BIỂU DIỄN MỘT SỐ PHỨC

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG IV
CHỦ ĐỀ 3.1 Biểu diễn một số phức.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Điểm biểu diễn của số phức z thỏa :

( 1 + i ) z = ( 1 − 2i )

2

là:

 7 1
A.  − ; ÷.
 2 2

 7 1
7 1
B.  − ; − ÷.
C.  ; ÷.
 2 2
2 2
Hướng dẫn giải

7 1
D.  ; − ÷.

2 2

Chọn B.
7 1
z=− − i.
2 2
Câu 2.

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho số phức z thỏa mãn: (4 − i) z = 3 − 4i . Điểm
biểu diễn của z là:
23 
 9
 16 13 
 16 11 
9 4
A. M  ; − ÷.
B. M  ; − ÷ .
C. M  ; − ÷.
D. M  ; − ÷.
 25 25 
 17 17 
 15 15 
5 5
Hướng dẫn giải
Chọn B.
3 − 4i 16 13
 16 13 
= − i suy ra M  ; − ÷ .
BG: Ta có (4 − i) z = 3 − 4i => z =
4 − i 17 17

 17 17 

Câu 3.

[2D4-3.1-2]

[THPT chuyên Lương Thế Vinh] Gọi M là điểm biểu diễn số phức

z = i ( 1 + 2i ) . Tọa độ của điểm M là:
2

A. M ( −4;3) .

B. M ( −4; −3) .

C. M ( 4; −3) .

D. M ( 4;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

2
Ta có z = i ( 1 + 2i ) = i ( 1 + 4i + 4i ) = i ( −3 + 4i ) = −4 − 3i .
2

Vậy điểm biểu diễn số phức z là M ( −4; −3) .
Câu 4.

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Số nào sau đây là số đối của số phức z , biết z có

phần thực dương thỏa mãn z = 2 và trong mặt phẳng phức thì z có điểm biểu diễn thuộc
đường thẳng y − 3 x = 0 .
A. 1 + 3i .

B. −1 − 3i .

C. −1 + 3i .
Hướng dẫn giải

D. 1 − 3i .

Chọn A.
Gọi z = a + bi

( a, b ∈ ¡ ) .

Ta có z = 2 nên a 2 + b 2 = 4 .
Vì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y − 3x = 0 nên b = a 3 .
Và vì a > 0 nên a = 1, b = 3 .

TRANG 1


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 5.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Cho các điểm A, B, C nằm trong mặt phẳng

phức lần lượt biểu diễn các số phức 1 + 3i , −2 + 2i , 1 − 7i . Gọi D là điểm sao cho tứ giác
ABCD là hình bình hành. Điểm D biểu diễn số phức nào trong các số phức sau đây?
A. z = −2 − 8i .
B. z = 4 − 6i .
C. z = 4 + 6i .
D. z = 2 + 8i .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: A(1;3) , B(−2; 2) , C (1; −7) . Gọi D ( xD ; yD ) .
uuur uuur
 xD − 1 = 3
⇒ D(4, −6) .
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC ⇔ 
 yD − 3 = −9

Câu 6.

Câu 7.

r
[2D4-3.1-2] [BTN 164] Cho hai số phức z và z ′ lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ u và
ur
u′ . Hãy chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
r uuuu
r
r ur
A. Nếu z = a + bi thì u = OM , với M ( a; b ) . B. u − u′ biểu diễn cho số phức z − z′ .
r ur
r ur
C. u.u′ biểu diễn cho số phức z.z′ .

D. u + u ′ biểu diễn cho số phức z + z′ .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
r ur
Ta có u.u ' bằng một số, nên nó không thể biểu diễn cho z.z ' .

[2D4-3.1-2] [Minh Họa Lần 2] Kí hiệu z0 là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình
4 z 2 −16 z + 17 = 0 . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức
w = iz0 ?
1 
 1 
 1 
1 
A. M 4  ;1÷.
B. M 3  − ;1÷.
C. M 2  − ; 2 ÷.
D. M 1  ; 2 ÷.
4 
 4 
 2 
2 
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Xét phương trình 4 z 2 −16 z + 17 = 0 có ∆′ = 64 − 4.17 = −4 = ( 2i ) .
8 − 2i
1
8 + 2i
1
= 2 − i, z 2 =
= 2+ i .

Phương trình có hai nghiệm z1 =
4
2
4
2
1
Do z0 là nghiệm phức có phần ảo dương nên z0 = 2 + i .
2
1
Ta có w = iz0 = − + 2i .
2
 1 
Điểm biểu diễn w = iz0 là M 2  − ; 2 ÷.
 2 
2

Câu 8.

