Tính đơn điệu hàm số

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số
1. Lý thuyết chung

y = f ( x)

Định nghĩa: Cho hàm số

K

xác định trên

K

, với

là một khoảng, nửa khoảng

hoặc một đoạn.

∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 )

y = f ( x)
• Hàm

đồng biến (tăng) trên

K

nếu

y = f ( x)
• Hàm số

nghịch biến (giảm) trên

.

∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 )

K

nếu

.
y = f ( x)

Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số
• Nếu hàm số đồng biến trên khoảng

K

• Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng

có đạo hàm trên khoảng

thì
K

.

f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K
thì

.
y = f ( x)

có đạo hàm trên khoảng

f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K
thì hàm số đồng biến trên khoảng

K

f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K
• Nếu

thì hàm số nghịch biến trên khoảng

f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K
• Nếu

.

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số
• Nếu

K

thì hàm số không đổi trên khoảng

K

.

.
K

K

.

.

Chú ý.
• Nếu

K

y = f ( x)

là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số

liên tục

[ a; b]

y = f ( x)

trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số

f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K
và có đạo hàm
• Nếu

của

thì hàm số đồng biến trên đoạn

f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K
( hoặc

K

[ a; b]

( a; b )
trên khoảng

f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K

liên tục trên đoạn

thì hàm số đồng biến trên khoảng

f ′( x) = 0

) và

K

.

chỉ tại một số điểm hữu hạn

( hoặc nghịch biến trên khoảng

K

).

y = f ( x)

Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

1
Facebook: dung.tran.elec

:
1/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

P( x)

a) Lập bảng xét dấu của một biểu thức

P ( x)

Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức

P ( x)

, hoặc giá trị của x làm biểu thức

không xác

định.
Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
P ( x)

Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của

trên từng khoảng của bảng xét dấu.

y = f ( x)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số

trên tập xác định

Bước 1. Tìm tập xác định D.
y′ = f ′( x )

Bước 2. Tính đạo hàm

.
f ′( x )

Bước 3. Tìm nghiệm của

f ′( x)

hoặc những giá trị x làm cho

không xác định.

Bước 4. Lập bảng biến thiên và kết luận.
y = f ( x)

Tìm điều kiện của tham số m để hàm số

đồng biến, nghịch biến trên khoảng

( a; b )
cho trước.
y = f ( x, m)

Cho hàm số

(a; b) ⊂ D

có tập xác định D, khoảng

:

( a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( a; b)

 Hàm số nghịch biến trên
(a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)

 Hàm số đồng biến trên
y=

Chú ý: Riêng hàm số

a1 x + b1
cx + d

thì :

( a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b)
 Hàm số nghịch biến trên

( a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b)

 Hàm số đồng biến trên

( a; b)

Chú ý: Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng
f ′( x) ≥ 0
• Bước 1:

Đưa bất phương trình

g ( x ) ≥ h (m )

g ( x ) ≤ h (m )

(hoặc
• Bước 2:

f ′( x) ≤ 0

(hoặc

:

∀x ∈ (a; b)

),

về dạng

∀x ∈ (a; b)

),

Lập bảng biến thiên của hàm số

2
Facebook: dung.tran.elec

.
g ( x)

( a; b)

trên

.
2/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
• Bước 3:

SDT: 0946.798.489

Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của

tham số m.
Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương
trình:
f ( x) = m

f ( x ) ≥ g ( m)

Đưa phương trình, hoặc bất phương trình về dạng

hoặc

, lập bảng

f ( x)

biến thiên của

, dựa vào BBT suy ra kết luận.

Nhắc lại một số kiến thức liên quan:
 Cho tam thức
thì:
y ' = g ( x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)





a > 0
y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0
a < 0
y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0

g(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
 Định lí về dấu của tam thức bậc hai

:

g(x)

 Nếu ∆ < 0 thì

luôn cùng dấu với a.
x= −

g(x)

 Nếu ∆ = 0 thì

luôn cùng dấu với a (trừ
g(x)

 Nếu ∆ > 0 thì

có hai nghiệm

x1, x2

b
2a

)
g(x)

và trong khoảng hai nghiệm thì
g(x)

khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì

 So sánh các nghiệm

x1, x2

∆ ≥ 0

x1 ≤ x2 < 0 ⇔  P > 0
S < 0

cùng dấu với a.
g(x) = ax2 + bx + c

của tam thức bậc hai

với số 0:

g(x) ≤ m,∀x∈ (a; b) ⇔ max g(x) ≤ m
(a;b)


∆ ≥ 0

0 < x1 ≤ x2 ⇔  P > 0
S > 0

g(x) ≥ m,∀x ∈ (a; b) ⇔ ming(x) ≥ m
(a;b)


3
Facebook: dung.tran.elec

3/80

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.


