PP suy luận nhanh gv lê văn vinh CHUONG 1 DAO ĐỘNG cơ chuyên đề 5 tổng hợp dao động điều hò dạng 2 bài toán nghịch image marked

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Dạng 2. BÀI TOÁN NGHỊCH
PHƯƠNG PHÁP:
Nếu biết một dao động thành phần x1  A1 cos  t  1  và dao động tổng hợp

x  A cos  t    thì dao động thành phần là x2  A 2 cos  t  2  được xác
định bởi biểu thức:

A 22  A 2  A12  2AA1 cos    1 


A sin   A1 sin 1
tan 2  A cos   A cos 

1
1

(với 1    2 )

 VÍ DỤ MẪU:
Ví dụ 1: (ĐH 2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số có phương trình li độ x = 3 cos (πt – 5π/6) (cm). Biết
dao động thứ nhất có phương trình li độ x1 = 5 cos (πt + π/6) (cm). Dao
động thứ hai có phương trình li độ là
A. x2 = 8 cos (πt + π/6) cm.

B. x2 = 2 cos (πt + π/6) cm.

C. x2 = 2cos (πt – 5π/6) cm.
D. x2 = 8 cos (πt – 5π/6) cm.

Phân tích và hướng dẫn giải
Nhận xét: ta thấy biên độ và pha đều cho rõ ràng nên cách giải nhanh nhất là dùng
máy tính.
Với máy FX570ES : Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn đơn vị đo góc là rad (R) SHIFT MODE 4 .
 5 

Dao động thành phần thứ 2: x  x1  x 2  x 2  x  x1  3     5  
6


6

Nhập: 3 SHIFT()  (-5/6)  5 SHIFT()  (/6 = 8  .
6

Vậy: x 2  8 cos  t    cm   Chọn A
6

Ví dụ 2: (Trích đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1 năm 2013)
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình :


x1  A1 cos  t   cm ; x 2  5 cos(t  )cm . Phương trình dao động
2



tổng hợp là x  5 3 cos  t   cm . Giá trị của A1 bằng
3



A. 5,0cm hoặc 2,5cm.

B. 2, 5 3cm hoặc 2,5cm.

C. 5,0cm hoặc 10cm.

D. 2, 5 3cm hoặc 10cm.
273


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Phân tích và hướng dẫn giải
Nhận xét: ta thấy thành phần tổng hợp đề cho biên độ và pha ban đầu rõ ràng
nhưng thành phần hai chỉ mới cho biên độ, pha ban đầu thành phần hai chưa cho
nên ta không thể sử dụng máy tính để tìm thành phần thứ nhất được.
Đề bài cho  và 1 nên ta có giản đồ vecto mô phỏng như hình vẽ. Ở đây không cần vẽ
chính xác theo dữ liệu đề cho vì đề chỉ yêu cầu tìm biên độ của dao động thành phần.
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác OA1A

A

 A 22  A 2  A12  2AA1cos(1  )

 

2

 
 A12  2.5 3A1cos   
2 3
 A  10
 A12  15A1  50  0   1
 A1  5
1
Vậy chọn đáp án C
 52  5 3

Ngoài ra, để khỏi mất công vẽ hình

A1
1  
A2


2

Ta sử dụng kiến thức hình học
O
về vecto như sau:
  
+ Nếu A  A1  A 2  A 2  A12  A 22  2A1A 2 cos( 1  2 )
  
+ Nếu A 2  A  A1  A 22  A 2  A12  2AA1cos(   1 )
  
+ Nếu A1  A  A 2  A12  A 2  A 22  2AA 2 cos(   2 )



Giải lại bài trên

   
 
Ta có: A  A1  A 2  A 2  A  A1
 A 22  A 2  A12  2AA1cos(  1 )

 

 52  5 3

2

 A12  2.5 3A1cos(

 
 )
2 3

 A  10
 A12  15A1  50  0   1
 A1  5
Cách giải này cho đáp số nhanh hơn vì chỉ cần áp dụng công thức là có ngay đáp án

