skkn ứng dụng của hệ thức vi ét trong việc giải một số dạng toán THCS

MỤC LỤC

NỘI DUNG
1. Mở đầu.
1.1. Lý do chọn đề tài.
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu .
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận
2.2. Thực trạng vấn dề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Một số biện pháp
2.3.2. Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét và phương pháp giải
Dạng toán 1. Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai
một ẩn.
Dạng toán 2. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
Dạng toán 3. Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương
trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm
Dạng toán 4. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Dạng toán 5. Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm
mà không giải phương trình.
Dạng toán 6. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 ; x2 không phụ
thuộc vào tham số.
Dạng toán 7. Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương
trình thỏa mãn một điều kiện cho trước
Dạng toán 8. Bài toán liên quan đến xét dấu các nghiệm
Dạng toán 9. Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của phương
trình liên quan đến nghiệm của một phương trình bậc hai cho trước
hoặc nghiệm của phương trình là hai số cho trước.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục, với bản thân đồng nghiệp và nhà trường
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
3.2 Kiến nghị

TRANG
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
4
4
5
7
8
9
10
11
15
17

17
18
18

19

1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
Với hy vọng góp phần hình thành và phát triển năng lực chủ năng động và
sáng tạo, có kiến thức khoa học và có kỹ năng giải toán, có ý chí vươn lên, có
năng lực tự học và thói quen học tập suốt đời, có năng lực đi vào thực tiễn xã

1


hội góp phần hiệu quả làm cho dân giàu nước mạnh xã hội công bằng, dân chủ
và văn minh.
Toán THCS nói chung và toán về phương trình bậc hai nói riêng có rất
nhiều nhiều dạng bài tập nên học sinh gặp rất nhiều khó khăn khi đứng trước
một bài toán mới.
Đối với học sinh THCS nói chung và đối tượng nghiên cứu là học sinh
lớp 9 nói riêng, mặc dù các em không phải còn nhỏ nhưng khả năng phân tích,
suy luận, để tự mình tìm ra lời giải cho một bài toán còn rất nhiều hạn chế nhất
là đối với đối tượng học sinh học yếu và lười học. Hơn nữa, các đề thi vào lớp
10 trung học phổ thông thì các bài toán về phương trình bậc hai có sử dụng tới
hệ thức Vi-ét xuất hiện khá phổ biến. Trong khi nội dung và thời lượng về phần
này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
Ta cũng thấy để giải được các bài toán có liên qua đến hệ thức Vi-ét, học
sinh cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số. Thông qua đó học sinh có cách nhìn
tổng quát hơn về hai nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số.Chính vì
vậy nên trong những dạng toán của môn đại số lớp 9 thì “Ứng dung của hệ thức
Vi -ét trong việc giải một số dạng toán THCS” đối với các em là dạng toán khó.
Do vậy việc hướng dẫn giúp các em có kỹ năng ,phương pháp để giải toán,
ngoài việc nắm lý thuyết, thì các em phải biết vận dụng thực hành, từ đó phát

triển khả năng tư duy, tạo hứng thú cho học sinh khi học nhằm nâng cao chất
lượng học tập.
Kiến thức môn toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các
kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy, khi học các em không
những nắm chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của
mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán.
Thông qua quá trình giảng dạy, qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu
và sự vận dụng kiến thức của học sinh. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng hệ thức
Vi-ét vào giải các bài toán phương trình bậc hai còn nhiều hạn chế và thiếu sót.
Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng các kiến thức đã học để biện luận
phương trình bậc hai đã cho có hai nghiệm x 1, x2 thoả mãn một điều kiện nào
đó…. Đây là một phần kiến thức rất khó đối với các em học sinh lớp 9. Bởi lẽ từ
trước đến nay các em chỉ quen giải những dạng toán về tính giá trị của biểu thức
hoặc giải những phương trình cho sẵn, ít gặp phải những bài toán biện luận theo
tham số. Mặt khác khả năng tư duy của các em còn hạn chế, các em gặp khó
khăn trong việc phân tích, suy luận, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố trong bài
toán nên không định hướng được cách giải.
Làm thế nào để giúp các em có được một kiến thức tổng thể và có được
đầy đủ các dạng toán về phương trình bậc hai, biết cách giải và biện luận các
dạng toán về phương trình bậc hai theo tham số. Chính vì vậy tôi chọn đề tài
“Ứng dụng của hệ thức Vi -ét trong việc giải một số dạng toán THCS ” với mục
đích khi các em gặp dạng toán đó không còn sợ sệt và ham muốn giải khi gặp
dạng toán đó nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy.
1.2. Mục đích nghiên cứu

2


- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng toán vận
dụng hệ thức vi ét, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán

này
- Học sinh có khả năng làm thành thạo các dạng toán vận dụng hệ thức vi
ét
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán va tính linh hoạt của học sinh.
- Thấy được vai trò của việc vận dụng hệ thức vi ét trong giải toán, từ đó
giáo dục ý thức học tập của học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 9 trường THCS Quảng Thịnh, thành phố Thanh Hóa
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc, xử lý các văn bản, tài liệu làm
cơ sở lý luận cho đề tài
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thử, dự giờ, trao đổi với
đồng nghiệp nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài
- Phương pháp điều tra thực tiễn: Quan sát, điều tra, trắc nghiệm
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các đồng nghiệp có kinh
nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.
- Tiếp xúc trò chuyện với học sinh để nắm rõ thông tin phản hồi.
- Phương pháp kiểm tra: Kiểm tra chất lượng hoạt động, lập bảng thống
kê so sánh, đối chiếu kết quả hoạt động khi chưa áp dụng và đang áp dụng đề
tài. Từ đó kiểm nghiệm lại mức độ thành công của đề tài.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Sử dụng các phương pháp thống kê toán học để xử lý các số liệu thu
thập được.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dạy học Toán thực chất là dạy hoạt động toán học .Học sinh- chủ thể của
hoạt động học cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên
tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa
biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn. Theo tinh
thần này trong tiết lên lớp , giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến

hành các hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ,tìm tòi phát hiện kiến thức
mới. Giáo viên không cung cấp, không áp đặt những kiến thức có sẵn đến với
học sinh mà hướng cho học sinh thông qua các hoạt động để phát hiện và chiếm
lĩnh tri thức.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học
sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự mình tìm tòi và phát hiện kiến
thức giúp rèn luyện khả năng tư duy, nhớ kỹ các kiến thức đã học.
Loại toán có vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải là một bài toán khó và có
nhiều dạng toán. Để làm tốt dạng toán này đòi hỏi mỗi người dạy và học Toán
phải nắm vững được các dạng toán và cách giải cho từng dạng. Việc giới
thiệu các dạng toán vận dụng hệ thức vi-ét cho học sinh để các em có thể giải
được các bài toán có liên quan đến việc vận dụng hệ thức vi-ét là một việc quan
trọng và cần thiết.Vì không những giúp học sinh có thể giải được các bài toán
3


phức tạp mà sử dụng các phương pháp trong sách giáo khoa là không giải được;
mà còn làm cho học sinh hứng thú học tập môn học hơn, có phương pháp suy
luận, ngoài ra còn phát triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện con người học sinh về
mọi mặt.
Về mặt lí luận mà nói thì theo khung phân phối chương trình và sách giáo
khoa hiện hành thì toàn bộ kiến thức về “ Hệ thức vi-ét và ứng dụng” chỉ gói
gọn trong 2 tiết với những đơn vị kiến thức như: Hệ thức vi ét, nhẩm nghiệm của
phương trình bậc hai, tìm hai số biết tổng và tích. Chính vì thế mà học sinh còn
rất thiếu kĩ năng cũng như phương pháp giải khi gặp những bài toán khó.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2017 - 2018 tôi được nhà trường phân công giảng dạy bộ môn
toán lớp 9 .Qua thực tế dạy học kết hợp với dự giờ kiến tập các giáo viên trong
trường, thông qua các kỳ thi khảo sát chất lượng và kỳ thi học sinh giỏi cấp
Tỉnh, kỳ thi vào lớp 10 THPT bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có

kỹ năng thành thạo khi làm các dạng bài tập vận dụng hệ thức vi-ét. Vì lý do đó
để giải được các loại bài tập này cần phải có kỹ năng phân dạng và có cách giải
cụ thể cho từng dạng.
Cụ thể kết quả kiểm tra về dạng toán vận dụng hệ thức vi ét vào giải toán
ở hai lớp 9A, 9B vào trung tuần tháng 2 năm học 2017-2018 được thống kê
như sau như sau:
Giỏi
Khá
T Bình
Yếu(Kém)
Lớp
Sĩ số
SL %
SL %
SL
%
SL
%
9A
39
2
5,1 8
20,5 15
38,5 14
35,9
9B
41
2
4,9 10
24,4 17

41,5 12
29,2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp
để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình
giải những bài toán về vận dụng hệ thức vi-ét. Tôi mạnh dạn nêu ra một số dạng
toán vận dụng hệ thức vi-ét và biện pháp giải các dạng toán đó như sau :
2.3.1. Một số biện pháp
- Giáo viên phải trang bị cho học sinh của mình các đơn vị kiến thức cơ
bản như
* Định lí Vi-ét: (thuận)
Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) thì
b
�
x

x


1
2
�
�
a
�
c
�
x1 x 2 
�
a

Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, nếu biết trước một nghiệm của phương trình bậc hai
thì có thể suy ra nghiệm kia.
 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) có a + b + c = 0 thì phương
c
trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = .
a
4


 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) có a - b + c = 0 thì phương
c
trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - .
a
* Định lí Vi-ét: (đảo)
uvS
�
Nếu hai số u, v thỏa mãn �
thì hai số đó là hai nghiệm của
u.v  P
�
phương trình x2 – Sx + P = 0. (Điều kiện để có hai số u, v là S2 - 4P �0)
Các quy tắc, các phép tính , các phép biến đổi , quy tắc dấu và quy tắc dấu
ngoặc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức,
thuộc và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ theo hai chiều ,xác
định đúng các hệ số a; b (hoặc b’); c.tính đúng  (hoặc '), biến đổi biểu thức có
liên quan đến hai nghiệm về dạng tổng và tích của hai nghiệm.
- Thực hiện đổi mới ngay trong việc giảng dạy
- Dạy học theo phuơng pháp phát hiện và giải quyết vấn đề
- Hợp tác nhóm

- Đổi mới qua việc dạy tự chọn (Bám sát, nâng cao)
- Đổi mới qua việc dạy bồi dưỡng học sinh
- Đúc rút kinh nghiệm khi giải toán vận dụng hệ Thức Vi-ét theo từng
dạng , dạng nào sử dụng phương pháp nào.
+ Quan sát đặc điểm của bài toán : Nhận xét xem mối quan hệ giữa các hệ số
trong phương trình bậc hai một ẩn, đặc biệt là phần tham số trong các hệ số.
+ Nhận dạng bài toán : Xét xem bài toán thuộc dạng nào. Lựa chọn phương
pháp giải thích hợp: Từ những cơ sở trên mà ta chọn lựa phương pháp giải phù
hợp với bài toán.
- Sắp xếp bài toán theo mức độ tiếp thu của từng học sinh, những dạng
toán cơ bản .
- Xây dựng các phương pháp giải các dạng toán vận dụng Hệ thức Vi-ét
2.3.2. Các dạng toán vận dụng hệ thức Vi-ét và phương pháp giải
Dạng toán 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình bậc hai
một ẩn.
* Phương pháp: Trước khi áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện
xem phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm hay không (tức là kiểm tra
a �0,  �0   ' �0  có thỏa mãn không).
* Ví dụ 1: Tính tổng và tích hai nghiệm của các phương trình:
a) 2x2 - 17x + 1 = 0
b) 25x2 + 10x + 1 = 0
Giải
2
a) 2x - 17x + 1 = 0 (a = 2 �0, b = -17, c = 1)
2
Ta có:    17   4.2.1  281  0 � Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,
b 17
c 1
x2. Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x 2    , x1.x 2   .
a 2

a 2
5


b) 25x2 + 10x + 1 = 0 (a = 25 �0, b = 2b’ = 10, c = 1)
Ta có:  '  52  25.1  0 � Phương trình có hai nghiệm x1, x2.
b
10
2
c 1
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1  x 2       , x1.x 2   .
a
25
5
a 25
* Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và
tích các nghiệm theo m:
x2 + 2  m  1 x + m2 = 0
Giải
2
2
x + 2  m  1 x + m = 0 (a = 1 �0, b = 2b’ = 2  m  1 , c = m 2 ).
Ta có:  '   m  1  1.m 2  m 2  2m  1  m 2  1  2m .
2

