GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 Bài 03
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập D.
 Số M được gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f ( x) trên tập D
, nếu f ( x) �M

với " x �D và tồn tại x0 �D sao cho f ( x0 ) = M . Kí hiệu:

M = max f ( x) .
x�D

 Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f ( x) trên tập
D , nếu f ( x) �m với " x �D và tồn tại x0 �D sao cho f ( x0 ) = m. Kí hiệu:
m= min f ( x) .
x�D

2. Định lý
f ( x) , min f ( x) .
� tồn tại max
Hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [ a;b] ��
[ a;b]
[ a;b]

3. Cách tìm GTLN – GTNN trên một đoạn
Bước 1: Tìm các điểm x1, x2 ,..., xn trên [ a;b] mà tại đó f '( x) = 0 hoặc f '( x)
khơng xác định.
Bước 2: Tính f ( a) , f ( x1 ) , f ( x2 ) , ..., f ( xn ) , f ( b) .
Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên thì
�M = max f ( x)

�
[ a;b]
�
.
�
�
m= min f ( x)
�
a
;
b
[ ]
�

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
3
2
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x - 2x - 4x +1 trên đoạn [1;3].

67
.
27
f ( x) = - 7.
C. max
[1;3]

f ( x) =- 2.
B. max
[1;3]

A. max f ( x) =
[1;3]

f ( x) =- 4.
D. max
[1;3]

�
x = 2 �[1;3]
�
� f '( x) = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 3x - 4x - 4 ��
2
�
x = - �[1;3]
�
3
�
2

�f ( 1) = - 4
�
�
�
� max ( x) = - 2. Chọn B.
Ta có �ff( 2) = - 7 ��
[1;3]
�
�

�
�f ( 3) = - 2
3
2
Cách 2. Sử dụng chức năng MODE 7 và nhập hàm f ( X ) = X - 2X - 4X +1 với
thiết lập Start 1, End 3, Step 0,2 .
Quan sát bảng giá trị F ( X ) ta thấy giá trị lớn nhất F ( X ) bằng - 2 khi X = 3.
3
2
Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = 2x + 3x - 12x + 2 trên đoạn

[- 1;2].
f ( x) = 6.
A. max
[- 1;2]

f ( x) = 10.
B. max
[- 1;2]

f ( x) = 15.
C. max
[- 1;2]

f ( x) = 11.
D. max
[- 1;2]


�

x = 1�[ 1;2]
2
� f '( x) = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 6x + 6x - 12 ��
�
x = - 2 �[ 1;2]
�
�f ( - 1) = 15
�
�
�
� max ( x) = 15. Chọn C.
Ta có �ff( 1) = - 5 ��
[- 1;2]
�
�
�
f
2
=
6
(
)
�
Câu 3. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
�
1�
f ( x) = 2x3 + 3x2 - 1 trên đoạn �
- 2;- �

. Tính P = M - m .
�
2�
�
�
A. P = - 5 .
B. P = 1.
C. P = 4 .
D. P = 5 .
�
�
1�
�
�2;- �
x = 0 ��
�
�
2�
�
2
� f '( x) = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 6x + 6x ��
�
�
1�
�
�
�
x

=
1
�2;
�
�
2�
�
�
�
�
�
�
�
m= min f ( x) = - 5
�
f ( - 2) =- 5
�
�
1�
�
�
�
- 2;- �
�
�
�
2�
�
�
�f ( - 1) = 0 ��

�
��
��
� P = M - m= 5. Chọn D.
Ta có �
�
�
M
=
max
f ( x) = 0
�
�
�
�
1
�
�
� 1�
1
�
- 2;- �
�
�
�
2�
f�
- �
=�
�

�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
2
�
�
3
2
Câu 4. Biết rằng hàm số f ( x) = x - 3x - 9x + 28 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[ 0;4] tại x0 . Tính P = x0 + 2018.
A. P = 3.

B. P = 2019.

C. P = 2021.

D. P = 2018.
�
x = - 1�[ 0;4]
2
� f '( x) = 0 � �
.

Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 3x - 6x - 9 ��
�
x = 3 �[ 0;4]
�
�f ( 0) = 28
�
�
�
� min ( x) = 1 khi x = 3 = x0 ��
� P = 2021. Chọn C.
Ta có �ff( 3) = 1 ��
[ 0;4]
�
�
�
�f ( 4) = 8
4
Câu 5. Xét hàm số f ( x) = - x3 - 2x2 - x - 3 trên [- 1;1] . Mệnh đề nào sau đây
3
là đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = - 1 và giá trị lớn nhất tại x = 1.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1.
C. Hàm số có giá trị nhỏ nhất tại x = - 1 nhưng không có giá trị lớn nhất.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất tại x = 1.
2

Lời giải. Đạo hàm f '( x) =- 4x2 - 4x - 1=- ( 2x +1) �0, " x ��.
Suy ra hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn [- 1;1] nên có giá trị nhỏ nhất tại
x = 1 và giá trị lớn nhất tại x = - 1. Chọn B.
4

2
Câu 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x - 2x + 5 trên đoạn [- 2;2].
f ( x) = - 4.
A. max
[- 2;2]

f ( x) = 13.
B. max
[- 2;2]

f ( x) = 14.
C. max
[- 2;2]

f ( x) = 23.
D. max
[- 2;2]

�
x = 0 �[ 2;2]
�
�
3
� f '( x) = 0 � �
x = 1�[ 2;2] .
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 4x - 4x ��
�
�=
x - 1�[ 2;2]
�

�ff( - 2) = ( 2) = 13
�
�
�
� max f ( x) = 13. Chọn B.
Ta có �ff( - 1) = ( 1) = 4 ��
[- 2;2]
�
�
�
�f ( 0) = 5
4
2
Câu 7. Cho hàm số f ( x) = - 2x + 4x +10 . Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị
nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [ 0;2].
A. M = 10; m= - 6.
B. M = 12; m= - 6.
C. M = 10; m= - 8.
D. M = 12; m= - 8.
�
x = 0 �[ 0;2]
�
�
3
� f '( x) = 0 � �
x = 1�[ 0;2] .
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = - 8x + 8x ��
�

