CHUYÊN ĐỀ CÁC BÀI TẬP VỀ HÌNH CHÓP TRONG HÌNH HỌC 12

CHYÊN ĐỀ HÌNH CHÓP
GÓC – KHOẢNG CÁCH

Quan hệ song song – vuông góc là một mảng vô cùng quan trọng trong chương trình
hình học không gian nói chung và trong những bài toán có liên quan đến hình chóp nói riêng. Và
một trong những ứng dụng quan trọng nhất của quan hệ song song – vuông góc trong việc giải các
bài toán hình học không gian cũng như các bài toán có liên quan đến hình chóp là tìm góc và
khoảng cách.Ta đến với những bài toán sau:


Bài 1: Cho (),(
(

=



(
 = (,(P)), MAM = , MAA = 

) (A  (



,,.

Gi i :
( ')

 (

( )

  (), A  (P)

 AA  (P)
* AA // (Q)
MA  (P)
 MMNA
N = ch M/(P)

MA // MN
 MM // AN

O

MA  AN

A'

H
N

=
AA2 = AM2 – AM2

A

= AN2 + MN2 – (AN2 + MN2)
= AN2 – AN2
 AA  AN

=



MM2 = AA2 + AN2 = MA2 + MA2 – 2MA.MA.cos 
A = cot .x
AN = cot .x
MA =

x
sin 

:


x
sin 

MA =

1
1
cos  

2

2
2
sin  .sin  
 sin  sin 

cos 
 cot2 + cot2 = 2 + cot2 + cot2 - 2
sin  .sin 


 x2(cot2 + cot2) = x2 

 cos  = sin .sin
Bài 2:
=



=

 CA, SF  CB. CMR:

a. SC  EF

b.

tan 4 ( SCI ) EB

1
tan 4 ( SCA) AB

Gi i :
C

2

= BC2 – SB2 = 4SA2 – SB2
SC2 = AC2 – SA2 = 4SB2 – SA2
 SA = SB  AC = AB
* SE =

SC.SA
AC

SF =

F
E

SC.SB
AB
S

 SE = SF

B

:



ê

 SC

I

2

SC
EF CE
SC 2
AC



:
AB CA AC
AC 2

:

=

2 .SA (do 

2
AC
2
SC 2
2 SC 2

.
EF =
AC 2

2 AC
SA 1

CS

3
  
  SAC =
 cos     cos 
:

AC 2
AC
6
2
3
2 3
6
AB
CS = AC 2  SA2 = SA 3 =
2
2 3 6
3
EF 3
.
.
. AB = AB 
 (1)
:
=

2 2 2
4
AB 4

=

A


1
AB
SI
6
2
* tan SCI =


SC
6
6
AB
2
SA
SA
3
tan SCA =


SC SA 3
3

4
tan SCI 1

 (2)
tan 4 SCA 4
tan 4 ( SCI ) EB 1 3
:

  1
tan 4 ( SCA) AB 4 4

Bài 3:
=

,N 
=

ê


4

b. ((SAM),(SMN)) =
2



:

a. ((SAM),(SAN)) =

Gi i :
S

a. AM  SA, AN  SA  MAN = ((SAM),(SAN))
SA = (SAM)  (SAN)

=
:
4
2
2 AM  AN 2  MN 2
cos MAN =

2
2 AM . AN

A

D
N

B

M

C

 2. a 2  (a  x)2 . a 2  (a  y)2 = a2 + (a – x)2 + a2 + (a – y)2 – (x2 + y2)
 2[a2 + (a – x)2].[a2 + (a – y)2] = [4a2 – 2a(x + y)]2

 a4 + a2[2a2 – 2a(x + y) + x2 + y2] + (a2 + x2 – 2ax)(a2 + y2 – 2ay) = 2[2a2 – a(x + y)]2.
 a4 + 2a4 – 2a3(x + y) + a4 + a2(x2 + y2) + 4a2xy – 2a3(x + y) + x2y2 – 2axy(x + y) = 8a4 – 8a3(x +
y) + 2a2(x2 + y2) + 4a2xy
 x2y2 + 4a3(x + y) = 2axy(x + y) +4a4
(SAM)  (SMN)
  SM ( M 
:
 NM '  SM
 NM '  ( SAM )

 SM  ( SAM )  ( SMN )

 NM  SA
:
 (ABCD)  SA  NM
:  M


 MN  (SAM)
 MN  AM


:

2

+ MN2 = AN2
 a2 + (a – x)2 + x2 + y2 = a2 + (a – y)2
 2x2 = 2ax – 2ay
 x2 = a(x – y).