' 0  1 2m 0
Để phương trình có nghiệm ����

m

1
.
2

1
Vậy với m � , phương trình có hai nghiệm x1, x2.
2
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
b 2  m  1
c m2
x1  x 2   
 2  1  m  , x1.x 2  
 m2 .
a
1
a
1
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Không giải phương trình, dùng hệ thức Vi-ét ,hãy tính tổng và tích
các nghiệm của mỗi phương trình:(Bài 36 trang 43-Sbt toán 9 tập 2)
a.2 x 2  7 x  2  0

c.5 x 2  x  2  0

d .1, 4 x 2  3 x  1, 2  0
Bài 2. Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm (nếu có)

b.2 x 2  9 x  7  0

không giải phương trình hãy điền vào những chỗ trống (….)(Bài 25 trang 52SGK toán 9 tập 2)

a.2 x 2  7 x  1  0,   ......, x1  x2  ......., x1.x2  ...
b.5 x 2  x  35  0,   ......, x1  x2  ......., x1.x2  ...
c.8 x 2  x  1  0,   ......, x1  x2  ......., x1.x2  ...
d .25 x 2  10 x  1  0,   ......, x1  x2  ......., x1.x2  ...

Dạng toán 2: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.
*Phương pháp: Để thực hiện việc nhẩm nghiệm (nếu có thể) cho phương
trình bậc hai một ẩn ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ), ta áp dụng nhận xét sau:
Trường hợp 1 (Trường hợp đặc biệt):
 Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) có a + b + c = 0 thì phương
c
trình có một nghiệm là x1 = 1, còn nghiệm kia là x2 = .
a
2
 Nếu phương trình ax + bx + c = 0 ( a �0 ) có a - b + c = 0 thì phương
c
trình có một nghiệm là x1 = - 1, còn nghiệm kia là x2 = - .
a
Chú ý : Nếu a+c=-b ta dùng tổng a+b+c=0 để nhẩm nghiệm của phương
trình.
Nếu a+c=b ta dùng tổng a-b+c=0 để nhẩm nghiệm của phương trình
6


Trường hợp 2: Cho phương trình x2 + bx + c = 0.
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Vận dụng hệ thức Vi-ét để thiết lập hệ phương trình cho các nghiệm x 1

b
�

x

x

 b
�
�1 2 1
và x2 là �
�x .x  c  c
�1 2 1
Bước 2: Thực hiện phân tích c thành tích của hai thừa số (c = m.n), từ đó
ta tính ngay được m + n. Khi đó:
- Nếu m + n = - b thì ta chuyển sang bước 3 (kết luận).
- Nếu m + n �- b, thì ta dừng lại và kết luận bài toán không nhẩm được
nghiệm
Bước 3: Kết luận: Phương trình x2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1 = m và
x2 = n.
 Chú ý: Thuật toán trên có tính dừng và được hiểu như sau:
- Nếu tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng lại và
đưa ra lời kết luận nghiệm.
- Nếu không tìm được một cặp (m, n) thỏa mãn điều kiện m + n = - b thì dừng
lại và trong trường hợp này không nhẩm được nghiệm.
* Ví dụ: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:
a) 35x2 - 37x + 2 = 0
b) x2 - 49x - 50 = 0
c) x2 + 6x + 8 = 0
Giải
a.Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + 2 = 0. Do đó phương trình
c 2
hai nghiệm là x1 = 1, x2 =  .

a 35
2
b) x - 49x - 50 = 0
Nhận thấy phương trình có a - b + c = 1 - (-49) + (-50) = 0. Do đó phương trình
c
 50   50 .
có một nghiệm là x1 = - 1, x2 = -  
a
1
2
c) x + 6x + 8 = 0
Ta thấy  '  32  1.8  1  0 . Do đó phương trình có hai nghiệm x 1 và x2 thỏa
�
�x1  x 2  6
�x1  x 2   2    4 
�
mãn �
�
�x1.x 2  8   2  . 4 
�x1.x 2  8   2  . 4 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = - 2 và x2 = - 4.

Bài tập áp dụng:

7


Bài 1.Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau(Bài 37-trang 4 SBT
Toán 9 Tập 2)

a.7 x 2  9 x  2  0

c.1975 x 2  4 x  1979  0

b.23x 2  9 x  32  0

d . 5  2 x 2  5  2 x  10  0









1
3
11
e. x 2  x   0
3
2
6
2
f .31,1x  50,9 x  19,8  0

Bài 2: Tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau(Bài 26-trang 53 SGK
Toán 9-Tập2)
a.35 x 2  37 x  2  0

a.7 x 2  500 x  507  0

b.x 2  49 x  50  0

b.4321x 2  21x  4300  0

Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình
bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm.
* Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) cho biết
một nghiệm x1 = m. Tìm nghiệm còn lại x2 ?
Ta làm như sau:
b
b
TH1. Nếu
không chứa tham số ta dùng hệ thức Vi-ét x1  x 2 =  .
a
a
b
b
Thay x1 = m vào hệ thức, ta có x 2    x1    m
a
a
c
c
TH2. Nếu không chứa tham số ta dùng hệ thức x1.x 2  . Thay x1 = m
a
a
�c �
�c �
: x1  � �

:m .
vào hệ thức, ta có x 2  � �
�a �
�a �
b c
,
đều không chứa tham số ta dùng tổng hay tích của hệ
a a
thức vi-ét và x1 để tìm x2 đều được.

