giai phuong trinh tich phan fedholm loai 2

1. Mở đầu
Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình tốn tử được nhiều nhà khoa
học nghiên cứu. Trong đó phần lớn các cơng trình nghiên cứu tìm nghiệm của phương trình
tốn tử loại hai x  Ax  f với toán tử A đơn điệu, liên tục Lipschitz tác dụng trong không
gian Banach tùy ý X .
Phương pháp này sử dụng q trình lặp, thơng qua một số hữu hạn các bước theo tham
số  và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co. Trong các bài tốn cụ thể thì
các yếu tố đã biết khơng thuận lợi cho việc tìm nghiệm chính xác, nên nhiều cơng trình tập
trung nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình tốn tử loại hai.
2. Nội dung
2.1. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến
Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:
b

u  x   f  x     K  x, t  u  t  dt với mọi x   a; b .

(1)

a

Ta xét hai trường hợp của hạch suy biến:
K  x, t    xt  ,
n



K  x, t   e x  t



m

(2)
, n, m  1, 2,... .

(3)

Dưới dạng tổng quát ta hoàn toàn chứng minh được toán tử:
b

Au   K  x, t  u  t  dt ,
a

với hai hạch (2), (3) là đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số:
1

b b
2
2
L     K  x, t  dxdt  .
a a


Như vậy với hai hạch (2), (3) phương trình tích phân Fredholm (1) có thể giải được
bằng phương pháp thác triển theo tham số.
Ví dụ 1. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:




u  x 

Giải: Xét toán tử A : L2



0; 2 



3

2
 
x  sin x   xtu  t  dt với mọi x  0;  .
24
 2
0

 L2


0; 2 



định nghĩa bởi:


2
 

Au   xtu  t  dt với mọi x  0;  .
 2
0

+ Tốn tử Au hồn tồn xác định.
+ Tốn tử Au đơn điệu. Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2


0; 2 



ta có:



 2



Au  Av, u  v    xt u  t   v  t  dt  u  x   v  x  dx
0 0


2

2

 2




   t u  t   v  t  dt   0 .
 0

+ Toán tử Au liên tục Lipschitz với hằng số L 
Thật vậy, u  t  , v  t   L2


0; 2 



3
24

.

ta có:

1

2
 
2
2
2
2



Au  Av   xt u  t   v  t   dt     xt u  t   v  t  dt dx  .
0
0 0






Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Buyakowsky cho bất đẳng thức trên ta được:
 

2 2



2 2
Au  Av     x t dxdt 
0 0




1
2



1
2

2



   u  t   v  t  dt  .
0




(4)



2

Suy ra Au  Av   x 2 dx  u  v 
0

3
24

u v .

Vậy A là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số L 

3
24

.

Khi đó phương trình (4) có nghiệm duy nhất.
Chọn N  2 và đặt  0 

1
. Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
2

trình (4) ta có q trình lặp:




3

12
12
un 1  x  
x  sin x   xtu*  t  dt   xtun  t  dt.
24
20
20

Lấy xấp xỉ u*  t   t  sin t và u0  t   0 . Khi đó ta có:


3

1 2

u1  x  
x  sin x  x  t  t  sin t  dt
24
2 0



 u1  x  

3

13 
x  sin x    1
24
2  24 
1
1 3
x  sin x  
x.
2
2 24



 2

3 2
2
1 1 2
1 


2
u2  x   u1  x   x   t dt   t sin tdt    t dt 
2 2 0
2 24 0
0



2
1  1 3
1 3  
 u1  x   x    1      .
2  2 24
2  24  



1 3
1
 u2  x   x  sin x  2 
x 2
2 24
2

2

3 
   x.
 24 

2
3
1 3
1 3 
1 3  
u3  x   u1  x   x   1  2     2     .
2  24
2  24  2  24  




2

3

3 
1 3 
 u3  x   x  sin x     x    x.
2  48 
 48 

…………………………………….
Suy ra un  x 

 1
 x  sin x 
2

n

3 
 
 48 

n 1

x   1

n

n 1

3 
  x.
 48 

Vậy nghiệm của phương trình (4) là:

u  x   lim un  x   x  sin x.
n

Ví dụ 2. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:
1

u  x   e  2 xe   xtu  t  dt với mọi x  1;1 .
1

x

(5)

1

Giải: Xét toán tử A : L2 1;1  L2 1;1 định nghĩa bởi:
1

Au 

 xtu  t  dt

với mọi x  1;1 .

