Định lý tách tập lồi và ứng dụng trong tối ưu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHÙNG THU HƯỜNG

ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

HÀ NỘI−2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHÙNG THU HƯỜNG

ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI
VÀ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI−2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan bản luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi.
Các số liệu và tài liệu được trích dẫn trong luận văn là trung thực. Kết quả
nghiên cứu này không trùng với bất cứ công trình nào đã được công bố trước
đó. Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan của mình.

Hà Nội, tháng 10 năm 2017.
Tác giả luận văn

Phùng Thu Hường

i


MỤC LỤC

MỤC LỤC

iii

LỜI NÓI ĐẦU

iv

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

1

1 ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI

3

1.1

1.2

Tập lồi – hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Không gian vectơ tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Định lý tách

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.1

Phiếm hàm tuyến tính liên tục

1.2.2

Định lý tách 1

1.2.3

14

. . . . . . . . . . . . . .

14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Định lý tách mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TÁCH TRONG TỐI ƯU HÓA

20

2.1

Cực trị hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1

24

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii


2.2.2

Sự tồn tại nghiệm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.2.3

Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . .

34

2.3.1

Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.2

Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.3

Tài liệu tham khảo

45

iii


LỜI NÓI ĐẦU
Giải tích lồi là môn cơ bản của giải tích hiện đại, có vai trò quan trọng
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng nói chung, và trong tối
ưu hóa nói riêng. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các
định lý tách. Về bản chất, định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có
thuộc tập lồi hay không, và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì? Đây
là câu hỏi về liên thuộc, một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung
tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số, tích phân,tập
nghiệm của một bài toán tối ưu, . . . Nếu phần tử đó thuộc tập lồi, thì vấn đề
liên thuộc được giải quyết. Trái lại, nếu câu trả lời là không, thì sẽ xảy ra điều
gì? Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và
là công cụ rất mạnh, thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối
tượng trong nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác nhau.
Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách
và ứng dụng quan trọng của nó vào tối ưu hóa.
Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là
những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận
văn. Sau đó tác giả trình bày hai định lý tách và hệ quả.
Chương 2. Trình bày một số ứng dụng của định lý tách trong tối ưu hóa: Điều
kiện cực trị, điều kiện tối ưu, tính đạo hàm của hàm lồi.
iv


Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH
Lê Dũng Mưu, Viện toán học, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác

giả trong suốt quá trình hoàn thành bản luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với Giáo sư.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn với các thầy cô giáo trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội về những ý kiến đóng góp quý
báu, sự giúp đỡ tận tình cho tác giả trong suốt thời gian vừa qua.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa
Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội đã tạo điều kiện về thủ tục hành chính thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học tập tại trường.

v


Danh mục các kí hiệu
R

tập số thực

R

tập số thực mở rộng (R = R ∪ {−∞, +∞}).

℘(X)

họ những tập con của X

X

không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X

N

tập hợp số tự nhiên

A¯

bao đóng của A

coA

bao lồi của A

af f (A) bao affine của tập A
ri(A)

tập điểm trong tương đối của A

coA

bao lồi đóng của A

intA

tập các điểm trong của A

coreA

lõi của tập A

f |M

hạn chế của f trên tập M

H, K

không gian Hilbert thực

.

chuẩn trên không gian Hilbert

1


x, y

tích vô hướng của hai vectơ x và y

f∗

hàm liên hợp của f

f ⊕ f∗

tổng trực tiếp của f và f ∗

domf

miền hữu dụng của hàm f

∇f (x)

đạo hàm của f tại x

span{x0 } không gian căng bởi x0

2


Chương 1

ĐỊNH LÝ TÁCH CÁC TẬP LỒI
Chương 1 trình bày lại các khái niệm cơ bản của giải tích lồi như không
gian vectơ tôpô, tập lồi, hàm lồi trong không gian véc tơ tô pô. Các kiến thức
trong chương này được tổng hợp từ tài liệu [1] và [4].

1.1
1.1.1

Tập lồi – hàm lồi
Không gian vectơ tôpô lồi địa phương

Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một họ τ ⊂ ℘(X) được
gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:
i) ∅, X ∈ τ ,
ii) Giao của một số hữu hạn phần tử thuộc τ thì thuộc τ ,
iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ .
Định nghĩa 1.2. Cho không gian tôpô (X, τ ). Một họ B ⊂ τ được gọi là một
cơ sở lân cận của τ nếu mọi tập U ∈ τ đều biểu diễn được dưới dạng hợp các
tập thuộc B.

