GIỚI HẠN DÃY SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

GIỚI HẠN DÃY SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
A). TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1). ĐỊNH NGHĨA:
ĐỊNH NGHĨA 1: Ta nói dãy số  un  có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó
trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Khi đó ta viết
lim un  0 hay lim  u   0 hay un � 0 khi n � �. Bằng cách sử dụng
n

n��

các kí hiệu toán học, định nghĩa trên có thể viết như sau:





limun  0 �   0,n0 : n  n0 � u n   .
Một số giới hạn đặc biệt:

a). Dãy số  un  có giới hạn là 0 � dãy số

u 
n

có giới hạn là 0.

b). lim0  0 .
1
c). lim k  0, k  0 .
n

d). Nếu q  1 thì limqn  0 .
ĐỊNH NGHĨA 2: Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số thực a nếu

un  a hay un � a khi
lim  un  a  0 . Khi đó ta viết limun  a hay nlim
��

n � �. Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là dãy số có giới hạn hữu
hạn.
Nhận xét:
a). limun  a � un  a nhỏ bao nhiêu cũng được với n đủ lớn.
b). Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
Một số giới hạn đặc biệt:
a). limc  c (c là hằng số).
b). Nếu limun  a thì lim un  a .
c). Nếu un �0, n  thì a  0 và lim un  a .
2). ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN :
Định lí 1 : Với hai dãy số  un  và  vn  , nếu un  vn , n và limv n  0 thì
limun  0 .

Định lí 2 :
a). Giả sử limun  a và limv n  b và c là hằng số. Khi đó ta có :

�lim  un  v n   a  b

�lim  un  vn   a  b
�lim  un .v n   a.b
�lim

un

vn



a
, b �0
b


�lim  c.un   c.a .

b). Cho ba dãy số  un  , vn  và

 w n  . Nếu

un �vn �w n , n và

limun  limw n  a, a �� thì limv n  a (gọi định lí kẹp).

c). Điều kiện để một dãy số tăng hoặc dãy số giảm có giới hạn hữu hạn:
Một dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
3). TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:
Cho cấp số nhân  un  có công bội q và thỏa q  1. Khi đó tổng
S  u1  u2  u3  �
�
�
 un  �
�
�được gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và

S  limSn  lim



u1 1 qn



u1

1 q
1 q
4). GIỚI HẠN VÔ CỰC:

.

a). Dãy số có giới hạn �: Dãy số  un  có giới hạn là �khi và chỉ khi
với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. Ta viết lim  un   � hoặc
limun  � hoặc un � �.

Ví dụ: limn  �,lim n  �,lim 3 n  �,limn  �,    0 .

b). Dãy số có giới hạn �: Dãy số  un  có giới hạn là �khi và chỉ khi
với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số
hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. Ta viết lim  un   � hoặc
limun  � hoặc un � �.

Chú ý:

�limun  �� lim  u n   �.

�Các dãy số có giới hạn �hoặc �được gọi chung là các dãy số có giới
hạn vô cực hay dần đến vô cực.
1
 0.
�Nếu lim un  � thì lim
un
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh dãy số có giới hạn là 0.
PHƯƠNG PHÁP:
Cách 1: Áp dụng định nghĩa.
Cách 2: Sử dụng các định lí sau:
1
 Nếu k là số thực dương thì lim k  0 .
n
 Với hai dãy số  un  và  vn  , nếu un �vn với mọi n và limvn  0 thì
limun  0 .
 Nếu q  1 thì limqn  0 .


Ví dụ: Chứng minh các dãy số  un  sau đây có giới hạn là 0.
cos4n
1
1 cosn3
a). u
b). un 
c). un 
d). u     1
n

n
n 3
2n  3
4n  5
2n1 3n1
LỜI GIẢI
a). Với mỗi số dương  tùy ý, cho trước, ta có

 1


un 

 1

n

4n  5

n

n



1
1
1 �1 �
  � 4n  5  � n  �  5�. Suy ra với mỗi số dương
4n  5


4 �
�

cho trước, thì với mọi số tự nhiên n 

1 �1 �
�  5� ta đều có un   . Vậy
4 �
�

limun  0 .
b). Ta có n ��* thì cos4n �1� un 

cos4n
1
1 1
�
�  .Áp dụng định
n3
n 3 n n

lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim

1
nk

 0 ” ta được lim

1

 0.
n

Từ đó suy ra limun  0 .
3
c). Ta có n ��* thì cosn �1� un 

1 cosn3
2
2
1
�
�
 .Áp dụng
2n  3
2n  3 2n n

định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì lim
lim

nk

 0 ” ta được

1
 0 . Từ đó suy ra limun  0 .
n

d). Ta có un 

lim

1

 1

n

n1

2



1
n 1

3

1
1
1
1
1
� n1  n1  n1  n1  n ,n ��. Vì
2
3
2
2
2

n

�1 �
 lim � �  0 . Từ đó suy ra limun  0 .
n
2
�2 �
1

VẤN ĐỀ 2: Dùng định nghĩa chứng minh dãy số  un  có giới hạn L.
PHƯƠNG PHÁP: Chứng minh lim un  L  0 .
Ví dụ: Chứng minh:
2n  3 1
4.3n  5.2n 2
� 2
�

a). un 
b). lim n
c). lim � n  2n  n � 1 .

�
�
4n  5 2
6.3  3.2n 3
LỜI GIẢI
1 2n  3 1
1
1

2n  3
 
 .
a). gọi un 
. n ��* ta có un  
2 4n  5 2 8n  10 n
4n  5
Vì lim

�
1�
1
1
un  � 0, suy ra limun  .
 0 nên lim �
2
n
2
�
�


b). Gọi un 


4.3n  5.2n

. n ��* ta có un 

6.3n  3.2n

12.3n  15.2n  12.3n  6.2n
3(6.3n  3.2n )

7.2n

2 4.3n  5.2n 2


3 6.3n  3.2n 3
7.2n

n

7.2n

7 �2 �.



