Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ

Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi
Tên chuyên đề : Định lý thalès & các bài toán
về đoạn thẳng tỷ lệ
A/ Cơ sở lý thuyết các kiến thức cơ bản học sinh cần phải biết :
Phần 1
các khái niệm cơ bản liên quan đến Đoạn thẳng tỷ lệ
1.1 . Tỷ số của hai đoạn thẳng
Tỷ số của hai đoạn thẳng là tỷ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo
Nh thờng lệ , nếu không gây ra sự nhầm lẫn , ta dùng cùng một ký hiệu AB để chỉ
đoạn thẳng AB và độ dài của đoạn thẳng đó .
Ký hiệu tỷ số của hai đoạn thẳng AB và CD là
CD
AB
. Trong ký hiệu
CD
AB
này , AB
và CD chỉ có nghĩa là độ dài của các đoạn thẳng AB và CD .
Chú ý : Tỷ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị đo .
1.2 . Tỷ lệ thức
Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số .
Nếu AB , CD , EF , GH là bốn đoạn thẳng mà
CD
AB
=
GH
EF
thì đẳng thức đó là một tỷ
lệ thức của các đoạn thẳng .
1.3 Các tính chất của tỷ lệ thức

Nếu
CD
AB
=
GH
EF
thì
1) AB . GH = CD . EF
2)
EF
AB
=
GH
CD
3)
CD
CDAB
=
GH
GHEF
4)
CD
AB
=
GH
EF
=
GHCD
EFAB
+

+
5)
CD
AB
=
GH
EF
=
GHCD
EFAB


( Nếu CD khác GH )
1.3 .Trung bình nhân
Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình nhân của hai đoạn thẳng CD & EF nếu

CD
AB
=
EFCDhayAB
AB
EF
.
2
=
VD . Nếu hình vuông ABCD và hình chữ nhật E FGH có diện tích bằng nhau thì
đoạn thẳng AB là trung bình nhân của hai đoạn thẳng E F & FG
1.4 .Trung bình điều hoà
Đoạn thẳng AB đợc gọi là trung bình điều hoà của hai đoạn thẳng CD và E F nếu

EFCDAB
112
+=

VD : Cạnh nhỏ nhất của tam giác Ai Cập là trung bình điều hoà của cạnh góc
vuông còn lại và chiều cao thuộc cạnh huyền .
Tam giác Ai Cập là tam giác vuông có độ dài ba cạnh là 3 , 4 , 5 . Nếu đặt AB = 3
AC = 4 thì BC = 5 và chiều cao thuộc cạnh huyền là AH =
BC
ACAB.
. Do đó
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
1
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ

ABABAC
BCAB
ABACAB
BCAB
ACAB
BC
ACAHAC
2
4
43
.
1
.
1

111
=
+
=
+
=
+
=+=+
(Đpcm)
1.5 . Đoạn thẳng tỷ lệ :
Hai đoạn thẳng AB & CD đợc gọi là tỷ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
nếu có tỷ
lệ thức :
//
//
DC
BA
CD
AB
=
.
Chú ý : Hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A
/

B
/
& C
/
D
/
khi và chỉ
khi AB.C
/
D
/
= A
/
B
/
.CD .
Do đó , nếu hai đoạn thẳng AB & CD tỷ lệ với hai đoạn thẳng A
/
B
/
và C
/
D
/
thì ta
cũng có các cặp đoạn thẳng sau đây cũng tỷ lệ với nhau :
- CD & AB tỷ lệ với C
/
D
/

& A
/
B
/

- AB & A
/
B
/
tỷ lệ với CD & C
/
D
/

- C
/
D
/
& CD tỷ lệ với A
/
B
/
& AB
- A
/
B
/
& C
/
D

/
tỷ lệ với AB & CD
- C
/
D
/
& A
/
B
/
tỷ lệ với CD & AB
VD : Nếu AD , BE là hai trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC thì
Vì
BE
BG
AD
AG
==
3
2
nên hai đoạn thẳng AG & AD tỷ lệ với hai đoạn thẳng BG & BE
Hai đoạn thẳng AG & BG cũng tỷ lệ với hai đoạn thẳng AD và BE .
1.5 . Điểm chia đoạn thẳng
- Điểm C chia trong đoạn thẳng AB theo tỷ số k > 0 khi và chỉ khi C thuộc
đoạn thẳng AB và
k
CB
CA
=
.

- Điểm D chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỷ số k ( 0 < k 1 ) khi và chỉ khi D
thuộc đờng thẳng AB nhng không thuộc đoạn thẳng AB và
k
DB
DA
=
VD : Trọng tâm G của tam giác ABC chia trong trung tuyến AD theo tỷ số k = 2
vì
2=
GD
GA
. Trung điểm D của cạnh BC chia ngoài đoạn thẳng AG theo tỷ số 3
vì
3=
DG
DA
.
Phần 2 : Định lý thaleS
2.1 Định lý Thale
\
s thuận
Ba đờng thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tơng
ứng tỷ lệ . d d
/

a A A
/

Giả sử đờng thẳng d cắt ba đờng thẳng
Song song a , b , c tại các điểm tơng

ứng A , B , C và đờng thẳng d
/
b B B
/

cắt ba đờng thẳng a, b , c tại ba điểm
A
/
, B
/
, C
/
. Khi đó ta có :

//
//
CB
BA
BC
AB
=
c C C
/

Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
2
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ

2.2 Định lý Thales đảo
Cho hai đờng thẳng song song a và b định ra trên hai cát tuyến d & d

/
các đoạn
thẳng tơng ứng AB và A
/
B
/
.Nếu một đờng thẳng c cắt d và d
/
tại hai điểm tơng ứng
C (không trùng với A ) và C
/
ở cùng phía đối với đờng thẳng b mà ta có các đoạn
thẳng tơng ứng tỷ lệ
//
//
CB
BA
BC
AB
=
Thì đờng thẳng c song song với a & b
2.3 Định lý Thales trong tam giác :
2.3 .1 Định lý Thuận
Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh
đối diện thì nó chia (trong hoặc ngoài ) hai cạnh kia của tam giác thành những đoạn
thẳng tơng ứng tỷ lệ . A
Tam giác ABC , DE / / BC ( với D thuộc đờng thẳng AB E thuộc đờng thẳng AC
) thì
AC
EC

AB
DB
EC
AE
DB
AD
AC
AE
AB
AD
=== ;;
D E
a
B C
2.3.2 Hệ quả của định lý Thales
Nếu một đờng thẳng song song với một cạnh của tam giác và không đi qua đỉnh
đối diện thì nó tạo với hai cạnh kia của tam giác một tam giác mới có các cạnh tỷ lệ
với các cạnh của tam giác đã cho .
G/s đờng thẳng a song song với cạnh BC của tam giác ABC nhng không đi qua
đỉnh A cắt hai đờng thẳng AB , AC tại hai điểm tơng ứng D và E thì tam giác ADE
có ba cạnh tỷ lệ với ba cạnh của tam giác ABC .

2.3 .3 Định lý đảo
Nếu một đờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc ngoài
) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì nó song song
với cạnh còn lại của tam giác đó .
Phần 3 : Các bài toán cơ bản áp dụng Định lý thaleS
3.1 Bài toán thứ nhất :
Cho hai đờng thẳng song song cố định a và b . Hai điểm A và B theo thứ tự di
động trên a và b . Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

0= k
MB
MA
cho trớc .
a H A A
/
b K B B
/

c I M M
/

Lời giải :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
3
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Phần thuận : Chọn một điểm H bất kỳ trên a rồi cho cố định lại ( hình vẽ trên )
qua H vẽ đờng thẳng vuong góc với b tại K . Khi đó có đúng một điểm I trên đờng
thẳng HK sao cho
k
IK
IH
=
Nếu A và B theo thứ tự trên a và b mà
0= k
MB
MA
Thì
IK
IH

MB
MA
=
Nên theo định lý đảo đờng thẳng IM song song với a và b .
Vậy điểm M nằm trên đờng thẳng đi qua điểm I cố định và song song với a , b . Ta
gọi c là đờng thẳng đi qua I và song song với a , b .
Phần đảo : Lấy trên c một điểm M
/
. Lấy trên a một điểm A
/
bất kỳ khi đó đờng
thẳng A
/
M
/
cắt b tại điểm B
/
. áp dụng định lý thuận cho ba đờng thẳng song song
a, b , c và hai cát tuyến HK và A
/
B
/
ta có

k
IK
IH
BM
AM
==

//
//
. Vậy mọi điểm trên c đều thoả mãn ĐK đã cho đối với điểm M
Vậy quỹ tích cần tìm là đờng thẳng c .
3.2 Bài toán thứ hai :
Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD . Đờng thẳng đi qua giao điểm I
của hai đờng chéo và song song với hai đáy cắt các cạnh bên AD , BC tại các
điểm tơng ứng E , F . Chứng minh rằng I là trung điểm của EF & E F là trung
bình điều hoà của hai đáy .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
3.3 Bài toán thứ ba :
Cho hình thang ABCD có hai đáy AB , CD mà AB < CD . Đờng thẳng đi qua A và
song song với BC cắt BD tại E . Đờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC
tại F . Chứng minh rằng E F // CD và tính E F theo các cạnh đáy của hình thang .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.4 Bài toán thứ 4 :

Nếu góc BAC của tam giác ABC và góc B
/
A
/
C
/
của tam giác A
/
B
/
C
/

bằng nhau
hoặc bù nhau thì tỷ số diện tích của hai tam giác đó bằng tỷ số của tích các cạnh
kề góc đó :

////
.
///
CABA
ACAB
S
S
CBA
ABC
=


.

