H10 c1 b3

BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ
I – LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa

2. Tính chất

3. Điều kiện để hai vectơ cùng
phương
4. Điều kiện ba điểm thẳng hàng
5. Biểu thị một vectơ theo hai vectơ
không cùng phương
6. Chú ý

r
r
Cho vectơ a và số k ∈ R. ka là một vectơ được xác định như sau:
r
r
+ ka cùng hướng với a nếu k ≥ 0,
r
r
+ ka ngược hướng với a nếu k < 0 .
r
r
+ ka = k . a .
r r
r r
k( a + b) = ka + kb ;
r
r r
(k + l)a = ka + la ;

r
r
k ( la) = (kl )a
r r
r r
ka = 0 ⇔ k = 0 hoặc a = 0 .
r r r
r
r
r
a vaøb ( a ≠ 0) cuø
ng phöông⇔ ∃k ∈ R : b = ka
uuu
r
uuur
AB
=
kAC
A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃k ≠ 0:
.
r r
r
Cho hai vectơ không cùng phương a, b và x tuỳ ý. Khi đó ∃! m,
r
r
r
n ∈ R: x = ma + nb .
• Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
uuur uuur r
M là trung điểm AB ⇔ MA + MB = 0

uuu
r uuu
r
uuur
OA
+
OB
=
2
OM
⇔
(O tuỳ ý).
• Hệ thức trọng tâm tam giác:
uuu
r uuu
r uuur r
GA
+
GB
+ GC = 0
G là trọng tâm ∆ABC ⇔
uuu
r uuu
r uuur uuur
⇔ OA + OB + OC = 3OG (O tuỳ ý).


BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ.
II – DẠNG TOÁN

r

Dạng 1: Xác định vectơ k a
Phương pháp: Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không
cùng phương, ta thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
uuuu
r
r uuur
r
r uuu
r
Ví dụ 1: Cho a = AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho: OM = 3a; ON = −4a (Sai hình)

r
a
N

O

M

Hướng dẫnrgiải:
r
r
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O ∈ giá của a thì d là giá của a )
r uuuu
r

r
uuuu
r
r
− Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM = 3a .
r uuur
r
uuur
r
− Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON = −4a
1
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= 5 AB. Tìm k trong các
đẳng thức u
sau:
uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur
uuu
r
a )AM = k AB;
b ) MA = k MB;
c ) MA = k AB
Hướng dẫn giải:
A

M

B

uuuu
r
uuuu
r
uuu
r
| AM | AM 1
1
r =
uuuu
r uuu
r
AM = k AB ⇒| k |= uuu
=
AB
5
AM
↑↑
AB
|
AB
|
a)
, vì
⇒ k= 5
1
b) k= − 4

1
c) k= − 5
r
r
−
5
a
(
)
Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối của 5a r là r r
r
2a
+
3b
a
−
2b
b) Tìm vectơ đối của các véctơ
,
Hướng dẫn giải:
r
r
r
r
−5a = ( −1) 5a = ( ( −1) .5 ) a = ( −5 ) a
a)
r r
r r
r
r

r
r
r r
− 2a + 3b = ( −1) 2a + 3b = ( −1) 2a + ( −1) 3b = ( −2 ) a + ( −3 ) b = −2a − 3b
b)

(

)

( )

(

)


Dạng 2: Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
A

C

Ví dụ 4: Cho ∆ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là
r uuu
r r uuur
u
=
AE;
v = AF . Hãy phân
trung điểm củaucác

cạnh
BC,
CA,
điểm của AD và EF. Đặt
ur uu
ur uuu
r uuu
r AB và I là giao
rr
tích các vectơ AI , AG,DE,DC theo hai vectơ u,v .
Hướng dẫn giải:
uur 1 uuur 1 uuu
r uuur
1r 1r
AI = AD = ( AE + AF ) = u + v )
2
2
2
2
Ta có
uuur 2 uuur 2 r 2 r
AG = AD = u + v
3
3
3r
uuur uur
uuur
r
DE = FA = − AF = 0.u + ( −1 )v
uuur uuu