 �
��
n
n
n
n
n
6 �3 �
6.3  3.2
6.3  3.2

6.3

n
�
2�
2
�2 �
un  � 0 . Do đó limun  .
Vì lim � �  0 nên lim �
3�
3
�
�3 �
2
� n2  2n  n �
�. n ��* ta có un  1  n  2n  (n  1)
c). Gọi un  �
�
�





� n2  2n  (n  1)�� n2  2n  (n  1)�
�
��
�
�
�

�
�
n2  2n  (n  1)
1
n2  2n  (n  1)

1



n2  2n  (n  1)



2

� n2  2n �  (n  1)2
�
�
�
 �
2
n  2n  (n  1)
1
1
. Vì lim  0
n
n

nên lim  un  1  0 .

Do đó limun  1 .

VẤN ĐỀ 3: Tìm giới hạn của dãy  un  có giới hạn hữu hạn:

DẠNG 1: un là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P  n ,Q  n  là hai đa thức của n).

P  n

Q  n

( trong đó

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho nk với nk là lũy thừa có số mũ lớn
nhất của P  n và Q  n  ( hoặc rút nk là lũy thừa có số mũ lớn nhất của

P  n và Q  n ra làm nhân tử) sau đó áp dụng các định lý về giới hạn.

Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un 
d). un 

2n2  3n  1

b). un 

5n2  3

1
2

n  2n



2 là

1
2

2n  3

2n3  3n2  4
n4  4n3  n

c). un 

 2n  1  3 4n3 
un 
3
2
 4n  2  2 n

2n4  3n2  n

 2n  1  1 3n  2n2  1

2

e).

f). un 

2n n  1
2

n 2 n 3

LỜI GIẢI
lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử và mẫu

a). Ta thấy n
của un cho n2 được:


un 

2n2  3n  1

2

2n  3n  1
2

5n  3

2

n
5n2  3



3 1

3
1
n n2
. Ta có lim  0,lim 2  0 và
3
n
n
5 2
n

2


n2
3
2 0 0 2
lim 2  0 nên limun 
 .
5 0
5
n
4
b). Dễ dàng thấy n là lũy thừa cao nhất của tử và mẫu, nên chia cả tử

và mẫu của un cho n4 được:
un 

3

2n3  3n2  4

2

2n  3n  4
n4  4n3  n



4

n

n4  4n3  n



n4

lim

3
2

n

 0, lim

4
4

n

 0 , lim

2 3
4
 2 4
n n
n . Ta có lim 2  0,
4 1
n
1  3
n n

1
0 0 0
4
 0.
 0 và lim 3  0 . Do đó limun 
1 0  0
n
n

2
� 4
� 4� 3 1 �
4
2
4 2n  3n  n
2   3 �,
� n �
c). Có 2n  3n  n  n �
4
�
�
n
� n n �
�
�
�2n  1� � 1 �
�1 3n � �1 �
2n  1  n �
2  �, 1 3n  n �
� n �
� n �  3�và
� n � � n�
� n � �n
�

� 3 1�
n4 �
2  3 �
2

�
�
n n �
1�
�
2
2 2n  1
2�
2n  1  n � 2 � n �
2  2 �. Từ đó un 
� n
�
� 1 � �1
�2� 1 �
� n �
�
�
n �2  �n �  3�
n �2  2 �
n
n
�
��
� � n �

� 3 1�
n4 �
2  3 �
n n �
�



� 1�
�1
�
� 1�
n4 �
2 �

3
2

�
�
�
2�
� n�
�n
�
� n �
lim

3 1

1
n n3
3
. Vì lim  0 , lim 3  0 ,
� 1�
�1

�
� 1�
n
n
2 �
2 2 �
�
�  3�
�
n
n
�
�
�
�
� n �
2

2 0 0
1
1
1
 .
 0 và lim 2  0 . Nên limun 
(2  0)(0  3)(2  0)
6
n
n

d). Bước đầu tiên qui đồng mẫu un 

1
n2  2n



1
2n2  3



n

n2  2n  3
2



.

 2n 2n2  3

�2
� 2� 2 3 �
2
2 n  2n  3
1  2 �,
� n �
Ta có n  2n  3  n �
� n2

�
� n n �
�
�
�n2  2n �
�2n2  3 �
� 2�
� 3�
n2  2n  n2 � 2 � n2 �
1 �và 2n2  3  n2 � 2 � n2 �2  2 �. Từ
� n
�
�
�
n
�
�
� n �
�
�
� n
�


2 3
� 2 3�
1  2
n2 �
1  2 �
1

n n
3
2
� n n � 
�
đó un 
. Vì lim  0, lim 2  0,
2 � 2�
�
�
3
n
� 2�2 � 3 �
n
n
1 �
n2 �
1 �
n �
2 2 �
�
�2  2 �
n
n
n
�
�
�
�
n

�
� �
�
lim

3
2

n

 0 và lim

1
2

n

 0 . Do đó limun  0.

1 0  0
 0.
(1 0)(2 0)

2
2
 2n  1  3 4n3 
� �2n  1�
�
2
2� 1�

un 
.
Ta
có
2n

1

n

n
2


 � � n �� � n �,
3
2
�
�
�
��
�
 4n  2  2 n
2

e).

3  4n3

3

3
�3 4n3 �
�3
�
� �4n  2 �
�
3
2�
3�
 n3 � 3 �  n3 � 3  4�,  4n  2  �
n

n
4

�
�
�
�
�và
� n
�
�n
�
� n�
�
�
�� n �
�

 2 n

2

2

2

� �2  n �
�
2 �
2�
�
n�
�  n �  1�.
�
�n �
�� n �
�
2

� 1 � �3
�
n2 �2  �n3 � 3  4�
� n � �n
�
Từ đó un 
3
2

� 2 � 2 �2 �
n3 �
4  �n �  1�
� n � �n �

2

� 1 ��3
�
�2  �� 3  4�
1
� n ��n
�
, mà lim  0,
3
2
n
� 2 ��2 �
4  ��  1�
�
� n ��n �

 2 0  0 4   1
2
lim 3  0 , lim  0 . Do đó limun 
.
3
2
16
n

n
 4 0  0 2
2

3

2n n  1

f). un 

lim

2
n n

2n n  1
n2  2 n  3

 0, lim



3
n2

2



1

2
1
n n2
n
 0, lim

 0,
. Mà lim
2
n
n2
n  2 n  3 1 2  3
n n n2
n2
2

 0.

