luan an day học kiến tạo

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài

Trong lịch sử phát triển, các phơng pháp dạy học (PPDH) truyền thống
luôn có những u thế đặc biệt, đó là: Cung cấp cho ngêi häc mét hƯ thèng kiÕn
thøc lý thut chỈt chÏ, lôgic và đầy đủ. Tuy nhiên, nó cũng đà bộc lộ những
nhợc điểm cơ bản nh: ít phát huy đợc tính chủ động, độc lập và sáng tạo của
ngời học, làm cho ngời học luôn bị phụ thuộc và thiếu khả năng học tập suốt
đời.
Trong những thập kỷ qua, các quốc gia trên thế giới cũng nh Việt Nam
đà nghiên cứu để đề xuất và vận dụng các PPDH theo xu hớng hiện đại nhằm
phát huy tối đa tính tích cùc häc tËp cđa häc sinh (HS) nh: D¹y häc phát hiện
và giải quyết vấn đề; dạy học phân hoá; dạy học với sự trợ giúp của máy tính
điện tử ; dạy học khám phá. Tất cả các PPDH trên ®Ịu nh»m mơc ®Ých cho ngêi häc chđ ®éng vµ tích cực tham gia vào quá trình học chứ không phải thụ
động tiếp nhận những kiến thức từ thầy giáo, từ đó chất lợng của quá trình dạy
học ngày càng đợc nâng cao.
Cùng với các PPDH này là sự ra đời của lí thuyết kiến tạo (LTKT) kiến
thức trên cơ sơ kiến thức đà có. Xuất phát từ các nghiên cứu của nhà tâm lý
học nổi tiếng J.Piaget về quá trình nhận thức là quá trình ngời học tạo dựng và
biến đổi các sơ đồ tri thức thông qua hoạt động đồng hoá và điều ứng các kiến
thức và kỹ năng đà có sao cho phù hợp với tình huống mới. Lý thuyết kiến tạo
cho rằng: Tri thức đợc kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức và
Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chøc l¹i thÕ giíi quan cđa chÝnh
ngêi häc. Nh vËy, lý thuyết kiến tạo coi trọng vai trò tích cực và chủ động của
học sinh trong quá trình học tập để tạo nên tri thức cho bản thân. Từ những
quan ®iĨm cđa lý thut kiÕn t¹o cã thĨ t¹o ra những cơ hội thuận lợi hơn cho
việc áp dụng các phơng pháp dạy học mới vào thực tiễn dạy học toán ở trờng
THPT Việt Nam nhằm phát huy tối đa năng lực t duy của ngời học và nâng
cao chất lợng dạy học. Trong dạy học kiến tạo, học sinh đợc thực hiện những
hoạt động trí tuệ nh quan sát, phỏng đoán và sắp xếp, điều chỉnh, chứng
minh...

Việc nghiên cứu LTKT cũng nh vận dụng vào quá trình dạy học trong
những năm gần đây có rất nhiều ngời quan tâm tíi nh: “RÌn lun cho häc
sinh phỉ th«ng mét sè thành tố của năng lực kiến tạo kiến thức trong dạy học
toán; Bồi dỡng học sinh khá giỏi ở THPT năng lực huy động kiến thức khi


giải các bài toán; Dạy học khái niệm Toán học cho học sinh phổ thông theo
quan điểm kiến tạo... Những công trình nghiên cứu trên chủ yếu tập trung
vào việc vận dụng lí thuyết kiến tạo vào dạy học, đà có công trình bàn tới
năng lực huy động kiến thức nhng cũng chỉ là phần nào đó. Những công trình
đó cha cho ta cái nhìn toàn diện về năng lực huy động kiến thức trong dạy học
kiến tạo cũng nh việc phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh.
Vì những lí do nêu trên chúng tôi quyết định chọn đề tài là: Tổ chức
dạy học kiến tạo theo định hớng phát huy năng lực huy động kiến thức và
khai thác các bài toán vecto
2. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu các thành tố của năng lực huy động kiến thức. Từ đó vận dụng
đề xuất một số bài toán vecto ứng dụng trong dạy học kiến tạo.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Tiểu luận sẽ làm rõ các vấn đề sau:
3.1. Xác định những thành tố của năng lực huy động kiến thức và vai
trò của chúng trong hoạt động kiến tạo kiến thức mới.
3.2. Những quan điểm lý luận về hoạt động kiến tạo nhận thức của học
sinh trong quá trình học tập giải bài tập Toán nói chung và Vecto nói riêng.
3.3. Xây dựng một số biện pháp bồi dỡng năng lực huy động kiến thức
cho học sinh THPT theo quan điểm kiến tạo thông qua việc khai thác bài toán
cơ bản để kiến tạo bài toán mới.
4.Giả thuyết khoa học

Có thể phát triển và rèn luyện năng lực huy động kiến thức cho học sinh
nhằm phát hiện, tìm tòi các bài toán mới theo quan điểm kiến tạo nếu chú
trọng hoạt động khai thác các bài toán cơ bản.
5. Phơng pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học giáo dục, tài
liệu giáo dục học, các tài liệu về lí luận và giảng dạy bộ môn toán có liên quan
đến vấn đề tiểu luận đặt ra.
6. Đóng góp của tiểu luận

6.1. Tiểu luận đà thống kê đợc các thành tố của năng lực huy động kiến
thức nhằm giúp học sinh kiến tạo kiến thức.
6.2. Đề xuất các biện pháp nhằm bồi dỡng năng lực huy động kiến thức
cho học sinh.
7. Cấu trúc tiểu luận

Tiểu luận ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo còn có ba chơng:


Chơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chơng 2: Một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức và các
biện pháp bồi dỡng cho học sinh trong dạy học kiến tạo thông qua việc khai
thác các bài toán vectơ.