r uuu
r uuur r r
DC = FE = AE − AF = u − v
uuuu
r
AM
Ví dụ 5: Cho tam
giác
ABC.
Điểm
M
nằm
trên
cạnh
BC
sao
cho
MB=
2MC.
Hãy
phân
tích
vectơ
r uuur r uuur
theo hai vectơ u = AB, v = AC .
Hướng dẫn giải:
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu

r 2 uuu
r
AM = AB + BM = AB + BC
3
Ta có
uuur uuur uuu
r
mà BC = AC − AB
uuuu
r uuu
r 2 uuur uuu
r
1r 2r
AM = AB + ( AC − AB ) = u + v
3
3
3
⇒

Dạng 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

uuur
uuu
r
uuur
uuu
r
AC
AB
=

k
AC
AB
¡
+ A, B, C thẳng hàng ⇔
cùng phương
⇔∃ 0≠k ∈ :
uuu
r
uuur
+ Nếu AB = kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao
1
AK = AC
3
. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Ta có
uur uur uuuu
r uur 1 uuu
r
2BI = BA + BM = BA + BC
2
uur
uur uuu
r
4BI = 2BA + BC ( 1 )
Ta lại có
uuur uur uuur uur 1 uuur

BK = BA + AK = BA + AC
3
uur 1 uuur uur
2 uur 1 uuur
= BA + ( BC − BA ) = BA + BC
3
3
3
uuur
uur uuur
3BK = 2BA + BC
(2)


uuur
uur uuur 4 uur
3BK = 4BI ⇒ BK = BI
3
Từ (1)&(2)⇒
⇒ B, I, K thẳng hàng.
Ví
uuu
rdụ u7:
uurChor tam
uuu
rgiác
uuu
rABC.uuHai
ur rđiểm M, N được xác định bởi hệ thức:
BC + MA = 0 , AB − NA − 3AC = 0 . Chứng minh MN//AC

Hướng dẫn giải:
uuur uuur uuu
r uuu
r uuur r
BC + MA + AB − NA − 3 AC = 0
uuur uuur uuur r
uuur
uuur
hay AC + MN − 3AC = 0 ⇔ MN = 2 AC
uuur uuur
uuu
r uuuu
r
MN / / AC . Theo giả thiết BC = AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
⇒ M không thuộc AC⇒ MN//AC

Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
CD . Chứng minh:
Víuudụ
ur 8:uGọi
uur M,
uuurN lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và
M
2MN = AC + BD
B
A
Hướng dẫn giải:
uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuuu

r uuur uuur
D
VP = AC + BD = AM + MN + NC + BM + MN + ND
N
uuur uuuu
r uuuu
r uuur uuur
C
= 2MN + AM + BM + ND + NC
uuur
= 2MN
uuu
r uuur uuur
uuur
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB + 2 AC + AD = 3AC .
Hướng
uuu
r uuu
r uuur dẫn giải:
AB + AD = AC
Áp dụnguu
qiur tắc u
hình
uur bình
uuurhành
uurta có
⇒ VT= AC + 2 AC = 3AC = VP (đpcm)
Víuudụ
Chứng
uur 10:

uuu
r uuurminh
uuurằng
u
r nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG' = AA' + BB' + CC' .
Hướng dẫn giải:
uuur uuur uuuu
r
VP = AA' + BB' + CC'
uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur uuur uuuur uuuuur
= AG + GG' + G' A' + BG + GG' + G' B' + CG + GG' + G' C'
uuuu
r uuur uuur uuur uuuuur uuuuur uuuuur
= 3GG' + AG + BG + CG + G' A' + G' B' + G' C'
uuuu
r uuu
r uuu
r uuur uuuuur uuuuur uuuuur
= 3GG' − ( GA + GB + GC ) + G' A' + G' B' + G' C'
uuuu
r
= 3GG'

