Quan hệ song song trong không gian

C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

Chương 2:
QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 1:
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Tính chất:
Định lí 1:
Trong không gian, qua một điểm không
nằm trên đường thẳng cho trước, có một và
chỉ một đường thẳng song song với đường
thẳng đã cho.
Định lí 2:
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì
ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao
tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với
một trong hai đường thẳng đó.

144


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

Định lí 3:
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với
đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

BÀI 2:
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
Định lí 1:
Nếu đường thẳng d không nằm trong
   và d song song với đường
mặt phẳng
   thì d song song
thẳng d' nằm trong
  .
với

Định lí 2:
Cho đường thẳng a song song với mặt
   . Nếu mặt phẳng    chứa a và
phẳng
   theo giao tuyến b thì b song
cắt
song với a .

Hệ quả:
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song
song với một đường thẳng thì giao tuyến của
chúng ( nếu có ) cũng song song với đường
thẳng đó.
Định lí 3:

145


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy
nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này
và song song với đường thẳng kia.

DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường
thẳng song song với một mặt phẳng ...
Chứng minh hai đường thẳng song song thì dựa vào hình học phẳng: Định lý
Talet đảo, đường trung bình...
Muốn chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P), ta phải chứng
minh đường thẳng d song song với một đường thẳng thuộc mp (P).
Tìm giao tuyến cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng, tìm trong hai
mặt phẳng lần lượt có hai đường thẳng song song với nhau. Giao tuyến cần tìm đi
qua điểm chung và song song với hai đường thẳng song song vừa tìm.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD) ; (SAD) và (SBC) .
b) Gọi M �SC , tìm giao tuyến của (ABM ) và (SCD) .
c) Gọi N �SB , tìm giao tuyến của (SA B) và (N CD) .
LỜI GIẢI
Hướng dẫn:
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD). Có S là
điểm chung, có AB PCD tính chất hình bình hành,
mà AB nằm trong mp(SAB) và CD nằm trong
mp(SCD). Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng
này đi qua điểm S và song song với AB, CD.
Tương tự giao tuyến của (SAD) và (SBC) qua S và
song song với AD, BC.
b) Vì M thuộc SC suy ra M thuộc mp(SCD). Do đó M
là điểm chung của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD),
trong hai mặt phẳng này lần lượt chứa hai đường

thẳng AB và CD song song với nhau. Nên giao tuyến
của chúng qua M và song song với AB, CD.
c) Tương tự câu b…
Ta trình bày cụ thể như sau:

146


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

a) Có

�
S �(SAB) �(SCD)
�
AB PCD
� (SAB) �(SCD)  Sx PAB PCD
�
�
AB �(SAB);CD �(SCD)
�

b) Có

�
S �(SAD) �(SBC)
�
AD P BC
� (SAD) �(SBC)  Sy PAD PBC
�

�
AD �(SA D);BC �(SBC)
�

.

.

c) Vì M �SC,SC �(SCD) � M �(SCD)

Có

�
M �(M A B) �(SCD)
�
A B PCD
� (SA B) �(SCD)  Mt PA B PCD
�
�
A B �(M AB);CD �(SCD)
�

.

d) Vì N �SB,SB �(SA B) � N �(SA B)

Có

�
N �(SAB) �(N CD)

�
A B PCD
� (SA B) �(N CD)  Nz PAB PCD
�
�
A
B
�
(SAB);CD
�
(N
CD)
�

.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là một hình bình hành tâm O.
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của SB và SD.
a) Tìm giao tuyến của
c) Tìm giao tuyến của

 SAC 
 OIA 

và

 SBD  .

và

 SCD 

b) Tìm giao điểm J của SA với
d) Chứng minh

LỜI GIẢI
a) Có O và S là hai điểm chung của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD). Vậy (SAC) �(SBD)  SO

b) Có

�
K �(BKC) �(SA D)
�
�BC PAD
�BC �(BKC);AD �(SAD)
�

� (BKC) �(SAD)  Kx PBC PAD .

Trong mp(SAD) gọi J  Kx �SA ,
��
�J SA
� J  SA �(BKC)
�
J �Kx �(BKC)
có �

c) Có OI là đường trung bình của SBD � OI PSD

147

DC P IJK 

.

 CKB .


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

�
C �(OIA) �(SC D)
�
OI PSD
� (OIA) �(SC D)  Cy POI PSD
�
�
OI �(OIA);SD �(SC D)
�

Có
.
d) Dễ thấy J là trung điểm của SA nên có IJ là đường trung bình của
SAB � IJ PAB mà AB PCD � CD PIJ ngoài ra IJ �(IJK ) � CD P(IJK ) .