3


Một họ ν ∈ τ được gọi là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi
lân cận U của x0 đều tồn tại V ∈ ν sao cho x0 ∈ U ⊆ V .
Ta có kết quả sau:
Cho B ⊆ ℘(X) . Để tồn tại một tôpô τ nhận B làm cơ sở thì điều kiện cần và
đủ là B thỏa mãn các tính chất sau:
V =X

i)
V ∈B

ii) ∀U, V ∈ B, ∀x ∈ U ∩ V, ∃W ∈ B : x ∈ W ⊆ U ∩ V .
k

Cho một họ C ⊆ ℘(X) tùy ý. Khi đó họ B =
i=1

Ci |k ∈ N∗ ; Ci ∈ C, 1 ≤ i ≤ k

thỏa mãn (i˘ii), nên sẽ là cơ sở của một tôpô τ nào đó trên X. Ta nói C là tiền
cơ sở của τ .
Định lý 1.1. Cho X là một không gian véctơ.
a) Nếu τ là một tôpô lồi địa phương trên X, thì tồn tại một cơ sở lân cận gốc
ν gồm toàn các tập lồi, cân đối, hấp thụ.
b) Ngược lại, nếu ν0 là một họ gồm các tập lồi, cân đối, hấp thụ thì họ sau:
m

ν=

Vi |ε > 0, m ∈ N; Vi ∈ ν0

ε
1

là cơ sở lân cận gốc của một tôpô địa phương nào đó. Hơn nữa, tôpô này
là Hausdorff khi và chỉ khi:
εV = {0}.
V ∈ν0 ;ε>0

Ví dụ 1.1. Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinh bởi
họ chỉ gồm một tập: ν0 = {B(0, 1)}. Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng là :
ν = {εB(0, 1)|ε > 0} = {B(0, ε)|ε > 0}.

1.1.2

Tập lồi

Định nghĩa 1.3. Cho X là một không gian véctơ, hai điểm x, y ∈ X
4


i) Một đường thẳng đi qua hai điểm x, y là tập hợp có dạng:
L(x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ R}
ii) Đoạn thẳng nối hai điểm x, y trong X có dạng:
[x, y] = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ [0, 1]}
iii) Khoảng mở nối hai điểm x, y trong X có dạng:
(x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1)}

iv) Nửa khoảng nối hai điểm x, y trong X có dạng:
[x, y) = {λx + (1 − λ)y|λ ∈ (0, 1]}
Định nghĩa 1.4. Tập hợp C ⊂ X gọi là tập lồi nếu mọi cặp x, y ∈ C ta có
(x, y) ∈ C tức là ∀x, y ∈ C ta có λx + (1 − λ)y ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1).
Định nghĩa 1.5. Ta nói x là một tổ hợp lồi các điểm (véctơ) x1 , x2 , x3 , . . . , xk
nếu:
k

k
j

x=

λj x ; j = 1, 2, . . . , k;
j=1

λj = 1.(λj > 0)
j=1

Định nghĩa 1.6. Bao lồi của tập A ⊂ X, kí hiệu coA, là giao tất cả các tập
lồi chứa A.
Nhận xét: coA là một tập lồi và là tập lồi bé nhất chứa A.
Tính chất:
1) Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi;
2) coA = {x|x là tổ hợp lồi các véctơ thuộc A};
3) C là tập lồi ⇔ C = coC;
4) A, B là các tập lồi và α ∈ R ⇒ A + B, αA cũng là tập lồi.
5

