các bài tập vận dụng cao môn toán

ĐỀ 7
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO
Câu 1.

Cho số phức z thỏa mãn:

đun của số phức ω =

2z + z + 3i

( 1 + 2i ) ( z − i ) − 3z + 3i = 0. Tìm mô

?

z2

106
C. z = 5.
D. ω = 95 .
.
13
13
a
Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C ’D’ có cạnh là . Hãy tính
diện tích xung quanh S xq và thể tích V của khối nón có đỉnh là tâm O
của hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp hình vuông A’B’C ’D’.
A. ω = 13.

B. ω =

2

3
A. Sxq = π a 5 ;V = π a .
2
12

2
3
B. Sxq = π a 5 ;V = π a .
4
4
2
3
π a3
C. Sxq = π a 3 ;V = π a .
D. Sxq = π a2 5;V =
.
4
2
6
Câu 3. Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải
hình trụ dài 1 km, đường kính trong của ống (không kể lớp bê tông)
bằng 1m; độ dày của lớp bê tông bằng 10 cm. Biết rằng cứ một mét
khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải
dùng để xây dựng đường ống thoát nước gần đúng với số nào nhất sau
đây ?
A. 3456 bao .
B. 3450 bao .
C. 4000( bao) .
D. 3000 bao .

(

Câu 4.

)

(

Trong

không

)

gian

(

với

hệ

toạ

độ

)

Oxyz ,cho

( P ) : x + 4y − 2z − 6 = 0 , ( Q ) : x − 2y + 4z − 6 = 0 . Lập phương trình mặt
phẳng ( α ) chứa giao tuyến của ( P ) , ( Q ) và cắt các trục tọa độ tại các

điểm A, B,C sao cho hình chóp O.ABC là hình chóp đều.
A. x + y + z + 6 = 0.
B. x + y + z − 6 = 0 .
C. x + y − z − 6 = 0 .
D. x + y + z − 3 = 0.
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x4 − 2mx2 + 3m + 4có các cực trị đều nằm trên các trục tọa độ.

{

}

{

}

A. m = −1;0;4 .

B. m ∈ 1;2;3 .

C. m ∈ { −1;0;1} .

D. m ∈ (−∞;0) ∪ { 4} .

Câu 6.

Bạn A có một đoạn dây dài 20 m . Bạn chia đoạn dây thành

hai phần. Phần đầu uốn thành một tam giác đều. Phần còn lại uốn
thành một hình vuông. Hỏi độ dài phần đầu bằng bao nhiêu để tổng
diện tích hai hình trên là nhỏ nhất.
40
180
120
60
m
m
m
m
A.
B.
C.
D.
9+ 4 3
9+ 4 3
9+ 4 3
9+ 4 3

Câu 7.

( )

Cho đường cong C được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ:

Page |

9

( )

Hỏi C là dạng đồ thị của hàm số nào?
3

A. y = − x + 3 x

3
B. y = x − 3x

C. y = x3 − 3x

3
D. y = x − 3 x

Câu 8.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
y = x3 − 3mx2 + 3m3 có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng 48?
m = 2
A. 
.
B.m = 2.
C.m = −2.
D. m = ±2.
m = 0

Câu 9. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho 3điểm A ( 1;1; −1)

(

) (

)

( P ) : x − 2y + 2z + 1 = 0. Lập phương
trình mặt phẳng ( α ) đi qua A , vuông góc với mặt phẳng ( P ) cắt đường
, B 1;1;2 ,C −1;2; −2

và mặt phẳng

thẳng BC tại I sao cho IB = 2IC biết tọa độ điểm I là số nguyên
A. α : 2x − y − 2z − 3 = 0 .
B. α : 4x + 3y − 2z − 9 = 0.

( )
C. ( α ) : 6x + 2y − z − 9 = 0 .

( )
D. ( α ) : 2x + 3y + 2z − 3 = 0 .

Câu 10. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình

(

)

log1 mx − x2 ≤ log1 4 vô nghiệm?

5

5

m > 4
B. 
.
m < −4
C. m < 4 .
D. −4 < m < 4 .
Câu 11. Cho các số thực x, y thỏa mãn x2 + 2xy + 3y2 = 4. Giá trị lớn
A. −4 ≤ m ≤ 4 .

(

nhất của biểu thức P = x − y
A. max P = 8.