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K
lần lượt là trung điểm của SA và SC, G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) Tìm giao tuyến của (GHK) và (ABCD).
b) Tìm giao điểm M của SD và (GHK).

c) Gọi E trung điểm của HK. Chứng minh G, E, M thẳng hàng.
LỜI GIẢI

a) Có

�
G �(GHK) �(ABCD)
�
HK PAC
�
�
HK �(GHK);AC �(ABCD)
�

� (GHK) �(A BCD)  Gx PHK PAC .

b) Gọi O  AC �BD . Suy ra
(SAC) �(SBD)  SO

Trong mp(SAC) gọi E  HK �SO . Có
�
E �HK �(GHK)
�
E �SO �(SBD) � E �(GHK) �(SBD)
�
(1).
G
�
(GHK)
�

(SBD)
Ngoài ra
(2)

Từ (1) và (2) suy ra (GHK) �(SBD)  GE .
Suy ra điểm M cần tìm là giao điểm của GE và SD.
c). Từ cách tìm giao tuyến của câu b) suy ra 3 điểm G, E, M thẳng hàng.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N, P
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD, SB.
a) Chứng minh BD P(MNP)
b) Tìm giao điểm của mp(MNP) với BC.
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).
d) Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MNP).
LỜI GIẢI
a)

Có MN P BD (Vì MN là đường trung

bình của A BD ), mà MN �(MNP)
148


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

� BD P(MNP) .

b) Trong mp(ABCD) gọi I  MN �BC ,
có

��

I BC
� I  BC �(MNP)
�
I �MN �(MNP)
�

.

�
P �(SBD) �(MNP)
�
�BD PMN
�BD �(SBD);MN �(MNP)
c) Có �
� (SBD) �(MNP)  Px P BD PMN .

d) Trong mp(SAB) gọi J  SA �IP . Trong mp(SBD) gọi K  SD �Px .
Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNKJP.
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của SD, CD, BC.
a) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBCD); (AMN) và (SBC).
b) Tìm giao điểm I của (PMN) và AC; K của (PMN) và SA.
c) Gọi F là trung điểm của PM, chứng minh ba điểm K, F, I thẳng hàng.
LỜI GIẢI
a) Có S �(SAC) �(SBD) (1).
Trong mp(ABCD) gọi
O  A C �BD � O �(SA C) �(SBD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra
(SAC) �(SBD)  SO .

Trong mp(ABCD) gọi
E  AN �BC � E �(A MN) �(SBC) .

Có

�
E �(A MN) �(SBC)
�
MN PSC
�
�
MN �(AMN );SC �(SBC)
�

� (AMN) �(SBC)  Ex PMN PSC .
��
I AC
I  PN �A C � �
� I  AC �(MNP)
I �PM �(MNP)
�
b) Trong mp(ABCD) gọi
.

149


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Có

��
I (PMN) �(SAC)
�
MN PSC
� (PMN) �(SA C)  Iy PMN PSC
�
�
MN �(P MN );SC �(SCC)
�

.

�
K �SA
K  SA �Iy � �
� K  SA �(MNP)
K �Iy �(MNP)
�
Trong mp(SAC) gọi
.

c) Dễ thấy I trung điểm của NP. Trong PMN có IF là đường trung bình, do đó
IF PMN , ngoài ra IK PMN � 3 điểm I, K, F thẳng hàng.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao
điểm hai đường chéo AC và BD. Lấy điểm E trên cạnh SC sao cho EC  2ES .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

 SAB

và

 SCD  .

b) Tìm giao điểm M của đường thẳng AE và mặt phẳng
là trung điểm của đoạn thẳng SO.

 SBD  . Chứng minh M

LỜI GIẢI

a) Có

S �(SA B) �(SCD)
�
�
�AB PCD;A B �(SA B),CD �(SCD)

� (SAB) �(SCD)  Sx PAB PCD .

b) Chọn mp(SAC) chứa AM. Tìm giao tuyến
của mp(SAC) và mp(SBD):
Có S và O là 2 điểm chung của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD), nên giao tuyến của
chúng là đường thẳng SO. Điểm M cần tìm là
giao điểm của SO và AM.
Trong mp(SAC) dựng OI PSC,I �AM , từ đó suy ra OI là đường trung bình của
1

1
CE
SE  CE � OI  SE
2
2
tam giác ACE
, ngoài ra có
. Như vậy tứ giác
�
M
SEOI là hình bình hành
trung điểm của SO.
� OI 

Câu 7: Cho tứ diện ABCD, gọi M là điểm thuộc BC sao cho MC  2MB . Gọi
N, P lần lượt là trung điểm của BD và AD.
a) Chứng minh

NP P A BC 

.
150


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

b) Tìm giao điểm Q của AC với
hình chóp bị cắt bởi mp(MNP).

 MNP 

QA
và tính QC . Suy ra thiết diện của

MG P ABD 

c) Chứng minh
, với G là trọng tâm của tam giác ACD.
LỜI GIẢI
Có NP là đường trung bình của
a)
ACD � NP PAB , mà AB �(ABC)
� NP P(ABC) .

b) Có

P � MNP  � A CD 

(1)

Trong mp(BCD) gọi J  MN �CD , có
��
�J MN �(MNP)
�
�J �CD �(ACD)
� J �(MNP) �(ACD) (2).

Từ (1) và (2) :

 MNP  � ACD   JP

Trong mp(ACD) gọi Q  JP �AC , có

Q �AC
�
� Q  AC �(MNP)
�
Q �JP �(MNP)
�

.

