Chuyên đề Tích phân Lớp 12 (Full)

Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Nội dung 1:
BIẾN ĐỔI VỀ TỔNG – HIỆU CÁC TÍCH PHÂN CƠ BẢN
I. PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các tính chất sau để biến đổi tích phân cần tính thành tổng – hiệu các
tích phân cơ bản:
b

b

a
b

a
c

b

a

a

c

1.  k.f (x)dx  k  f (x)dx

2.

b

b

b

a

a

a

  f (x)  g(x)dx   f (x)dx   g(x)dx

3.  f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
Bảng nguyên hàm cơ bản
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
1.  dx  x  c;  kdx  kx  c
2.  x  dx 

x 1
 c, (  -1)
 1

dx
 ln x  c
x
4.  e x dx  e x  c
3.



ax
 c,(0  a  1)
5.  a dx 
ln a
6.  cosxdx  sinx  c
x

7.  sin xdx  cosx  c
dx
 cos 2 x  tanx  c
dx
9.  2   cot x  c
sin x
10.  cotxdx  ln sinx  c

8.

Đặc biệt:

u(x)  ax+b

Nguyên hàm của các hàm số hợp
u = u(x)
1
u
 c,(  1)
1.  u  u 'dx 
 1
u'

2.  dx  ln u  c
u
3.  eu u 'dx  e u  c
au
 c(0  a  1)
4.  a u 'dx 
ln a
5.  u 'cosudx  sin u  c
u

6.  u 'sin udx  cosu  c
7.

u'

 cos2 u dx  tan u  c

u'
 sin 2 u dx   cot u  c
9.  u 'tan udx   ln cos u  c

8.

10.  u 'cot udx  ln sin u  c


1

   f (ax  b)dx  F(ax  b)  c
a

 f (x)dx  F(x)  c 


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

1 (ax  b)1
1.  (ax+b) dx 
c
a  1
dx
1
 ln ax  b  c
2. 
ax  b a
1
3.  eax  b dx  eax  b
a
1
4.  a x dx  ln x    c

1
5.  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  c
a
1
6.  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  c
a
II. BÀI TẬP VÍ DỤ
2
2x  1
dx

Bài 1: Tính tích phân I  
x(x

1)
1


dx

1

7.

 cos2 (ax  b)  a tan(ax  b)  c

8.

 sin 2 (ax  b)   a cot(ax  b)  c

dx

1

1
9.  tan(ax  b)dx   ln cos(ax  b)  c
a
1
10.  cot(ax  b)dx  ln sin(ax  b)  c
a
dx

1
xa

ln
c
11.  2
x  a 2 2a x  a

Giải
2
x 1 x
1
6
 1
I
dx   
 dx  ln x(x  1)  ln  3
1
x
2
1 x(x  1)
1  x 1
2 4
x  x 3  3x 2  2x  2
dx
Bài 2: Tính tích phân I  
x2  x
1
Giải
Chia tử cho mẫu ta được:

x 4  x 3  3x 2  2x  2
x2
1
2
 x2  3  2
 x2  3 

2
x x
x x
x 1 x
3
2
x
 2 16
1
2
3

I    x2  3 
  dx    3x  ln x  1  2ln x    ln
x 1 x 
8
1
3
1 3
2

2


4

Bài 3: Tính tích phân I   (tanx  esinx cos x)dx
0

Giải

4


4


4

0

0

0

I   (tanx  esinx cos x)dx   tanxdx   (sinx)'e sinx dx


2
sinx
= ( ln cos x ) 4  e 4  ln 2  e 2  1
0
0

Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

Bài 4: Tính tích phân I 

3

dx

 x  x3
1

Giải
3
dx
1 x  x
x 
1
 1 1 2x 
I 

dx


dx


 x(1  x 2 )
  x x 2  1

  x  2 . x 2  1 dx
3
1 xx
1
1
1
1
3

 3
= ln x  ln(x 2  1) 
 ln x  ln x 2  1
2
1

1
3

3

2

2

3



x

= ln

3

x2  1 1

 ln



3
1
6
 ln
 ln
2
2
2
2

Bài 5: Tính tích phân I   x 2  x dx
0

Giải
Do
x
x -x

0

2

-

1
0

2
+

2
1
2
 x3 x 2  1  x3 x 2  2
I   x 2  x dx   ( x 2  x)dx   (x 2  x)dx           1
2 0  3
2 1
0
0
1
 3
a
Bài 6: Cho hàm số f (x) 
 bxe x
3
 x  1
1