TH3. Nếu cả

* Ví dụ:
a) Chứng tỏ rằng phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0 có một nghiệm là -3. Hãy
tìm nghiệm kia.
1
b) Biết phương trình: 3x2 – 2(m – 3)x + 5 = 0 có nghiệm x1 =
tìm
3
nghiệm x2, giá trị của m tương ứng.
Giải
a) x1 = - 3 là một nghiệm của phương trình 3x2 + 2x - 21 = 0.
Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – 6 – 21 = 0.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
b 2
2
2
2 7
x1  x 2 =  =
� x2 

 x1 
  3  3   .
a
3
3
3
3 3
2
b) 3x – 2(m – 3)x + 5 = 0.

8


Vì phương trình đã cho có nghiệm nên theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1.x 2 

c 5

a 3

1
nên suy ra:
3
5
5 1
x 2  : x1  :  5. .
3
3 3
Cũng theo hệ thức Vi-ét, ta có:
b 2  m  3
2  m  3

1
x1  x 2 =  =
� 5
� 16  2m  6 � m  11.
a
3
3
3
Vậy x2 = 5, m = 11.
Bài tập áp dụng:
Bài 1.a.
Chứng tỏ rằng phương trình 4 x 2  24 x  32  0 có một nghiệm
là 2. Tìm nghiệm kia.
b. Chứng tỏ rằng phương trình 4 x 2  3x  115  0 có một nghiệm là 5 . Tìm
nghiệm kia.
Bài 2.Dùng hệ thức Vi-ét Tìm nghiệm x2 của phương trình rồi tìm giá trị
của m trong mỗi trường hợp sau . ( Bài 40-Trang 44-SBT Toán 9 tập 2)
a. Phương trình x 2  m x -35  0 , biết nghiệm x1 =7
b. Phương trình x 2 -13 x +m  0 , biết nghiệm x1 =12,5
c. Phương trình 4x 2  3 x -m 2 +3m  0 , biết nghiệm x1 =-2
. Mà x1 =

2
d. Phương trình 3x  2  m  3 x +5  0 , biết nghiệm x1 =

1
3

Dạng toán 4: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
* Phương pháp:

uvS
�
Nếu hai số u, v thỏa mãn �
thì hai số đó là hai nghiệm của
u.v  P
�
phương trình x2 – Sx + P = 0 (1)
 Nhận xét: Nếu (1) có hai nghiệm x1, x2 (điều kiện S2 - 4P �0) thì ta
u  x1
u  x2
�
�
được: �
hoặc �
.
�v  x 2
�v  x1
* Ví dụ : Tìm hai số u và v biết:
u + v = 32, u.v = 231;
Giải
Ta có u + v = 32, u.v = 231.
Do đó u và v là nghiệm của phương trình: x2 - 32x + 231 = 0.
   32   4.231  100  0 �   100  10
32  10
32  10
 21; x 2 
 11.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 
2
2

Vậy u = 21, v = 11 hoặc u = 11, v = 21.
Bài tập áp dụng:
2

9


Bài 1. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 41-trang 44 SBT
Toán 9 Tập 2)
a. u+v=14; u.v=40
b. u+v=-7 ;u.v=12
c. u+v=-5 ;u.v=-24
d. u+v=4; u.v=19
e. u- v=10 ;u.v=24
f. u 2  v 2  85 ;u.v=18
Bài 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 28-trang 53 SGK
Toán 9 Tập 2)
a. u+v=32; u.v=231
b. u+v=-8 ;u.v=-105 c. u+v=2 ;u.v=9
Bài 3. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau.( Bài 32-trang 54 SGK
Toán 9 Tập 2)
a. u+v=42; u.v=441
b. u+v=-42 ;u.v=-400 c. u-v=-5 ;u.v=24
Dạng toán 5: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm mà
không giải phương trình
* Phương pháp: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương
trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán
vị (đổi chỗ) x1 và x2.
Ta thực hiện theo các bước:
 Bước 1: Xét biệt thức   b 2  4ac  0 thì phương trình có hai nghiệm

phân biệt x1, x2 (hoặc  '  0 ).
 Bước 2: Tìm tổng x1 + x2 = S và x1x2 = P của phương trình, rồi thay vào
biểu thức đã được biến đổi về dạng chứa tích và tổng các nghiêm x 1 và
x2.
Chú ý: Một số phép biến đổi:
2
(1). x12  x 22   x1  x 2   2x1x 2  S2  2P
(2). x13  x 32   x1  x 2   3x1x 2  x1  x 2   S3  3SP;
3

(3). x14  x 42   x12    x 22    x12  x 22   2  x1x 2    S2  2P   2P 2 ;
2

(4).

2

2

2

2

1
1 x1  x 2 S


 ;
x1 x 2
x1x 2

P

1
1 x12  x 22 S2  2P
(5). 2  2 

.
x 1 x 2  x 1x 2  2
P2
* Ví dụ . Cho phương trình x2 – 6x + 8 = 0. Không giải phương trình, hãy tính
giá trị các biểu thức:
1 1
 ;
a) A = x12  x 22 ;
b) B =
c) C = x12  x 22
x1 x 2
Giải
2
Phương trình x2 – 6x + 8 = 0 có  '   3  1.8  9  8  1  0 � phương trình có
S  x1  x 2  6
�
hai nghiệm phân biệt x1, x2. Theo định lí Vi-ét ta có: �
P  x 1x 2  8
�
2
a) A = x12  x 22 =  x1  x 2   2x1x 2  S2  2P = 62 – 2.8 = 36 – 16 = 20.
Vậy A = 20

