xác định số hạng tổng quát của dãy số

1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT.

 un 

u  3un 2  2
xác định bởi u1  1 và n 1
với mọi n �1 .
u 
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số n .

Bài 1. Cho dãy số

2
2
2
2
b) Tính tổng S  u1  u2  u3  ...  u2011 .

Hướng dẫn giải
*
a) Dễ thấy un  0, n �N .

Từ

un 1  3un2  2 � un21  3un2  2

.

2
v  3vn  2 � vn 1  1  3  vn  1
Đặt vn  un thì có: n 1

.

x 
Đặt xn  vn  1 thì ta có: xn 1  3 xn . Từ đây suy ra n là cấp số nhân với x1  2 , công bội là 3.
n 1
n 1
n 1
Nên: xn  2.3 � vn  2.3  1 � un  2.3  1 .
0
1
2
2010
b) S  2.3  2.3  2.3  ...  2.3  2011 .

 2  30  31  32  ...  32010   2011



2  32011  1
3 1

 2011

.

 32011  2012 .

 un 

n

được xác định bởi u1  1 và un 1  un  2 với mọi n �1 .
n
a) Chứng minh rằng: un  2  1 .

Bài 2. Cho dãy số

b) Tính tổng S  u1  u2  u3  ...  un theo n .
Hướng dẫn giải
1
2
a) Khi n  1 : u2  u1  2  1  2  2  1 đúng.
k
Giả sử uk  2  1 đúng với k �1, k �N .
k 1
Ta chứng minh: uk 1  2  1 .
k
k
k
k 1
Thật vậy: uk 1  uk  2  2  1  2  2  1 .

b)
S  2.

S   21  1   22  1  ...   2 n  1  21  2 2  ...  2n  n

.

2n  1
 n  2n 1  n  2

2 1
.

�
u1  2
�
�
u  2 1
un 1  n
�
1  ( 2  1)un
Bài 3. Cho dãy số(un) xác định như sau: �

(n �1, n ��)
.


a) Chứng minh:

tan


 2 1
8
.

b) Tính: u2015 .
Hướng dẫn giải.



2 tan



�
�
8
1  tan  tan �  �
4
�8 8 � 1  tan 2  � tan 2   2 tan   1  0
8
8
8
a) Ta có:
.
� 
tan  2  1
�
8
��



�
tan   2  1 � tan  2  1
tan
�
� 8
8
8 dương).

(Vì




tan(a  )  tan

8  tan( a  ) u 
8
8  tan(a  2.  )
u2 
3



8
8
1  tan a.tan
1  tan tan(a  )
u1  2  tan a
8
8
8
b) Đặt
, ta có:
,
.
tan a  tan



un  tan(a  (n  1) ), n �1, n ��
8
Ta chứng minh:
(*).
Với n  1 : u1  tan a đúng.


uk  tan( a  (k  1) )
8 .
Giả sử (*) đúng với n  k , k �1 , hay ta có:



tan(a  (k  1) )  tan
u  2 1
8
8  tan(a  k .  )
uk 1  k

8
1  ( 2  1)uk 1  tan( a  ( k  1)  ).tan 
8
8
Ta có:
.

un  tan( a  (n  1) ), n �1, n ��
8
Vậy (*) đúng với n  k  1 . Vậy
.


3
3
u2015  tan(a  2014. )  tan( a 
 251 )  tan(a  )
8
4
4 .
Cho n  2015 , ta có:


2 1

 tan(a  ) 
 ( 2  1) 2  tan 2
4
2 1
8.

Bài 4. Cho dãy số thực

 un 

u1  1
�
�
u2  1
�
�
u  2un 1  un (n �N * )

với �n  2
.

*
a) Chứng minh un  3  2n với mọi n �N .

b) Tính tổng S  u1  u2  ...  u2012 .


Hướng dẫn giải.
a) Dùng phương pháp qui nạp.
u1  1  3  2.1 , u2  3  2.2  1 .

 k �3 .
Giả sử uk  3  2 k
Ta có: uk 1  2uk  uk 1  2(3  2k )  (3  2(k  1)) .
 1  2k  3  2(k  1) .
*
Vậy un  3  2n với mọi n �N .

b) S  (3  2.1)  (3  2.2)  ...  (3  2.2012) .
 3.2012  2(1  2  ...  2012)  6036  2013.2012  4044120 .

Bài 5. Cho dãy số

 vn 

v1  8
�
�

v2  34
(n �N * )
�
�
v  8vn 1  1996vn
với �n  2
.

Tìm số dư khi chia v2013 cho 2011 .
Hướng dẫn giải.

Xét dãy số
Ta có

 un 

u1  8
�
�
u2  34
(n �N * )
�
�
u  8un 1  15un
với �n  2
.

vn �un  mod 2011

*

với mọi n �N .