DẠNG 2: un là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P  n ,Q  n  là các biểu thức chứa căn của n).

P  n

Q  n

( trong đó

Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:

a). un 
c). un 

4n2  n  1  n

b). un 

2

9n  3n
3

4n2  1  8n3  2n2  3
4

16n2  4n  n4  1

d). un 
LỜI GIẢI

2n  1  n  3
4n  5
3

n3  n  n3  3n
4

16n4  1

e).

a).
2

4n  n  1  n

un 

Vì có lim

2

2n  1  n  3
4n  5

c). Ta có un 

n. 4 


1
2

n

n. 16 
3
3

n



�9n2  3n �
n2 �
�
� n2
�
�
�

1 1

n
n n2

3
n 9
n

�2n  1 �
�n  3 �
n�
� n �
�
� n �
�n �

�4n  5 �

n�
�
� n �



4


1 1

1
n n2
3
9
n

4 0 0  1
9 0



.

1
.
3

1
3

 n. 1
n
n
5
n. 4 
n

n. 2 

1
3
 1
1
3
5
n
n
. Vì có lim  0, lim  0 và lim  0 .
n
n
n
5
4
n

Từ đó có limun 

lim

n 4

1
1
3
 0, lim 2  0, và lim  0 . Nên limun 
n
n
n

b). un 





9n2  3n

�4n2  n  1�
n2 �
n
�
� n2
�
�
�

2  0  1 0

21
.

2



4 0
3

4n2  1  8n3  2n2  3
4

16n2  4n  n4  1

 n.3 8

2 3

n n3

4
1
 n. 1 4
n
n

4


1
2

n

16 

�4n2  1�
�8n3  2n2  3 �
n2 � 2 � 3 n3 �
�
� n
�
�
�
n3
�
�
�
�



�16n2  4n �
�4
�
4 n 1
4n �
n2 �

�
� n2
�

� n4 �
�
�
�
�
�

 3 8

2 3

n n3

4
1
 1 4
n
n

. Vì có lim

1
2

n

1
4
 0 và lim 4  0 . Từ đó suy ra
n

n
3
4 0  8 0 0 4
 .
5
16  0  1 0

 0, lim

limun 

d). Ta có un 

3

n2  n  n3  3n
4

16n4  1



�n2  n �
�n3  3n �
n2 � 2 � 3 n3 � 3 �
�n �
� n
�
�
�

�
�
� 4
�
4 16n  1
4n �
� 4 �
�
� n

�

 0, lim

2
 0,
n


n. 1


1
3
 n.3 1 2
n
n

n.4 16 
lim

1
4

n

1

1 3
3
 1 2
n
3
1
n . Vì có
lim  0, lim 2  0, và
n
n
1
4 16 
4
n

1


n4

1 0  3 1 0

 0 . Nên limun 

4



16  0

1
.
2

DẠNG 3: un là một phân thức hữu tỉ dạng un 

P  n

( trong đó

Q  n

P  n ,Q  n  là các biểu thức chứa hàm mũ an ,bn ,cn ,…. Chia cả tử và
mẫu cho an với a là cơ số lớn nhất ).

Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un 

2n  4n
4n  3n
n 2

d). un 

2

3.2n  5n

b). un 

1

e). u 
n

n

32  2

c). un 

5.4n  6.5n

 3

n

 4.5n1

f). un 

2.4n  3.5n

4n 2  6n1
5n1  2.6n 3
2n  3n  4.5n 2

2n1  3n 2  5n1

LỜI GIẢI

a).Ta có un 

2n  4n
4n  3n

2n  4n

2n

4n
4n

4n  3n
4n



4n

4n




n

4n
4n 
3n
4n

�2 �
� � 1
�4 �

n

�2 �
. Ta có lim � �  0 và
n
�3 �
�4 �
1 � �
�4 �

n

0 1
�3 �
 1.
lim � �  0 . Nên limun 

1
0
�4 �
3.2n  5n

3.2n

n

5n

�2 �
3� �  1
 n
n
n
3.2n  5n
5
5  �5 �

 5n
b). Ta có un 
. Ta có
n
n
n
n
n
5.4  6.5
5.4  6.5

5.4
6.5n
�
�
4
 n
5� �  6
5n
5n
5
�5 �
n

n

3.0  1
1
�2 �
�4 �
 .
lim � �  0 và lim � �  0 . Do đó limun 
5.0  6
6
�5 �
�5 �
c). Ta có un 

n 2

4

n 1

5

n1

6

n 3

 2.6



n

2

4n.42  6n.6

n

4 .4  6 .6
n

1

n

3

5 .5  2.6 .6



4n.42

n
6n
 n 61
n 3
5 .5  2.6 .6
5 .5
n

1

6n

6n





6n.6

6n
2.6n.63

6n


n
4�
2�



4 � � 6
�6 �

n

n

�5 �
51 � �  2.63
�6 �

42.0  6

Do đó limun 

n

�4 �
�5 �
. Ta có lim � �  0 và lim � �  0 .
�6 �

�6 �

1

3

5 .0  2.6



1
.
72
n

n

2.22  1

2
�2 �
1
2.� �  n
n
n
n
1
n 2
�3 �
2

 1 22  1 2.22  1
32
32




d). Ta có un 
. Vì
n
n
n
n
2
1

32  2
32  2
32  2
32  2
n
n
32
32
n
1
2
lim n  0 và lim n  0 . Do đó limu  2.0  0  0 .
2
�2 �

2
,
n
 1� lim � �  0
1 0
3
32
32
�3 �
e). Ta có :

un 

 3

n

n1

 4.5

n



n

2.4  3.5

 3

n

 20.5

n

n

 3

n

2.4  3.5

n

 20.5n

(3)n

5n
2.4  3.5n



n

5n
n

n

5n

� 3�
 �  20
�
n
n
5�
�
5
5


,
n
n
n
4
5
�
�
4
2. n  3. n
2.� �  3
5
5
�5 �

 20.

n

0  20
20
� 3�
�4 �

mà lim �
.
 �  0 và lim � �  0 . Do đó limun 
2.0

3
3
� 5�
�5 �
f). Ta có un 

n

n 2

n

2  3  4.5
n1

2

n 2

3

n1

5



n

n

n

2  3  100.5
n

n

n

2.2  9.3  5.5

2n  3n  100.5n


5n

2.2  9.3n  5.5n
n

5n
2n



3n

 100.