�=
x - 1�[ 0;2]
�
�f ( 0) = 10
�
�
�
� M = max f ( x) = 12; m= min f ( x) = - 6. Chọn B.
Ta có �f ( 1) = 12 ��
[ 0;2]
[ 0;2]
�
�
�
f
2
=
6
(
)
�
�
Câu 8. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
x2 + 3
f ( x) =
trên đoạn [ 2;4] .
x- 1
19
f ( x) = 6 . B. min f ( x) = - 2 . C. min f ( x) = - 3 .
A. min

D. min f ( x) = .
[ 2;4]
[ 2;4]
[ 2;4]
[ 2;4]
3
2
�
x
=
1
�
2;4
[
]
x - 2x - 3
��
� f '( x) = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) =
2
�
x = 3 �[ 2;4]
( x - 1)
�
�
�
�
f ( 2) = 7
�

�
�
�
� min ( x) = 6. Chọn A.
Ta có �ff( 3) = 6 ��
[ 2;4]
�
�
�
19
�
f ( 4) =
�
�
3
�
Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7).
Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE 7.
X 2 +3
Bước 2: Nhập f ( X ) =
.
X- 1
Start = 2
�
�
�
�
End = 4 .
Sau đó ấn phím = (nếu có g( X ) thì ấn tiếp phím = ) sau đó nhập �
�

�
�
Step
� = 0.2
End - Start
)
10
Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTNN:

(Chú ý: Thường ta chọn Step =

X
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8

f(X)
7
6.5333
6.2571
6.1
6.0222
6

6.0181
6.0666
6.1384
6.2285


4

6.3333

f ( x) = f ( 3) = 6.
Dựa vào bảng giá trị ở trên, ta thấy min
[ 2;4]
Câu 9. Tập giá trị của hàm số f ( x) = x +

9
với x �[ 2;4] là đoạn [ a;b] . Tính
x

P = b- a .
1
.
2
�
x = 3 �[ 2;4]
9
x2 - 9
� f '( x) = 0 � x2 - 9 = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 1- 2 =

2
�
x
x
x = - 3 �[ 2;4]
�
�
13
�
f ( 2) =
�
�
2
�
13
�
�
� min ( x) = 6; max f ( x) =
Ta có �ff( 3) = 6 ��
[ 2;4]
[ 2;4]
�
2
�
�
25
�
f
4
=

( )
�
�
4
�
� 13�
13
1
��
�[ a;b] = �
6; �
��
� P = b- a = - 6 = . Chọn D.
�
�
2
2
� 2�
A. P = 6 .

B. P =

13
.
2

C. P =

25
.

4

D. P =

2x2 + x +1
. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ
x +1
]
nhất m của hàm số trên đoạn [ 0;1.
Câu 10. Cho hàm số f ( x) =

B. M = 2; m= 1.

A. M = 2; m= 1.
C. M = 1; m= - 2.

D. M = 2; m= 2.
�f '( x) �0, " x �[ 0;1]
2x + 4x
�
Lời giải. Đạo hàm f '( x) =
.
2 . Ta có �
�
( x +1)
�f '( x) = 0 � x = 0
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên đoạn [ 0;1] .
�M = max f ( x) = f ( 1) = 2
�
[ 0;1]

�
. Chọn B.
Vậy �
�
m= min f ( x) = f ( 0) = 1
�
[ 0;1]
�
3x - 1
Câu 11. Cho hàm số f ( x) =
. Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất
x- 3
m của hàm số trên đoạn [ 0;2].
2

1
A. M = 5; m= .
3
1
C. M = ; m= - 5.
3
Lời giải. Đạo hàm f '( x) =

1
; m= - 5.
3
1
D. M = 5; m= - .
3
B. M = -

- 8

( x - 3)

2

. Ta có f '( x) < 0, " x �( 0;2) .

Suy ra hàm số f ( x) nghịch biến trên đoạn [ 0;2] .
1
�
�
M = max f ( x) = f ( 0) =
�
[ 0;2]
�
3 . Chọn C.
Vậy �
�
�
m
=
min
f
x
=
f
2
=

5
(
)
(
)
�
[ 0;2]
�


2
với x �[ 3;5] .
x
�
�
�
�
38 526�
38 142�
29 127�
29 526�
�
�
�
�
.
A. T = � ;
. B. T = � ;
.
C. T = � ;

D. T = � ;
.
�
�
�
�
�3 15 �
�
�3 5 �
�
�3 5 �
�
�3 15 �
�
2( x3 - 1)
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 2x - 22 =
> 0, " x �( 3;5) .
x
x2
[ 3;5]
Suy
ra
hàm
số
đồng
biến
trên
nên
Câu 12. Tìm tập giá trị T của hàm số f ( x) = x2 +

29
127
; max ( x) = f ( 5) =
.
3;5
[
]
3
5
�
29 127�
�
. Chọn C.
Vậy tập giá trị của hàm số là đoạn � ;
�
�3 5 �
�
4
Câu 13. Xét hàm số y = - x trên đoạn [- 1;2] . Khẳng định nào sau đây
x
đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là - 4 và giá trị lớn nhất là 2.
B. Hàm số có giá trị nhỏ nhất là - 4 và không có giá trị lớn nhất.
C. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất nhưng có giá trị lớn nhất là 2.
D. Hàm số không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
�lim- y = +�
�x�0
[ 1;2] và �
Lời giải. Vì 0 �nên hàm số không có giá trị lớn nhất và
�

�
lim+ y = - �
�
�x�0
không có giá trị nhỏ nhất. Chọn D.
Câu 14. Hàm số nào sau đây không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên
đoạn [- 2;2] ?
min f ( x) = ff( 3) =
[ 3;5]

A. y = x3 + 2 .

B. y = x4 + x2 .

Lời giải. Nhận thấy hàm số y =
Lại có lim+
x�- 1

C. y =

x- 1
.
x +1

D. y = - x +1 .

x- 1
[ 2;2].
không xác định tại x = - 1�x +1

x- 1
x- 1
= - �; lim= +� .
x�- 1 x +1
x +1

Do đó hàm số này không có giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên [- 2;2] . Chọn C.
Câu 15. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = x - 2 + 4- x.
A. M = 1.