Ví dụ 3: (Chuyên Hà Tĩnh lần 1 năm 2013)
Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động có các phương trình :

x1  A1 cos  t   cm ; x 2  5 cos(t  )cm cm. Phương trình dao động
2



tổng hợp là x  5 3 cos  t   cm cm. Giá trị của A1 bằng
3

A. 5,0cm hoặc 2,5cm.
B. 2, 5 3cm hoặc 2,5cm.
C. 5,0cm hoặc 10cm.
274

D. 2, 5 3cm hoặc 10cm.


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Phân tích và hướng dẫn giải
  

 
Ta có: A  A1  A 2  A 2  A  A1

 A 22  A 2  A12  2AA1cos(  1 )
 
 A12  2.5 3A1cos   
3 2
 A1  10
 A12  15A1  50  0  
 A1  5



 52  5 3



2

Chọn đáp án C
Ví dụ 4: Cho hai dao động điều hoà cùng phương : x1 = 2 cos (4t + 1 )cm
và x2 = 2 cos( 4t +  2 )cm. Với 0  2  1   . Biết phương trình dao động
tổng hợp x = 2 cos ( 4t +  / 6 )cm. Pha ban đầu 1 là :
A.  / 2

B.  / 3
C.  / 6
D.  / 6
Phân tích và hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có: 0  2  1    2  1  2  ( 1    2 )
Ta có: A 2  A12  A 22  2A1A 2 cos(2  1 )  4  4  4  8cos(2  1 )
 cos(2  1 )  

1
2
 2  1 
2
3

(vì 2  1  0 loại nghiệm âm 2  1  

  


 
Ta lại có: A  A1  A 2  A1  A  A 2

2
)
3

 A12  A 2  A 22  2AA 2 cos(  2 )
1

 cos(  2 )     2  
2
3
 
2 


   1 
    1   rad
6 
3 
3
6
(vì   2  0 loại nghiệm dương   2 


)
3

Chọn đáp án D
Ví dụ 5: Cho hai phương trình dao động điều hòa cùng phương cùng tần

số có phương trình x1  A1cos  4t   cm và x 2  A 2 cos  4t    cm
6

Phương trình dao động tổng hợp x  9 cos  4t    cm .
Biết biên độ A2 có giá trị cực đại. Giá trị của A1; A2 và  là:
A. A1  9 3cm; A 2  18cm;   

2
rad
3

275


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh


rad
3
2
rad
C. A1  9 3cm; A 2  9cm;  
3

D. A1  9cm; A 2  18cm;    rad
3
Phân tích và hướng dẫn giải

B. A1  9cm; A 2  9 3cm;  

Cách 1: Giải theo giản đồ vec tơ
Theo bài ra, ta có giản đồ vec tơ như hình vẽ:
Áp đụng định lý hàm số sin ta có:
A2
A
A sin 
(1)

 A2 


sin  sin
sin
A2
6
6
Từ (1)  A 2max khi α = 900:

A
 2A  18cm
1
2
Tam giác OAA2 vuông tại A nên ta có:
 A2 

K

O

π/6
α
A

π/6
A1

A12  9 2  A 22  A1  A 22  9 2  9 3cm
Xác định pha ban đầu tổng hợp
Dựa vào giản đồ vectơ ta thấy vectơ dao động tổng hợp ở dưới trục hoành
 
2
nên   0        rad
2 6
3
Chọn đáp án A
Cách 2: Áp dụng điều kiện A1 để A2 max
A 2max 

A1 

A

sin( 2  1 )

A

tan( 2  1 )

9


sin    
6

9


tan    
6


 18cm

 9 3cm

Có A1 ; A 2 ta tính pha ban đầu của dao động tổng hợp theo công thức quen
thuộc:

9 3 sin     18 sin   
A sin 1  A 2 sin 2

 6
tan   1

 3     k

A1 cos 1  A 2 cos 2
3
9 3 cos     18 cos   
 6

276


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2
rad(k  1)
3
Nhận xét: Chúng ta thấy sự phức tạp của cách lấy nghiệm thế này. Vậy có cách
nào tìm được  luôn đúng không? Có các bạn à!. Sử dụng máy tính FX 570ES trở

Mà 2    1    

lên là nhanh và chính xác nhất. nhớ là khi bài toán cho biên độ và pha ban đầu của
các dao động thành phần thì mới sử dụng được nhé!
Dùng máy tính FX570ES:
Bấm MODE 2 màn hình xuất hiện chữ: CMPLX
Chọn chế độ máy tính theo radian(R): SHIFT MODE 4
Tìm dao động tổng hợp:

