tìm gtln, gtnn của hàm số đa thức trên một đoạn

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG I
CHỦ ĐỀ 3.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số đa thức, phân thức trên một đoạn.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =
trên đoạn [ −1;3] là:
A. 2 3 .

B.

5
.
2

C. 2 2 .

x2 − 2 x + 5

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
f ’ ( x ) = 0 ⇔ 2 x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ f ( −1) = f ( 3 ) = 2 2 ; f ( 1) = 2 .
Câu 2.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

đoạn [ 0; 2] .
1
A. .
3

B. −5 .

C. 5 .

3x − 1
trên
x −3

1
D. − .
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
3x − 1
trên đoạn [ 0; 2] .
x −3
Ta có: Hàm số liên tục trên đoạn 0; 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

[

y'=

Câu 3.

−8

( x − 1)

2

]

hàm số nghịch biến trên ( −∞;3) và ( 3; +∞ ) .

− x 2 + 2 khi x ≤ 1
[2D1-3.1-2] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hàm số y = 
. Tính giá
khi x > 1
x
trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ −2; 3] .
y = −2 .
A. max
[ − 2;3]

y = 3.
B. max
[ − 2;3]

y = 2.
C. max
[ − 2;3]

y =1.

D. max
[ − 2;3]

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Đặt f ( x ) = − x + 2 . f ′ ( x ) = −2 x . f ′ ( x ) = 0 ⇔ x = 0 ∈ [ −2;3] . .
Đặt g ( x ) = x . g ′ ( x ) = 1 > 0 ∀x. .
Nhận xét hàm y liên trục trên ¡ . .
Bảng biến thiên:

.
TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y = 3. .
Vậy max
[ −2;3]
Câu 4.

2
[2D1-3.1-2] [BTN 164] Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên khoảng [ 0; 3] là:

A. 2 .

B. 6 .

C. 3 .

D. 18 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

2
Xét hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên [ 0;3] .

Ta có f ' ( x ) = 2 ( x + 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∉ [ 0;3] . Vậy trên [ 0;3] hàm số không có điểm tới
f ( x ) = max { f ( 0 ) ; f ( 3) } = max ( 3;18 ) = 18 .
hạn nào nên max
[ 0;3]
f ( x ) = 18 .
Vậy max
[ 0;3]
Câu 5.

[2D1-3.1-2] [BTN 163] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trên
đoạn [ 0;3] lần lượt bằng:
A. 54 và 1.
B. 25 và 0 .
C. 36 và −5 .
D. 28 và −4 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
 x = 1 ∈ [ 0;3]
y ' = 3x 2 + 6 x − 9, y ' = 0 ⇔ 

.
 x = −3 ∉ [ 0;3]
f ( 0 ) = 1, f ( 1) = −4, f ( 3) = 28 ⇒ max f ( x ) = 28, min f ( x ) = −4 .
[ 0;3]

[ 0;3]

Câu 6.

[2D1-3.1-2] [CHUYÊN SƠN LA] Gọi P là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 −3x 2 − 9 x + 5
trên đoạn [ −2; 2] . Vậy giá trị của P là.
A. P = 3 .

B. P = −17 .

C. P = −22 .
Hướng dẫn giải

D. P = 10 .

Chọn B.

Hàm số liên tục trên [ −2; 2] .
Ta có: y ′ = 3 x 2 − 6 x − 9 .
Trên đoạn [ −2; 2] phương trình y ' = 0 có nghiệm x = −1 .
Khi đó: y ( −2 ) = 3 , y ( 2 ) = −17 , y ( −1) = 10 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là P = −17 .
Câu 7.

[2D1-3.1-2] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

trên đoạn [ 2; 4] .
y =7.
A. max
[ 2;4]

B. max y =
[ 2;4]

19
11
.
C. max y = .
[ 2;4]
3
3
Hướng dẫn giải

x2 + 3
x −1

y =6.
D. max
[ 2;4]

Chọn A.
Đao hàm: y′ =

x2 − 2x − 3

( x − 1)

2

 x = −1 ∉ ( 2; 4 )
2
; y′ = 0 ⇔ x − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = 3 ∈ ( 2; 4 )

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tính các giá trị: y ( 2 ) = 7 , y ( 3) = 6 , y ( 4 ) =
y = 7 = f ( 2) .
Vậy max
[ 2;4]
Câu 8.