10

1
1 x1  x 2 S 6 3


   . Vậy B = 3
x1 x 2
x1x 2
P 8 4
4
2
2
c) C = x1  x 2   x1  x 2   x1  x 2   S. x1  x 2   6. x1  x 2  .
Mà ta có:
2
2
 x1  x 2   x12  x 22  2x1x 2   x1  x 2   4x1x 2  S2  4P  62  4.8  4
b) B =

� x1  x 2  �2
Vậy C = �12.
Bài tập áp dụng:
Bài 1. gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2  7 x  4  0 không giải
phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau.
a. x1  x2 ; x1.x2
b. x 21  x2 2
c. x13  x2 3
Bài 2. gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2  9 x  6  0 không giải
phương trình hãy tính giá trị của các biểu thức sau.

a. x1  x2 ; x1.x2
b. x 21  x2 2
c. x13  x2 3
Bài 3. Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  2 x  1  0 không giải
phương trình hãy tính giá trị của biểu thức . A  x1  3x2  x2  3x1
Dạng toán 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 ; x2 không phụ
thuộc vào tham số.
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2 ( a �0,  �0 hoặc
a �0,  ' �0 hoặc a �0;   0 ).
Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số.
Bước 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm
không phụ thuộc vào tham số.
* Ví dụ 1. Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Giải
2
Phương trình x2 – 2mx + 2m - 2 = 0 có:  '  m 2  2m  2   m  1  1  0 với
mọi m. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
S  x1  x 2  2m (1)
�
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
.
P  x1x 2  2m  2 (2)
�
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được S – P = 2 � x1 + x2 - x1x2 = 2 (không phụ
thuộc vào m).
* Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - 4 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Giải
2
Phương trình mx – (2m + 3)x + m - 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

11


m �0
�
m �0
m �0 �
m �0
�
�
�
�
��
��
��
� � 9 .
2
0
28m

9

0
m
2m


3

4m
m

4

0




�
�
�
�
� 28
2m  3
3
12
�
�
S

x

x


2


4S

8

(1)
1
2
�
�
�
m
m ��
m
Áp dụng hệ thức Vi-ét: �
�
m

4
4
12
�
�
P  x 1x 2 
1
3P  3 
(2)
�
m
m

�
m
Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ
thuộc vào m).
Nhận xét: Ngoài cách cộng vế theo vế, ta có thể thế m từ hệ thức (1) vào
hệ thức (2) để khử m. Trong quá trình làm tránh vội vàng áp dụng ngay hệ thức
Vi-ét mà quên mất bước tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1, x2.
Bài tập áp dụng.
Bài 1. Cho phương trình x2 – (m + 2)x -2 m = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2.Cho phương trình 2x2 +mx + m - 2 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3. Cho phương trình x2 – (2m + 2)x + m 2  4 = 0 (x là ẩn)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1, x2. Khi đó tìm hệ thức
liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Dạng toán 7: Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình
thỏa mãn một điều kiện cho trước
* Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Tìm điều kiện của tham số (giả sử tham số là m) để phương trình
có nghiệm x1, x2 (tức là cho a �0 ;  �0 hoặc a �0 ;  ' �0 ).
�x1  x 2  S  f (m)
(I) .
 Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta được: �
x
x

P


g(
m
)
�1 2
 Bước 3: Biểu diễn điều kiện cho trước thông qua hệ (I) để tìm m.
 Bước 4: Kết luận: Chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và trả lời.
* Ví dụ 1. Cho phương trình: 7x2 + 2(m – 1)x – m2 = 0.
a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.
b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính
tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo m.
Giải
2
a) Phương trình có nghiệm �  ' �0 �  m  1  7m 2 �0 (đúng với mọi m).
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn có nghiệm.
b) Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình.

12


�
2 1  m
x1  x 2  S 
�
�
7
(I) .
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
2
�x x  P  m
1 2

�
7
�
2
Theo bài ra ta có hệ thức: x12  x 22 =  x1  x 2   2x1x 2 (II). Thay (I) vào (II), ta
�
2  1  m  � �m 2 � 6m 2  8m  4
có: x  x  �
.
� 2.�
�
7
7
49
�
�
� �
2
Ví dụ 2. Cho phương trình x - 6x + m = 0.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện sau.
1
1

1
a. x1  x 2  4
b. x1  2x 2
c. x1  3x 2  2
d.
x1 x 2
2

2
1

2
2

e.

x12  x 22  4
f. x13  x 2 3  36
Giải
a.Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
1 �0
�
a �0
�
�
�
���
9 m 0 m 9.
�
� 2
�

�
0

3


m
�
0


�
�
Với m �9 phương trình đã cho có nghiệm nên
(1)
�x1  x 2  6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1x 2  m (2)
Theo bài: x1  x 2  4 (3).
2 x  10
�x1  x2  6
�
�x  5
�x1  5
�� 1
� �1
�
5  x2  6 �x2  1
�x1  x2  4
�x1  x2  6
�

Từ (1) và (3), ta được hệ phương trình �

Thay x1 = 5, x2 = 1 vào (2), ta có: 5.1 = m � m = 5 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = 5 thì phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện

x1  x 2  4
b. Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
1 �0
�
a �0
�
�
�
���
9 m 0 m 9.
�
� �
2
 �0 �
 3  m �0
�
Với m �9 phương trình đã cho có nghiệm nên
(1)
�x1  x 2  6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1x 2  m (2)
Theo bài: x1  2x 2 � x1  2x 2  0 (3).
Từ
(1)
và
(3),
ta
được
hệ
phương

trình
3x  6
�x1  x2  6
�
�x  2 �x2  2
�� 2
� �2
�
�
�x1  2 x2  0
�x1  x2  6
�2  x1  6 �x1  4

Thay x1 = 4, x2 = 2 vào (2), ta có: 4.2 = m � m = 8 (thỏa mãn điều kiện)
13


Vậy với m = 8 thì phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện
x1  2x 2
c. Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
1 �0
�
a �0
�
�
�
���
9 m 0 m 9.
�
� �

2

�
0

3

m
�
0


�
�
Với m �9 phương trình đã cho có nghiệm nên
(1)
�x1  x 2  6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1x 2  m (2)
Theo bài: x1  3x 2  2 (3).
Từ
(1)
và
(3),
ta
được

hệ

phương

trình

2 x  4
�x1  x2  6
�
�x  2 �x2  2
�� 2
� �2
�
�
2  x1  6 �x1  8
�x1  3 x2  2
�x1  x2  6
�

Thay x1 = 8, x2 = -2 vào (2), ta có: 8.(-2) = m � m = -16 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy với m = -16 thì phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện
x1  3x 2  2
d Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
1 �0
�
a �0
�
�
�
���
9 m 0 m 9.
�
� �

2
 �0 �
 3  m �0
�
Với m �9 phương trình đã cho có nghiệm nên
(1)
�x1  x 2  6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1x 2  m (2)
1
1
x  x1

1� 2
 1 (3).
Theo bài:
x1 x 2
x1.x 2
Thay (1) ; (2) vào 3 ta có phương trình

6
 1 � m  6 (thỏa mãn điều kiện)
m

Vậy với m = 6 thì phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện
1
1

1
x1 x 2

e.Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:
1 �0
�
a �0
�
�
�
���
9 m 0 m 9.
�
� 2
 �0 �
 3  m �0
�
Với m �9 phương trình đã cho có nghiệm nên
(1)
�x1  x 2  6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1x 2  m (2)
Theo bài ra ta có : x12  x 22  40 �  x1  x 2   2x1x 2  40 (3)
Thay (1) và (2) vào (3) ta có 62  2m  40 � 2m  4 � m  2 (thỏa mãn điều
kiện)
2

14


Vậy với m = 2 thì phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện
x  x 22  40
f. Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:

1 �0
�
a �0
�
�
�
���
9 m 0 m 9.
�
� �
2
 �0 �
 3  m �0
�
Với m �9 phương trình đã cho có nghiệm nên
(1)
�x1  x 2  6
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: �
�x1x 2  m (2)
2
1

Theo bài: x13  x 23  36 �  x1  x 2   3  x1  x 2  x1x 2  36 (3).
Thay (1) và (2) vào (3) ta có 63  3.6.m  36 � m  10 ( không thỏa mãn điều
kiện)
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
* Ví dụ 3. Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0 (có ẩn số là x).
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho.
Tìm giá trị nhỏ nhất của y = x12  x 22

Giải
2
2
a) Ta có  '   m  1   2m  4   m 2  2m  1  2m  4   m  2   1  0 với
mọi m. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b)Vì phương trình đã cho có nghiệm với mọi m nên theo hệ thức Vi-ét, ta có:
�x1  x 2  2(m 1)  2m  2 (1)
�
(2)
�x1 x 2  2m  4
3

Theo bài: y = x12  x 22 =  x1  x 2   2x1x 2 (3)
Thay (1) và (2) vào (3), ta có:
2
2
y =  2m  2   2  2m  4   4m 2  12m  12   2m  3   3 .
2

Vì  2m  3 �0 với mọi m nên suy ra y =  2m  3  3 �3 .
3
3
Dấu “=” xảy ra � 2m  3  0 � m  . Vậy ymin = 3 � m 
2
2
Bài tập vận dụng :
Bài1. Cho phương trình x 2  3x  m  0. . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện
1 1
a. x1  x 2  4 .

b) x1  2 x2 c) x1  3 x2  2
d)   1
x1 x2
2

e. x12  x 22 =40

2

f. x13  x23 =36

g.

1
1
 2 8
2
x1 x2

h x13  x23  5 ( x12  x 22

)=26
Bài 2: Cho phương trình 2 x 2  mx  m  2  0. . Tìm giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1  x 2  x1.x2

15


Bài 3. Cho phương trình x 2  (2m  2) x  m 2  4  0. . Tìm giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia .

Bài 4. Cho phương trình x 2  12 x  m 2  4m  6  0. . Tìm giá trị của m để
phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này bằng bình phương
nghiệm kia .
Bài 5. Cho phương trình x 2  mx  2  0. . Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
Bài 6. Cho phương trình x 2  4 x  ( m2  3m)  0
(1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn các hệ thức sau:
a) x 21  x 2 2  10
b) x 21  x 2 2  4( x1  x2 )
c) x 31  x32  72
Bài 7. Cho phương trình x 2  2( m  1) x  m  3  0
(1)
Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 sao cho x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ
nhất.
Bài 8. Cho phương trình x 2  mx  m  1  0
(2)Xác định m để
2x1x2  3
phương trình có hai nghiệm x1; x2 sao cho E  2 2
đạt giá trị lớn nhất.
x1  x2  2(1  x1x2 )
Dạng toán 8: Bài toán liên quan đến xét dấu các nghiệm
* Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm x 1, x2
của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a �0 ) dựa trên kết quả:
c
- Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1  0  x 2 � P   0.
a
�
 �0   ' �0 
- Phương trình có hai nghiệm cùng dấu � �

.
P0
�
 �0   ' �0 
�
�
P0
- Phương trình có hai nghiệm dương � �
.
�
S0
�
 �0   ' �0 
�
�
P0
- Phương trình có hai nghiệm âm � �
.
�
S0
�

* Ví dụ 1. Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + 1 = 0. Xác định m để
phương trình:
a) Có hai nghiệm trái dấu.
b) Có hai nghiệm dương phân biệt.
Giải
c
a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu � P   1  m  0 � m  1
a

Vậy với m > 1 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) Để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt 0  x1  x 2
16


��
m  3
��
�
m0
'  0
m 2  3m  0 ��
�
�
�
�
��
P0 ��
1 m  0 �
m  1 � 0  m  1.
�
�
S0
m  1
2  m  1  0 �
�
�
�
�
�

Vậy với 0 < m < 1 thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
* Ví dụ 2. Cho phương trình mx2 - 6x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm âm
Giải
Để phương trình có hai nghiệm âm x1 �x 2  0
m �0
�
�
a �0
m �0
�
9  m 2 �0 �
�
�
�
 ' �0
3 �m �3
�
�
�
��
� �m  0
��
� 3 �m  0.
P

0
1

0

m
�
�
�
�
�
�
S

0
m0
6
�
�
� 0
�m
Vậy với 3 �m  0 thì phương trình có hai nghiệm âm.
Bài tập áp dụng:
Bài 1.Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm dương
2
a. x +4x + m -2 = 0.
b. x2 + mx + 2 = 0.
Bài 2.Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm âm
2
a. x -3x + m = 0.
b. x2 + 3x + m-3 = 0.
2
Bài 3. Cho phương trình x2 -  2  m  m  x + m 2 = 0
a. Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m �0
b. Chứng minh rằng với mọi m phương trình có hai nghiệm dương phân biệt .

