 2
2
2
HD + HC =
+
= 4a 2 = CD 2
5
5
MD = AD 2 + AM 2 =

S

Vậy tam giác DHC vuông tại H hay
MD ⊥ AC .
SD ⊥ AC vì hình chiếu của SD là HD
lên (ABCD) và HD ⊥ AC .
Vậy từ H dựng HK ⊥ SD ⇒ HK là đoạn

vuông góc chung của SD và AC.
SH ×HD
2 a 2 5 5 2a
HK =
=
× = .
5
3a
3
SH 2 + HD 2

K
a

A
M

D
H
2a

B

C

4.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bất kỳ.
4.2.1. Phương pháp:
Bước 1: Dựng mp(P) chứa b và song song với a
Bước 2: Chuyển hóa khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau về khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Bước 3: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
4.2.2. Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB=BC=2a; (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. M là trung điểm của AB;
mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa (SBC) và
(ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa AB và SN theo a.
Lời giải
15


( SAB ) ⊥ ( ABC )

⇒ SA ⊥ ( ABC ).
( SAC ) ⊥ ( ABC )
( SAB ) ∩ (SAC) = SA

Từ giả thiết góc giữa (SBC) và (ABC)
·
bằng 600, suy ra SBA
= 600 .
Bước 1: Dựng mp(P) chứa SN và
song song với AB.
Gọi P là trung điểm của BC, khi đó AB//
(SPN).
Bước 2: Chuyển hóa khoảng cách
hai đường thẳng chéo nhau về khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Từ đó suy ra:
d ( AB, SN ) = d ( AB,( SNP )) = d ( A,( SNP ))
Kẻ AE ⊥ NP, AH ⊥ SE.

Bước 3: Tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
Khi đó:

S

H

E
A

C

N
P

M
B

d ( A,( SNP )) = AH
=

AS. AE
AS2 + AE 2

=

2a 39
13

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB.
Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính khoảng cách giữa SA và BC
theo a.
Lời giải
·
= 600
(·SC ,( ABC ) ) = SCH
• Gọi I là trung điểm của AB,
khi đó ta có: IH=IB-HB=
IC=

a
,
6

a 3
2

a 7
3
a 21
⇒ SH = CH .tan 600 =
3
Bước 1: Dựng d qua A và song song
• CH= IH 2 + IC 2 =

16

với BC. Khi đó gọi (P) là mp(d,SA)
và:
Bước 2:
d ( BC , SA ) = d ( BC ,( P)) = d ( B,( P )) .

S

K
E

I
A

H

B

C

Bước 3: Tính d (H,( P ))
Kẻ HE ⊥ d, HK ⊥ SE. Suy ra HK ⊥ (P), nên:
HS .HK
d (H,( P )) = HK =
HS 2 + HK 2
2
a 3
a 42
Do HA=2HB nên HE = AF=
⇒ d ( H ,( P )) = HK =
3

3
12
d ( B,( P )) AB 3
=
=
• BH ∩ (P)=A ⇒
d ( H ,( P )) AH 2
3
a 42
.
d ( B,( P)) = d ( H ,( P)) =
2
8
a 42
Vậy d (BC,SA) =
8
4.2.3. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
cạnh bên SA ⊥ mp(ABCD) và SA= a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
1, SB và AD;
2, BD và SC;
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
a. SA vuông góc với đáy góc tạo bởi SC và (SAB) là 30° . Gọi E,F là trung điểm
của BC và SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau DE và CF.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Sau khi áp dụng sáng kiến trên vào dạy học thì có sự chuyển biến rõ
rệt, đặc biệt là các em có học lực từ TB trở lên, các em đó chịu khó suy nghĩ, tìm
17

tòi, lời giải cũng mạch lạc hơn. Đặc biệt là các em không những nắm vững kiến
thức SGK, các em còn tích cực tìm tòi khai thác và phát triển bài toán trước, làm
được các dạng bài tập về tính khoảng cách , đã có chuyển biến rõ rệt tăng 50%
Hs trở lên biết cách làm và trình bài hình, cụ thể:
Khối 11