SDT: 0946.798.489

x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0

Một số dạng câu hỏi thường gặp:
y = f (x)

 Tìm điều kiện để hàm số

đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng

xác định):

• Hàm số f đồng biến trên D ⇔

y′ ≥ 0,∀x∈ D

• Hàm số f nghịch biến trên D ⇔
• Nếu

+

y′ ≤ 0,∀x∈ D

y' = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

thì:

a > 0
y' ≥ 0,∀x∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0

+

a < 0
y' ≤ 0,∀x∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0

y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d

 Tìm điều kiện để hàm số

(a ; b )

đơn điệu trên khoảng

.

y′ = f ′(x) = 3ax2 + 2bx + c

Ta có:

.
(a ; b )

a) Hàm số f đồng biến trên

⇔

y′ ≥ 0,∀x ∈ (a ; b )

Trường hợp 1:
f ′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≥ g( x)

 Nếu bất phương trình

(*)
h(m) ≥ max g(x)

(a ; b )

(a ;b )



thì f đồng biến trên

f ′(x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g( x)

 Nếu bất phương trình

(**)
h(m) ≤ min g(x)

(a ; b )

(a ;b )



thì f đồng biến trên

f ′(x) ≥ 0

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
t = x −a

không đưa được về dạng (*) thì đặt

y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα 2 + 2bα + c

. Khi đó ta có:

.
(−∞; a)

 Hàm số f đồng biến trên khoảng

4
Facebook: dung.tran.elec

:

4/80

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

g(t) ≥ 0,∀t < 0





SDT: 0946.798.489

a > 0

∆ > 0
a > 0
∨ 

∆ ≤ 0
S > 0

P ≥ 0

(a; +∞)

 Hàm số f đồng biến trên khoảng

g(t) ≥ 0,∀t > 0





a > 0
∆ > 0
a > 0
∨ 

∆ ≤ 0
S < 0
 P ≥ 0

(a ; b )

⇔

b) Hàm số f nghịch biến trên

:

y′ ≥ 0,∀x∈ (a ; b )

y′ = 0

và

chỉ xảy ra tại một số

(a ; b )

hữu hạn điểm thuộc

.

Trường hợp 1:
f ′( x) ≤ 0 ⇔ h(m) ≥ g( x)

 Nếu bất phương trình

(*)
h(m) ≥ max g(x)

(a ; b )

(a ;b )



thì f nghịch biến trên

f ′( x) ≥ 0 ⇔ h(m) ≤ g( x)

 Nếu bất phương trình

(**)
h(m) ≤ min g(x)

(a ; b )

(a ;b )



thì f nghịch biến trên
f ′(x) ≤ 0

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình
t = x −a

không đưa được về dạng (*) thì đặt

y′ = g(t) = 3at2 + 2(3aα + b)t + 3aα 2 + 2bα + c

. Khi đó ta có:

.
(−∞; a)

 Hàm số f nghịch biến trên khoảng

g(t) ≤ 0,∀t < 0





a < 0

∆ > 0
a < 0
∨ 


∆
≤
0

S > 0

P ≥ 0

(a; +∞)

 Hàm số f nghịch biến trên khoảng

5
Facebook: dung.tran.elec

5/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.


g(t) ≤ 0,∀t > 0



SDT: 0946.798.489

a < 0
∆ > 0

a < 0
∆ ≤ 0 ∨ S < 0


 P ≥ 0

 Tìm điều kiện để hàm số

3

đơn điệu trên khoảng có độ dài

2

y = f (x) = ax + bx + cx + d

bằng d

•

f đơn điệu trên khoảng


• Biến đổi

a ≠ 0
∆ > 0


(x1; x2)

y′ = 0



có 2 nghiệm phân biệt

x1, x2

(1)

x1 − x2 = d

thành

(x1 + x2)2 − 4x1x2 = d2 ⇔ S2 − 4P = d2

(2)

• Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.
• Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.
2. Kỹ năng và thủ thuật làm trắc nghiệm
2.1 Các bài toán tiên quan đến đạo hàm

y=

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số

2x −1
x +1

tại

x =1

d  2x − 1 
3

 =
dx  x + 1  x=1 4

Nhập vào máy tính

y = ( x − 1)( x + 1)( x − 3)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm
d
( ( x − 1)( x + 1)( x − 3) ) x= X
dx
calc :100 ⇔ 29399 = 30000 − 600 + 1
nhap :

⇒ y ' = 3x 2 − 6 x + 1
Một số công thức cần nhớ:

6
Facebook: dung.tran.elec

6/80

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
y=

SDT: 0946.798.489

ax + b
ad − bc
⇒ y'=
2
cx + d
( cx + d )

ax 2 + bx + c
adx 2 + 2aex + be − cd
y=
⇒ y'=
2
dx + e
( dx + e )
ae − bd ) x 2 + 2(af − cd ) x + bf − ce
(
ax 2 + bx + c
y= 2
⇒ y'=
(*)
2
dx + ex + f
( dx 2 + ex + f )

y=
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số

2 x 2 − 3x + 1
x 2 + 3x − 1

Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có :
a = 2, b = −3, c = 1

d = 1, e = 3, f = −1
( ae − bd ) x 2 + 2(af − cd ) x + bf − ce = ( 6 + 3) x 2 + 2 ( −2 − 1) x + 3 − 3
⇒ y' =
2
2
( dx 2 + ex + f )
( x 2 + 3x − 1)
⇒ y' =