Tìm a và b biết rằng f’(0) = -22 và  f (x)dx  5
0

Giải
3a
 be x (x  1)  f '(0)  3a  b  22 (1)
4
(x  1)
1
1
1
1 3a
 a
3
x
x
x 
 f (x)dx   a(x  1) dx  b  xe dx   2(x  1)2  b(xe  e )  0  8  b  5 (2)
0
0
0


3a  b  22
a  8

 
Từ (1) và (2) ta có:  3a
b  2
 8  b  5

Ta có: f '(x)  

Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Nội dung 2:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
I. PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Đổi biến số loại I
1. Sử dụng công thức:


b

 f  u  x  .u '(x)dx   f (u)du


a
b

2. Phương pháp: Xét tích phân I   f (x)du
a

- Đặt t = u(x) => dt = u’(x)dx
- Đổi cận u(a) = t1; u(b) = t2
t
t
⇨ I   g(t)dt  g(t) 2 với g(t) = f[u(x).u’(x)]
t1
t

Thường đặt ẩn phụ t là:
• Căn thức hoặc mũ của e hoặc mẫu số hoặc biểu thức trong ngoặc.
•
Có sinxdx => Đặt t = cosx
Có cosxdx => Đặt t = sinx
dx
Có
=> Đặt t = lnx
x
Đổi biến số loại II
2

1



b



a

• Công thức:  f  (t)  '(t)dt   f (x)dx
x  (t); ()  a; ()  b
b

• Tính I   f (x)dx
a

Đặt x  (t)  dx   '(t)dt

Đổi cận: x  (t); ()  a; ()  b


b



a

Khi đó: I   f ((t)). '(t)dt   f (x)dx
Các dạng thường gặp:
b



b



a 2  x 2 dx : Đặt x = a.sint

a

a
b

dx

dx
a x

 a 2  x 2 : Đặt x = a.tant
a

II. BÀI TẬP VÍ DỤ

2

2

: Đặt x = a.sint


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

4

x sinx  (x  1)cosx
dx
x
sin
x

cos
x
0
Giải

Bài 1: Tính tích phân I  


 4
4
x sinx  (x  1)cosx
x
cos
x
x cos x


I
dx   1 
dx

x

4

 x sin x  cos x dx
x sin x  cos x
x sin x  cos x 
0
0
0 0

4


4


x cos x

dx
4 0 x sin x  cos x
Đặt t = sinx + cosx => dt = xcosxdx
Đổi cận:

X
0
4
2 
t
1
  1
2 4 

=

2  
 1
2 4 

2 
dt 
  1    ln 2    1


ln
t

2
4 


 t 4
4
2 4 
1
1
4
4x  1
dx
Bài 2: Tính tích phân I  
2x

1

2
0
Giải
Đặt t  2x  1  2  2x  1  t  2  2x  1  t 2  4t  4
t 2  4t  3
 x 
 dx  (t  2)dt
2
Đổi cận:
X
0
4
T

3
5
2
t  4t  3
1
5 4
5
(2t 2  8t  5)(t  2)
2
⇨ I
(t  2)dt  
dt
t
t
3
3
3
2
5
5
2t  12t  21t  10
10 

dt    2t 2  12t  21  dt
=
t
t 
3
3
 2t 3

 5 34
3
 6t 2  21t  10ln t  
 10ln
=
5
 3
3 3
e
ln x
dx
Bài 3: Tính tích phân I  
2
1 x(2  lnx)