)

2

là

B. max P = 12.

Page |

C. max P = 16.

10

D. max P = 4.


Câu 12. Tìm các giá trị thực dương của m để đồ thị hàm số
x2 + 4
có đúng một tiệm cận đứng
2
x + mx + 2m
A. 0 < m < 8.
B. m< 8.
C. m= 8.
D. m ≥ 8.
Câu 13. Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R = 3, người
ta muốn cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Diện tích lớn
nhất có thể có của miếng tôn hình chữ nhật là
y=

A. 6 3

B. 6 2

C. 9

D. 7

Câu 14. Trong tất cả các cặp ( x;y) thỏa mãn logx +y +2 ( 4x + 4y − 4) ≥ 1.
2

(

2

)

Tìm m để tồn tại duy nhất cặp x;y sao cho x2 + y2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 .

(
C. (
A.

)
2)

2

10 − 2 .
10 −

2

và

(

)

2

10 + 2 .

B.

10 − 2 và

D.

10 − 2 .

10 + 2 .

Câu 15. Cho hai số thực x, y không âm và thỏa mãn x + y = 1. Tổng
giá trị nhỏ nhất và giá
P = 4x2 + 3y 4y2 + 3x + 25xy là

(

)(

)

trị

lớn

nhất

của

biểu

thức

25
135
191
391
B.
C.
D.
.
.
.
.
4
16
16
16
Câu 16. Một bể nước có dung tích 1000 lít .Người ta mở vòi cho nước
chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy
vào bể là 1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau
gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước
( kết quả gần đúng nhất ).
A. 3,14 giờ.
B. 4,64 giờ.
C. 4,14 giờ.
D. 3,64 giờ.
Câu 17. Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cầu có bán kính
lần lượt là a và 2a sao cho các khối cầu đều tiếp xúc với mặt xung

quanh của hình nón, hai khối cầu tiếp xúc với nhau và khối cầu lớn tiếp
xúc với đáy của hình nón. Bán kính đáy của hình nón đã cho là
8a
4a
A.
B. 2a
C. 2 2a
D.
3
3
A.

Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương
trình x3 − 3x2 − 9x − m = 0 có đúng 1 nghiệm?
A. −27 ≤ m ≤ 5.
B. m < −5 hoặc m > 27 .
C. m < −27 hoặc m > 5 .
D. −5 ≤ m ≤ 27 .
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P

(

)

đi qua điểm M 9;1;1

( )

cắt tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C ( A, B, C

không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ
nhất là
Page |

11


27
B. 81.
C. 243.
.
2
Câu 20. Học sinh A sử dụng một xô đựng nước
có hình dạng và kích thước giống như hình vẽ,
trong đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20 cm ,
miệng xô là đường tròn bán kính 30 cm , chiều
A.

D.

81
.
2

cao xô là 80 cm . Mỗi tháng A dùng hết 10 xô
nước. Hỏi học sinh A phải trả

3

bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20 000 đồng/ 1m

(số

tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?
A. 35 279 đồng.B. 38 905 đồng.
C. 42 116 đồng.D. 31 835 đồng.
Câu 21. Đặt log2 3 = a, log3 4 = b. Hãy biểu diễn T = log27 8 + log256 81
theo a và b?
a +b+ 2
a2 + b2 + 4
T
=
.
A.
B. T = 2
.
a2b + ab2
a b + ab2
a +b+ 2
a2 + b2 + 4
.
C. T = 2
D.
T
=
.
a b + 2ab2
a2b + 2ab2
Câu 22. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt

( )

( )
cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + z = 5 .Mặt phẳng ( α )
( P ) , ( Q ) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( S ) .

phẳng có phương trình P x + 2y + 2z − 1 = 0 Q : x + 2y − z − 3 = 0 và mặt
2

2

2

vuông với mặt phẳng

A. 2x + y − 1 = 0;2x + y + 9 = 0 .

B. 2x − y − 1 = 0;2x − y + 9 = 0.

C. x − 2y + 1 = 0; x − 2y − 9 = 0.

D. 2x − y + 1 = 0; 2x − y − 9 = 0 .

Câu 23. Cho hàm số h(x) =

sin2x
a cosx
bcosx
h(x) =
+

2 . Biết
2
2 + sin x
(2 + sin x)
(2 + sin x)

π
2

Tìm a,b và tính I = h(x)dx ?
∫
0

2
3
2
3
B. a = 4, b = −2; I = − − 2ln .
+ 2ln .
3
2
3
2
1
3
1
3
C. a = 2, b = 4; I = − + 4ln .
D. a = −2, b = 4; I = + 4ln .
3

2
3
2
Câu 24. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình
A. a = −4, b = 2; I =

(

)

log3 x2 + 4x + m ≥ 1 nghiệm đúng với mọi x ∈ ¡ . ?
A. m ≥ 7 .