Chơng 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quan niệm về năng lực huy động kiến thức và sự cần thiết
phải phát triển năng lực huy động kiến thức

1.1.1. Quan niệm về năng lực, năng lực huy động kiến thức
Năng lực là một vấn đề trừu tợng của tâm lý học. Khái niệm này cho
đến nay vẫn có nhiều cách hiểu và diễn đạt khác nhau, dới đây là một số cách
hiểu về năng lực. Từ điển tiếng Việt định nghĩa: Năng lực là phẩm chất tâm
lý tạo ra cho con ngời hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lợng
cao. Còn theo Phạm Minh Hạc: Năng lực là một tổ hợp đặc điểm tâm lý của
con ngời, tổ hợp này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của
một hoạt động nào ®Êy” .
Cho dï cã c¸ch tiÕp cËn kh¸c nhau nhng ta thấy năng lực biểu hiện bởi
các đặc trng:
- Cấu trúc năng lực là tổ hợp nhiều kỹ năng thực hiện những hoạt động
thành phần có liên hệ chặt chẽ với nhau.
- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; nói đến năng lực
tức là gắn với khả năng hoàn thành một hoạt động nào đó của cá nhân.
- Năng lực chỉ nảy sinh trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới
mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo t duy có khác nhau về mức độ.
- Năng lực có thể rèn luyện để phát triển đợc.
- Với các cá nhân khác nhau có các năng lực khác nhau.
Nh vậy ta có thể hiểu huy động là việc nhớ lại có chọn lọc các kiến
thức mà mình đà có trớc đó nhằm thích ứng với một vấn đề đặt ra mà mình
cần giải quyết trong vốn tri thức của bản thân.
Vậy năng lực huy động kiến thức là gì? Chúng ta có thể hiểu nó nh sau:
Năng lực huy động kiến thức là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con
ngời, đáp ứng việc nhớ lại có chọn lọc những kiến thức mà mình đà có để
thích ứng với một vấn đề đặt ra trong vốn tri thức của bản thân.


1.1.2. Sự cần thiết phát triển năng lực huy động kiến thức cho học sinh
Trớc khi bắt tay vào giải một bài toán cụ thể, ngời giải đà tích lũy đợc
rất nhiều kiến thức, nhng lúc này nên dùng kiến thức nào thì bài toán thờng

không nói rõ. Có đôi lúc bài toán kèm theo những chỉ dẫn gợi ý: HÃy sử dụng
định lí này, hÃy áp dụng mệnh đề kia hay ngời giải đà biết nó thuộc phần kiến
thức nào, nhng cha hẳn lúc đó bài toán đà hoàn toàn dễ đối với ngời giải bởi
vì cha hẳn lúc đó họ có thể nhớ ngay đợc định lí, mệnh đề hoặc có thể áp dụng
đợc các định lí các mệnh đề.
Toán học là một môn khoa học có tính logic, hƯ thèng vµ kÕ thõa rÊt
cao. Mäi kiÕn thøc toán học đều xây dựng chặt chẽ và có cơ sở rất rõ ràng. Tri
thức trớc chuẩn bị cho tri thøc sau, tri thøc sau dùa vµo tri thøc tríc, tất cả nh
những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ.
Năng lực huy động kiến thức mỗi ngời một khác. Đứng trớc một bài toán
cụ thể, có ngời liên tởng đợc nhiều định lý, mệnh đề, bài toán phụ mà những cái
này có hy vọng giúp cho việc giải bài toán. Có ngời chỉ liên tởng đợc đến một
số ít định lý, mệnh đề, bài toán phụ,... mà thôi. Sức liên tởng và huy động phụ
thuộc vào khả năng tích luỹ kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong khâu
phát hiện vấn đề.
Năng lực liên tởng và huy động kiến thức không phải là điều bất biến,
một bài toán cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinh không giải đợc,
hoặc giải đợc nhng bởi một cách rất máy móc và dài dòng, nhng khi đặt vào
thời điểm khác (có thể không xa lắm), nếu có năng lực liên tởng và huy động
tốt, học sinh có thể giải đợc bài toán bằng một cách rất hay, rất độc đáo, thậm
chí còn hình thành đợc một cách giải khái quát cho một lớp các bài toán.
J.A.Kômenxki đà từng nói: Dạy học là một quá trình từ từ và liên tục, những
điều có hôm nay phải củng cố cái hôm qua và mở ra con ®êng cho ngµy mai”.
1.2. Mét sè quan ®iĨm vỊ bµi toán cơ bản và giải bài tập toán

1.2.1. Bài toán cơ bản
Theo quan điểm của luận văn bài toán cơ bản có thể hiểu là bài toán tơng
đối dễ, chỉ nhằm củng cố vận dụng kiến thức, kỹ năng đà học ở mức độ đơn
giản. Đồng thời bài toán cơ bản phải thỏa mÃn một trong ba điều kiện sau:
- Kết quả bài toán đợc sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải các bài

toán khác.
- Phơng pháp giải bài toán đợc sử dụng nhiều trong việc tìm tòi lời giải
các bài toán khác.


- Nếu thay đổi giả thiết hoặc kết luận thì đợc bài toán mới.
1.2.2. Vai trò của bài toán cơ bản
Trong dạy học Toán, bài toán cơ bản có vai trò quan trọng nh:
- Bài toán cơ bản nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo về vấn đề lý
thuyết đà học. Nhiều khi rèn luyện cho HS các bài toán cơ bản là một hình
thức rất tốt để dẫn dắt HS tự mình đi đến kiến thức mới.
- Khắc sâu đợc các định lý, khái niệm cơ bản và mối quan hệ giữa chúng.
- Qua các bài toán cơ bản đó giúp HS áp dụng vào giải quyết các bài
toán liên quan một cách đơn giản hơn, lập luận lời giải đợc thu gọn hơn.
- Qua các bài toán cơ bản giúp HS huy động, kiến tạo ra đợc các bài toán
mới.
1.2.3. Dạy học sinh phơng pháp giải bài tập toán
Trong dạy học giải Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ
năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác t duy là một thành phần
không thể thiếu trong dạy học giải Toán. Trong tác phẩm của G. Pôlya ông đÃ
đa ra 4 bớc để đi đến lời giải bài toán.
1) Hiểu rõ bài toán
Để giải một bài toán, trớc hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải có
hứng thú giải bài toán đó. Vì vậy , điều đầu tiên ngời giáo viên cần chú ý hớng
dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của
các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, cần phải: Phân tích giả thiết và
kết luận của bài toán
2) Xây dựng chơng trình giải
Trong bớc thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác t duy thể hiện rõ
nét hơn qua việc phân tích bài toán đà cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn,

biến đổi bài toán đà cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trờng hợp đặc
biệt, xét các bài toán tơng tự hay khái quát hoá hơn v.v.. thông qua các kỹ
năng sau bằng cách:
- Huy động kiến thức có liên quan
- Dự đoán kết quả phải tìm
- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hớng giải quyết vấn đề.
Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để đợc những gợi ý
trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài
toán. Tuy nhiên để đạt đợc điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tÊt c¶


các giờ dạy Toán đồng thời học sinh phải đợc tự mình áp dụng vào hoạt động
giải Toán của mình.
3) Thực hiện chơng trình giải
4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đà tìm đợc
- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận.
- Xem xét đầy đủ các trờng hợp có thể xảy ra của bài toán.
- Tìm cách giải khác của bài toán
1.3. Lí thuyết kiến tạo nhận thức của J.Piaget và việc vận dụng
vào quá trình dạy học