�
MQ  (MNP) �(ABC)
� MQ PNP PAB
�
NP PAB;NP �(MNP),AB �(ABC)
�
Có
. Theo Ta lét có

QA 1
CQ CM 2



CA
CB 3 . Kết luận QC 2 .

Suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNPQ với MQ PNP .

c) Trong

BCP

có

CM CG 2

 � MG P BP
CB CP 3

(định lý đảo Ta lét), mà

BP �(ABD) nên MG P(ABD) .

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành.

 SAC 

 SBD  ; SAB

 SCD 

a) Tìm giao tuyến của
và
và
.
b) Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt SA tại E( E khác S, A), cắt
SD tại F( F khác S, D). Tứ giác BEFC là hình gì?

151


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

AM 

1
AD
3
. G là trọng tâm tam giác SAB, I là

c) M thuộc đoạn AD sao cho
trung điểm AB. Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI tại N. Chứng minh
NG P SCD  MG P SCD 

,
LỜI GIẢI

.

a) Có
S �(SAB) �(SCD)
�
�
�AB PCD;AB �(SAB),CD �(SCD)
� (SA B) �(SCD)  Sx PAB PCD .

b) Có
�

EF  () �(SAD)
�
�BC P AD;BC �( ),AD �(SAD)
� EF P BC PAD .

Vậy tứ giác EFCB là hình thang.
c) Do tính chất của hình bình hành, có

IN A M 1


IC AD 3 . Trong

ICS có

IN IG 1

 � NG PSC
IC IS 3
(Định lý đảo Ta lét), mà SC �(SCD) � NG P(SCD) .

Trong mp(ABCD) gọi L  IM �CD , có

MA I ~MDL  g.g �

MI MA 1


ML MD 2 .

IM IG 1

 � MG PSL
Trong ISL có IL IS 3
(Định lý đảo Ta lét), mà SL �(SCD)
� MG P(SCD)

.
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của SA, BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD); (SAB) và (SCD).
b) Tìm giao điểm E của SB và (MNP).
c) Chứng minh NE P(SAP) .
LỜI GIẢI

a) Có SO  (SA C) �(SBD)

Có

�
S �(SAB) �(SCD)
�
A B PCD
�
�
A B �(SAB);CD �(SCD)
�

152

Các chuyên đề nâng cao và phát triển Hình Học 11 Ths. Lê Văn Đoàn

(SA B) (SCD) Sx PAB PCD .

b) Cú M (MNP) (SAB) (1).
Trong mp(ABCD) gi

K NP (MNP)
E NP AB
K AB (SAB)

K (MNP) (SAB) (2).

T (1) v (2) suy ra (MNP) (SAB) MK .

E SB
E MK SB
E SB (MNP)
E MK (MNP)

Trong mp(SAB) gi
.

c) Cú

NBK NCP g.c.g NK NP & KB CP ()

uuu
r 1 uuur uuur 1 uuur

PC AB BK AB
2
2
Ngoi ra
(3)
uuuu
r 1 uuur
ML PAB,L SB ML A B
2
Trong mp(SAB) dng
( ng trung bỡnh) ( 4)
uuur uuuu
r
T (3) v (4) suy ra BK ML t giỏc BKLM l hỡnh bỡnh hnh E trung

im ca KM () .
T () v () suy ra EN l ng trung bỡnh ca KMP EN PMP , m
MP (SAP) EN P(SAP) .

Cõu 10: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thang AD ỏy ln v
AD 2BC . Gi M, N, P ln lt thuc cỏc on SA, AD, BC sao cho
MA 2MS, NA 2ND, PC 2PB .

a) Tỡm giao tuyn ca hai mt phng (SAD) v (SBC); (SAC) v (SBD).
b) Xỏc nh giao im Q ca SB vi mp(MNP).
c) Gi K trung im ca SD. Chng minh CK l giao tuyn ca hai mt phng
(MQK) v (SCD).
LI GII

a) Cú

S (SAD) (SBC)

A D P BC


A D (SAD);BC (SBC)


(SA D) (SBC) Sx PAD PBC .

Cú S (SAC) (SBD) (1).
Trong mp(ABCD) gi
153


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

O  A C �BD � O �(SA C) �(SBD)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAC) �(SBD)  SO .
b) Trong mp(ABCD) gọi E  AB �CD .
uuur 1 uuuu
r
BC  AD � BC
2
Trong EAD có

là đường trung bình của tam giác này
� O là trọng tâm của EA D .
AN A O 2

 � NO PCD
Trong ACD có AD A C 3
(3).
BP BO 1

 � PO PCD
Trong BCD có BC BD 3
(4).

Từ (3) và (4) suy ra 3 điểm N, O, P thẳng hàng.
A N AM 2

 � MN PSD
Trong SAD có A D A S 3

Có

�
O �(MNP) �(SBD)
�
MN PSD
� (MNP) �(SBD)  Oy PMN PSD
�
�
MN �(MNP);SD �(SBD)
�

.