B. m > 7 .

C.m < 4 .

Page |

12

D. 4 < m ≤ 7 .


x2 − x + 1
(
)
Câu 25. Cho đồ thị C : y =
và đường thẳng d : y = m . Tất cả

x−1
các giá trị tham số m để ( C ) cắt d tại hai điểm phân biệt A , B sao
cho AB = 2 là
A. m = 1 + 6.
B. m = 1 − 6 hoặc m = 1 + 6.
C. m = 1 − 6.
D. m < 1 hoặc m > 3 .

Câu 26. Đặt log2 60 = a và log5 15 = b . Tính P = log2 12 theo a và b.
ab + 2a + 2
ab + a − 2
.
B. P =
.
b
b
ab + a − 2
ab − a + 2
C. P =
.
D. P =
.
b
b
Câu 27. Anh An vay ngân hàng 2 tỷ đồng để xây nhà và trả dần mỗi
năm 500 triệu đồng. Kỳ trả đầu tiên là sau khi nhận vốn với lãi suất trả
chậm 9% một năm. Hỏi sau mấy năm anh An mới trả hết nợ đã vay?
A. 6.
B. 3.
C. 4.

D. 5.
Câu 28. Cho f , g là hai hàm liên tục trên 1;3 thỏa mãn:
A. P =

3

( )

( )

∫  f x + 3g x  dx = 10,
1

3

( )

( )

∫ 2f x − g x  dx = 6. Tính
1

3

∫  f ( x) + g( x )  dx ?
1

A. 8.

B. 9.

C. 6.
D. 7.
Câu 29. Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong
hình cầu có bán kính R là
B. R 3 .
3

C. 4R 3 .
3
1
1
Câu 30. Cho z + = 1. Giá trị của z2016 + 2016 là
z
z
A. 1.
B. 2.
C. 2016.
A. R 3 .

D. 2R 3 .
3

D. 2017.

Câu 31. Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D ( t ) đô la mỗi

()

(

)

năm, với D ' t = 90 t + 6 t 2 + 12t trong đó t là số lượng thời gian (tính
theo năm) kể từ công ty bắt đầu vay nợ. Đến năm thứ tư công ty đã
phải chịu 1 626 000 đô la tiền nợ nần. Hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần
của công ty này là

(
C. f ( t ) = 30 ( t
()

)
+ 12t )

A. f t = 30 t2 + 12t
2

3

3

(
D. f ( t ) = 30 ( t
()

+ 1610640

3

2

Câu 32. Cho số phức z = a + bi    ( a,b ∈ ¡ ) thỏa mãn

( z − 1) ( 1 + iz) = i
z−

1

)
+ 12t )

B. f t = 303 t2 + 12t

+C

2

3

+ 1610640
+ 1610640

phương trình

. Tính a2 + b2 ?

z

Câu 33. Năm 1992, người ta đã biết số p = 2756839 − 1 là một số nguyên
tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó). Hãy tìm số các chữ

số của p khi viết trong hệ thập phân.
Page |

13


A. 227830 chữ số.
C. 227832 chữ số.

B. 227831 chữ số.
D. 227833 chữ số.
Câu 34. Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i . Số
phức z có mô đun nhỏ nhất là
A.
B.
C.
D.
z = 1 + 2i .
z = −1 − i.
z = 2 + 2i .
z = −1 + i .
A
(1
;0;0),
B
(0;1
;0),
C
(0;0
;1

),
D
(0
;0;0)
Câu 35. Cho các điểm
. Hỏi có bao
nhiêu điểm P cách đều các mặt phẳng (ABC ),(BCD),(CDA),(DAB ) ?
A. 8.
B. 5.
C. 1.
D. 4.

LỜI GIẢI ĐỀ 7
ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO
Câu 1.

(

Đặt z = a + bi với a,b ∈ R ⇒ z = a − bi .