[2D4-3.1-2] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG] Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu
i 2017
diễn số phức z =
.
3 + 4i
3 
3 
 4
 4 3 
 4
A. M  ; − ÷.
B. M  ; ÷.

C. M  − ; − ÷ .
 25 25 
 25 25 
 25 25 
Hướng dẫn giải
Chọn B.

 4 3 
D. M  − ; ÷.
 25 25 

TRANG 2


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1008
2017
i. ( i 2 )
i
.
−
1
i ( 3 − 4i )
(
)
i
4

3
Ta có z =
=
=
=
=
+ i.
3 + 4i
3 + 4i
3 + 4i
25
25 25
 4 3 
Suy ra M  ; ÷ là điểm biểu diễn cho số phức z. .
 25 25 
1008

Câu 9.

[2D4-3.1-2] [CHUYÊN SƠN LA] Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của số phức z1 ,
uuur
z2 . Khi đó độ dài của AB bằng.
A. z2 − z1 .
B. z1 − z2 .
C. z1 + z2 .
D. z2 + z1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giả sử z1 = a + bi , z2 = c + di , ( a, b, c, d ∈ ¡ ) .
Theo đề bài ta có: A ( a; b ) , B ( c; d ) ⇒ AB =

z2 − z1 = ( a − c ) + ( d − b ) i ⇒ z2 − z1 =

Câu 10.

( c − a)

( c − a)

2

+ ( d − b) .
2

+ ( d − b) .

2

2

[2D4-3.1-2] [CHUYÊN SƠN LA] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i . Số
phức w =

5
có điểm biểu diễn là điểm nào trong các điểm A, B, C , D ở hình bên?
iz

.
A. Điểm C .

B. Điểm B .

C. Điểm D .
Hướng dẫn giải

D. Điểm A .

Chọn D.
Gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi .
Ta có: z − ( 2 + 3i ) z = 1 − 9i ⇔ a + bi − ( 2 + 3i ) ( a − bi ) = 1 − 9i
.

⇔ a + bi − 2a + 2bi − 3ai − 3b = 1 − 9i ⇔ −a − 3b − 3ai + 3bi = 1 − 9i .
−a − 3b = 1
a = 2
⇔
⇔
⇒ z = 2−i .
−3a + 3b = −9
b = −1
5
5
= 1 − 2i .
Số phức w = =
iz i ( 2 − i )

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là A ( 1; −2 ) .
Câu 11.

[2D4-3.1-2] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Gọi M là điểm biểu diễn số phức
z − z +1

, trong đó z là số phức thỏa mãn ( 1 − i ) ( z + 2i ) = 2 − i + 3z . Gọi N là điểm trong
w=
z2
uuuruuur
uur uuuu
r
mặt phẳng sao cho Ox,ON = 2ϕ , trong đó ϕ = Ox, OM là góc lượng giác tạo thành khi
uuuu
r
quay tia Ox tới vị trí tia OM . Điểm N nằm trong góc phần tư nào?

(

)

(

)

TRANG 3


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

A. Góc phần tư thứ ( II ) .

B. Góc phần tư thứ ( I ) .

C. Góc phần tư thứ ( III ) .

D. Góc phần tư thứ ( IV ) .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Ta có: ( 1 − i ) ( z + 2i ) = 2 − i + 3z ⇒ z =

2 − i − 2i ( 1 − i )
−2 − i

=

3 6
+ i ,.
5 5

z − z + 1 11 56
= − i.
z2
15 45
uuuruuur
O
Ta có: Ox,ON = 2ϕ = 2 arg ( w ) ≈ −118 ⇒ N ở góc phần tư thứ ( III ) .
w=

(

Câu 12.

)

[2D4-3.1-2] [BTN 173] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = 4 + 3i . Hỏi điểm biểu diễn của z
là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên ?

A. Điểm P .

.
B. Điểm M .
C. Điểm N .
Hướng dẫn giải

Chọn A.
Ta có: ( 2 − i ) z = 4 + 3i ⇔ z =
⇒ z = 1 − 2i .
Câu 13.

D. Điểm Q .

4 + 3i ( 4 + 3i ) ( 2 + i ) 5 + 10i
=
=
= 1 + 2i .
2−i
5
5

[2D4-3.1-2] [BTN 169] Số phức z = 3i − 2 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
A. ( −2; 3) .

B. ( 3; − 2 ) .

C. ( 2; − 3) .

D. ( 3; 2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
z = 3i − 2 = −2 + 3i có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là ( −2;3) .
Câu 14.