2
Xét phương trình đặc trưng: t  8t  15  0 .

Phương trình trên có nghiệm t  5, t  3 .

 un 

5 A  3B  8
�
�
có dạng un  A.5  B.3 . Vì u1  5, u2  13 nên �25 A  9 B  34 .Ta có: A  B  1 .
n

n

n
n
Ta có: un  5  3 .

5
Ta có 2011 là số nguyên tố Theo định lý Fecma ta có:
32010 �1 mod 2011

.

52013 �125  mod 2011 32013 �27  mod 2011
Suy ra
,

.
Vậy khi chia u2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .
Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152 .

2010

�1 mod 2011

.


u1  1
�
�
3  2un 1  un   2, (n ��* )
�

 un  : �n
Bài 6. Cho dãy số
a) Chứng minh dãy số

 un 

.

là dãy số giảm.

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh dãy số
Ta có:

un 1 

 un 

là dãy số giảm.

un 1

*
2 3n ; Chứng minh: un 1  un n �� bằng phương pháp quy nạp.

u1  1
�
�
� 5 � u2  u1
u2 
�
6
�
 Ta có:
.

 Giả sử: uk 1  uk ; k �� và k  1 . Chứng minh: uk  2  uk 1 .
Ta có:

uk  2 

uk 1
u
u
1
1
1
 k 1  k  k 1  k  k  uk 1
*
2
3
2 3
2 3
. Vậy un 1  un n �� .

b) Lập công thức số hạng tổng quát của dãy số

 un  .

3
3n (2un 1  un )  2 � 3n 1.un 1  3n.un  3
2
Ta có:
.

Đặt

vn  3n un  6

, ta được:

vn 1  6 

3
3
(vn  6)  3 � vn 1  vn
2
2 .

v 9
�
�1
(vn ) : �
3
3
vn 1  vn , (n ��* )
q
�
�
2
2.
Ta được:
là cấp số nhân có công bội
n 1

n 1

�3 �
�3 �

vn  v1. � �  9. � �
�2 �
�2 � .
Suy ra:

Vậy

un 

vn  6
�1 1 �
 6. � n  n �
n
3
�2 3 �.

Bài 7. Tìm số hạng tổng quát của dãy

 xn 

biết rằng:.

�
�x0  1; x1  5; x2  125
�
2
2
�xn  2 xn xn 1  3  xn 1  xn 1  10 xn 1  xn  ( n �N * ).
Hướng dẫn giải.
Từ đề bài ta có: xn  0 với mọi n �N .

xn  2 3xn 1 10 xn


x
x
xn1 với mọi n �N * .
n

1
n
Ta có:

Đặt

yn 

xn
xn1 ta được yn  2  3 yn 1  10 yn  0 với mọi n �N * .

Vì phương trình đặc trưng của dãy
n �N * .
x1
�
�y1  x  5
�
0
�
�y  x2  25

2
�
x1
�
Với
ta có
Ta có

n

n
2;5 nên yn  A  2   B.5 với mọi

�B  1
�
n
�A  0 . Suy ra yn  5 với mọi n �N * .

n 1

xn  5 .xn 1  5 .5 ....5.x0  5
n

 yn  có hai nghiệm phân biệt

x 5
Kết hợp với x0  1 , ta suy ra n

n  ( n 1) ...1

n2  n
2

5

n2  n
2

*
với mọi n �N .

với mọi n �N .

� 7
u1 
�
� 2
 un  : �
7u  4
�
un 1  n
, n ��*
2un  5
�
�
Bài 8. Cho dãy số
.
a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh dãy số

 un 

là dãy số giảm.

7
19
u1  ; u2  � u1  u2
2
8
Ta có:
.

Giả sử: uk  uk 1 với k >1. Cần chứng minh: uk 1  uk  2 .

Ta có:

Mà

�

uk 1 

7uk  4 7 27
1
7 27
1
  .
� uk  2   .
2uk  5 2 2 2uk  5
2 2 2uk 1  5 .

uk  uk 1

�

1
1

2uk  5 2uK 1  5 .

7 27
1
7 27
1
 .
  .
� uk 1  uk  2
2 2 2uk  5 2 2 2uk 1  5
(điều phải chứng minh).

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

n


7
0  un � , n ��*
2
Ta có
.
xn 

un  2
1
x1 
un  1 , ta có:
3

Xét dãy số

xn 1 

.

un 1  2 1 �un  2 � 1
1
 �
� xn

� xn  n
un 1  1 3 �un  1 � 3 � ( xn )
3
là cấp số nhân
.

un  2 1
2.3n  1
 n �  3n  1 un  2.3n  1 � un  n
.
un  1 3
3 1 .
1
�
u1 
�
2016
 un  : �
�
2015un  1
�
un 1 
, n ��*
�
2016
Bài 9. Cho dãy số
.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n �� .

b) Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

Hướng dẫn giải.
*
a) Chứng minh rằng un  1, n �� .

u1 

1
1
2016

Ta có:

.

