PP suy luận nhanh gv lê văn vinh CHUONG 1 DAO ĐỘNG cơ chuyên đề 1 dao động điều hdạng 6 bài toán về số lần đi qua image marked

CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Dạng 6. BÀI TOÁN VỀ SỐ LẦN ĐI QUA
LOẠI 1. Bài toán xác định thời điểm vật đi qua vị trí x đã biết
(hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần thứ N
PHƯƠNG PHÁP
* Trong một chu kỳ T (2) vật đi qua vị trí x hai lần nếu không kể đến chiều
chuyển động, nếu kể đến chiều chuyển động thì sẽ đi qua 1 lần
* Xác định M0 dựa vào pha ban đầu (x0, v0 chỉ quan tâm < 0 hay > 0 hay = 0)
* Xác định M dựa vào x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F)


Lưu ý: Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy
ra nghiệm thứ N.
Các loại thường gặp và công thức tính nhanh
- Qua x không kể đến chiều
+ N chẵn

* Áp dụng công thức t 

N2
T  t 2 (t2 thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 2 kể từ thời điểm
2
ban đầu)
+ N lẻ:
t

N1
T  t1 (t1 thời gian để vật đi qua vị trí x lần thứ 1 kể từ thời điểm
2
ban đầu)

- Qua x kể đến chiều (+ hoặc )
t  (N  1)T  t1 (t1 thời gian để vật đi qua vị trí x theo chiều đầu bài quy
t

định lần thứ 1 kể từ thời điểm ban đầu)

 VÍ DỤ MẪU:

π
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos  4πt +  cm .
6

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí x = 3cm theo chiều âm kể từ lúc vật bắt
đầu dao động là:

3
1
s
s
C.
8
12
Phân tích và hướng dẫn giải
Cách 1: Giải theo phương trình lượng giác

A.

76

1

s
24

B.

D.

1
s
8


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt


 

π
π 1
 x = 6cos  4πt +  = 3
cos  4πt +  =
x = 3 
6
6 2
 



Ta có 
 v < 0  v = 24πsin  4πt + π  < 0 sin  4πt + π  > 0





 
6
6

π π
1 k
= + k2π  t =
+  k  N : k = 0;1; 2;3....
(*)
6 3
24 2
Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí x = 3cm theo chiều âm kể từ lúc vật bắt
1
s
đầu dao động, ứng với k = 0  t =
24
Như thế, nếu đề bài yêu cầu tìm thời điểm thứ hai, thứ ba, thứ 4 … vật qua
vị trí x = 3cm kể từ lúc vật bắt đầu dao động thì chỉ cần thay k = 1; 2; 3;….
lần lượt vào (*) ta sẽ có được thời điểm cần tìm:
Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác
N
π
Pha ban đầu φ =
nên ban đầu vật
M
6

ở vị trí M. Vật qua x = 3 cm theo
A
chiều âm lần đầu tiên là qua vị trí N.  A
 4πt +

xN xM


6 3
A 3
cm =
 x M =
2
2
Ta có: 
A
 x = 3cm =
 N
2

Đây đều là hai vị trí đặc biệt nên ta sẽ tính
theo các khoảng thời gian đặt biệt:
Mint M  N = t 


A 3
0 

 2





 t

A
 0 
2


=

x

v

T T
T
1

=
=
(s)
6 12 12 24

Chọn đáp án A
Tới đây, nếu đề hỏi tìm thời điểm vật qua vị trí x = 3cm lần thứ 2016 theo chiều
dương kể từ lúc vật bắt đầu dao động thì ta sẽ giải quyết thế nào ?
Với cách 1: ta chỉ cần thay k = 2015 vào (*) là có ngay đáp án
Với cách 2: trong một chu kỳ thì vật qua vị trí x = 3cm theo chiều dương chỉ

đúng một lần, vì thế sau 2015T vật qua được 2015 lần, lần còn lại tương ứng
với thời gian ngắn nhất vật chuyển động từ M về N như đã tính ở trên. Vậy
thời gian cần tìm là:

t 2016 = 2015T + t  M  N  = 2015T +

T 2015 1
=

= 1007,54(s)
12
2
24
77


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Cũng bài toán trên, nhưng nếu đề bài hỏi tìm thời điểm đầu tiên vật qua vị trí
x = 3cm theo chiều dương kể từ lúc vật bắt đầu dao động thì ta sẽ giải quyết thế
nào? Sau đây là đề bài và cách giải quyết vấn đề vừa nêu ở trên.

