từ 1 mệnh đề đến việc tính nhanh tích phân hàm hữu tỉ

Tác giả
Họ và tên : Huỳnh Hữu Hùng
Đơn vị công tác : Tổ toán trường THPT Hiệp Đức, huyện Hiệp Đức, tỉnh Quảng Nam
S
ố điện thoại liên hệ: 01658022012
Email:


Từ một mệnh ñề ñến việc giải
nhanh tích phân hàm hữu tỉ
Đa số các sách tham khảo khi viết phương pháp tính tích phân hàm hữu tỉ đều
dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp chọn giá trị đặt biệt. Bài
viết này giới thiệu một cách nhẩm nhanh các hệ số khi biến đổi các phân thức
hữu tỉ về dạng áp dụng được các công thức nguyên hàm.
Mệnh đề: Cho k là một số nguyên dương,
( )Q x
là mộ
t
đ
a th
ứ
c và
1
x
không ph
ả
i là
nghi
ệ
m c
ủ

a ( )
Q x
.N
ế
u
1 1
( )
( )
( ) ( ) ( )
k k
P x A
R x
x x Q x x x
= +
− −
thì
1
1
( )
( )
P x
A
Q x
=
Ch
ứ
ng minh: T
ừ
gi
ả

thi
ế
t ta suy ra
1
( ) . ( ) ( ) ( ) ( )
k
P x A Q x x x R x Q x= + −
B
ằ
ng cách thay
x
b
ở
i
1
x ta
đượ
c
1 1
( ) . ( )P x A Q x
=
hay
1
1
( )
( )
P x
A
Q x
=

Áp dụng1: Nếu P(x) là một đa thức có bậc nhỏ hơn n và
1 2
1 2 1 2
( )

( )( ) ( )
n
k n
P x A A A
x x x x x x x x x x x x
= + + +
− − − − − −
thì
1 2 1 1
( )
( )( ) ( )( ) ( )
i
i
i i i i i i i n
P x
A
x x x x x x x x x x
− +
=
− − − − −
. T
ứ
c là
i

A
có
đượ
c b
ằ
ng cách thay
i
x
vào bi
ể
u th
ứ
c bên trái sau khi xóa th
ừ
a s
ố
( )
i
x x− ở
d
ướ
i m
ẫ
u.
Sau
đ
ây tôi xin trình bày m
ộ
t s
ố

ví d
ụ
.
Ví d
ụ
1: Tính tích phân
1
2
0
3 5
3 4 1
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫

L
ờ
i gi
ả
i:Ta có
2
3 5 3 5
1 1
3 4 1 1
3( 1)( )
3 3

x x A B
x x x
x x x
− −
= = +
+ + +
+ + +

Trong
đ
ó
3.( 1) 5
4
1
3( 1 )
3
A
− −
= =
− +
(
Tính A b
ằ
ng cách thay x=-1 vào bên trái sau khi xóa th
ừ
a
s
ố
(x+1)
ở

m
ẫ
u s
ố
ngh
ĩ
a là thay vào bi
ể
u th
ứ
c
3 5
1
3( )
3
x
x
−
+
)
www.VNMATH.com
và
1
3. 5
3
3
1
3( 1)
3
B

 
− −
 
 
= =
− +
(Tính B b
ằ
ng cách thay x=-1/3 vào bên trái sau khi xóa th
ừ
a s
ố

(x+1/3)
ở
m
ẫ
u s
ố
ngh
ĩ
a là thay vào bi
ể
u th
ứ
c
3 5
3( 1)
x
x

−
+
. B
ạ
n c
ũ
ng có th
ể
dùng tay “B
ụ
m”
th
ừ
a s
ố
(x+1/3) xem nh
ư
không có th
ừ
a s
ố
này r
ồ
i thay x=-1/3 vào bi
ể
u th
ứ
c còn l
ạ
i .

3 5
1
3( 1)( )
3
x
x x
−
+ +
)
Vì v
ậ
y

1 1
0 0
1
1
0
0
3 5 4 3
1 1
1
3( 1)( )
3 3
1
4ln 1 3ln 4ln2 3ln 4 ln1024
3
x
I dx dx
x

x x x
x x
 
 
−
= = +
 
+
 + + +
 
= + + + = + =
∫ ∫

L
ư
u ý r
ằ
ng h
ọ
c sinh ch
ỉ
c
ầ
n nh
ớ
cách nh
ẩ
m các h
ằ
ng s

ố
A và B ch
ứ
không c
ầ
n trình bày
vào bài làm nên ti
ế
t ki
ệ
m th
ờ
i gian r
ấ
t nhi
ề
u.
Đặ
t bi
ệ
t b
ậ
c c
ủ
a m
ẫ
u càng l
ớ
n thì hi
ệ

u qu
ả

c
ủ
a ph
ươ
ng pháp nh
ẩ
m h
ệ
s
ố
này càng cao.
Ví d
ụ
2: Tính tích phân
2
3
1
3 5
9
x
I dx
x x
−
=
−
∫

L
ờ
i gi
ả
i
2 2
1 1
2 2 2
1 1 1
2 7 5
3 5
9 9 9
( )
( 3)( 3) 3 3
2 7 5 2 1 7 5 5
ln 3 ln 3 ln ln ln ln2
9 9 9 9 2 9 4 9
x
I dx dx
x x x x x x
x x x
−
−
= = + +
− + − +
= − − + + = − +
∫ ∫