Giả sử:
Ta có:

uk  1, ( k  1) ; Cần chứng minh: uk 1  1

uk  1 � 2015uk  1  2016 �

.

2015uk  1
 1 � uk 1  1
*

2016
. Vậy un  1, n �� .

b)Lập công thức tổng quát của dãy số

 un  .

2015
xn  un  1 ta có x1   2016

Đặt

.

xn 1  un 1  1 

2015un  1
2015
2015
1 
xn
 un  1 
2016
2016
2016

.
n

�  xn 

�2015 �
� xn   �
�
�2016 �.
là cấp số nhân


n

�2015 �
*
un  1  �
�, n ��.
2016
�
�
Vậy
.

Bài 10. Cho dãy số

 un 

xác định bởi:

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy

�
u1  2

�
u2  3
�
�
un  nun1   n  2  un 2  2n  4, n �3
�

.

 un  .

b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015 .
Hướng dẫn giải.

a) Đặt vn  un  n ta có:

�
v1  1
�
v2  1
�
�
vn  n(vn 1  n  1)  ( n  2)(vn 2  n  2)  3n  4  nvn 1   n  2  vn 2 , n �3
�

.

Khi đó vn  vn 1  (n  1)vn 1  (n  2)vn  2 .
Lại có:.
vn  v2  (vn  vn 1 )  (vn 1  vn  2 )  ...  (v4  v3 )  (v3  v2 ) .

  (n  1)vn 1  (n  2)vn  2    (n  2)vn  2  ( n  3)vn 3   ...  (3v3  2v2 )  (2v2  1v1 )

.

 (n  1)vn 1  v1 .
Do đó vn  (n  1)vn1 . Hay vn  (n  1)(n  2)vn  2  ...  (n  1)(n  2)...1.v1  (n  1)! .
Vậy un  (n  1)! n .
b) Ta có u2016  2015! 2016 chia cho 2015 dư 1.
�x1  3
�
 xn  : �x  xn1 , n �2
�n
2
� 1  1  xn 1
Bài 11. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số
.
Hướng dẫn giải.

Ta có:

1
1
1

 1 2
xn xn 1
xn 1

yn  yn1  1  yn21

. Đặt

yn 

1
xn , khi đó ta được dãy

 yn 

.


1



3  cot 
y1 
 cot � y2  cot  1  cot 2 

3
3
3
2.3
3
sin
3
Vì
.
1  cos

xác định như sau:

y1 

1
3 và


Bằng quy nạp ta chứng minh được:

Bài 12. Cho dãy số

 xn 

a) Chứng minh rằng

yn  cot

xác định bởi:


n 1

2 .3

� xn  tan

x1  4, xn 1 


n 1

2 .3

, n �1

.

xn4  9
, n ��*
3
xn  xn  6
.

lim xn  �
;.

n � �

n
1
yn  � 3
k 1 xk  3
b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt
. Tính lim yn .

Hướng dẫn giải.

 xn  3  xn3  3

xn4  9
xn 1  3  3

 *
xn  xn  6  xn3  3   xn  3 

a) Xét

.

Bằng quy nạp chứng minh được xn  3, n �1 .
xn 1  xn 

 Xét

� xn 1  xn 
Do đó

 xn 

 Giả sử

Do đó:

 xn  3

2

x  xn  6
3

n

 0, n ��*
.

là dãy tăng và 4  x1  x2  x3  ... .

 xn 

a

xn4  9
xn2  6 xn  9

x

n
xn3  xn  6
xn3  xn  6 .

bị chặn trên � lim xn  a .

a4  9
�a 3 4
x 
a3  a  6
(vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  �.

1
1

1
1
1
1

 3
� 3


xn  3 xn  3 xn 1  3 .
b) Từ (*), suy ra: xn 1  3 xn  3 xn  3

Suy ra:

n
n
� 1
1
1 �
1
yn  � 3
 ��

� 1 
xk  3 xk 1  3 �
xn 1  3
k 1 xk  3
k 1 �

.

�
1 �
lim yn  lim �
1
� 1
xn 1  3 �
�
Vậy
.
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ.
u1  2
�
�
u 
u  un2  un  1,  n ��*.
Bài 13. Dãy số n xác định như sau: �n 1
.
Chứng minh rằng.
1

1
22

2015

1
1
 1  22016
k 1 u

2
k
.

2016

 �


Hướng dẫn giải.
2
–2un  1   un –1
Ta có: un 1 – un  un
. (1).
2

Do u1  2 � u2 – u1  1 � u2  u1 .

u 
Từ đó bằng phép quy nạp ta suy ra n là dãy đơn điệu tăng thực sự, và un nhận giá trị nguyên dương
lớn hơn hoặc bằng 2 với mọi n  1, 2,.... .
Ta viết lại điều kiện truy hồi xác định dãy số dưới dạng sau đây:.
un 1 –1  un2 –un  un  un –1 (2).
1



Từ đó dẫn đến: un 1  1

1

1
1
1
1
1


� 

,
un (un  1) un  1 un
un un  1 un1  1

1  n �
1  1 �
1 . (4)
�
� 1 
�
�
�uk 1 uk 1 1 �
uk 1 1
k 1 uk
k 1 �
�

(3)
Bây giờ từ (3), ta có:.

n

.