Bài 4:

D. AB = 2a, AD = CD = a

=

2.

b
Gi i :

S

K

=




 CAB =


hay CA  CB
2


 BC = AC = a 2 , SD = a 3
 SC = 2a
 SC2 + BC2 = SB2.

 SC  CB


= SCA =

:

I
A

:

=

6,
D


.
4

E

=
I = ch A/SC
SC  CB 
  CB  ( SAC )  AI 
AC  CB 

 SC 

AI  (SBC)
 AI  SB
 SB  (AIK)
AK  SB
 KI  SB  (A, SB, C) = AKI
:

=
AK =

a 2.2a
2 3
 a.
3
a 6

SI
KI
SI .BC a.a 2
3

 KI 

a
SB BC
SB
3
a 6
a 2 4a 2

 AI2 + KI2 = a2 +
=
= AK2
3
3



H

C

B


 sin AKI =

 AKI =




3

AI
a
3


AK a 2 3

2
3

SC  CE 
  (( SCB), ( SCD)) = ECB
SC  CB 

+ SE.SD = SC2  SE =

 DE =

4a 2
4 3
=
a
3
a 3

4 3
3
4
3
a  CE2 = DE.SE =
a.
a  a2
3
3
3
3

BD  a 5 

SD 2  SB 2  BD 2 2 2

+ SB  a 6   cos ESB 
2SD.SB
3

SD  a 3 

 BE2 = SE2 + SB2 – 2.SE.SB.cos ESB
=

2 2 4 3
2
16 2
.
a. 6a  a 2
a + 6a2 – 2.
3
3
3
3

4 2
2
a  2a 2  a 2
CE 2  CB 2  EB 2
3  6
 cos ECB =

= 3
2.CE.CB
3
2 3
2.
a. 2a
3
6
 ECB = arccos
3

Bài 5: Cho 

ê


Gi i :

S

Q

P

A
M

O

B

E

P'

D

C

 SO  AB

(SAB)  (ABCD) = AB
 SO  (ABCD)
 SO 
 BC  (SAB)

 AE = MC = SE =
AM = EC =

Q'

a
2

 AB

a 5
2


 MC // AE
 (MC,SA) = (AE,SA)
AE 2  SA2  SE 2
=
2. AE.SA

a2
5

5
5
2a
.a
2
2 5
a 3
 sin (MC,SA) =
=
5
2
1
1
1 a 3 a
a3 3
: S.AMC = SO.SAMC = SO.DC.MA = .
.a. =
3
6
6 2

2
24
1
1
: VS . AMC  SA.MC.sin  MC , SA .d  SA, MC  VS.AMC = SA.MC.sin (MC,SA).d(SA,MC)
6
6
3
a 3
1 a 5 2 5

= a.
.
.d ( SA, MC )
24
6
2
5
a 3
 d(SA,MC) =
4

 cos (MC,SA) =

b.
g PQ // AD (Q  SA)
 PQ // BC

 // SO
 QQ  (ABCD)

  (ABCD) (P  (ABCD))
 (PQBC) = ch (PQBC)/(ABCD)
:

=

 P  OD, Q  OA
=
SP
x

SD a 2

 x  SD = a 2

D)




SP
x
OP '


PD a 2  x P ' D



OP ' SP

x


OD SD a 2

 OP =

x
a 2

. a2 

a2
4

OP ' OQ '
x


OD OA a 2

 OQ ' 

x 2
4

PQ / / AD

  P ' Q '/ / AD
P ' Q '  ch( PQ) / ( ABCD) 

 PQ  AB  PQ =

S

+

’ ’

5x2 x2 x 2


8
8
2

1
1  a x 2 
x 2  1
x 2
= .QB.(PQ + BC) =  
=
a

a






2
2 2
2 
4 
2  4 


SP PQ
x


SD AD a 2

 PQ =

x 2
2
1

1

1

 AQ  SQ 
QQ ' AQ  SA 
x
a 2x






+
 
  1 

SH
SA  AQ 
a 2
 a 2x
 AQ 
a 2x
. 6
 QQ =
4

Do QQ  QB

2

 QB =

=

a x 2 3
Q ' B  QQ '   
  a 2x
4  8
2
2

2

a 2 ax 2 x 2 3 2 3 2
3

  a 
ax  x 2
4
4
8 4
4
8





2

2


=

a2 

a 2
x2
x

2
2


1 2 a 2
x2  x 2
 SPQBC =
a 
x  
 a 
2
2
2  2

x 2
1
1
a 2x
2
 cos ((P),(ABCD)) =

2
2
2
2 2a  a 2 x  x 2
a 2
x
a2 
x
2

2
a

a 2x

=

(x) =

x  [o;a 2 ]

2a 2  a 2 x  x 2

 2a

6a 2  3xa 2
2

 ax 2  x

2



=

2a  a 2 x  x
2

2

>0

x  [o;a 2 ]

min f(x) = 1



Bài 6:



ê


.