19
.
3

[2D1-3.1-2] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ
3
nhất m của hàm số y = x − 3x + 1 trên đoạn [ 0;3] . .

A. M = 20, m = 0 .

B. M = 19, m = −1 . C. M = 19, m = 1 .
Hướng dẫn giải

D. M = 19, m = 0 .

Chọn C.
Xét trên [ 0;3] hàm số liên tục.

 x = 1∈ [ 0;3]
y′ = 3x 2 − 3 , y′ = 0 ⇒ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = −1 ∉ [ 0;3]
Nên f ( 0 ) = 1 , f ( 1) = 1 và f ( 3) = 19 .
Dó đó: M = 19 , m = 1 .
Câu 9.

[2D1-3.1-2] [BTN 169] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên [ −4;3] .
A. −12 .

B. 33 .

C. 20 .
Hướng dẫn giải

D. 8 .

Chọn D.

Ta có y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 ⇒ y′ = 3 x 2 + 6 x − 9 , y ′ = 0 ⇔ x = 1 hay x = −3 , khi đó y ( −4 ) = 13 ,.
y + Min y = y ( 1) + y ( 3) = 8 .
y ( −3) = 20, y ( 1) = −12, y ( 3 ) = 20 . Vậy xMax
∈[ −4; 3]
x∈[ −4; 3]
Câu 10.

[2D1-3.1-2] [THPT HÀM LONG] Tìm tập giá trị của hàm số : y = x 4 − 2 x 2 − 2 :
A. ( −3; +∞ ) .
B. [ −2; +∞ ) .
C. ( −2; +∞ ) .
D. [ −3; +∞ ) .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có TXĐ: D = ¡ . .

 x = 0 ⇒ y = −2
y′ = 4 x3 − 4 x = 0 ⇔ 
..
 x = ±1 ⇒ y = −3

.

Suy ta miền giá trị hàm số là [ −3; + ∞ ) .
Câu 11.

2
[2D1-3.1-2] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Giá trị lớn nhất của hàm số y = x − 4 x + 3 trên đoạn
x +1
[ 0;3] đạt được tại x bằng bao nhiêu ?

A. 2 .

B. 3 .

C. 0 .

D. 1 .
TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn C.
2
x2 + 2x − 7
Với y = x − 4 x + 3 ta có y ′ =
.
2
( x + 1)
x +1

Xét x ∈ [ 0;3] thì y ′ = 0 ⇔

x2 + 2 x − 7

( x + 1)

(

2

= 0 ⇔ x = −1 + 2 2 .

)

y = y (0) = 3 .
Do y (0) = 3, y (3) = 0, y −1 + 2 2 = −6 + 4 2 < 3 nên max
[0;3]
Câu 12.

[2D1-3.1-2] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 3 + x 2 + 2 x + 3 trên đoạn [- 1; 2] lần lượt là.
A. - 1 và 17 .

B. 1 và 19 .

C. 1 và 17 .
Hướng dẫn giải

D. - 1 và 19 .

Chọn B.
Xét hàm số y = x3 + x 2 + 2 x + 3 .
TXĐ: D = R , y ' = 3x 2 + 2 x + 2 > 0∀x ∈ R nên hàm số không có cực trị.

y = max { f ( −1), f (2)} = 19, min y = min { f ( −1), f (2)} = 1 .

Do đó, max
[ −1;2]
[ −1;2]
Câu 13.

[2D1-3.1-2] [THPT Ngô Gia Tự] Hàm số y =

[ 0; 2]

x3 x 2
+ − 2 x − 1 có giá trị lớn nhất trên đoạn
3 2

là:

A. 0.

1
B. − .
3

C. −1 .

D.

−13
.
6

Hướng dẫn giải

Chọn B.
D = ¡ ..
y′ = x 2 + x − 2
x = 1
.
y′ = 0 ⇔ 
 x = −2 ( ∉ [ 0; 2] )
13
1
1
Ta có f ( 0 ) = −1; f ( 1) = − ; f ( 2 ) = − ⇒ Max f ( x ) = − .
[ 0;2]
6
3
3
Câu 14.