[2D4-3.1-2] [BTN 169] Cho số phức z = 3 − 3i . Hỏi điểm biểu diễn của số phức z là điểm
nào?
A. M ( −3; 3) .
B. M ( 3; − 3) .
C. M ( −3; − 3) .
D. M ( 3; 3) .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có z = 3 − 3i ⇒ z = 3 + 3i . Vậy điểm biểu điễn của số phức z là M ( 3; 3) .

Câu 15.

[2D4-3.1-2] [Chuyên ĐH Vinh] Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết rằng số phức
1
được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P , Q , R , S như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu
z
diễn của w là điểm nào?
w=

TRANG 4


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
y
P

M

S

x

O
Q
R

A. S .

B. P .

C. Q .
Hướng dẫn giải

D. R .

Chọn C.
Cách 1: (Trắc nghiệm).

Câu 16.

Câu 17.

1
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 nên ta chọn z = 1 + i .
2
1 4 2
Suy ra: w = = − i có điểm biểu diễn chính là điểm Q .
z 5 5
Cách 2: (Tự luận).
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 .
1
1
a
b
= 2
− 2
i có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn
Ta có: w = =
2
z a + bi a + b a + b 2
−1 nên ta chọn điểm Q là điểm biểu diễn số phức w .
[2D4-3.1-2] [Cụm 1 HCM] Cho hai số phức z1 = 1 − 3i , z2 = −4 − 6i có các điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là hai điểm M và N . Gọi z là số phức mà có điểm biểu diễn là
trung điểm của đoạn MN . Hỏi z là số phức nào trong các số phức dưới đây?
5 3

3 9
A. z = + i .
B. z = − − i .
C. z = −3 − 9i .
D. z = −1 − 3i .
2 2
2 2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 3 9
Ta có M ( 1; −3) , N ( −4; −6 ) . Suy ra trung điểm I của MN là  − ; − ÷.
 2 2
3 9
Do đó I là điểm biểu diễn của số phức z = − − i .
2 2
[2D4-3.1-2] [SỞ GD-ĐT ĐỒNG NAI] Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , tìm tập hợp
T các điểm biểu diễn của các số phức z thỏa z = 10 và phần ảo của z bằng 6 .

A. T = { ( 6;8 ) , ( 6; −8 ) } .

B. T = { ( 8; 6 ) , ( −8;6 ) } .

C. T là đường tròn tâm O bán kính R = 6 .
D. T là đường tròn tâm O bán kính R = 10 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt T = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) .
ìï z = 10
ïí
Û

ïï I m( z) = 6
î

ïìï x2 + y2 = 10
Û
í
ïï y = 6
î

⇒ T = ( 8;6 ) hoặc T = ( −8;6 ) .

2
ì 2
ïíï x + y = 100 Û
ïïî y = 6

ì 2
ïíï x = 64 Û
ïïî y = 6

ìï x = ±8
íï
ïïî y = 6 .

TRANG 5


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 18.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [THPT HÀM LONG] Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức
1
6 − 3i; ( 1 + 2i ) i; . Tìm số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành.
i
A. z = 4 − 2i .
B. z = 8 − 5i .
C. z = −8 + 3i .
D. z = −8 − 4i .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: 6 − 3i nên tọa độ A ( 6; −3) ; (1 + 2i ) i; = −2 + i nên tọa độ B ( −2;1) .
1
= −i nên tọa độ C ( 0; −1) .
i
uuur uuur
x − 6 = 2
x = 8
⇔
Để ABCD là hình bình hành : AD = BC nên 
.
 y + 3 = −2
 y = −5
Vậy D có điểm biểu diễn số phức là z = 8 − 5i .

Câu 19.

[2D4-3.1-2] [THPT Gia Lộc 2] Cho số phức z thỏa mãn iz = 1 + 2i −

biểu diễn số phức liên hợp z .
A. A ( −1; −3) .
B. A ( −1;3) .

C. A ( 1;3) .

1 + 7i
. Xác định điểm A
1 − 3i
D. A ( 1; −3) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có iz = 1 + 2i −

Câu 20.