Bài 4. Cho phương trình x2 -2  a  2  x + 2a+ 3 = 0
a. Giải phương trình với a=-1
b. Tìm a để phương trình có hai nghiệm trái dấu .
c. Tìm a để phương trình có nghiệm kép .
Bài 5. Cho phương trình 2 x 2  6 x  m  0
(1)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương.
x1 x2
 �2
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn
x2 x1
2

2

�x � �x �
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn � 1 � � 2 � 7
�x2 � �x1 �

17


Dạng toán 9: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm của phương trình
liên quan đến nghiệm của một phương trình bậc hai cho trước hoặc nghiệm
của phương trình là hai số cho trước
Phương pháp: Muốn lập được phương trình thỏa mãn yêu cầu bài toán
ta phải tính được tổng (S) và tích (P) hai nghiệm của phương trinh cần lập .Từ
đó suy ra phương trình cần lập là x2 -Sx +P= 0
Ví dụ 1. Gọi x1: x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 -2x - 1= 0

Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm là X 1  2 x1  x2 ; X 2  2 x2  x1
Giải : Theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  2; x1.x2  1
Ta có X 1  X 2 = 2 x1  x2  2 x2  x1  x1  x2  2 ;
X 1. X 2  (2 x1  x2 )(2 x2  x1 )  5 x1. x2  2 x 21  2 x 2 2  5 x1. x2  2( x 21  x 2 2 )
 5 x1.x2  2 �
( x1  x 2 )2  2 x1 .x2 �
�
� 5  2(4  2)  17

Vậy phương trình cần lập là X 2  2 X  17  0
Ví dụ 2. Gọi x1: x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 -2x - 1= 0
Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm là X 1  2 x1  3x2 ; X 2  2 x2  3x1
Giải : Theo định lý Vi-ét ta có x1  x2  2; x1.x2  1
Ta có X 1  X 2 = 2 x1  3x2  2 x2  3x1  ( x1  x2 )  2 ;
X 1. X 2  (2 x1  3 x2 )(2 x2  3 x1 )  13 x1. x2  6 x 21  6 x 2 2  13 x1. x2  6( x 21  x 2 2 )
 13 x1 .x2  6 �
( x1  x 2 ) 2  2 x1.x2 �
�
� 13  6(4  2)  61

Vậy phương trình cần lập là X 2  2 X  61  0
Ví dụ 3: Cho x1  2  3; x2  2  3 lập phương trình bậc hai ẩn x nhận
x1 ; x2 làm nghiêm.
Giải . Ta có x1  x2 = 2  3  2  3  4 ; x1.x2  = (2  3)(2  3)  1
=> phương trình bậc hai ẩn x nhận x1 ; x2 làm nghiêm là. x 2  4 x  1  0
Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho x1  3  3; x2  3  3 lập phương trình bậc hai ẩn x nhận x1 ; x2
làm nghiêm.
Bài 2. Cho y1  2  3; y2  2  3 lập phương trình bậc hai ẩn y nhận y1 ; y2
làm nghiêm.

Bài 3. Gọi x1: x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 -3x +2= 0
Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm là X 1  3x1  2 x2 ; X 2  3x2  2 x1
Bài 4.Gọi x1: x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai x2 +5x - 6= 0
Lập phương trình bậc hai ẩn X có hai nghiệm là X 1  x1  2 x2 ; X 2  x2  2 x1
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy ở trường THCS Quảng
Thịnh năm học 2017- 2018 đã thu được các kết quả rất khả quan.
18


Học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu rõ các cách giải toán ở dạng bài tập
này. Kinh nghiệm này đã giúp học sinh trung bình, học sinh yếu nắm vững chắc
về cách vận dụng hệ thức Vi –ét trong việc giải các bài toán trong chương
trình đã học, được học và rèn luyện kĩ năng thực hành theo hướng tích cực hoá
hoạt động nhận thức ở những mức độ khác nhau thông qua một chuỗi bài tập.
Bên cạnh đó còn giúp cho học sinh khá giỏi có điều kiện tìm hiểu thêm một số
phương pháp giải khác, các dạng toán khác nâng cao hơn, nhằm phát huy tài
năng toán học, phát huy tính tự học, tìm tòi, sáng tạo của học sinh trong học
toán.Kết quả học tập của học sinh được nâng lên rõ rệt qua các giờ học, qua mỗi
kỳ thi, đặc biệt là các em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo các thủ
thuật, các phép biến đổi để làm các dạng toán có liên quan đến việc vận dung hệ
thức Vi-ét đạt kết quả tốt. 100% các em học sinh đã biết làm các dạng toán
thông thường một cách thành thạo, 90% các em học sinh có kỹ năng nắm vững
các dạng toán đã được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm. Bên cạnh đó các
phương pháp này các em dễ dàng tiếp cận với các dạng toán khó và các kiến
thức mới cũng như việc hình thành một số kỹ năng trong quá trình học tập và
giải toán khi học bộ môn toán.
Kết quả áp dụng kĩ năng này đã góp phần nâng cao chất lượng học tập của
bộ môn đối với học sinh đại trà.