1.3.1. Lý thuyết kiến tạo nhận thức của J.Piaget
Cơ sở tâm lý học của lý thuyết kiến tạo là tâm lý học phát triển của J.
Piaget và lý luận về : Vùng phát triển gần nhất của Vgotski. Hai khái niệm
quan trọng của J. Piaget đợc sử dụng trong Lý thuyết kiến tạo là đồng hóa
(assimi lation) và điều ứng (accommodation).
Theo Vgotski, mỗi cá nhân đều có một Vùng phát triển gần nhất của
riêng mình, thể hiện tiềm năng phát triển của cá nhân đó. Nếu các hoạt động
dạy học đợc tổ chức trong Vùng phát triển gần nhất thì sẽ đạt đợc hiệu quả
cao. Vgotski còn nhấn mạnh rằng văn hóa, ngôn ngữ và các tơng tác xà hội

cũng tác động đến việc kiến tạo nên tri thức của mỗi cá nhân.
1.3.2. Mô hình dạy học theo lý thuyết kiến tạo
Bản chất của quá trình dạy học là quá trình nhận thức của học sinh,
chính là quá trình phản ánh thế giới khách quan vào ý thức của học sinh. Quá
trình nhận thức của học sinh về cơ bản giống nh quá trình nhận thức chung,
tức là cũng diƠn ra theo quy lt: “Tõ trùc quan sinh ®éng đến t duy trừu tợng
và từ t duy trừu tợng trở về thực tiễn. Tuy nhiên, quá trình nhận thức của học
sinh lại có tính độc đáo so với quá trình nhận thức của các nhà khoa học, bởi
vì đợc tiến hành trong những điều kiện s phạm nhất định. Quá trình nhận thức
của học sinh không phải là quá trình tìm ra cái mới cho bản thân rút ra từ kho
tàng hiểu biết chung của loài ngời.
Nh vậy, quá trình nhận thức của học sinh, về thực chất là quá trình học sinh
xây dựng nên những kiến thức cho bản thân thông qua các hoạt động đồng hóa
và điều ứng các kiến thức và kỹ năng đà có để thích ứng với môi trờng học tập
mới. Đây chính là nền tảng của Lý thuyết kiến tạo trong dạy học.
1.3.3. Một số luận điểm cơ bản của LTKT.


a. Luận điểm 1. Tri thức đợc kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể
nhận thức chứ không phải đợc tiếp thu một cách thụ động từ môi trờng bên
ngoài.
b. Luận điểm 2. Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế
giới quan của chính mỗi ngời. Nhận thức không phải là khám phá một thÕ giíi
mµ chđ thĨ nhËn thøc cha tõng biÕt tíi.
c. Luận điểm 3. Học là một quá trình mang tính xà hội trong đó trẻ em
dần tự hoà mình vào các hoạt động trí tuệ của những ngời xung quanh. Trong
lớp học mang tính kiến tạo, HS không chỉ tham gia vào việc khám phá, phát
minh mà còn tham gia vào cả quá trình xà hội bao gồm việc giải thích, trao
đổi, đàm phán và đánh giá.
d. Luận điểm 4. Những tri thức mới của mỗi cá nhân nhận đợc từ việc

điều chỉnh lại thế giới quan của họ để nhằm đáp ứng đợc những yêu cầu mà tự
nhiên và thực trạng xà hội đặt ra.
e. Luận điểm 5. Học sinh đạt đợc tri thức mới theo chu trình
KT và kinh
nghiệm đà có

Phán đoán,
giả thuyết

Kiểm
nghiệm

Thích
nghi

Kiến thức
mới

Thất bại

Đây có thể coi là chu trình học tập mang tính đặc thù của LTKT, nó
hoàn toàn khác với chu trình học tập mang tính thụ động, đó là tri thức đợc
truyền thụ một chiều từ GV đến HS. Chu trình trên phản ánh sự sáng tạo
không ngừng và vai trò chủ động và tích cực của HS trong quá trình học tập;
coi trọng quá trình kiến tạo tri thức đồng mức độ quan träng nh chÝnh tri thøc
®ã. ViƯc häc mét tri thøc mới trớc hết phải quan tâm đến các hoạt động của
học sinh, trên cơ sở đó thiết kế các hoạt ®éng tỉ chøc, chØ ®¹o cđa GV ®Ĩ gióp
cho chu trình kiến tạo tri thức của học sinh đợc diễn ra một cách thuận lợi
hơn.
Từ những phân tích trên, chúng tôi xác định những luận điểm sau đây là

nền tảng của LTKT trong dạy học.
1. Tri thức đợc HS chủ động sáng tạo và phát hiện, chứ không phải thụ
động tiếp nhận từ môi trờng bên ngoài.