)(

)
⇔ ( 1 + 2i ) ( a + bi − i ) − 3( a − bi ) + 3i = 0 ⇔ a + b − 1 − ( a + 2b + 1) i = 0

Ta có: 1 + 2i z − i − 3z + 3i = 0

a + b − 1 = 0
⇔
⇔

a + 2b + 1 = 0


a = 3
⇒ z = 3 − 2i .

b = −2


Page |

14


ω=

2z + z + 3i =
z2

(

)

2 3 + 2i + 3 − 2i + 3i

( 3 − 2i )

2

2

=

(

)

2 3 + 2i + 3 − 2i + 3i

( 3 − 2i ) ( 3 + 2i )

=

9
5
+ i
13 13

2

 9  5
106 ⇒
Chọn A.
⇒ ω =  ÷ + ÷ =
13
 13   13 
Câu 2. Khối nón có chiều cao bằng a và

bán

a
.
2
Diện tích xung quanh khối nón
kính đáy r =

2

a
π a2 5
là Sxq = π rl = π .a. a +  ÷ =
(đvdt)
2
2
 
Thể
tích
của
khối
nón
2

là:

2

1
1 2
1 a 
π a3

(đvtt)
V = Bh = π r h = π  ÷ a =
3
3
3  2
12
Câu 3. Bán kính trong của ống: 0,5(m). Bán kính của ống gồm lớp
bê
tông: 0,5 + 0,1 = 0,6(m). Thể tích lớp bê tông cả ống trụ dài 1 km là:
π .1000.( 0,62 − 0,52 ) .
Số
bao
xi
măng
cần
dùng
là:

(

)

10.π .1000. 0,62 − 0,52 = 1100π ≈ 3456 (bao) ⇒ Chọn A.

) (
Gọi A ( a;0;0) , B ( 0;b;0) ,C ( 0;0;c)
Câu 4.

(

)

( )( )
lần lượt là giao điểm của ( α ) với các trục

Chọn M 6;0;0 , N 2;2;2 thuộc giao tuyến của P , Q


6
=1

x y z
a
Ox,Oy,Oz ⇒ α : + + = 1 a,b,c ≠ 0 , α chứa M , N ⇒ 
a b c
2 + 2 + 2 = 1
a b c

( )

(

) ( )

Hình chóp O.ABC là hình chóp đều ⇒ OA = OB = OC ⇒ a = b = c
Vây phương trình x + y + z − 6 = 0 ⇒ Chọn B.
TH1 : Đồ thị chỉ có một cực trị x = 0 ⇔ ab ≥ 0 ⇔ m ≤ 0
Ta có y(0) = 3m + 4 ⇒ (0;3m + 4) ∈ Oy

Câu 5.

TH2: Đò thị có 3 cực trị x = 0;x = ± m ⇔ ab < 0 ⇔ m > 0
Ta có y(± m) = −m2 + 3m + 4 ⇒ (± m; −m2 + 3m + 4) ∈ Ox
m = −1(l )
−m2 + 3m + 4 = 0 ⇔ 
⇒ Chọn D.
m = 4(t / m)
Câu 6. Gọi x là độ dài đoạn dây uốn thành tam giá đều ⇒ 20 − x là
độ dài đoạn dây uốn thành hình vuông . Nên độ dài cạnh tam giác đều

Page |

15


là

x
20 − x
m và độ dài cạnh hình vuông là
m . Tổng diện tích của tam
3
4
2

2

x
3  20 − x 
giác đều và hình vuông là S =  ÷ .

+
÷.
 3 4  4 

(

)

2

( )

2
20 − x
Đặt f x = x 3 +
. Xét hàm số f x với a > 0 , ta có
36
16

( )

x 3 20 − x
180
−
;f ' x = 0 ⇔ x =
. Vì hàm số f x là hàm số
18
8
9+ 4 3
180

⇒ Chọn
bậc hai có hệ số a > 0 nên đạt giá trị nhỏ nhất tại x =
9+ 4 3
B.
Câu 7. Đường cong đã cho được tạo bởi đồ thị hàm số y=f(x) (nét

( )

( )

( )

f' x =

đứt) qua phép đối xứng trục Oy.Ta thấy f(x) là hàm số bậc 3, có hệ số
của x3 dương nên loại đáp án A
Vì đường cong được tạo bởi phép đối xứng qua trục tung nên nó là đồ

( )

thị hàm số y = f x ⇒ Chọn D.
x = 0
.
y ' = 3x2 − 6mx = 3x x − 2m y' = 0 ⇔ 
x = 2m
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi : 2m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 . Khi đó,
3
3
các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A 0;3m , B 2m;−m .
uuur

3
Ta có: OA 0;3m3 ⇒ OA = 3 m .

(

Câu 8.