Định nghĩa 1.7. Siêu phẳng trong không gian X là một tập hợp các điểm có
dạng
{x ∈ X : aT x = α},
trong đó a ∈ X là một véctơ khác 0 và α ∈ R.
Cho X là một không gian véctơ. Một ánh xạ ϕ : X → R được gọi là một phiếm
hàm dưới tuyến tính nếu:
a) ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) với mọi x, y ∈ X.
b) ϕ(λx) = λϕ(x) với mọi λ > 0, x ∈ X.
Định lý 1.2. (Định lý Hahn – Banach)
Cho ϕ là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên X,M là một không gian con của
X và f ∈ M thỏa mãn
f (m) ≤ ϕ(m); ∀m ∈ M.
Lúc đó, tồn tại F ∈ X sao cho:
i) F |M = f
ii) F (x) ≤ ϕ(x) với mọi x ∈ X.
Cho A và B là hai tập con của không gian véctơ X. Một phiếm hàm tuyến tính
f ∈ X \ {0} được gọi là tách A và B nếu:
f (a) ≤ f (b) (hoặc f (a) ≥ f (b)); ∀a ∈ A, b ∈ B.
Tức là tồn tại một số α ∈ R sao cho:
f (a) ≤ α ≤ f (b); ∀a ∈ A, b ∈ B.
Lúc đó ta nói siêu phẳng: H(f ; α) = f −1 (α) = {x ∈ X|f (x) = α} tách A và B.
Như vậy: Siêu phẳng tách hai tập, nếu có, là không duy nhất.
6


Định lý 1.3. (Định lý tách cơ bản)
Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng, coreA = ∅ và A ∩ B = ∅. Khi đó, tồn tại
siêu phẳng tách A và B.
Bổ đề 1.1. Nếu C là một tập lồi, hấp thụ và x0 ∈
/ C thì tồn tại siêu phẳng

tách C và x0 .
Chứng minh. Đặt M = span{x0 } và g : M → R xác định bởi g(λx0 ) = λ, ∀λ ∈
R. Lúc đó g ∈ M , hơn nữa do pC (x0 ) ≥ 1 nên g(m) ≤ pC (m), ∀m ∈ M .
Áp dụng định lý Hahn – Banach tồn tại f ∈ X sao cho f |M = g và f (x) ≤
pC (x), ∀x ∈ X. Rõ ràng f (x0 ) = 1.
Mặt khác, với mọi c ∈ C ta có f (c) ≤ pC (c) ≤ 1.
Nên f tách C và x0 .
Chứng minh Định lý 1.3
Giả sử a0 ∈ coreA và b0 ∈ B. Đặt x0 = a0 − b0 và C := A − B − (a0 − b0 ) ⇒ C
là tập lồi, hấp thụ và không chứa x0 . Theo Bổ đề 1.1 ⇒ ∃f ∈ X \ {0} tách C
và x0 ⇒ f tách A và B.
Định nghĩa 1.8. Một tập C được gọi là nón nếu ∀λ > 0, ∀x ∈ C ⇒ λx ∈ C.
Nhận xét:
- Gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không thuộc nón
- Một nón không nhất thiết phải là tập lồi.
Ví dụ 1.2. Tập C := {x ∈ R|x = 0} là nón nhưng không lồi.
Định nghĩa 1.9. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi.
Ví dụ 1.3. Cho X = Rn , bα ∈ Rn (α ∈ I).
Khi đó tập K = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0; ∀α ∈ I} là một nón lồi vì K =

Kα ,
α∈I

trong đó Kα = {x ∈ Rn : x, bα ≤ 0} là nón lồi.
7


Mệnh đề 1.1. Một tập C là nón lồi khi và chỉ khi C có các tính chất:
i) λC ⊆ C, ∀λ > 0.
ii) C + C ⊆ C.

Chứng minh.
(⇒) Giả sử C là một nón lồi. Do C là nón lồi nên ta có i).
1
Do C là một tập lồi nên với ∀x, y ∈ C thì (x + y) ∈ C. Theo i) ta có
2
x + y ∈ C ⇒ ii).
(⇐) Giả sử ta có i)
 và ii). Từ i) suy ra C là một nón.
Từ i) suy ra




 λx ∈ C

. Theo ii) ta có λx + (1 − λ)y ∈ C ⇒ C là




 (1 − λ)y ∈ C

một tập lồi.
Vậy C là nón lồi.

Định nghĩa 1.10. Nửa không gian đóng là tập hợp có dạng {x|aT x ≥ α} trong
đó a = 0 và α ∈ R.
Định nghĩa 1.11. Một tập được gọi là lồi đa diện nếu nó là giao của một số
hữu hạn các nửa không gian đóng.