1 + 7i
3+i
⇔ iz = 1 + 2i − ( −2 + i ) ⇔ iz = 3 + i ⇔ z =
= 1 − 3i ⇒ z = 1 + 3i .
1 − 3i
i

[2D4-3.1-2] [THPT CHUYÊN VINH] Cho số phức z thỏa mãn z = 2 và điểm A trong
2
hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z . Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức
w=

1

là một trong bốn điểm M , N , P, Q . Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là.
iz
.
y
Q

M
O

A
x

N

P

A. điểm Q .

B. điểm P .

C. điểm M .
Hướng dẫn giải

D. điểm N .

Chọn B.
Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên
gọi z = a + bi (a, b > 0) .
Do z =

2
nên
2

a 2 + b2 =

2
.
2
TRANG 6


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

1
−b
a
= 2
− 2
i nên điểm biểu diễn w nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt
2
iz a + b a + b 2
phẳng Oxy .
Lại có w =

1
1
=

= 2 = 2 z = 2OA .
iz i . z
Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P .
w=

Câu 21.

[2D4-3.1-2] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Cho số phức z thỏa mãn ( 1 − i ) z = 2i . Tìm điểm biểu
diễn của z trên mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) .
B. Điểm M ( −1;1) .

A. Điểm N ( 1;1) .

C. Điểm Q ( - 1; - 1) .

D. Điểm P ( 1; - 1) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có : ( 1 − i ) z = 2i ⇔ z =

2i
= −1 + i .
1− i

Điểm biểu diễn số phức z là M ( −1;1) .
Câu 22.

8

[2D4-3.1-2] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Cho số phức z = ( 1 + i ) . Tọa độ điểm M biểu diễn
z là.

A. M ( 0; - 16) .

B. M ( 16;0) .

C. M ( - 16;0) .

D. M ( 0;16) .

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: z = ( 1 + i ) = ( 2i ) = 16 ⇒ M ( 16;0 ) .
8

Câu 23.

4

[2D4-3.1-2] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Cho số phức z thoả mãn ( 2 - i ) z = 1 + i. Điểm M
biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ Oxy là.
3 
A. M  ; 0 ÷ .
4 

 1 3
1 3
B. M  − ; ÷.
C. M  ; ÷.

 5 5
5 5
Hướng dẫn giải

 3
D. M  0; ÷.
 5

Chọn C.
1+ i 1 3
1 3
z=
= + i . M  ; ÷. .
2−i 5 5
5 5
Câu 24.

[2D4-3.1-2] [THPT Lý Thái Tổ] Giả sử A, B theo thứ tự là điểm biểu diễn của các số phức
uuur
z1 ; z2 . Khi đó độ dài của véctơ AB bằng:
A. z2 − z1 .
B. z1 + z2 .
C. z2 + z1 .
D. z1 − z2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Giả sử z1 = xA + y A .i; z2 = xB + y B .i ( x A , y A , x B , y B ∈ ¡ ) . .

TRANG 7

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Khi đó A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) . Ta có.
uuur
uuur
 AB = ( xB − xA ; yB − y A ) ⇒ AB =

( xB − x A )

 z2 − z1 = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) .i ⇒ z 2 − z1 =

2

+ ( yB − y A )

( xB − x A )

2

( 1) .

2

+ ( yB − y A )

( 2) .

2

uuu
r
Từ ( 1) và ( 2 ) suy ra AB = z2 − z1 .

Câu 25.

[2D4-3.1-2] [THPT Lý Nhân Tông] Cho các điểm A , B , C trong mặt phẳng phức theo thứ
tự biểu diễn các số phức 1 + i  , 2 + 4i  , 6 + 5i . Số phức z có điểm biểu diễn là D sao cho
ABCD là hình bình hành là.
A. z = 7 + 8i .
B. z = −3 .
C. z = −3 + 8i .
D. z = 5 + 2i .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Giả thiết suy ra A ( 1;1) , B ( 2; 4 ) , C ( 6;5 ) . Gỉa sử D ( x  ; y ) .
uuur uuur
 x −1 = 4
x = 5
⇔
⇒ z = 5 + 2i . Vậy D ( 2;3) .
ABCD là hình bình hành ⇔ AD = BC ⇔ 
 y −1 = 1
y = 2

Câu 26.

[2D4-3.1-2] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Cho số phức z = 2 − 0.5 ( 1 + i ) . Hỏi điểm biểu diễn của

2

z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

.
A. Điểm M .

B. Điểm P .

C. Điểm Q .
Hướng dẫn giải

D. Điểm N .

Chọn B.
z = 2 − 0.5 ( 1 + i ) = 2 − 0,5. ( 2i ) = 2 − i .
2

Câu 27.

[2D4-3.1-2] [THPT Tiên Du 1] Gọi A là điểm biểu diễn của số phức z = 2 + 5i và B là điểm
biểu diễn của số phức z′ = −2 + 5i . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. Hai điểm
B. Hai điểm
C. Hai điểm
D. Hai điểm
Chọn B.