5n

n

n

�2 � �3 �
� �  � �  100
�5 � �5 �

n

n

n
n
�2 �
�3 �

5n 
 5n 5 n
. Vì lim � �  0 và lim � �  0
n
n
n
2
3
5
�3 �
�5 �
�5 �
2�
2. n  9. n  5. n 2.�
 9.� �  5
�
�
5
5
5
�5 �
�5 �
0  0  100
limun 
 20 .
2.0  9.0  5
DẠNG 4 : Nhân lượng liên hợp:
PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng các công thức nhân lượng liên hợp sau:

nên

�
a b 
�
2
2
�
� a  b   a  b  a  b �
�
a b 
�
�
a3  b3

�a b 

a2  b2
a b
a2  b2
a b

a3  b3

�a b 

.
a2  ab  b2
a2  ab  b2
� 2

�
3
a  b �3 a  3 a.b  b2 �
a  b3
�
�
�3a b
.
2
2
2
2
3
3
3
3
a  a.b  b
a  a.b  b



 
 
 
�
�
a  b �
a   a.b  b �



a b
�
�
� ab
 a   a.b  b
 a   a.b  b
�
�
a b �
a  a. b   b  �

a b
�
�
�a b 
a  a. b   b 
a  a. b   b 
�
�
a b �
a  a. b   b  �

a b
�
�
�a b 
a  a. b   b 
a  a. b   b 
�
�

a  b �
a   a. b   b  �


a b
�
�
� a b 
.
 a   a. b   b 
 a   a. b   b 
�
�
a  b �
a   a. b   b  �


a b
�
�
� a b 
 a   a. b   b 
 a   a. b   b 
3

2

3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

3

3

2

3

2

3

3

3

2

3

2

3

2

3

3

2

3

3

2

3

3

2

3

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

2

3

3

3

3

2

3

2

3

3

3

2

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

2

2

3

3

2

3

3

3

2

3

2

3

3

3

2

Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un  n2  3n  5  n

b). un  9n2  3n  4  3n  2

c). un  3 n3  3n2  n

d). un  3 8n3  4n2  2  2n  3
3 6

2
� 4
�
f). lim � n  n  1  n  1�
�
�
LỜI GIẢI

e). un  4n2  3n  7  3 8n3  5n2  1


a). Ta có
� n2  3n  5  n �
� n2  3n  5  n �
�
�
�
�
�
�
�
�
un  n  3n  5  n 
2
n  3n  5  n
�3n  5 � � 5 �
có 3n  5  n �
� n �3 �và
� n � � n�

3n  5

2

. Và

2

n  3n  5  n

�n2  3n  5 �
3 5
n2  3n  5  n2 �
� n 1  2 .
� n2
�
n
n
�
�
� 5�
5
n�
3 �
3
n�
5
3
�
n


Do đó un 
, vì lim  0, lim  0 và
n
n
3 5
3 5
n 1  2  n
1  2  1
n n
n n
5

3
.
2
n
NHẬN XÉT : Tại sao phải nhân lượng liên hợp ?
Quay lại ví dụ a) thông thường ta đặt nk làm nhân tử chung nhưng sao
lại phải nhân lượng liên hợp. Bây giờ ta thử làm lại câu a) theo phương
pháp đặt nk trong căn thức thử xem sao ,và sau đó rút ra nhận xét. Ta có
lim

2

 0 . Nên limun 

�n2  3n  5 �
3 5
un  n2  3n  5  n  n2 �

� n  n 1  2  n
2
� n
�
n n
�
�
�
�
�
�
3 5
3
5
3 5
 n � 1  2  1�. Vì lim  lim 2  0 nên lim � 1  2  1� 0 và
�
�
�
�
n n
n
n n
n
�
�
�
�
limn  � do đó limun  �.0 (đây là dạng vô định). Nên cách làm này
không là không được rồi, ta phải sử dụng phương pháp nhân lượng liên

hợp để khử vô định sau đó cách làm hoàn toàn như dạng 1.
Dấu hiệu nhận biết nhân lượng liên hợp : Để nhận biết một bài tập có
nhân lượng liên hợp hay không các bạn chỉ chú ý tới n có mũ cao nhất
sau đó đưa ra ngoài dấu căn thức, nếu chúng trừ nhau bằng 0 thì bài này
ta phải nhân lượng liên hợp. Cụ thể ta làm lại câu a) un  n2  3n  5  n
biểu thức trong căn thức có n2 là cao nhất và ta quan tâm đến « nó »,
những thừa số sau bỏ hết có nghĩa xem un  n2  n  n  n  0 (nên các
bạn phải nhân lượng liên hợp). Chúng ta xem thử bài này có nhân lượng
liên hợp hay không un  2n2  3n  5  n chúng ta cũng quan tâm đến số
hạng có chứa mũ có nhất đó là 2n2 , có nghĩa un được viết lại
un  2n2  n  n 2  n  n





2  1 ta có

2  1 �0 nên bài này được làm

trực tiếp không cần nhân lượng liên hợp. Cụ thể bài này ta làm như sau


�
�
�2n2  3n  5 �
3 5
3 5
un  2n2  3n  5  n  n2 �
� n  n 2  2  n  n � 2  2  1�

2
�
�
�
�
n n
n n
n
�
�
�
�
�
�
3
5
3 5
2   2  1� 2  1 và limn  � do đó
do lim  lim 2  0 nên lim �
�
�
n
n n
n
�
�





limun  �.