1 3
2
2
[2D1-3.1-2] [THPT Lý Văn Thịnh] Cho hàm số y = x − 4 x + 12 x − . Tổng GTLN và
3
3

GTNN của hàm số trên đoạn [ 0;5] là.
A.

28
.
3

B.

7
.
3

C. 7 .

D.

16
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x = 6 ∉ [ 0;5]
y′ = x 2 − 8 x + 12 . y ′ = 0 ⇔ 
.
 x = 2 ∈ [ 0;5]
TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

2
y ( 2 ) = 10; y ( 0 ) = − ; y ( 5 ) = 1 .

3

Tổng GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [ 0;5] bẳng
Câu 15.

28
.
3

[2D1-3.1-2] [THPT Lý Nhân Tông] Cho bảng biến thiên của hàm số như sau:

.
Kết luận nào sau đây về hàm số là đúng ?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại −2 .
B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 0 .
D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1; yCT = −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 16.

[2D1-3.1-2] [THPT Lý Nhân Tông] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

2x − 3
trên đoạn [ 0; 2]
x−5

là.
A.

3
.
5

B.

1
.
4

C.  2 .

1
D. − .
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Câu 17.

y′ =

−7

( x − 5)

2

< 0 và hàm sô xác định và liên tục trên [ 0; 2] .

Suy ra min y = y( 2) = −
[ 0;2]

Câu 18.

1
3.

[2D1-3.1-2] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên ¡ và có
bảng biến thiên:

.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −16 .
B. Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị.
C. Đồ thị của hàm số có hai tâm đối xứng.
D. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( −2;0 ) và ( 2; +∞ ) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Đồ thị của hàm số có hai tâm đối xứng là sai.
Câu 19.

[2D1-3.1-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hàm số y =

3x 2 + 2 x + 3
, tập hợp nào sau đây là
x2 + 1

tập giá trị của hàm số?
A. [ 2; 4] .

B. [ 2;3] .

15 
C.  ;5 .
2 
Hướng dẫn giải

D. [ 3; 4] .

Chọn A.
Hàm số xác định trên ¡ .
Ta có: y ' =

−2 x 2 + 2

; y ′ = 0 ⇔  x = 1 . Lập bảng biến thiên:
 x = −1
( x + 1)

2

2

.
Dựa vào bảng biến thiên tập giá trị y ∈ [ 2; 4] .
Câu 20.

[2D1-3.1-2] [THPT Tiên Du 1] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
A. −5 .

1
B. − .
3

C. 5 .

3x − 1
trên đoạn [ 0; 2] .
x −3
D.

1
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có y ' =
Câu 21.

−8
1

< 0 do đó hàm nghịch biến ⇒ ymax = y (0) = .
2
( x − 3)
3

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Trên khoảng (0; + ∞) thì hàm số y = − x3 + 3 x + 1 .
A. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = –1 .
B. Có giá trị lớn nhất là Max y = 3 .
C. Có giá trị nhỏ nhất là Min y = 3 .

D. Có giá trị lớn nhất là Max y = –1 .
Hướng dẫn giải

Chọn B.

x =1
Ta có y ′ = −3 x 2 + 3 , y′ = 0 ⇔ 
.
 x = −1
Ta có bảng biến thiên.
⇒ Hàm số có giá trị lớn nhất là Max y = 3 .
Câu 22.

max f ( x ) ,
[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Cho hàm số f ( x ) = x 4 − 2 x 2 − 1. Kí hiệu M = x∈
[ 0;2]
m = min f ( x ) . Khi đó M − m bằng.
x∈[ 0;2]
A. 7 .

B. 5 .

C. 1.

D. 9 .
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn D.
f ( x) = x4 - 2 x 2 - 1 .
D=¡ .

(

)

f ¢( x ) = 4 x3 - 4 x = 4 x x 2 - 1 .
éx = 0
Þ f ¢( x ) = 0 Û ê
.
ê
ëx = ±1
x = 0 Þ f ( x ) =- 1 .
x = 1 Þ f ( x ) =- 2 = m .
x = 2 Þ f ( x) = 7 = M .

Þ M - m = 9. .

Câu 23.

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành 3] Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên  và có
bảng biến thiên.

.
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng −1.
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 0.
C. Hàm số không xác định tại x = −1 .
D. Hàm số có đúng hai cực trị.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Nhìn BBT ta thấy y = −1 là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Câu 24.