Nhập máy: 9 3 SHIFT ().    + 18 SHIFT ()  ( ) =
 6
2
Hiển thị: 9 
3
2
Như thế ta thấy: A = 9cm và    rad . Đây là kết quả ta mong đợi
3
Ví dụ 6: (Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An lần 3 năm 2012)

Một vật có khối lượng không đổi thực hiện đồng thời 2 dao động điều
hoà có phương trình lần lượt là
x1  10 cos(2t  )cm ;

x 2  A 2 cos(2t   / 2)cm ; x  A cos(2t   / 3)cm . Khi biên độ dao động

của vật bằng nửa giá trị cực đại thì biên độ dao động A 2 có giá trị là
A. 10 3 cm

B. 19,5 cm
C. 20 3 cm
D.30 cm
Phân tích và hướng dẫn giải
Biên độ dao động cực đại của vật: A max  A1  A 2  10  A 2
  

 
Ta có: A  A1  A 2  A1  A  A 2  A12  A 2  A 22  2AA 2 cos(  2 ) (*)
Theo bài ra: A 

A max 10  A 2
(*)

2
2

2
10  A 2
 
 10  A 2 

2
 10 2  
A 2 cos    
  A 2  2.
2
2
 3 2



A 22
3
 A 22  (10  A 2 )A 2 .
4
2
52 3  2
 A 2  19, 5

 A 2  19, 5
 A 2  (5  5 3)A 2  75  0  
4
 A 2  10  0


 100  25  5A 2 

Vậy chọn đáp án B
Tuy nhiên đây không phải là đáp án đúng. Vậy chúng ta đã sai lầm từ đâu?
Các bạn à! Biên độ dao động cực đại của vật: A max  A1  A 2  ; 1 ; 2
277

CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Cùng pha với nhau. Nhìn vào phương trình thành phần thứ 2 và phương trình
tổng hợp ta thấy hai pha là không bằng nhau. Vì thế chúng ta đã sai ngay từ bước
này dẫn tới kết quả có trong đáp án nhưng lại sai. Đây là cái bẫy rất nhiều bạn gặp
phải khi làm trắc nghiệm.
Sau đây là lời giải chính xác của bài toán:
A1
Theo bài ra, ta có giản đồ vec tơ như sau:
Độ lệch pha giữa thành phần tổng hợp với

  
Thành phần thứ hai:   2    
3 2 6
A
6
A
2
Theo định lý hàm sin:
A1
A1
A


A
.sin   2A1 sin 
  sin 




sin  
sin  
6
6

A1  const  A max  sin   1     A max  2A1
2
A max 2A1
Khi A 

 A1
2
2

Ta lại có: A12  A 2  A 22  2AA 2 cos(  2 )  A 22  2A1A 2 cos( )  0
6

 A 2  3A1  10 3cm
Vậy đáp án chính xác là A
Ví dụ 7:(ĐH 2014) Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các
phương
trình
lần
lượt
là
và
x1  A1cos( t  0,35) (cm)

x2  A2cos( t  1,57) (cm) . Dao động tổng hợp của hai dao động này có
phương trình là x  20cos( t   ) (cm) . Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần
giá trị nào nhất sau đây?
A. 25 cm.
B. 20 cm.
C. 40 cm.
D. 35 cm.
Phân tích và hướng dẫn giải


0
1  0,35rad   20
M

9
Theo bài ra: 
A
1
70o 
  1,57rad     900
 2
2
A2
20o
Áp dụng định lí hàm số sin:

O
A1
A
A1  A2

A
 2 

o
sin sin  sin70
sin  sin 


  A1  A2  

278

A

 sin  sin  
o

sin70

A

B




Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt




A
o

sin70

2sin(

2 A.sin55o
sin70o

 A1  A2 max

 
2

.cos(

)cos(

 
2

 
2

)

)

  
khi cos
 2


  1      OMB cân tại M.


sin55o

 34,87 cm.  Chọn D
sin70o
Ví dụ 8: (Trích đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2 năm 2013): Dao động
tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ
bằng trung bình cộng của hai biên độ thành phần và lệch pha so với dao
động thành phần thứ nhất là 90o. Độ lệch pha của hai dao động thành
phần đó là:
 ( A1  A2 )max  2 A

A. 120o.

B. 126,9o.
C. 105o.
Phân tích và hướng dẫn giải

Đề bài:

A  A2 
A 1


2
  2  1  ???
0
  1  90 

A1

Theo đề bài ta có
giản đồ vectơ như
hình vẽ:
Áp dụng định lý hàm sin:
Ta lại có: A 

A2


2

A

D. 143,1o.

x



A1
A2

 A1  A 2 sin 

sin  sin 900

A1  A 2 A 2 sin   A 2 A 2 (sin   1)


2
2
2

  1  900  A 22  A 2  A12  2AA 2 cos(  1 )
 A 22  A 2  A12



A 22

2

 A (sin   1) 
2
2
 2
  A 2 sin 
2



 4  1  2 sin   sin 2   4 sin 2 

sin   1(l)

 5 sin 2   2 sin   3  0  
sin   3    36,90

5
279


CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh

Từ hình vẽ ta thấy: 2  1    90  36,8  90  126,90
Chọn đáp án B
Ví dụ 9: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương

cùng tần số có phương trình là x1, x2, x3. Biết x12  6 cos( t  )cm ;
6


x 23  6 cos( t  )cm ; x13  6 2 cos( t  )cm . Tính x biết x 2  x12  x 23
3
12
A. 6 2 cm

B. 12cm
C. 24cm
Phân tích và hướng dẫn giải

D. 6 3 cm

x12  x1  x 2
x  x13  x 23

 x12  x13  2x1  x 23  x1  12

2
x13  x1  x 3
x13  x1  x 3
x  x 23  x12
 x13  x 23  x12  2x 3  x 3  13

x

x

x
2
 23
2
3

Sử dụng máy tính fx 570Es (plus) ta được:




A1  6cm
x12  x13  x 23 6 6  6 2  12  6 3


x1 

 6  


2
2
6
1  (rad / s)
6



 x1  6cos  t   (cm)
6





A 3  6cm
6 2
 6
 6
x13  x 23  x12


12
3
6
x3 

 6



2
2
3
(rad / s)
3 
3




2 
 

 x 3  6cos  t 
  6cos  t     6 sin  t   (cm)
3
6
2
6









x 2  x12  x 32  6 2 cos 2  t    6 2 sin 2  t    6 2  x  6 2cm . Chọn A

6
6



Ví dụ 10: Cho ba vật dao động điều hòa cùng tần số, cùng khối lượng, dao
động trên những trục song song kề nhau và song song với trục Ox với phương
trình lần lượt

x1  A cos(ωt  φ1 ) cm,

x 2  A cos(ωt  φ 2 )

cm và

x 3  A cos(ωt  φ3 ) cm. Biết tại mọi thời điểm thì động năng của chất điểm
thứ nhất luôn bằng thế năng của chất điểm thứ hai và li độ của ba chất điểm
thỏa mãn hệ thức  x1  x 2 .x 3 . Tại thời điểm mà khoảng cách giữa x2 và x3
2

280


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

bằng

2A
thì tỉ số giữa động năng của chất điểm thứ nhất so với chất điểm thứ
3

ba là
A.

9
.
11

B.

11
9.

C.

9
.
4

4
9

D. .

Phân tích và hướng dẫn giải
2

2

2

2 2

2

2

+ Ta có E đ1  E t2  mω (A  x1 )  mω x 2  x1  x 2  A
2

2

2

2

2

+ Tại mọi thời điểm :  x1  x 2 .x 3  x 2  A  x 2 x 3  x 2 (x 2  x 3 )  A .
+ Khi khoảng cách giữa hai chất điểm 2 và 3 là

2A
ta có :
3


A 3
x2 

2A


2
Khi : x 2  x 3 

3
 x  A 3  2A  7A  A (vô lý)
 3
2
3 2 3

A 3
 x 2  
2A
A2
2
Khi : x 2  x 3  

 x12 
4
3
 x   A 3  2A  A  A
3

2
3 2 3


E đ1

E đ3

2

A  x12
A 2  x 32

A2
9
4
. Chọn đáp án A


2
11
A


A2  

2 3
A2 

Ví dụ 11: Một chất điểm tham gia đồng thời ba dao động điều hòa có
phương trình x1  2 c os  t



cm; x 2  2 c os  t + φ 2  cm và x 3  2 c os  t + φ 3 

cm với φ 3  φ 2 và 0  φ 3 ; φ 2   . Dao động tổng hợp của x1 và x2 có biên độ là 2

cm, dao động tổng hợp của x1 và x3 có biên độ 2 3 cm. Độ lệch pha giữa hai
dao động x2 và x3 là
A.