Từ (4) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với.
1

1
2

2n1

 1

1
un 1  1

 1

1
2

n 1

n

� 2 2  un 1  1  22

2n

(5)

.

(ở đây n  2016 ). Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n . Khi đó nó sẽ đúng với n  2016 .
Do un nguyên dương với mọi n , (5) tương đương.
n1

n

22  1 �un 1  1  22 . (6).
u –1  uk 1  uk 1 –1
Xét khi n  k  1 . Theo (2), ta có: k 2
.
Vì thế theo giả thiết quy nạp suy ra:.
k

k

k

k

uk  2  1  22 (22  1)  2 2 .2 2  2 2
k 1

k 1

k 1

k 1

uk  2  1 �(22  1).(2 2  1  1)  2 2 .22

k 1

k

 22 .

Như thế với n  k  1 , ta thu được:.
k

2 2  uk  2  1  22
k

k 1

k 1

� 22  1 �uk  2  1  22 .

(8) .

Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n  2,3,... .
Vì vậy (5) đúng n  2016 . Ta có điều phải chứng minh!.
�
Bài 14. Cho dãy (an ) n 1 :

a1  1; an 1 

an2  5an  10

n �1
5  an
.

a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an .


a1  a2  ...  an 5  5

n �1
n
2
b) Chứng minh
.
Hướng dẫn giải.
a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có:

Đặt

A

5 5
x 2  5 x  10
10
f ( x) 

 x( x �5)
2
5 x
5 x

và xét hàm
.

f '( x ) 
Suy ra

Dẫn đến

1 �an �3 n
2 .

10

 5  x

2

� 3�
1 �
�
 1  0x ��
1;
;1
�
� 2�
�
2 �
�.
, như vậy f ( x) nghịch biến trên đoạn �

a1  a3  a5  ...  a2 k 1  ...  A �
 lim a2 k 1  b �A
�
��
�
�a2  a4  a6  ...  a2 k  ...  A
� lim a2 k  c �A

.

� c 2  5c  10
b
�
5 5
�
5c
�bc
�
2
2
b  5b  10
�
c
5b
�
Kết hợp công thức xác định dãy ta được: �
.

Vậy

lim an 

5 5
2 .

�5 5 �
t ��
1;
�
2 �
�
�thì t  f (t )  5  5 .
b) Nhận xét:
Dẫn đến

a2 k 1  a2 k  5  5 k �1
.

� a1  a2  ...  a2 k 1  a2 k  2k

5 5
2
(1).

Như vậy bất đẳng thức đúng với n  2k .
Trường hợp n  2k  1 , chú ý

a2 k 1 

5 5

2 , kết hợp với (1) thu được:.

a1  a2  ...  a2 k 1  a2k  a2k 1  (2k  1)

5 5
2 .

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
� an �(0;1)
�
�
1
an 1 (1  an ) 
�
an 

4 với mọi n  Z+.
Bài 15. Cho dãy số
thỏa mãn: �
1 1
an   .
2 2n .
A. CMR
B. Chứng tỏ dãy

 an  có giới hạn và tìm giới hạn đó.


�
u1  5

�
�
un2  4
u

�n1
2un
Bài 16. Cho dãy (un ) xác định bởi �
với n �1
A. Chứng minh un  2 với mọi n nguyên dương.
B. Xét tính tăng, giảm của dãy số (un ) .
Hướng dẫn giải.

Bài 17. Cho dãy số
a) Chứng minh

�
u1  1
�
u2  2
�
�
nun  2   3n  1 un 1  2  n  1 un  3, n ��*
�
như sau
.

 un 

un  2n  3n, n ��*

.

n 1

b) Đặt

S n  �uk
k 1

. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n > 2 thì Sn chia hết cho n.

Hướng dẫn giải.
u  21  3.1  1
a) Với n  1 , 1
.
2
n  2 , u1  2  3.2  2

Giả sử

.

uk  2k  3k ; uk 1  2k 1  3  k  1

Chứng minh

.

uk  2  2k  2  3  k  2  , k ��*

.

Ta có.
kuk  2   3k  1 uk 1  2  k  1 uk  3

.

� kuk  2   3k  1  2k 1  3  k  1   2  k  1  2k  3k   3
� uk  2  2 k  2  3  k  2 

Vậy

.

.

uk  2  2k  2  3  k  2  , k ��* .

.

n 1

b) Đặt

S n  �uk
k 1

. Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n  2 thì Sn chia hết cho n .

n 1

Ta có:

S n  �uk  2  22  ...  2 n1  3  1  2  ...  (n  1) 

S n  2.

k 1

1  2n 1
( n  1) n
(n  1)n
 3.
 2  2n 1  1  3
1 2
2
2 .