A
A

A
A

và
và
và
và

B
B
B
B

đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x .
đối xứng với nhau qua trục tung.
đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O .
đối xứng với nhau qua trục hoành.
Hướng dẫn giải

( )

(

)

Dựa vào giả thiết ta suy ra A 2; 5 và B −2; 5 .
TRANG 8


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Ta thấy A và B đối xứng nhau qua trục tung.
Câu 28.

[2D4-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Kí hiệu A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn hình học
2
của các số phức z1 = 1 + i; z2 = ( 1 + i ) , z3 = a − i, a ∈ R . Tìm a để tam giác ABC vuông tại B

.
A. a = 1 .

B. a = 3 .

C. a = −1 .
Hướng dẫn giải

D. a = −3 .

Chọn D.

z1 = 1 + i ⇒ A ( 1;1) ; z2 = ( 1 + i ) = 2i ⇒ B ( 0; 2 ) ; z3 = a − i ⇒ C ( a; −1) .
uuu
r
uuur
⇒ BA = ( −1;1) và BC = ( a; −3) .
uuu
r uuur
Tam giác ABC vuông tại B ⇔ BA.BC = 0 ⇔ − a − 3 = 0 ⇒ a = −3 .

2

Câu 29.

[2D4-3.1-2] [THPT Thuận Thành] Trong mặt phẳng Oxy, cho z1 = 1 − i, z2 = 3 + 2i , gọi các
điểm M , N lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , gọi G là trọng tâm của tam giác OMN ,
với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây?
4 1
1
A. 5 − i .
B. 4 + i .
C. + i .
D. 2 + i .
3 3
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
æ4 1 ö
4 1
M ( 1; - 1) , N ( 3; 2) Þ G ç
; ÷
Þ
z
=
+ i. .
÷
ç
÷
ç
è3 3 ø

3 3

Câu 30.

[2D4-3.1-2] [THPT Thuận Thành 2] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = 15 + 10i . Hỏi điểm biểu
diễn cho số phức z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q cho hình dưới đây.

A. Điểm P .

.
B. Điểm M .
C. Điểm N .
Hướng dẫn giải

D. Điểm Q .

Chọn D.
Ta có: ( 2 − i ) z = 15 + 10i ⇒ z =
Câu 31.

15 + 10i
= 4 + 7i ⇒ z = 4 − 7i .
2−i

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Điểm M trong hình vẽ trên là điểm biểu diễn
cho số phức z. Phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng?

TRANG 9

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

.
A. - 7 .

B. 1 .

D. 7 .

C. - 1 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
M ( 3; - 4) Û z = 3 - 4i . Khi đó ( 1 + i ) z = 7 - i .
Vậy phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng - 1 .
Câu 32.

[2D4-3.1-2] Cho số phức z = 1 − 2i. Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
A. M ( 2; −1) .
B. M ( 1;2 ) .
C. M ( 1; −2 ) .
D. M ( 2;1) .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i ⇒ M ( 1; 2 ) .
Câu 33.

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Cho số phức z thỏa mãn ( 1 − i ) z = 5 − i . Hỏi điểm
biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên?

.
A. Điểm N .

B. Điểm M .

C. Điểm  P .
Hướng dẫn giải

D. Điểm Q .

Chọn B.
Ta có: ( 1 − i ) z = 5 − i ⇔ z =
Câu 34.

5−i
= 3 + 2i ⇒ M ( 3;2 ) .
1− i

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 01] Cho số phức z thỏa ( 1 + i ) z = 14 − 2i . Điểm biểu
diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy có tọa độ là:
A. ( 8;6 ) .
B. ( 6;8 ) .
C. ( 6; −8 ) .
D. ( −8;6 ) .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
TRANG 10

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

14 − 2i ( 14 − 2i ) ( 1 − i )
=
= 6 − 8i .
1+ i
2
Gọi M ( x; y ) là điểm biểu diễn của z = 6 − 8i trong mp tọa độ Oxy suy ra M ( 6; −8 ) .
Từ giả thiết ( 1 + i ) z = 14 − 2i suy ra z =

Câu 35.

[2D4-3.1-2] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Trong mặt phẳng tọa độ, các điểm A , B ,
4i
C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức
, ( 1 − i ) ( 1 + 2i ) , −2i 3 . Khi đó tam giác ABC
i −1
có tính chất là:
A. Vuông tại A .
B. Vuông tại C .
C. Vuông tại B .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
4i
= 2 − 2i ⇒ A ( 2; −2 ) ; ( 1 − i ) ( 1 + 2i ) = 3 + i ⇒ B ( 3;1) ; −2i 3 = 2i ⇒ C ( 0; 2 ) .

i −1
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
Suy ra: AB ( 1;3) ; BC ( −3;1) . AB.BC = 0 . Vậy tam giác ABC vuông tại B .