B. M = 2.

C. M = 3.

D. M = 4.

Lời giải. TXĐ: D = [ 2;4] .
Đạo hàm f ( x) =

1
2 x- 2

1

-

2 4- x

��
� f '( x) = 0 � x = 3�[ 2;4].

�f ( 2) = 2
�
�
�
� M = 2. Chọn B.
Ta có �
�f ( 3) = 2 ��
�
�
�
�
�f ( 4) = 2
Câu 16. Cho hàm số f ( x) = 2x +14 + 5- x . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x = - 7.
B. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 6.
C. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 1.
D. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3.
Lời giải. TXĐ: D = [- 7;5] .
Đạo hàm f ( x) =

1
2x +14

-

1
2 5- x

��

� f '( x) = 0 � x = 1�[ 7;5].


�f ( - 7) = 2 3
�
�
�
� min ( x) = f ( - 7) = 2 3. Chọn D.
Ta có �
�ff( 5) = 2 6 ��
[- 7;5]
�
�
�
f
1
=
6
(
)
�
�
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất M

và giá trị nhỏ nhất m của hàm số

f ( x) = x 4- x .
2

A. M = 2; m= 0.

B. M = 2; m= -

C. M = 2; m= - 2.

D. M = 2; m= 0.

2.

x2

2
Lời giải. TXĐ: D = [- 2;2]. Đạo hàm f '( x) = 4- x -

4- x2

=

4- 2x2
4- x2

�
x = 2 �[ 2;2]
��
� f '( x) = 0 � 4- 2x2 = 0 � �
.
�
�=
x
2

�2;2
[
]
�
�f ( - 2) = 0
�
�
�
�
f - 2 =- 2
�
�
��
� M = 2; m= - 2. Chọn C.
Ta có �
�
f 2 =2
�
�
�
�
�
�
�f ( 2) = 0
Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x) = x + 2- x2 .

( )
( )

A. m= -

2.

B. m= - 1.

C. m= 1.

f�
( x) = 1- 2; 2�
.
Lời giải. TXĐ: D = �
�
�Đạo hàm
��
� f�
( x) = 0 �

(

D. m= 2.
x
2- x2

�x �0
� 2; 2�
= 1� 2- x2 = x � �
� x = 1�.
�
2
2

�
�
�
2
x
=
x
2- x
�
x

2

)

�f - 2 = - 2
�
�
�
�
��
� m= - 2. Chọn A.
Ta có �f ( 1) = 2
�
�
�
f 2 = 2
�
�
�

Câu
19.
Tìm
giá
trị
lớn
nhất

( )

M

của

hàm

số

f ( x) = x - 1+ 3- x - 2 - x + 4x - 3 .
2

A. M = 0.

B. M = -

C. M = 2.

2.

Lời giải. TXĐ: D = [1;3]. Đặt t = x - 1+ 3- x

(

)

9
D. M = .
4

2 �t �2

��
� t2 = x - 1+ 3- x + 2 x - 1 3- x ��
�- 2 - x2 + 4x - 3 = 2- t2.
2
Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g( t) = - t + t + 2
2;2�
''
trên đoạn �
� �.
2
2;2�
.
Xét hàm số g( t) = - t + t + 2 xác định và liên tục trên �
� �

(

)

( t) = - 2t +1< 0, " t � 2;2 .
Đạo hàm g�
�
.
Suy ra hàm số g( t) nghịch biến trên đoạn �
�2;2�

( )

g( t) = g 2 = 2 ��
� max f ( x) = 2. Chọn C.
Do đó max
�2;2�
[1;3]
�
�

�
�

Bình luận: Sau khi đọc xong lời giải trên sẽ có nhiều bạn đọc thắc mắc là tại
2;2�
sao biết được t ��
.
� �
Từ phép đặt ẩn phụ t = x - 1+ 3- x = h( x) .


( x) =
Đạo hàm h�

1
2 x- 1

-

1
2 3- x

��
� h�
( x) = 0 � x = 2 �[1;3].

�
h( 1) = 2
�
�
min h( x) = 2
�
�
�
�[1;3]
�
h( 2) = 2 ��
��
��
� 2 �h( x) �2 ��
� 2 �t �2.
Ta có �
�

�
max h( x) = 2
�
�
�
�
�[1;3]
h( 3) = 2
�
�
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = x + 2- x + 2 2x - x2 .
A. M = 2.

B. M = 4.

C. M = 2.

Lời giải. TXĐ: D = [ 0;2]. Đặt t = x + 2- x

(

D. M = 8.

)

2 �t �2 .

��
� t2 = x + 2 x 2- x + 2- x ��
� 2 2x - x2 = t2 - 2.

2
Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g( t) = t + t - 2 trên
2;2�
''
đoạn �
� �.
2
2;2�
.
Xét hàm số g( t) = t + t - 2 xác định và liên tục trên �
� �

(

)

( t) = 2t +1> 0, " t � 2;2 .
Đạo hàm g�
�
.
Suy ra hàm số g( t) đồng biến trên đoạn �
�2;2�
g( t) = g( 2) = 4 ��
� max f ( x) = 4. Chọn B.
Do đó max
�2;2�
[ 0;2]
� �
�

�

9
1
Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x) = 2cos3 x - cos2 x + 3cos x + .
2
2
A. m= - 24.
B. m= - 12.
C. m= - 9.
D. m= 1.
Lời giải. Đặt t = cos x ( - 1�t �1) .
Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
9
1
g( t) = 2t3 - t2 + 3t + trên đoạn [- 1;1] '' .
2
2
�
t = 1�[ 1;1]
�
2
�
� g'( t) = 0 �
.
Đạo hàm g'( t) = 6t - 9t + 3 ��
1
�
t = �[ 1;1]
�

� 2
�g( - 1) = - 9
�
�
�
� ��
1� 9
��
� min g( t) = g( - 1) = - 9 ��
� min f ( x) = - 9. Chọn C.
�=
Ta có �
�g�
�
�
x��
[- 1;1]
�
��
2� 8
�
�
�
�
�g( 1) = 1
sin x +1
Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) =
.
sin2 x + sin x +1
90