2. Nhận thức là một quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của
chính mỗi ngời. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang
tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể.
3. Học là một quá trình mang tính xà hội trong đó HS dần tự hoà mình
vào các hoạt động trí t cđa nh÷ng ngêi xung quanh.
4. Nh÷ng tri thøc míi của mỗi cá nhân nhận đợc từ việc điều chỉnh lại
thế giới quan của họ cần phải đáp ứng đợc những yêu cầu mà tự nhiên và thực
trạng xà hội đặt ra.
5. Học sinh đạt đợc tri thức mới do chu trình: Tri thức đà có - Dự đoán Kiểm nghiƯm - (ThÊt b¹i) - ThÝch nghi - Tri thøc mới.
1.3.4. Vai trò của ngời học và ngời dạy trong quá trình dạy học kiến tạo
Quan điểm kiến tạo cơ bản và kiến tạo xà hội đều khẳng định và nhấn
mạnh vai trò trung tâm của ngời học trong quá trình dạy học, thể hiện ở những
điểm sau:
- Ngời học phải chủ động và tích cực trong việc đón nhận tình huống
học tập mới, chủ động trong việc huy động những kiến thức, kỹ năng đà có
vào khám phá tình huống học tập mới.
- Ngời học phải chủ động bộc lộ những quan điểm và những khó khăn
của mình khi đứng trớc tình huống học tập mới.
- Ngời học phải chủ động và tích cực trong việc thảo luận, trao đổi thông
tin với bạn bè và với giáo viên. Việc trao đổi này phải xuất phát từ nhu cầu của
chính bản thân trong việc tìm những giải pháp để giải quyết tình huống học
tập mới hoặc khám phá sâu hơn các tình huống đà có.
- Ngời học phải tự điều chỉnh lại kiến thức của bản thân sau khi đà lĩnh
hội đợc các tri mới, thông qua việc giải quyết các tình huống trong học tập.
Giáo viên có vai trò quan träng trong viƯc d¹y häc theo lý thut kiÕn

t¹o. Khi dạy học theo lý thuyết kiến tạo, giáo viên có những nhiệm vụ sau:
Thứ nhất: Giáo viên cần nhận thức đợc kiến thức mà học sinh đà có đợc
trong những giai đoạn khác nhau để đa ra những lời hớng dẫn thích hợp. Lời
hớng dẫn phải thỏa mÃn ba yêu cầu sau:
Yêu cầu 1: Lời hớng dẫn phải dựa trên những gì mà mỗi học sinh đà biết.
Yêu cầu 2: Lời hớng dẫn phải tính đến các ý tởng toán học của học sinh
phát triển tự nhiên nh thế nào.
Yêu cầu 3: Lời hớng dẫn phải giúp học sinh có sự năng động tinh thần khi
học toán.


Thứ hai: Giáo viên cũng là ngời Cộng tác thám hiểm với học sinh hay
nói cách khác giáo viên cũng là ngời học cùng với học sinh. Vì việc học tập và
xây dựng kiến thức cũng diễn ra thông qua mối quan hệ xà hội, giáo viên, học
sinh, bạn bè. Do đó , khi giáo viên cùng tham gia học tập, trao đổi với học
sinh thì mỗi học sinh có đợc cơ hội giao tiếp với nhau, với giáo viên. Từ đó,
mỗi học sinh có thể diễn đạt thành lời những suy nghĩ, những thắc mắc của
mình, có thể đa ra lời giải thích hoặc chứng minh. Và chính lúc đó giáo viên
sẽ trao đổi, trả lời, hoặc hỏi những câu hỏi mở rộng hơn, đào sâu hơn những
vấn đề mà các em vừa nêu, đồng thời cũng giúp học sinh tổng hợp các ý kiến
để trả lời những thắc mắc của mình.
Thứ ba: Giáo viên có trách nhiệm vận động học sinh tham gia các hoạt
động có thể làm tăng các hiểu biết toán học thực sự cho học sinh.
Cần lu ý rằng, tuy đề cao vai trò trung tâm của ngời học trong quá trình
dạy học, nhng quan điểm kiến tạo không làm lu mờ Vai trò tổ chức và điều
khiển quá trình dạy học của giáo viên. Trong dạy học kiến tạo, thay cho việc
nổ lực giảng giải, thuyết trình nhằm truyền thụ tri thức cho học sinh, giáo viên
phải là ngời chuyển hóa các tri thức khoa học thành các tri thức dạy học với
việc xây dựng các tình huống dạy học chứa đựng các tri thức cần lĩnh hội, tạo
dựng nên các môi trờng mang tính xà hội để học sinh kiến tạo, khám phá nên

kiến thức cho mình.
Trong tất cả các xu hớng dạy häc hiƯn nay, d¹y häc theo LTKT cã tiÕng
nãi m¹nh mẽ trong giáo dục đặc biệt là trong dạy học Toán. LTKT đà và đang
là một vấn đề mang tính xà hội, đợc chấp nhận nh là một ngôn ngữ của xà hội.
Tuy nhiên việc áp dụng LTKT trong dạy học là rất khó. Bất kỳ ngời giáo viên
nào muốn dùng LTKT để Chuyển tải kiến thức đều có thể thất bại. Muốn
thành công trong việc sử dụng LTKT thì phải dạy theo quan điểm học sinh tự
xây dựng kiến thức cho chính mình. Việc dạy học theo LTKT, là lôi cuốn, hấp
dẫn HS, nhng nó đòi hỏi sự nổ lực cố gắng của cả giáo viên và học sinh.
Nh vậy, LTKT là một lý thuyết mang tính định hớng mà dựa vào đó
giáo viên lựa chọn và sử dụng một cách có hiệu quả các phơng pháp dạy học
mang tính kiến tạo đó là: Phơng pháp khám phá có hớng dẫn, học hợp tác,
phát hiện và giải quyết vấn đề. Trong quá trình dạy học, giáo viên phải là ngời
biết phối hợp và sử dụng các phơng pháp dạy học mang tính kiến tạo và các
phơng pháp dạy học khác một cách hợp lý sao cho quá trình dạy học toán vừa
đáp ứng đợc yêu cầu của xà hội về phát triển toàn diện con ngời.