Gi i:

SI  BC
(SAI)  BC


AI  BC
SIA  ((SBC), (ABC))  

J  SA ( J  SA ).
: CJ  SA
(BJC)  SA

BJC  ((SAB), (SAC))  

Suy ra: 

+ (BJC)  SA  IJ  SA 
J=J


  BJI  ((SAI),SAB)) 
BJ  SA 
2
BJC
ê BJI 
)
2

ê


S (ABC) 

=
1

1

ABC

3

1

3

a2

31

S
 SH.AI  a
HI.tan   a
a
.tan   tan 
SAI 2
2 2
2 2
2 3
8
1
BI
1 a
a2
1
a2
SH 2  AH 2 .

tan 2   a 2 

2
sin BJI 2 2.sin  12

3
4.sin
2
2
(SAI)  BC  I  chS (SAI)
1
2

+ SSAB  BJ.SA 

 S

 S

SAI

SAB

a2
 tan  
8

 tan 2  

SAB

.cos BJI  S

SAB

tan 2   4

.cos
12
2

a2
4.sin

.cos ((SAB),(SAI))  S


2

tan 2   4

.cot 2
3
2

 3.tan 2 .tan 2


 tan 2   4  tan 2  
2

4
3tan 2



1
2

Bài 7:
=
ở 

ỉ



ê
Gi i:
S

E

D
M
A

C
H

N
B

.cos



2

tan 2   4
12

+


SN  CD

 SNM  ((SBC), (ABCD))  
MN

CD


 SC.

: BD  SH 

  BD  (SHC)
HC  BD 

 BD  SC
 (BDE)  SC  (BDE)  (SCD)

=
:

S.ABCD,

( hay (BDE)  (P))

V1 = VC.EBD , V2

V1
V1
1 CE


V 2.VS.BCD 2 SC

:
 SC  SN 2  NC2  NH 2 .

1
a
1
a
 NC2 
1 
cos 2   1
2
2 cos 
2.cos 
cos SNM
2

(BDE)  SC  BE  SC
1

1

SSBC  BE.SC  SN.BC  BE.SC  SN.BC
2
2
a 1
a
SN.BC
a
2 cos 
 BE 


SC
a
1
1  cos 2 
1
2
2 cos 
a2
a.cos 
 CE  BC  BE  a 

2
1  cos 
1  cos 2 
2

2

2

Suy ra:
a.cos 
V1 1

V 2

1  cos 2 

a
1  cos 2 
2.cos 
V1
V

 cos 2   1
V  V1
V2



cos 2 
1  cos 2 


Bài 8:

=

=

ê

=

ê

=

=

(M  BC, N  CD)

:
1)
a.  SOM    SMN 
b.  SON    SMN 

PQ = d(SM, ON)
:
: SOM   SMN  .

’

’  SM).

 NM '  SM

 NM '  (SON)
SM  SON   SMN 

: 

 NM'  SO

  ABCD   SO  NM

:


:

’  MN  SOM   MN  OM

SON   SMN 
OM 2  MN 2  ON 2

(1)

=  CM = b – x
DN = y  DN = a – y
 BN 2  b 2  (a  y ) 2
AN 2  b 2  y 2
MN 2   b  x    a  y 
2

2

a2
 x2
4
2 BN 2  2AN 2  AB 2 4b 2  2(a  y ) 2  2 y 2  a 2
 ON 2 

4
4
OM 2 

ê


e

:

4b 2  2(a  y ) 2  2 y 2  a 2 a 2
2
2
  x2  b  x    a  y 
4
4
2
2
 2bx  ay  2 x  a

: 2bx  ay  2 x2  a 2


ê

 MN

: 2y2  2b2  a 2  2bx  3ay
PQ  SM
PQ  ON

2) PQ = d(SM, ON)  

(1)

