bài tập trắc nghiệm về mặt cầu

THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Các em cần nhớ kiến thức cơ bản sau :
1)Cách xác định tâm mặt cầu ngoài tiếp các hình cơ bản , tứ diện , chop tứ giác , lăng trụ
2)Cách tính bán kính mặt cầu
3)Cách tính diện tích mặt cầu , thể tích khối cầu
Dạng 1 : Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thường .

1)Nếu tam giác ABC vuông , thì tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC sẽ là điểm E(trung điểm của BC)
2)Nếu tam giác ABC đều , thì tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC sẽ là giao điểm 3 đường trung tuyến

3)Nếu tam giác ABC thường thì tâm đường tròn ngoại tiếp
sẽ là giao của 3 đường trung trực

Trường hợp đặc biệt , nếu tam giác ABD vuông tại
A , tam giác BCD vuông tại C thì trung điểm I của BD
Sẽ là tâm mặt cầu ngoài tiếp tứ diện ABCD
Vì IA = IB = IC = ID

Dạng 2 : Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác S.ABCD , không phải chóp tứ giác nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp , việc này
còn phụ thuộc vào sự đặc biệt của hình ví dụ như sau :
+)Nếu SA vuông góc với đáy , ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Tứ giác ABCD , Vẽ trục Ox , trong mặt phẳng SAC ta kẻ trung trực của SA
Khi đó ta tìm được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

+)Nếu trục Ox không năm trong mặt phẳng (SAC) , (SBD) ta
Không tìm được mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD

Trường hợp đặc biệt 1 : Đáy là hình vuông , lại có góc ASC hay BSD

Là góc vuông thì ta sẽ có O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp
S.ABCD


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Trường hợp đặc biệt 2 : Chóp S.ABCD đều , ta xác định tâm I như sau
+)SO là trục
+)Trong mặt phẳng SAC ta dựng trung trực của SA ,cắt SO tại I
Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Trường hợp đặc biệt 3 :
Nếu ta có góc SAC , SBC , SDC là góc vuông thì trung điểm I
Của SC chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp chop tứ giác S.ABCD

Dạng 3 : Tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng
O,O’ lần lượt là tâm của 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC , A’B’C’
I là trung điểm của OO’ . Khi đó
Là điểm I , vì có IA = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’

Câu 1 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 0. Biết hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC.
Bài giải:

+Gọi H là trung điểm BC
=> A’H ⊥ (ABC)
=> góc A’AH bằng 300.
a 3
Ta có:AH =

; A’H = AH.tan300 = a/2.
2
a2 3
SABC =
.
4
a3 3
V = S ABC . A' H =
.
8
Tìm bán kính mặt cầu : Ngoại tiếp tứ diện A’ABC

+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E
+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I là tâm m/c ngoại tiếp tứ diện
A’ABC và bán kính R = IA.
Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6.


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

a 3
6
a 3
AF2 + FI 2 =
3

IF = EF.tan600 =
R=

Câu 2 Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân tại A , BC = 2a 2 , cos( ACB ) =

1
. Tính
3

thể tích của khối chóp S. ABC , xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC .
Bài giải:
Tính thể tích của khối chóp S. ABC

2 2
; tan C = 2 2; CM = a 2; AM = CM .tan C = 4a
3
1
1
8a 3 2
2
S ∆ABC = AM .BC = 4a 2 ⇒ VS . ABC = SA.S ∆ABC =
2
3
3
12 2 4 2
sin A = sin 2C = 2sin C.cos C = 2
=
3 3
9
BC
9a
=
Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có 2 R =
sin A 4

Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC .
sin C =

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R.
Dựng ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn tại J khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp
SABC
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC khi đó

r = JA = JB = JS = JC = IA2 + AN 2 =

a 97
4

97π .a 2
4
Câu 3 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′ B′ C′ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện
Diện tích mặt cầu cần tính là S = 4π .r 2 =

tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Bài giải:
Thể tích lăng trụ là: V = AA '.SABC = a. a

2 3 a3 3
=
4
4

Gọi O, O′ lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, ∆A ' B'C '
khi đó tâm của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình lăng trụ đều ABC.A′ B′ C′
là trung điểm I của OO′ . Mặt cầu này có bán kính là:

R = IA = AO 2 + OI2 =

7π a 2
a 21
⇒ S = 4π R 2 =
3
6

Câu 4 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Gọi M là trung điểm của AD và N là tâm của hình vuông
CC’D’D. Tính thể tích của khối cầu đi qua 4 đỉnh M, N, B, C’ và khoảng cách giữa 2 đường thẳng A’B’ với MN.
Bài giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, sao cho D trùng với gốc tọa độ O, A ∈ Ox, C ∈ Oy và D' ∈ Oz , khi đó ta có:

D(0;0;0),C(0;2;0),B(2;2;0),A(2;0;0)
D'(0;0;2),C'(0;2;2),B'(2;2;2);A'(2;0;2)
M là trung điểm của AD nên M(1;0;0)


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

N là trung điểm của CD’ nên N(0;1;1)
Gọi phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) đi qua 4 điểm B, C’, M, N có dạng là:

(S):x 2 + y 2 + z 2 − 2ax − 2by − 2cz + d = 0
Vì mặt cầu (S) đi qua 4 điểm B, C’, M, N nên ta có hệ phương trình:

8 − 4a − 4b + d = 0
6 − 4b + 2a − 1 = 0
8 − 4b − 4c + d = 0

8 − 4b − 4c + 2a − 1 = 0


⇔

1 − 2a + d = 0
 d = 2a − 1
2 − 2b − 2c + d = 0
2 − 2b − 2c + 2a − 1 = 0
5

a = 2
2a − 4b + 5 = 0

5
2a − 4b − 4c + 7 = 0

b =
⇔
⇔
2
2
a
−
2
b
−
2
c
+

1
=
0


1
d = 2a − 1
c =
2

 d = 4
2

2

2

35
5 5 1
Bán kính của mặt cầu cần tìm là R = a + b + c − d =  ÷ +  ÷ +  ÷ − 4 =
2
2 2 2
2

2

2

Thể tích của khối cầu đi qua bốn đỉnh B, C’, M, N là:
3

4
4  35  35 35π
(đvtt)
V = π R 3 = π 
÷ =
3
3  2 ÷
6

Tính: d[ DB ', MN ] = ?
Ta có:

uuuuu
r
A ' M = (−1;0 − 2)
uuuuu
r
uuuuu
r uuuu
r
A ' B ' = (0;2;2) 
uuuu
r
 ⇒  A ' B ', MN  = (2;0;2)
MN = (−1;1;1) 
uuuuu
r uuuu
r uuuuu
r

 A ' B ', MN  . A ' M = 2( −1) + 0 + 2( −2) = 6


uuuuu
r uuuu
r
 A ' B ', MN  = 02 + 22 + 22 = 2 2



Khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B’ với MN được xác định bởi d[ A ' B '; MN ]

uuuuu
r uuuu
r uuuuu
r
 A ' B ', MN  . A ' M
6
3 2


=
=
=
(đvđd)
uuuuu
r uuuu
r
2
2 2

 A ' B ', MN 



·
Câu 5 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a , AA' = 2a 5 và BAC
= 1200 . Gọi K là trung điểm
của cạnh CC’.
1. Tính thể tích khối chóp A.A'BK .
2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’A 'BK.
3. Gọi I là trung điểm của BB', tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (A’BK)
Bài giải:
Tính thể tích khối chóp A.A'BK
Do CK / / ( AA ' B ) nên ta có:
VA. A ' BK = VK . AA ' B = VC . AA ' B
1
= VA '. ABC = S ABC . AA '
3


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

1
a2 3
AB. AC sin1200 =
2
2
2
3
1 a 3

a 15
Vậy VA. A ' BK = .
.2a 5 =
3 2
3
Mà S ABC =

Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'B'BK .