π
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos  4πt +  cm .
6

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí x = 3cm theo chiều dương kể từ lúc vật
bắt đầu dao động là:
3
1

1
s
s
C.
D. s
8
12
8
Phân tích và hướng dẫn giải
Cách 1: Giải theo phương trình lượng giác

A.

1
s
24

B.


 

π
π 1
 x = 6cos  4πt +  = 3
cos  4πt +  =

6
6 2
x = 3 

 



Ta có 

 v > 0  v = 24πsin  4πt + π  > 0 sin  4πt + π  < 0




 
6
6








π
π
1 k
=  + k2π  t =  +
k  N : k = 1; 2;3.... (*)
6
3
8 2

Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí x = 3cm theo chiều dương kể từ lúc vật bắt
3
đầu dao động, ứng với k = 1  t = s
8
Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác
 4πt +

π
nên ban đầu vật ở vị trí M .
6
Vật qua x = 3 cm theo chiều dương
lần đầu tiên là qua vị trí P.

N

Pha ban đầu φ =


6 3
A 3
cm =
 x M =
2
2
Ta có: 
 x = 3cm = A
 P
2



A 3
0 

 2




x

78

P

v

+ t  0-A  + t  -A 0  + t  A 
0

T T T T 3T 3
  
=
= (s)
6 4 4 12
4
8
Chọn đáp án B
=

A

A

Đây đều là hai vị trí đặc biệt nên ta sẽ
tính theo các khoảng thời gian đặt biệt:
Mint M P = t 

M





2


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ta lại tiếp tục với ví dụ trên nhưng bây giờ đề hỏi, tìm số lần đi qua nhưng không
hỏi chiều thì ta sẽ giải quyết thế nào?

π
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 6cos  4πt +  cm .
6

Thời điểm vật qua vị trí x = 3cm lần thứ 5 kể từ lúc vật bắt đầu dao động là:

3
1
1

s
s
C.
D. s
8
12
8
Phân tích và hướng dẫn giải
Cách 1: Giải theo phương trình lượng giác

A.

25
s
24

B.


π

π 1
Ta có x = 6cos  4πt +  = 3  cos  4πt +  
6
6 2




π π


1 k
 4πt + 6 = 3 + k2π
 t 1 = 24 + 2  k  N : k = 0;1; 2;3....


 4πt + π =  π + k2π  t =  1 + k k  N : k = 1; 2;3....
 2
8 2
6
3






N1
T + t1 (với t1 thời gian
2
để vật đi qua vị trí x = 3cm lần đầu tiên kể từ thời điểm ban đầu)
1 k
1 0
1
+ =
+ =
s
Vậy t1 =
24 2 24 2 24
N1

5  1 1 1 25
T + t1 =
. +
=
(s)
Thời điểm vật qua x = 3cm lần thứ 5 là: t =
2
2 2 24 24
Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm thời điểm vật qua vị trí x = 3cm lần thứ 6 kể
từ lúc đầu thì ta sẽ làm như sau:
N1
T + t 2 (với t2 thời
Do số lần đi qua là 6 (số chẵn) nên ta áp dụng: t =
2
gian để vật đi qua vị trí x = 3cm lần thứ hai kể từ thời điểm ban đầu)
1 k
1 1 3
N1,3,5,7....
Vậy t 2 =  + =  + = s
8 2
8 2 8
M
Thời điểm vật qua x = 3cm lần thứ 6 là:
N1
5  1 1 3 11
t=
T + t1 =
. + = (s)
A
A