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.5 Bài toán thứ năm :

Cho tam giác ABC cố định , các điểm D , E di động trên các cạnh tơng ứng AB ,
AC sao cho
EA
CE
DB
AD
=
. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng DE .

Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.6 Bài toán thứ sáu : ( Dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t )

Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
4
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Cho trớc ba đoạn thẳng AB , m , n . Dựng các điểm chia trong và chia ngoài
đoạn thẳng AB theo tỷ số
n
m
.
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )

3.7 Bài toán thứ bẩy( Định lý về chùm đờng thẳng đồng quy) :
a/ Định lý thuận :
Nếu ba đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song thì chúng định ra
trên hai đờng thẳng song song ấy các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
b/ Định lý đảo 1 :
Cho ba đờng thẳng , trong đó có hai đờng thẳng cắt nhau , định ra trên hai đ-
ờng thẳng song song các đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì ba đờng thẳng ấy đồng
quy .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
c/ Định lý đảo 2 :
Nếu hai đờng thẳng phân biệt bị cắt bởi ba đờng thẳng đồng quy tạo thành các
đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì chúng song song với nhau.
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
3.8 Bài toán thứ tám (bổ đề hình thang ) :
a/ Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đờng

thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đờng chéo sẽ đi qua trung điểm của
các đáy của hình thang .
b/ Hãy nêu ra cách dựng chỉ một cái thớc (không dùng com pa) để dựng trung
điểm của đoạn thẳng AB cho trớc khi cho một đờng thẳng d song song với AB
Và dựng qua điểm M cho trớc một đờng thẳng song với đoạn thẳng AB cho trớc
mà đã biết trung điểm I của AB .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
3.9 Bài toán thứ chín :
Cho góc xOy và đờng thẳng d không đi qua O nhng cắt cả hai cạnh của góc đó .
Đờng thẳng di động a không đi qua O nhng cùng phơng với d , cắt Ox tại A và
cắt Oy tại B . Tìm quỹ tich trung điểm của đoạn thẳng AB .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
3.10 Bài toán thứ mời ( chia một đoạn thẳng cho trớc ):
Chia đoạn thẳng AB cho trớc thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với các đoạn thẳng a , b
, c cho trớc .
Lời giải : ( Xem tài liệu TK )
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
5
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
3.11 Bài toán thứ mời một ( Định lý Ménélaus ):
Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,
AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện
cần và đủ để ba điểm P , Q , R thẳng hàng là
1=
RB
RA
QA
QC
PC
PB

Lời giải : (Xem tài liệu TK )
3.12 Bài toán thứ m ời hai ( Một ứng dụng của Định lý Ménélaus ):

Trên hai cạnh AB , AD của hình bình hành ABCD , lấy hai điểm tơng ứng M ,
N . Gọi P là điểm sao cho AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN
và MD . Chứng minh rằng ba điểm C , P , Q thẳng hàng .
3.13 Bài toán thứ m ời ba ( Định lý Cé va ):
Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,
AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện
cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy hoặc song song là
1=
RB
RA
QA
QC
PC
PB
.
Chú ý : Nếu P , Q , R theo thứ tự nằm trên các cạnh BC , CA , AB của tam giác
ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó thì không thể xảy ra trờng hợp ba
đờng thẳng AP , BQ , CR song song với nhau . Do đó nếu không dùng khái niệm độ
dài đại số thì có thể phát biểu định lý Cé va nh sau :
Cho ba điểm P , Q , R theo thứ tự trên các đờng thẳng chứa các cạnh BC , CA ,
AB của tam giác ABC nhng không trùng đỉnh nào của tam giác đó . Điều kiện
cần và đủ để ba đờng thẳng AP , BQ , CR đồng quy là
1=
RB
RA
QA
QC

PC
PB
3.14 Bài toán thứ m ời bốn ( ứng dụng Định lý Cé va ):
Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của
cạnh đối diện với đờng tròn nội tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là
điểm Gergonnecủa tam giác)
3.15 Bài toán thứ m ời năm ( ứng dụng Định lý Cé va ):
Chứng minh rằng các đờng thẳng đi qua đỉnh của tam giác và tiếp điểm của
cạnh đối diện với đờng tròn bàng tiếp thì đồng quy (Điểm đó đợc gọi là điểm
Nagel của tam giác .)
3.16 Bài toán thứ m ời sáu ( ứng dụng Định lý Cé va ):
Cho tam giác ABC , một điểm D trên cạnh AB , một điểm E trên cạnh AC và
trung điểm M của cạnh BC . Chứng minh rằng DE // BC khi và chỉ khi ba đờng
thẳng AM , BE , CD đồng quy .
Lời giải các bài toán 12, 13 , 14 ,15 , 16 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng thờng
xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )
3.17 Bài toán thứ m ời bẩy ( Định lý về đờng phân giác ):
Đờng phân giác ( trong, ngoài ) của một tam giác chia (trong , ngoài ) cạnh đối
diện thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề với hai cạnh ấy .
3.18 Bài toán thứ m ời tám ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
6
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Cho tam giác đều ABC và điểm D sao cho :
3
2
=
DB
DA
Đờng thẳng CD cắt đờng

tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là E . Chứng minh rằng :
532
ECEBEA
==
.
3.19 Bài toán thứ m ời chín ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Cho tam giác ABC, có đờng trung tuyến AD . Đờng phân giác của góc ADB và
ADC cắt các cạnh tơng ứng AB , AC tại E , F . Chứng minh rằng EF // BC và
EF là trung bình điều hoà của AD , BD .
3.20 Bài toán thứ hai m ơi ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Cho tam giác ABC không cân tại A . Chứng minh rằng chân đờng phân giác
ngoài của góc A và chân của hai đờng phân giác trong của hai góc B , C là ba
điểm thẳng hàng .
3.21 Bài toán thứ hai m ơi mốt ( ứng dụng Định lý về đờng phân giác ):
Cho tam giácABC vuông tại A . Chứng minh rằng : Đờng cao AH , đờng trung
tuyến BD , đờng phân giác CE đồng quy khi và chỉ khi AB là trung bình nhân
của BC và CA .
3.22 Bài toán thứ hai m ơi hai (Định lý đảo của định lý về đờng phân giác )
Đờng thẳng đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong , ngoài ) cạnh đối diện
thành hai đoạn tỷ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy là đờng phân giác( trong,
ngoài) của tam giác đó .
3.23 Bài toán thứ hai m ơi ba ( Quỹ tích về đờng tròn Apollonius ):
Quỹ tích các điểm M mà tỷ số các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định phân
biệt A & B bằng một hằng số k ( 0< k # 1 ) là một đờng tròn có đờng kính là
đoạn thẳng nối các điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo tỷ số k .
3.24 Bài toán thứ hai m ơi t ( ứng dụng Quỹ tích về đờng tròn Apollonius):
Cho ba điểm phân biệt thẳng hàng B , C , D . Dựng tam giác vuông ABC mà
AD là đờng phân giác của góc vuông .
Lời giải các bài toán 17, 18 , 19 ,20 ,21,22,23,24 xem tài liệu TK (Sách bồi dỡng
thờng xuyên chu kỳ 1997 -2000 cho GV THCS tác giả Trần Văn Vuông )

Phần thứ t
Một số dạng toán cơ bản về định lý thales và đoạn
thẳng tỷ lệ học sinh cần phải thông thạo
A) Dạng toán thứ nhất : Chứng minh đoạn thẳng tỷ lệ
ĐVĐ : Ngời ta thờng dùng đờng song , đờng phân giác của một góc hoặc tam giác
đồng dạng để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ .
Trong trờng hợp cả ba phơng pháp trên đều không có hiệu lực , thì ngời ta phải tìm
hai đoạn thẳng tỷ lệ thứ ba làm trung gian , để chứng minh các đoạn thẳng khác tỷ
lệ với nhau .
1) Lợi dụng đờng thẳng song song
VD 1 : Trên cạnh AC của tam giác ABC lấy một điểm D , kéo dài CB đến E,
sao cho BE = AD, ED và AB cắt nhau tại F . Chứng minh rằng :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
7
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ

BC
AC
FD
EF
=

Suy xét : Quan sát bốn đoạn thẳng tỷ lệ và
hai đoạn thẳng bằng nhau cho trớc trong hình
vẽ , ta thấy muốn làm cho ba đoạn E F , FD ,
EB có mối liên hệ , thì phải từ D dựng DG //
AB , nh vậy ba đoạn thẳng trên và BG là những
đoạn thẳng tạo nên bởi một đờng song song với
một cạnh của tam giác EDG và cắt hai cạnh kia
của tam giác đó . Đồng thời bốn đoạn thẳng