·
Ta chứng minh trung điểm của A’B là tâm mặt cầu do BAA
' = ·A ' KB = ·A ' B ' B = 900
∆ABC có: BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos1200 = 7a 2

(

BK 2 = BC 2 + CK 2 = 7a 2 + a 5

)

2

= 12a 2

A ' K 2 = A ' C '2 + C ' K 2 = 4a 2 + 5a 2 = 9a 2 ,
A ' B 2 = A ' A2 + AB 2 = 20a 2 + a 2 = 21a 2
Suy ra A ' B 2 = A ' K 2 + BK 2 ⇒ ∆A ' BK vuông tại K.
Ta có ·A ' KB = ·A ' B ' B = 900 ⇒ 4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính R =

1
a 21
A' B =
2
2

Tính khoảng cách từ I đến mp (A’BK)
Vì I là trung điểm của BB ' ⇒ d ( I , ( A ' BK ) ) =

(

Do E là trung điểm của AB ' ⇒ d B ', ( A ' BK )
Tam giác A’BK có BK ⊥ A ' K ⇒ S A ' BK =

)

1
d ( B ', ( A ' BK ) )
2
= d ( A, ( A ' BK ) )

1
1
A ' K .BK = .3a.2a 3 = 3a 2 3
2
2

1
S A ' BK .d ( A, ( A ' BK ) )
3

3VA. A ' BK a 3 15 a 5
d ( A, ( A ' BK ) ) =
= 2
=
S A ' BK
3
3a 3

Có VA. A ' BK =

(

)

Vậy d I , ( A ' BK ) =

1a 5 a 5
=
2 3
6

Câu 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) bằng 60 0. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
Bài giải:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ ( ABCD )
Kẻ AM ^ SB ( M Î SB )

AC ^ ( SBD) ⇒ AC ^ SB
SB ^ AM
Vì ⇒ SB ^ ( AMC ) ⇒ SB ^ CM

⇒ ( ( SAB ) , ( SBC ) ) = ( AM , CM ) = 60o

{

Vì ∆BOM vuông tại M nên OM < BO = AO
Suy ra: tan ·AMO =

AO
> 1 ⇒ ·AMO > 45O ⇒ ·AMC > 90O
MO

·AMO = 120o
AO
AO
a 6
Ta có : tan ·AMO =
⇒ MO ⇒
=
o
MO
tan 60
6
1
1
1
a
=
+
⇒ SO =
Trong tam giác vuông SBO ta có:

2
2
2
MO
SO
BO
2
Vậy


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Vậy VS . ABCD =

1
a3
SO.S ABCD =
3
6

Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực của SB căt SO tại I
vì I Î SO ⇒ IB = IC = ID
vì I thuộc trung trực của SB ⇒ IS = IB
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD

3a 2
a 3
⇒ SB =
4
2

Ta có
SI SH
SB.SH 3a
∆SHI ~ ∆SOB ( gg ) ⇒
=
⇒ SI =
=
SB SO
SO
4
3a
Vậy bán kính mặt cầu R =
4
SB 2 = SO 2 + OB 2 =

Câu 7 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a, hình chiếu vuông góc của B lên mặt
phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm của A’C’. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và (CDD’C’) bằng

21
.
7

tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
Bài giải:

*) Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’B’D’ suy ra

.

Do đó A’B’C’, A’C’D’ là các tam giác đều cạnh a 3 .

Gọi O = A ' C '∩ B 'D' , Ta có BO ⊥ ( A ' B ' C ' D ') .
Kẻ OH ⊥ A ' B ' tại H, suy ra A ' B ' ⊥ (BHO) . Do đó(

2
⇒ BO = HO.tan
= 3

Từ cos
Vậy VABCD . A 'B'C'D' =

=

A ' O.sin 600.

2
a 3
=
2
3

a 3
9a 3
.
.a 3.a 3. sin 600 =
2
4

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’.
Vì BO =

a 3 1
= A ' C ' nên tam giác A’BC’ vuông tại B
2
2

Vì B'D' ⊥ (A'BC') nên B’D’ là trực đường tròn ngoại tiếp tam giác A’BC’.
Gọi G là tâm của tam giác đều A’C’D’. khi đó GA’ = GC’ = GD’ và GA’ = GB = GC’ nên G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diên
A’BC’D’. mặt cầu này có bán kính R = GD’ =

2
2 3a
OD ' = . = a .
3
3 2

Câu 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc giữa đường thẳng
SC tạo với mặt phẳng (SAB) bằng 300. Gọi M là trung điểm của SA, (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với SC. Mặt
phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, E, F. Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF và bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.MNEF.
Bài giải:
Tính theo a thể tích khối chóp S.MNEF
Từ giả thiết ta có:


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

BC ⊥ AB 
0
·
 ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BSC = 30

BC ⊥ SA 
là góc giữa SC với mp(SAB)
Từ đó:

SB = BC.cot 300 = a 3

SA = SB 2 − AB 2 = a 2
SB ⊥ ( P ) tại E nên thể tích khối chóp S.MNEF
được xác định bởi: V =

1
S MNEF .SE
3

Do SA ⊥ AC và SA = AC = a 2 , nên ∆SAC vuông cân tại A ⇒ ∆SEM vuông cân tại E ⇒ SE =
Ta có:

MN ⊥ CS ( do SC ⊥ ( P ) )

SM a
=
2 2


 ⇒ MN ⊥ ( SBC ) ⇒ MN ⊥ NE , MN ⊥ SB
MN ⊥ BC ( do BC ⊥ ( SAB ) ) 

⇒ S MNE =

1

1 a 6 a 3 a2 2
MN . NE =
.
=
2
2 6
6
24

Hoàn toàn tương tự ta cũng có MF ⊥ EF và S MEF =
1
3

Vậy V = S MNEF .SE =

a2 2
a 2
⇒ S MNEF =
24
12

a3 2
(đvtt)
72

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF.

MN ⊥ SE 
 ⇒ MN ⊥ ( SNE ) ⇒ MN ⊥ SN . Tương tự MF ⊥ SF
MN ⊥ NE 

Từ đó ∆SNM, ∆SEM và ∆SFM là 3 tam giác vuông nhận SM là cạnh huyền chung. Suy ra nếu gọi I là trung điểm của SM
thì I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.MNEF và bán kính mặt cẩu là R =

1
a 2
SM =
2
4

·
Câu 9 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ABC
= 900 , AB = a, BC = a 3, SA = 2a . Chứng minh trung điểm I của cạnh SC
là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp so sánh S.ABC và tính diện tích mặt cầu đó theo a.
Bài giải:

·
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ ( ABC ) , ABC
= 900 , AB = a, BC = a 3, SA = 2a . Chứng minh trung điểm I của cạnh SC là
tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC và tính diện tích mặt cầu đó theo a.
Vì SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC

Mặt khác theo giả thiết AB ⊥ BC , nên BC ⊥ ( SAB ) và do đó BC ⊥ SB
==>IB = IC = IS
Ta có tam giác SBC vuông đỉnh B; tam giác SAC vuông đỉnh A nên

IA = IC =

SC
= IS = IC ( *)

2

Vậy điểm I cách đều bốn đỉnh của hình chóp, do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp của
hình chóp S.ABC
Từ (*) ta có bán kính của mặt cầu là R =

SC
2


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Ta có AC =

AB 2 + BC 2 = 2a

SC = SA2 + AC 2 = 2 2a ⇒ R = a 2
Diện tích mặt cầu là 4π R 2 = 8π a 2
Câu 10: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, đỉnh A’ cách đều A, B, C. Góc giữa cạnh bên và
mặt đáy của lăng trụ bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp A’.ABC.
Bài giải:
Xác định góc 600:
+Gọi H là hình chiếu của A’ lên (ABC) suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
+AH là hình chiếu của AA’ lên (ABC), suy ra
Tính thể tích lăng trụ:
+∆ABC đều cạnh a nên
Suy ra:
Xác định tâm mặt cầu:
+Gọi P là trung điểm AA’. Kẻ đường trung trực d của AA’ trong (A’AH), d cắt A’H tại I.

+I ∊ d => IA’ = IA, I∊ A’H =>IA = IB = IC =>là tâm mặt cầu cần tìm.
Tính bán kính R:
Câu 11 Cho hình chop S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành tâm O, AB=2a, AD= 2a 3 ,các cạnh bên bằng nhau và
bằng 3a. Gọi M là trung điểm của OC. Tính theo a thể tích khối chop S.ABMD và diện tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện
SOCD.
Bài giải:
Ta có: SA = SB = SC = SD = 3a  SO ⊥ ( ABCD )

VSOA =VSOB =VSOC =VSOD
 OA = OB = OC = OD
 ABCD là hình chữ nhật

 S ABCD = AB. AD = 2a.2a 3 = 4a 2 3
Có: DB = AB 2 + AD 2 = 4a
 SO = SB 2 − OB 2 = a 5