⇨ I 
4


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

Giải
Đặt u = lnx => du =
Đổi cận:
X
1
u
0

1

dx
x

e
1

1
 1
u
2 
2 1

du


du   ln 2  u 



2
2 
(2  u) 
2u 0

0 (2  u)
0 2 u
2
3 1

=  ln 3    (ln 2  1)  ln 

3
2 3

2x
ln 3
e
Bài 4: Tính tích phân I  
dx
ex  1
ln 2
Giải
1

⇨ I

Đặt t = ex  1  t 2  ex  1  2tdt  exdx và e x  t 2  1
Đổi cận:
x
ln2
ln3
t
1
2
2
 t3
 2 20
(t 2  1)2t
dt 2   t  
⇨ I
t

1
3
1 3

6

tan 4 x
dx
Bài 5: Tính tích phân I  
0 cos 2x

Giải

6


6


6

tan 4 x
tan 4 x
tan 4 x
dx  
dx

 cos 2 x(1  tan 2 x) dx
2
2

cos
2x
cos
x

sin
x
0
0
0
dx
Đặt t = tanx => dt 
cos 2 x
Đổi cận:

x
0
6
3
t
0
3
I

3
3

t4
1
3  1 10

dt  ln

⇨ I 
2
1

t
2
3

1
9 3
0


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

Bài tập tự giải:

4

1  2sin 2 x
dx
1

sin
2x
0
ln 3
ex

dx
2. I  
3
x
0
 e  1

1. I  

1
Đ.S: I  ln 2
2
Đ.S: I  2  1


2

3. I   6 1  cos3 x sin x cos 5 xdx

Đ.S: I 

0

4. I 

2 3



dx

x x2  4
2 4
x  x 1
I 2
dx
x

4
0
e
1  3ln x.ln x
I
dx
x
1
2
x
I
dx
x 1
1 1
e
ln 2 x
I 
dx
x
ln
x


1
1
7
x2
I 3
dx
x 1
0
5

5.
6.
7.

3

8.
9.


3

10. I   sin 2 x tan xdx
0

12
91

1 5
Đ.S: I  ln

4 3

Đ.S: I 

17
16
   ln 2
8
3

116
135
11
Đ.S: I   4ln 2
3
76
Đ.S: I 
15
231
Đ.S: I 
10

Đ.S: I 

Đ.S: I  ln 2 

3
8

Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Nội dung 3:
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƢƠNG PHÁP
TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
I. PHƢƠNG PHÁP GIẢI
b
b b
- Công thức:  u(x).v'(x)dx  u(x).v(x)   v(x).u '(x)dx
a a
a
b
b b
- Viết gọn:  udv  uv   vdu
a a
a
- Các dạng thường gặp:
+ Dạng 1:
sin f (x) 
sinf(x) 
cosf (x) 
cosf (x) 


 p(x)  tanf(x) dx thì đặt: u = p(x); dv =  tanf(x)  dx
 f (x )

 f (x )


e

e

+ Dạng 2:  p(x).lnf(x)dx thì đặt u = lnf(x); dv = p(x)dx

sin g(x) 
sin g(x) 
f(x)
dx
dv

+ Dạng 3:  ef (x ) 
thì
đặt
u
=
e
;

cos g(x) dx
cosg(x) 



II. BÀI TẬP VÍ DỤ
3  ln x
dx
2
1 (x  1)

3

Bài 1: Tính tích phân I  

Giải
dx

u  3  lnx
du



x
Đặt 
 
dx
dv  (x  1) 2
v   1


x 1
3
3  ln x 3 3 dx
3  ln 3 3 3 1
dx
I


   dx  
x  1 1 1 x(x  1)