1.1.3

Hàm lồi

Giả sử X là không gian lồi địa phương, f : X → R ∪ {±∞}
Định nghĩa 1.12. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu epif , được định nghĩa như
sau:
epif = {(x, r) ∈ X × R|f (x) ≤ r}
8


Định nghĩa 1.13. Miền hữu hiệu của f kí hiệu là domf , được định nghĩa:
domf = {x ∈ X|f (x) < +∞}
Định nghĩa 1.14. Hàm f được gọi là chính thường nếu:
domf = ∅ và f (x) > −∞, ∀x ∈ X
Định nghĩa 1.15. Hàm f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi trong không
gian X × R. Hàm f được gọi là lõm trên X nếu −f là hàm lồi trên X.
Nhận xét: f lồi ⇒ domf là tập lồi.
Thật vậy, ta có domf là hình chiếu trên x của epif .
domf = {x ∈ X|f (x) < +∞} = {x : ∃r : (x, r) ∈ epif }
Như vậy domf là ảnh của tập lồi epif qua một ánh xạ tuyến tính. Do đó, domf
lồi.
Ví dụ: Giả sử A là hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần trên tập lồi, mở
∂ 2f
n
A ⊂ R . Khi đó, f lồi trên A khi và chỉ khi ma trận Hessian Qz =
∂xi ∂xj
n
nửa xác định dương ∀x ∈ A, tức là z, Qx (z) ≥ 0(∀z ∈ R , ∀x ∈ A).
Ví dụ: Chuẩn Euclide là một hàm lồi trên Rn

x =

x, x =

x21 + x22 + . . . + x2n trong đó (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn .

Định lý 1.4. Giả sử D là tập lồi trong không gian X, f : X → (−∞, +∞]. Khi
đó f lồi trên D khi và chỉ khi
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀λ ∈ [0, 1]; ∀x, y ∈ D

(1.1)

Chứng minh.
(⇒) Giả sử f là hàm lồi, không mất tổng quát có thể xem λ ∈ (0, 1) không thể
xảy ra trường hợp f (x) < +∞, f (y) < +∞ mà f (λx + (1 − λ)y) = +∞
bởi vì domf thì [x, y] ⊂ domf.
9


Do λ ∈ (0, 1) nên f (x) < +∞ ⇒ λf (x) = +∞.
Nếu x hoặc y không thuộc domf thì f (x) = +∞ hoặc f (y) = +∞ và (1.1)
đúng.
Bởi vì epif lồi, ∀(x, r) ∈ epif, ∀(y, s) ∈ epif, ∀λ ∈ (0, 1) :
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) = epif
⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λr + (1 − λ)s
⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y);(lấy r = f (x), s = f (y))

(⇐) Giả sử (1.1) đúng, lấy (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif, λ ∈ [0, 1] ta chứng minh
λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif .
Thật vậy, (x, r) ∈ epif, (y, s) ∈ epif ⇒ f (x) ≤ r, f (y) ≤ s

⇒ f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) ≤ λr + (1 − λ)s
⇒ (λx + (1 − λ)y, λr + (1 − λ)s) ∈ epif
⇒ λ(x, r) + (1 − λ)(y, s) ∈ epif .

Định nghĩa 1.16. Hàm f : X → R được gọi là thuần nhất dương nếu:
f (λx) = λf (x), ∀x ∈ X, ∀λ > 0
Định lý 1.5. Hàm thuần nhất dương là lồi khi và chỉ khi
f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ X

(1.2)

Chứng minh.
(1) Giả sử hàm thuần nhất dương f là lồi, lấy x, y ∈ X. Khi đó:
x y
1
1
f (x + y) = 2f ( + ) ≤ 2 f (x) + f (y) = f (x) + f (y)
2 2
2
2
(2) Ngược lại: Giả sử (1.2) đúng, lấy (xi , ri ) ∈ epif .
Ta có (x1 + x2 , r1 + r2 ) ∈ epif bởi vì f (x1 + x2 ) ≤ f (x1 ) + f (x2 ) ≤ r1 + r2 .
10


Hơn nữa, vì f là hàm thuần nhất dương cho nên nếu (x, r) ∈ epif thì
f (x) ≤ r và λf (x) = f (λx) ≤ λr, (0 < r < ∞) ⇒ λ(x, r) ∈ epif.
Như vậy, epif đóng đối với phép cộng và phép nhân vô hướng.
⇒ epif là một nón lồi. Như vậy f là hàm lồi.