:
2
2
2
ON 2 4b  2  a  y   2y  a
OQ 

4
16
2

2

4b 2  2  a  y   2y 2  a 2
2

SQ  OQ  SO  a b 
2

2

2

2 2

SM 2  SO 2  OM 2  a 2 b 2 

 OP 2  SP 2 

a 2b2 

16
2

a
 x2
4

a2
 x2
4
4

:
PQ2  SQ 2  SP 2  OP 2  OQ 2
 SQ 2  OQ 2  SP 2  OP 2  2OP 2
4b 2  2  a  y   2y 2  a 2
2



a b 

16
 2a b  2b  2y 2  x 2  2ay
2 2

4b 2  2  a  y   2y 2  a 2
2

2 2

16

2

:
2a 2 b2  2b2  2y2  x 2  2ay



4a 2 b 2  a 2  4x 2
8


9:
’
’ ’

:
E  C'D' CD  C'E  SC
 SC  K  SC 

 DK / /C'E
 (C 'D ', AD)  (C 'E, AD)  (DK, AD)  ADK



SA  CD 
  CD  (SAD)  CD  SD
CD  AD 
C'E  SC ê



a 6
2

=

’  SC  CC ' 

EC'C 

: SDC ồ

AC2
AC2



SC
SA 2  AC2

2a 2



2 14
a
7

C 'E C 'C
(1)

SD
CD

3 2
a  2a 2
2
2 14
3 2
a
a  a2
SD.CC ' CC ' SA 2  AD 2
2 35
2

 7


a
: ’ =
CD
CD
a
7
8 2 20 2
 EC  CC '2  C ' E 2 
a  a  2a
7
7
CD 1 DK CK

 

(do DK / /EC ')
EC 2 EC ' CC '

35
a
DK 

7

CK  14 a

7

 cos SCA =

AC a 2
2 7


SC
7
14
a
2

’

’


 AK 2  CK 2  AC2  2CK.AC.cosSCA
2 2
14 2 7
a  2a 2  2.a 2.
a.
7
7
7
8
 a2
7
2 14
 AK 
a

7
5
8
a2  a2  a2
2
2
2
DA  DK  AK
7
7  2 35
+ cos ADK 

2.DA.DK
35
35
2a
a
7
2 35
 ADK  arccos
35


Bài 10:
BAD  60o
3
= a.
4

 (ABCD)

:


J

 SJ ( H  SJ )



SO  (ABCD) 
  BC  (SIJ)  IH  BC
IJ  BC


 IH  (SBC)  IH  SB

 AD // BC  IH  AD
=

SB)

3
a
4
3
Suy ra : IH = 2.OF = a
4

= J=

ê

= SAD   SBC 

J

:

=

3
a
8


SIJ   AD 

SI  AD  SI  d
(do d / /AD / /BC)
 
SJ  AD  SJ  d

 ISJ  ((SAD), (SBC))

:
3
a
2

 IJ = 2.OI =

 SI  SJ  SO2  OI2 

9 2 3 2
3
a  a 
a
16
16
2

 ISJ  60o

 SIJ

ISJ  60o

:Ở
:
+ BAD  60o 

ABD
3 2
S

a
ABD 4
SO  (ABCD)

Suy ra : VS.ABD =

1
SO.S
3

ABD



13
3 2
3 3
a
a 
a
34 4
16

:
VS.ABD =

1
SB.AD.d(AD,SB).sin (AD,SB)
6

:
9 2 1 2
13
a  a 

a
16
4
4
9 2 3 2
21
a  a 
a
 SC = OC2  SO2 
16
4
4
 AD // BC  (AD,SB)  (BC,SB)  SBC
13 2
21
a  a2  a2
SB2  BC2  SC2 16
16  13
cosSBC 

2.SB.BC
13
13
2.a.
a
4
2 39
 sin SBC 
13

 SB =

OB2  SO2 

(1)


Suy ra: VS.ABD =

3 2
a .d(SB, AD)
12

(2)

:

=

3
a
4

ỉ

ơ

ú

ổ

Bài 11:

=
CH 
()

=

CA
6
, SH 
a
3
3

J

J

()

:
=

ABC  60o

3

1

3

Suy ra : AK  CA 

3
AK
3
a  tan ABK 

 ABK  30o
3
AB
3

Á

ụ

ý

e e

:
BI MC NS
1 MS
.
.
1 .
.(1)  1
2 MC

BC MS NI
MS

 2
MC

J
J

Á

ụ

e e

:

TA MC JS
MS
.
.  1  (2).
.(1)  1
TC MS JI
MC
TA 1


TC 2

:

Suy ra :  BTC

 TBA  ABC  60o .