Dạng 5: Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
uuu
r r
AB
=0 ⇔ A≡ B
+

r
uuuu
r r
a
AM
=a
+ Cho
uuu
r điểm
uuur A và . Cóuduy
uur nhất
uuur M sao cho :
+ AB = AC ⇔ B ≡ C; AD = BD ⇔ A ≡ B

uuur
uuur
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG = 2GD .
Hướng dẫn giải:
uuur
uuur
AG = 2GD ⇒ A,G, D thẳng hàng.
AG=2GD và G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
A

G

uu
r uur r
Ví dụ 12: Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA + 2IB = 0 .

B

I

C


Hướng dẫn giải:
uu
r uur r
uu
r
uur
uu
r
uur
IA + 2IB = 0 ⇔ IA = −2IB ⇒ IA = −2IB

A

B

I

1
uu
r uur
hay IA=2IB, IA ↑↓ IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= 3 AB
uuu

r uuu
r uuur uuur r
Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA + GB + GC + GD = 0
Hướng dẫn giải:
uuu
r uuu
r
uur
= 2GI trong đó I là trung điểm AB
Ta có GA +uuGB
B
ur uuur , u
uur
GC
+
GD
=
2GK
Tương tự
, K là trung điểm CD
uuu
r uuu
r uuur uuur
uur
uuur
I
GA + GB + GC + GD = 2GI + 2GK
uur uuur r
hay GI + GK = 0

C
K

A

D

⇒ G là trung điểm IK
BÀI 3: TÍCH MỘT VECTO VỚI MỘT SỐ.

II - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1. Dạng 1: Đẳng thức véctơ không dùng tính chất trung điểm, trọng tâm
Nhận biết
Câu 1.

Chọn phát biểu sai?

uuu
r
uuu
r
AB
=
k
BC
,k ≠ 0.
A,
B,
C
A. Ba điểm phân biệt

thẳng hàng khi và chỉ khi
uuur
uuu
r
B. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AC = k BC , k ≠ 0 .
uuu
r
uuur
AB
=
k
AC , k ≠ 0 .
A,
B,
C
C. Ba điểm phân biệt
thẳng hàng khi và chỉ khi
uuu
r
uuur
D. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB = k AC .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

Câu 2.

uuu
r
uuur

A,
B,
C
∃
k
∈
¡
,k
≠
0
AB
=
k
AC .
Ta có ba điểm phân biệt
thẳng hàng khi và chỉ khi
sao cho
r
r
a
b
Cho hai vectơ và không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
r
1r
1r r
r r
r r
− a + 6b
− a −b
−

3
a
+
b
2
a
+b.
2
2
A.
và
.
B.
và
r
r
r
r
r
r
1
1
1
r r
a −b
− a+b
a+b
C. 2
và 2
.

D. 2
và a − 2b .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
1r r
 1 r r
a − b = −  − a + b÷
 2
 nênchọn Đáp ánC.
Ta có 2

Câu 3.

u
r
r
Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương?
r 1r r
r 3r r
r
r 3r
r
r r
v = a − 3b
u = a + 3b
v = 2a − b
2
5
5 .
A. u = 2a + 3b và

.
B.
và
r 2r r
r
r 3r
r
1r 1r
r
r r
u = a + 3b
u = 2a − b
v =− a+ b
3
2 và
3
4 .
C.
và v = 2a − 9b .
D.


Hướng dẫn giải

Câu 4.

Chọn D.
r
1r 1r
1 r 3 r

1r
v = − a + b = −  2a − b ÷ = − u
3
4
6
2 
6 .
Ta có
r
r
Hai vectơ u và v là cùng phương.
r r
uu
r
uur uu
r
uur
a
,
b
x
=
−
2
a
+
b
Cho
không cùng phương,
. Vectơ cùng hướng với x là:

uur 1 uu
r
uur uu
r
uur uu
r
uur uu
r
−a + b
2
a
−
b
4
a
+
2
b
−
a
+
b
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.