1.3.5. Quy trình tổ chức dạy học toán ở trờng Phổ thông theo quan điểm
kiến tạo
Trong nhà trờng, hiện nay môn Toán có vai trò quan trọng trong việc
thực hiện mục tiêu của nền giáo dục, đó là cung cấp cho học sinh nền tảng
kiến thức toán học cơ bản, phát triển năng lực trí tuệ chung nh phân tích, tổng
hợp, khái quát hoá, trừu tợng hoá... phát triển khả năng độc lập, sáng tạo, rèn
luyện tính chính xác, cần cù cho học sinh.
Quy trình tổ chức dạy học theo quan điểm kiến tạo
Giai đoạn chuẩn bị: Phân tích, xác định đúng và hiểu rõ kiến thức trọng
tâm của bài học. Kiến thức trọng tâm của bài học, có liên quan đến hầu hết
các nội dung khác của bài học và kiến thức sau đó. Việc xác định và hiểu rõ
kiến thức trọng tâm của bài học giúp GV đặt đợc đúng các mục tiêu của bài và

thiết kế các hoạt động phù hợp. Xây dựng các tình huống dạy học ở các mức
độ khác nhau, có thể kiến tạo các tình huống dạy học khác nhau để cùng đi
đến kiến thức trọng tâm, sự khác nhau đó phụ thuộc vào việc dự đoán các khó
khăn và chớng ngại mà học sinh gặp phải khi tiếp xúc với tình huống học tập
mới.
Thực hành giảng dạy:
- Giáo viên cần điều tra các kiến thức đà có của học sinh có liên quan
đến vấn đề dạy bằng việc sử dụng các câu hỏi mà giáo viên đà chuẩn bị từ trớc, nếu giáo viên sử dụng nhiều câu hỏi thì các câu hỏi đó đợc in thành các
phiếu học tập và yêu cầu học sinh làm các phiếu học tập đó theo nhóm hoặc
cá nhân. Nếu giáo viên chỉ sử dụng một hoặc hai câu hỏi thì có thể đặt câu hỏi
đó trớc lớp và gọi học sinh trả lời. Tuy nhiên hoạt động này có thể không diễn
ra nếu giáo viên dự đoán đợc khó khăn và chớng ngại của học sinh.
- Từ kết quả thu đợc ở bớc 1, Giáo viên lựa chọn tình huống dạy học phù
hợp và cho học sinh tiếp xúc với tình huống học tập đó. Tình huống này có thể
đợc in thành các phiếu học tập hoặc giáo viên trình bày trớc toàn lớp. Học sinh
tiếp nhận tình huống học tập, đọc, hiểu yêu cầu tình huống đặt ra, huy động
các kiến thức đà có để dự đoán câu trả lời cho tình huống.
- Điều khiển việc thảo luận của học sinh để đa ra phán đoán.
- Tổ chức cho học sinh trao đổi, thảo luận, đánh giá về các phán đoán đợc đa ra, lựa chọn phán đoán thích hợp. Đại diện học sinh hoặc nhóm học
sinh trình bày phán đoán của mình trớc lớp, các học sinh khác nghe, so sánh,
bổ sung hoặc bác bỏ nếu cần thiết, sau đó lựa chọn phán đoán mà đại đa số
học sinh đều nhất trí.


- Tỉ chøc ®iỊu khiĨn häc sinh trao ®ỉi ®Ĩ kiểm nghiệm phán đoán bằng
lập luận lôgic
- Tổ chức cho học sinh vận dụng kiến thức vừa xác lập vào tình huống
mới nhằm kiểm tra mức độ nắm vững tri thức của học sinh bằng cách sử dụng
kiến thức đó vào giải bài tập, hoặc khái quát hoá kiến thức vừa xây dựng đợc.
Kiểm tra, đánh giá: Nhằm xem xét mức độ đạt đợc về tri thức kỹ

năng thái độ của học sinh so với các mục tiêu đà đặt ra. Đồng thời cũng là
bớc chuẩn bị cho việc tổ chức dạy học kiến thức tiếp theo.

Chơng 2
biểu hiện của năng lực huy động kiến thức và các
biện pháp bồi dỡng năng lực đó cho học sinh
trong dạy học kiến tạo thông qua việc khai thác
các bài toán vectơ
2.1. Một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức

2.1.1. Năng lực chuyển hoá nội dung và hình thức bài toán để phát hiện
mối liên hệ với các kiến thức đà có
Trong tự nhiên và xà hội, các sự vật có mối quan hệ với nhau và trong
những điều kiện nào đó chúng có thể chuyển hoá qua nhau.
Trong lĩnh vực Toán học cũng vậy, có nhiều loại Toán có liên quan với
nhau. Mối liên hệ giữa chúng trong những điều kiện nào đó cho phép ta có thể
chuyển từ việc giải bài toán này qua việc giải bài toán khác.
Nói chung nội dung quyết định hình thức, nhng trong hoàn cảnh nào đó
sự thay đổi hình thức đúng mức cũng tác động đến nội dung bài toán. Chính vì
vậy, trong một số bài toán, việc thay đổi hình thức (dạng bên ngài của bài
toán) có khả năng đa bài toán về dạng đơn giản hơn và liên hệ đợc với các
kiến thức đà có.
Theo quan điểm biện chứng thì nội dung có thể chứa đựng trong nhiều
hình thức, nội dung quyết định hình thức và hình thức tác động trở lại với nội
dung, tuy nội dung có thể diễn tả dới nhiều hình thức phong phú hơn, song
không có nghĩa là tuỳ tiện tìm ra nhiều hình thức khác nhau của cùng một nội
dung. Hình thức có thể làm che lấp nội dung nhng bản chất của nó luôn không
thay đổi. Trong dạy học Toán giáo viên cần phải phân tích, chứng minh, tìm
tòi để học sinh nhận ra đợc đâu là nội dung đâu là hình thức của bài toán. Phải
thấy đợc sự mâu thuẫn giữa nội dung đó và hình thức trong đối tợng Toán học.

Tuỳ theo trình độ học sinh mà giáo viên có thể tổng quát hoá bài toán.


Ví dụ 2.1. Cho hình lập phơng ABCD.A1B1C1D1. Gọi G là trọng tâm của tam
giác BDA1. Chứng minh rằng ba điểm , G, C1 thẳng hàng.
Cách 1. Ta có thể chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ: ,G,C1 thẳng


hàng khi và chỉ khi AG xAC1 , xác định x. Việc xác định nhờ khai triển các




vectơ AG xAC1 qua ba vectơ không đồng phẳng AG a , AD b , AA1 c
.