Định lý 1.6. Giả sử f1 , f2 , . . . , fm là các hàm lồi, chính thường trên X. Khi
đó, tổng f1 + f2 + . . . + fm là một hàm lồi.
Định lý 1.7. Giả sử F là tập lồi trong X × R và hàm
f (x) = int{µ : (x, µ) ∈ F }

(1.3)

Khi đó, f là hàm lồi trên X.
Chứng minh. Nếu f (x1 ) ≤ r thì từ (1.3) ⇒ ∃µ1 < r : (x1 , µ1 ) ∈ F .
Nếu f (x2 ) ≤ r thì từ (1.3) ⇒ ∃µ2 < r : (x2 , µ2 ) ∈ F .
⇒ (λx1 + (1 − λ)x2 , λµ1 + (1 − λ)µ2 ) ∈ F ; (0 < λ < 1)
⇒ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = int{µ : (λx1 + (1 − λ)x2 , µ) ∈ F } ≤ λµ1 + (1 − λ)µ2 <
λr + (1 − λ)s.
Vậy f là hàm lồi.
Định lý 1.8. Giả sử f là hàm lồi, chính thường trên X. Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:
(i) f bị chặn trên trong một lân cận của x ∈ X.
ii) f liên tục tại x ∈ X.
iii) Int(epif ) = ∅.
iv) Int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ). Đồng thời
int(epif ) = {(x, µ) ∈ X × R : x ∈ int(domf ), f (x) < µ}
11

(1.4)


Chứng minh.
1. (ii ⇒ i) Giả sử f liên tục tại x ∈ X. Khi đó, hiển nhiên f bị chặn trong
một lân cận nào đó của x.
2. (i ⇒ ii) Giả sử f bị chặn trong một lân cận U của x, tức là tồn tại c > 0

sao cho: f (x) ≤ c < +∞(∀x ∈ U ).
Ta có thể xem như x = 0 và f (0) = 0, bởi vì nếu x = 0 ta thay U bằng
U − x và nếu f (0) = 0 ta thay f (x) = f (x + x) − f (x).
ε
ε
U ∩ − U . Khi đó Vε là một lân cận của
Lấy ε ∈ [0, c] và đặt Vε =
c
c
0.
Bây giờ ta chứng minh |f (x)| ≤ ε, ∀x ∈ Vε .
ε
c
Lấy ∀a ∈ Vε ⇒ x ∈ U ⇒ x ∈ U
c
ε
ε c
ε
⇒ f (x) ≤ f ( x) + 1 −
f (0) (do f lồi)
c ε
c
ε
⇒ f (x) ≤ c = ε
(1)
c
c
ε
Mặt khác, x ∈ − U ⇒ − x ∈ U bởi vì:
c

ε
ε
1
c
c
ε x+
ε −ε x = 0
1+
1+
c
c
Nên
ε
ε
c
1
c f − x ≤
c c
0 = f (0) ≤
ε f (x) +
ε
ε f (x) +
ε
ε
1+
1+
1+
1+
c
c

c
c
1

⇒ f (x) ≥ −ε

(2).

Từ (1) và (2) suy ra |f (x)| ≤ ε ⇒ f liên tục tại 0.
3. (iv ⇒ i) Hiển nhiên.
4. (i ⇒ iii) Nếu f (x) ≤ µ0 , ∀x ∈ U thì
{(x, µ) ∈ X × R : x ∈ U, µ > µ0 } ⊂ epif ⇒ int(epif ) = ∅.
12


5. (iii ⇒ iv) Giả sử int(epif ) = ∅. Khi đó, (x, µ) ∈ int(epif ) thì f bị chặn
trong một lân cận của x. Theo chứng minh trên f liên tục tại x. Suy ra
int(domf ) = {x ∈ X : ∃µ ∈ R; (x, µ) ∈ int(epif )}.
Vì vậy int(domf ) = ∅ và f liên tục trên int(domf ).
Cuối cùng công thức (1.4) là hiển nhiên: Nếu (x, µ) ∈ int(epif ) thì rõ ràng
x ∈ int(domf ) và f (x) < µ. Ngược lại, nếu f liên tục trên int(domf ), x ∈
int(domf ) và f (x) < µ thì (x, µ) ∈ int(epif ).

Hàm liên hợp
Cho X là không gian tôpô lồi địa phương, X ∗ là không gian liên hợp của
X, X ∗ là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X.
Định nghĩa 1.17. Cho hàm f : X → R. Ta gọi hàm f ∗ : X ∗ → R được xác
định như sau:
f ∗ (x∗ ) = sup{ x∗ , x − f (x)|x ∈ X} = sup x∗ , x − f (x) ∈ domf }
là hàm liên hợp của f .