�
Q �SB
Q  Oy �SB � �
� Q  SB �(MNP)
Q �Oy �(MNP)
�
Trong mp(SBD) gọi
.

Trong SBD có

OQ PSD �

BQ BO 1 QS

 �
2
BS BD 3 QB
.

1
SA
SM 3
2 SM SQ 2

 �


 � MQ P BL
1
SL
3
SL SB 3
SA
2
c) Gọi L trung điểm của SA, có
uuur 1 uuuu
r
uuur 1 uuuu
r
uuur uuur
LK  AD
BC  AD
2
2
Có
(đường trung bình)
(giả thuyết) � LK  BC � tứ
giác BCKL là hình bình hành � BL PCK � MQ PCK .
�
K �(SCD) �(MQK)
�
MQ PKC
 �
(SCD)
�
(MQK) Kz PKC PMQ
�

�
MQ �(MQK);KC �(SCD)
�

Có
Hay CK là giao tuyến của hai mặt phẳng (MQK) và (SCD).

Kz

KC

.

Câu 11: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM  2MB .
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, gọi I trung điểm của CD, H là điểm đối xứng
của G qua I.
154


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

a) Chứng minh GD P(MCH) .
GK
b) Tìm giao điểm K của MG với mp(ACD). Tính tỉ số GM .

LỜI GIẢI
a. Ta có tứ giác CGDH tứ giác là hình bình
hành. Nên DG PCH , mà

CH � MCH  � DG P MCH 

.
b) Chọn mp(MCD) chứa MG.
Trong tam giác ABC gọi F là giao điểm
của ME và AC. Từ đó suy ra DF là giao
tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (ACD).
Suy ra giao điểm K cần tìm là giao điểm của
MG và DF.
Gọi N trung điểm. Trong BCN có EM
là đường trung bình của tam giác, nên
ME PNC

Trong tam giác AMF có CN là đường
trung bình của tam giác. Suy ra C trung
điểm của AF.
1
1
CF
CN  MF
2
2
Có
và
.
Vậy MF  4ME .
EM 

Dựng

EL PMK , L �DF 

DG DK GK 2
2
3


 � GK  EL � EL  GK
3
2
Trong DEL có DE DL EL 3
(1)
FE
EL
3
3

 � EL  MK
4
Trong FMK có FM M K 4
(2)

3
3
GK  MK � MK  2GK
4
Từ (1) và (2) suy ra 2

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, K lần
lượt là trung điểm của BC, CD.
1) Tìm giao tuyến của

 SIK 

và

 SAC  ;  SIK 

2) Gọi M là trung điểm của SB, chứng minh

155

và

 SBD 

SD P ACM 

.
.


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

 SIK  . Tính
3) Tìm giao điểm F của DM và

MF
MD .

LỜI GIẢI

a) Trong mp(ABCD), gọi
E  AC �IK . Suy ra SE là giao tuyến
của hai mặt phẳng (SIK) và (SAC).

Có

�
S �(SKI) �(SBD)
�
KI P BD
�
�
KI �(SKI);BD �(SBD)
�
� (SKI) �(SBD)  Sx PKI P BD .

b) Gọi O  AC �BD .
Trong mp(SBD) có OM PSD
(đường trung bình), mà OM �(A CM ) � SD P(A CM ) .
c) Trong mp(SBD), gọi F  Sx �DM , có

F �DM
�
� F  DM �(SIK)
�
F �Sx,Sx �(SIK)
�

.

MF
1
MSF  MBD  g.c.g � MF  MD
Có
. Kết luận MD
.

Câu 13: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là
trọng tâm của SA B , trên AD lấy điểm E sao cho AD  3AE . Gọi M là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh EG P(SCD)
b) Đường thẳng qua E song song với AB cắt MC tại F. Chứng minh GF P(SCD) .
c) Gọi I là điểm thuộc cạnh CD sao cho CI  2ID . Chứng minh GO P(SAI) .
LỜI GIẢI
a) Trong mp(ABCD) gọi
EAM ~EDJ  g.g

�

J  ME �CD , có

EM EA 1

 � EJ  2EM
EJ
ED 2
.

MG ME 1


 � GE PSJ
MS
MJ
3

MSJ
Trong
có
(Định lý đảo Talét), mà SJ �(SCD)
� GE P(SCD) .

b) Vì AMCD là hình thang có

EF PCD PA M �

AE MF 1


AD M C 3

156


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

Trong

MSC

có

MG MF 1

 � GE PSC
MS MC 3

(Định lý đảo Talét), mà

SC �(SCD) � GF P(SCD) .

c) Gọi P trung điểm của SA và Q là giao điểm của BD và AI.
QB AB
QO 2

 3 � QB  3QD �

QD ID
QB 3 .
Có
BG BO 2

 � GO PPQ
Trong BPQ có BP BQ 3
(Định lý đảo Talét), mà PQ �(SA I)
� GO P(SAI) .
QAB ~QID  g.g �

Câu 14: Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình bình hành ABCD, điểm M thuộc
cạnh SA sao cho SM  2MA ,N là trung điểm của AD.
1) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng

2) Tìm giao điểm I của SB và

 SAD 

và

 MBC  .