2  1  � (cụ thể các bạn xem phương pháp tìm giới hạn

dãy số có giới hạn vô cực).
� 9n2  3n  4  3n �
� 9n2  3n  4  3n �
�
�
�
�
�
�
�
� 2
b). u  9n  3n  4  3n  2 
n
2
9n  3n  4  3n
3n  4
�
� � 2�

 2 . Ta có 3n  2  n �3n  2 � n �
3 �và
2
9n  3n  4  3n
� n � � n�
2

�9n2  3n  4 �
3 4
9n2  3n  4  n2 �
� n 9   2 . Từ đó suy ra
2
�
�
n n
n
�
�
� 2�
n �3 �
� n�
un 
 2
3 4
n 9   2  3n
n n
lim

4
2

n

 0 . Nên limun 

2

n
 2 , vì lim 2  0, lim 3  0 và
n
n
3 4
9  2  3
n n
3

3 0
9 0 0  3



1
.
2

2
�3 3
�
3 3
2�
2
2
�3 n3  3n2  n ��
� n  3n �  n. n  3n  n �
�
��
�

��
�
�
�
c). un  3 n3  3n2  n 
2
�3 n3  3n2 � n.3 n3  3n2  n2
�
�
�
�



3n2
2

�3 n3  3n2 �  n.3 n3  3n2  n2
�
�
�
�

Do đó

lim

un 

. Ta có

3n2
2

�
3�
3
n2 �3 1 �  n2.3 1  n2
�
�
n�
n
�

3
 0 . Nên limun  1
n

d). un  3 8n3  4n2  2  2n  3

3



�n3  3n2 �
3
n3  3n2  3 n3 � 3
� n.3 1 .
� n
�

n
�
�

3
2

�
, ta có
3�
3
�3 1 � 3 1  1
�
�
n�
n
�


2
�3 3
�
3
2
3
2
2
�3 8n3  4n2  2  2n ��
�
� 8n  4n  2 �  2n. 8n  4n  2  4n �

�
��
�
��
�
�
� 3

2
�3 8n3  4n2  2 �  2n.3 8n3  4n2  2  4n2
�
�
�
�



4n2  2
2

�3 8n3  4n2  2 �  2n.3 8n3  4n2  2  4n2
�
�
�
�

Ta có

3

3

.

�8n3  4n2  2 �
4 2
8n3  4n2  2  3 n3 �
� n 3 8   3 . Do đó
3
�
�
n
n
n
�
�
� 2�
n2 �
4 2 �
� n �

un 

4

2
n2


2

2
�
�
�
4 2
4 2
4 2 �
4 2
n2 �3 8   3 � 2n2.3 8  3  4n2 �3 8  3 �  2.3 8   3  4
�
�
�
�
n
n
n
n
n �
n
n �
n
�
�
2
2
1
4
. Vì lim 2  0, lim  0 và lim 3  0 . Nên limun  .
3
n

n
n
e).
3
3
2
��
un  4n2  3n  7  8n3  5n2  1  �
2n  8n3  5n2  1�
� 4n  3n  7  2n � �
�
�
��
�
7
3
3n  7
3
2
�
�
n
 lim

�Tính lim � 4n  3n  7  2n � lim
2
�
�
4
3 7

4n  3n  7  2n
4  2  2
n n
3
�Tính lim �
2n  8n3  5n2  1�
�
�
�
�
2
�
3
3
3
3
2
�
��
2n  8n3  5n2  1�
4n2  2n. 8n3  5n2  1  �
�
��
� 8n  5n  1��
�
��
�
��
 lim
2

3
3
3
2
�
4n2  2n. 8n3  5n2  1  �
� 8n  5n  1�
�
�

 lim

Có

3

5n2  1
2

3
3
3
2
�
4n2  2n. 8n3  5n2  1  �
� 8n  5n  1 �
�
�

(1)

�8n3  5n2  1�
5 1
8n3  5n2  1  3 n3 �
� n.3 8   3
3
�
�
n
n
n
�
�


�
1�
n2 �
5 2 �
n �
�

Nên  1 � lim

2

�
5 1
5 1 �
4n

 3  n2.�3 8   3 �
�
n n
n n �
�
�
1
5  2
5
n
 lim

2
12 .
5 1 �3
5 1 �
3
4  2. 8   3  � 8   3 �
�
n n
n n �
�
�
3 5 1
 .
Từ đó suy ra limun  
4 12 3
�
�
3 6

2
� 4
�
� n4  n2  1  n2 � �3 n6  1  n2 �
f). lim � n  n  1  n  1� lim �
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
2

 2n2.3 8 

4
2
2�
�Tính lim �
� n  n  1 n �
�
�

�
�

1
�
�
1 2
2
�
�
n 1
� 1
n
� lim �
 lim �
�
� 2.
� 4
2
2�
1
1
� n  n  1 n �
� 1
�


1
�
�
n2 n4
�
�

1
3 6
2
0
�Tính lim( n  1  n )  lim
3
(n6  1)2  n2 3 (n6  1)  n4
3 6
4
2
� 1
Do đó lim �
� n  n  1  n  1� .
�
� 2
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:

a). lim

n2  n  n

4n2  3n  2n
�
2n  9n2  n  n2  2n �
c). lim �
�
�
�

a). Ta có

b). un 

2n  4n2  n
3

n  4n2  n3

3 2
3
2
� 2
�
d). lim � n  2n  2 n  8n  3 n  n �
�
�
LỜI GIẢI
� n2  n  n �
� n2  n  n �
�
�
�
�
n
1
�
�
�
�
2

n n n

và
1
1
n2  n  n
n 1  n
1  1
n
n

� 4n2  3n  2n �
� 4n2  3n  2n �
�
�
�
�
3n
�
�
�
�
4n  3n  2n 

3
4n2  3n  2n
n 4   2n
n

3

2

4

3
2
n

.


3
2
2
n
limu

lim
 .
n
Do đó
3
�
�
1
3� 1  1�
�
�
n

�
�
4

b). lim

2n  4n2  n
3

n  4n  n3

Ta có 2n  4n2  n
�
�
2n  4n2  n �
2n  4n2  n �
�
�
�
�
�
�
�
�

2n  4n2  n

và n  3 4n2  n3 



2n  4n2  n

1



2 4

1
n

2�
3
3
2
3�
�n  3 4n2  n3 ��
n2  n. 4n2  n3  �
�
��
� 4n  n ��
�
��
�
��
2

3
3

2
3�
n2  n. 4n2  n3  �
� 4n  n �
�
�

4n2
2

�4n2  n3 � � 3 �4n2  n3 ��
�
n  n.3 n � 3
 �3 n
�
�
� n
�� �
� 3
��
�
�� � n
��
2



n

3

4n2



4n2



2

2

n

 n2.3

�4
�
4
 1  n2 �3  1�
�n
�
n
�
�

4

2

�
�4
�.
�4
�
4
4
�
3
3
3
3
1
 1  �  1�
n 1
 1  �  1�
�n
�
�n
��
� n
n
�
�
�
��
�
2�

2�

2

1 3
Do đó limun  lim

�4
�
4
 1  �3  1�
�n
�
n
�
�



3
.
16

�
1�
4�
2 4 �
�
n�
�
�

2
2
�
� 2
�
3n  9n2  n �
c). un  2n  9n  n  n  2n  �
� � n  2n  n �.
�
��
�

�
�3n  9n2  n �
3n  9n2  n �
�
�
�
�
�
�
�
�
2
�
�
3n  9n  n � lim
Tính lim �
�
�

�
3n  9n2  n �
�
�
�
�
n
 lim
n
 lim
�9n2  n �
3n  n2 � 2 �
3n  9n2  n
� n
�
�
�


n

 lim

3n  n 9 

1
n

 lim

n

1
1
 lim

6
�
1
1�
3 9 
n�
3 9  �
�
�
n
n�
�

� n2  2n  n �
� n2  2n  n �
�
�
�
�
2n
�
�
� lim
Và lim � n2  2n  n � lim �

�
�
�
�
n2  2n  n
n2  2n  n
2n
2n
2n
2
 lim
 lim
 lim
 lim
1
�
�
2
2
�2
�
2
.
2 n  2n
n 1  n
1  1
n � 1  1�
n � 2 � n
�
�

n
n
� n
�
n
�
�
�
�
Do đó limun  

1
5
 1 .
6
6

3 2
3
2
3
2
� 2
��
2 n2  8n3  4n �
d). un  n  2n  2 n  8n  3 n  n  � n  2n  n � �
�
�
��
�

3
� 2
� �3 2
� � 2
�
�
3 n2  n  3n �
�
� � n  2n  n � 2� n  8n  2n � 3� n  n  n �
�
� �
� �
� �
�

� n2  2n  n �
� n2  2n  n �
�
�
�
�
2n
�
�
� lim
�Tính lim � n2  2n  n � lim �
�
�
2
2

�
�
n  2n  n
n  2n  n
2n
2n
2n
2
 lim
 lim
 lim
 lim
 1
2
�
�
2
2
�
�
2
n  2n
n 1  n
1  1
n � 1  1�
n2 � 2 � n
�
�
n
n

� n
�
n
�
�
�
�
.
3 2
3
�
�Tính lim �
� n  8n  2n �
�
�
2
�3 2
�
3 2
3�
3
2
�3 n2  8n3  2n ��
� n  8n � 2n. n  8n  4n �
�
��
�
��
�
�

�
 lim
2

�3 n2  8n3 �  2n.3 n2  8n3  4n2
�
�
�
�

 lim

n2
2
�3 n2  8n3 �  2n.3 n2  8n3  4n2 (1)
�
�
�
�
2

Có

3

2
�1
�
�n2  8n3 �
1

3 2
n  8n  3 n � 3 � n.3  8 � �
n  8n3 �
 n2 �3  8 �
�
�
� n
�
�n
�
�
�
n
�
�
�
�
2

3

3


Do đó
n2

 1 � lim

1

 lim

2

2



1
12 .

�1
�
�1
�
1
1
n2 �3  8 �  2n2.3  8  4n2
�3  8 �  3  8  4
�n
�
�
�
n
n
�
�
�n
�

� n2  n  n �
� n2  n  n �
�
�
�
�
n
�
�
� lim
�Tính lim � n2  n  n � lim �
�
�
�
�
n2  n  n
n2  n  n

 lim

n
�n  n �
n2 � 2 � n
�n �
�
�
2

n

 lim

Từ đó suy ra limun  1

n 1

1
n
n

 lim

n

1
1
 lim

2.
�
�
1
1
1  1
n � 1  1�
�
�
n
n
�

�

1 1
5
  .
12 2
12

Ví dụ 3 : Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un 

1
1
1

�
�
�

1.2 2.3
n(n  1)

b). un 

1
1
1
1



�
�
�

1.4 4.7 7.10
(3n  2)(3n  1)

� 1�
� 1 �� 1 �
1 3 5  �
�
�
 (2n  1)
1 2 �
1 2 �
...�
1 2 � d). un 
c). un  �
�
2
3n  4
� 2 �
� 3 �� n �
2
2
2
2
�
�
1

1
1
1  2  3 �
�
�
n

�
�
�

e). un 
f). lim �
�
n(n  1)(n  2) �
n(n  1)(n  2)
�1.2.3 2.3.4
g). lim

13  23  �
�
�
 n3
n4  4n3  1

h).

�2.12  3.22  �
�
�

 (n  1)n2  n(n  1)2 �
lim �
�
�
�
n4
�
�
LỜI GIẢI
1
k  1 k
k1
k
1
1



 
, k  1,2,...,n  . Từ
a). Ta có
k  k  1 k  k  1 k  k  1 k  k  1 k k  1
đó un 

1
1
1
1 1 1
1
1

1

�
�
�

 1    �
�
�
 
 1
.
1.2 2.3
n(n  1)
2 2 3
n n 1
n 1

�
1 �
1
1
 1 0  1.
Nên limun  lim �
� lim1 lim
n1
� n  1�
b). Ta có
1
1 (3k  1)  (3k  2) 1 �

3k  1
3k  2
 �
 �

3�
(3k  2)  3k  1 3 (3k  2)  3k  1
�(3k  2)  3k  1 (3k  2)  3k  1
1� 1
1 �
 �

, k  1,2,3...,n  . Từ đó
�
3 �3k  2 3k  1 �

�
�
�
�


un 

1
1
1
1



�
�
�

1.4 4.7 7.10
(3n  2)(3n  1)

1� 1 1 1 1 1
1
1 � 1�
1 �
1
1    
�
�
�


1
0
�
� �
�, có lim
3 � 4 4 7 7 10
3n  2 3n  1� 3 � 3n  1�
3n  1
1
1
. Do đó limun   1 0  .
3

3



c). k �2 ta có 1

1



k2  1



(k  1)(k  1)