(

)

(

)

(

)

)

(

(

)

)

Ta thấy A ∈ Oy ⇒ OA ≡ Oy ⇒ d B,OA = d B,Oy = 2 m .

1
×OA ×d B,OA = 3m4 . Do đó: S∆OAB = 48
2
4
⇔ 3m = 48 ⇔ m = ±2 (thỏa mãn) ⇒ Chọn D.
thẳng
hàng
I , B,C
Câu 9. Do
uur
uuu
r
 I −3;3; −6
 IB = 2IC
uuu
r ⇒   1 5 2 
⇒  uur
I − ; ;−
IB = −2IC
  3 3 3÷


 

(

⇒ S∆OAB =

)

(

)

(

và

IB = 2IC

)

Vì tọa độ điểm I là số nguyên nên I −3;3; −6

( )

(

)

Lúc đó mặt phẳng α đi qua A, I −3;3; −6 và vuông góc với mặt phẳng

(P )

( )

⇒ α : 2x − y − 2z − 3 = 0 ⇒ Chọn A.

Câu 10.

(

)

log1 mx − x2 ≤ log1 4 ⇔ mx − x2 ≥ 4 ⇔ x2 − mx + 4 ≤ 0
5

5

x − mx + 4 ≤ 0vô nghiệm ⇔ x2 − mx + 4 > 0 ∀x ∈ R ⇔ ∆ < 0 ⇔ −4 < m < 4
2

Page |

16


Câu 11.

(

)

2

(

)

2

x−y
t −1
P
= 2
=
= y ⇔ t2 y − 1 + 2t y + 1 + 3y − 1 = 0
Ta có
2
2
4 x + 2xy + 3y
t +1 +2

(

)

(

)

(

)

Để phương trình có nghiệm thì ∆ ' ≥ 0 ⇔ −2y2 + 6y ≥ 0
⇔ 0 ≤ y ≤ 3 ⇒ P ≤ 12 ⇒ Chọn B.
Câu 12. Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm

cận

đứng:

()
( )

m = 0 l
2

∆
=
m
−
8
m
=
0
⇔
⇒ Chọn C.
có
nghiệm
kép
x + mx + 2m = 0
m = 8 tm
Câu 13. Gọi O là tâm hình bán nguyệt MQ = x ⇒ OQ = 32 − x2
2

Shcn = 4SMQO = 2x. 32 − x2 ≤ x2 + 32 − x2 = 9 ⇒ Shcn ≤ 9 ⇒ Chọn C.

2

2
Câu 14. Ta có logx +y +2 ( 4x + 4y − 4) ≥ 1 ⇔ x + y − 4x − 4y + 6 ≤ 0 ( 1) .
2

(

2

)

()

Giả sử M x;y thỏa mãn pt 1 , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn

(C )
1

( )

tâm I 2;2 bán kính R1 = 2 . Các đáp án đề cho đều ứng với m > 0

( )

. Nên dễ thấy x2 + y2 + 2x − 2y + 2 − m = 0 là phương trình đường tròn C 2

(

)

(

)

tâm J −1;1 bán kính R2 = m . Vậy để tồn tại duy nhất cặp x;y thỏa

( )

( )

đề khi chỉ khi C 1 và C 2 tiếp xúc ngoài
⇔ IJ = R1 + R2 ⇔ 10 = m + 2 ⇔ m =

)

(

2

10 − 2 ⇒ Chọn A.

1
Câu 15. Từ giả thiết: x + y ≥ 2 xy ⇔ 1 ≥ 2 xy ⇔ xy ≤ 4 .

(

)(

)

2

2
2 2
2
3
Ta có P = 4x + 3y 4y + 3x + 25xy = 16x y + 12x + 12y + 9xy + 25xy

(

)

(

)

3
= 16x2y2 + 12  x + y − 3xy x + y  + 34xy .


Thay x + y = 1 vào P , ta được
P = 16x2y2 + 12 1 − 3xy + 34xy = 16x2y2 − 2xy + 12 .