(x

9x2 − 6x
2

+ 3x − 1)

2

Cách 2: nhập vào Casio biểu thức:

d  2 x 2 − 3x + 1 

B1: P = ( x + 3 x − 1)

÷x = X
dx  x 2 + 3x − 1 
2

2

B 2 : calc :100
B3 : P = 89400

Ta phân tích:
y' =

(x

P = 89400 = 90000 − 600 = 9 x 2 − 6 x

9x2 − 6x
2

+ 3x − 1)

2

Vậy
2.2 Các bài toán tiên quan đến tính đơn điệu

y = − x 3 + 3x 2 + 3mx − 1
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số

A.

m>0

B.

nghịch biến trên khoảng

m ≤ −1

C.

m ≤1

( 0; +∞ )

D.

m≥2

Giải:

7
Facebook: dung.tran.elec

7/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

( 0; +∞ )

y ' = −3x 2 + 6 x + 3m
+

, Để hàm số nghịch biến trên khoảng

thì

y ' ≤ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ )

( 0; +∞ )

x =1

y '(1)

+ Ta lấy một giá trị x bất kì trong khoảng
, cụ thể
, ta xét dấu của
P = y '(1) = −3 + 6 + 3 A; A = m
+ Ta nhập
, Ta tính một vài giá trị
A=2⇒ P =9>0
m=2
Calc
(ko thỏa đk nghịch biến) loại A,D vì chứa

.
A=m =0⇒ P =3>0
m=0
Calc
(ko thỏa đk nghịch biến) loại C vì chứa
.
ycbt ⇔ m ≤ −1 ⇒ B
Suy ra
Ví dụ 4: Cho hàm số
. Tìm m để hàm số
3
2
2
y = 2 x - 3( 3m - 1) x + 6 2m - m x + 3

(

)

nghịch biến trên đoạn có đồ dài bằng 4
A.
C.

m =5
m =5

hoặc
hoặc

B.

m =3

D.

m =- 3

m =- 5
m =5

hoặc

hoặc

m =3

m =3

Giải:
Cơ sở lý thuyết: muốn hàm số nghịch biến (đồng biến) có độ dài là k thì ta cần tìm

•

y'= 0

•
•
•

x1 , x2

điều kiện
có hai nghiệm
phân biệt và thỏa điều kiện độ dài là k:
 ∆ y ' > 0

∆ y' ≥ 0
 x2 − x1 = k
Tức là:
Tại sao không được
nhỉ?
∆ y' > 0
Ta nhìn 4 đáp án, luôn tồn tại 2 giá trị m nên ta ko cần tìm điều kiện
.
Bài này ta chỉ cần làm 2 bước:
y ' = 6 x 2 − 6(3m − 1) x + 6(2m2 − m) = 6 ( x 2 − (3m − 1) x + (2m 2 − m) )
 S = 3m − 1
2
2
⇒
⇒ S 2 − 4 p = ( 3m − 1) − 4 ( 2m 2 − m ) = m 2 − 2 m + 1 = ( m − 1)
2
 P = 2m − m



 Áp dụng công thức nhanh:

m = 5
2

ycbt ⇔ k 2 = S 2 − 4 P ⇔ 4 = ( m − 1) ⇔ 
⇒C
 m = −3

3. Bài tập tự luận
3.1 Bài tập tự luận có giải

8
Facebook: dung.tran.elec

8/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
Bài 1:

Cho hàm số

y = x 3 + 3 x 2 − mx − 4

SDT: 0946.798.489
, tìm tất cả giá trị của m để hàm số đồng

biến trên

( −∞;0 )
Giải:
TXĐ: D=R
y ' = 3x 2 + 6 x − m

ycbt

∆ ' = 9 + 3m

 a = 3 > 0

  ∆ ' = 9 + 3m ≤ 0
 a = 3 > 0

 ∆ ' = 9 + 3m ≥ 0

⇔   x2 > x1 ≥ 0

⇔
m ≤ 3


 m > 3
  S = −2 > 0

−m

  P = 3 > 0

(vô nghiệm)

( −∞; 0 )
Vậy

m≤3

Bài 2:

thì hàm số Đồng Biến trên

Cho hàm số

−1 3
y=
x + 2 x 2 + (2 m + 1) x − 3m + 2
3

, Tìm tất cả giá trị của m để

hàm số nghịch biến trên R.
Giải:
TXĐ: D=R
y ' = − x 2 + 4 x + 2m + 1
Để hàm số nghịch biến trên R thì :
y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡
⇔ − x 2 + 4 x + 2m + 1 ≤ 0

9
Facebook: dung.tran.elec

9/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

 a = −1 < 0
−5
⇔
⇔m≤
2
∆ ' = 4 + 2m + 1 ≤ 0
Vậy

−5
m≤
2

Bài 3:

thì hàm số nghịch biến trên R.