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành 3] Giá trị lớn nhất của hàm số

y = x3 − 3x 2 − 9 x − 2

trên
.

đoạn [ −2; 2] là.
A. −2 .

B. −26 .

C. 3 .
Hướng dẫn giải

D. −24 .

Chọn C.
 x = −1∈ [ −2; 2]
+) y ' = 3 x 2 − 6 x − 9 y' = 0 ⇔ 
 x = 3 ∉ [ −2; 2] .
+) y (−2) = −4
+) y (2) = −24
+) y (−1) = 3 .
⇒ max y = 3 .
[ −2;2]

TRANG 7


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 25.

PHƯƠNG PHÁP

[2D1-3.1-2] [THPT Thuận Thành 3] Giá trị lớn nhất của hàm số y =
1

 −2; 2  bằng.
7
A. − .

2

B. −

13
.
3

C. 4 .

x 2 − 3x + 3
trên đoạn
x −1

D. −3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
(2 x − 3)( x − 1) − ( x 2 − 3 x + 3).1 x 2 − 2 x
+) y ' =
=
2
2
( x − 1)
( x − 1)

1

 x = 0 ∈  −2; 2 
x − 2x



+) y ' = 0 ⇔
=0⇔
2

1

( x − 1)
 x = 2 ∉  −2; 
2


+) y (0) = −3
−13
+) y (−2) =
3
 1  −7
+) y  ÷ =
2 2
max y = −3
2

.

 1
 −2; 2 



Câu 26.

 π
[2D1-3.1-2] [THPT Quế Võ 1] Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) = x + cos 2 x trên đoạn 0; 
 2
là :
π
π
A. 1 + π .
B. .
C. .
D. 0 .
2
4
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: f ( x ) = x + cos 2 x .
f ′ ( x) = 1 − 2 cos x sin x = (sin x + cos x) 2 .
π
f ′ ( x) = 0 ⇔ cos x = sin x ⇔ x = + kπ .
4
π
Khi k = 1 nhận x = .
4
π  π 1
π  π
f (0) = 1 ; f  ÷ = + ; f  ÷ = .
4 4 2
2 2
π

⇒ max f ( x) =
2.
 π
0; 2 



Câu 27.

[2D1-3.1-2] [THPT Quế Võ 1] Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x 3  −12 x + 1 trên
đoạn [ −2; 3] lần lượt là :
A. 6; −26 .
B. −15 ; 17 .
C. 17; −15 .
D. 10; −26 .
Hướng dẫn giải
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Chọn C.
Ta có: y = f ( x) = x 3  −12 x + 1 .
x = 2
.
y′ = 3 x 2 − 12 ; y′ = 0 ⇔ 
 x = −2
f ( −2) = 17; f (2) = −15; f (3) = −8 .

⇒ max y = f (−2) = 17; min y = f (2) = −15 .
[ −2;3]

[ −2;3]

Câu 28.

[2D1-3.1-2] [THPT Quế Vân 2] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên đoạn [ −4;3] .
A. 33 .
B. 2 .
C. 8 .
D. −8 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
 x = 1 ⇒ max y = 20; min y = −12
y ' = 3x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔ 
.
.
[ −4;3]
[ −4;3]
 x = −3

Câu 29.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Cho

f ( x) =

1

x2
−
+ x . Gọi
x2 − 4 x + 5 4

M = max f ( x ) ; m = min f ( x ) , khi đó M – m bằng.
[ 0;3]
[ 0;3]
A.

7
.
5

B. 1.

9
.
5
Hướng dẫn giải
C.

D.

3
.
5

Chọn C.
f ' ( x) = −

(x

2x − 4

2

− 4 x + 5)

2

−

x
+ 1 ⇒ f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 2 ∈ [ 0; 3] .
2

1
5
Có m = f ( 0 ) = ; f ( 3) = ; M = f ( 2 ) = 2 .
5
4
Câu 30.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm
số y = x 4 − 2 x 2 + 3 trên [ 0; 2] là:
A. M = 3, m = 2 .
B. M = 5, m = 2 .
C. M = 11, m = 2 .
D. M = 11, m = 3 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
x = 0

y ' = 4 x3 − 4 x ⇒ y ' = 0 ⇔  x = 1
⇒ y (0) = 3, y (1) = 2, y (2) = 11 . Vậy M = 11, m = 2 .
 x = −1 ∉ [ 0; 2]


Câu 31.