 CMN  ; giao điểm J của SA và  ICD  .

SE
SO
3) Chứng minh ID, JC và SO đồng quy tại E. Tính tỉ số
.

LỜI GIẢI
�
M � SA D  � MBC 
�
�
AD P BC
�
�
AD � SAD  ;BC � MBC 
a) Có �

�  SAD  � MBC   Mx PAD P BC

b) Trong mp(ABCD) gọi L  CN �AB . Suy
ra LM là giao tuyến của hai mặt phẳng

(CMN) và (SAB), điểm I cần tìm là giao điểm
của LM và SB.
�
I � ICD  � SAB
�
�
CD PAB
�
�
CD � ICD  ;AB � SAB
Có �

�  ICD  � SAB  Iy PCD PAB

Điểm J cần tìm là giao điểm của Iy với SD.
c) Có

SO   SAC  � SBD 

. Trong mp(ICD) gọi E  JC �ID , có

�
E �JC � SA C 
�
� E � SAC  � SBD 
�
E �ID � SBD 
�
, hay E thuộc SO.

157


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

Có AN là đường trung bình của tam giác LBC, nên A trung điểm của LB. Trong
tam giác SBL có SA là đường trung tuyến và
giác SBL. Nên I trung điểm của SB.

2
SA � M
3
là trọng tâm của tam

SM 

SE 2

Trong tam giác SBD có E là trọng tâm của tam giác. Do đó SO 3 .

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là
trung điểm của SC và N là trọng tâm tam giác ABC.
a) Chứng minh

SB P A MN 

b) Tìm giao tuyến của mp

.

 AMN 

với mp

 SAB .

 AMN  . Tính
c) Tìm giao điểm I của SD với mp
d) Gọi Q là trung điểm của ID. Chứng minh
LỜI GIẢI

IS
ID .

QC Pmp  AMN 

.

a) Gọi E trung điểm của BC. Có ME PSB (đường
trung bình).
Mà ME �(A MN ) nên suy ra SB P(AMN) .

b) Có

�
A �(AMN ) �(SA B)
�
ME PSB
�
�

ME �(AMN );SB �(SAB)
�

� (AMN) �(SAB)  A x PME PSB .

c) Gọi O  AC �BD .
Suy ra (SA C) �(SBD)  SO
Trong mp(SAC) gọi H  AM �SO . Có

H �AM �(A MN)
�
�
H �SO �(SBD)
�

� H �(AMN) �(SBD) (1). Ngoài ra N �(AMN ) �(SBD) (2)
Từ (1) và (2) suy ra (AMN ) �(SBD)  NH .

Suy ra điểm I cần tìm là giao điểm của NH và SD.
Có H là trọng tâm của tam giác SAC.
OH ON 1

 � NH PSB
Trong SOB có OS OB 3
.

158


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

DN DI 2
IS 1




DBS
DB
DS
3
Trong
theo Ta let có
. Do đó ID 2 .
Trong SCQ có IM là đường trung bình của tam giác nên IM PCQ , mà
IM �(AMN) do đó CQ P(AMN) .

Câu 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AD là đáy lớn,
BC là đáy nhỏ). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA và SD. K là giao điểm
của các đường thẳng AB và CD.
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng SB và mặt phẳng

 CDE

.

 EFM 

b) Đường thẳng SC cắt mặt phẳng
tại N. Tứ giác EFNM là hình gì?

c) Chứng minh các đường thẳng AM, DN, SK đồng quy.
d) Cho biết AD  2BC . Tính tỉ số diện tích của hai tam giác KMN và KEF.
LỜI GIẢI
a) Có SK  (SA B) �(SCD) .
Trong mp(SAB), gọi M  KE �SB , có KE �(CDE) .
Do đó SB �(CDE)  M .
b) Trong mp(SCD), gọi N  KF �SC , có KF �(EFM) .
Do đó SC �(EFM)  N .
�
MN  (EFK ) �(SBC)
�
EF P BC;EF �(EFK ),BC �(SBC)
Có �
� MN PEF P BC .

Suy ra tứ giác EFNM là hình thang.

c) Trong mp(ADNM), gọi I  AM �DN . Mà

��
I AM ,A M �(SAB)
�
�
I �CD,CD �(SCD)
�

� I �(SA B) �(SCD) , hay I �SK . Kết luận 3 đường thẳng AM, DN, SK đồng

quy tại điểm I.
d) Khi AD  2BC dễ dàng chứng minh được B, C lần lượt là trung điểm của KA và

KD. Suy ra M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác SAK và SDK. Do đó

159


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

MN 

2
EF
3 , gọi h1,h2 lần lượt là độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh K xuống hai

SKMN
h1 

2
SKEF
h2
3 . Vậy

2
2
1
EF. h2
MN.h1
4
3
3
2




1
EF.h2
9
EF.h2
2
.

đáy MN và EF dễ thấy
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M, N lần
lượt là trung điểm của BC, CD.
a) Tìm giao tuyến của

mp  SMD 

và

mp  SAB

.