1

+ Toán tử Au hồn tồn xác định.
+ Tốn tử Au đơn điệu. Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2 1;1 ta có:

Au  Au, u  v  0 .
+ Toán tử Au là toán tử co, liên tục Lipschitz với hằng số L 

2
.
3

Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2 1;1 ta có:
1

1

1 1
2  1
2 2
2
Au  Av     x 2t 2 dxdt     u  t   v  t  dt   u  v .
3
 1 1
  1


Suy ra Au là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số L 
toán tử co với hệ số co q 

2
.
3

2
, ngoài ra Au là
3


Khi đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất.
1
. Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
2

Chọn N  2 và đặt  0 
trình (5) ta có q trình lặp:

un 1  x   e x  2 xe 1 

1

1

1
1
x  tu*  t  dt  x  tun  t  dt.
2 1
2 1

Ta lấy xấp xỉ u*  t   et và chọn u0  t   0 . Khi đó ta có:
1

1
x
u1  x   e  2 xe  x  tet dt  e x  .
2 1
e
1

x

1

1

1

1
x  tu*  t  dt  x  tu1  t  dt
2 1
2 1

u2  x   e x  2 xe 1 

x 1
t

 e   x  t  et   dt .
e 2 1 
e
1

x

1 x
 u2  x   e x   .
3 e
1

1

1
1
x  tu*  t  dt  x  tu2  t  dt
2 1
2 1

u3  x   e x  2 xe 1 

x 1
1 

 e   x  t  et  t  dt.
e 2 1 
3e 
1

x

1 x
 u3  x   e x   .
9 e

………………………………………………..
Suy ra un 1  x   e

x

 1

n

3

n

x

 .
e

Vậy nghiệm của phương trình (5) là:

u  x   lim un1  x   e x .
n

Ví dụ 3. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:




u  x   sin x  cos x 

Giải: Xét toán tử A : L2



0; 2 



 L2


0; 2 





2
 
x   xtu  t  dt với mọi x  0;  .
2
 2
0

(6)

định nghĩa bởi:


2
 
Au   xtu  t  dt với mọi x  0;  .
 2
0

+ Tốn tử Au hồn tồn xác định.
+ Tốn tử Au đơn điệu. Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2


0; 2 



ta có:

Au  Au, u  v  0 .
+ Toán tử Au liên tục Lipschitz với hằng số L 
Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2


0; 2 



3
24

.

ta có:

1

1

 2 2
 2  2
2
2

 

Au  Av     x 2t 2 dxdt     u  t   v  t  dt  .
0 0
 0



 


2

Suy ra Au  Av   x 2 dx  u  v 

3

0

24

u v .

Khi đó phương trình (5) có nghiệm duy nhất.
Chọn N  2 và đặt  0 

1
. Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
2

trình (6) ta có q trình lặp:


un 1  x   sin x  cos x 



2

x



2

1
12
xtu
t
dt

xtun  t  dt.


*
2 0
2 0

Ta lấy xấp xỉ u*  t   sin t và chọn u0  t   0 . Khi đó ta có:






1 2
u1  x   sin x  cos x  x  x  t  sin t  cos t  dt.