1
1
Và từ đó ta tính ®ỵc x= . VËy AG  AC1 suy ra ba điểm ,G,C1
3
3
thẳng hàng.
z
A1(0;0;1)
D1(0;1;1)
Cách 2. Ta có thể chuyển sang ngôn ngữ toạ độ.
Chọn hệ toạ độ sao cho (0;0;1); B(1;0;0);
D(0;1;0); A1(0;0;1). Tính toạ độ trọng tâm G
của BDA1 và chứng tỏ rằng toạ độ trọng
tâm G thoả mÃn phơng trình đờng thẳng

AC1 suy ra ba điểm ,G,C1 thẳng hàng.

B (1;0;1)

C (1;1;1)

y

A0

x

C (1;0;0)

C (1;1;0)

C¸ch 3: Ta cã thĨ sư dơng ngôn ngữ tổng hợp:
Chứng minh rằng ,G,C1 thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt.
Cách 4: Ta có thể lập luận chứng minh rằng hình chiếu của ba điểm
,G,C1 theo hai phơng khác nhau có ảnh là ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ 2.2. Cho tam giác ABC vuông cân có AB=AC=a, M là trung điểm của
cạnh BC. Trên các nửa đờng thẳng AA và MM vuông góc với mặt phẳng
(ABC) về cùng một phía, lấy tơng ứng các điểm M vµ I (NAA’, IMM’)
Sao cho 2MI=NA=a. Gäi H lµ chân đờng vuông góc hạ từ A xuống NB.
Chứng minh rằng AH NI (Đề thi trờng Đại học Giao thông khối A năm
z
2001).
N
Cách 1. Ta sử dụng ngôn ngữ tổng hợp:
Để chứng minh AH NI ta chuyển về

chứng minh AH (NBD)
I
D
Thật vậy, gọi D là giao điểm cđa NI vµ AM
A
y
Ta cã AN song song MI.
XÐt tam giác AND, áp dụng định lý Talet
M
B
C
x


DM MI 1


DA AN 2
M là trung điểm của AD, mà M là trung điểm của BC
ABCD là hình chữ nhật.
Ta có AN (ABCD) AN BD.
Do ABCD là hình vuông suy ra BD AB ; AB và AN là hai đờng thẳng cắt
nhau trong (ABN) suy ra BD  ( ABN ) ,
AH  ( ABN )  BD  AH  AH  ( NBD)  AH  NI
     
C¸ch 2. Ta chuyển đổi sang ngôn ngữ vectơ. Đặt AC a,AB b,AN c .


Biểu diễn AH, NI qua các vectơ a,b,c .
Ta cã

 



1
1
AH  (AN  AB)  (b  c)
2
2

 
   
1
NI NA  AM  MI  (a  b  c)
2



Suy ra AH.NI 0 . Vậy AH NI .
Cách 3. Ta chuyển đổi sang ngôn ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc 0xyz sao cho A(0;0;0); B(a;0;0); C(0;a;0); N(0;0;a).
Ta có

a a
a a
H( ;0; )  AH ( ;0; )
2 2
2 2

1

 1
  1
a a a
NI  ND  (AD  AN)  (AB  AC  AN) ( ; ; )
2
2
2
2 2 2

 AH.NI 0


VËy AH  NI .
Nh vậy, các bài toán dù ra ở dạng ngôn ngữ tổng hợp, nhng chúng ta có
thể chuyển sang ngôn ngữ vectơ hay ngôn ngữ toạ độ để giải. Mỗi dạng ngôn
ngữ cho ta một cách giải khác nhau và cho ta chung một kết quả. Mỗi loại
ngôn ngữ có một u thế riêng và phối hợp với những dạng toán nhất định. Giáo
viên cần luyện năng lực chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh để các em có đợc
sự linh hoạt khi làm toán cũng nh cách tiếp cận bài to¸n.


2.1.2. Năng lực khái quát hoá, tơng tự hoá, đặc biệt hoá, xét trờng hợp
đặc biệt cụ thể
2.1.2.1. Năng lực khái quát hoá
Theo G.Polia, Khái quát hoá là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tợng đà cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu . Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Khái quát hoá là chuyển từ một tập
hợp đối tợng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật
một số đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát.
Có thể nói trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lúc đều cần đến

phơng pháp t duy khái quát. Đúng nh Đại văn hào Nga - Lep Tônxtôi đà nãi:
“ChØ khi trÝ t cđa con ngêi tù kh¸i qu¸t hoặc đà kiểm tra sự khái quát thì con
ngời mới có thể hiểu đợc nó. Không có khái quát thì không có khoa học;
không biết khái quát là không biết cách học. Khả năng khái quát là khả năng
học tập vô cùng quan trọng, khả năng khái quát Toán học là một khả năng đặc
biệt.
Ví dụ 2.3. Trong mặt phẳng ta có bài toán: Cho tam giác ABC có độ dài các
cạnh là BC = a; AB = c; AC = b. Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam gi¸c.
  

Chøng minh r»ng aIA  bIB  cIC 0 .
Khái quát trong không gian ta có bài toán: Cho tứ diện ABCD có diện
tích các mặt là SBCD S1;SACD S2 ;SABD S3 ;SABC S4 . Gäi I là tâm mặt





cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng S1 IA  S2 IB  S3 IC  S4 ID 0
Ví dụ 2.4. Trong mặt phẳng ta có bài toán: Cho tam giác ABC và M là điểm
nằm trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng




SC .MA  SMAC .MB S MAB .MC 0
Khái quát trong không gian ta có bài toán: Cho tứ diện ABCD và M là điểm
nằm trong tứ diện.Chứng minh rằng

V MBCD .MA VMACD .MB  VMABD .MC  VMABC .MD 0 ”
VÝ dụ:
- Khái quát hoá để hình thành khái niệm;
- Khái quát hoá để hình thành định lý;
- Khái quát hoá các bài toán Toán học;
- Khái quát hoá để hình thành phơng pháp giải lớp các bài toán;
- Khái quát hoá hớng suy nghĩ giải bài tập toán.