.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
uur 1 uu
r 1
uur uu
r
r
1 uu
− a + b = −2 a + b = x
2
2
2 . Chọn B.
Ta có
r
r
a
b
Cho hai vectơ và không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?
1r r
1r r 1r r
r
− a+b r
a −b
a+b
A. 2
và a − 2b .
B. 2
và 2
.

r
1r
1r 1r
a + 2b
a+ b
2 .
D. 2
và 2
r
r
r r − 1 a + 100b
D. −3a + b và 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
r
1r r
1 r
− a + b = − a − 2b
2
Ta có 2
nên chọn. A.

(

Câu 5.

(

)

)

Thông hiểu
Câu 6.

Câu 7.

r r r
r r r r
b
≠
0,
a
=
−
2b
, c = a + b . Khẳng định nào sau đây sai?
Cho vectơ
r
r
r
r
b
v
à
c
b
v
à

c
A. Hai vectơ
bằng nhau.
B. Hai vectơ
ngược hướng.
r
r
r
r
C. Hai vectơ b và c cùng phương.
D. Hai vectơ b và c đối nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
r
r
r r r
r r
r
a
=
−
2b
⇒
c
=
a
+
b
=
−

2b
+
b
=
−
b
Ta có
.
r
r
Vậy hai vectơ b và c đối nhau.
r
r
r
r
r r
a
+
x
−
1
b
(
)
Biết rằng hai vectơ a và b không cùng phương nhưng hai vectơ 2a − 3b và
cùng
x
phương. Khi đó giá trị của là:
1
3

1
3
−
−
A. 2 .
B. 2 .
C. 2 .
D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

1 x −1
1
r
r
r r
=
⇒
x
=
−
a
+
x
−
1
b
( ) cùng phương nên có tỉ lệ: 2 −3
2.

Ta có 2a − 3b và


2. Dạng 2: Dùng tính chất trung điểm, trọng tâm – ba điểm thẳng hàng
Nhận biết
Câu 8.

uuu
r
ABC
G
GA
=
AM
Cho tam giác
với trung tuyến
và trọng tâm . Khi đó
r
r
r
2 uuuu
2 uuuu
1 uuuu
uuuu
r
GM
− AM
AM
A. 2GM .
B. 3

.
C. 3
.
D. 2
.
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Ta có
Câu 9.

GA =

uuu
r
r
2
2 uuuu
uuu
r
uuuu
r
AM
GA = − AM
3
3
Mặt khác GA và AM ngược hướng
.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và trung tuyến AM . Khẳng định nào sau đây là sai:

uuur uuur uuur
uuur
uuu
r uuuu
r r
A. GA + 2GM = 0 .
B. MA + MB + MC = 3MG, ∀M
uuu
r uuu
r uuur r
uuuu
r
uuur
GA
+
GB
+
GC
=
0
AM
=
−
2MG
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

uuuu
r
uuur
⇒ AM = −3MG .

uuur
uuuu
r
AM
=
3MG
AM
Ta có
. Mặt khác
và MG ngược hướng

Câu 10.

Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm đó thẳng hàng là
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
A. ∀M : MA + MB + MC = 0 .
B. ∀M : MA + MC = MB .
uuur uuu
r uuur
uuu
r
uuur
AC

=
AB
+
BC
∃
k
∈
R
:
AB
=
k
AC .
C.
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có tính chất: Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng là
uuu
r
uuur
∃k ∈ R : AB = k AC .

Câu 11.

Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB .
uuu
r uuu
r

uuur uuur
uuu
r uuu
r r
A. OA = OB .
B. OA = OB .
C. AO = BO .
D. OA + OB = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
uuu
r
OA
=
OB;
OA
O
AB
Điểm
là trung điểm của đoạn
khi và chỉ khi
và ngược hướng.
uuu
r uuu
r r
Vậy OA + OB = 0 .

Câu 12.

Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng

uur uur
uur
uur
uur uuur
uuur uur
A. BI = IC
B. 3BI = 2IC
C. BI = 2IC
D. 2BI = IC
Hướng dẫn giải


uur
Chọn A vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI
uur
uur uur
IC
cùng hướng với
do đó hai vectơ BI , IC bằng nhau hay
uur uur
BI = IC .

Câu 13.

Cho điểm O là trung điểm của đoạn AB. Khẳng định nào
sau đây là đúng?
uuu
r

uuu

r

uuur

uuur

uuu
r

uuu
r

A. OA = BO.

B. OA = OB.

C. AO = BO.

D. AB = 2OA.

uuu
r

uuu
r

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 14.

Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
uur uuur r
uur uuu
r r
uu
r uur r
A. 2 AI + 3 AB = 0 .
B. 3BI + 2 BA = 0 .
C. 2 IA + 3IB = 0 .

uur uuu
r r
D. 2 BI + 3BA = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

uur
uuu
r
2
2 uur
uuu
r
BI ; BI
BA = − BI
3
3
Ta có
và BA ngược hướng nên

uuu
r
u
u
r
u
u
r
u
u
u
r
r
2
BA = − BI ⇔ 2 BI + 3BA = 0
uu3r uuu
r r
Vậy 2 BI + 3BA = 0 .
BA =

Câu 15.

Câu 16.

Phát biểu nào là sai?
uuu
r uuur
uuur uuur
uuur uuur
AB

= AC
A, B, C , D thẳng hàng.
= AC thì
AB = CD
A. Nếu AB
.
B.
uuur uuur r
uuur uuur thìuuur uuu
r
A
,
B
,
C
3
AB
+
7
AC
=
0
AB
−
CD
=
DC
−
BA
C. Nếu

thì
thẳng hàng. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 AB / / CD
uuur uuur

AB = CD thì  AB ≡ CD . Nên Đáp án B SAI.

A , B ,C
Cho tam giác ABC , có trọng tâm G . Gọi 1 1 1 lần lượt là trung điểm của BC , CA, AB .
Chọn khẳng định sai?
uuur uuur uuuu
r r
uuur uuur uuur r
GA
+
GB
+
GC
=
0
1
1
1
AG + BG + CG = 0 .
A. uuur uuur uuuu
B. u
r r.

uur
uuuu
r
AA
+
BB
+
CC
=
0
GC
=
2
GC
1
1
1
1 .
C.
.
D.

Hướng dẫn giải
Chọn D.


uuur
uuuu
r
uuur

uuuu
r
GC
=
−
2
GC
GC
=
2
GC
1
1 sai.
Ta có
nên
Chọn D.
Câu 17.

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur 3( AB + AC )
uuur AB + AC
AG =
AG =
2
3
A.

.
B.
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuur 2( AB + AC )
uuur AB + AC
AG =
AG =
3
2
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi M là trung điểm
uuur 2 uuuu
r
AG = AM =
3
Ta có

BC .

uuu
r uuur

r uuur
uuur AB + AC
2 1 uuu
. AB + AC ⇒ AG =
3 2
3
.

(

)

Câu 18.

Xét các phát biểu sau:

Câu 19.

Gọi CM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của CM . Đẳng thức nào sau
đây đúng?
uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuur r
DA
+
DB
+
2DC
=

0
DA
+ DC + 2DB = 0 .
A.
.
B.
uuu
r uuur uuur r
uuur uuur uuu
r r
C. DA + DB + 2CD = 0 .
D. DC + DB + 2DA = 0 .
Hướng dẫn giải

uuu
r
uuur
BA = −2 AC
(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là u
uu
r uuu
r
= CA
(2) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là CB
uuur
uuuu
r
PQ
PQ
=