x 3 + ( m − 1) x 2 + (m 2 − 4) x + 9
Cho hàm số y=

, Tìm m để hàm số Đồng biến trên

R.
Giải:
TXĐ: D=R.

y ' = 3x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 − 4
y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡

Để hàm số Đồng biến trên R thì

⇔ 3x 2 + 2 ( m − 1) x + m 2 − 4 ≥ 0, ∀x ∈ ¡
a = 3 > 0

2
2
⇔ ∆ ' = (m − 1) − 3( m − 4) ≤ 0
⇔ 2m 2 + 2m − 13 ≥ 0

−1 + 3 3
m ≥
2


−1 − 3 3
m ≤
2
⇔ 

Bài 4:

Cho hàm số

( m + 1) x 2 − 2mx − 3m3 + m 2 − 2
y=
x−m

Tìm m để hàm số Nghịch Biến trên các khoảng xác định.
Giải:

TXĐ:

D = ¡ \ { m}

y ' = m +1+

2 ( m3 + 1)

( x − m)

2

(m + 1) x 2 − 2m(m + 1) x + 2m3 + m 2 + 2
=
( x − m) 2

10
Facebook: dung.tran.elec
10/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

Để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của D thì
2
3
2
⇔ ( m + 1) x − 2m(m + 1) x + 2m + m + 2 ≤

+TH1:

0

a = m + 1 = 0 ⇔ m = −1 ⇔ −2 + 1 + 2 ≤ 0

+TH2: YCBT

y'≤ 0 ∀ ∈
x D.

∀ ∈
x D

(vô lý)

a = m + 1 < 0

2
2
3
2
⇔  ∆ ' = m (m + 1) − (m + 1)(2m + m + 2) ≤ 0

m < −1
 2 2
4
3
2

⇔ m ( m + 2m + 1) − (2 m + 3 m + m + 2 m + 2) ≤ 0
⇔
⇔ ( m + 1) ( m3 + 2 ) ≥ 0

Dựa vào BBT
Vậy với m

Bài 5:

≤ −3 2

m

(m+1)(

m3

≥
+2) 0

≤ −3 2

thì hàm số Nghịch Biến trên các khoảng xác định .

Tìm m để hàm số

y = x + m sin x

đồng biến trên R.

Giải:
TXĐ: D=R
y ' = 1 + m cos x

Để hàm số đồng biến trên R thì

y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡

⇔ 1 + m cos x ≥ 0
⇔ m cos x ≥ −1

Bài 6:

( −∞; 0 )
y = x 3 + 3x 2 − mx − 4

Giải:
TXĐ: D=R
y ' = 3x 2 + 6 x − m

∆ ' = 9 + 3m

11
Facebook: dung.tran.elec
11/80

, Tìm m để hàm số Đồng biến trên


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

YCBT

SDT: 0946.798.489

m ≤ 3


 m > 3
  S = −2 > 0

−m

P=
>0

3
⇔ 

 a = 3 > 0

 ∆ ' = 9 + 3m ≤ 0
 a = 3 > 0

∆ ' = 9 + 3m ≥ 0

⇔   x2 > x1 ≥ 0

(vô nghiệm)

( −∞;0 )
Vậy

m≤3

thì hàm số Đồng Biến trên

.

y = 2x3 − 3(2m+ 1)x2 + 6m(m+ 1)x + 1

Bài 7:

Cho hàm số

có đồ thị (Cm).
(2; +∞)

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
Giải:
TXĐ: D = R.
y' = 6x2 − 6(2m+ 1)x + 6m(m+ 1)

∆ = (2m+ 1)2 − 4(m2 + m) = 1> 0
x= m
y' = 0 ⇔ 
 x = m+ 1

(−∞; m), (m+ 1;+∞)

. Hàm số đồng biến trên các khoảng

Do đó: hàm số đồng biến trên

(2; +∞) ⇔ m+ 1≤ 2 ⇔ m≤ 1

y = x3 + (1− 2m)x2 + (2 − m)x + m+ 2

Bài 8:

Cho hàm số

.
(0; +∞ )

Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng

.

Giải:
TXĐ:D=R
y ′= 3x2 + 2(1− 2m)x + (2 − m)
(0; +∞)

Hàm

đồng

⇔ f (x) =

biến

trên

3x2 + 2x + 2
≥m
4x + 1

∀x∈ (0; +∞)

với

∀x∈ (0; +∞)

với

12
Facebook: dung.tran.elec
12/80

⇔ y′= 3x2 + 2(1− 2m)x + (2 − m) ≥ 0


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
f ′(x) =

6(2x2 + x − 1)
2

(4x + 1)

SDT: 0946.798.489

= 0 ⇔ 2x2 + x − 1= 0 ⇔ x = −1; x =

1
2

Ta có:
(0; +∞)

f (x)

Từ BBT của hàm
m≤

Vậy

5
4

trên

, từ đó ta đi đến kết luận:

 1
5
f  ÷ ≥ m⇔ ≥ m
4
 2

.