Tổng
Giỏi
số
HS SL %

Khá
SL

%

TB
SL

%

Yếu

Kém

SL

%

SL

%

2016 – 2017

40

10

25

15

37,5

15 37,5

0

0

0

0

2017 – 2018

45

13

29

17

37,7

15 33,3

0

0

0

0

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đã giải quyết được những vấn đề sau:
1. Giúp học sinh ôn tập lại kiến thức về hình không gian, đặc biệt về phần
khái niệm và cách tính khoảng cách.
2. Phân loại cho học sinh các dạng tính khoảng cách.
3. Hệ thống cho học sinh nắm vững được các loại bài tập tính khoảng cách.
4. Hình thành và rèn luyện cho học sinh làm việc khoa học thông qua quy
trình và các bước giải từng loại bài toán.
5. Đưa nội dung cho học sinh ở từng cấp độ kiến thức.
6. Đưa ra hệ thống các bài tập cùng dạng để các em rèn luyện, củng cố thêm.
7. Tạo cho các em khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, phát huy tối đa tính

tích cực của học sinh theo đúng tinh thần phương pháp mới của Bộ giáo dục và
đào tạo. Điều quan trọng là tạo cho các em niềm tin, khắc phục được tâm lí sợ
bài toán về hình học không gian.
3.2. Kiến nghị
- Đối với nhà trường:
+ Cần tạo điều kiện thuận lợi hơn nữa về thời gian cũng như tài liệu để giúp
giáo viên, nhất là giáo viên dạy bồi dưỡng HSG giảng dạy tốt hơn.
+ Trang bị thêm đồ dùng dạy học, sách tham khảo để phục vụ tốt hơn cho công
tác giảng dạy, tự học, tự nghiên cứu của giáo viên và học sinh.
- Đối với ngành:
+ Tôi kính mong các cấp lãnh đạo tổ chức thêm các buổi hội thảo về bộ môn
Toán, các chuyên đề bồi dưỡng nghiệp vụ cho giáo viên. Nhất là các đồng chí
cốt cán chuyên môn,các đồng chí bồi dưỡng học sinh giỏi lâu năm có kinh
nghiệm nên truyền đạt trao đổi kinh nghiệm của mình để lớp trẻ chúng tôi có cơ
hội giao lưu học hỏi, nhằm nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ đáp ứng
được nhu cầu ngày càng cao của học sinh hiện nay.
+ Tổ chức các buổi thảo luận, giới thiệu các sáng kiến kinh nghiệm có chất
lượng cao, ứng dụng lớn trong thực tiễn.
18


Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 4 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác.

Nguyễn Thế Anh

Trần Thị Trang

19


TÀI LIỆU THAM KHẢO
**********
[1]. SGK hình học 11,12 tập ( Nhà xuất bản Giáo dục – Năm 2015)
[2]. SBT ; SGV hình học 11, 12( Nhà xuất bản Giáo dục – Năm 2015)
[3]. Tài liệu về đổi mới phương pháp dạy học chung - Nguyễn Thị Thanh
Thủy, (Nhà xuất bản giáo dục – Năm 2015)
[4]. Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 11 ( Lê Hoành Phò - XB
2015)
[5]. Tài liệu chuyên toán THPT - Nhà xuất bản Giáo dục - Năm 2012)
[6]. Đề kiểm tra toán lớp 11 - NXB Giáo dục Việt Nam
[7]. Báo Toán học tuổi trẻ tháng 1, 4, 7 (XB - năm 2017)
[8]. Tài liệu tập huấn giáo viên THPT bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán
[9]. Các tài liệu, giáo án ôn luyện giáo viên giỏi cấp trường, cấp tỉnh
[10]. Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên chu kì 3
[11]. Nguồn:
/>
20