4
2 1x
1 x 1
3
3 1
3  ln 3
27 
 ln x  ln x  1   3  ln 
=
1
1 4
4
16 
1

Bài 2: Tính tích phân I   (x  2)e 2x dx
0

Giải


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

du  dx
u  x  2

Đặt 


1 2x

2x
dv  e dx
 v  2 e
1 1 1 2x
1
e2
1 2x 1 5  3e 2
2x
I  (x  2)e
 e dx    1  e

0 2 0
0
2
2
4
4

2

Bài 3: Tính tích phân I   (2x  1)cos 2 xdx
0

Giải

2


2

I   (2x  1)cos 2 xdx   (2x  1)
0

0

2

1  cos2x
dx
2


2

1
1
(2x  1)dx   (2x  1)cos 2 x dx

20
20


2
2 
2
• Tính I1   (2 x  1)dx  (x  x) 2  
4 2
0
0

=


2

• Tính I 2   (2x  1)cos2xdx
0

du  2dx
u  2x  1

 
Đặt 
1
dv  cos2xdx
 v  2 sin 2x
 2

1
1
I 2  (2x  1)sin 2x 2   sin 2xdx  cos2x 2  1
2
2
0 0
0

1
1
2  1
⇨ I  I1  I 2   

2
2
8 4 2

4

x
dx
0 1  cos2x

Bài 4: Tính tích phân I  

Giải

4


4

x
1
x
dx  
dx
2
1

cos2x
2
cos

x
0
0
u  x
du  dx

Đặt 
du  
 v  tanx
dv  cos 2 x
I


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2



1
14
1
 1
I  x tanx 4   tanxdx   x tanx  ln cos x  4   ln 2
2
20
2
8 4
0
0

2

9

Bài 5: Tính tích phân J   sin xdx
0

Giải

3

Đặt t  x  t 2  x  2tdt  dx  J   2t sin tdt
0

u  2t
du  2dt
Đặt 
 
dv  sint dt
 v   cos t




3

J   2t cos t  3  2  costdt  ( 2t cos t) 3  2sin t 3    3
3
0
0
0
0

Bài tập tự giải:

3

1  x sin x
dx
cos 2 x
0
2
ln x
2. I   3 dx
2 x

1. I  

e

3. I   x 3 ln 2 xdx
1

2

4. I   (x  1)sin 2xdx
0
2

5. I   (x  2)ln xdx

2
 ln(2  3)

3
3  2ln 2
Đ.S: I 
16
5e4  1
Đ.S: I 
32

Đ.S: I  3 

Đ.S: I 


1
4

Đ.S: I  2ln 2 

1
3

6. I   ln(x 2  x)dx
2
3

4

0

2

ln 2x  1
(2x  1)3

9. I   x sin 2xdx
0

Đ.S: I = 3ln3 – 2

1
3
Đ.S: I   ln 3  ln
4
2

ln x
dx
2
1 (x  1)

7. I  

8. I  

5
4

dx

1

2
Đ.S: I   ln 3 
3
3

Đ.S: I 


4


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
Nội dung 4:
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
I. PHƢƠNG PHÁP GIẢI
Tính diện tích
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a, b]. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a và
x = b là:
b

b

a

a

S   f (x)dx   f (x) dx

Nếu f(x) không dương trên đoạn [a, b] thì:
b

b

a

a

S   f (x)dx   f (x) dx

Bài toán 2: Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục trên đoạn [a, b] và có đồ thị
lần lượt là (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2), hai đường x = a
và x = b được xác định bởi công thức:
b

S   f (x)  g(x) dx (1)
a

Giải (1):
+ Giải phương trình: f(x) = g(x) (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì S 

b

 f (x)  g(x)  dx
a

+ Nếu (*) có nghiệm thuộc [a, b] giả sử là ,  (< ) thì:

S



 f (x)  g(x) dx 
a



 f (x)  g(x)dx 



b

 f (x)  g(x) dx


Bài toán 3: Cho (C1): x1 = f(y), (C2): x2 = g(y); f(y), g(y) liên tục trên đoạn [a, b].
Diện tích hình phẳng S được giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng y = a và y = b
được xác định bởi công thức:
b