AC, BC , AD , BG cũng có mối liên hệ nh bốn
đoạn thẳng nói trên .
F
E
B
G
D
C
A
Lời giải ( Tóm tắt ) :
Từ D dựng DG // AB ta có
BC
AC
BG
AD
BG
EB
FD
EF
===
2) Lợi dụng đờng phân giác của một góc :
VD 2 : Cho tam giác ABC vuông tại A , đờng cao AD ứng với cạnh huyền BC cắt
đờng phân giác BE tại F ( E thuộc AC ) . Chứng minh rằng :
EC
AE
FA
DF
=
.
Suy xét : DF và FA là hai đoạn thẳng

tạo nên bởi đờng phân giác của góc B
trong tam giác BAD cắt cạnh đối diện với
góc B nên tỷ số của chúng bằng BD : AB .
Tơng tự AE và EC cũng vậy , tỷ số của
chúng bằng AB : BC . Vậy muốn có tỷ lệ
thức trong kết luận ta cần chứng minh :
BD : AB = AB : BC là đợc . Ta nhận thấy
ABCDBA

mà BD &BA ;
AB & BC là hai cặp cạnh tơng ứng của
hai tam giác nói trên suy ra ĐPCM .
D
F
E
C
B
A
3) Lợi dụng tam giác đồng dạng :
Trong ví dụ trên ta đã dùng định lý hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tơng
ứng của chúng tỷ lệ với nhau để chứng minh các đoạn thẳng tỷ lệ .
4) Lợi dụng các tỷ số khác làm trung gian :
VD 3 : Từ một điểm A ngoài đờng tròn dựng hai tiếp tuyến AB , AC với đờng
tròn đó ;Trên đờng tròn lấy một điểm P tuỳ ý , dựng PD vuông góc với BC , PE
vuông góc với AB , PF vuông góc với AC . Chứng minh rằng :

PF
PD
PD
PE

=
.
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
8
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Suy xét ( Cách 1 ) PE & PD là hai cạnh của
tam giác PED , PD & DF là hai cạnh của tam giác
PDF . Nếu tam giác PED đồng dạng với tam giác
PDF thì bốn cạnh đó tỷ lệ với nhau . Muốn chứng
minh hai tam giác đó đồng dạng với nhau thì phải
chứng minh hai cặp góc tơng ứng bằng nhau từng đôi
một . Để chứng minh hai cặp góc bằng nhau từng đôi
một thì phải tìm những cặp góc khác làm trung gian .
Từ những đờng vuông góc đã cho trong giả thiết ta
thấy các tứ giác PEBD và PDCF nội tiếp cho nên có
thể tìm đợc những góc nội tiếp bằng nhau . Từ tiếp
tuyến đã cho trong giả thiết ta sẽ suy ra đợc góc giữa
tiếp tuyến và một dây qua tiếp điểm bằng góc nội tiếp
chắn cung mà dây đó căng
A
F
E
P
C
D
B
Suy xét (Cách 2 ) : Nếu chỉ nối PC , PB thì từ định lý về góc giữa tiếp tuyến và dây đi qua tiếp điểm
ta biết góc PBE = góc PCD . Ta chứng minh đợc tam giác vuông PEB đồng dạng với tam giác vuông PDC ,
và suy ra PE : PD = PB : PC . Với cách đó ta cũng chững minh đợc PD : PF = PB : PC và nh vậy qua tỷ số
trung gian PB : PC ta chững minh đợc tỷ lệ thức trong kết luận . Cách giải này đơn giản hơn cách giải 1 .

VD 4 : Ba đờng cao AD , BE , CF của tam giác ABC gặp nhau tại H . Chứng
minh rằng : DA.DH = DE.DF .
Suy xét : Muốn chứng minh DA.DH =
DE . DF ta biến đổi thành tỷ lệ thức DA :
DF = DE : DH , rồi chứng minh tỷ lệ thức
này . DA , DA là hai cạnh của tam giác
DAE . DF , DH là hai cạnh của tam giác
DFH ta phải tìm cách chứng minh hai tam
giác này đồng dạng với nhau . Muốn cho
hai tam giác đồng dạng thì cần phải có hai
góc tơng ứng bằng nhau từng đôi một. Vì
tứ giác A F DC nội tiếp nên có góc DAE =
góc A FH và ta có gócADE = góc FDH
nên ta có thể chứng minh hai tam nói trên
đồng dạng đợc .
H
F
D
E
C
B
A
Dạng toán thứ hai :
Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và chứng
minh hai đờng thẳng song song với nhau .
1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
a/ phơng pháp 1 : Chứng minh tỷ số của hai đoạn thẳng bằng tỷ số nghịch đảo
của chúng .
Trong các bài tập dễ , muốn chứng minh a=b , thì ta có thể chứng minh a : b = b: a
VD 5 : Cho tam giác ABC , từ điểm P trên AB dựng PQ // BC cắt AC tại Q ; từ

Q dựng QR //AB cắt BC tại R ; từ R dựng đờng thẳng song song với AC , đờng
này lại đi qua P . Chứng minh rằng P là trung điểm của AB .
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
9
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Chứng minh :
AP : PB = AQ : QC ; PB : PA = BR : RC
Nhng AQ : QC = BR : RC suy ra
AP : PB = PB : PA suy ra

22
PBAP =
suy ra AP = PB (đpcm)
Q
R
P
B
C
A
b/ Phơng pháp 2 : Chứng minh hai đoạn thẳng tỷ lệ với hai đoạn thẳng bằng
nhau cho trớc . Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau ta có thể dựa vào hai
đoạn thẳng bằng nhau cho trớc nào đó rồi chứng minh bốn đoạn thẳng ấy tỷ lệ với
nhau VD muốn chứng minh x =y , mà ta đã biết a = b rồi ta có thể chứng minh a : x
= b : y
VD 6 : Từ một điểm D trên một đờng tròn dựng DE vuông góc với đờng kính
AB ; tiếp tuyến qua A và D cắt nhau tại C; nối CB cắt DE tại F . Chứng minh
rằng : DF = FE .
Suy xét : Từ giả ta đã biết CD = CA , muốn
chứng minh DF = FE thì ta phải chứng minh CD :
DF = CA : FE (1) Tỷ số của vế phải của (1) bằng

AB : EB . Còn tỷ số ở vế trái rất khó chứng minh
bằng AB : EB , CD và DF là hai cạnh của tam giác
CDF cho nên nếu dựng tiếp tuyến qua B , cắt CD
kéo dài tại G thì sẽ đợc tam giác CGB đồng dạng
với tam giác CDF , nh vậy tỷ số ở vế trái của (1)
bằng CG : GB , cũng bằng CG : DG . Từ CA // DE//
GB , ta suy ra AB : EB = CG : DG , vậy tỷ số ( 1 )
đợc chứng minh .
F
B
E
A
D
G
C
c/ Phơng pháp 3 :
Chứng min h hai đoạn thẳng này và một đoạn khác tạo thành một tỷ lệ thức .
Muốn chứng minh x = y mà trong bài lại không cho các đoạn thẳng bằng nhau , ta
có thể dựa vào một đoạn thẳng a và chứng minh
a : x = a : y
VD 7 : Cho một hình thang . Chứng minh rằng giao điểm của các đờng chéo
chia đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy
của hình thang đó .
Suy xét : Trong hình vẽ không
có những đoạn thẳng bằng nhau ,
nhng ta thấy đoạn BC có liên quan
với FE và EG , nên có thể dùng nó
để chứng minh FE = EG
Vì FE // BC suy ra
BC : FE = AB : AE . Tơng tự ta

cũng có BC : EG = DC : DG
Vế phải của hai tỷ lệ thức trên
bằng nhau , vì đấy là những đoạn
thẳng tạo nên bởi ba đờng thẳng
song song cắt hai đờng thẳng
khác , nên những đoạn thẳng tơng
ứng tỷ lệ với nhau
B
F
E
G
C
D
A
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
10
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Nhờ đó ta có : BC : FE = BC : EG và ta rút ra đợc FE = EG .
d/ Phơng pháp 4 :
Lợi dụng phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn .
Ngời ta còn dùng định lý sau đây : Nếu từ một điểm bất kỳ ở ngoài một đờng tròn ,
ta kẻ tới đờng tròn đó một cát tuyến và một tiếp tuyến , thì tiếp tuyến là trung bình
nhân giữa toàn cát tuyến và phần cát tuyến ở ngoài đờng tròn .
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau .
VD 8 : Kéo dài hai dây cung AB , CD của một đờng tròn , chúng cắt nhau tại
một điểm E ở ngoài đờng tròn đó ; dựng đờng song song với AD và đi qua E cắt
CB kéo dài tại F , từ F dựng tiếp tuyến FG với đờng tròn . Chứng minh rằng FG
= FE .