Ta có:

Câu 36.

[2D4-3.1-2] [THPT Hoàng Hoa Thám - Khánh Hòa] Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu
diễn các số phức z1 = −1 + 3i ; z2 = −3 − 2i ; z3 = 4 + i . Chọn kết luận đúng nhất :
A. Tam giác ABC cân không vuông.
B. Tam giác ABC đều.
C. Tam giác ABC vuông không cân.
D. Tam giác ABC vuông cân.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

A ( −1;3) , B ( −3; −2 ) , C ( 4;1) .
uuur
AB = ( −2; −5 ) ⇒ AB = 29 .
uuur
AC = ( 5; −2 ) ⇒ AC = 29 .
uuur uuur
AB. AC = 0 ⇒ AB ⊥ AC .
Vậy ∆ABC vuông cân tại A .
Câu 37.

.

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Điểm biểu diễn của số phức z thỏa :

( 1 + i ) z = ( 1 − 2i )
 7 1
A.  − ; ÷.
 2 2

2

là:
 7 1
7 1
B.  − ; − ÷.
C.  ; ÷.
 2 2
2 2
Hướng dẫn giải

7 1
D.  ; − ÷.
2 2

Chọn B.
7 1
z=− − i.
2 2
Câu 38.

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 06] Cho số phức z thỏa mãn: (4 − i) z = 3 − 4i . Điểm
biểu diễn của z là:

TRANG 11


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

23 
 9
A. M  ; − ÷.
 25 25 

PHƯƠNG PHÁP

 16 13 
 16 11 
B. M  ; − ÷ .
C. M  ; − ÷.
 17 17 
 15 15 
Hướng dẫn giải

9 4
D. M  ; − ÷.
5 5

Chọn B.
BG: Ta có (4 − i) z = 3 − 4i => z =

Câu 39.

3 − 4i 16 13
 16 13 
= − i suy ra M  ; − ÷ .
4 − i 17 17
 17 17 

[2D4-3.1-2] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho số phức z thỏa mãn ( 1 − 2i ) z = 3 + i . Hỏi
điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm I , J , K , H ở hình bên?

.
A. Điểm I.

B. Điểm J.

C. Điểm K.
Hướng dẫn giải

D. Điểm H.

Chọn B.

( 1 − 2i ) z = 3 + i ⇒ z =

3+i 1 7
= + i
1 − 2i 5 5 .

1 7

5 5

Điểm biểu diễn là J  ; ÷.
Câu 40.

[2D4-3.1-2] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Cho số phức z thỏa mãn ( 1 + 3i ) z + 2i = −4 .
Điểm nào sau đây biểu diễn cho z trong các điểm M , N , P , Q ở hình bên.
.

A. Điểm Q.

B. Điểm P.

Q

P

M

N

C. Điểm M.
Hướng dẫn giải

D. Điểm N.

Chọn A.
TRANG 12

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

Ta có: ( 1 + 3i ) z + 2i = −4 ⇔ ( 1 + 3i ) z = −4 − 2i .
⇔z=

−4 − 2i ( −4 − 2i ) ( 1 − 3i ) −10 + 10i
=
=
= −1 + i .
1 + 3i
10
( 1 + 3i ) ( 1 − 3i )

Vậy điểm biểu diễn của z là Q ( −1;1) .
Câu 41.

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Lê Quý Đôn] Số nào sau đây là số đối của số phức z , biết z có
phần thực dương thỏa mãn z = 2 và trong mặt phẳng phức thì z có điểm biểu diễn thuộc
đường thẳng y − 3 x = 0 .
B. −1 − 3i .

A. 1 + 3i .

C. −1 + 3i .
Hướng dẫn giải

D. 1 − 3i .

Chọn A.
Gọi z = a + bi

( a, b ∈ ¡ ) .

Ta có z = 2 nên a 2 + b 2 = 4 .
Vì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng y − 3x = 0 nên b = a 3 .
Và vì a > 0 nên a = 1, b = 3 .
Câu 42.

