CHUYÊN đề 6 tìm GTLN – GTNN của BIỂU THỨC rút gọn

LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

CHUYÊN ĐỀ 6: TÌM GTLN – GTNN CỦA BIỂU THỨC RÚT GỌN
I/ Biểu thức rút gọn có dạng A  ax  b x  c (có thể khuyết c )
Phương pháp:
2

+ Biến đổi A về dạng: A    e x  f   d .
2

+ Dựa vào   e x  f  để lập luận tìm ra GTLN, GTNN của A.
VD: Cho A  x  x . Tìm GTNN của A
1

1

1

1

2

1

Ta có: A   x  2. . x      x   
2
4 4 
2 4


2

1
1
Vì  x    0x  0  A  
2
4

1
2

Dấu “=” xảy ra  x  
 Amin  

1
4

1
1
 x .
4
4

II/ Biểu thức rút gọn có dạng A 

a
(với c, d cùng dấu)
c x d

+ Nếu c, d mang dấu dương thì: c x  d  d x  0 

1
c x d



1
d

Lúc này Amax hay Amin tuỳ thuộc vào dấu của tử số a.
+ Nếu c, d mang dấu âm thì đổi dấu âm lên tử và làm như trên.
VD1: Cho A 

3
. Tìm GTLN của A
2 x 5

Ta có 2 x  5  5x  0 
VD2: Cho A 

5
3 x 7

5
2 x 5



3
3

 Amax   x  0  x  0.
5
5

. Tìm GTNN của A.

Ta có 3 x  7  7x 

5
3 x 7



III/ Biểu thức rút gọn có dạng A 

5
5
 Amin 
 x  0  x  0.
7
7
a

bx  c x  d

Phương pháp:
2

+ Đặt f  x   bx  c x  d đưa f  x  về dạng f  x    k  e x  f   h
1

LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

 f  x  h

2

+ Lập luận  k  e x  f  rồi suy ra 

 f  x   h


A 
+ Từ đó nghịch đảo biểu thức f  x  rồi  
A 


a
h
.
a
h

+ Từ đó tìm được Amax , Amin .
VD: Cho biểu thức A 

2

x  x 1

. Tìm GTNN của A.
2

1
1
1
1
3
Ta có: f  x    x  x  1    x  2. . x     1    x   
2



4 4



2

4

2

1
3
Vì  x    0x  0  f  x  


 A

2

4

2
8
8
1
1
  Amin   x   0  x  .
f  x 3
3
2
4

IV/ Biểu thức rút gọn có dạng A 

a x
(với b, c, d cùng dấu)
bx  c x  d
a

x được A 

Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho

b x

Áp dụng bất đẳng thức Co-si cho b x 

d
x

 2 bd

Từ đó suy ra Amax , Amin .

BÀI TẬP VẬN DỤNG

 2 x

 x 3

Bài 1: Cho biểu thức: P = 

x
3 x  3   2 x  2 

:
 1
x  3 x  9   x  3


a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: Cho biểu thức: P =

a2  a

2a  a

1
a  a 1
a

a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2

d
c
x


LUYỆN THI TOÁN VÀO 10 – CLC

Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà

 1
1 
2
1 1
Bài 3: Cho biểu thức: P = 

.
  :
y  x  y x y 
 x

x3  y x  x y  y 3

a/ Rút gọn P
b/ Cho x.y =16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
1
5
x 2


x  2 x x 6 3 x

Bài 4: Cho biểu thức P 
a/ Rút gọn P
b/ Tìm GTLN của P.

 x y

Bài 5: Cho biểu thức: P = 

 1  xy



x  y   x  y  2 xy 
 : 1 

1  xy 
1  xy  

a/ Rút gọn P

b/ Tìm GTLN của P.
Bài 6: Cho biểu thức: P =





2 x 3
x x 3
x 3


x  2 x 3
x 1
3 x

a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 x 2

x 2

 (1  x) 2
.
2


Bài 7: Xét biểu thức P  



x

1
x

2
x

1



a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 8: Xét biểu thức A 

a2  a
2a  a

 1.
a  a 1
a

a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 9: Cho biểu thức P 

x 3
x 1  2

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
 1
Bài 10: Cho biểu thứ A = 

 x

x 
x
:
với x>0

x 1  x  x

a) Rút gọn A.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A

x3 y  xy 3