1
3

1
3

 VS . ABCD = .SO.S ABCD = .a 5.4a 2 3 =

3
4

4a 3 15
3

 VS . ABMD = VS . ABCD = a 3 15
Gọi G là trọng tâm

VOCD , do VOCD

đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp VOCD

Kẻ d qua G và song song với SO  d ⊥ ( ABCD )
Trong mp(SOG) dựng đường trung trực của SO, cắt d tại K, cắt SO tại I
Ta có: KI là trung trực SO  KO = KS
Mà KO = KC = KD  K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SOCD
2

Có: GO =

2
CD 2a
 a 5   2a 
a 93
=
, R = KO = OI 2 + OG 2 = 
=
÷ +
÷
3
3
6
 2   3

2

 a 93  31a 2π
 Diện tích mặt cầu : S = 4π R = 4π 
÷ =
6
3


2

Câu 12 Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a 3 , góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt
phẳng (ABCD) bằng 600, tam giác SAB cân tại S thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, M lần lượt là
trung điểm của AB và BC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM.
Bài giải:


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) và ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) . Kẻ HF ⊥ AC khi đó góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt đáy

1
h , h là độ dài đường cao kẻ từ B của ∆ABC ,
2
3a
AB.BC a 3
a 3
0
. Ta có SH = HF .tan 60 =
. Gọi I, r là tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp
h=

=
⇒ HF =
4
AC
2
4
HM .MD.DH
∆DHM ⇒ r =
.
4 S HMD

·
bằng SFH
= 600 . Ta có HF =

Kẻ đường thẳng d đi qua I vuông góc với mp(ABCD) (song song với SH).
Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM là giao điểm của đường thẳng d với đường trung trực của đoạn thẳng SH
trong mặt phẳng (SH).
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.DHM là R = OH = OI 2 + HI 2 =

uuuur uuur uuuu
r r
HM = BH + BM = a ⇒ HM = a
7
a 7
MD 2 = CM 2 + CD 2 = a 2 ⇒ MD =
2
2
13
a 13

HD 2 = AH 2 + AD 2 = a 2 ⇒ HD =
4
2
3a 2 3
S HMD = S ABCD − ( S BHM + SCMD + S ADH ) =
8
HM .MD.DH a 91
=
Suy ra r =
( 2)
4.S HMD
6 3
Từ (1) và (2) suy ra R =

1
9 2 2
SH 2 + r 2 =
a +r
4
64

(1).

9 2 91 2 a 1699
a +
a =
64
108
24 3

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a 3 , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách giữa AB và
SC bằng

2a 2
. Tính theo a
3

a) Thể tích của khối chóp S.ABC
b) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài giải:
a) Gọi H là trung điểm của BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) .

Dựng hình chữ nhật ABCD ⇒ d ( AB; SC )

= d ( B; ( SCD ) ) = 2d ( H ; ( SCD ) ) .

Gọi E là trung điểm của CD ⇒ CD ⊥ ( SHE ) .

Gọi F là hình chiếu của H lên SE ⇒ HF ⊥ ( SCD ) ⇒

d ( H ; ( SCD ) ) = HF ⇒ HF =
Trong ∆HSE có SH = a 2

1
a3 6
VS . ABC = SH × S ABC =
3
6
Ta có SH là trục của ∆ABC.

a 2
3


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Gọi I là trung điểm của SC, trong (SHC) dựng trung trực của SC
cắt SH tại K ⇒ K là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
Ta có ∆HSC ~ ∆ISK ⇒ SK =

SC 2
3a 2
⇒ SK =
2 SH
4

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng

3a 2
4

KHÔNG ĐÁP ÁN

Câu 1 ( THPT Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 – Năm học 2012/2013 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.
1)Chứng minh rằng AM ^ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP
2)Xác định tâm và tính bán kinh mặt cầu ngoài tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu 2 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phằng (SAB) vuông góc với mặt

phằng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Câu 3 ( THPT Chuyên KHTN Hà Nội – Lần 1 – Năm học 2015/2016 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A trong đó AB = AC = a,

; mặt bên SAB là

tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và bán kính mặt
cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Câu 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và đường cao đều bằng a.
1) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
2) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

CÓ ĐÁP ÁN
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 .
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
27 2
πa
32
27 2
πa
B.
8
32 2
πa
C.
27

A.

THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

D.

8
π a2
27

Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 0.
Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC là:
a
3
B. a 3
1
C. a 3
2
a 3
D.
3

A.

Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân tại A ,

BC = 2a 2 ,

1
cos( ACB) = .
3

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
97π .a 2
9
94π .a 2
B.
9
97π .a 2
C.
4
47π .a 2
D.
2
A.

·
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a , AA' = 2a 5 và BAC
= 1200 . Gọi K là
trung điểm của cạnh CC’.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’BK là:
a 21
7
a 21
B.
3
a 3
C.
27
a 21
D.
2

A.


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
a 7
3
a 21
B.
7
a 21
C.
3
D. a 21

A.

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) bằng
600.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là:
a
4
3a
B.
4
3a

C.
2
3a
D.
8

A.

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a, hình chiếu vuông góc
của B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm của A’C’. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và
(CDD’C’) bằng

21
.
7

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ là:
A. 2a
B. a
C. 3a
a
D.
2
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a 3 , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách
giữa AB và SC bằng

2a 2
.
3

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

a 2
4
3a 2
B.
2
a 2
C.
2
3a 2
D.
4

A.

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền trong của tam giác
ABC. Biết AB = 6, AC = 8; BC = 10, các góc giữa các mặt bên với mặt đáy đều bằng nhau và bằng 600.
Bán kính của mặt cầu đi qua đỉnh S và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC là:
2 3
3
B. 4 3
C. 2 3

A.

D.

4 3
3

LỜI GIẢI
Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a 3 .
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
27 2
πa
32
27 2
πa
F.
8
32 2
πa
G.
27
8
π a2
H.
27

E.

+) SH là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trong mặt phẳng (SAH) kẻ đường
trung trực của cạnh SA cắt SH tại I => I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có
bán kính R = IS. Hai tam giác vuông SMI và SHA đồng dạng => SI =
2
+) Diện tích mặt cầu là: S = 4π R =

27 2
πa .
8

SM .SA 3 6
=
a
SH
8


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

…
Bài 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều có cạnh bằng a, cạnh bên tạo với đáy góc 30 0.
Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’ABC là:
a
3
F. a 3
1
G. a 3
2
a 3
H.
3

E.

+ Gọi G là tâm của tam giác ABC, qua G kẻ đt (d) // A’H cắt AA’ tại E
+ Gọi F là trung điểm AA’, trong mp(AA’H) kẻ đt trung trực của AA’ cắt (d) tại I => I là tâm m/c ngoại tiếp
tứ diện A’ABC và bán kính R = IA.
Ta có: Góc AEI bằng 600, EF =1/6.AA’ = a/6.
IF = EF.tan600 =
R=

a 3
6

AF2 + FI 2 =

a 3
3

A’

E
F
H

A

G

I

Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a , tam giác ABC cân tại A ,

1

cos( ACB) = .
3
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:

BC = 2a 2 ,


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

97π .a 2
9
94π .a 2
F.
9
97π .a 2
G.
4
47π .a 2
H.
2
E.

sin A = sin 2C = 2sin C.cos C = 2

12 2 4 2
=
3 3
9

Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có 2 R =

BC 9a
=
sin A 4

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có IA = R. Dựng ngoại tiếp tam giác
ABC. Mặt phẳng trung trực SA cắt trục đường tròn tại J khi đó J chính là tâm mặt cầu
ngoại tiếp SABC
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABC khi đó
r = JA = JB = JS = JC = IA2 + AN 2 =

a 97
4

Diện tích mặt cầu cần tính là S = 4π .r 2 =

97π .a 2
4

S

J

A

C
I

M

B
·
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB = a, AC = 2a , AA' = 2a 5 và BAC
= 1200 . Gọi K là
trung điểm của cạnh CC’.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’BK là:
E.

a 21
7


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

a 21
3
a 3
G.
27
a 21
H.
2

F.