Ví dụ:

1) Hàm f (x) = ex (x ∈ R) là hàm lồi chính thường đóng. Ta có:

f ∗ (x∗ ) = sup{x∗ x − ex , x ∈ R} =

13





x∗ ln x∗ − x∗ (x∗ > 0)






0(x∗ = 0)







 +∞(x∗ < 0)

2) Với f (x) = x∗0 , x + α, x ∈ X, ta có
f ∗ (x∗ ) =





 −α, x∗ = x∗0



 +∞, x∗ = x∗0

Mệnh đề 1.2. f ∗ là hàm lồi đóng yếu.
Ta kí hiệu f ∗∗ := (f ∗ )∗ = sup{ x∗ , x − f ∗ (x∗ )} và gọi là hàm liên hợp bậc hai
của f .
Mệnh đề 1.3. Với hàm f bất kì ta có: f ∗∗ ≤ f .
Định lý 1.9. Giả sử f là hàm lồi, đóng, chính thường đóng trên X. Khi đó,
f ∗ là hàm lồi, đóng, chính thường.
Định lý 1.10. (Fenchel –Moreau)
Cho hàm f : X → (−∞, +∞]. Lúc đó, f = f ∗∗ khi và chỉ khi f lồi, đóng.

1.2
1.2.1

Định lý tách
Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Cho X là không gian tôpô lồi địa phương. Ta kí hiệu X là không gian các
phiếm hàm tuyến tính trên X. Với mỗi f ∈ X và α ∈ R tập hợp:

H(f, α) = {x ∈ X|f (x) = α} = f −1 (α)
là một siêu phẳng trong X, song song với với không gian con ker f = f −1 (0).
Mệnh đề 1.4. Siêu phẳng H(f, α) là đóng khi và chỉ khi f liên tục.
Hệ quả 1.1. Nếu tôpô trên X là tôpô lồi địa phương mạnh nhất, thì mọi siêu
phẳng trong X đều đóng, nói cách khác X ∗ = X .
Mệnh đề 1.5.
14


i) Nếu siêu phẳng H(f, α) để A về một phía thì: H(f, α) ∩ coreA = ∅
ii) Một siêu phẳng để một tập có phần trong khác rỗng về một phía thì đóng.

1.2.2

Định lý tách 1

Định lý 1.11. (Định lý tách 1)
Giả sử hai tập lồi A và B trong không gian X rời nhau. Nếu một trong hai điều
kiện sau được thỏa mãn:
i) IntA ∪ IntB = ∅
ii) dim X < ∞,
Thì tồn tại một siêu phẳng đóng tách A và B.
Chứng minh. Đặt C = A − B ta có C lồi và không chứa gốc. Ta chứng minh
tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục tách C với 0.
a) Nếu IntA ∪ IntB = ∅ thì IntC = ∅. Theo Định lý 1.3, tồn tại siêu phẳng
tách C với 0. Do Mệnh đề 1.5, thì đó là một siêu phẳng đóng.
b) Bây giờ ta giả sử dim X = n < ∞ . Nếu dim C < n thì tồn tại siêu phẳng
(đóng) chứa C nên tách C với 0, còn nếu dim C = n ta quay lại trường
hợp a).

1.2.3

Định lý tách mạnh

Ta nói hai tập A và B là tách mạnh được nếu tồn tại phiếm hàm f = 0 và các
số γ > β sao cho A ⊂ H − (f, β) và B ⊂ H + (f, γ). Lúc đó, nếu có α ∈ (β, γ) ta
cũng nói siêu phẳng H(f, α) tách mạnh A và B.
15