2
PM
M
(3) Điều kiện cần và đủ để
là trung điểm của đoạn
là
Trong các câu trên, thì:
A. Câu (1) và câu (3) là đúng.
B. Câu (1) là sai.
C. Chỉ có câu (3) sai.
D. Không có câu nào sai.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có
uuu
r
uuur
= −2 AC
(1) Điều kiện cần và đủ để C là trung điểm của đoạn AB là BA
uuur
uuuu
r
PQ
PQ
=
2
PM
M
(3) Điều kiện cần và đủ để
là trung điểm của đoạn

là
uuu
r uuu
r
C
CB
=
CA
AB
Phát biểu sai: (2) Điều kiện cần và đủ để
là trung điểm của đoạn
là
Do đó câu (1) và câu (3) là đúng.
Thông hiểu

Chọn A.
Ta có


uuu
r uuur uuur
uuuu
r uuur
uuuu
r uuur
r r
DA + DB + 2DC = 2DM + 2DC = 2 DM + DC = 2.0 = 0

(

Câu 20.

uuur

)

uuur

uuuu
r

.

r

Cho ∆ABC . Tìm điểm M thỏa MA + MB + 2 MC = 0
A. M là trung điểm cạnh IC , với I là trung điểm của cạnh AB
B. M trùng với đỉnh C của ∆ABC
C. M là trọng tâm của tam giác ABC .
D. M là đỉnh của hình bình hành MCAB
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi I là trung điểm của cạnh AB Ta có:
uuur uuur
uuuu
r r
uuu
r
uuuu
r r

MA + MB + 2MC = 0 ⇔ 2 MI + 2 MC = 0

uuu
r uuuu
r
r
uuu
r uuuu
r r
⇔ 2 MI + MC = 0 ⇔ MI + MC = 0

(

)

Vậy M là trung điểm cạnh IC
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án B: Sai do dùng tính chất M là trọng tâm của
tam giác ∆ABC
uuur uuur
uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0
uuur uuur uuuu
r uuuu
r r
uuuu
r r
⇔ MA + MB + MC + MC = 0 ⇔ MC = 0 ⇔ M ≡ C
Phương án C: Sai do HS dùng không hiểu đúng tính chất M là trọng tâm của tam giác ∆ABC

uuur uuur
uuuu
r r
MA + MB + 2 MC = 0 ⇒ M là trọng tâm của tam giác ABC
Phương án D: Sai do HS dùng sai tính chất trung điểm

uuur uuur
uuuu
r r
uuu
r
uuuu
r r
uuu
r uuuu
r r
uuuu
r uuu
r
MA + MB + 2 MC = 0 ⇔ 2 AB + 2MC = 0 ⇔ AB + MC = 0 ⇔ MC = BA

Nên M là đỉnh của hình bình hành MCAB
uu
r
uur uur r
IA
+
2
IB + 3IC = 0 . Câu
Câu 21. Cho tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AC. Gọi I là điểm thỏa mãn:

nào sau đây đúng?
A. I là trực tâm ∆BCD
B. I là trọng tâm ∆ABC

C. I là trọng tâm ∆CDB

D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Câu 22.

Câu 23.

uuuu
r uuu
r uuur uuur
Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4 AM = AB + AC + AD . Khi đó điểm M là:
A. trung điểm AC
B. điểm C
C. trung điểm AB
D. trung điểm AD
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm là G và G’. Đẳng thức nào sau đây là
đúng?
r uuuu
uuuur uuuur uuuur uuuur
uuuur uuuu

r uuur
A. 3GG ' = A ' A + B ' B + C ' C
B. 3GG ' = AB ' + BC ' + CA '
r uuur uuur
r
uuuur uuuu
uuuur uuur uuur uuuu
C. 3GG ' = AC ' + BA ' + CB '
D. 3GG ' = AA ' + BB ' + CC '
Hướng dẫn giải
Chọn D.


Câu 24.

uuur
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm BC. Phân tích vectơ AG theo hai
vectơ là hai cạnh của tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 2 uuu
r 2 uuur
uuur
r 1 uuur
1 uuu
AG == AB + AC
AG = AB + AC
3
2
3
2
A.