2
2 2 8 8
x
Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác
π
Pha ban đầu φ = nên ban đầu vật
6
ở vị trí M .
P2,4,6,8...
1T vật qua x = 3 cm 2 lần
v
Do số lần đi qua là 5 (số lẻ) nên ta áp dụng : t =

79


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

2T vật qua x = 3 cm 4 lần
Lần thứ 5 khi vật từ M về N

t = 2T + t MN = 2T + t 

A 3 A 2



 2
2 


 T T  25
= 2T +    =
(s)
 6 12  24

Chọn đáp án B
Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với x = 8cos(2t 


) cm. Thời điểm
6

thứ 2014 vật qua vị trí có v= -8 cm/s.
A. 1005,5s
B. 1005s
C. 2012 s
D. 1006,5s
Phân tích và hướng dẫn giải
2 2

 1(s)
Chu kỳ dao động: T 
 2
Cách 1: giải theo phương trình lượng giác

Theo bài ra ta có: v = 16sin(2t  ) = 8
6



π π
1
 2πt  6 = 6 + k2π
 t1 = 6 + k


kN
 2πt  π = 5π + k2π  t = 1 + k
 2 2
6
6

N2
T  t2
Vật qua lần thứ 2012 (chẵn) nên ta dùng công thức : t 
2
Với t 2 là thời gian để vật đi qua vị trí có vận tốc v = -8cm/s lần thứ 2 kể từ
thời điểm ban đầu ứng với k = 0 (nghiệm dưới).
1
1
1
Vậy t 2   k   0  (s)
2
2
2
Vật qua vị trí vị trí có vận tốc v = 8cm/s lần thứ 2014 là :
N2
2014  2
1
t

T  t2 
.1   1006, 5 (s)
2
2
2
Vậy chọn đáp án D
8
M2
Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác
Theo bài ra:
A
v max
v
8 1


v
v max 16 2
2
Nhìn trên đường tròn ta thấy vị
trí vật đi qua là M1 và M2.

Pha ban đầu     ban đầu vật ở M0.
6
80

M1

A
x

M0

v

16


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Vật qua vị trí cần tìm lần thứ 2 tại M2
T
.
2
N2
2014  2
1
T + t2 =
.1 + = 1006, 5(s)
Qua lần thứ 2014: t =
2
2
2

khi đó vật quay được nửa vòng nên mất t 2 


π
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 10cos  2πt   cm .
3


Thời điểm thứ 2013 vật qua vị trí x = 5 2cm .
A.

24157
s
24

12061
24157
s
s
C.
D. Đáp án khác
24
24
Phân tích và hướng dẫn giải

B.

2π 2π
=
= 1(s)
ω 2π
Cách 1: giải theo phương trình lượng giác
Chu kỳ dao động: T =


π


π
2
x = 10cos  2πt   = 5 2  cos  2πt    
3
3
2





π 3π

13
 2πt  3 = 4 + k2π
 t1 = 24 + k (k  N : k = 0;1; 2;3..)


 2πt  π =  3π + k2π  t =  5 + k (k  N* : k = 1; 2;3..)

 2
3
4
24
N1
T  t1
Thời điểm thứ 2013(lẻ) nên ta dùng công thức : t 
2

Vậy t1 =

13
13 0 13
+k =
+ =
(s)
24
24 2 24

Vật qua vị trí x = 5 2cm lần thứ 2013 là :

t=

N 1
2013  1
13 24157
T + t1 =
.1 +
=
(s)
2
2
24
24
M1

Vậy chọn đáp án A
Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác

Vật qua x = 5 2cm là qua M1 và M2.

Vật quay 1 vòng (1 chu kỳ) qua x = 2
là 2 lần.



A

A 2
2

1

A
2

A
x

1T qua x = 5 2cm 2 lần
1006T qua x = 5 2cm 2012 lần
Lần thứ 2013 khi vật đi từ M0 đến M1.
Bây giờ ta tìm t1 nữa là xong.