(0; +∞)

hàm đồng biến trên khoảng

Bài 9:

Cho hàm số

.

1
y = (m2 − 1)x3 + (m− 1)x2 − 2x + 1
3

(m≠ ±1)

(1)

.

(−∞;2)

Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng

.

Giải:

TXĐ: D = R;
y′ = (m2 − 1)x2 + 2(m− 1)x − 2

.
*nhận xét: bài toán xuất hiện

m2

f (x) ≥ m

nên ta không thể đưa về dạng

f (x) ≤ m

hoặc

lúc

này ta so sánh 2 nghiệm với số 0 dễ dàng hơn rất nhiều so với số 2 trong khoảng xác định từ
ý tưởng đó ta chuyển 2 thành số 0 bằng cách đổi biến:
Đặt

t = x – 2⇒ x = t + 2
y′ = g(t) = (m2 − 1)t2 + (4m2 + 2m− 6)t + 4m2 + 4m− 10

=>

(−∞;2) ⇔ g(t) ≤ 0, ∀t < 0
Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng

TH1:

TH2:

a < 0

∆ ≤ 0



a < 0
∆ > 0

S > 0
 P ≥ 0

m2 − 1< 0
 2
3m − 2m− 1≤ 0



m2 − 1< 0
 2
3m − 2m− 1> 0
4m2 + 4m− 10 ≤ 0

 −2m− 3 > 0
 m+ 1

13
Facebook: dung.tran.elec
13/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

Vậy: Với

−1
≤ m< 1
3

SDT: 0946.798.489

(−∞;2)
thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng

.

y = x4 − 2mx2 − 3m+ 1

Bài 10:

Cho hàm số

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).
Giải:
TXĐ:D=R

y' = 4x3 − 4mx = 4x(x2 − m)

m≤ 0

y ′≥ 0,∀x ∈ (0; +∞ )

,

m> 0 y ′= 0
,

⇒

Vậy

− m, 0, m

.

m ≤ 1 ⇔ 0 < m≤ 1

.

hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2).
y=

Bài 11:

thoả mãn.

có 3 nghiệm phân biệt:

Hàm số đồng biến trên (1; 2) 
m∈ ( −∞;1

m≤ 0

Cho hàm số

mx + 4
x+ m

(−∞;1)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Giải:
TXD : D \ { −m}
m2 − 4
′
y=
(x + m)2

.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔

y ′< 0 ⇔ −2 < m< 2

(1)

− m≥ 1⇔ m≤ −1

(−∞;1)

Để hàm số nghịch biến trên khoảng
Từ (1) và (2) ta được:
Vậy

−2 < m≤ −1

−2 < m≤ −1

.

(−∞;1)
số nghịch biến trên khoảng

14
Facebook: dung.tran.elec
14/80

thì ta phải có

.

(2)


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
y=

Bài 12:

Cho hàm số

SDT: 0946.798.489

2x2 − 3x + m
x−1

(−∞; −1)
Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

.

Giải:
*chú ý để đơn giản quá trình tính toán ta có thể dùng giản đồ hooc-ne chia đa thức ta được:
y = 2x −1+

m −1
x −1

D = R \ {1}

TXĐ:

.

y ' = f '( x) = 2 −

m −1

2x2 − 4x + 3 − m
=
( x − 1) 2
( x − 1) 2

⇔ f '( x ) ≥ 0 ⇔ 2 x 2 − 4 x + 3 − m ≥ 0
g(x) = 2x2 − 4x + 3 ⇒ g'(x) = 4x − 4

Đặt

(−∞;−1)
Hàm số đồng biến trên

⇔ y' ≥ 0, ∀x∈ (−∞;−1) ⇔ m≤ min g(x)
(−∞;−1]

g(x), ∀x∈ (−∞; −1]
Dựa vào BBT của hàm số
ta suy ra
Vậy

m≤ 9

m≤ 9

.

(−∞; −1)
thì hàm số đồng biến trên
y=

Bài 13:

Cho hàm số

x2 − 2mx + 3m2
2m− x

(1; +∞)
Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
Giải:

15
Facebook: dung.tran.elec
15/80


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

D = R \ {2m}
TXĐ:
y' =

Đặt

.
− x2 + 4mx − m2
2

(x − 2m)

=

f (x)
(x − 2m)2

.

t = x−1

.
g(t) = −t2 − 2(1− 2m)t − m2 + 4m− 1≤ 0

f (x) ≤ 0

Khi đó bpt:

trở thành:

(1; +∞)
Hàm số nghịch biến trên

2m< 1
⇔ y' ≤ 0, ∀x∈ (1; +∞) ⇔ 
 g(t) ≤ 0, ∀t > 0
 m= 0
∆ ' = 0
  m≠ 0

 ∆ ' > 0
⇔ 
⇔ 
 4m− 2 < 0
 S < 0
 m2 − 4m+ 1≥ 0 ⇔ m≤ 2 − 3
  P ≥ 0


m≤ 2 − 3
Vậy: Với

(1; +∞)

thì hàm số nghịch biến trên

3.2 Bài tập tự luận luyên tập

Bài 1:

Bài 2:
Bài 3:
Bài 4:

Bài 5:

1
y = ( m 2 − 1) x3 + (m + 1) x 2 + 3 x + 5
3

y = x3 − 3 x 2 + 3mx + 3m + 4
, Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
y = x3 + ( m − 1) x 2 + ( m 2 − 4) x + 9
, Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
y = x3 − 3 x 2 + 3mx + 3m + 4
, Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
1
y = (m + 1) x3 − (2m − 1) x 2 + 3(2m − 1) x + 1( m #− 1)
3

biến trên:

a)

( −∞;1)

( −1; +∞ )
b)

16
Facebook: dung.tran.elec
16/80

, Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

( −1;1)
c)

,Tìm m để hàm số đồng

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

Bài 6:

y=3sinx-4cosx-mx+1, Tìm m để hàm số đồng biến trên R.

Bài 7:

y=x+m(sinx+cosx), Tìm m để hàm số đồng biến trên R.
y=

Bài 8:

x 2 + mx − 1
x −1

, Tìm m để hàm số có 2 khoảng đồng biến trên toàn miền xác

định.

Bài 9:

y = x3 − (m + 1) x 2 − 3(2m 2 − 3m + 2) x + 2m(2m + 1)
, CMR hàm số không thể

luôn đồng biến.

Bài 10:
Bài 11:

y = − x3 − 3 x 2 + mx + 4
,Tìm tất cả giá trị m để hàm số nghịch biến (0;+

∞

)

Tìm a để hàm số:

y = x 2 (a − x) − a
a/

tăng (1;2).
y = − x 3 + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x

b/

tăng (0;3)

4.

Bài tập trắc nghiệm

4.1 Bài tập trắc nghiệm có lời giải
y=

Bài 1:

Cho hàm số

x +1
1− x

. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?

( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
A

. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.

( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ )
B. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

( −∞;1)
C

. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

( 1; +∞ )
và

( −∞;1)
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng

Bài 2:

.

( 1; +∞ )
và

.

y = − x 3 + 3x 2 − 3x + 2
Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định

đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên

¡

.

( −∞;1)
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

17
Facebook: dung.tran.elec
17/80

( 1; +∞ )

và

.


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

( −∞;1)

( 1; +∞ )

C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số luôn đồng biến trên

¡

và nghịch biến trên khoảng

.

.

y = − x 4 + 4 x 2 + 10

Bài 3:

Cho hàm số

(I):

( −∞; − 2 )

và các khoảng sau:

;

(II):

(−

2;0

)

;

( 0; 2 )

(III):

;

Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
A. Chỉ (I).

B. (I) và (II).
y=

Bài 4:

Cho hàm số

3x − 1
−4 + 2 x

A. Hàm số luôn nghịch biến trên

¡

C. (II) và (III).

D. (I) và (III).

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.

( −∞; 2 )
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng

( 2; +∞ )
và

.

( −∞; − 2 )
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

Bài 5:

( −2; +∞ )
và

Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên
h( x ) = x 4 − 4 x 2 + 4

A.

C.

Bài 6:
A.
C.

.

nghịch biến trên các khoảng nào ?

( −4;2 )
B.

( −1; +∞ )
và

Hỏi hàm số

.

D.

x3
− 3x 2 + 5x − 2
3

B.

( −1; 2 )
và

.

nghịch biến trên khoảng nào?

( 2;3)

18
Facebook: dung.tran.elec

.

( −4; −1)

(5; +∞)

A.

D.

.

y=

Bài 7:

.

(2; +∞)

( −∞; −1)

.
k ( x ) = x3 + 10 x − cos 2 x

x 2 − 3x + 5
y=
x +1

và

?

B.

4
4
f ( x) = − x 5 + x 3 − x
5

3

Hỏi hàm số

¡

g ( x) = x3 + 3 x 2 + 10 x + 1

.

( −∞; −4)

18/80

.

( 1;5 )

( −∞;1)
C.

D.


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
y=

Bài 8:

Hỏi hàm số

3 5
x − 3x4 + 4 x3 − 2
5

(−∞;0)

A.

SDT: 0946.798.489

.

B.

¡

đồng biến trên khoảng nào?
(2; +∞)

(0; 2)

.

C.

.

D.

y = ax 3 + bx 2 + cx + d

Bài 9:

Cho hàm số

. Hỏi hàm số luôn đồng biến trên

.
¡

khi

nào?

A.

C.

Bài 10:

 a = b = 0, c > 0

2
 a > 0; b − 3ac ≤ 0
 a = b = 0, c > 0

2
 a < 0; b − 3ac ≤ 0

.

B.

.

D.

 a = b = 0, c > 0

2
 a > 0; b − 3ac ≥ 0
a = b = c = 0

2
 a < 0; b − 3ac < 0

.