.


Với

Do
Vậy

n

n

là số nguyên tố

� 2n1  1

là số nguyên tố lớn hơn 2

chia hết cho
�

(n  1) n
2

n

.

chia hết cho

n

.

S n Mn .

Bài 18. Cho dãy số

�
u1  0
�

 un  �u2  18
�
un  2  5un 1  6un  24, n ��*
�

.

Chứng minh rằng nếu n là số nguyên tố và n  3 thì un chia hết cho 6n .
Hướng dẫn giải.
*
Đặt vn  un  12 hay un  vn  12, n �� .

Khi đó vn  2  5vn 1  6vn .
v1  12
�
�
 vn  �v2  30
�
vn  2  5vn 1  6vn
�
Ta được
.
2
Phương trình đặc trưng   5  6  0 có nghiệm   2 �  3 .
n
n
Khi đó vn  a.2  b.3 .

Ta có

v1  12
2a  3b  12
a3
�
�
�
��
��
�
v2  30
4a  9b  30
b2
�
�
�

.

n
n
Suy ra vn  3.2  2.3 .
n
n
Khi đó un  vn  12  3.2  2.3  12 .

Ta có

un  6  2n 1  3n 1  2 

nên un chia hết cho 6 .

Mặt khác n là số nguyên tố nên theo định lý Fermat.
2n �2(mod n)
�
�n
3 �3(mod n)
�

hay

3.2n �6(mod n)
�
� n
2.3 �6(mod n)
�

.

n
n
Từ đó un  (3.2  2.3  12) �0(mod n) .

Suy ra un chia hết cho n .
Với n là số nguyên tố và n  3 � ( n, 6)  1 .
Suy ra un chia hết cho 6n .


x 
Bài 19. Cho dãy số n

x 1
�
�1
�
xn 1  xn  xn  5   xn 2  5 xn  8   16
�
�
với

 n �N  .
*

n 1
a) Chứng minh xn  5 , với mọi n �2 .
n
1
yn  �
lim yn
k 1 xk  3
b) Đặt
. Tìm n�� .

Hướng dẫn giải.
a) Chứng minh

xn  5n 1

, với mọi n �2 .

x2  10  5  521 .

n 1
 n �2  .
Giả sử ta có xn  5

xn 1  xn  xn  5   xn 2  5 xn  8   16 

x

2

n

 5 xn   xn 2  5 xn  8   16

 xn 2  5 xn  4  5 xn  5.5n 1  5n

.

n
Suy ra xn 1  5 .
n 1
Vậy theo qui nạp xn  5 với n �2 .
n
1
yn  �
lim yn
k 1 xk  3
b) Đặt
. Tìm n�� .

Ta có:.
xn 1  xn 2  5 xn  4 � xn 1  2  xn2  5 xn  6   xn  2   xn  3 

�

1
1
1
1



xn 1  2  xn  2   xn  3  xn  2 xn  3

�

1
1
1


xn  3 xn  2 xn 1  2

.

.

n
n
� 1

1
1 � 1
1
1
1
yn  �
 ��


 
�
xk  2 xk 1  2 � x1  2 xn 1  2 3 xn 1  2
k 1 xk  3
k 1 �

�1
1 �1
1
lim yn  lim � 
� lim
0
�
n
n ��
n �� 3
n
�

�
xn 1

� xn 1  2 � 3 (vì xn 1  5
).
Vậy

lim yn 

n � �

1
3.

3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

 an  n1 :.
�

Bài 20. Cho dãy

.


1
1
1
an  sin1  22 sin  32 sin  ...  n2 sin
n �1
2
3
n
.

�

�an �
a
lim n2
�n 2 �
n 1 hội tụ và tính
n .
Chứng minh dãy � �
Hướng dẫn giải.
1
x  sin x  x  x 3x  0
6
Bổ đề 1:
.
1 1
1
1    ... 
2 3
n 0
lim
n
Bổ đề 2:
.
Đặt

xn  n2 sin

1
1

1 1
1
1
 sin   3 � k  xk  k 
n . Áp dụng bổ đề 1: k
k k 6k
6k .

1� 1
1�
� 1  2  ...  n  an  1  2  ...  n  �
1   ...  �
6� 2
n �.
1 an 1
 2 
2
2
Chia các vế cho n : 2 n

1
1
1   ... 
2
n
2
6n
.