 1
Đặt t = xy với t ∈  0;  . Khi đó P = 16t2 − 2t + 12.
 4

 1  191
f t = f  ÷=
min



 16  16
 0;14
 1
2
.
Xét hàm số f t = 16t − 2t + 12 trên 0;  , ta có 
 4
max f t = f  1 ÷ = 25
 0;1
 4 2
  4

()

()

()

391
⇒ Chọn D.
16
Câu 16. Gọi x + 1 là khoảng thời gian cần để nước chảy đầy bể, ta có
Pmin+Pmax =

Page |

17


1 − 2x+1

53
60.2 + 60.2 + 60.2 + ... + 60.2 = 1000 ⇔ 60.
= 1000 ⇔ 2x+1 =
⇔ x + 1 ≈ 4,14
1− 2
3
⇒ Chọn C.
0

1

2

x

Câu 17.
Giả sử thiết diện qua trục của hình nón là
∆ABC với A là đỉnh nón, BC là đường kính
đáy nón. H là tâm đáy O1,O2 lần lượt là tâm
của mặt cầu lớn và nhỏ, D1, D2 lần lượt là

( )

( )

tiếp điểm của AC với O1 và O2 . Cần tính
r = HC

Vì O1D1 //O2D2 và O1D1 = 2O2D2 nên O2 là trung điểm
AO1 ⇒ AO1 = 2O1O2 = 2.3a = 6a ; O1D1 = 2a, AH = AO1 + O1H = 8a

AD1 = AO12 + O1D12 = 4a 2 ; ∆O1D1 : ∆ACH ⇒

O1D1
CH

=

AD1
AH

⇒ CH = 2 2a

⇒ Chọn C.
3
2
Câu 18. (1) ⇔ m = x − 3x − 9x = f (x) . Bảng biến thiên của f (x) trên ¡ .

3005

Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m < −27 hoặc m > 5
⇒ Chọn C.

Câu 19.

(

) (

) (

)(

)

Gọi A a;0;0 , B 0;b;0 ,C 0;0;c a,b,c > 0 . Phương trình đoạn chắn mặt

( )

phẳng P :
Ta có: 1 =

( )

x y z
+ + = 1. P
a b c

(

)

9 1 1
+ + = 1.
a b c
1
81
⇒ Chọn
= abc ≥
6
2

đi qua điểm M 9;1;1 , suy ra:

9 1 1
9
+ + ≥ 33
⇒ abc ≥ 243 . Suy ra VOABC
a b c
abc

D.

Câu 20.

Thể tích của một xô nước là:
Page |

18


(

)

(

)

(

1
1
π h R 2 + r 2 + Rr = π .80 302 + 202 + 30.20 ≈ 159174,0278 cm3
3
3
3
= 0,1591740278 m ⇒ Thể tích nước mỗi tháng A dùng hết là:

V =

10V

( )
= 1,591740278 ( m )
3

)

. Vậy số tiền nước mà A phải trả mỗi tháng là:

1,591740278 × 20000 ≈ 31 834 đồng ⇒ Chọn D.

Câu 21.
1
1
Ta có T = log27 8 + log256 81 = log33 23 + log44 34 = 3. log3 2 + 4. log4 3
3
4

(

)

2

a +b
1 1 a +b
a2 + b2 + 2ab
= log3 2 + log4 3 = + =
=
=
a b
ab
a2b + ab2
ab a + b

(

)

a2 + b2 + 4
⇒ Chọn B.
a2b + ab2

Lại có ab = log2 3.log3 4 = log2 4 = 2 ⇒ T =

2
2
2
Câu 22. Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + z = 5 có tâm I ( 1; −2;0) và bán

uur
kính R = 5 . Gọi nα là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α
u
r
uur u
r
uur
uu
r
Ta có : nα = nP ∧ nQ ⇒ nα = −6;3;0 = −3 2; −1;0 = −3n1

(

)

(

)

( )

( )

Lúc đó mặt phẳng α có dạng : 2x − y + m = 0.

( )

( )

Do mặt phẳng α tiếp xúc với mặt cầu S

( ( ))

⇒ d I, α

= 5⇔

m+ 4
5

 m=1
. Phương trình mặt phẳng α :
= 5⇔
m
=
−
9


( )

2x − y + 1 = 0hoặc 2x − y − 9 = 0 ⇒ Chọn D.

Câu 23.
h(x) =

a cosx
bcosx
a cosx + bcosx(2 + sin x)

sin2x
+
=
=
2
2
2 + sin x
(2 + sin x)
(2 + sin x)
(2 + sin x)2

b
 =1
⇒ 2
⇒
a + 2b = 0

π
2

a = −4
.

b = 2

π
2

π
2




4
Vậy h(x)dx =  −4cosx + 2cosx ÷dx =  −
+ 2ln 2 + sin x ÷
∫0
∫0  (2 + sin x)2 2 + sin x 
 2 + sin x
0
=−

4
2
3
+ 2ln3 + 2 − 2ln2 = + 2ln .
3
3
2

Câu 24.