b) Tìm giao tuyến của

mp  SMN 

và

mp  SBD 

.

c) H là điểm trên cạnh SA sao cho HA  2HS . Tìm giao điểm K của MH và

 SBD 

KH
. Tính KM .

d) G là giao điểm của BN và DM. Chứng minh
LỜI GIẢI

HG P SBC 

a) Có S �(SA B) �(SMD) (1).
Trong mp(ABCD) gọi E  AB �DM , có
E �A B �(SAB)
�
�
E �DM �(SDM)
�
� E �(SAB) �(SMD) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAB) �(SMD)  SE .
b) Có MN là đường trung bình của BCD , do đó
MN P BD

Có

S �(SMN ) �(SBD)
�
�
MN P BD;MN �(SMN),BD �(SBD)
�

� (SMN) �(SBD)  Sx PMN PBD .

c) Bước 1: Chọn mp(SAM) chứa HM.
Bước 2: Tìm giao tuyến của mp(SAM) và (SBD).
Có S �(SAM ) �(SBD) (3). Trong mp(ABCD) gọi F  AM �BD , có
F �AM �(SAM )
�
� F �(SAM ) �(SBD)
�
F �BD �(SBD)
�

(4).

160


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

Từ (3) và (3) suy ra (SAM ) �(SBD)  SF . Vậy điểm K cần tìm là giao điểm của
giao tuyến SF với đường thẳng HM.
AH
AF 2



Dễ thấy F là trọng tâm của ABC . Do đó trong SAM có AS AM 3

� HF PSM , như vậy có

KHF ~KMS g.g �

KH HF 2


KM SM 3 .

A G AO  OG 2


2OC
3.
d) Dễ thấy G là trọng tâm của BCD . Do đó có A C
AH AG 2

 � HG PSC
Trong SAC có A S AC 3
, mà SC �(SBC) � HG P(SBC) .

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy (ABCD) là hình thang. AD là đáy lớn
và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G trọng tâm của tam giác SCD.
a) Chứng minh

OG // mp  SBC 

.

b) Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Chứng minh
3
SC  SI
2 .
c) Giả sử điểm I trên đoạn SC sao cho
Chứng minh:

SA // mp  BID 

CM // mp  SAB

.

KB
d) Xác định giao điểm K của BG và mặt phẳng (SAC). Tính KG
LỜI GIẢI

AD // BC � OBC : ODA  g.g
Vì
OB OC BC 1



OD OA AD 2
a) Gọi H trung điểm của SC.
DG DO 2



Trong DHB có: DH DB 3 .
� OG // BH

.

�
OG // BH
�
�
BH � SBC  ,OG � SBC 
Ta có �
� OG // mp  SBC 

.

b) Gọi N trung điểm của SA. Ta có MN là đường trung bình của SAD .

161

.


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

uuuur 1 uuuu
r
NM  AD
2
Nên
uuur 1 uuuu

r
BC  AD
2
Theo đề bài có
uuur uuuur
Từ (1) và (2) có BC  NM .

(1)
(2)

Vậy tứ giác BCMN là hình bình hành.
�
CM // BN
�
� CM // mp  SAB
�
�BN � SAB ,CM � SAB
Ta có:
.

CO CI 1

 � OI // SA

SAC
c). Trong
có: CA CS 3
.
�
SA // OI

�
� SA // mp  BID 
�
OI � BID  ,SA � BID 
�
Có:
.
d). Ta có O và H là hai điểm chung của hai mặt phẳng (BDH) và (SAC).

Vậy

 SAC  � BDH   OH .

Trong mp (BDH), gọi

K  BG �OH � K  BG � SAC 

.
KG OG 2
OG DG 2
KOG ~KHB g.g �




KB HB 3 (vì BH DH 3 )
Ta có:
KB 3

KG

2.
Kết luận:
DẠNG 2: Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng
một dường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện.
Dạng toán này các bạn phải nhớ kỹ tính chất:

   và song song với

�
M �   � P 
�
�    � P   Mx  Mx Pd 
�
   Pd , d � P 
�

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, gọi M, P và I lần lượt là trung điểm của AB, SC
và SB. Một mặt phẳng
BC tại N, Q.

 

qua MP và song song với AC và cắt các cạnh SA,

a) Chứng minh đường thẳng BC song song với mặt phẳng
b) Xác định thiết diện của

 IMP 

.

   và hình chóp. Thiết diện này là hình gì?

c) Tìm giao điểm của đường thẳng CN và mặt phẳng

 SMQ 

.
162


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

LỜI GIẢI
a) Có IP là đường trung bình của
SBC � IP P BC

mà IP �(IMP) � BC P(IMP) .

b) Có

M �( ) �(A BC)
�
�
(ABC)
�AC P( )
�

� () �(ABC)  MQ P A C,Q �BC .

Có

P �() �(SA C)
�
�
(SAC) �AC P()
�

� () �(SAC)  PN PA C,N �SA .