. Do đó
k
k
k2
� 1�
� 1�� 1 �
un  �
1 2 �
1 2 �
...�
1 2 �
�
� 2 �
� 3 �� n �

1.3 2.4 3.5 4.6 (n  3)(n  1) (n  2)n (n  1)(n  1) 1 n  1
 2 �2 �2 �2 �
�
�
�
�
 �
.
2 n
2 3 4 5
(n  2)2
(n  1)2
n2
2

2

1
1
n1
1.
n
limun  lim
 lim

2n
2
2
1 3  5  �
�

�
 (2n  1)
d). un 
.
3n2  4
�
�
 (2n  1) là một cấp số cộng với u1  1 công sai
Ta có dãy số 1 3  5 �
Nên

d  3 1  2 và số hạng tổng quát um  2n  1

� u1   m  1 d  2n  1 � 1  m  1 .2  2n  1 � m  n  1, nên tổng của dãy

số trên là S 

2
m
 u  um   n 2 1 1 2n  1   n  1 . Từ đó
2 1
2

� 1�
1 �
�
n  1

n � có lim 1  0 và lim 4  0 từ đó suy ra limu  1 .
�

un 

n
3
n
n2
4
3n2  4
3 2
n
2
2
2
n  n  1  2n  1
1  2  3 �
�
�
 n2
e). un 
. Ta có tổng 12  22  32  �
�
�
 n2 
n(n  1)(n  2)
6
(được chứng minh bằng phương pháp quy nạp). Nên
1
2
2n  1
n

2 1
1
2
un 

vì lim  lim  0 do đó limun   .
6(n  2)
� 2�
6 3
n
n
6�
1 �
� n�
2

�
1
1
1
1�
1
1

�
�
�

 �
�(Chứng minh

1.2.3 2.3.4
n(n  1)(n  2) 2 �
2 (n  1)(n  2) �
dựa vào nguyên lý quy nạp). Do đó
�
1�
1
1
1
1
1
1
L  lim � 
  0 .
� lim  lim
2�
2 (n  1)(n  2) �
4
2(n  1)(n  2) 4
4

f). Ta có


g). Ta có 13  23  �
�
�
 n3 
nạp). Do đó

n2  n  1
4

2

( chứng minh bằng phương pháp quy

2
�
n  1�
2 ��

2

� 1�
n �
n�
n4 �
1 �
�
�
n2  n  1
n
n�
�
�
�
�
�
L  lim

 lim
 lim
4
3
4
3
�n  4n  1�
� 4 1�
4 n  4n  1
4n4 �
1  4 �
4n4 �
�
4
�
�
n n �
�
n
�
�
2





2

� 1�

1 �
�
1
4
1
n�
1
�
. Vì lim  lim  lim 4  0 nên L  .
 lim
n
n
4
n
� 4 1�
4�
1  4 �
n
n �
�
h). Ta có 2.12  3.22  �
�
�
 (n  1)n2  n(n  1)2 
Do đó L  lim

n  n  1  n  2  n  3
4n4

n  n  1  n  2  n  3

.
4
� 1� � 2� � 3�
n.n �
1 �
n�
1 �
n�
1 �
� n�� n�� n�
 lim
4n4

� 1�
� 2�
� 3�
1 �
1 �
1 �
1
2
3
1
�
�
�
n�
n�
n �có lim  lim  lim  0 nên L  .

�
�
�
 lim
n
n
n
4
4

DẠNG 5 : TÍNH GIỚI HẠN DỰA VÀO ĐỊNH LÍ KẸP:
PHƯƠNG PHÁP: Dựa vào định lí: Cho ba dãy số  un  , vn  và  w n  . Nếu

un �vn �w n , n  và limun  limw n  a, a �� thì limvn  a .

Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:
a). un 
c). un 

1 3 5 2n  1
���
�
�
2 4 6
2n
1.3.5.7.... 2n  1
2.4.6...2n

b). un 



, n ��*



d). un 

1
2

n 1



1
2

n 2

1 2  3  ...  n
n n

�
�
�

.

LỜI GIẢI

2k  1 2k  1
2k  1
2k  1

�

, k ��* . Từ đó ta có:
a). Ta có
2k
2k  1
4k2
4k2  1

1
2

n n


�
�
�
�
3
3
1 3
2n  1
1
� 1 3 2n  1
�

‫����ף‬
. ...
un
.
�‫ף‬
4
5
2
4
2n
3
5
2n

1
2n  1
�
.........
�
2n  1
2n  1 �
�
�
2n
2n  1 �
1
1
,n . Mà lim
 0 do đó limun  0 .
Do đó un �

2n  1
2n  1
b). Ta có:
1
1
1 1
�
 2
2
2
n
n n
n 1 n
1
1
�
2
3

1

�

1



1
2



1
n

n n
n 2 n
…………………
1
1
1 1
�
 2 .
2
2
n
n n
n n n
Cộng các bất đẳng thức trên, vế theo vế ta được
n
�un  1, n ��* .
2
n n
n
n
1
lim
 lim
 lim
1

2
Mà
và lim1  1 . Từ đó suy ra
1
1
n n
n 1
1
n
n
limun  1 .
2

2

c). Rõ ràng un  0,n ��* do đó  un   0,n ��* . Có
2

 un 


2



12.32.52.72.... 2n  1
22.42.62...(2n)2

12.32.52.72.... 2n  1

12.32.52.72.... 2n  1

2



2

1.3.3.5.5.7....(2n 1)(2n 1)



2

(2n)
 2  1  4  1  6  1 ...�
�
2

2

2

2

 1�
�

1 .
2n  1

Do đó ta có n ��* thì 0   un  
2

1
1
. Mà lim0  0 và lim
 0 nên
2n  1
2n  1

lim  un   0 . Từ đó suy ra limun  0 .
2

d). Dễ dàng chứng minh
k  1,2,3,...,n được :

3
3
k   k  1 k  1  k k 
k  1 .Áp dụng với
2
2


1 2  3  �
�
�
 n
1 2  3  �

�
�
 n
Từ (1) và (2) suy ra

n

2
2
�
 �
 k  1 k  1  k k �
 n  1 k  1  1�
� 3�
�(1) và
3 k 0 �

�
n

2
2
�
k k   k  1 k  1� n n (2).
�
�
3 k 1
3

�

2
2  n  1 n  1  1
. Mà
 1 2  3  �
�
�
 n
3
3
n n

2 2
2
2  n  1 n  1  1 2

�
�
 n  .
và lim
do đó lim 1 2  3  �

3 3
3
3
3
n n
DẠNG 6: un được xác định bởi một công thức truy hồi.
Phương pháp:
Tìm công thức tổng quát của un theo n, sau đó tìm limun .

Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn (có nghĩa chứng minh dãy số
tăng và bị chặn trên hoặc dãy số giảm và bị chặn dưới) sau đó dựa vào
hệ thức truy hồi để tìm giới hạn.



lim



�
u1  2013
�
Ví dụ 1: Cho dãy số  un  xác định như sau: �
1
un1  n1 unn 
�
n
2013
�
Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số  un  ?

(n �1)

LỜI GIẢI
1
1
n1
n
� unn11  unn 

Ta có un  0,n �N * và un1  un 
n
2013
2013n
1
2
1
Do đó: u2  u1 
20131
1
u33  u22 
20132
...
1
unn  unn11 
2013n1
n1

Suy ra:

unn  u11 

1
1

2013



1

2

2013

 ... 

1
2013n1

�1 �
1 �
�
�2013 �

2012

n 1

�1 �
1 �
�
Vậy
n
�2013 �
un  2013
2012
n 1

�1 �
1 �

�
n
�2013 �
1  un  2013
2012

6 4 7n 4 8
1 1 ...  1 2014
2013 (Cô si)
 n 2014 
 1
n
n


� 2013 �
1
Mặt khác lim �
� 1. Vậy limun  1
n �
�
�u0  1;u1  6
Ví dụ 2 : Cho dãy số  un  xác định bởi �
.
�un 2  3un1  2un  0,n ��
u
Tìm lim nn .
3.2
LỜI GIẢI
Ta có

u0  1  4  5.20
u1  6  4  5.21
u2  16  4  5.22
u3  36  4  5.23
……….
un  4  5.2n , n ��
Sử dụng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un  4  5.2n ,n ��
là số tổng quát của dãy số  un  .
Do đó

lim

un
n

3.2

 lim

4  5.2n
n

3.2

4.
 lim

1
2n

3

5


5.
3

Ví dụ 3: Cho dãy số  un  được xác định như sau:

�u1  1, u2  3
�
�un 2  2un1  un  1, n ��*
un
n�� n2

Tính lim

.

LỜI GIẢI
Ta có un 2  un1  un1  un  1, n ��*. suy ra  un 2  un 1 lập thành một
cấp số cộng có công sai bằng 1 nên un 2  un 1  u2  u1  n.1  n  2 (1)
Từ (1) ta được un  u1  un  un1  un1  un 2  ...  u2  u1  n  n  1 ...  2
� un  1 2  ...  n 

lim

un
2

n � � n

 lim

n � �

n  n  1

n  n  1
2

2n

2



u
1
1
. Vậy lim n2  .
n�� n
2
2

DẠNG 7: DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC:


Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un  biết:

a). un  3n3  2n2  2

b). un  2n4  3n3  n

d). un  4n  2. 3

e). un  ncos

n1

n2
 4n2
10

c). un 
f). un 

4n4  2n3  1
n2  1
n4  4n2  1  2n2
n3  3n  2n

.

LỜI GIẢI
�
2 2�
2
2
3

2
3
3  3 �. Có lim  0,lim 3  0 nên
a). Ta có un  3n  2n  2  n �
n
n
� n n �
� 2 2�
lim �
3   3 � 3 và limn3  �. Từ đó suy ra limun  �.
� n n �
3 1�
3
1
4
3
4�
2   3 �. Vì lim  0,lim 3  0 nên
b). Ta có un  2n  3n  n  n �
n
n
n �
n
�
�
3 1�
lim �
2   3 � 2 và limn4  �. Từ đó suy ra limun  �.
n n �
�

c). Ta có
un 

4n4  2n3  1
n2  1



� 2 1�
n4 �4   4 �
� n n �
� 1�
n2 �
1 2 �
� n �

� 2 1�
2 1
n2 �4   4 �
4  4
n
n n
n �
�
 n.
. Vì
1
1
1 2
1 2

n
n

1
1
2
lim  0 , lim 4  0 và lim 2  0 nên lim
n
n
n

2 1

4
n n4

 2 và có
1
1
1 2
n

4

limn  �. Từ đó suy ra limun  �.
d). Ta có un  4  2. 3
n

n 1

 4  6. 3
n

n

�
(3)n
4 �
1 6. n
�
4
�
n

n�
� n � � 3�
�
 ��.
� 4 1 6�
�
4 ��
�
�
�
�
�

n�
n
� � 3�

� 3�
�
lim
1

6

Vì lim �
 �  0 nên
� �� 1 6.0  1 ngoài ra lim4n  �. Từ đó
� � 4 ��
� 4�
�
�
limu

�
có
.
n


� n2
�
n2
cos
cos
�
�
n 

1
10  4�
10 �1
 4n2  n2 �
e). Ta có un  ncos
. Vì
mà lim  0
� n
�
10
n
n
n
�
�
�
�
2

� n2
�
�cos
�
n 
10  4� 0  4  4
cos
�
lim
nên
do

đó
(1). Ngoài ra
10  0
� n
�
lim
n
�
�
�
�
2
limn  � (2). Từ (1) và (2) suy ra limun  �.
f). Ta có
2

n4  4n2  1  2n2

un 

3

n  3n  2n



�
�
4
1

n2 � 1 2  4  2�
�
�
n
n
�
�

�
�
3
2
n n � 1 2 
�
�
n
n�
�
�

lim

3
2

n

 0 và lim

2

n

�n4  4n2  1�
n4 �
 2n2
�
4
�
�
n
�
�
�n  3n �
n3 � 3 � 2n
� n
�
�
�
3

n2 1


4
2

n



n n 1

1
4

n
3

n2

 2n2

 2n

�
�
4
1
n � 1 2  4  2�
�
�
n
n
4
1
�
�
. Ta có lim 2  0, lim 4  0,
n
n

3
2
1 2 
n
n
1

 0 do đó lim

Ngoài ra có lim n  � (2).
Từ (1) và (2) suy ra limun  �.

4
2

n

1



3
n2

1
n4


2
2

n



1 0  0  2
1 0  0

 1 (1).