Suy xét : Từ định lý trên ta có :

FG
2
= FC . FB .Cho nên nếu chúng ta chứng
minh đợc FE
2
= FC . FB thì FG = FE . Muốn
có FE
2
= FC . FB thì ta phải chứng minh

FB
FE
FE
FC
=
để có tỷ lệ thức này ta phải chứng
minh FCE đồng dạng với FEB điều đó rất
dễ chứng minh .
G
F
D
C
A
B
E
2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh hai đờng thẳng song song
Để chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau ngời ta thờng dùng hai phơng
pháp sau đây :
a)Phơng pháp thứ nhất :
Lợi dụng các đoạn thẳng tỷ lệ trên hai cạnh của tam giác

VD 9 : Cho tam giác ABC , AD là đờng trung tuyến của tam giác , dựng các đ-
ờng phân giác của các góc ADB , & ADC cắt AB , AC tại E & F . Chứng minh
rằng : EF//BC .
Suy xét : Muốn chứng minh
E F // BC ta có thể chứng minh
AE : EB = A F : FC (1) . Tỷ số ở vế
trái của (1) có các số hạng là hai
đoạn thẳng đợc tạo thành do đờng
phân giác của góc trong tam giác
DAB chia cạnh đối diện cho nên bằng
AD : BD . Tơng tự nh trên ta cũng
chứng minh đợc tỷ số ở vế phải của
( 1 ) bằng AD : CD . Mặt khác
vì BD = DC nên AD : BD = AD : CD
do đó tỷ số (1) đợc chứng minh .
E
B
D
C
F
A
b)Phơng pháp thứ hai :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
11
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Lợi dụng tam giác đồng dạng để chứng minh các góc bằng nhau sau đó
áp dụng các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song đã học ở lớp 7 để suy ra
hai đờng thẳng song song .
VD 10 : Từ một điểm P ngoài đờng tròn dựng tiếp tuyến PA với đờng tròn đó , từ
trung điểm B của PA kẻ một cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đờng tròn tại E và F .

Chứng minh rằng FE//PA .
Suy xét : Muốn cho FE // PA thì phải có
góc BPC = góc E , vì góc E = góc D do vậy
ta cần chứng minh góc BPC = góc D . Muốn
vậy ta tìm cách chứng minh tam giác BPC
đồng dạng với tam giác BDP . Hai tam giác
này đã có góc PBC chung , muốn cho chúng
đồng dạng cần phải chứng minh thêm :
BC : BP = BP : BD , mà BP = BA cho nên ta
có thể chứng minh BC : BA = BA : BD hay
BA
2
= BC . BD , đó chính là hệ thức lợng
trong đờng tròn .
B
A
F
D
P
C
E
C ) Dạng toán thứ ba :
Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng và đa giác nội tiếp .
Để chứng minh các điểm thẳng hàng hoặc đa giác nội tiếp , ngời ta dùng các đoạn
thẳng tỷ lệ để chứng minh hai tam giác đồng dạng trớc , rồi dựa vào các cặp góc
bằng nhau của hai tam giác đó mà chứng minh kết luận của bài ra .
1/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh các điểm thẳng hàng :
VD 11 : Chứng minh rằng các trung điểm của hai đáy của một hình thang ,
giao điểm của hai đờng chéo và giao điểm của hai cạnh bên kéo dài là bốn điểm
thẳng hàng .

Suy xét : Trớc hết ta chứng minh E , F G
thẳng hàng , ta biết rằng AGC là một đờng
thẳng , do đó nếu ta chứng minh đợc góc
AGE = góc CGF thì ta có thể suy ra đợc EG
và GF hợp thành một đờng thẳng . Để đạt đợc
mục đích trên ta nghiên cứu xem tam giác
AEG có đồng dạng với tam giác CFG hay
không ? Vì đã có góc EAG = góc FCG cho
nên chỉ cần chứng minh thêm tỷ số
AE : CF = AG : CG là đợc . Quan sát hình
vẽ ta thấy tam giác ADG đồng dạng với tam
giác CGB cho nên AD : CB = AG : CG mà giả
thiết đã cho AE =
CBCFAD
2
1
,
2
1
=
suy ra tỷ
lệ thức đầu có thể chứng minh đợc .
F
E
G
B
A
C
D
H

Để chứng minh E , F , H thẳng hàng ta dùng phơng pháp nói trên . Ta có tam giác ADH đồng
dạng với tam giác BCH và ta có AD : BC = AH : BH ta suy ra AE : BF = AH : BH , ta có thêm
góc EAH = góc FBH suy ra hai tam giác đồng dạng suy ra hai góc bằng nhau suy ra (đpcm)
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
12
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
2/ Dùng tỷ lệ thức để chứng minh đa giác nội tiếp :
VD 12 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E sao cho :
AE . BE = CE . DE Chứng minmh rằng tứ giác ABCD nội tiếp đợc trong đờng
tròn .
Suy xét :
Từ giả thiết có thể suy ra đợc
AE : DE = CE : BE , bốn đoạn thẳng trong tỷ
lệ thức là các cạnh tơng ứng của tam giác ACE
và tam giác DBE , các cạnh ấy lại kề với các
góc AEC = góc DEB (đ đ) do đó hai tam giác
đó đồng dạng suy ra góc A = góc D suy ra tứ
giác ABCD nội tiếp đợc trong một đờng tròn
E
C
B
D
A
D ) Dạng toán thứ t :
Chứng minh các quan hệ về tổng ( hiệu ) hai tỷ số
1) Chứng minh tổng ( hiệu) hai tỷ số bằng một hằng số :
a/ Bài toán gốc điển hình
VD 13 : Cho tam giác ABC ; G là trọng tâm của tam giác , đờng thẳng qua G cắt
các cạnh AB & AC tại M & N . Chứng minh rằng :

3=+
AN
AC
AM
AB
Suy xét : Đặt vế trái của hệ thức cần chứng minh là f =
AN
AC
AM
AB
+
. Ta thấy hai
đoạn thẳng thuộc hai tỷ số từng đôi một thuộc hai đờng thẳng khác nhau đó là đờng
thẳng AB & đờng thẳng AC . Do đó chúng ta đứng trớc một sự lựa chọn thứ nhất đó
là : Đi về đâu ? Đa về cùng một đờng thẳng nào ? Nói cách khác là chiếu lên đờng
thẳng nào ?
Cách 1 : Đa về đờng thẳng AC ( chiếu lên đờng thẳng AC ) !

Qua B kẻ một đờng
thẳngBP // MN cắt AC
tại P , áp dụng định lý
Ta Lét trong tam giác
ABP ta có
AB : AM = AP : AN
Khi đó f =
AN
ACAP +
đến đây ta nhận thấy
cần phải chứng minh
(AP+AC) = 3AN

Số 3 liên tởng đến tỷ
số 2/3 , có sự liên quan
đến tính chất của trọng
tâm trong tam giác .
Gọi I là trung điểm của
G
J
I
E
Q
P
C
B
M
N
A
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
13
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
BC , J là giao điểm của BP với AG , qua I kẻ IQ// BP , qua C kẻ CE // BP . Xét tam giác CBP có
đờng thẳng IQ đi qua trung điểm I của CB lại song song với BP suy ra Q cũng là trung điểm của
CP do đó ta có AP = AQ PQ ; AC = AQ + QC , mà PQ = QC suy ra AP + AC = 2AQ do đó
f =
AN
AQ2
, áp dụng tính chất của trọng tâm và định lý Ta Lét vào tam giác AIQ có GN // IQ suy
ra
3
2
3

.22
2
3
====
AN
AQ
AN
AQ
AG
AI
Tức là f = 3 (ĐPCM)
Cách 2 : Đa về đờng thẳng AB ( chiếu lên đờng thẳng AB ) !
Làm tơng tự nh cách 1 .
Tuy nhiên chúng ta nhận thấy ở cách 1 hoặc cách 2 đều có sự quanh quẩn dù có
chiếu sang AC hoặc AB rồi lại vẫn phải quay về AI . Vì vậy tốt nhất là chúng ta
đa về đờng trung tuyến AI . Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đ-
ờng thẳng AI ) .
Ta có AB : AM = A J : AG
AC : AN = AE : AG Do đó
f =
AG
AEAJ +
Vì I là trung điểm
của BC suy ra I cũng là trung
điểm của JE suy ra I J = I E
mà ta có ( A J + AE ) =
( A I I J + AI + IE ) = 2AI
Do đó f =
3
2

3
2
2
==
AG
AI
(đpcm)
Lời bàn :
G
J
E
I
B
M
N
C
A
Trong trờng học , chúng ta luôn đợc cảnh báo rằng sai lầm là việc sấu , nếu ta
phạm sai lầm sẽ bị trừng phạt . Nhng nếu ta xem xét phơng pháp học tập của loài
ngời sẽ thấy rõ rằng ; loài ngời luôn học tập trong quá trình phạm sai lầm . Trẻ con
phải ngã mới học đợc cách đi , nếu chúng không bao giờ ngã cũng sẽ chẳng bao giờ
học đợc cách đi . Cách giải thứ 3 là sự hoàn hảo song không phải tự nhiên mà có ,
nó đợc hình thành do quá trình lao động ở cách 1 hoặc cách 2 .
Vì vậy , nếu không tự mình làm theo cách 1 và cách 2 dài dòng , cồng kềnh thì sẽ
không thể có cái gì đẻ cải tiến trở thành cách giải thứ 3 ngắn gọn nhất , và hay nhất
đợc . Do đó trên cơ sở của sự vấp ngã thì con ngời đã lớn lên đợc , hoàn hảo đợc là
thế .
b) Khai thác bài toán
*/ Mệnh đề đảo của bài toán VD 13 :
Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB &

AC tơng ứng sao cho
3
AB AC
AM AN
+ =
Chứng minh rằng : Đờng thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định .