Cho n � �, và lấy giới hạn, suy ra

Bài 21. Cho dãy số

u1  2, un 1 

an 1
 .
n2 2 .

lim

 n  1

2

un  1

n �1

un
. Tính giới hạn n�� n .
lim

Hướng dẫn giải.
n2
�un �n  1 , n �1
Ta chứng minh quy nạp n  1
.
Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 .

 k  1 �u �k  2
k2
�uk �k  1, k �1
k 1
Giả sử đã có k  1
. Ta chứng minh k  2
.
2

(k  1) 2  k  1
uk �k  1 � uk 1 
�
u

1
k 2 .
k
Thật vậy:
2

k2
(k  1) 2  k  1
1
uk �
� uk 1 
� 2
 k  2 2
�k  2 .
k
k 1

uk  1
k  k 1
1
k 1
.
2

u
n2
�un �n  1, n �1 � lim n  1
n �� n
Vậy ta có n  1
.
Bài 22. Cho và dãy số với:.


a) Chứng minh: với .
b) Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải.
Ta chứng minh với bằng quy nạp.
Ta có: nên .
Giả sử: với .
Ta có: và nên . Suyra: .
Vậy với .
Ta chứng minh là dãy giảm bằng quy nạp.
Vì nên .Ta có .
Giả sử:. Ta có: 3 và = là hàm nghịch biến nên:.
.
Suy ra:. Vậy là dãy giảm.
lả dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên hội tụ.

Đặt .Ta có .

 xn 

�x1  1
�
3 xn  4 (n �N * )  un  un  x2n 1  n �N * 
�
x

�n 1
xn  1
�

Vậy .
Bài 23. Cho dãy số thực với .
Xét các dãy số thực với và

 vn 

a) Chứng minh các dãy số

 un  ,  vn 

b) Chứng minh các dãy số

 xn 

với

vn  x2 n  n �N * 

.

có giới hạn hữu hạn khi n � �.

có giới hạn hữu hạn khi n � �và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải.
a) Xét hàm số
Ta có:

f  x

f  x 

3x  4
x  1 trên  0; � .

nghịch biến trên

 0; � ; liên tục trên  0; �

và nhận giá trị trong

 0; � .

�x1  1
�

x  f  xn 
u  v 
Dãy số đã cho được viết lại �n 1
.Ta chứng minh n , n bị chặn bằng quy nạp.
Ta có u1  x1 suy ra 0  u1  4 .
Giả sử: 0  uk  4 .
Vì

f  x

nghịch biến trên

 0; �

nên

f  4   f  xk   f  0 

.Suy ra: 0  xk 1  4 .


Tương tự cho dãy

 un  .Ta chứng minh  un 

là dãy tăng;

 vn 

là dãy giảm bằng quy nạp.

f  x
 0; � nên f  x1   f  x3  hay .
Ta có x1  x3 .Vì hàm số
nghịch biến trên
f  x2 k 1   f  x2 k 1 
Giả sử x2 k 1  x2 k 1 ta có
hay x2 k  x2 k  2 ( với ).
f  x2 k   f  x2k  2 
Với x2 k  x2 k  2 Ta có:
hay .

Với ta có: hay x2 k  2  x2 k  4 .
Vậy theo quy nạp ta có thì là dãy tăng,

là dãy giảm.

Hay ta có

 un 

 un  ,  vn 

là các dãy đơn điệu và bị chặn nên lim x2 n  v;lim x2 n 1  u .

b) Ta có:

 vn 

 x2n 

là dãy tăng;

x2 n  f  x2 n 1 

và

là dãy giảm.

x2 n 1  f  x2 n 2 

nên qua giới hạn ta có:.

� 3v  4
u
�
� v 1
u  f  v
�
�
�
3u  4
�
�
v
v

f
u



�
. Từ hệ trên ta có � u  1 � u  v .
Dãy số

 xn 

có hai dãy con

 x2 n  ,  x2 n1 

Qua giới hạn và từ phương trình
Bài 24. Cho dãy số

 un 

Chứng minh rằng dãy số

u

có cùng giới hạn là u  v nên lim xn  u .

3u  4
u  1 ta có u  1  5 .

được xác định: .

 un 

có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải.
Ta có .
1– n
Chứng minh : un  2 (bằng quy nạp).
0
*với n  1 ta có u1  2011  2 .
1– k
*Giả sử uk  2 (với k  1 ).
–k
*Cần chứng minh : uk 1  2 .

Ta có . Suy ra điều phải chứng minh.
Từ đó ta có

un – 2 – n  0

với mọi n .

1
1
1
1
u2  u1  ; u3  u2  2 ; u4  u3  3 ;...; un  un1  n 1
2
2
2
2 .
Ta có
.

Công thức tổng quát : .
Vậy .
u1  a
�
�
�
1
2013
un 1 
un2 
un , n � 
�
a � 0;1
u
 
2014
2014
Bài 25. Cho số thực
, xét dãy số n với: �
.

a) Chứng minh rằng: 0  un  1, n � .

b) Chứng minh rằng

 un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải.

a) Chứng minh:

0  un  1, n �   1

n  1: u1  a � 0;1 �  1

.

đúng với n=1.