5π
.
6

B.

π
.
3

C.

π
.
2

D.

2π
.
3

Phân tích và hướng dẫn giải
⋇Nhận thấy biên độ các dao động thành phần bằng nhau nên:

281

CN tinh hoa PP giải nhanh bằng suy luận Vật lí, tập 1– Lê Văn Vinh


φ2
φ 
.c os  4t + 2 
2
2 

φ
φ
1
2π
Theo bài ra: A12  2.2cos 2  2  c os 2   φ 2 
2
2 2
3

φ3
φ3 
Ta cũng có: x13  x1  x 3  2.2cos .c os  4t +

2
2 

φ
φ
3

π
 φ3 
Theo bài ra: A13  2.2cos 3  2 3  c os 3 
2
2
2
3

Ta có: x12  x1  x 2  2.2cos

 φ 2  φ3 

2π π π
  . Chọn B
3 3 3

Ví dụ 12: Hai vật dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
trình lần lượt là x1  A1 cos(t  1 ) và x 2  A 2 cos(t  2 ) . Gọi x    x1  x 2
và x    x1  x 2 . Biết rằng biên độ dao động của x   gấp 3 lần biên độ dao động
của x   . Độ lệch pha cực đại giữa x1 và x2 gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A. 500

B. 400
C. 300
D. 600
Phân tích và hướng dẫn giải

A  A 2  A 2  2A A cosφ
 ()
1

2
1 2
+ Ta có: 
2
2
A (  )  A1  A 2  2A1A 2cosφ
2

2

+ Mà: A (  )  3A (  )  20A1A 2 cosφ = 8(A1  A 2 )  16A1A 2

4
 φ max  36,86o.
5
0
Vậy giá trị gần nhất với φ max là 40 . Chọn B
+ Vậy cos φ max 

Ví dụ 13: (Chuyên Lương Văn Tụy
O1
x
– Ninh Bình lần 2/2016) Ba chất điểm
M1, M2 và M3 dao động điều hòa trên ba
trục tọa độ song song cách đều nhau với
a
O2
x
các gốc tọa độ tương ứng O1, O2 và O3
như hình vẽ. Khoảng cách giữa hai trục

tọa độ liên tiếp là a = 2cm. Biết rằng
a
phương trình dao động của M1 và M2 là
O3
x
x1 = 3cos2πt (cm) và x2 = 1,5cos(2πt +
π/3) (cm). Ngoài ra, trong quá trình dao
động, ba chất điểm luôn luôn thẳng hàng với nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa
hai chất điểm M1 và M3 gần giá trị nào nhất sau đây?
282


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

A. 6,56cm

B. 5,20cm
C. 5,57cm
D. 5,00cm
Phân tích và hướng dẫn giải

+ Điều kiện để 3 chất điểm luôn thẳng hàng là: x 2 

x1  x 3
2


2π 
Fx 570es plus
 x 3  2x 2  x1 

 x 3  3 cos  2 πt 

3 

+ Khoảng cách cực đại giữa hai chất điểm M1và M3 là:

d max  42  ( x1  x3 ) 2max  42  (3 3) 2  6,56 cm. Chọn A
Ví dụ 14: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương,
cùng tần số và có dạng phương trình x1 =

3 cos(4t + 1) cm, x2 = 2cos(4t + 2)
π
cm với 0  1 − 2  . Biết phương trình dao động tổng hợp x = cos(4t + ) cm.
6
Giá trị 1 là
A.

2π
.
3

B. –

π
6

C.

π
6

D. −

2π
3

Phân tích và hướng dẫn giải
+ Ta có 1  3  4  2 3.2.cos φ  φ 
+ Mà: tan  

5π
5π
 φ1  φ 2  φ 2  φ1 
.
6
6

3 sin 1  2sin 2

1
 tan 
.
6
3 cos 1  2 cos 2
3

5π 
5π 



 3sin φ1  2 3 sin  φ1    3 cos φ1  2 cos  φ1  
6 
6 


φ
2π
. Chọn A

 tan φ1   3  φ1 
cos φ1
3

283