[2D1-3.1-2] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x) =

x 2 + 2x
trên
x +1

đoạn [0; 2] ?
A. 3 .

B.

3
..
2

8
..
3
Hướng dẫn giải

C.

D. 0 .

Chọn C.

TRANG 9


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Cách 1. Ta có, f ( x) =

PHƯƠNG PHÁP

x 2 + 2x
1
1
= x +1−
⇒ f '( x) = 1 +
> 0, ∀x ∈ [0; 2] .
x +1
x +1
( x + 1) 2

8
⇒ f ( x) đồng biến trên (0; 2) ⇒ GTLN f ( x) = f(2) = . .
[0;2]
3
Cách 2. Dùng chức năng lập bảng (Mode7) trên Casio.

Lưu ý: Bài này học sinh có thể để hàm số gốc như đề bài đạo hàm, giải phương trình
y' = 0 (vô nghiệm), tính các giá trị hàm số tại x = 0, x = 2 , sau đó so sánh rồi kết luận.
Câu 32.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) =
trên đoạn [ −1;3] là:
A. 2 3 .

B.

5
.
2

C. 2 2 .

x2 − 2 x + 5

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.
f ’ ( x ) = 0 ⇔ 2 x – 2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ f ( −1) = f ( 3 ) = 2 2 ; f ( 1) = 2 .
Câu 33.

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
đoạn [ 0; 2] .
1
A. .
3

B. −5 .

3x − 1
trên
x −3

1
D. − .
3

C. 5 .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
3x − 1
trên đoạn [ 0; 2] .
x −3
Ta có: Hàm số liên tục trên đoạn 0; 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

[

y'=

Câu 34.

−8

( x − 1)

2

]

hàm số nghịch biến trên ( −∞;3) và ( 3; +∞ ) .

[2D1-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = x + 1 +

4
x+2

trên đoạn.
[-1; 5].

max y = −5

A. [ −1;5]

46

B. max y =
.
7
[ −1;5]

.

max y = 3

C. [ −1;5]

.

max y = 4

D. [ −1;5]

.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

y ' = 1−

4

=

x2 + 4x

( x + 2) 2 ( x + 2) 2 .

y ' = 0 ⇔ x = 0; x = −4

TRANG 10


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Tính f (0) = −3; f ( −1) = 4; f (5) =

46
.
7

46
max
y
=
.
Suy ra
7
−
1;5
[ ]
Câu 35.

[2D1-3.1-2] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

x2 + 3
x -1

trên đoạn [ 2; 4] .
y = −3 .
A. min
[ 2;4]

y = 6.
B. min
[ 2;4]

C. min y =
[ 2;4]

19
.
3

y = −2 .
D. min
[ 2;4]

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Hàm số y =
Ta có: y ′ =

x2 + 3
liên tục trên đoạn [ 2; 4] .
x −1

x2 − 2x − 3

( x − 1)

2

 x = −1 ∉ [ 2; 4]
; y′ = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
 x = 3 ∈ [ 2; 4]

y = 6.
. Vậy min
[ 2;4]
Câu 36.

[2D1-3.1-2] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Cho hàm số y =
là GTLN, GTNN của hàm số trên [ 2; 4] . Khi đó.
A. M = 0 , m =

−1
.
2

B. M =

2
1
2
, m= .
C. M = , m = 0 .
3
2
3
Hướng dẫn giải

2− x
. Gọi M , m lần lượt
1− x

D. M = 0 , m = −1 .

Chọn C.
−x + 2
1
y=
⇒ y′ =
> 0, ∀x ∈ [ 2; 4] .
2
−x +1
( − x + 1)
2
⇒ M = y ( 4) = ; m = y ( 2) = 0 .
3
Câu 37.

x2 +3
[2D1-3.1-2] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
x- 1

trên đoạn [ 2, 4 ] .

y =- 1 .
A. min
[ 2,4]

y = 6. .
B. min
[ 2,4]

y =- 2. .
C. min
[ 2,4]

y=
D. min
2,4
[

]

19
..
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
éx =- 1 Ï [ 2, 4]
2
ê
¢
y
=
0
Û
x

2
x
3
=
0
Û
,
2
êx = 3 Î [ 2, 4] .
( x - 1)
ê
ë
19
Mà y ( 2) = 7, y ( 3) = 6, y ( 4) = .
3
Ta có y ¢=

x2 - 2 x - 3

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y =6.
Vậy min
[ 2,4]
Câu 38.