70
110
A. M = 1.
B. M = .
C. M =
D. M = .
.
91
79
111
Lời giải. Đặt t = sin x ( - 1�t �1) .
Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g( t) =

t +1
trên
t2 + t +1

đoạn [- 1;1] '' .
Đạo hàm g'( t) =

�
t = 0 �[ 1;1]
��
� g'( t) = 0 � - t2 - 2t = 0 � �
.
�
t = - 2 �[ 1;1]
�
( t2 + t +1)
- t2 - 2t

2


�
�
�
g( - 1) = 0
�
�
�
�
� max g( t) = g( 0) = 1��
� max f ( x) = 1. Chọn A.
Ta có �g( 0) = 1 ��
x��
[- 1;1]
�
�
�
2
�
g( 1) =
�
�
3
�
3
Câu 23. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = sin x + cos2x + sin x + 3 .
112

.
27
3
3
2
Lời giải. Ta có f ( x) = sin x + cos2x + sin x + 3 = sin x - 2sin x + sin x + 4 .
B. M = 5.

A. M = 0.

C. M = 4.

D. M =

Đặt t = sin x ( - 1�t �1) .
3
2
Khi đó, bài toán trở thành '' Tìm giá trị lớn nhất của hàm số g( t) = t - 2t + t + 4

trên đoạn [- 1;1] '' .
�
t = 1�[ 1;1]
�
�
� g'( t) = 0 �
.
Đạo hàm g'( t) = 3t - 4t +1��
1
�
t = �[ 1;1]

�
� 3
2

�g( - 1) = 0
�
�
�
��
� ��
1� 112
1� 112
112
� max g( t) = g�
� max f ( x) =
. Chọn D.
�
�
Ta có �
�g�
�
�
�= 27 ��
�= 27 ��
�
�
x��
[- 1;1]
�
��

��
3
3
27
�
�
�
�
�g( 1) = 4
3
Câu 24. Xét hàm số f ( x) = x + x - cosx - 4 trên nửa khoảng [ 0;+�) . Mệnh đề
nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có giá trị lớn nhất là - 5 nhưng không có giá trị nhỏ nhất.
B. Hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là - 5 .
C. Hàm số có giá trị lớn nhất là 5 và có giá trị nhỏ nhất là - 5 .
D. Hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
2
Lời giải. Ta có f '( x) = 3x +1+ sin x > 0, " x ��.
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên [ 0;+�) .
Khi đó hàm số không có giá trị lớn nhất nhưng có giá trị nhỏ nhất là
min f ( x) = f ( 0) = - 5 . Chọn B.
[ 0;+�)

2
Câu 25. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = - x - 4x + 5 trên đoạn

[- 6;6] .
A. M = 0.
B. M = 9.
C. M = 55.

D. M = 110.
2
Lời giải. Xét hàm số g( x) = - x - 4x + 5 liên tục trên đoạn [- 6;6] .
� g'( x) = 0 � x = - 2 �[ 6;6].
Đạo hàm g'( x) = - 2x - 4 ��
�
x = 1�[ 6;6]
2
Lại có g( x) = 0 � - x - 4x + 5 = 0 � �
.
�
x = - 5�[ 6;6]
�
Ta có
�g( - 6) =- 7
�
�
�
�
�g( - 2) = 9
��
� max f ( x) = max { g( - 6) ; g( - 2) ; g( 6) ; g( 1) ; g( - 5) } = 55.
�
[- 6;6]
[- 6;6]
�
g( 6) = - 55
�
�
�

�
�
�g( 1) = g( - 5) = 0
Chọn C.
Nhận xét. Bài này rất dễ sai lầm vì không để ý hàm trị tuyệt đối không âm.
2
Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = x - 3x + 2 - x trên đoạn

[- 4;4] .


A. M = 2.
B. M = 17.
C. M = 34.
D. M = 68.
Lời giải. Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên đoạn [- 4;4] .
2
● Nếu x �[1;2] thì x2 - 3x + 2 �0 nên suy ra f ( x) = - x + 2x - 2 .
�f ( 1) = - 1
� f '( x) = 0 � x = 1�[1;2]. Ta có �
.
Đạo hàm f '( x) =- 2x + 2 ��
�
�
�f ( 2) = - 2
[ 4;1] �[ 2;4] thì x2 - 3x + 2 �0 nên suy ra f ( x) = x2 - 4x + 2 .
● Nếu x ��f ( - 4) = 34
�
�
�

�f ( 1) = - 1
� f '( x) = 0 � x = 2 �[ 4;1] �[ 2;4]. Ta có �
Đạo hàm f '( x) = 2x - 4 ��
.
�
�
f ( 2) = - 2
�
�
�
�
�
�f ( 4) = 2
So sánh hai trường hợp, ta được max f ( x) = f ( - 4) = 34. Chọn C.

[- 4;4]

Câu 27. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên � và có bảng biến thiên
sau:
x
y'
y

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 1.
C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.
D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng - 1 và 1.
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên nhận thấy:
● f ( x) �2, " x �� và f ( 0) = 2 nên GTLN của hàm số bằng 2.

●

f ( x) �- 1, " x �� và vì

lim f ( x) = - 1 nên không tồn tại x0 �� sao cho

x�- �

f ( x0 ) = 1, do đó hàm số không có GTNN.
Chọn A.
Có thể giải thích cách khác: y' đổi dấu qua x = 0 và tồn tại y( 0) = 2 nên
giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 .
Câu 28. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên
tục trên � và có bảng biến thiên như sau:
x
y'
y

Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số có đúng một cực trị.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1.
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng - 1 .
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1.
Lời giải. Chọn D.


A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.
B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1 .
C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên �.
D Đúng.

Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau:
x
- �
0
- 1
1
+�
y'
+
+
0
0
0
y
+�
+�
- 3
- 4
- 4
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 4.
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng - 3.
D. Hàm số có một điểm cực tiểu.
Lời giải. Chọn B.
A sai vì hàm số có ba điểm cực trị là x = - 1; x = 0; x = 1.
C sai vì hàm số không có giá trị lớn nhất.
D sai vì hàm số có hai điểm cực tiểu là x = - 1 và x = 1.
Câu 30. Cho hàm số y = f ( x) và có bảng biến thiên trên [- 5;7) như sau:
x

y'
y

Mệnh đề nào sau đây là đúng?
f ( x) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [- 5;7) .
A. min
[- 5;7)
f ( x) = 6 và min f ( x) = 2 .
B. max
[- 5;7)
[- 5;7)
f ( x) = 9 và min f ( x) = 2 .
C. max
[- 5;7)
[- 5;7)
f ( x) = 9 và min f ( x) = 6 .
D. max
[- 5;7)
[- 5;7)
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, ta nhận thấy:
[ 5;7) .
● Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 2 , đạt tại x = 1��f ( x) �9, " x �[ 5;7)
�
/ [- 5;7) nên không tồn tại x0 �[ 5;7) sao cho
● Ta có �
. Mà 7 �
�
�
lim- f ( x) = 9
�

�x�7
f ( x0 ) = 9 . Do đó hàm số không đạt GTLN trên [- 5;7) .
f ( x) = 2 và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên [- 5;7) . Chọn A.
Vậy min
[- 5;7)


Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị

y

trên đoạn [- 2;4] như hình vẽ. Tìm giá trị
lớn nhất M

của hàm số y = f ( x)

2

trên
-2

đoạn [- 2;4.]
A. M = 2.
B. M = f ( 0) .

-1

1

x

O

C. M = 3.
D. M = 1.

4

2

-1
-3

Lời giải. Từ đồ thị hàm số y = f ( x)

y
3

trên đoạn [- 2;4] ta suy ra đồ thị hàm
số f ( x) trên [- 2;4] như hình vẽ.
f ( x) = 3 tại x = - 1.
Do đó max
[- 2;4]
Chọn C.

x

1
-2

-1

4

2

O

y

Câu 32. Cho hàm số y = f ( x) có đồ
thị như hình bên. Giá trị lớn nhất của
hàm số này trên đoạn [- 2;3] bằng:
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.

4
2

-3

-2

x

2

O

3

-2

Lời giải. Nhận thấy trên đoạn [- 2;3] đồ thị hàm số có điểm cao 4nhất có tọa độ

( 3;4) .

��
� giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;3] bằng 4. Chọn C.
y
Câu 33. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên
tục trên �, có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá
2
1
-1
-2
trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của hàm
O
số y = f ( x) trên đoạn [- 2;2] .
-1
A. m= - 5, M = 0.
-3
B. m= - 5, M = - 1.
C. m= - 1, M = 0.
D. m= - 2, M = 2.
5

Lời giải. Nhận thấy trên đoạn [- 2;2]

● Đồ thị hàm số có điểm thấp nhất có tọa độ ( - 2;- 5) và ( 1;- 5)
��
� giá trị nhỏ nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;2] bằng - 5.
● Đồ thị hàm số có điểm cao nhất có tọa độ ( - 1;- 1) và ( 2;- 1)
��
� giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [- 2;2] bằng - 1.
Chọn B.

x


Câu 34. Cho hàm số y = f ( x) xác định, liên tục trên
� 3�
�
- 1; �và có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Giá
�
� 2�
�
trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x)
� 3�
- 1; �là:
trên �
� 2�
�
�
7
A. M = 4, m= 1. B. M = , m= - 1.
2
7
C. M = 4, m= - 1. D. M = , m= - 1.

2
Lời giải. Chọn C.
Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên � và
có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là
sai?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số có GTLN là 2 và GTNN là - 2.
C. Hàm số đồng biến trên ( - �;0) và ( 2;+�) .

2

y

1

2

x

-1 O

-2

D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ( 0;2) &

( 2;- 2) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất. Chọn B.
Chú ý. Học sinh thường nhầm tưởng giá trị cực đại là giá trị lớn nhất, giá trị cực
tiểu là giá trị nhỏ nhất nên chọn B.

Câu 36. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên � và có đồ thị như hình sau:

y

2
x
-1 O

1

(I). Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0;1) .
(II). Hàm số đồng biến trên khoảng ( - 1;2) .
(III). Hàm số có ba điểm cực trị.
(IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2.
Trong các mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng?
A. 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4.
0;1
(
)
Lời giải. Xét trên
ta thấy đồ thị đi xuống (từ trái sang phải) nên hàm số
nghịch biến. Do đó (I) đúng
Xét trên ( - 1;2) ta thấy đồ thị đi lên, rồi đi xuống, rồi đi lên. Do đó (II) sai.
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy có ba điểm cực trị. Do đó (III) đúng.
Hàm số không có giá trị lớn nhất trên �. Do đó (IV) sai.
Vậy có 2 mệnh đề đúng. Chọn B.
Câu 37. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

f ( x) = x +

1
trên khoảng
x

( 0;+�) .
A. m= 2.

B. m= 0.

C. m= 2.

D. m= 1.


1
2
�
x = - 1�( 0;+�)
x2 = x - 1 ��
�
f
'
x
=
�
f
'

x
=
0
�
.
(
)
(
)
Lời giải. Đạo hàm
�
x = 1�( 0;+�)
1
1
2
�
2 x+
2x x +
x
x
Bảng biến thiên
1-

Từ bảng biến thiên ta tìm được giá trị nhỏ nhất của hàm số là f ( 1) = 2 . Chọn
A.
2
Câu 38. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số f ( x) = x2 +
trên khoảng
x
( 0;+�) .

A. m= 1.

B. m= 2.

C. m= 3.

D. m= 4.

2 2( x - 1)
Lời giải. Đạo hàm f �
��
� f�
( x) = 2x - 2 =
( x) = 0 � x = 1�( 0;+�) .
x
x2
Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy min f ( x) = f ( 1) = 3.
3

( 0;+�)

Chọn C.
Câu 39. Gọi yCT là giá trị cực tiểu của hàm số f ( x) = x2 +
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. yCT > min y. B. yCT = 1+ min y.
( 0;+�)

( 0;+�)

y.