.
B.
.
uuur 2 uuur 1 uuur
uuur 2 uuu
r 1 uuur
AG = AB + BC
AG = AC + BC
3
3
3
3
C.
.
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn D.
uuur 2 uuuu
r 2 uuu
r uuur 2 uuu
r 2 uuur
AG = AM = ( AB + AC ) = AB + AC
3
3
3
2
Sai qui tắc hình bình hành.
Câu 25.

Cho hai tam giác ABC và A′B′C ′ lần lượt có trọng tâm là G và G′ . Đẳng thức nào sau đây là
sai?
uuuur uuur uuur uuuu
r
uuuur uuuu
r uuuu
r uuur
' = AA ' + BB ' + CC ' .
3GG ' = AB ' + BC ' + CA ' .
A. 3GG
B.
uuuur uuuu
r uuur uuur
uuuur uuuur uuuur uuuur
C. 3GG ' = AC ' + BA ' + CB ' .
D. 3GG ' = A ' A + B ' B + C ' C .
Hướng dẫn giải

Chọn D.
G và G ′ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A′B′C ′ nên
Do
uuur u
uur uuur r
uuuuu
r uuuuu
r uuuuur r
AG + BG + CG = 0 và A ' G ' + B ' G ' + C ' G ' = 0
uuur uuur uuuu
r uuur uuur uuur

uuur uuur uuuu
r r uuuur
AA ' + BB ' + CC ' = AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ = 0 + 3GG '
A.
.
uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuuu
r r uuuur
AB ' + BC ' + CA ' = AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ = 0 + 3GG '
B.
.
uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuuu
r r uuuur
AC ' + BA ' + CB ' = AG + BG + CG + GA′ + GB′ + GC ′ = 0 + 3GG '
C.
.
uuuur uuuur uuuur uuuuur uuuuur uuuuur
uuuur uuuur uuuur r uuuur
A ' A + B ' B + C ' C = A ' G ' + B ' G ' + C ' G ' + G ' A + G ' B + G ' C = 0 + 3G ' G
D.
(SAI).
uuur uuuu
r uuur
Câu 26. Cho hình bình hành ABCD , điểm M thoả mãn: MA + MC = AB . Khi đó M là trung điểm
của:
A. AB .

B. BC .
C. AD .
D. CD .

(
(
(

(

) (
) (
) (

) (

)
)
)

)

Hướng dẫn giải
Chọn C.

uuur uuuu
r
uuu
r uuur
Ta có MA + MC = 2 MI = AB .

Vậy M là trung điểm của AD .
Câu 27.

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD . Mệnh đề nào
sau đây đúng?
uuur uuur uuur uuur
uuuu
r
uuuu
r uuur uuur
A. AC + BD + BC + AD = 4 MN .
B. 4 MN = BC + AD .


uuuu
r uuur uuur
C. 4 MN = AC + BD .

uuuu
r uuur uuur uuur uuur
D. MN = AC + BD + BC + AD .

Hướng dẫn giải
Chọn A.

uuur uuur r
=0
Do M là trung điểm các cạnh AB nên MB + MAuu
uu
r uuuu

r uuuu
r
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh DC nên 2MN = MC + MD
Ta có
uuuu
r uuuu
r uuuu
r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2MN = MC + MD = MB + BC + MA + AD = AD + BC + MA + MB = AD + BC
.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC + BD = AC + BC + CD = BC + AC + CD = BC + AD
Mặt khác
uuur uuur uuur uuur
uuuu
r
Do đó AC + BD + BC + AD = 4 MN .

(

Câu 28.