S   f (y)  g(y)dy
a


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

Thể tích các vật thể

Một vật thể  giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox
lần lượt tại x = a, x = b (a < b). Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox tạo hoành độ
x ( a  x  b ) và cắt  theo tiết diện S(x) và là hàm liên tục theo biến x trên [a, b].
Khi đó thể tích  là:
b

V   S(x) dx
a

Bài toán 1: Giả sử hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0
quay quanh Ox. Hình tròn S(x) có bán kính R = y: S(x) = y 2
b

V   y 2dx
a

Bài toán 2: Thể tích do hình phẳng: x = g(y), x = 0, y = a, y = b quay quanh trục Oy:
b

V    x 2dy
a

Bài toán 3: Tính thể tích vật thể do hình phẳng giới hạn hai đường cắt nhau quay
quanh Ox:
y1 = f(x), y2 = g(x)
y 2  y1  0 x  [a,b]
V    y 2 2  y12 dx
b

a

Bài toán 4: Tính thể tích vật thể do hình phẳng giới hạn hai đường cắt nhau quay
quanh Ox:
y1 = f(x), y2 = g(x)
y1  y 2  0 x  [a,b]
V    y 2 2  y12 dx
b

a

II. BÀI TẬP VÍ DỤ
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y  x 2  x  3 và đường thẳng
d: y = 2x + 1


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của Parabol và d:
x  1
x 2  x  3  2x  1  x 2  3x  2  0  
x  2
2

2

Ta có: S   (x 2  x  3)  (2x  1) dx   x 2  3x  2 dx
1

1

 x 3x 2
2 1
=  ( x 2  3x  2)dx    
 2x   (đvdt)
2
1
 3
1 6
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (P): y  x 2  4x  3 và (d):
3

2

y = x + 3.
Giải
 x  3  x 2  4x  3
 x 2  5x  0
 x  0, y  3
(P)  (d) : 



 x  5, y  8
2
2

 x  3   x  4x  3
 x  3x  6  0
x  1

(P)  O x : y  0  x 2  4x  3  0  
x  3
1

3

5

S   (x  3)  (x 2  4x  3)  dx   (x  3)  (x 2  4x  3) dx   (x  3)  (x 2  4x  3) dx
0
1

1

3

3

5

=  ( x 2  5x)dx   (x 2  3x  6)dx   (  x 2  5x)dx
0

1

3

 x 5x  1  x 3x
 3  x 3 5x 2  5 109




6x
=  
(đvdt)
0 
1   
3
3
2
3
2
3
2
6






3

2

3

2

Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể

tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.
Giải
Phương trình hoành độ giao điểm của các đường y = xlnx và y = 0 là:
xlnx = 0 <=> x = 1


Bùi Kim Ngọc – ĐHSPHN2

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục hoành là:
e

e

V    y dx    (x ln x) 2 dx
2

1

1

2ln x

du 
dx

u  ln x

x
Đặt 
 

3
2
dv  x dx
v  x

3
3
e
x 2 e 2e 2
e3 2 e 2
2
Ta có:  (x ln x) dx  ln x   x ln xdx    x ln xdx
1 31
3
3 31
1
dx

du


u  ln x
x
Đặt 


3
2
dv  x dx
v  x


3
3
e
e 1e 2
x
e3 x 3 e 2e3  1
2

Ta có:  x ln xdx  ln x   x dx  
1 31
3
3 9 1
9
1
2

(5e3  2)
Vậy V 
(đvtt)
27
Bài tập tự giải
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P): x = -x2+ 4x và đường thẳng d:
y=x
9
Đ.S: S  (đvdt)
2
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = (e+1)x và y = (1+ex)x
e
Đ.S: S   1 (đvdt)

2
3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra trong phép quay xung quanh trục Ox của
hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường y  x sinx (0  x  )

3
Đ.S: V 
(đvtt)
4
x2
x2
y

4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4 
và
4
4 2
4
Đ.S: S = 2  (đvdt)
3