2
2 0

 u1  x   sin x  cos x 


4

x.



u2  x   u1  x  

1 2 
 
x  t  sin t  cos t  t  dt.
2 0 
4 

 u2  x   sin x  cos x 

 3


x.
4 48



1 2 
 3 
u3  x   u1  x   x  t  sin t  cos t   t  dt.
2 0 
4 48 
 u3  x   sin x  cos x 

 3 

2

  x .
4  48 

…………………………………….
Suy ra un 1  x   sin x  cos x 

 3 

n

  x .
4  48 

Vậy nghiệm của phương trình (6) là:

u  x   lim un1  x   sin x  cos x .
n

Ví dụ 4. Giải phương trình tích phân Fredholm loại hai:

u  x  1

1





1 2
x   xt  x 2t 2 u  t  dt với mọi x  1;1 .
15
1

Giải: Xét toán tử A : L2 1;1  L2 1;1 định nghĩa bởi:
1

Au 

  xt  x t  u  t  dt
2 2

1

+ Toán tử Au hoàn toàn xác định.

với mọi x  1;1 .

(7)

+ Toán tử Au đơn điệu. Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2 1;1 ta có:
2

2

1
 1 2

Au  Au, u  v    x u  x   v  x   dx     x u  x   v  x   dx   0 .
 1
  1


+ Toán tử Au là liên tục Lipschitz. Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L2 1;1 ta có:
1 1
Au  Av     xt  x 2t 2
 1 1



1



2

1

2  1
2

2
dxdt     u  t   v  t  dt   L  u  v .
  1


Suy ra Au là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số L .
Khi đó phương trình (7) có nghiệm duy nhất.
Chọn N  2 và đặt  0 

1
. Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
2

trình (7) ta có q trình lặp:
1



1







1
1
1
un 1  x   1  x 2   xt  x 2t 2 u*  t  dt   xt  x 2t 2 un  t  dt.

15
2 1
2 1

Ta lấy xấp xỉ u*  t   1  t 2 và chọn u0  t   0 . Khi đó ta có:
u1  x   1 

1







1 2 1
x   xt  x 2t 2 1  t 2 dt.
15
2 1

Sử dụng phần mềm Maple qua 10 phép lặp ta có kết quả sau:
u1  x   1 

7 2
x
15

u2  x   1 

67 2

x
75

u3  x   1 

367 2
x
375

u4  x   1 

1867 2
x
1875

u5  x   1 

9367 2
x
9375

u6  x   1 

46867 2
x
46875

u7  x   1 

234267 2

x
234375

u8  x   1 

1171867 2
x
1171875

u9  x   1 

5859367 2
x
5859375

u10  x   1 

29296867 2
x
29296875

Vậy qua 10 phép lặp nghiệm xấp xỉ của phương trình (7) là:

u  x   1  0.9999997269 x2 .
Tốc độ hội tụ: u  x   u10  x, 2   0.0001655423671.


2.2. Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch khơng suy biến
Xét phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:
b

u  x   f  x     K  x, t  u  t  dt với mọi x   a; b ,

(8)

a

trong đó K  x, t  là hạch không suy biến.
Giả sử K  x, t  có thể xấp xỉ bởi hạch khơng suy biến Kn  x, t  nào đó:
K  x, t   K n  x, t    n  x , t  ,

(9)

lim max  n  x, t   0.
n  a  x ,t b

Khi đó phương trình (8) có thể viết dưới dạng:
b

b

a

a

u  x   f  x     K n  x, t  u  t  dt     n  x, t  u t  dt.

(10)

Vì  n  x, t  nhỏ tùy ý khi n đủ lớn, nên ta coi nghiệm un  x  của phương trình tích

phân tuyến tính với hạch suy biến Kn  x, t  :
b

un  x   f  x     K n  x, t  un  t  dt với mọi x   a; b ,

(11)

a

là nghiệm gần đúng của phương trình (8).
Ví dụ 5: Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai:
1

1
1
u  x   2  x 2  x 4   e xt u  t  dt với mọi x 0;1 .
4
15
0

(12)

Giải: Khai triển Taylor đối với hàm e xt theo xt tại xt  0 ta có:

 xt   ec  xt n1
xt  xt 
e  1 
  
  , với c 0; xt  .
1!