.

y = x 3 + 3x 2 − 9 x + 15

Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

( −3;1)
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
B. Hàm số đồng biến trên

¡

.

.

( −9; −5)
C. Hàm số đồng biến trên

.

( 5; +∞ )
D. Hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 11:

.

y = 3x 2 − x 3
Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

( 0; 2 )
A. Hàm số đồng biến trên khoảng

.

( −∞;0 ) ; ( 2;3)

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng

.

( −∞;0 ) ; ( 2;3)
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng

.

( 2;3)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng
y=

Bài 12:

Cho hàm số

x
+ sin 2 x, x ∈ [ 0; π ]
2

nào?

19
Facebook: dung.tran.elec
19/80

.

. Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

A.

 7π
 0;
 12

SDT: 0946.798.489
 7π 11π 
 12 ; 12 ÷


B.
.

  11π 
;π ÷
÷và 
  12

.

 7π   7π 11π 
;
 0;
÷và 
÷

 12   12 12 
C.
.

Bài 13:

D.

 7π 11π
 12 ; 12


  11π 
÷và  12 ; π ÷
 

.

y = x + cos 2 x
Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Hàm số luôn đồng biến trên

¡

.

π


 + kπ ; +∞ ÷
4

B. Hàm số đồng biến trên
và nghịch biến trên khoảng

π


 −∞; + kπ ÷
4


.

π
π



 + kπ ; +∞ ÷
 −∞; + kπ ÷
4
4



C. Hàm số nghịch biến trên
và đồng biến trên khoảng

.
D. Hàm số luôn nghịch biến trên

Bài 14:

¡

.

Cho các hàm số sau:
(I) : y =

1 3
x − x 2 + 3x + 4
3

x −1
x +1

(II) : y =

;

;

(III) : y = x 2 + 4
(IV) : y = x 3 + 4 x − sin x

(V) : y = x 4 + x 2 + 2
;

.

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định?
A. 2.

Bài 15:

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Cho các hàm số sau:
(I) : y = − x3 + 3 x 2 − 3 x + 1

(II) : y = sin x − 2 x

;

;
(IV) : y =

(III) : y = − x 3 + 2
;

x−2
1− x

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A. (I), (II).

Bài 16:

B. (I), (II) và (III).

Xét các mệnh đề sau:

20
Facebook: dung.tran.elec
20/80

C. (I), (II) và (IV).

D. (II), (III).


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

y = −( x − 1)3

(I). Hàm số

¡

nghịch biến trên
y = ln( x − 1) −

(II). Hàm số

x
x −1

.

đồng biến trên tập xác định của nó.

x

y=

x2 + 1

(III). Hàm số

đồng biến trên

¡

.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 3.

Bài 17:

B. 2.

C. 1.

D. 0.

y = x + 1 ( x − 2)
Cho hàm số

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

1

 −1; ÷

2
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng
.
(−∞; −1)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

.
(−∞; −1)

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

Bài 18:

Cho hàm số

y = x +3+ 2 2− x

1

 −1; ÷

2

1

 ; +∞ ÷
2

và
.

1

 ; +∞ ÷
2

và đồng biến trên khoảng
.

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

( −∞; −2 )
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng

( −2; 2 )
và đồng biến trên khoảng

( −∞; −2 )
B. Hàm số đồng biến trên khoảng

( −2; 2 )
và nghịch biến trên khoảng

( −∞;1)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

Cho hàm số

và nghịch biến trên khoảng

21
Facebook: dung.tran.elec
21/80

.

( 1; 2 )
và đồng biến trên khoảng

 π π
y = cos 2 x + sin 2 x.tan x, ∀x ∈  − ; ÷
 2 2

là khẳng định đúng?

.

( 1; 2 )

( −∞;1)

Bài 19:

.

.

. Khẳng định nào sau đây


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

 π π
− ; ÷
 2 2
A. Hàm số luôn giảm trên
.
 π π
− ; ÷
 2 2

B. Hàm số luôn tăng trên
.
 π π
− ; ÷
 2 2
C. Hàm số không đổi trên
.

 π 
 − 2 ;0÷

D. Hàm số luôn giảm trên

Bài 20:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

y=

sao cho hàm số

x−m+2
x +1

giảm

trên các khoảng mà nó xác định ?
A.

m < −3

Bài 21:

.

B.

m ≤ −3

.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

trên



m ≤1

C.

m

.

D.

m <1

.

sao cho hàm số sau luôn nghịch biến

?

1
y = − x 3 − mx 2 + (2m − 3) x − m + 2
3

A.

Bài 22:
y=

A.

Bài 23:

−3 ≤ m ≤ 1

.

B.

m ≤1

.

C.

−3 < m < 1

D.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
x 2 − (m + 1) + 2m − 1
x−m

m >1

.

m

.

sao cho hàm số

tăng trên từng khoảng xác định của nó?
B.

m ≤1

.

C.

m <1

.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

y = f ( x) = x + m cos x

luôn đồng biến trên

22
Facebook: dung.tran.elec
22/80

m ≤ −3; m ≥ 1

.