[2D4-3.1-2] [BTN 164] Cho hai số phức z và
ur
u′ . Hãy chọn câu trả lời sai trong các câu sau:
r uuuu
r
A. Nếu z = a + bi thì u = OM , với M ( a; b ) .
r ur
C. u.u′ biểu diễn cho số phức z.z′ .

r
z′ lần lượt được biểu diễn bởi hai vectơ u và

r ur
B. u − u′ biểu diễn cho số phức z − z′ .
r ur
D. u + u ′ biểu diễn cho số phức z + z′ .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
r ur

Ta có u.u ' bằng một số, nên nó không thể biểu diễn cho z.z ' .
Câu 43.

[2D4-3.1-2] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Trong mặt phẳng phức
z = a + bi ( a, b ∈ ¡

)

Oxy , số phức

thỏa điều kiện nào thì có điểm biểu diễn thuộc phần tô đậm trong hình vẽ

(kể cả biên)?

A. a ∈ ( −3; 2 ) ∪ ( 2;3) và z ≤ 3 .

.
B. a ∈ [ −3; 2] ∪ [ 2;3] và z > 3 .

C. a ∈ [ −3; −2] ∪ [ 2;3] và z ≤ 3 .

D. a ∈ [ −3; 2] ∪ [ 2;3] và z < 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.

Từ hình vẽ ta có a ∈ [ −3; −2] ∪ [ 2;3] và z ≤ 3 .

TRANG 13

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 44.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [THPT Kim Liên-HN] Trong mặt phẳng phức cho hai điểm A , B lần lượt biểu
diễn hai số phức 2 + 5i , - 3i . Tìm số phưc có điểm biểu diễn là trung điểm của đoạn AB .
A. 1 + 3i .

B. 3 + 3i .

C. 1 + i .

D.

1
+i .
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có A( 2;5) ; B ( 0; - 3) .
Trung điểm AB là I ( 1;1) .
Þ Số phức biểu diễn cho I là z = 1 + i .
Câu 45.

[2D4-3.1-2] [Chuyên ĐH Vinh] Cho số phức z có điểm biểu diễn là M . Biết rằng số phức
1

được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P , Q , R , S như hình vẽ bên. Hỏi điểm biểu
z
diễn của w là điểm nào?
w=

.
y
P

M

S

x

O
Q
R

A. S .

B. P .

C. Q .
Hướng dẫn giải

D. R .

Chọn C.
Cách 1: (Trắc nghiệm).

Câu 46.

1
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 nên ta chọn z = 1 + i .
2
1 4 2
Suy ra: w = = − i có điểm biểu diễn chính là điểm Q .
z 5 5
Cách 2: (Tự luận).
Ta có: z = a + bi theo hình vẽ có a = 1 , 0 < b < 1 .
1
1
a
b
= 2
− 2
i có phần thực dương bé hơn 1, phần ảo âm lớn hơn
Ta có: w = =
2
z a + bi a + b a + b 2
−1 nên ta chọn điểm Q là điểm biểu diễn số phức w .
[2D4-3.1-2] [Cụm 1 HCM] Cho hai số phức z1 = 1 − 3i , z2 = −4 − 6i có các điểm biểu diễn
trên mặt phẳng tọa độ lần lượt là hai điểm M và N . Gọi z là số phức mà có điểm biểu diễn là
trung điểm của đoạn MN . Hỏi z là số phức nào trong các số phức dưới đây?
5 3
3 9
A. z = + i .
B. z = − − i .
C. z = −3 − 9i .

D. z = −1 − 3i .
2 2
2 2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
TRANG 14


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

PHƯƠNG PHÁP

 3 9
Ta có M ( 1; −3) , N ( −4; −6 ) . Suy ra trung điểm I của MN là  − ; − ÷.
 2 2
3 9
Do đó I là điểm biểu diễn của số phức z = − − i .
2 2
Câu 47.

[2D4-3.1-2] [BTN 175] Cho số phức z = ( 1 + 2i ) ( 4 − 3i ) . Tọa độ điểm biểu diễn số phức z
trên mặt phẳng phức là:
A. ( 10; −5 ) .
B. ( −10; −5 ) .

C. ( 10;5 ) .

D. ( −10;5 ) .

Hướng dẫn giải

Chọn A.
z = ( 1 + 2i ) ( 4 − 3i ) = 10 + 5i ⇒ z = 10 = 5i .

Vậy điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng phức có tọa độ là ( 10; −5 ) .
Câu 48.

[2D4-3.1-2] [BTN 174] Cho các số phức z1 = −1 + i, z2 = 2 + 3i, z3 = 5 + i, z4 = 2 − i lần lượt có
các điểm biểu diễn trên mặt phẳng phức là M , N , P, Q . Hỏi tứ giác MNPQ là hình gì ?
A. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.
B. Tứ giác MNPQ là hình vuông.
C. Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
D. Tứ giác MNPQ là hình thoi.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tọa độ các điểm M ( −1;1) , N ( 2;3) , P ( 5;1) , Q ( 2; −1) khi biểu diễn chúng trên mặt phẳng tọa độ
ta sẽ thu được hình thoi.