:  BK  TB

(3)

(2)

(1)

ỉ

ỏ


ê
ê
J

ù

ê

 JK  TB

J ê
3

(4)

: (JBK)  TB

4

 JBK  ((),(ABC))

: JK 
 cos JBK =

BK 2 2

BJ
3

Bài 12 :
’

6
2 3
6
a, BK 
a  BJ 
a
6
3
2

’ ’

’ ’

’ ù

’

’C.
:
’ ’

’

’

 CD ( K  CD ).
 ’

H  B'K ).

’
J

’

J

’
:


CD  BK
 CD  (B'BK) 
BH  B'C

  BH  (B'DC)  
CD  BB'
BH  DB'

BH  B'K


’

’

ê



’


BH  B'C
BH  A 'B

J

ê 

J
Bài 13 :

ụ
=

;
ê

c
:

 SK  H  SK 

J

J
ụ

ê

 AB

 KE  AB
  KE  (SAK)  KE  BH
KE  SA 


BH  SK 
  BH  (SKE) 

+ BH  KE 
  IJ  (SKE)  IJ  KE  IJ  BD (do BD / /KE)

IJ / / BH


+ IJ  (SKE)  IJ  SC
J
a
2

: KB  , KC 

a 3
3a
a 13
, KA  , KS  SA 2  AK 2 
2
2
2

=
 KH 

KB.KA 3a 13

KS
26

3a 13
KH
3
 26 
KS
a 13 13
2
CJ 3
Suy ra :
J
J

CS 13
SH HJ 10
10
5a 3
:

  HJ  KC 
SK KC 13
13
13
5a 3
BI
5
= J ê
 13 
BD a 3 13

:

ê

ê

BH BK
1
a 13


 BH  IJ 
SA SK
13
13

( BH // IJ , HJ // BI 

J

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 mp(ABCD),

:
;
;

, SA


SA  a 2 , BSC  45, ASB  

6 0.

AC 

3

=

2a 6
3

ê


mp(SAD).

4

=

=

ê

5

ở

=

=

=

=

:

=a.

ê

=
ỏ

ổ
0

6

, AC = b,

=
600

:

b

7

=
=

ỏ ơ
e

J

ã

8

ê

J

=


=
e
z
ê

z

NHỮNG BÀI TOÁN VỀ THIẾT DIỆN TRONG HÌNH
CHÓP

Bài 1:
ỉ
ỉ

Gi i:


S

H

M

F
E

I

K

D

C
O

A

B

- ỉ

:
ê

1
MH .SE
MH SE SM SI 1 SI
SME
2


.

.
 .
+
1
S
CK SB SC SO 2 SO
CK
.
SB
SBC
2

S

Á

ụ

e e

:

IS AO MC
IS 1
IS
SI 2
.
.
1
. .(1)  1 
3

IO
SO 3
IO AC MS
IO 2

S
1 2 1
 SME  . 
S
2 3 3
SBC

-

ơ

S

SMF  1 .
S
3
SDC

Bài 2: Cho h
’
MA' MB' MC'


 1.
SA
SB
SC

Gi i:

’

’


S

’

ù

:

-

MA ' SMBC

SA
S

:

ABC

1
.MK .BC
MK NM MA '
MBC  2
.



1
S
AH
NA
SA
. AH .BC
ABC
2

A'

S

A

C
M

-

N

:

S

MB '
MC ' SMAB
 MAC ,

.
SB
S
SC
S

K
B

ABC

H



ơ

ABC

MA ' MB ' MC ' SMBC SMAC SMBA S ABC






1
SA
SB
SC
S
S
S
S

ABC

ABC

ABC

ABC

Bài 3:
ú

=4
=
’

’

’

’ ’ ’
Gi i:

’ ’ ’

’

ASC

ra

S

OC < SO.
=

SAC

C’

D’
C'  S .

>

B’

D

:

O
A

H
B1

B

C

=


OSC  OCS, OSA  OAS
 2ASC  ASC  OSC  OAS  180 0

 ASC  90 0
ĩ
ASC

ù
<

<

ê

1,

B1  ( )

B1  mp(SBC )

ê

’

’


2S

SAC

ê

ú
4ah

 4ah  AC '.SC  AC '. 4a 2  h2  AC ' 

=

ê

1

’ ’ ’
2a 3 

1

4ah
4a 2  h 2

SAC

1

4a 2  h 2

= 2OB = 2a.
3
 AB1 3  2a 3 . Suy ra :
2

EC ' B'  30 0  AC '  2 AB1

2h

 3

4a 2  h 2

 h  2a 3  SO

’
h  2a 3

’ ’ ’

Bài 4:
mp( 

’
’

a)
b)

?

ã

’ ’ ’
’ ’ ’

c)

?

Gi i:
=
ASC

’

:

ê

’

ỉ

’