Kết luận thiết diện cần tìm là hình bình hành MNPQ. Thật vậy dễ dàng chứng
uuuur uuur 1 uuur
MQ  NP  A C
2
minh Q, N lần lượt là trung điểm của BC và SA. Do đó

c) Chọn mặt phẳng (SAC) chứa NC. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SMQ):
Có

S �(SA C) �(SMQ)
�
� (SAC) �(SMQ)  Sx PAC PMQ
�
AC PMQ;AC �(SA C),MQ �(SMQ)
�

��
�J CN
� J  CN �(SMQ)
�

J �Sx �(SMQ)
�
J

CN
�
Sx
Trong mp(SAC) gọi
, có
.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình tứ giác lồi. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SC và CD. Gọi
với đường thẳng AC.
a) Tìm giao tuyến của

   với

 

mp  ABCD 

b) Tìm giao điểm của đường thẳng SB với

là mặt phẳng qua M, N và song song
.
mp   

.

c) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng
LỜI GIẢI
a) Có

N �() �(A BCD)
�
�
() P AC �(ABCD)
�

� () �(ABCD)  NE PAC;E �AD .

b) Có MN là đường trung bình của SCD � MN PSD .
Trong mp(ABCD) gọi F  BD �NE .

163

  .


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

�
F �( ) �(SBD)
�
MN PSD;MN �(),SD �(SBD)
Có �
� () �(SBD)  Fx PMN PSD

Trong mp(SBD) gọi H  Fx �SB , vì

H �SB
�
� H  SB �()
�
H �Fx �( )
�

.

�
E �() �(SAD)
� () �(SAD)  EK PSD;K �SA
�
MN PSD;MN �(),SD �(SAD)
�
c) Có
.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là ngũ giác MNEKH.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB PCD . Gọi
M, N, I lần lượt là trung điểm của AD, BC, SA.
a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IMN) và (SAC); (IMN) và (SAB).
b). Tìm giao điểm của SB và (IMN).
c). Tìm thiết diện của mặt phẳng (IDN) với hình chóp S.ABCD.
LỜI GIẢI
a) Có I �(IMN) �(SAC) (1).
Trong mp(ABCD) gọi
�
E �MN �(IMN)

E  MN �AC � �
E �A C �(SA C)
�
� E �(IMN) �(SAC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (IMN ) �(SAC)  EI .
b) Có MN là đường trung bình của hình thang ABCD � MN PAB PCD .

Có

��
I (IMN) �(SAB)
�
MN PAB
� (IMN) �(SA B)  Ix PMN PAB
�
�
MN
�
(IMN);AB
�
(SAB)
�

.

��
J SB
J  Ix �SB � �
� J  SB �(IMN)

J �Ix �(IMN)
�
c) Trong mp(SAB) gọi
.
I
�
(IDN)
�
(SAB)
d)
(3)
�
K �DN �(IDN )
K  DN �A B � �
K �AB �(SAB)
�
Trong mp(ABCD) gọi
� K �(IDN ) �(SA B) (4).

Từ (3) và (4) suy ra (IDN) �(SAB)  IK
164


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

Trong mp(SAB) gọi P  IK �SB � thiết diện cần tìm là tứ giác MNPI.
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng
AN 1
 ;I
tâm SA B;N là một điểm thuộc đoạn AC sao cho: A C 3 là trung điểm AB.

1) Chứng minh:
2) Gọi

OI P SAD 

và GN PSD .

   là mặt phẳng đi qua O và song song với SA và BC. Mặt phẳng   

cắt SB, SC lần lượt tại L và K. Tìm hình tính thiết diện cắt bởi mặt phẳng
với hình chóp S.ABCD.
LỜI GIẢI
a) Có OI là đường trung bình của tam giác ABD nên

 

OI PAD mà
AD �(SAD) � OI P SAD 
AN 

.

1
2
A C � A N  AO � N
3
3
là trọng tâm

Có
của tam giác ABD.

IN IG 1


Có ID IS 3

(Tính chất trọng tâm) � NG PSD (Định lý đảo Talét).
b) giao tuyến của mp
cắt CD tại J.

 

và (ABCD) qua O và song song với BC, giao tuyến này

�
LI  ( ) �(SA B)
� LI PSA
�
() PSA ;SA �(SA B)
�
Có
.

Có

�
LK  () �(SBC)
� LK P BC

�
(
� ) P BC;BC �(SBC)

.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là hình thang IJKL (với IJ PKL ).
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi H,
K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB. M là điểm thuộc cạnh CD( M khác C
và D).
a). Tìm giao tuyến của:

 KAM 

b). Tìm thiết diện tạo bởi
165

và

 HKO 

 SBC  , SBC 

và

 SAD  .

với hình chóp S.ABCD. Thiết diện là hình gì?

Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

c). Gọi L là trung điểm đoạn HK. Tìm giao điểm I của OL với

 SBC  . Chứng tỏ

SI P BC .

LỜI GIẢI
a) Có K �(KAM ) �(SBC) (1).
Trong
mp(ABCD)
gọi
��
J A M �(KAM )
J  AM �BC � �
�J �BC �(SBC)
� J �(KAM ) �(SBC) (2).