C. yCT = (min
0;+�)

2
trên ( 0;+�) .
x

y.
D. yCT < (min
0;+�)

2 2x3 - 2
=
��
� f '( x) = 0 � x = 1�( 0;+�) .
x2
x2
Qua điểm x = 1 thì hàm số đổi dấu từ ''- '' sang ''+ '' trong khoảng ( 0;+�) .
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = 2x -

Suy ra trên khoảng ( 0;+�) hàm số chỉ có một cực trị và là giá trị cực tiểu nên
đó cũng chính là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vậy yCT = min y. Chọn C.
( 0;+�)

1
Câu 40. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số f ( x) = x trên ( 0;3].
x
8
3
A. M = 3.

B. M =
C. M = .
D. m= 0.
3
8
1
Lời giải. Đạo hàm f �
( x) = 1+ 2 > 0, " x �( 0;3) .
x
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên ( 0;3] nên đạt giá trị lớn nhất tại x = 3 và
8
max f ( x) = f ( 3) = . Chọn B.
( 0;3]
3
Câu 41. Biết rằng hàm số f ( x) = - x + 2018-

1
đạt giá trị lớn nhất trên đoạn
x

( 0;4) tại x0 . Tính P = x0 + 2018.
A. P = 4032.

B. P = 2019.

C. P = 2020.
D. P = 2018.
�
x
=

1
�
0;4
( )
1
� f '( x) = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = - 1+ 2 ��
�
x
x =- 1�( 0;4)
�
Lập bảng biến thiên & dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn
� P = 2019. Chọn B.
nhất trên ( 0;4) tại x = x0 = 1��


2
Câu 42. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f ( x) = - x + 4x - m có giá

trị lớn nhất trên đoạn [- 1;3] bằng 10.
A. m= 3.
B. m= - 6 .
C. m= - 7 .
D. m= - 8 .
� f '( x) = 0 � x = 2 �[ 1;3].
Lời giải. Đạo hàm f '( x) =- 2x + 4 ��
�f ( - 1) = - 5- m
�
�

�
� max f ( x) = f ( 2) = 4- m .
Ta có �f ( 2) = 4- m ��
[- 1;3]
�
�
�
�f ( 3) = 3- m
f ( x) = 10 � 4- m= 10 � m=- 6 . Chọn B.
Theo bài ra: max
[- 1;3]
x - m2
trên đoạn [ 0;1] bằng:
x +1
1- m2
C.
.
D. m2.
2

Câu 43. Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) =
A.

1+ m2
.
2

B. - m2 .

Lời giải. Đạo hàm f '( x) =

1+ m2

( x +1)

2

> 0, " x �[ 0;1] .

1- m2
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên [ 0;1] ��
� max f ( x) = f ( 1) =
. Chọn C.
[ 0;1]
2
x + m2
Câu 44. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên đoạn [- 1;0] bằng:
x- 1
m2 - 1
1- m2
A.
.
B. - m2 .
C.
.
D. m2.
2
2
- 1- m2

< 0, " x �[ 1;0] .
Lời giải. Đạo hàm y' =
2
( x - 1)
� min f ( x) = f ( 0) = - m2 . Chọn B.
Suy ra hàm số f ( x) nghịch biến trên [- 1;0] ��
[- 1;0]
3
2
Câu 45. Tìm giá trị thực của tham số a để hàm số f ( x) = - x - 3x + a có giá

trị nhỏ nhất trên đoạn [- 1;1] bằng 0.
A. a= 2.
B. a= 6 .

C. a= 0 .

D. a= 4 .
�
x
=
0
�[ 1;1]
2
� f '( x) = 0 � �
.
Lời giải. Đạo hàm f '( x) = - 3x - 6x ��
�
x =- 2 �[ 1;1]
�

�f ( - 1) = a- 2
�
�
�
��
� min f ( x) = f ( 1) = a- 4.
Ta có �f ( 0) = a
[- 1;1]
�
�
�
�f ( 1) = a- 4
Theo bài ra: min f ( x) = 0 � a- 4 = 0 � a = 4. Chọn D.
[- 1;1]

3
2
2
Câu 46. Cho hàm số f ( x) = x +( m +1) x + m - 2 với m là tham số thực. Tìm

tất cả các giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;2] bằng 7.
A. m= �1 .

B. m= � 7 .
C. m= � 2 .
2
2
f
'
x

=
3
x
+
m
+
1
>
0,
" x ��.
(
)
Lời giải. Đạo hàm

D. m= �3 .

� min f ( x) = f ( 0) = m2 - 2.
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên [ 0;2] ��
[ 0;2]
f ( x) = 7 � m2 - 2 = 7 � m= �3. Chọn D.
Theo bài ra: min
[ 0;2]
x - m2
với m là tham số thực. Tìm giá trị lớn nhất
x +8
của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;3] bằng - 2.
A. m= 4 .
B. m= 5 .
C. m= - 4 .
D. m= 1.

Câu 47. Cho hàm số f ( x) =


Lời giải. Đạo hàm y' =

8+ m2

( x + 8)

2

> 0, " x �[ 0;3] .

Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên đoạn [ 0;3] ��
� min f ( x) = f ( 0) = [ 0;3]

Thao bài ra: min f ( x) = - 2 � [ 0;3]

m2
.
8

2

m
=- 2 � m= �4 ��
� giá trị m lớn nhất là
8

m= 4.

Chọn A.
Câu 48. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y =

x+m
(với m là
x- 1

y = 3 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
tham số thực) thỏa mãn min
[ 2;4]
A. 3 < m�4.

B. 1�m< 3.
m+1
.
( x) = Lời giải. Đạo hàm f �
2
( x - 1)

( x) = TH1. Với m>- 1 suy ra f �

m+1

( x - 1)

2

< 0; " x �1 nên hàm số f ( x) nghịch

biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó min y = f ( 4) =

[ 2;4]

( x) =TH2. Với m<- 1 suy ra f �

D. m<- 1.

C. m> 4.

m+1

( x - 1)

2

m+ 4
= 3 � m= 5 (chọn).
3

> 0; " x �1 nên hàm số f ( x) đồng biến

y = f ( 2) = m+ 2 = 3 � m= 1 (loại).
trên mỗi khoảng xác định. Khi đó min
[ 2;4]
Vậy m= 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m> 4 . Chọn C.
x - m2 + m
Câu 49. Cho hàm số f ( x) =
với m là tham số thực. Tìm tất cả các
x +1
giá trị của m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 0;1] bằng - 2.
A. m= 1, m= 2.