Định lý 1.12. (Định lý tách mạnh)
Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng rời nhau trong X sao cho A đóng và B
compact. Lúc đó, tồn tại một siêu phẳng đóng tách mạnh A và B.
Chứng minh. Đặt C = A − B ta có C là tập lồi, đóng và không chứa gốc. Do
đó tồn tại lân cận lồi gốc lồi V sao cho V ∩ C = ∅. Do Định lý 1.2.2 tồn tại
phiếm hàm liên tục f tách C và V , nên tách mạnh A và B.
Để tiện ứng dụng định lý tách cho Chương 2 ta bổ sung thêm phát
biểu và cách chứng minh hai định định lý tách trong không gian véc tơ Rn .
Định lý 1.13. Cho A và B là hai tập lồi khác rỗng trong Rn sao cho A∩B = ∅.
Khi đó có một siêu phẳng tách A và B.
Bổ đề 1.2. Cho C ⊂ Rn là một tập lồi khác rỗng. Giả sử x0 ∈
/ C. Khi đó tồn
tại t ∈ Rn , t = 0 thỏa mãn:
t, x ≥ t, x0 , ∀x ∈ C.
Chứng minh. Do x0 ∈
/ riC, nên tồn tại siêu phẳng trong bổ đề.
Chứng minh Đinh lý 1.13:
Do A và B là lồi, nên A − B cũng là lồi. Hơn nữa 0 ∈
/ (A − B) vì A ∩ B = ∅.
Theo Bổ đề 1.2 ta áp dụng với x0 = 0, tồn tại véc-tơ t ∈ Rn , t = 0 sao cho

t, z ≥ 0 với mọi z ∈ (A − B). Vì z = x − y(∀x ∈ A, ∀y ∈ B) nên ta có:
t, x ≥ t, y ; ∀x ∈ A, ∀y ∈ B.
Lấy
α := sup t, y ,
y∈B

Khi đó siêu phẳng α = t, y tách A và B.

16


Định lý 1.14. Cho A và B là hai tập lồi đóng khác rỗng sao cho A ∩ B = ∅.
Giả sử có ít nhất một tập là compact. Khi đó hai tập này có thể tách mạnh bởi
một siêu phẳng.
Bổ đề 1.3. Cho C ⊂ Rn là một tập lồi, đóng và khác rỗng sao cho 0 ∈
/ C. Khi
đó tồn tại một véctơ t ∈ Rn , t = 0 và α > 0 sao cho:
t, x ≥ α, ∀x ∈ C.
Chứng minh. Do C đóng và 0 ∈
/ C, nên tồn tại quả cầu tâm tại gốc tọa độ, bán
kính r > 0 sao cho C ∩ B = ∅. Áp dụng Định lý tách 1 cho hai tập C và B, ta
có t ∈ Rn \ {0} và α ∈ R+ , sao cho
t, x ≥ α ≥ t, y , ∀x ∈ C, ∀y ∈ B.

Nhận xét: Theo bổ đề 1.3, thì C và điểm gốc tọa độ có thể tách mạnh, ví dụ
α
bởi siêu phẳng t, x − .
2
Chứng minh Định lý1.14
Giả sử A là compact. Ta chỉ ra tập A − B là đóng.

Thật vậy, giả sử z k ∈ (A − B) và z k → z. Ta có z k = xk − y k với xk ∈ A, y k ∈ B.
Vì A là compact nên tồn tại một dãy con xkj → x khi j → +∞.
Vậy y kj = z kj − xkj → z − x ∈ B. Vậy z = x − y ∈ (A − B).
Chứng tỏ A − B là tập đóng. Mà 0 ∈
/ (A − B) , nên theo Bổ đề 1.3, tồn tại
t = 0, sao cho t, x − y ≥ α > 0 với ∀x ∈ A, y ∈ B.
Vậy
inf t, x −

x∈A

α
α
≥ sup t, y + .
2
2
y∈B

Chứng tỏ A và B có thể tách mạnh.
Chú ý: Điều kiện một trong hai tập là tập compact trong định lý là không thể

17


bỏ được. Chẳng hạn chọn
C := {(t, x) ∈ R2 |x ≥ 0, t ≤ 0};

D := (t, x) ∈ R2 |t ≥

1

, t > 0, x > 0 .
x

Rõ ràng hai tập trên là lồi, đóng và không có điểm chung, nhưng chúng không
thể tách mạnh được.

Hình 1.1: Tách nhưng không không tách mạnh

Bổ đề 1.4. (Bổ đề Farkas)
Cho D là một ma trận thực cấp m × n và a ∈ Rn . Khi đó trong hai hệ dưới đây
có một hệ và chỉ duy nhất một hệ có nghiệm:
Dx ≥ 0, aT x < 0 với mọi x ∈ Rn ,

(1)

DT y = a, y ≥ 0 với mọi y ∈ Rm .

(2)

Chứng minh. Giả sử (2) có một nghiệm y nào đấy. Nếu như Dx ≥ 0 thì từ
18