[2D1-3.1-2] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên [ −4; 3] .
A. 33 .

B. 8 .

C. −12 .
Hướng dẫn giải

D. 20 .

Chọn B.
 x = 1∈ [−4;3]
y′ = 3x 2 + 6 x − 9 ; y′ = 0 ⇔ 
.
 x = −3 ∈ [−4;3]
Khi đó: f ( −4) = 13 ; f ( −3) = 20 ; f (1) = −12 ; f (3) = 20 .
max f ( x ) = f (±3) = 20 ; min f ( x) = f (1) = −12 .
[ −4;3]

[ −4;3]

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ −4; 3] là 8 .
Câu 39.

[2D1-3.1-2] [BTN 165] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 5 +
5
A. − .
2

B. −3 .

1
1 
trên đoạn  ;5 bằng:
x
2 

1
.
5
Hướng dẫn giải
C.

D. −5 .

Chọn B.
1 
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn  ;5 .
2 

1 
 x = 1 ∈  2 ;5
1 x −1


2
Đạo hàm y ' = 1 − 2 = 2 ; y ' = 0 ⇔ x = 1 ⇔ 
.


x
x
1 
 x = −1∉  ;5
2 

2

5
1
1
Ta có y  ÷ = − ; y ( 1) = −3; y ( 5 ) = . .
2
5
2
Suy ra GTNN cần tìm là y ( 1) = −3. .
Câu 40.

2
[2D1-3.1-2] [BTN 164] Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên khoảng [ 0; 3] là:

A. 2 .

B. 6 .

C. 3 .

D. 18 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

2
Xét hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên [ 0;3] .

Ta có f ' ( x ) = 2 ( x + 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∉ [ 0;3] . Vậy trên [ 0;3] hàm số không có điểm tới
f ( x ) = max { f ( 0 ) ; f ( 3) } = max ( 3;18 ) = 18 .
hạn nào nên max
[ 0;3]
f ( x ) = 18 .
Vậy max
[ 0;3]
Câu 41.

[2D1-3.1-2] [BTN 163] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trên
đoạn [ 0;3] lần lượt bằng:
A. 54 và 1.
B. 25 và 0 .
C. 36 và −5 .
D. 28 và −4 .
TRANG 12


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Hướng dẫn giải
Chọn D.

 x = 1 ∈ [ 0;3]
y ' = 3x 2 + 6 x − 9, y ' = 0 ⇔ 
.
 x = −3 ∉ [ 0;3]
f ( 0 ) = 1, f ( 1) = −4, f ( 3) = 28 ⇒ max f ( x ) = 28, min f ( x ) = −4 .
[ 0;3]

[ 0;3]

Câu 42.

2x2 + x − 2
[2D1-3.1-2] [BTN 162] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =
trên
2− x
đoạn [ −2;1] lần lượt bằng:
A. 0 và −2 .

B. 1 và −2 .

C. 1 và −1 .
Hướng dẫn giải

D. 2 và 0 .

Chọn C.

( 4 x + 1) ( 2 − x ) + ( 2 x 2 + x − 2 )
y′ =
2

( 2 − x)

=

−2 x 2 + 8 x

.

( 2 − x)
 x = 0 ∈ [ −2;1]
y ′ = 0 ⇔ −2 x 2 + 8 x = 0 ⇔ 
.
 x = 4 ∉ [ −2;1]
f ( −2 ) = 1, f ( 0 ) = −1, f ( 1) = 1 ⇒ max f ( x ) = 1, min f ( x ) = −1 .
[ −2;1]
[ −2;1]
Câu 43.

2

[2D1-3.1-2] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có giá trị nhỏ
nhất trên tập xác định?
x −9
A. y =
.
B. y = − x 2 + 2 .
2x +1
1 4
2
C. y = x 3 − 9 x 2 + 16 .