B. m= 1, m= - 2.

Lời giải. Đạo hàm f '( x) =

2

m - m+1

( x +1)

2

C. m= - 1, m= - 2.

D. m= - 1, m= 2.

> 0, " x �[ 0;1.
]

� min f ( x) = f ( 0) = - m2 + m.
Suy ra hàm số f ( x) đồng biến trên [ 0;1] ��
[ 0;1]
�
m= - 1
f ( x) =- 2 � - m2 + m= - 2 � m2 - m- 2 = 0 � �
Theo bài ra: min
. Chọn D.
�
[ 0;1]

m= 2
�
x+m
Câu 50. (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y =
(với m là
x +1
16
tham số thực) thỏa mãn min y + max y =
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
[1;2]
[1;2]
3
A. 0 < m�2 .
B. 2 < m�4 .
C. m�0 .
D. m> 4 .
1- m
( x) =
Lời giải. Đạo hàm f �
2 .
x
( +1)
Suy ra hàm số f ( x) là hàm số đơn điệu trên đoạn [1;2] với mọi m�1.
m+1 m+ 2 16 5m 25
+
=
�
=
� m= 5 .
2

3
3
6
6
Vậy m= 5 là giá trị cần tìm và thỏa mãn điều kiện m> 4 . Chọn D.
Khi đó min y + max y = ff( 1) + ( 2) =
[1;2]

[1;2]


Câu 51. Cho hàm số f ( x) =

2 x +m
x +1

với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá

trị của m> 1 để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn [ 0;4] nhỏ hơn 3.

(

A. m�( 1;3) .

(

)

)

D. m�( 1;3].

B. m� 1;3 5 - 4 . C. m� 1; 5 .

Lời giải.
Đạo hàm f '( x) =

2- m x
2( x +1) x( x +1)

��
� f '( x) = 0 � x =

2
4
� x = 2 �[ 0;4], " m> 1.
m
m

�4 �
2
�
f ( x) = f �
�= m + 4.
Lập bảng biến thiên, ta kết luận được max
�
�
�
x�[ 0;4]
�

m2 �
Vậy ta cần có

(

)

m>1
m2 + 4 < 3 � m< 5 ���
� m� 1; 5 . Chọn C.

Câu 52. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích S thì hình chữ nhật
có chu vi nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
A. 2 S .
B. 4 S .
C. 2S .
D. 4S .
Lời giải. Gọi a, b> 0 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.
Diện tích của hình chữ nhật: S = ab .
2S
Chu vi hình chữ nhật: P = 2( a + b) = 2a + .
a
2S
Khảo sát hàm f ( a) = 2a+
trên ( 0;+�) , ta được min f ( a) = 4 S khi a = S .
a
Chọn B.
Cách 2. Ta có P = 2( a+ b) �2.2 ab = 4 ab = 4 S . Dấu '' = '' xảy ra � a = b .
Câu 53. Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi bằng 16 cm thì hình
chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng:

A. 36cm2 .
B. 20cm2 .
C. 16cm2 .
D. 30cm2 .
Lời giải. Gọi a, b> 0 lần lượt là chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật.
Theo giả thiết, ta có 2( a + b) = 16 � a + b = 8 .
2
Diện tích hình chữ nhật: S = ab = a( 8- a) = - a + 8a.

Khảo sát hàm f ( a) trên khoảng ( 0;8) , ta được max f ( a) = 16 khi a= 4 . Chọn C.

( a + b)

2

82
= 16cm2 .
4
4
Câu 54. (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh
12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau,
mỗi hình vuông có cạnh bằng x( cm) , rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới
đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn
nhất.
Cách 2. Ta có S = ab �

=

A. x = 6 .
B. x = 3 .

C. x = 2 .
D. x = 4 .
12
2
x
cm
( ) và chiều cao x( cm)
Lời giải. Hộp có đáy là hình vuông cạnh bằng
với 0 < x < 6 .
2

Do đó thể tích khối hộp V = ( 12- 2x) .x = 4x3 - 48x2 +144x .
3
2
f ( x) = f ( 2) = 128 .
Xét hàm f ( x) = 4x - 48x +144x trên ( 0;6) , ta được max
( 0;6)

Vậy với x = 2( cm) thể tích khối hộp lớn nhất. Chọn C.
Cách 2. Ta có


3

1
1�
4x +12- 2x +12- 2x�
2
�
V = x( 12- 2x) = .4x.( 12- 2x) .( 12- 2x) � �

�
�
�= 128.
�
�
4
4�
3
Dấu '' = '' xảy ra � 4x = 12- 2x � x = 2.
Câu 55. Tính diện tích lớn nhất Smax của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa
đường tròn có bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo
đường kính của đường tròn.
A. Smax = 80cm2. B. Smax = 100cm2. C. Smax = 160cm2.
D. Smax = 200cm2.
Lời giải. Đặt BC = x cm là độ dài cạnh hình chữ
nhật không nằm dọc theo đường kính của
đường tròn ( 0 < x < 10) . Khi đó độ dài cạnh hình
chữ nhật nằm dọc trên đường tròn là

C

D
x

AB = 2OB = 2. 102 - x2 cm.
��
� Diện tích hình chữ nhật:
A

S = 2x 102 - x2 cm2.

Khảo sát f ( x) = 2x 10 - x trên ( 0;10) , ta được
�
�
10 2�
�
�
max f ( x) = f �
= 100. Chọn B.
�
�
( 0;10)
�2 �
�
�
2

2

Cách 2. Ta có 2.x 102 - x2 �2.

O

B

10cm

x2 +( 102 - x2 )

= 100 .
2

Câu 56. Một mảnh vườn hình chữ nhật có
diện tích 961m2 , người ta muốn mở rộng
thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn
ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn
trùng với tâm của hình chữ nhật (xem hình
minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất Smin của 4
phần đất được mở rộng.
2
A. Smin = 961p - 961( m ) .