Lời giải : Là nội dung chính của VD 13 : Gọi I là trung điểm của BC , nối AI cắt đờng
thẳng MN tại G , Kẻ BJ // MN ( J thuộc AI ) Kẻ CE // MN ( E thuộc đờng thẳng AI ) . sau đó
trình bày giống VD 13 đến chỗ : f =
2 3
3
2
AI AI
G
AG AG
= =
chính là trọng tâm của tam giác
ABC , tức là đờng thẳng MN luôn đi qua trọng tâm G của tam giác ABC , Nghĩa là đờng thẳng
MN luôn đi qua điểm cố định G đó .
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
14
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
*/ Mệnh đề tổng quát của bài toán VD 13
Cho tam giác ABC , M & N là hai điểm chuyển động trên các các cạnh AB &
AC tơng ứng sao cho
2012
AB AC
AM AN

+ =
. Chứng minh rằng : Tập hợp các đờng
thẳng MN đồng quy .
Lu ý : Thông thờng ngời ta hay chọn mệnh đề tổng quát để ra đề thi HSG các cấp
C/ Các bài toán tơng tự :
Bài 1 : Cho tam giác ABC , kẻ trung tuyến AD . Gọi G là trọng tâm của tam giác .
Một đờng thẳng quay quanh G cắt AB & AC lần lợt tại M & N .
Chứng minh rằng :
1
BM CN
AM AN
+ =
.
Bài 2 : Cho tam giác ABC , trung tuyến AD ; Gọi M là một điểm bất kỳ trên BC ;
qua M vẽ một đờng thẳng song song với AD cắt đờng thẳng AB & AC lần lợt tại E
& F . Chứng minh rằng : ME + MF = 2 AD .
Bài 3 : Qua điểm O bất kỳ trong tam giác ABC ta kẻ đờng thẳng song song với
AB cắt AC & BC tại E & F , kẻ đờng thẳng song song với AC cắt AB & BC tại F &
K , kẻ đờng thẳng song song với BC cắt AB & AC tại M & N .
Chứng minh rằng :
a/
1
AF BE CN
AB BC CA
+ + =
.
b/ Gọi diện tích các tam giác O FM ; OEK ; ODN ; ABC lần lợt là S
1
;S
2

;S
3
và S .
CMR : S = (
2
1 2 3
)s s s+ +
.
c/
2
AM BK CD
AB BC CA
+ + =
d/ ( MN + FK + ED ) không phụ thuộc vào vị trí của điểm O .
e/ Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là a , b , c . Giả sử ba đoạn thẳng MN ,
DE , FK cùng có độ dài là y hãy tính giá trị của y theo a , b , c .
Bài 4 : Cho tam giác ABC , trung tuyến BM cắt phân giác CD tại P . Chứng minh
rằng :
1
PC AC
PD BC
=
.
Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD một đờng thẳng qua B , cắt các đờng thẳng
AC , DC , AD lần lợt tại I , M , N . Chứng minh rằng :

1 1 1
BI BM BN
= +
.

Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A , kẻ đờng phân giác AD ; Chứng minh rằng
:
2 1 1
AD AB AC
= +
.
Bài 7 : Trên cung nhỏ BC của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy điểm M
tuỳ ý , các đoạn thẳng AM & BC cắt nhau tại N . CMR :

1 1 1
MN MB MC
= +
.
Chú ý : Có hai cách giải kinh điển cho bài toán 7 :
Cách thứ nhất là : Tìm các cặp tam giác đồng dạng sau đó quy đồng mẫu số
chung , để suy ra đpcm ( xem lời giải trong TLTK )
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
15
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Cách thứ hai là : áp dụng bài toán cơ bản trong SGK hình học lớp 9 sau đây :
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đờng tròn (O) và một điểm M trên cung BC
không chứa A . CMR : MA = MB + MC
( xem lời giải trong TLTK )
2/ Chứng minh tổng ( hiệu) hai tỷ số bằng một tỷ số ; tổng hai tích bằng tích thứ
ba

a c m
b d n
+ =
, ab + cd = xy , x

2
= ab + cd ; x
2
= a
2
+ cd ; x
2
= a
2
+ c
2
; .và các
dạng tơng tự mà một vế của đẳng thức hình học cần chứng minh là một tổng
hoặc một hiệu hai tích , hai tỷ số .
1/ Nguồn gốc của dạng toán là :
Để chứng minh một đoạn thẳng bằng tổng của hai đoạn thẳng khác :
AB = CD + EF , ta tìm cách phân chia đoạn AB thành hai đoạn bởi điểm M
AB = AM + MB sao cho AM = CD , công việc còn lại là chứng minh MB = EF
ý tởng trên đợc sử dụng để chứng minh dạng toán ab + cd = xy theo ba bớc
sau :
Bớc 1 : Chia đoạn thẳng có độ dài x thành hai đoạn bởi điểm chia M để có :
x=x
1
+ x
2
sao cho x
1
y = ab (1)
Bớc 2 : Chứng minh hệ thức : x
2

y = cd (2)
Bớc 3 : Cộng từng vế của (1) và (2) đợc điều phải chứng minh :
x
1
y + x
2
y = ab + cd
2/ Các Ví Dụ :
VD 14 : Chứng minh định lý Pitago : Tam giác ABC có góc A vuông , chứng
minh rằng : BC
2
= AB
2
+ AC
2
.
Phân tích( có chủ ý để
tìm cách vẽ thêm đợc
hình phụ một cách
thích hợp trong việc
tìm kiếm lời giải bài
toán ) :
Lấy điểm M thuộc cạnh
BC sao cho BM . BC =
AB
2

ã
1
BM AB

AB BC
BMA BAC
BMA v
=

=
:

từ đó M chính là chân đ-
ờng cao hạ từ A xuống BC
M
B
C
A
Lời giải : Hạ AM BC . Vì các góc B , C đều nhọn cho nên M thuộc đoạn BC . Ta có

2
( ) .
BM AB
BMA BAC g g AB BM BC
AB BC
= =:
(1) . Tơng tự

2
.CMA CAB AC CM BC =:
(2) . Cộng từng vế các hệ thức (1) , (2) ta đợc
AB
2
+ AC

2
= BC ( BM + CM ) = BC
2
(đpcm)
VD 15 : Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn . Gọi E & F là chân các đ-
ờng vuông góc hạ từ C xuống các đờng thẳng AB và AD .
Chứng minh rằng : AC
2
= AB .AE + AD . AF .
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
16
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Phân tích : Lấy điểm M
thuộc đoạn AC sao cho
AM . AC = AB . AE suy ra

AM AE
ABM ACE
AB AC
BM AC
=

:
Vậy điểm M cần tìm là chân
đờng vuông góc hạ từ B xuống
AC .
Lời giải : - Gọi M là chân đ-
ờng vuông góc hạ từ B xuống
AC ( do các góc A và C đều
nhọn cho nên M thuộc đoạn

AC )
Hay AC = AM + CM .
- Dễ thấy
( )
. .
ABM ACE g g
AM AC AB AE

=
:
- Lại có
( )
. .
ACF CBM g g
CM AC BC AF

=
:
E
M
F
D
C
B
A
Từ đó với chú ý rằng : BC = AD ta có AB.AE + AD . A F = AM . AC + CM . AC = AC
2
(đpcm)
VD 16 (Định lý Ptôlêmê ) :
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O . Chứng minh rằng :

AC.BD = AB .CD + AD . BC .
Phân tích : Giải sử điểm M thuộc đoạn AC
sao cho AM . BD = AB . CD suy ra
ABM đồng dạng với DBC nên
ã
ã
ABM DBC=
, nh vậy điểm M đợc xác định là
giao điểm của tia Bx với AC , trong đó tia Bx
hợp với BA một góc
ã
ã
ABx DBC=
.
Lời giải : Nếu
ã
ã
ABD DBC=
, chứng minh
đơn giản , điểm M chính là giao điểm của AC
và BD .
Nếu
ã
ã
ABD DBC>
thì trong đoạn AC sẽ tồn tại
điểm M sao cho
ã
ã
( )ABM DBC ABM DBC g g= :

M
D
C
B
A
AM . BD = AB . CD . Dễ thấy
( )BMC BAD g g :
MC . BD = AD . BC

Cộng theo từng vế các đẳng thức trên ta đợc AC.BD = AB .CD + AD . BC (đpcm) .
VD 17 (Bài toán có nội dung số học ) :
Cho tam giác ABC , gọi a , b , c lần lợt là độ dài các cạnh BC , CA , AB của
tam giác , biết rằng :
à à
0
3 2 180A B+ =
.
a/ Chứng minh rằng : a
2
+ bc = c
2
( BC
2
+ AC . AB = AB
2
)
b/ Hãy tính các giá trị của a , b , c ?Biết rằng a , b , c là ba số nguyên liên tiếp

Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
17

Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Phân tích : Giả sử điểm
M thuộc cạnh AB sao cho
BM . AB = BC
2
suy ra
BM BC
BC AB
=
, xét hai tam
giác BMC và tam giác BCA
ta thấy có chung góc B và
có tỷ lệ thức trên cho nên
chúng đồng dạng với nhau
2
1
2
1
1
M
C
B
A
Suy ra :
ã
ã
BCM BCA=
.
Mặt khác theo giả thiết
à à

0
3 2 180A B+ =
=
à à
à à
à à
à
ả
1 2
2A B C C A B C C+ + = + = +
mà theo chứng
minh trên
à
à
ả
à à
à
ả
à
0 0
1 2 2
180 , 180C A C A B C vayC C= = + = =
.
Mặt khác nữa
ả
à
à à à
à
0
1 1

180M C B A B C= + = + =
. Vậy góc
ả
ả
1 2
M C ACM=
cân tại A , đáy là
CM . Vậy điểm M đợc hoàn toàn xác định trên AB sao cho AC = AM .
Lời giải :
a/ Theo giả thiết
à à
0
3 2 180A B+ =
=
à à
à à
à à
à
ả
1 2
2A B C C A B C C+ + = + = +
suy ra góc C là góc lớn
nhất trong tam giác suy ra AB > AC , suy ra trên cạnh AB tồn tại điểm M sao cho
AC = AM hay tam giác ACM cân tại A , đáy là CM suy ra
ã
ã
AMC ACD=

Tức là
ả

ả
1 2
M C=
(1) Ta sẽ chứng minh
à
à
1
C A=
. Tvậy : Ta có

ả
à
à
à
à à
ả
à à
à
2 1
2 1
2 2
C C C
C A B C A B C
=
= + = +
(2)
. Mặt khác theo định lý về góc ngoài của một tam giác ta có

ả
à

à
1 1
M C B= +
(3) . Thay (2) & (3 ) vào (1) ta đợc :
à
à à à
à à
à
à
à
1 1 1 1
2 2 2 ( )C B A B C C A C A BCM BAC g g+ = + = = :
suy ra
BM . BA = BC
2
suy ra (AB-AC) . AB = BC
2
suy ra AB
2
= BC
2
+ AB . AC (đpcm) .
b/ Theo chứng minh ở phần a/ ta có a
2
+ bc c
2
= 0 (*) , và c là cạnh lớn nhất trong tam giác
ABC . Suy ra c là số nguyên lớn nhất trong ba số nguyên liên tiếp a, b , c . Xảy ra hai tr-
ờng hợp a> b hoặc a<b .
*/ Nếu a>b thì c>a>b suy ra ba số nguyên liên tiếp đó sẽ có dạng :

c = a+1 ; b = a 1 thay vào (*) và rút gọn ta đợc : a
2
- 2a 2 = 0 , đây là một phơng trình
bậc hai ẩn số là a có biệt thức = 12 không phải là số chính phơng cho nên phơng trình
không thể có nghiệm nguyên đợc . Do đó TH này sẽ bị loại .
*/ Nếu a < b thì c>b>a khi đó ba số nguyên liên tiếp đó sẽ có dạng : c = b + 1 ; a = b 1
Thay vào (*) và rút gọn ta đợc b
2
- 3b = 0 suy ra b = 0(loại ) hoặc b = 3 ta chọn b = 3
suy ra c= 4 , a = 2 . Thoả mãn BĐT tam giác : 3 + 2 > 4 > 3 - 2
Đáp số : Vậy độ dài các cạnh của tam giác là 2 , 3 , 4
VD 18 : Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn . D là một điểm trên cung
BC không chứa đỉnh A . Gọi I , H và K lần lợt là hình chiếu của D trên các đờng
thẳng BC , AB , và AC . Chứng minh rằng :

BC AB AC
DI DK DH
= +
.
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
18
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Phân tích : Giả sử M thuộc cạnh BC sao cho
BM AB
DI DK
=
lại có tứ giác BKDI nội tiếp đợc trong
đờng tròn suy ra
ã
ã

ABM KDI=
suy ra
DKI BAM (c/c-g)
ã
ã
BAM DKI =
Mà
ã
ã
ằ
1
( )
2
DKI DBI sd DI= =
ã
ã
DBI BAM =
(1 )
Kéo dài AM cho cắt đờng tròn tại điểm N , Trong
đờng tròn này các góc ở đẳng thức (1) đều là các
góc nội tiếp chắn các cung tơng ứng là BN và CD
suy ra
ằ
ằ ằ
ằ
/ /BN CD BD CN DN BC= =
Vậy ta xác định đợc điểm N và suy ra xác định đ-
ợc điểm M .
M
I

H
K
D
N
C
B
A
Lời giải : Qua D kẻ đờng thẳng song song với BC , đờng thẳng này cắt đờng tròn tại điểm thứ
hai là N (N có thể trùng với D ) . Gọi M là giao điểm của AN với BC . Dễ thấy :
- DKI BAM
BM AB
DI DK
=
.
- Lại thấy
( )
CM AC
ACM HDI g g
DI DH
=:
- Cộng từng vế các đẳng thức trên ta đợc ĐPCM
Lời bàn : */Trong mỗi bài toán nêu trên còn có những cách giải khác và có thể có
nhứng cách giải hay hơn .Tuy nhiên ở đây muốn trình bày lời giải một cách tự
nhiên hơn bằng cách phân tích có ý thức , có chủ ý để tìm cách vẽ thêm đợc hình
phụ thích hợp cho mỗi bài toán . Đồng thời đây chính là những cơ hội rất lớn đối
với các em học sinh muốn rèn luyện suy nghĩ , tu duy và ý thức của con ngòi thông
qua hoạt động giải Toán . Các em sẽ thấy đợc tại sao ngời ta lại vẽ đợc những đờng
phụ nh thế . Tại sao SGK Toán 9 khi chứng minh định lý Pitago ngời ta lại dựa vào
chân đờng cao ứng với cạnh huyền , .
*/ Học giải Toán là học cách suy nghĩ , cách tu duy để tìm kiếm lời giải , chứ

không đơn thuần chỉ là biết lời giải của một bài Toán đó . Hầu hết các sách TK ,
nâng cao hiện nay bán trên thị trờng sách đều chỉ cung cấp lời giải của các bài
Toán . Rất hiếm sách TK cung cấp cho ngời đọc biết đợc sự phân tích chu đáo , cẩn
thận quá trình suy nghĩ tìm kiếm lời giải bài toán .
*/ Học sinh cần phải phân biệt sự khác nhau giữa bản nháp và bản trình bày lời giải
chính thức . Bản nháp chính là bản dự thảo , phác thảo của lời giải chính thức vì vậy
không cần phải chi tiết , tỷ mỷ . Nhng lời giải chính thức chính là một văn bản
mang tính KH , nên nó đòi hỏi HS pghải trình bày theo đúng những quy định của
một văn bản KH , từ các KH của hình vẽ , cho đến các thủ tục , hình thức trình
bày , dấu chấm , dấu phảy , lỗi chính tả .đều phải đợc quan tâm một cáh chu đáo
cẩn thận . Nếu không thì Bút xa Gà chết , mặc dù hứng giải đúng nhng không có
KQ nh mong đợi (không đạt giải , Tài Tử là thế , Tài mà chết sớm , tài mà tai)

Một số bài toán tơng tự của dang toán
Bài 1 : Cho tam giác ABC có
à à
2A B=
, gọi a , b , c lần lợt là độ dài của các cạnh
BC , AC , AB của tam giác . Chứng minh rằng : a
2
= b
2
+ bc
Bài 2 : Cho tam giác ABC có góc A bằng 30
0
, góc B bằng 50
0
. Chứng minh rằng
độ dài các cạnh của tam giác liên hệ với nhau bởi hệ thức :

( )
2 2
c b
a
b

=
.
Bài 3 : Cho tam giác ABC có
ã
0
20 ; ;BAC AB AC b BC a= = = =
. Chứng minh rằng :
a
3
+ b
3
= 3ab
2
.
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
19
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Bài 4 : Cho tam giác ABC . Kẻ đờng phân giác AD . Chứng minh rằng :
AD
2
= AB . AC BD . DC . Từ đó suy ra công thức tính đờng phân giác của một
tam giác theo các cạnh của tam giác :

( )

2
a
bc
l p p a
b c
=
+
Trong đó p =
2
a b c+ +
. Hoàn toàn tơng tự ta cũng tính đợc :

( ) ( )
2 2
;
b c
ca ab
l p p b l p p c
c a a b
= =
+ +
trong đó l
b
, l
c
là độ dài đờng phân giác góc
B và góc C của tam giác .
Bài 5 : Cho tam giác ABC . Biết rằng đờng phân giác ngoài của góc A cắt cạnh BC
kéo dài tại E . Chứng minh rằng : AE
2

= EB . EC AB . AC .