Áp dụng giải pháp
Lần 1: Kiểm tra 1 tiết
Lớp

Sĩ số

9A
9B

39
41

Giỏi
SL
%
8 20,5
7 17,1

Khá
SL
%
11 28,2
13 31,7

T Bình
SL
%
15
38,5
16

39,0

Yếu(Kém)
SL
%
5
12,8
5
12,2

Giỏi
SL
%
8 20,5
8 19,5

Khá
SL
%
14 35,9
13 31,7

T Bình
SL
%
`13 33,3
16
39,0

Yếu(Kém)

SL
%
4
10,3
4
9,8

Lần 2: Kiểm tra một tiết
Lớp

Sĩ số

9A
9B

39
41

3. Kết luận, kiến nghị
3.1.Kết luận
Thông qua việc nghiên cứu đề tài và những kinh nghiệm từ thực tiễn
giảng dạy, cho phép tôi rút ra một số kinh nghiệm sau:
* Đối với giáo viên: Giáo viên thường xuyên kiểm tra mức độ tiếp thu và
vận dụng của học sinh trong quá trình cung cấp các thông tin mới có liên quan
trong chương trình đại số 9 đã đề cập ở trên. Giáo viên phải định hướng và vạch
ra những dạng toán mà học sinh phải liên hệ và nghĩ đến để tìm hướng giải hợp
lý như đã đề cập, giúp học sinh nắm vững chắc hơn về các dạng toán và được
rèn luyện về những kĩ năng giải dạng toán đó một cách tường minh. Từ mỗi
dạng bài tập cụ thể biết áp dụng và phát triển nhanh trong các bài tập tổng hợp,
kĩ năng vận dụng các dạng toán trên một cách đa dạng hơn trong giải toán.

19


Đồng thời tạo điều kiện để học sinh được phát triển tư duy một cách toàn diện,
gợi sự say mê hứng thú học tập, tìm tòi sáng tạo, kích thích và khơi dậy khả
năng tự học của học sinh, chủ động trong học tập và trong học toán.
* Đối với học sinh khá giỏi: Ngoài việc nắm chắc các dạng toán cơ bản
liên quan đến hệ thức Vi-ét , ta cần cho học sinh tìm hiểu thêm các dạng toán
nâng cao khác, các bài tập dạng mở rộng giúp các em biết mở rộng vấn đề, cụ
thể hoá vấn đề, tương tự hoá vấn đề để việc giải bài toán liên quan đến hệ thức
Vi-ét tốt hơn. Qua đó tập cho học sinh thói quen tự học, tự tìm tòi sáng tạo, khai
thác cách giải, khai thác bài toán khác nhằm phát triển tư duy một cách toàn diện
cho quá trình tự nghiên cứu của các em.
* Đối với học sinh đại trà: Giáo viên cần chú ý cho học sinh chỉ nắm
chắc các kiến thức cơ bản, kĩ năng biến đổi biểu thức đơn giản , kĩ năng thực
hành và việc vận dụng từng dạng toán có câu hỏi cụ thể ,rõ ràng ,luyện tập khả
năng tự học, gợi sự say mê hứng thú học, kích thích và khơi dậy óc tìm tòi, chủ
động chiếm lĩnh kiến thức.
* Đối với học sinh yếu kém: Là một quá trình liên tục được củng cố và
sửa chữa sai lầm, cần rèn luyện các kỹ năng để học sinh có khả năng nắm được
dạng toán , vận dụng tốt các dạng toán cơ bản vào giải toán, cho học sinh thực
hành theo mẫu với các bài tập tương tự, bài tập từ đơn giản nâng dần đến phức
tạp, không nên dẫn các em đi quá xa nội dung SGK.
Nhờ việc vận dụng kết quả nghiên cứu đề tài này vào giảng dạy, tôi
đã thu được một số kết quả nhất định trong quá trình giảng dạy.Tuy nhiên,
đề tài này vẫn còn rất nhiều hạn chế, cần tiếp tục nghiên cứu bổ sung Vì
vậy tôi rất mong được sự góp ý, giúp đỡ các thầy cô giáo, các bạn đồng
nghiệp để tôi có thể tiếp tục nghiên cứu và vận dụng đề tài này để có thể
đạt được những kết quả tốt hơn trong giảng dạy.
3.2.Kiến nghị

Đổi mới phương pháp dạy học nhằm tạo hứng thú cho học sinh trong quá
trình học tập là rất cần thiết cho công việc giảng dạy của giáo viên và việc học
tập của học sinh, vì vậy tôi rất mong các cấp lãnh đạo quan tâm.
* Đối với trường THCS Quảng Thịnh:
- Mua sắm thêm tài liệu tham khảo, đầu tư cơ sở vật chất và đồ dùng dạy
học.
- Tổ chức thảo luận các chuyên đề đổi mới phương pháp dạy học cho tất
cả các giáo viên thường xuyên trong từng đợt, từng năm để ngày một nâng cao
chất lượng dạy học.
- Nhà trường nên tập trung xây dựng kế hoạch bồi dưỡng, chọn lọc qua
các năm và chỉ đạo các tổ chuyên môn, các giáo viên xây dựng kế hoạch bồi
dưỡng cụ thể, có tính chất tạo nguồn cho những năm tiếp theo.

20


XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VI

Thanh Hóa, ngày 14 tháng 4 năm 2018
(Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung
của người khác).
Người viết

Đàm Trang Anh

21

TÀI LIỆU THAM KHẢO
- Sách giáo khoa, sách giáo viên, bài tập Đại số 9 – Nhà xuất bản Giáo
dục.
- Sách Nâng cao và phát triển Toán 9– Nhà xuất bản Giáo dục.
- Sách Nâng cao và các chuyên đề Đại số 9 – Nhà xuất bản Giáo dục.
- Các dạng toán và phương pháp giải Toán 9– Nhà xuất bản Giáo dục.
- Sách ôn luyện thi vào lớp 10 môn Toán - Nhà xuất bản Giáo dục.
- Nguồn internet
- Tài liệu hội thảo tập huấn : Đổi mới nội dung và phương pháp dạy Toán
- Lý luận dạy học Toán

22