(

)

log3 x2 + 4x + m ≥ 1 ∀x ∈ ¡ ⇔ x2 + 4x + m − 3 ≥ 0 ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ m ≥ 7
⇒ Chọn A.

Page |

19


x2 − x + 1
Phương
trình
hoành
độ
giao
điểm
và
là
(
)
d
=m
C
Câu 25.
x −1
x ≠ 1
( C ) cắt d tại hai điểm phân biệt
⇔ 2
(
)
x − m + 1 x + m + 1 = 0 (1)

( )

⇔ Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 1
 ∆ = ( m + 1) ( m − 3) > 0
⇔
⇔m < −1 ∨ m > 3 (*)
1
−
m
−
1
+
m
+
1
≠
0

Hoành độ giao điểm x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) nên theo Vix1 + x2 = m + 1
et ta có: 
. Khi đó: A x1; m , B x2; m , suy ra
x
x
=
m
+
1
 1 2
m + 1 = 2 + 6
2
2
2


⇔
⇔
⇔
⇔
x
−
x
=
2
x
+
x
−
4
x
x
−
2
=
0
( 1 2)
AB = 2 AB = 2 ( 2
1)
1 2
m + 1 = 2 − 6

m = 1 + 6
⇔
( thỏa (*))

m = 1 − 6

Vậy chọn m = 1 + 6 ∨ m = 1 − 6 ⇒ Chọn B.

(

)

(

)

 60 
Ta
có
P
=
log
12
=
log
 ÷ = log2 60 − log2 5 = a − log2 5
2
2
Câu 26.
 5
60
log2 15 log2 4
log2 60 − 2 a − 2
log2 5 =

=
=
=
log5 15 log5 15
log5 15
b
a − 2 ab − a + 2
⇒ Chọn D.
=
b
b
Câu 27. Kỳ trả nợ đầu tiên là sau khi nhận vốn nên đây là bài toán
vay vốn trả góp đầu kỳ.
Gọi A là số tiền vay ngân hàng, B là số tiền trả trong mỗi chu kỳ,
d = r % là lãi suất trả chậm (tức là lãi suất cho số tiền còn nợ ngân
hàng) trên một chu kỳ, n là số kỳ trả nợ.
Số tiền còn nợ ngân hàng (tính cả lãi) trong từng chu kỳ như sau:
+ Đầu kỳ thứ nhất là A − B .
+ Đầu kỳ thứ hai là (A − B )(1 + d) − B = A(1 + d) − B (1 + d) + 1 .
⇒P =a−

+ Đầu kỳ thứ ba là

(

)

A(1 + d) − B (1 + d) + 1  (1 + d) − B = A(1 + d)2 − B (1 + d)2 + (1 + d) + 1 .





……
+ Theo giả thiết quy nạp, đầu kỳ thứ n là
A(1 + d)n −1 − B (1 + d)n−1 + ... + (1 + d) + 1 = A(1 + d)n −1 − B

Page |

20

(1 + d)n − 1
d


(1 + d) − 1
Vậy số tiền còn nợ (tính cả lãi) sau n chu kỳ là A(1 + d)n −1 − B
.
d
Trở lại bài toán, để sau n năm (chu kỳ ở đây ứng với một năm) anh
Bình trả hết nợ thì ta có
n

(1 + d)n − 1
1,09n − 1
= 0 ⇔ 2.1,09n −1 − 0,5.
= 0 ⇔ n ≈ 4,7 .
d
0,09
Vậy phải sau 5 năm anh Bình mới trả hết nợ đã vay ⇒ Chọn D.
A(1 + d)n −1 − B

Câu 28. Ta có
3

Tương tự

( )

3

( )

3

( )

1

1

( )

3

( )

3

( )

1

( )

( )

∫ 2f x − g x  dx = 6 ⇔ 2∫ f x dx − ∫ g x dx = 6 .
1

1

u + 3v = 10
⇔
Xét hệ phương trình 
2u − v = 6
3

3

∫  f x + 3g x  dx = 10 ⇔ ∫ f x dx + 3∫ g x dx = 10 .

3

( )

( )

1

3

u = 4
u
=
, trong đó

∫1 f x dx ,
v = 2

( )

3

( )

( )

3

( )

v = ∫ g x dx . Khi đó ∫  f x + g x  dx = ∫ f x dx + ∫ g x dx = 4 + 2 = 6


1

1

⇒ Chọn C.