¡

?

D.

m

m ≥1

.

sao cho hàm số

Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
m>

m ≤1
A.

.

Bài 24:

B.

3
2

SDT: 0946.798.489
m<

m ≥1
.

C.

.

D.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

y = ( m − 3) x − (2m + 1) cos x

luôn nghịch biến trên
−4 ≤ m ≤

A.

¡

.

B.

m≥2

sao cho hàm số

?

m > 3

m ≠ 1

.

.

m≤2

C.
.
D.
.
m
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
sao cho hàm số sau luôn đồng biến

Bài 25:
trên

2
3

¡

m

1
2

?

y = 2 x3 − 3(m + 2) x 2 + 6(m + 1) x − 3m + 5

A. 0.

Bài 26:

B. –1 .

Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số

luôn đồng biến trên
A.

Bài 27:

C. 2.

m = −5

¡

y=
sao cho hàm số

x3
+ mx 2 − mx − m
3

?

.

B.

Tìm số nguyên

m

D. 1.

m

m=0

.

C.

m = −1

y=

nhỏ nhất sao cho hàm số

.

D.

(m + 3) x − 2
x+m

m = −6

.

luôn nghịch biến

trên các khoảng xác định của nó?
m = −1

A.

Bài 28:

.

B.

m = −2

.

C.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m

m=0

.

D. Không có
y=

sao cho hàm số

mx + 4
x+m

m

.

giảm

( −∞;1)
trên khoảng
A.

Bài 29:

−2 < m < 2

?
.

B.

.

C.

−2 < m ≤ −1

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

23
Facebook: dung.tran.elec
23/80

−2 ≤ m ≤ −1

m

.

D.

−2 ≤ m ≤ 2

.

sao cho hàm số


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.

SDT: 0946.798.489

( 0; +∞ )

y = x 3 − 6 x 2 + mx + 1
đồng biến trên khoảng
A.

Bài 30:

m≤0

.

B.

m ≤ 12

?

.

m≥0

C.

m ∈ [ −5; 2 )
A.

m ∈ ( −∞; 2]
. B.

.

.

B.

biến trên khoảng

A.

Bài 33:

1≤ m < 2

Bài 34:

m = −1

.

D.
m

B.

Tất

cả

.
các

sao cho hàm số

nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3?
.

C.

m=9

m ≤ 0;1 ≤ m < 2

mx3
+ 7 mx 2 + 14 x − m + 2
3

14 

 −∞; − ÷
15 


.

.

D.

m

m = 1; m = −9

.

y=

sao cho hàm số

tan x − 2
tan x − m

đồng

?

B.
giá

24
Facebook: dung.tran.elec
24/80

.

.

C.

m≥2

.

D.

m

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

y = f ( x) =

A.

C.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
 π
 0; 4 ÷



sao cho hàm số

m ∈ ( −∞; −5 )

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m = −1; m = 9

.

?

m ∈ ( 2, +∞ )

1
1
y = x 3 − mx 2 + 2 mx − 3m + 4

3
2

Bài 32:

m

m ≥ 12

(1;3)

đồng biến trên khoảng

A.

D.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

y = x 4 − 2(m − 1) x 2 + m − 2

Bài 31:

.

.

sao cho hàm số

[1; +∞)

giảm trên nửa khoảng

14 

 −∞; − 
15 


trị

m≤0

thực

.
của

C.

14 

 −2; − 15 

tham

số

m

?

.

D.
sao

 14

 − 15 ; +∞ ÷


cho

hàm

.

số


Tài Liệu ôn tập. Chưa có đáp án.
4

SDT: 0946.798.489

( 1; 2 )

2

y = − x + (2m − 3) x + m

nghịch biến trên khoảng
p
q
số

. Hỏi tổng

A. 5.

Bài 35:

y=

y=

B. Bốn.

B.

2 x 2 + (1 − m) x + 1 + m
x−m

đồng biến trên khoảng
B. 1.

β ≥2
và

và

và

.

β ≥2
và

25
Facebook: dung.tran.elec

.

β ≥2

β ≥2

5π
+ kπ , k ∈ Z
12

sao cho hàm số

D. 0.

α

β
và

− x3 1
3
+ (sin α + cosα )x 2 − x sin α cosα − β − 2
3
2
2

π
+ kπ , k ∈ Z
4

m

?

C. 2.

π
5π
+ kπ ≤ α ≤
+ kπ , k ∈ Z
12
12

α≥

25/80

D. Không có.

(1; +∞)

π
π
+ kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z
12
4

C.

sao cho hàm số

C. Vô số.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

α≤

D.

m

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số

y = f ( x) =

A.

D. 3.

đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 3.

Bài 37:

C. 7.

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

A. Hai.

Bài 36:

là?

B. 9.

x 2 − 2mx + m + 2
x−m

, trong đó phân

p+q

q>0

tối giản và

là


p
 −∞; 
q


.

.

sao cho hàm số

luôn giảm trên

¡

?