Phần thứ năm
Sử dụng câu thần chú :
((
hãy chăm lo tốt phần gốc sẽ tơi tốt phần
ngọn
))
để tìm kiếm lời giải các bài toán khó
I/ Đặt vấn đề :
Lời giải một bài toán nào đó dù khó đến đâu đi nữa cũng chỉ là phần ngọn mà thôi.
Đằng sau nó là một phần rất quan trọng đó là là phần gốc của lời giải đó . Phần
gốc này bao gồm nhiều góc độ khác nhau nh : Kiến thức , kỹ năng , phơng pháp
suy nghĩ , phơng pháp giải vv
Giống nh một cái cây , phần gốc của nó không chỉ là phần thân cây ở trên mặt đất
mà còn có một phần rất quan trọng nằm dới mặt đất mà ngời ta gọi là rễ .Vì vậy khi
nói chăm lo phần gốc thì chúng ta phải chăm lo một cách toàn diện cả gốc lẫn rễ
( Sâu rễ bền gốc) thì phần ngọn của cây mới đợc toi tốt , đơm hoa kết trái đợc
Chúng ta bắt đầu từ bài toán sau đây :
II / Bài toán gốc :
Cho tam giác ABC với AM là đờng trung tuyến xuất phát từ A , I là một điểm
bất kỳ trên đoạn thẳng AM( điểm I không trùng với hai điểm A và M ) , nối BI ,
CI kéo dài lần lợt cắt AC & AB tại E & F . Chứng minh rằng : EF // BC
Nhận xét : Đây là một bài toán rất quen thuộc đối với HS giỏi Toán , tuy nhiên có
thể là do cách tiếp cận với bài Toán của mỗi ngời khác nhau , hơn nữa có thể lâu
không động đến thì phần lớn chúng ta sẽ quên cả cách chứng minh của nó , chứ cha
nói đến những chuyện khác về BT đó .
Vì vậy , trớc hết chúng ta cùng nhau chứng minh lại bài toán này xem sao !
ĐVĐ : Khi học xong chơng trình hình học lớp 7 chúng ta đã có những công cụ
nào để chứng minh hai đờng thẳng song song ?

1) Nhắc lại các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song ở hình học lớp 7
a/ Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a và b trong các góc tạo thành có cặp góc
so le trong bằng nhau ( hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a và b song song
với nhau .
b/ Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đờng thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau .
c/ Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng
song song với nhau .
Những công cụ đó có phải là vạn năng hay không ? các công cụ này có phát huy
tác dụng với bài Toán này hay không ? Rõ ràng trong bài toán này chúng ta không
thể bói đâu ra cặp góc so le trong hay cặp góc đồng vị bằng nhau đợc , chúng ta
càng không thể tìm đợc một đờng thẳng thứ ba cùng vuông góc hoặc cùng song
song với BC & FE đợc . Chúng ta sẽ thấy nếu chỉ dùng các công cụ nói trên thì sẽ
bó tay chấm com ! chịu chết không làm gì đợc . Nhng trời phán rằng : Đã có Ta Lét
thế là tấ cả lại bừng sáng ! Vậy sức mạnh của Định lý Ta lét là cái gì ?
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
20
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Em nào nói đợc ? Trả lời :
- Sử dụng sự song song của các đờng thẳng để thiết lập tỷ lệ thức .
- Sử dụng tỷ lệ thức để chứng minh sự song song .
Cách giải thứ nhất : Ta sẽ sử dụng cả hai sức mạnh đó để giải bài toán . Trớc hết
ta phải kẻ thêm các đờng thẳng song song để thiết lập tỷ lệ thức mà đang cần . Sau
đó khi có tỷ lệ thức thì suy sa sự song song .
Có nhiều cách cách kẻ thêm đờng thẳng song song , ở đây thầy giáo sẽ trình bày
hai cách điển hình sau
Cách 1 : Kẻ thêm hai đờng thẳng song
Qua A kẻ đờng thẳng song song với CF cắt đờng thẳng BE kéo dài tại D . Qua B kẻ một đ-
ờng thẳng song song với CF cắt đờng thẳng AM tại K , áp dụng định lý Ta lét trong tam giác
EIC có AD//CI

Ta có
AE AD
EC IC
=
(1)
Mặt khác , vì M là trung điểm của BC
suy ra CI = BK
M
K
D
F
E
I
C
B
A
Suy ra
AD AD
IC BK
=
(2) Lại áp dụng định lý Ta lét trong tam giác IBK có AD//BK suy ra ta có

AD AI
BK IK
=
(3) Lại áp dụng định lý trong tam giác ABK có FI // BK suy ra ta có
AI AF
IK FB
=
(4)

Từ các đẳng thức 1-4 ta suy ra
/ /
AE AF
EF BC
EC FB
=
.
Cách 2 : Kẻ thêm một đờng thẳng song song :
Qua A kẻ đờng thẳng song song với BC cắt BE và CF kéo dài lần lợt tại P & Q . theo định lý
Thales ta suy ra AP = AQ , sau đó lại sử dựng định lý 2 lần nữa suy ra
/ /
AE AF
EF BC
EB FC
=
M
I
E
F
P
Q
C
B
A
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
21
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Ngoài cách giải khai thác sự song song nh trên( có thể kẻ thêm một hoặc hai đờng
thẳng song song ) Ta có thể sử dụng diện tích để chứng minh . Chẳng hạn ta có thể
sử dụng kết quả sau đây của chuyên đề diện tích để chứng minh FE//BC .

Kết quả : Cho tam giác ABC , M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC , I là một
điểm bất kỳ trên AM khi đó ta luôn có :

ABI
ACI
S BM
S MC
=
Ta có F thuộc AB , và I thuộc CF suy ra ta có :
(1)
(2); 1 (3)
AIC
BIC
AIB AIB
AIB AIC
BIC AIC
S
AF
S BF
S SAE BM
S S
S EC S CM
=
= = = =
Từ (1) , (2) , (3) suy ra đpcm .
Lời bàn :
1/ So với các công cụ chứng minh hai đờng thẳng song song của hình học lớp 7 thì
định lý Ta Lét đảo trong tam giác có tính u việt rất lớn có thể nói nó đã tạo ra một
cuộc cuộc cách mạng trong việc chứng minh hai đờng thẳng song song của hình
học phẳng . Nó đã làm cho học sinh lớp 8 , 9 mở rộng tầm nhìn , tầm tu duy lên

một đẳng cấp văn hoá hơn hẳn HS lớp 6 ,7 . Các em khôn lớn trởng thành về mặt
kiến thức là ở chỗ đó , thế nhng nhiều khi chính các em lại không ý thức đợc sự
khôn lớn trởng thành của mình ở chỗ nào ? chính vì thế thầy giáo dành ra một ít
phút để phân tích cho các em thấy rõ đợc những bậc thang trong nhận thức và tu
duy của chính mình . Trong thực tế rất nhiều thầy cô giáo cũng chỉ biết dạy hết bài
này sang bài khác mà không hề phân tích cho HS thấy rõ đợc những bậc thang
quan trọng của tri thức mà HS đã và đang bớc qua ( thậm trí đang chạy qua mà
không hề hay biết ) Nếu các em cứ hồn nhiên chạy qua cái hay cái đẹp của văn
hoá , của tri thức nhân loại thì cuộc đời của các em sẽ cả thèm chóng chán . Các em
sẽ chán trờng , chán lớp , chán thầy , chán cô , chán học(mặc dù suốt ngày đi học
thêm) , rồi bỏ học lúc nào không hề hay biết . Đó chính là một trong số nhiều con
đờng dẫn HS tới tệ nạn xã hội , để rồi đa con ngời tới địa ngục lúc nào không hay
biết . Gây ra bao nhiêu đớn đau cho nhiều GĐ VN hiện nay .
2) Các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song của hình học lớp 8
a) Dấu hiệu thứ nhất( Định lý Ta Lét đảo ) :
Nếu một đờng thẳng không đi qua đỉnh của một tam giác và chia (trong hoặc
ngoài) hai cạnh của tam giác đó thành những đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ thì nó song
song với cạnh còn lại của tam giác đó .
b)Dấu hiệu thứ hai ( Tính chất của đờng trung tuyến trong tam giác )
Cho tam giác ABC với AM là đờng trung tuyến xuất phát từ A , I là một điểm
bất kỳ trên đoạn thẳng AM( điểm I không trùng với hai điểm A và M ) , nối BI ,
CI kéo dài lần lợt cắt AC & AB tại E & F . Khi đó ta luôn có : EF // BC
Chú ý : Nhờ có dấu hiệu thứ nhất mà chúng ta có dấu hiệu thứ hai & và một khi
đã có rồi ( C/m hẳn hoi rồi ) thì nó lại trở thành một công cụ mới để giải Toán
Sau đây là một số bài thi HSG cấp Tỉnh và cấp quốc gia có sử dụng dấu hiệu thứ
hai .
5/ Một số ứng dụng của dấu hiệu thứ hai vào giải Toán :
a)Bài toán tầm cỡ thi HSG cấp Tỉnh :
VD 19 :
Cho nửa đờng tròn đờng kính AD . Trên nửa đờng tròn ta lấy một điểm B ,

trên đờng kính AD ta lấy một điểm C sao cho AB = CD . Chứng minh rằng :
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
22
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Trong tam giác ABC có phân giác kẻ từ A , trung tuyến kẻ từ B và đờng cao kẻ
từ C đồng quy tại một điểm .
1/ Suy xét :