∆ABC có: BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC .cos1200 = 7a 2

(

BK 2 = BC 2 + CK 2 = 7a 2 + a 5

)

2

= 12a 2

A ' K 2 = A ' C '2 + C ' K 2 = 4a 2 + 5a 2 = 9a 2 ,
A ' B 2 = A ' A2 + AB 2 = 20a 2 + a 2 = 21a 2
Suy ra A ' B 2 = A ' K 2 + BK 2 ⇒ ∆A ' BK vuông tại K.
Ta có ·A ' BK = ·A ' B ' B = 900 ⇒ 4 điểm A’, B, K, B’ nằm trên mặt cầu đường kính A’B. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện A’B’BK có tâm E là trung điểm A’B và bán kính R =

1
a 21
A'B =
2
2

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là:
a 7
3
a 21
F.
7
a 21
G.
3

H. a 21

E.

AC ∩ BD = { O} ⇒ O là tâm đường trong ngoại tiếp hình vuôngABCD. Dựng Ot / / SH thì Ot là trục đường
tròn (ABCD). Gọi G là trọng tâm ∆SAD trong mặt phẳng (SH,Ot) dưng Gl / / OH ⇒ Gl là trục đường tròn

( SAD ) .Gl ∩ Ot = { I } ⇒ I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2

2
a 21
Gọi bán kính mặt cầu là R ⇒ R = IS = OH + SG = a +  a 3 ÷ =
3
3

2

2

2

Bài 6 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) bằng
600.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD là:
E.

a

4


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

3a
4
3a
G.
2
3a
H.
8

F.

Trong mặt phẳng (SBD) kẻ trung trực của SB căt SO tại I
vì I Î SO ⇒ IB = IC = ID
vì I thuộc trung trực của SB ⇒ IS = IB
Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD
3a 2
a 3
⇒ SB =
4
2
Ta có
SI SH
SB.SH 3a
∆SHI ~ ∆SOB ( gg ) ⇒
=

⇒ SI =
=
SB SO
SO
4
SB 2 = SO 2 + OB 2 =

Vậy bán kính mặt cầu R =

3a
4

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 3 , BD = 3a, hình chiếu vuông góc
của B lên mặt phẳng (A’B’C’D’) là trung điểm của A’C’. biết rằng côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABCD) và
(CDD’C’) bằng

21
.
7

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A’BC’D’ là:
E. 2a
F. a
G. 3a
a
H.
2

Vì BO =

a 3 1
= A ' C ' nên tam giác A’BC’ vuông tại b. vì B'D' ⊥ (A'BC') nên B’D’ là trực đường tròn ngoại tiếp
2
2

tam giác A’BC’. Gọi G là tâm của tam giác đều A’C’D’. khi đó GA’ = GC’ = GD’ và GA’ = GB =GC’ nên G là tâm
2
2 3a
mặt cầu ngoại tiếp tứ diên A’BC’D’. mặt cầu này có bán kính R = GD’ = OD ' = . = a .
3
3 2


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN

Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a 3 , AC = a, SA=SB=SC, khoảng cách
giữa AB và SC bằng

2a 2
.
3

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là:
a 2
4
3a 2
F.
2
a 2
G.

2
3a 2
H.
4

E.

b) Ta có SH là trục của ∆ABC. Gọi I là trung điểm của SC, trong (SHC) dựng trung trực của SC cắt SH tại K ⇒ K
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
SC 2
3a 2
∆
HSC
~
∆
ISK
⇒
SK
=
⇒ SK =
Ta có
2 SH
4
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng

3a 2
4

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng (ABC) thuộc miền trong của tam giác
ABC. Biết AB = 6, AC = 8; BC = 10, các góc giữa các mặt bên với mặt đáy đều bằng nhau và bằng 600.

Bán kính của mặt cầu đi qua đỉnh S và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC là:
2 3
3
F. 4 3
G. 2 3

E.

H.

4 3
3

Gọi I là tâm mặt cầu đi qua đỉnh S và tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC. Khi đó ta phải có IM=IN=IP=IS, suy
ra I là giao điểm của SM với đường trung trực của cạnh SM trong ΔSMO, hay I là trọng tâm tam giác đều SMM’ với
M’ đối xứng M qua O.
Từ đó bán kính mặt cầu cần tìm IM =

2OM 4 3
=
3
3


THẦY MẪN NGỌC QUANG – QSTUDY.VN