Câu 49.

[2D4-3.1-2] [BTN 173] Cho số phức z thỏa mãn ( 2 − i ) z = 4 + 3i . Hỏi điểm biểu diễn của z
là điểm nào trong các điểm M , N , P, Q ở hình bên ?

A. Điểm P .

.
B. Điểm M .
C. Điểm N .
Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có: ( 2 − i ) z = 4 + 3i ⇔ z =
⇒ z = 1 − 2i .
Câu 50.

D. Điểm Q .

4 + 3i ( 4 + 3i ) ( 2 + i ) 5 + 10i
=
=
= 1 + 2i .
2−i
5
5

[2D4-3.1-2] [BTN 169] Số phức z = 3i − 2 có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là:
A. ( −2; 3) .

B. ( 3; − 2 ) .

C. ( 2; − 3) .

D. ( 3; 2 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
z = 3i − 2 = −2 + 3i có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là ( −2;3) .
TRANG 15


TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 51.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [BTN 169] Cho số phức z = 3 − 3i . Hỏi điểm biểu diễn của số phức z là điểm
nào?
A. M ( −3; 3) .
B. M ( 3; − 3) .
C. M ( −3; − 3) .
D. M ( 3; 3) .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có z = 3 − 3i ⇒ z = 3 + 3i . Vậy điểm biểu điễn của số phức z là M ( 3; 3) .

Câu 52.

[2D4-3.1-2] [BTN 167] Trong mặt phẳng Oxy, A ( 1;7 ) , B ( −5;5 ) lần lượt biểu diễn hai số phức
z1 , z2 . C biểu diễn số phức z1 + z2 . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
uuu
r
uuur
A. CB biểu diễn số phức − z1 .
B. AB biểu diễn số phức z1 − z2 .
D. C có tọa độ ( −4;12 ) .

C. OACB là hình thoi.

Hướng dẫn giải
Chọn B.

uuu
r
uuu
r
uuu
r uuur uuu
r
Ta có OA biểu diễn cho z1 , OB biểu diễn cho z2 nên OA − OB = BA biểu diễn cho z1 − z2 . .
Các câu còn lại dễ dàng kiểm tra là đúng.
Câu 53.

[2D4-3.1-2] [BTN 166] Mặt phẳng phức A ( −4;1) , B ( 1;3) , C ( −6;0 ) lần lượt biểu diễn các số
phức z1 , z2 , z3 . Trọng tâm G của tam giác ABC biểu diễn số phức nào sau đây?
4
A. −3 + i .
3

4
B. 3 − i .
3

4
C. 3 + i .
3
Hướng dẫn giải

4
D. −3 − i .
3

Chọn A.
4

Trọng tâm của tam giác ABC là G  −3; ÷.
3

4
Vậy G biểu diễn số phức z = −3 + i .
3
Câu 54.

[2D4-3.1-2] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Điểm M trong hình vẽ trên là điểm biểu diễn
cho số phức z. Phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng?

.
A. - 7 .

B. 1 .

C. - 1 .
Hướng dẫn giải

D. 7 .

Chọn C.
M ( 3; - 4) Û z = 3 - 4i . Khi đó ( 1 + i ) z = 7 - i .
Vậy phần ảo của số phức ( 1 + i ) z bằng - 1 .

TRANG 16

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN

Câu 55.

PHƯƠNG PHÁP

[2D4-3.1-2] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Cho số phức z thỏa mãn (2 - i) z = 7 - i. Hỏi
điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình dưới?

.
A. Điểm N.

B. Điểm M.

C. Điểm Q.
Hướng dẫn giải

D. Điểm P.

Chọn B.
7 − i (7 − i)(2 + i) 15 + 5i
=
=
= 3 + i. .
2 − i (2 − i)(2 + i)
5
Do đó điểm biểu diễn z là điểm có tọa độ là ( 3;1) .
Ta có z =

Câu 56.

[2D4-3.1-2] Cho số phức z = 1 − 2i. Tìm tọa độ biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng tọa độ.
A. M ( 2; −1) .
B. M ( 1;2 ) .
C. M ( 1; −2 ) .
D. M ( 2;1) .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

z = 1 − 2i ⇒ z = 1 + 2i ⇒ M ( 1;2 ) .

TRANG 17