Đây là một bài toán thi HSG năm học 1997-1998 của tỉnh Bắc Ninh , không khó
lắm tuy nhiên với tinh thần chăm lo tốt phần gốc , sẽ tốt tơi phần ngọn , tôi sẽ làm
bài bản một chút theo các bớc tìm kiếm lời giải một bài Toán mà Pô li a đã nêu ra
a/ Bớc 1- Lựa chọn phơng pháp giải
Trớc hết chúng ta phải đọc thật kỹ văn bản đầu bài , vẽ hình , ghi GT + KL , theo
đúng nội dung của đầu bài . Tiếp đến chúng ta sẽ suy nghĩ đến việc lục lọi các ph-
ơng pháp chứng minh các đờng thẳng đồng quy một điểm mà chúng ta đã biết để
lựa chọn xem phơng pháp nào có khả năng giải đợc bài toán này . Tất cả có 5 ph-
ơng pháp cơ bản để chứng minh các đờng thẳng đồng quy mà chúng ta đã rất quen
thuộc đó là :
- Chứng minh giao điểm của hai đờng thẳng nằm trên đờng thứ ba .
- Dựng một đờng thẳng đi qua giao điểm của hai đờng thẳng cho trớc , rồi
chứng minh đờng thẳng này trùng với đờng thẳng thứ ba .
- Qua giao điểm của hai đờng thẳng cho trớc dựng hai đờng thẳng khác , rồi
chứng minh hai đờng thẳng này hợp thành đờng thẳng thứ ba .
- Chứng minh các đờng thẳng đều đi qua một điểm cố định .
- Lợi dụng các định lý về các đờng đồng quy trong tam giác .
Chúng ta hãy để ý đến phơng pháp thứ hai đó là : Dựng đờng thẳng đi qua giao
điểm của hai đờng thẳng cho trớc , rồi chứng minh đờng thẳng này trùng với đờng
thẳng thứ ba .
b/ Bớc 2 - Xây dựng kế hoạch giải bài toán :
Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy thì ta phải gọi tên giao điểm của 2 trong

ba đờng thẳng cần chứng minh . Trớc khi gọi tên giao điểm của chúng , ta phải gọi
tên hai trong ba đờng thẳng cần chứng minh đồng quy , trong đó nhất thiết phải có
đờng trung tuyến ( vì ta muốn vận dụng dấu hiệu thứ 2 tính chất của đờng trung
tuyến ) Vì vậy hình thành kế hoạch giải bài toán nh sau
*/ Gọi tên hai trong ba đờng thẳng cần chứng minh , trong đó nhất thiết phải có đ-
ờng trung tuyến . Sau đó gọi tên giao điểm của của chúng
*/ Dựng đờng thẳng đi qua đỉnh còn lại của tam giác và giao điểm nói trên
*/ Chứng minh đờng thẳng mới dựng này trùng với đờng thẳng thứ ba .
c/ Bớc 3 - Thực hiện kế hoạch đã đề ra Thực hiện lời giải bài toán
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
23
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Lời giải : */ ĐVĐ: Gọi BM là đờng trung
tuyến , AE là đờng phân giác của tam giác
ABC , gọi I là giao điểm của AE với BM nối
CI kéo dài cho cắt AB tại H ta sẽ chứng minh
CH chính là đờng cao kẻ từ C của tam giác
ABC .
Tvậy : Theo dấu hiệu thứ hai ta có HE // AC
AH CE
HB EB
=
. Mặt khác vì AE là phân giác
nên ta có :
;
CE AC AC AC
AB CD
BE AB AB CD
= = =

Vậy ta có :
/ /
AH AC
CH BD
HB CD
=
( 1 )
H
E
I
M
C
D
B
A
Mặt khác ta có
ã
ABD
là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn suy ra
ã
0
90ABD BD AB=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra CH tức là CH chính là một đờng cao của tam giác ABC .
Lời bàn :
*/ Nhờ có dấu hiệu thứ hai chúng ta mới có sự kiện rất quan trọng của lời giải đó là
HE//AC để sau đó suy ra đợc những tỷ số mong muốn
*/Muốn có đợc lời giải nh trên đòi hỏi HS phải có một phần gốc rất vững chắc đó
là :
- 5 phơng pháp chứng minh ba đờng thẳng đồng quy , sau đó lựa chọn cách ĐVĐ

cho phù hợp .
- Hai dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song của hình học lớp 8 nói trên .
- Một tính chất liên hệ giữa song song và vuông góc của hình học lớp 7 .
- Hệ quả của định lý về góc nội tiếp .
Trong kỳ thi năm đó có rất nhiều HS dự thi đã không làm đợc bài Toán này vì phần
gốc của những em đó không có đủ những vấn đề nói trên .
*/ Ngoài cách ĐVĐ nh trên chúng ta có thể ĐVĐ nh sau : Gọi CH là đờng cao kẻ
từ C , BM là đờng trung tuyến kẻ từ B , gọi I là giao điểm của CH với BM . CMR :
AD là phân giác của góc A .
*/ Một số bài tập tơng tự với VD 19
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn , có trung tuyến BM , phân giác CD , và đờng cao
AH đồng quy tại điểm O . Chứng minh rằng :
ã
0
45BAC =
.
Bài 2 : Cho tam giác ABC có góc
à
A
= 90
0
, trung tuyến BM , phân giác AD , và đ-
ờng cao CH đồng quy tại điểm . Chứng minh rằng :
SinB =
5 1
2

. Từ đó suy ra cách dựng một tam giác có tính chất nêu trên .
Bài 3 : Cho tam giác ABC . AM , AD thứ tự là trung tuyến và phân giác của góc
A , qua C kẻ đờng thẳng vuông góc với AD cắt AD , AK thứ tự tại H , K . Chứng

minh rằng MH // AB & MH đi qua trung điểm của KD .
Trớc khi chuyển sang bài toán khó hơn ( Tầm cỡ thi quốc gia ) chúng ta hãy
quay trở lại chăm lo bài toán gốc một chút nh sau :
B/ Chăm lo bài toán gốc :
- Nhiều khi chúng ta cho rằng bài toán gốc , cũng nh các định lý trong lý thuyết
chẳng có gì phải quan tâm, suy nghĩ cả . Đó là một quan niệm hết sức sai lầm , mà
chúng ta sẽ phải trả giá khi tham dự thi HSG các cấp .
- ở bài toán gốc nói trên chúng ta hãy khảo sát các vị trí khác nhau của điểm I trên
cả đờng thẳng AM xem khi đó kết luận của bài toán còn đúng hay không ?
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
24
Chuyên đề : Định lý Ta lét và các bài toán về đoạn thẳng tỷ lệ
Trờng hợp thứ nhất điểm I nằm trong đoạn AM (điểm I không trùng với A & M)
chúng ta đã làm trong bài toán gốc . Bây giờ chúng ta khảo sát trờng hợp thứ hai :
Điểm M nằm ngoài đoạn AM .
Trờng hợp thứ hai : Điểm I nằm ngoài đoạn AM
Xét hai khả năng sau :
Khả năng 1 : Điểm I nằm trên tia đối của tia AM , thì kết luận của bài toán vẫn
đúng , với chứng minh hết sức đơn giản nh sau :
Trong trờng hợp này ta xét tam giác
IBC có IM là đờng trung tuyến , điểm
A thuộc IM . áp dụng kết quả đã
chứng minh trong trờng hợp thứ nhất
đối với tam giác IBC và đờng trung
tuyến IM ta suy ra FE // BC
M
E
F
I
C

B
A
Khả năng thứ hai : Điểm I nằm trên tia đối của tia MA , thì lại đựợc phân chia
thành hai trờng hợp sau :
Trờng hợp thứ nhất : Điểm I thuộc tia đối của tia MA sao cho MI = MA . Khi đó
tứ giác ABIC là hình bình hành ( hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ-
ờng ) Vì vậy BI // AC , cho nên không cắt AC , tức là điểm E không tồn tại , tơng tự
điểm F cũng không tồn tại . Do vậy , kết luận của bài toán là FE // BC cũng sẽ
không tồn tại .
Trờng hợp thứ hai : Điểm I thuộc tia đối của tia MA sao cho MI MA . Ta sẽ
chứng minh đợc kết luận của bài Toán nh sau :
Thật vậy :
Gọi P ; Q lần lợt là trung điểm của BF và CE , khi đó MP & MQ lần lợt là đờng trung bình của
tam giác BFC & tam giác CBE , khi đó MP// FC & MQ // BE suy ra
&
;
AP AM AQ AM AP AQ AP PF AQ QE
PF MI QE MI PF QE PF QE
AP BP AQ CQ
PF BP QE CQ
PF QE

= = = =

= = =
Hay
/ /
1 1
2 2
AB AC AB AC AB AC

BC FE
PF QE BF CE
BF CE
= = =
Lê Văn Chung Trờng THCS Lê Văn Thịnh , huyện Gia Bình
25