D. y = x − 3 x + 1 .
4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: Đồ thị hàm y = − x 2 + 2 là một parabol có bề lõm quay xuống nên chỉ có GTLN;
Hàm y = x 3 − 9 x 2 + 16 có lim y = −∞ nên không có GTNN;
x →−∞

Hàm y =
Câu 44.

lim y = −∞
x −9
có x → − 1 ÷+
nên cũng không có GTNN.
2x +1
 2

[2D1-3.1-2] [Sở Bình Phước] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
y =7.
A. max
[ 2;4]

y =6.
B. max
[ 2;4]

C. max y =
[ 2;4]

11
.
3

x2 + 3
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1
19
D. max y = .
[ 2;4]
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
 x = −1 ∉ ( 2; 4 )
2
; y′ = 0 ⇔ x − 2 x − 3 = 0 ⇔ 
.
( x − 1)
 x = 3 ∈ ( 2; 4 )
19
Tính các giá trị: y ( 2 ) = 7 , y ( 3) = 6 , y ( 4 ) = .
3
Ta có y′ =

x2 − 2x − 3
2

TRANG 13

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

y = f ( 2) = 7 .
Vậy max
[ 2;4]
Câu 45.

[2D1-3.1-2] [BTN 175] Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3 . Trong các khẳng định sau khẳng định
nào sai?
57
Max y =
y = 3.
Min y = 2 .
y =2.
A. Max
B.
C.
.
D. [Min
 3 1
−∞ ;3]
[ −1;3]
[ 1;2]
16
−
;



 2 2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đối với bài toán này các em nên lập bảng biến thiên xét tổng thể các đáp án A, B, C, D để có
thể chọn ra đáp án đúng.
Câu 46.

2
[2D1-3.1-2] [BTN 174] Giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( x ) = x + 2 x + 3 trên khoảng [ 0;3] là:

A. 2 .

B. 6 .

C. 18 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn C.
Ta có f ' ( x ) = 2 ( x + 1) , f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 ∈ [ 0;1] .

f ( x ) = min { f ( 0 ) ; f ( 3) } = min { 6;8} = 6 . Vậy m = f ( 0 ) = 18 .
Nên m = min
[ 0;3]
Câu 47.

[2D1-3.1-2] [BTN 169] Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trên [ −4;3] .
A. −12 .

B. 33 .

C. 20 .
Hướng dẫn giải

D. 8 .

Chọn D.
Ta có y = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 ⇒ y′ = 3 x 2 + 6 x − 9 , y ′ = 0 ⇔ x = 1 hay x = −3 , khi đó y ( −4 ) = 13 ,.
y + Min y = y ( 1) + y ( 3) = 8 .
y ( −3) = 20, y ( 1) = −12, y ( 3 ) = 20 . Vậy xMax
∈[ −4; 3]
x∈[ −4; 3]
Câu 48.

2
[2D1-3.1-2] [BTN 167] Hàm số y = x − 3 x + 2 có giá trị lớn nhất trên đoạn [ −3;3] là.

A. 11.

B. 20.

C. 8.
Hướng dẫn giải

D. 9 .

Chọn B.
2
Ta sử dụng MTCT bấm Mode 7 rồi bấm Shift, nhập f ( X ) = X − 3 X + 2 chọn Start -3 End 3

Step 0.5. Máy cho ra một bảng có các giá trị của f ( X ) trong đó giá trị lớn nhất của f ( X ) là
20 khi X = −3 .
Câu 49.

[2D1-3.1-2] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Kí hiệu m và M lần lượt là giá trị lớn nhất giá
x2 + x + 4
M
..
trên đoạn [ 0;3] . Tính giá trị của tỉ số
x +1
m
5
4
2
B. .
C. .
D. .
3
3
3

trị nhỏ nhất của hàm số y =
A. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

Hàm số đã xác định và liên tục trên đoạn [ 0;3] . .

TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

y'=

PHƯƠNG PHÁP

( 2 x + 1) ( x + 1) − x 2 − x − 4 = x 2 + 2 x − 3 ;
2
2
( x + 1)
( x + 1)

 x ∈ ( 0;3)
⇔ x = 1. .

 y ' = 0

Ta có f (0) = 4; f (1) = 3; f (3) = 4. Do đó m = min f ( x) = 3; M = max f ( x) = 4 ⇒
[ 0;3]

Câu 50.