A

B
O

D

C

2
B. Smin = 1922p - 961( m ) .
2
C. Smin = 1892p - 946( m ) .
2
D. Smin = 480,5p - 961( m ) .

Lời giải. Gọi x( m) , y( m) ( x > 0, y > 0) lần lượt là hai kích thước mảnh vườn
hình chữ nhật; R ( m) là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn
x2 + y2
.

4
Theo đề bài, ta có xy = 961m2 .
��
� R 2 = OB2 =

Diện tích 4 phần đất mở rộng: S = Stron - SABCD = pR 2 - xy

( x2 + y2 )

2xy
- xy = 480,5p - 961. Chọn D.
4
4
Nhận xét. Dấu '' = '' xảy ra khi ABCD là hình vuông. Nếu phát hiện đều này thì
làm trắc nghiệm rất nhanh.
= p.

Cosi

- xy � p.


Câu 57. Cho một tấm nhôm hình
vuông cạnh 6cm. Người ta muốn cắt
một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng
x + y để diện tích hình thang EFGH
đạt giá trị nhỏ nhất.
A. x + y = 7.
B. x + y = 5.
C. x + y =

7 2
. D. x + y = 4 2 .
2

Lời giải. Ta có SEFGH nhỏ nhất � S = SD AEH + SD CGF +SD DGH lớn nhất (do SD BEF
không đổi).
( 1)
Tính được 2S = 2x + 3y +( 6- x) ( 6- y) = xy- 4x - 3y + 36.
� = CGF
�
Ta có EFGH là hình thang � AEH
AE AH
2 x
��
�D AEH ~D CGF ��
�
=
� = ��
� xy = 6.
CG
CF
y 3
�
18�
4x + �
�
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra 2S = 42- �
�
�.

�
�
x�
Để 2S lớn nhất khi và chỉ khi 4x +
Mà 4x +

( 2)

18
nhỏ nhất.
x

18
18
18
3 2
�2 4x. = 12 2. Dấu '' = '' xảy ra � 4x = � x =
� y=2 2 .
x
x
x
2

Chọn C.
Câu 58. Một ngọn hải đăng đặt ở vị trí A
cách bờ biển một khoảng AB = 5km . Trên bờ
biển có một cái kho ở vị trí C cách B một
khoảng là 7km. Người canh hải đăng có thể
chèo đò từ A đến vị trí M trên bờ biển với
vận tốc 4km/ h rồi đi bộ đến C với vận tốc

6km/ h. Vị trí của điểm M cách B một

A

khoảng gần nhất với giá trị nào sau đây để
B
người đó đến kho nhanh nhất?
A. 3,0km.
B. 7,0km.
C. 4,5km.
D. 2,1km.
�AM = x2 + 25km
�
��
.
Lời giải. Đặt BM = xkm ( 0 �x �7) ��
�
�
�MC = ( 7- x) km

M

C

2
Thời gian chèo đò từ A đến M là: tAM = x + 25 h.
4
7- x
h.
Thời gian đi bộ từ M đến C là: tMC =

6
��
� Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là

t = tAM + tMC =
Xét hàm số f ( x) =

x2 + 25 7- x
+
h.
4
6

x2 + 25 7- x
trên [ 0;7] , ta được
+
4
6

14 + 5 5
.
12
Vậy người đó đến kho nhanh nhất khi vị trí của điểm M cách B một khoảng
x = 2 5 �4,5km. Chọn C.

(

)

min f ( x) = f 2 5 =

[ 0;7]


Câu 59. Một sợi dây kim loại dài 60cm được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ
nhất uốn thành hình vuông cạnh a , đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn
a
bán kính r . Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số
r
bằng:

a
a
a
a
= 1.
B. = 2.
C. = 3.
D. = 4.
r
r
r
r
x
0
Lời giải. Gọi
là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn ( < x < 60) .
Suy ra chiều dài đoạn còn lại là 60- x .
x
x2
Chu vi đường tròn: 2pr = x � r =

��
� Diện tích hình tròn: S1 = p.r 2 =
.
2p
4p
2
�
60- x�
�
Diện tích hình vuông: S2 = �
�
�
�.
�
� 4 �
A.

Tổng diện tích hai hình: S =

( 4+ p) .x - 60p

x2 �
60+�
�
�
4p � 4

2
( 4 + p) .x2 - 120px + 3600p
x�

�
=
.
�
�
�
16p

60p
4+ p
; S '' =
>0.
4+ p
8p
60p
Suy ra hàm S chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại x =
.
4+ p
60p
Do đó S đạt giá trị nhỏ nhất tại x =
.
4+ p
60p
30
240
a 240
��
�r =
& a=
��

� =
= 2 . Chọn B.
Với x =
4+ p
r 120
( 4+ p)
( 4 + p) .4
Đạo hàm: S ' =

8p

; S'= 0 � x =

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, ta có
2
x2 �
60- x�
602
�
S=
+�
�
.
�
�
�
� 4 � 4p +16
4p �
x
60- x

60p
=
� x=
Dấu '' = '' xảy ra khi
.
4p
16
4+ p
Câu 60. Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài
12cm và chiều rộng 6cm. Thực hiện thao tác gấp góc
dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh
chiều dài còn lại. Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp
là bao nhiêu?
A. min L = 6 2 cm .
9 3
cm .
2
7 3
C. min L =
cm .
2
D. min L = 9 2 cm .
B. min L =

�
EF = a
��
Lời giải. Đặt EB = a > 0 như hình vẽ ��
.
�

�
�AE = 6- a
Trong tam giác vuông AEF có
� = 6- a ��
� = a- 6 (hai góc bù nhau).
cos AEF
� cos FEB
a
a
Ta có D BEG = D FEG


a- 6

� =
cos FEB
� = BEG
� = 1 FEB
� �����
� = a- 3.
a
��
� FEG
� cos FEG
2
a

Trong tam giác vuông EFG có EG =
Xét hàm f ( a) =
Chọn B.

EF
a3
.
=
�
a- 3
cos FEG

a3
9
9 3
với a> 3 , ta được min f ( a) đạt tại a = ��
� EG =
.
a- 3
2
2