2.1.2.2. Đặc biệt hoá
Theo G.Polia: Đặc biệt hoá là chuyển từ việc nghiên cứu từ một tập
hợp đối tợng đà cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đà cho.
Những dạng đặc biệt hoá thờng gặp trong môn Toán có thể đợc biểu
diễn bằng sơ đồ sau:
Đặc biệt hoá

Đặc biệt hoá từ cái tổng
quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hoá từ cái riêng
đến cái riêng hơn

Đặc biệt hoá tới cái
Đặc biệt hoá tới cái
riêng lẻ đà biết
riêng lẻ cha biết
Đặc biệt hoá có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những
khái niệm, định lý tổng quát bằng những trờng hợp riêng lẻ, cơ thĨ.
VÝ dơ 2.5. Trong ABC cã a = BC; b = AC; c = AB và O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp ABC; x,y,z, R.
Từ bất đẳng thức luôn luôn hiểu nhiên sau:



2
xOA yOB xOC 0 , x,y,z  R






 x 2 OA  y 2 OB  c 2 OC  2 xyOA.OB  yzOB.OC  zxOA.OC 0









 R 2 (x 2  y 2  z 2 )  xy(OA 2  OB2  AB2 )  yz(OB2  OC 2  BC 2 )
zx(OA 2  OC2  AC 2 ) 0

1
(ta sö dơng c«ng thøc OA.OB  (OA 2  OB2  AB2 ) )
2
 R 2 (x 2  y2  z 2 )  2(xy  yz  zx)R 2  (xyc 2  yza 2  zxb 2 ) 0
 (x + y + z)2  xyc2 + yza2 + zxb2
(*)
Bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng (vì bất đẳng thức đà cho hiển nhiên
đúng). Ta đặc biệt hoá bài toán bằng cách cho x, y, z các giá trị tuỳ ý và thu đợc các bất đẳng thức sau:
Bài toán 1: Cho x = y= z 0. Bất đẳng thức (*) 9xx2 R2 x2 (a2 + b2 + c2)


2
2
2
  

 R  a  b  c (1). DÊu “=” x¶y ra  OA  OB  OC 0
3
ABC đều
Bài toán 2:
Bất đẳng thức (1) 9xR2  a2 + b2 + c2

Ta cã: a2 + b2 + c2 

1
(a  b  c) 2

3

 27R 2 (a  b  c) 2  R 

a bc
3 3

(2)

Bài toán 3: Cho x = y = -1, z = 1
BĐT (*) tơng đơng R 2 c 2  a 2  b 2  R 2  a 2  b2 c 2
(3)
  


DÊu “=” x¶y ra  OC OA  OB  OC 2OM (M là trung điểm
1200
AB ABC cân tại C, C
Tơng tù nÕu cho x = z = -1; y = 1 ta có bất đẳng thức R2 + a2 + c2  b2 (4)
Cho y = z = -1; x = 1 ta có bất đẳng thức R2 + b2 + c2 a2
(5)
Bài toán 4: x = a; y = b; z = c. bất đẳng thức (*)
(a + b + c)2 R2  abc (a + b + c)  (a + b + c) R2  abc
 R

abc
a b c

(6)

  

DÊu “=” x¶y ra  aOA bOB cOC 0
O là tâm đờng tròn nội tiếp ABC ABC đều
Bài toán 5: x = 1; y = 1; z = 1
Khi ®ã bÊt ®¼ng thøc



  
(xOA  yOB  zOC) 2 0  (OA  OB  OC) 2 0
  
2
3R  2(OA.OB  OB.OC  OC.OA) 0



 3R 2  2R 2 (cos AOB
 cos BOC
 cos COA)
0
 cos 2A  cos 2B  cos 2c 
DÊu “=” x¶y ra ABC đều
Bài toán 6: x y z

3
2

3
2

(7)


Bất đẳng thức (*)

81 2 9 2
R (a  b 2  c 2 )
4
4

Ta cã:
9 2
3
(a  b 2  c 2 ) 3. (a 2  b 2  c 2 ) 3(m a2  m 2b  m c2 ) (m a  m b  m c ) 2
4
4
81 2
9R
R (ma  m b  m c ) 2  m a  m b mc
4
2
Bài toán 7: x = a2; y = b2; z = c2
Suy ra

Bất đẳng thức (*) (a2 + b2 + c2)2 R2  3a2b2c2  R 

3abc
a 2  b2  c2





DÊu “=” x¶y ra  a 2 OA  b 2 OB  c2 OC 0 ABC đều
Bài toán 8: x a ; y b;z c
Bất đẳng thức (*)






2

a b  c R 2  abc 2  bca 2  acb 2 3 3 a 3b3c3 3abc

abc
a bc
DÊu “=” xảy ra ABC đều
2.1.2.3. Tơng tự hoá
G.Polya cho rằng: Phép tơng tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và
trong một số phát minh nó chiếm vai trò quan trọng nhất. Tác giả Nguyễn Bá
Kim khẳng định: phép tơng tự có thể coi nh tiền thân của khái quát hóa bởi vì
chuyển từ một trờng hợp này sang một trờng hợp riêng khác của cùng một cái
tổng quát là một bớc để đi đến những trờng hợp riêng bất kì của cái tổng quát
đó.
Vấn đề tơng tự của bài toán có thể xem xét dới các khía cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tơng tự nếu đờng lối giải, phơng pháp giải là
giống nhau.

- Hai hình là tơng tự, nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau, nÕu vai
trß cđa chóng gièng nhau trong hai vÊn đề nào đó, hoặc nếu giữa các phần tử
tơng ứng cđa chóng cã quan hƯ gièng nhau.
Trong h×nh häc, sù tơng tự ta thấy rất nhiều: Đờng thẳng (trong hình
học phẳng) tơng tự với mặt phẳng (trong hình học không gian); tam gi¸c
 R2 


(trong hình học phẳng) tơng tự với hình tứ diện (trong hình học không gian)
hay đờng tròn trong mặt phẳng và mặt cầu trong không gian.
Ta cũng nhận thấy không chỉ các hình mà các bài toán cũng có sự tơng
tự nhau cả về giả thiết kết luận hay cách giải.
Ví dụ 2.6. Trong hình học không gian và hình học phẳng ta có nhiều
bài toán tơng tự nhau nh:
- Trong mặt phẳng ta có bài toán: Cho tam giác ABC . Gọi O, G, H lần
lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ®ã. Chøng
minh r»ng ba ®iÓm O, G, H thuéc mét đờng thẳng.
Trong không gian ta có bài toán: Cho tứ diện trực tâm ABCD . Gọi
O, G, H lần lợt là tâm mặt cầu ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tứ diện.