Ví dụ 3: Tính tích phân
1

4
2 2
0
( 9)( 4)( 1)
x
I dx
x x x
=
− − +
∫

Lời giải
1 1
4
0 0
1 1 1 1 1
0 0 0 0 0
27 27 4 4
1
40 20 15 5
24
( )
( 3)( 3)( 2)( 2)( 1) 3 3 2 2 1
27 27 4 4 1
ln 3 ln 3 ln 2 ln 2 ln 1
40 20 15 5 24
27 2 27 4 4 1 4 3 1 27 32 4 3 1
ln ln ln ln ln 2 ln ln ln 2
40 3 20 3 15 2 5 2 24 40 3 5 16 24
x

I dx dx
x x x x x x x x x x
x x x x x
− −
= = + + + +
− + − + + − + − + +
= − + + − − − + + +
= + − − + = − +
∫ ∫

Nhận xét: Nếu dùng phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp chọn giá trị đặt biệt
thì phải thiết lập hệ phương trình 5 ẩn và giải rất phức tạp.
Ví dụ 4: Tính tích phân
1
2
3 2
0
3 5
2 2
x
I dx
x x x
−
=
+ + +
∫

www.VNMATH.com
Lời giải:
2 2

3 2 2 2
7
3 5 3 5
5
2 2 ( 2)( 1) 2 1
x x Bx C
x x x x x x x
− − +
= = +
+ + + + + + +

Thay x=1 được
8
5
B C
−
+ =
Thay x=0
đượ
c
16
5
C
−
= , suy ra
8
5
B = . Do
đ
ó

1
1 1 1 1
2 2 2
0
0 0 0 0
1
2 2
4
2 2
0 0
7 8 8
7 8 8 1
5 5 5
ln 2
2 1 5 5 1 5 1
7 3 4 ( 1) 8 (1 tan ) 7 3 4 2
ln ln ln2
5 2 5 1 5 tan 1 5 2 5 5
x
x
I dx dx x dx dx
x x x x
d x t dt
x t
π
π
−
= + = + + −
+ + + +
+ +

= + − = + −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫


Áp dụng 2:Cho k là một số nguyên đương,
( )Q x
là mộ
t
đ
a th
ứ
c và
1
x không ph
ả
i là
nghi
ệ
m c
ủ
a ( )Q x .N
ế
u
1 2
2
1 1 1 1
( )
( )

( ) ( ) ( ) ( )
k
k k
P x A A A
R x
x x Q x x x x x x x
= + + + +
− − − −
thì
1
1
( )
( )
k
P x
A
Q x
=
. T
ứ
c là
k
A có
đượ
c b
ằ
ng cách thay
1
x vào bi
ể

u th
ứ
c bên trái sau khi xóa
th
ừ
a s
ố

1
( )
k
x x−
ở
d
ướ
i m
ẫ
u.
Ví d
ụ
5: Cho
2
3 2 3
3 1
( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 1) 2
x A B C D
x x x x x x
−
= + + +
+ − + + + −

a) Tìm các h
ằ
ng s
ố
A, B, C, D
b) Tính tích phân
1
2
3
0
3 1
( 1) ( 2)
x
I dx
x x
−
=
+ −
∫

L
ờ
i gi
ả
i
a)
2
3( 1) 1 2
1 2 3

C
− −
= = −
− −
(Tính C b
ằ
ng cách thay x=-1 vào bên trái sau khi xóa th
ừ
a s
ố

(x+1)
ở
m
ẫ
u s
ố
ngh
ĩ
a là thay vào bi
ể
u th
ứ
c
2
3 1
2
x
x
−

−
)
2
3
3.2 1 11
(2 1) 27
D
−
= =
+
(Tính D b
ằ
ng cách thay x=2 vào bên trái sau khi xóa th
ừ
a s
ố
(x-2)
ở

m
ẫ
u s
ố
ngh
ĩ
a là thay vào bi
ể
u th
ứ
c

2
2
3 1
( 1)
x
x
−
+
)
T
ừ

đ
ó suy ra


Cho
0x =
đượ
c
1 2 11 37
2 3 54 27
A B A B= + − − ⇔ + =
Cho x=1
đượ
c
1 1 11 13
4 2 4 12 27 2 27
A B B
A− = + − − ⇔ + =

Do
đ
ó
11 16
,
27 9
A B= − =
2
3 2 3
2 11
3 1
3 27
( 1) ( 2) 1 ( 1) ( 1) 2
x A B
x x x x x x
−
−
= + + +
+ − + + + −
www.VNMATH.com
b)T
ừ
k
ế
t qu
ả
câu a) ta có
1
2 3
0

1
1 1 1
2
0 0 0
0
11 16 2 11
27 27 3 27
( )
1 ( 1) ( 1) 2
11 16 1 1 11 11 1 1
ln 1 . ln 2 ln
27 27 1 3( 2) 27 27 4 4
I dx
x x x x
x x
x x
−
−
= + + +
+ + + −
−
= + − + + − = +
+ +
∫

Bài tập tương tự
Tính các tích phân 1)
1
2
3

2
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
2)
1
2
3
2
0
( 1)( 4 3)
x x
I dx
x x x
−
=
− − +
∫

3)
1
2 2
0
3 4
( 1)( 4)

x
I dx
x x
−
=
− −
∫
4)
1
3 2
0
3 4
5 8 4
x
I dx
x x x
−
=
+ + +
∫

5)
1
3
0
3 4
( 4) ( 3)
x
I dx
x x

−
=
− −
∫
6)
1
2 2
0
3 4
( 5 4)
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫





www.VNMATH.com