M2

v

M0

81

CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

π π π
+ +
Δφ

3 2 4 = 13
1
Δφ
=
ωt

t
=
=
Góc quét cung M
M
:
1
1
1
0 1
ω
2π
24
13 24157
 t 2013 = 1006T + t1 = 1006 +
=

s.
24
24
T T T 13
Hay t1 được tính nhanh theo trục thời gian: t1 = t M M = + + =
0 1
6 4 8 24
Chọn đáp án A

Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(t  ) cm.
4
Thời điểm thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng.?
12059
12060
12059
12000
(s)
s C.
(s)
(s)
A.
B.
D.
12
24
14
7

Phân tích và hướng dẫn giải
Cách 1: giải theo phương trình lượng giác









Wd  3Wt  W sin 2  t    3Wcos2  t    sin 2  t    3cos2  t  
4
4
4
4








 1  cos  2t   
2










 sin 2  t    cos2  t    2cos2  t    cos  2t    2 


4
4
4
2
2









 2
 7
2t    k2
 t   k; k  N


1 
2 3
 cos  2t      
  12


2
1
2 2 

2t     k'2  t    k'; k'  N*


2
3

12
Thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí Wd  3Wt kể từ thời điểm ban đầu ứng
7
(k  0)
12
Thời điểm vật đi qua vị trí Wd  3Wt lần thứ 2 kể từ thời điểm ban đầu ứng

với k = 0  t1 

1
11
1
(k'  1)
12
12
N2
2010  2
11 12059
T  t2 
.2 


(s)
Qua lần thứ 2010 (chẵn): t 
2
2
12
12

1  cos2x 
2
2
2
 cos2x  co s x  sin x; co s x 

2



với k’ = 1  t 2  

M2

Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác

M1

82
8

4

4
O

8

x


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1
A
Wx
4
2
 có 4 vị trí trên đường tròn M1, M2,
M3, M4.
Ban đầu vật ở M0 vì thế
+ Sau 1T vật qua vị trí Wd  3Wt 4 lần
Wđ = 3Wt  Wt 

+ Sau 502T vật qua vị trí Wd  3Wt 2008 lần
Qua lần thứ 2010 thì phải đi thêm từ M0 đến M2.

T T T 11T
 t A M    

2
8 4 12 12

11T
11 12059
t 2010  502T 
 502 

12
12
12
Hay ta có thể tìm tổng góc quét rồi sau đó tìm thời gian cần tìm:
 
11

11 12059
  502.2        1004 
 1004 

s
 t
3
4
12

12
12


Chọn đáp án A
t min M

0 M 2 

 t M

0 A 

LOẠI 2. Xác định số lần vật đi qua x trong thời gian từ t1 đến
t2 (t = t2 – t1)
PHƯƠNG PHÁP
* Trong một chu kỳ T (2) vật đi qua x 2 lần nếu không kể đến chiều chuyển
động, nếu kể đến chiều chuyển động thì sẽ đi qua 1 lần
* Xác định M1 dựa vào t1 và phương trình x, v ( x1, v1 chỉ quan tâm < 0 hay
> 0 hay = 0)
* Xác định M dựa vào x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F)
* Áp dụng công thức   t tìm số lần
Các loại thường gặp và công thức tính nhanh

-

-

 t

 n, p(n  0, p)
2
2
Nếu không kể đến chiều: N = 2n + N’
N’ là số lần đi qua x khi trên vòng trong lượng giác quay được góc 0,p.2
kể từ vị trí ban đầu
Nếu kể đến chiều: N = n + N’
N’ là số lần đi qua x theo chiều bài toán quy định khi trên vòng trong

lượng giác quay được góc 0,p.2 kể từ vị trí ban đầu

83


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

 VÍ DỤ MẪU:

π
Ví dụ 1: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 10cos  2πt +  cm .
6


Số lần vật đi qua vị trí x = 5cm trong 2,25s đầu tiên
A. 4
B. 5
C. 6
Phân tích và hướng dẫn giải
Cách 1: Giải theo phương trình lượng giác
Vật qua vị trí x = 5cm ta có :