Chứng minh rằng O, G, H thẳng hàng.
- Trong mặt phẳng có bài toán: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh
là BC a , AB c , AC b . Gọi I là tâm đờng tròn néi tiÕp tam gi¸c. Chøng


 
minh r»ng aIA  bIB cIC 0 .
Trong hình học không gian ta có bài toán: Cho tứ diện ABCD có diện
tích các mặt lµ SBCD S1 , SACD S2 , SABD S3 , SABC S4 . Gọi I là tâm

mặt cầu nội tiÕp tø diÖn chøng minh r»ng: S1 IA  S2 IB  S3 IC  S4 ID 0 ”.
NhiÒu khi để giải một bài toán, ta cầm tìm cách liên hệ bài toán đó với
những bài toán tơng tự nhng đơn giản hơn, từ đó áp dụng kết quả hoặc phơng
pháp giải của bài toán tơng tự này để giải bài toán đà cho.
Chẳng hạn xuất phát từ bất đẳng thức đại số quen thuộc ta có thể liên hệ
sang các bất đẳng thức hình học.
2.1.2.4. Năng lực dự đoán vấn đề
Dự đoán là một phơng pháp t tởng đợc ứng dụng rộng rÃi trong nghiên
cứu khoa học. Đó là căn cứ các nguyên lý và sự thật đà biết để nêu lên những
giả định về các hiện tợng và quy luật cha biết.
Nhà toán học G.Polya đà phát biểu: Toán học đợc coi nh là một môn
khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán
học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứng
minh thuần túy, chỉ bao gåm c¸c chøng minh. Nhng To¸n häc trong qu¸ trình
hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình


thành. Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trớc khi bạn chứng minh nó.
Bạn phải dự đoán vỊ ý cđa chøng minh tríc khi tiÕn hµnh chøng minh chi tiết.
Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học nh thế
nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán cho suy luận có
lý.
2.1.3. Năng lực nhìn nhận bài toán dới nhiều góc độ khác nhau từ đó tìm
nhiều cách giải phân tích và tìm cách giải hay nhất
- Những công trình nghiên cứu về Triết học của Toán học đà khẳng
định: Sự thiên biến vạn hóa nhng có quy luật của hiện tợng có cùng bản chất,
tuy mâu thuẫn đối lập nhau nhng thống nhất với nhau: Đó là các cặp phạm trù

"vận động và đứng yên" và "Nội dung và hình thức". Trong Toán học, cụ thể
hơn trong giải Toán, GS Nguyễn Cảnh Toàn đà chỉ rõ : Vận động (vạn biến)
chỉ mọi phép biến đổi, mọi cách giải (nếu có) của một bài toán, đứng yên (bất
biến) chỉ mọi trạng thái không thay đổi - nội dung của bài toán. Lấy cái bất
biến để ứng và nghiên cứu các vạn biến. Do đó, trong giải Toán hoàn toàn có
khả năng tìm nhiều lời giải cho một bài toán. "Khi một cách giải dài và phức
tạp, ta có thể nghĩ ngay rằng có một cách giải khác sáng sủa hơn và đạt kết
quả nhanh chóng hơn".
- Tập hợp nhiều cách giải và tìm đợc cách giải tối u cho bài toán là quá
trình suy nghĩ đến cách giải. Từ đó phát hiện ra các vấn đề mới, các bài toán
mới; dễ dàng áp dụng vào thực tiễn, vào các trờng hợp riêng của bài toán hay
đi đến hớng giải tổng quát cho từng loại bài toán. Quy trình suy nghĩ trên lời
giải của bài toán giúp chúng ta:
+ Tổng hợp đợc nhiều phơng pháp giải Toán từ bài Toán cụ thể.
+ Tìm đợc nhiều mối liên quan giữa các yếu tố liên quan môn Đại số,
giải tích, số học, hình học và lợng giác khi giải một bài Toán cụ thể.
+ Mở rộng thành bài toán mới, bài toán tổng quát, bài toán tơng tự từ
bài toán đà giải xong .
+ Khai thác kết quả của bài toán, giúp học sinh thấy rõ u, khuyết của từng
phơng pháp giải toán. Vì vậy tìm nhiều cách giải giúp học sinh thu nhận, hợp thức
hóa bài toán, làm phong phú thêm tri thức của ngời giải Toán .
Ví dơ 2.6. (Bài 37 sách bài tập chương trình nâng cao). Cho tam giác ABC
với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC. Chứng minh rằng

a IA  b IB  c IC 0

(*)

Cách giải 1: Gọi D là chân đường phân giác góc A

Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có
DB c
c
c
  DB  DC  ID  IB  ( IC  ID)  (b  c) ID b IB  c IC (1)
DC b
b
b

Do I là chân đường phân giác nên ta có :
ID BD CD BD  CD
a




 (b  c) ID  a IA( 2)
IA BA CA
BA  CA b  c

Từ (1)(2) ta có điều phải chứng minh .
Cách giải 2: Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tại B’; đường
thẳng song song với BI cắt AI tại A’

A

Ta có IC IA'  IB' (*)

 a
IA' 
IA
c

Tương tự :

I

B

IB BA1 c

  IB'   b IB (1)
IB' CA1 b
c

B'

B1

Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác trong ta có :

C

A1
A'

(2)

Từ (1)(2) thay vào (*) ta có

IC 

a
b
IA  IB  a IA  b IB  c IC 0(đpcm)
c
c
B

Cách giải 3: Dựng hình bình hành AEFI
Ta có
uur uuu
r uur AE uuu
r AF uuu
r
AI = AE + AF =
AB +
AC
AB
AC

I

E
A

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của I, B lên

C

K FHD

đường thẳng AC
Theo định lý Talet thì AE = DI = IH = SAIC
AB

Tương tự

DB

BK

SABC

1
IH.b
b
2
=
=
P.r
a + b +c

AF
c
=
AC a + b + c

Như vậy
uu
r
AI =

uuu
r
uuu
r
uu
r
uu
r uur
uu
r uur
b
c
b
c
AB +
AC Û AI =
IB - IA +
IC - IA
a + b +c
a +b +c
a + b +c
a + b +c
uur
uu
r

uu
r r
Hay aIA + bIB + cIC = 0 (ĐPCM).

(

)

(

)