2!
n!
 n  1!
2

n

xt

Lấy khai triển Taylor của hàm e xt tới  xt  , khi đó phương trình (12) có nghiệm xấp
4

xỉ với nghiệm của phương trình:


1
1
1
1
1


u  x   2  x 2  x 4   1  xt  x 2t 2  x3t 3  x 4t 4  u t  dt .
4
15
2
6
24

0

1

(13)

Xét toán tử A : L20;1  L20;1 định nghĩa bởi:

1
1
1


Au   1  xt  x 2t 2  x3t 3  x 4t 4  u  t  dt với mọi x 0;1 .
2
6
24

0
1

+ Tốn tử Au hồn tồn xác định.
+ Tốn tử Au đơn điệu. Thật vậy, với mọi u  t  , v  t   L20;1 ta có:
2

2

1
 1
 11 2

Au  Av, u  v    u  x   v  x   dx     x u  x   v  x  dx     x u  x   v  x  dx 

0
 0
 20

2

2

2

1
1


1
1 
   x3 u  x   v  x  dx     x 4 u  x   v  x  dx   0 .
60
 24  0


+ Toán tử Au liên tục Lipschit với hằng số 1  L  2 .
Thật vậy, u  t  , v  t   L20;1 ta có:
1

Au  Av 



1

 1  xt  2 x t
0

2 2



1 3 3 1 4 4
xt 
x t  u  t   v  t   dt
6
24

1

2
1 1 
2
1 2 2 1 3 3 1 4 4
    1  xt  x t  x t 
x t  u  t   v  t  dt dx  .
2
6
24
0 0 





Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky cho bất đẳng thức trên ta được:

Au  Av  L u  v .
Sử dụng phần mềm Maple ta tìm được hằng số Lipschitz: L  1.356769084 .
Vậy A là toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz với hằng số L  1.356769084 .
Khi đó phương trình (13) có nghiệm duy nhất.


Chọn N  2 và đặt  0 

1
. Áp dụng phương pháp thác triển theo tham số với phương
2

trình (13) ta có q trình lặp:

1
1
1 
1
1
1

un1  x   2  x 2  x 4   1  xt  x 2t 2  x3t 3  x 4t 4  u* t  dt
4
15
2 0
2
6

24

1

1 
1 2 2 1 3 3 1 4 4
1  xt  x t  x t  x t  un  t  dt .

2 0
2
6
24

1



Lấy xấp xỉ u*  t   2  t 2 và u0  t   0 . Khi đó sử dụng phần mềm Maple ta có:

u1  x   0.8333333333  0.6250000000 x  0.03333333333x2
0.05555555556 x3  0.05535714286 x4 ;

u2  x   0.5687698413  0.7323908730 x  0.001622496221x2
0.06287822421x2  0.05397238757 x4 ;

u3  x   0.7342382542  0.6435400034 x  0.03232149205x2
0.05503460945 x3  0.05556427282 x 4 ;

u4  x   0.6230351906  0.7044699779 x  0.01106065817 x2
0.06049904933x3  0.5445083408 x 4 ;

u5  x   0.6982070872  0.6632173815x  0.02546619590x2
0.05679487872 x3  0.05520582659x 4 ;

u6  x   0.6471699148  0.6912787189 x  0.01565579206 x2
0.05931945915 x3  0.05469096645 x 4 ;

u7  x   0.6819045927  0.6721619675x  0.02234303276 x2
0.05759790522 x3  0.05504215855 x 4 ;

u8  x   0.6583932123  0.6850690887 x  0.01783504328 x2


0.05875718815 x3  0.05480585446 x 4 .

Tốc độ hội tụ: u  x   u8  x, 2   0.1592220124 .

TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Abdul-Majid Wazwaz (2011), Linear and Nonlinear Integral Equations Methods and
Applications, Springer.
2. Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình
tốn tử, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật Hà Nội.
3. Khuat. V. N (2011), A method of extending by parameter for approximate solutions of
operator equations, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 36, No 1.