Từ (1) và (2) suy ra
(KA M ) �(SBC)  KJ .

Có

�
S �(SAD) �(SBC)
�
AD P BC
� (SAD) �(SBC)  Sx PAD P BC
�

�
AD �(SAD);BC �(SBC)
�

.

�
O �(KHO) �(A BCD)
�
HK PAB
� (KHO) �(A BCD)  Oy PA B PHK
�
�
HK
�
(KHO);AB
�
(A
BCD)
�

b) Có
.
Trong mp(ABCD) gọi E, F lần lượt là giao điểm của BC và AD với Oy. Suy ra
thiết diện cần tìm là hình thang HKEF (Với HK PEF ).
��
I OL
I  EK �OL � �
� I  OL �(SBC)
I �EK �(SBC)

�
c) Trong mp(HKEF) gọi
.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD, M, N là trung điểm của cạnh AB, BC. G là trọng
tâm ACD .
a) Tìm giao điểm E của MG và
b) Xác định giao tuyến d của
GP P ABC 

 BCD  .

 MNG 

và

 BCD  , d cắt CD tại P. Chứng minh

.

   là mặt phẳng chứa MN và PAD . Tìm thiết diện của    với tứ diện
c) Gọi
ABCD.
LỜI GIẢI
a) Gọi K trung điểm của CD. Trong
mp(ABK) gọi E  MG �BK
166


C¸c chuyªn ®Ò n©ng cao vµ ph¸t triÓn H×nh Häc 11 – Ths. Lª V¨n §oµn

�
E �MG
��
E �BK �(BCD)
�
� E  MG �(BCD) .

b) Có N và E là hai điểm chung của
hai mặt phẳng (BCD) và (MNG). Do
đó (BCD) �(MNG)  EN .
GKF ~GAM  g.g
Trong mp(ABK) dựng KF PAB,F �ME , nên
�

GK
KF
KF 1
KF 1

�
 �
 � KF
GA A M
AM 2
BM 2
là đường trung bình của tam giác

BEM nên K trung điểm của BE.
Trong tam giác BCE có P là giao điểm của hai đường trung tuyến CK và EN,

nên P là trọng tâm của tam giác BCE.
KG KP 1

 � GP PA C
AC �(ABC) � GP P A BC 
Từ đó có KA KC 3
mà
.
�
M �   � SAD 
�
�    � SAD   MJ,J �BD
�
  PA D;AD � SA D 

�
c) Có
. Từ đó thiết diện cần tìm

là tam giác MNJ.
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn.
Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của SA, AB, CD.
a) Chứng minh rằng:

EN P SBC  , MNE  P SBC 

b) Tìm giao điểm F của SD với mặt phẳng
SC P MNE 

c) Chứng minh

không? Giải thích.

.

 MNE  .

. Đường thẳng DM có song song với

d) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với
gì? Tại sao?

LỜI GIẢI
a) Có NE là đường trung bình của hình
thang

ABCD

� NE P BC PAD ,

mà

BC �(SBC) � NE P(SBC) .

Có
167

�NE P BC,NM PSB
�
�NE,MN �(MNE);BC,SB �(SBC)

 SBC 

hay

 MNE  . Thiết diện đó là hình


Cty TNHH MTV DVVH Khang ViÖt

� (MNE) P(SBC) .

b) Chọn mp(SAD) chứa SD. Tìm giao tuyến
của (SAD) và (MNE):
�
M �(MNE) �(SAD)
�
NE PAD
� (MNE) �(SAD)  Mx PNE PA D
�
�
NE �(MNE),AD �(SAD)
�

Có
tìm là giao điểm của Mx với SD.

. Điểm F cần

c) Theo câu a). có (MNE) P(SBC) mà SC �(SBC) � SC P(MNE) .

Có

�
S �(SBC) �(SAD)
�
� (SBC) �(SAD)  St PBC PAD
�BC PAD
�BC �(SBC),AD �(SAD)
�

. Trong mp(SAD)

gọi J  DM �St , vì St �(SBC) � J �(SBC) . Từ đó suy ra DM �(SBC)  J . Kết
luận DM không song song với mp(SBC).
d) Từ cách dựng điểm của câu b). suy ra thiết diện cần tìm là hình thang MNEF với
MF PNE .
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là điểm thuộc
cạnh DC,mp() qua M và P BD; SC . () cắt BC,SB,SA,SD tại N ,P,Q,R .
a) Chứng minh : MN P BD .
b) Chứng minh :SC PMR; SC PNP .
c) Xác định giao điểm I của AC và () . Chứng minh : IQ PSC
d) RQ cắt MN tại J. Chứng minh : A,D,J thẳng hàng.
LỜI GIẢI

a) Có

�
( ) �(ABCD)  MN
�
�BD P()

�BD �(A BCD)
�

� MN P BD .

b) Có

�
() �(SCD)  MR
�
SC P()
�
�
SC �(SCD)
�

� SC PMR .

Có

�
( ) �(SBC)  NP
�
SC P()
� SC P NP
�
�
SC �(SBC)
�

.
168