Giả sử 0  uk  1 với k �1, k � . Ta có:
0  uk  1 � 0 
�0

0  uk2  1 � 0 

1
1
uk2 
2014
2014 .

2013
2013
uk 
2014
2014 .

1
2013

uk2 
uk  1 � 0  u  1
k 1
2014
2014
.


Vậy: 0  un  1, n � .

b) Chứng minh rằng
Ta chứng minh:

 un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

 un  là dãy tăng.

n �  , un 1  un 



1
2013
1 �
un2 
un  un 
u n  un
2014
2014
2014 �

 u

n



 un  2013 � 0
� .

� un 1  u n , n � hay  un  là dãy tăng.(2).
Từ (1),(2) suy ra
Ta có:

a

 un  có giới hạn hữu hạn.Giả sử  un  có giới hạn là a,  o  a �1 .

1
2013
a2 
a � a 1
2014
2014
. Vậy lim un  1 .

� 3
u 
�
�1 2

�
1
2
�
un 1  un3  , n �N 
3
3
Bài 26. Cho dãy số(un) xác định như sau: �
.
a) Chứng minh rằng:

1  un  2, n � 

b) Chứng minh rằng

 un  có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

.


Hướng dẫn giải.
a) Với:

n  1: u1 

3
�  1
2
đúng với n=1.

Giả sử: 1  uk  2 với k �1, k � .
1
8 1
uk 1  2  uk3    uk  2   uk2  2uk  4   0 � uk 1  2
3
3 3
Ta có:
.
uk 1  1 

1 3
 uk  1  0 � uk 1  1
3
.

� 1  uk 1  2 . Vậy: 1  un  2, n �  .
b)

n �  , un 1  un 

Từ (1),(2) suy ra

1
2
 un  1  un  2   0 � u  u , n �
u 
n 1
n
3
hay n là dãy giảm (2).

 un  có giới hạn hữu hạn.

u 
Gọi a là giới hạn của n , 1 �a  2 .
1
2
a  a3  � a  1
3
3
Ta có
. Vậy lim un  1 .

Bài 27. Cho dãy số

 un 

xác định bởi:

u1  1; un 1 

un2
 un , n �N *
2015
.

�u u
u �
lim � 1  2  ...  n �
n � � u

un 1 �
� 2 u3
Tìm giới hạn sau:
.
Hướng dẫn giải.
�1
un
1 �
un2
 2015 � 
�
un 1  un 
un 1
un un1 �
�
2015
Từ đề bài ta có:
. Suy ra:
.
�1
� 1 �
u
u1 u2
1 �
  ...  k  2015 � 
1
� 2015 �
�
u2 u3
uk 1

�u1 uk 1 �
� u k 1 �

Ta có:
Ta có

Nếu

 un 

là dãy đơn điệu tăng và u1  1 .

lim un  

n � �

( vô lí vì
Suy ra:

 un 

thì



2
 �  0
2015
.

là dãy đơn điệu tăng và u1  1 ).

lim un  �
.

n ��

Kết luận:

�u u
u �
lim � 1  2  ...  n � 2015
n � � u
un 1 �
� 2 u3

.

.


u1  2013
�
n �N * 

�2
u 
u  2un .un 1  2013  0
Bài 28. Cho dãy số n xác định bởi �n
.

Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó.
Hướng dẫn giải.
2
Từ hệ thức truy hồi suy ra 2un .un1  un  2013 .

Bằng quy nạp chứng minh được un > 0, với mọi n.
Do đó ta có:.
un 12  2013
un 

2un 1

1�
2013 �
2013
un 1 
 2013, n �1
�
�� un .
2�
un 1 �
un

.

Mặt khác ta có :.
un 1 un 2  2013 1 2013 1 1

 
�  1

un
2un 2
2 2un 2 2 2
.
(un) là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi

2013 , do đó (un) có giới hạn hữu hạn.

Đặt lim un  a .

Ta có :

a

a 2  2013
� a  2013 . Vậy lim un  2013 .
2a

Bài 29. Cho dãy số

 xn 

a) Chứng minh rằng

xác định bởi:

x1  4, xn 1 

xn4  9
, n ��*

xn3  xn  6
.

lim xn  �
;.

n � �

n
1
yn  � 3
k 1 xk  3
b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt
. Tính lim yn .

Hướng dẫn giải.
xn 1  3 
a) Xét

 xn  3  xn3  3
xn4  9

 *
xn3  xn  6  xn3  3   xn  3 

Bằng quy nạp chứng minh được xn  3, n �1 .

 Xét

xn 1  xn 

� xn 1  xn 
Do đó

 xn 

xn4  9
xn2  6 xn  9

x

n
xn3  xn  6
xn3  xn  6 .

 xn  3

2

x  xn  6
3
n

 0, n ��*
.

là dãy tăng và 4  x1  x2  x3  ... .

.

 Giả sử

Do đó:

 xn 

a

bị chặn trên � lim xn  a .

a4  9
�a 3 4
x 
a3  a  6
(vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  �.