D. 7


π

π
1
10cos  2πt +  = 5  cos  2πt +  = 

6
6
2




 2t +

 2t +



 2
=
+ k2
t =
6 3


2
=
+ m2  t =

6
3

1
+ k (k  Z)
4

5
+ m (m  Z)
12

Trong 2,25s đầu tiên tức là:

1
0  4 + k  2, 25
 0, 25  k  2
 k = 0;1; 2
0  t  2, 25  


0  5 + m  2, 25
 0, 42  m  1,83  m = 0;1

12
Chú ý rằng: mỗi giá trị k và m tương ứng với mỗi lần vật qua vị trí x = 5 cm. Ta
có 3 giá trị của k và 2 giá trị của m nên có tất cả 5 lần vật đi qua vị trí x = 5 cm
Cách 2: Sử dụng đường tròn lượng giác
Δt 2, 25
=
= 2, 25  Δt = 2T + 0, 25T
Số chu kỳ vật dao động trong 2,25 giây:
T
1
Sau 2T vật qua x = -5cm 4 lần.
Ta cần tìm số lần vật đi qua x = 5cm trong khoảng thời gian 0,25T cuối cùng.
π
B  M1

Pha ban đầu φ = nên ban đầu vật ở
6
A

điểm A có li độ x A = 5 3cm và đang

chuyển động theo chiều âm.
10
Nên sau 0,25T vật sẽ quét được một góc

=
Δ = ω.0, 25T = 2.0, 25.1 =  AB
2
2
và dừng lại ở B.
 = πα α = π π  π = π
Ta lại có: AM
1
1
2
6 3 2


Vì thế: AB = AM1  B  M1

84

5

α2

α1

0

5 3

M2

v

10
x


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Như vậy: sau 0,25T cuối cùng, vật vừa qua vị trí x = 5cm.
Vậy trong thời gian 2,25s đầu tiên có 5 lần vật đi qua vị trí x = 5cm
Chọn đáp án B
Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 3sin (5πt
+ π/6) (x tính bằng cm và t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ
thời điểm t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = +1 cm bao nhiêu lần?
A. 7 lần.
B. 6 lần.
C. 4 lần.
D. 5 lần.
Phân tích và hướng dẫn giải
Vật qua vị trí x = 1cm, li độ này không đặc biệt nên khi giải theo phương trình
lượng giác sẽ rất khó khăn trong cách lấy nghiệm. dạng toán này giải theo vòng

tròn lượng giác là nhanh và hay nhất.
Đưa phương trình về dạng cos:
M1
B




x = 3sin  5πt +  = 3cos  5t   cm
6
3


Số chu kỳ vật dao động trong 1 giây:
Δt
1
=
= 2, 5  Δt = 2T + 0, 5T
T 0, 4
Sau 2T vật qua x = 1cm 4 lần.
Ta cần tìm số lần vật đi qua x = 1cm
trong khoảng thời gian 0,5T cuối cùng.
π
Pha ban đầu φ =  nên ban đầu vật ở điểm
3
A có li độ x A = 1,5cm và đang chuyển động

1 1,5
O

v

3

x

M2

A

theo chiều dương. Nên sau 0,5T vật sẽ dừng
lại ở B. Nhìn vào hình vẽ ta dễ dàng thấy
 suy ra trong 0,5T cuối cùng
được M  AB
1

vật qua x = 1cm thêm một lần nữa. vậy số
lần vật đi qua x = 1cm trong 1 giây đầu tiên
là 5.
Kết luận: Nếu đề cho vị trí vật đi qua có dạng đặc biệt như:
A
A 2
A 3
;±
;±
; ±A
2
2
2
thì giải theo phương trình lượng giác không gì khó khăn mà còn cho đáp án

nhanh chóng. Còn nếu li độ không đặc biệt thì sử dụng vòng tròn lượng giác là
tốt nhất.
x = 0; ±

85