[ 0;3]

M 4
= ..
m 3

[2D1-3.1-2] [THPT Quoc Gia 2017] Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = x 4 − x 2 + 13 trên
đoạn [ −2;3] . .
B. m =

A. m = 13 .

49
.
4

C. m =

51
.
2

D. m =

51
.
4

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có: y′ = 4 x 3 − 2 x. .
x = 0

 1  51
y′ = 0 ⇔ 
y ( 0 ) = 13 , y  ±
÷ = , y ( −2 ) = 25 , y ( 3) = 85 .
x = ± 1 ;
2 4


2
51
Vậy: m = .
4
Câu 51.

3x 2 + 2 x + 3
[2D1-3.1-2] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Cho hàm số y =
, tập hợp nào sau đây là
x2 + 1
tập giá trị của hàm số?
15 
A. [ 2; 4] .
B. [ 2;3] .
C.  ;5 .
D. [ 3; 4] .
2 
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Hàm số xác định trên ¡ .
Ta có: y ' =

−2 x 2 + 2

; y ′ = 0 ⇔  x = 1 . Lập bảng biến thiên:
 x = −1
( x + 1)

2

2

.
Dựa vào bảng biến thiên tập giá trị y ∈ [ 2; 4] .
Câu 52.

[2D1-3.1-2] [Sở GD và ĐT Long An] Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = x + 2 +
A. P = 11 .

4
trên đoạn [ 0; 3] Tính P = M + m. .
.
x +1
B. P = 10 .
C. P = 12 .

D. P = 30 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
TRANG 15

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Xét hàm số xác định trên D = ¡ ⊃ [ 0; 3] .
Ta có:

( x + 1) − 4
y′ = 1 −
=
.
2
2
( x + 1)
( x + 1)
2

4

 x = 1 ∈ [ 0; 3]
x +1 = 2
2
2
y ′ = 0 ⇔ ( x + 1) − 4 = 0 ⇔ ( x + 1) = 4 ⇔ 
⇔
.
 x + 1 = −2
 x = −3 ∉ [ 0; 3]

y ( 0 ) = 6; y ( 1) = 5; y ( 3) = 6 nên M = 6; m = 5 ⇒ P = M + m = 11 .
Câu 53.

1
1 
trên  ;5 .
x
2 
5
C. − .
2
Hướng dẫn giải

[2D1-3.1-2] [BTN 172] GTNN của hàm số y = x − 5 +
A. −2 .

B.

1
.
5

D. −3 .

Chọn D.
 x = −1
1 x2 −1
⇒ y′ = 1 − 2 = 2 ⇒ y ′ = 0 ⇔ 
( L) .
x

x
x = 1
5
1
1
f ( 1) = −3; f  ÷ = − ; f ( 5 ) = .
2
5
2
Vậy GTNN của hàm số là −3 .
Câu 54.

x3
[2D1-3.1-2] [BTN 172] Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = + 2 x 2 + 3 x − 4
3
trên đoạn [ −4;0] lần lượt là M và m . Giá trị của tổng M + m bằng bao nhiêu?
A. M + m = −

28
.
3

B. M + m =

4
.
C. M + m = −4 .
3
Hướng dẫn giải

D. M + m = −

4
.
3

Chọn A.
 x = −1 ∈ [ −4;0]
2
TXĐ: D = ¡ , y ′ = x + 4 x + 3 ⇒ y ′ = 0 ⇔ 
.
 x = −3 ∈ [ −4;0]
16
16
Ta có f ( −1) = − ; f ( −4 ) = − ; f ( 0 ) = −4 .
3
3
16
28
⇒ M +m =− −4= − .
3
3
Câu 55.

2
[2D1-3.1-2] [Cụm 7-TPHCM] Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x +

A. 2 .

B. 4 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

2
(với x > 0 ) bằng:
x
D. 3 .

Chọn D.

2
, x > 0 . y′ = 0 ⇔ x = 1 (do x > 0 ).
x2
y = +∞ , lim y = +∞ .
Ta có f ( 1) = 3 , xlim
x →+∞
→0 +
y′ = 2 x −

Vậy giá trị nhỏ nhất là y = 3 .
TRANG 16


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

TRANG 17