1

1

Câu 29. Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 < x < R )
Bán kính của khối trụ là r = R 2 − x2 .
Thể tích khối trụ là: V = π (R 2 − x2)2x .
2
2
Xét hàm số V (x) = π (R − x )2x, 0 < x < R

V '(x) = 2π (R 2 − 3x2) = 0 ⇔ x =

R 3.
3

Bảng biến thiên:
x
V '(x)

0
+

V (x)

R 3
3
0
4π R 3 3
9

R

−

0
0
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối
3
trụ là 2R 3 ; V max = 4π R 3 .
3
9

Câu 30.
Page |

21



1
3
i
z1 = +
1
1
2
2
2

⇒ z2016 + 2016 = 2

Cách 1 : Ta có z + = 1 ⇔ z − z + 1 = 0 ⇔
z

1
3
z
i
z2 = −

2 2
1
Cách 2 :z + = 1 ⇔ z2 − z + 1 = 0 ⇔ z2 − z = −1
z
Do : z ≠ 0 nên từ ⇔ z2 − z + 1 = 0 ⇔ z3 − z2 + z = 0 ⇔ z3 = z2 = −1
672
1
1
⇒ z2016 + 2016 = z3
+
= 1 + 1 = 2 ⇒ Chọn B.
672
3
z
z

( )

( )

2

2
2
Câu 31. Ta có ∫ 90( t + 6) t + 12tdt = 45∫ t + 12td ( t + 12t )

(

) (

= 45∫ t 2 + 12t d t2 + 12t

)

= 45.

(

1

)

1+

1
2

3
t + 12t
+C
= 30. t2 + 12t + C
1

1+
2
Vì đến năm thứ tư công ty đã chịu 1610640 tiền nợ nần nên số tiền mà
1
2

2

(

(

)

công ty vay năm đầu ⇒ C = 1 626 000 − 30 42 + 12.4

(

()

Vậy công thức tính tiền nợ nần là: D t = 30 t2 + 12t
⇒ Chọn C.
Câu 32. Ta có

( z − 1) ( 1 + iz) = i ⇒ ( z − 1) ( 1 + iz) z = i ⇒ ( 1 + iz) z =
z−

1

z

2

z −1

(

3

)

)

= 1610640

3

+ 1610640

( z + 1) i

)

2
2
(với z − 1 ≠ 0 ) ⇒ z + i z = z + 1 i ⇒ z =  z + 1 − z ÷i


Mô đun 2 vế
 z = z + 1− z 2

z2 − 1= 0 L
2
2
2
z =  z + 1 − z ÷ ⇒ 
⇒ 2
 z = − z − 1+ z 2
z − 2z − 1= 0




2
2
⇒ z = 1 + 2 ⇒ a + b = 3 + 2 2 ⇒ Chọn A.

2

( )

756839
−1
Câu 33. Khi viết trong hệ thập phân, số các chữ số của p = 2

bằng các chữ số của 2756839. Do đó số các chữ số của p khi viết trong hệ
756839
 + 1 = 756839log2  + 1 = 227831 + 1 = 227832 ⇒ Chọn
thập phân là log2




C.
Câu 34. Gọi z = a + bi a,b ∈ R

(

)

z − 2 − 4i = z − 2i ⇔ (a − 2) + (b − 4)i = a + (b − 2)i ⇔ (a − 2)2 + (b − 4)2 = a2 + (b − 2)2
⇔ −4a − 4b + 16 = 0 ⇔ −a − b + 4 = 0 ⇔ a = 4 − b
=> z = (4 − b) + bi => z = (4 − b)2 + b2 = 2b2 − 8b + 16 = 2(b − 2)2 + 8 ≥ 2 2
Min z = 2 2 ⇔ b = 2 ⇒ a = 2 ⇒ z = 2 + 2i ⇒ Chọn C.
Page |

22


Câu 35. Đặt

P (a;b;c)

.

Ta

có (ABC ) : x + y + z = 1;(BCD) ≡ (Oyz),

(CDA) ≡ (Ozx),

(DAB ) ≡ (Oxy). Khi đó ta cần có x = y = z =

x+y+z−1

(*).
3
Ta có tất cả 8 trường hợp về dấu của x, y, z là (dương, dương dương),
(dương, âm, dương), … và trong mỗi trường hợp, hệ (*) đều có nghiệm.
Do đó, có tất cả 8 điểm P thỏa mãn đề bài ⇒ Chọn A.

Page |

23