1
1
1
1
1
1

 3
� 3


xn  3 xn  3 xn 1  3 .
b) Từ (*), suy ra: xn 1  3 xn  3 xn  3

Suy ra:

n
n
� 1
1
1 �
1
yn  � 3
 ��

� 1 
xk  3 xk 1  3 �
xn 1  3
k 1 xk  3
k 1 �

.

�
1 �
lim yn  lim �
1
� 1
xn 1  3 �
�
Vậy
.
�x1  1

�
�
xn2015
x

 xn
�n 1
2015
�
Bài 30. Cho dãy số
.
xn2014
x12014 x22014
un 

 ... 
x2
x3
xn 1 .
Tìm giới hạn của dãy số un với
Hướng dẫn giải.
xn2015
xn2015
xn 1  xn
xn2015
xn 1 
 xn � xn 1  xn 
�

2015

2015
xn 1 xn
2015 xn 1 xn .
�1
xn2014
1
1
1 � xn2014
� 

� 2015 � 
�
xn xn 1 2015 xn1
�xn xn1 � xn1

.

� 1 �
un  2015 �
1
�
xn 1 �
�
Từ đó
.
 Dễ thấy
 Giả sử

Do đó:

 xn  là dãy tăng và 1  x1  x2  x3  ... .

 xn 

a

bị chặn trên � lim xn  a .

a 2015
 a � a  0 1
x 
2015
(vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  �.

� 1 �
limu n  lim 2015 �
1
� 2015
xn 1 �
�
Vậy
.
�x1  1
�
�
xn2
x

x


�n 1
n
2015 .
Bài 31. Cho dãy số {xn } xác định bởi �
Tìm giới hạn của dãy ( S n ) với

Sn 

x
x1 x2
  ...  n
x2 x3
xn 1 .


Hướng dẫn giải.
�1
x  xn
xn2
x
1 �
xn2
2 � 2015 n 1

� n  2015 � 
.
�
xn 1  xn 
� 2015  xn 1  xn   xn
xn 1 xn

xn 1 xn
xn 1
�xn xn 1 �.
2015
Sn 
Suy ra:
 Dễ thấy
 Giả sử

�1
� 1 �
x
x1 x2
1 �
  ...  n  2015 � 
1
� 2015 �
�
x2 x3
xn 1
�x1 xn 1 �
� xn 1 �.

 xn  là dãy tăng và 1  x1  x2  x3  ... .

 xn 

bị chặn trên � lim xn  a .

a2

a
 a � a  0 1
x 
2015
Do đó:
(vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  �.
� 1 �
limSn  lim 2015 �
1
� 2015
xn 1 �
�
Vậy
.
�
�x1  1
�
x  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1
(
x
)
n
Bài 32. Cho dãy số
xác định bởi �n 1
.
n
1
Sn  �
k 1 xk  2
Đặt

. Tìm limSn .

Hướng dẫn giải.
xn 1  xn ( xn  1)( xn  2)( xn  3)  1  ( xn 2  3 xn )( xn 2  3 xn  2)  1  xn2  3 xn  1

.

n
1
1
1
1
1
1
1
1


� Sn  �


 
x1  1 xn 1  1 2 xn 1  1 .
k 1 xk  2
Ta có xn  2 xn  1 xn 1  1

Dễ thấy:

xn 1  xn   xn  1  0, n �N *

 Giả sử

 xn 

2

suy ra

 xn  là dãy tăng và 1  x1  x2  x3  ... .

bị chặn trên � lim xn  a .

2
x 
Do đó: a  a  3a  1 � a  1  1 (vô lý). Suy ra n không bị chặn trên. Vậy lim xn  �.

�1
1 � 1
limSn  lim � 
�
2
x

1
n 1
�
� 2.
Vậy
� 2016
u1 

�
� 2015
�2u  u 2  2u , n ��*
n
n
Bài 33. Cho dãy số (un) xác định bởi: � n 1
.

Đặt

Sn 

1
1
1

. . .
u1  2 u2  2
un  2 . Tính: limS .

Hướng dẫn giải.

n


2un 1  un  un  2  � un 1 

un  un  2  � 1  1  1 � 1  1  1
un 1 un un  2
un  2 un un 1 .

2

n
1
1
1
2015 1
� Sn  �
 


u1 un 1 2016 un 1 .
k 1 uk  2
*
Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được un  0, n �N .

1
2016
un 1  un  un 2  0, n �N *
 u1  u2  u3  ...
u


2
Khi đó:
suy ra n là dãy tăng và 2015
.
 Giả sử
Do đó:

 un 

bị chặn trên � limu n  a .

2a  a 2  2a � a  0 

2016
2015 (vô lý). Suy ra  un  không bị chặn trên.

Vậy limu n  �.

Vậy

�2015 1 � 2015
limSn  lim �

�
�2016 un 1 � 2016

4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.

.