)

(

)

Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD . Đẳng thức nào sau
đây sai?

uuur uuur
uuuu
r
uuur uuur
uuuu
r
uuu
r uuur
uuuu
r
uuur uuuu
r
uuuu
r
A. AC + DB = 2 MN . B. AC + BD = 2MN . C. AB + DC = 2 MN . D. MB + MC = 2MN .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

uuuu
r uuur r
MD
+ MA = 0
Do M là trung điểm các cạnh AD nên
uuuu
r uuuu
r uuur
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN = MC + MB . Nên D đúng.
Ta có
uuuu
r uuuu

r uuur uuuu
r uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuuu
r uuur uuu
r uuur
2MN = MC + MB = MD + DC + MA + AB = AB + DC + MD + MA = AB + DC

(

uuur uuur
uuuu
r
AB
+
DC
=
2
MN
Vậy
. Nên C đúng
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
uuuu
r
AB + DC = AC + CB + DC = AC + DB = 2 MN
Mà
. Nên A đúng.
Vậy B sai.

Vận dụng thấp

(

Câu 29.

)

.

)

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM , gọi I là trung điểm AM . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. 2 IA + IB + IC = 0 .
B. IA + IB + IC = 0 .


uu
r uur uur
uu
r
C. 2 IA + IB + IC = 4 IA .

uur uur uu
r

D. IB + IC = IA .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
uu
r uur uur
uu
r
uuur
uu
r uuur
r r
2 IA + IB + IC = 2 IA + 2 IM = 2 IA + IM = 2.0 = 0
Ta có
.

(

Câu 30.

)

(

)

Gọi AN , CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r 2 uuur 2 uuuu
r

uuu
r 4 uuur 2 uuuu
r
AB = AN + CM
AB = AN − CM
3
3
3
3
A.
.
B.
.
uuu
r 4 uuur 4 uuuu
r
uuu
r 4 uuur 2 uuuu
r
AB = AN + CM
AB = AN + CM
3
3
3
3
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn D.

uuur 1 uuu
r uuur
r 1 uuur
1 uuu
AN =
AB + AC = AB + AC
2
2
2
Ta có
uuuu
r uur uuuu
r
u
u
u
u
r
u
u
r
r
1
1
1 uuuu
CM = CA + AM ⇒ CM = CA + AM
2
2

2
uuur 1 uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuu
r 1 uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur 1 uuur 1 1 uuu
r 3 uuu
r
AN + CM = AB + AC + CA + AM = AB + AC − AC + × AB = AB
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
4
Suy ra
uuu
r 4 uuur 2 uuuu
r
AB = AN + CM
3
3
Do đó
.

(

)

3. Dạng 3: Đẳng thức véctơ
Nhận biết

uuu
r uuur uuur
Cho hình bình hành ABCD . Tổng các vectơ AB + AC + AD là
uuur
uuur
uuur
uuur
AC
2
AC
3AC
5
A.
.
B.
.
C.
.
D. AC .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
uuu
r uuur uuur uuu

r uuur uuur
uuur
AB
+
AC
+
AD
=
AB
+
AD
+
AC
=
2
AC
Do hình bình hành ABCD . Ta có
.
uuur
uuur
Câu 32. Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN = −3MP . Điểm P được xác định đúng trong
hình vẽ nào sau đây:
Câu 31.

(

)


A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.
Hướng dẫn giải

D. Hình 4.

Chọn C.
uuur
uuur
uuur
uuur
MN
=
3MP
MN
=
−
3MP
Ta có
nên
và MN và MP ngược hướng. Chọn C.
Câu 33.

Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur uuu

r
A. AC − AD = CD .
B. AC − BD = 2CD . C. AC + BC = AB .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

uuur uuur
uuu
r
D. AC + BD = 2BC .

Ta có
uuur uuur uuur
A. Sai do AC − AD = DC .
uuur uuur
uuur
uuu
r uuur
uuur uuu
r
uuur
uuu
r
uuur
AC − BD = 2CD ⇔ AB + AD − AD − AB = 2CD ⇔ 2 AB = 2CD
B. Sai do
.
uuur uuur uuu
r uuur uuu
r

uuu
r uuur uuu
r
C. Sai do AC + BC = AB ⇔ AC − AB = − BC ⇔ BC = CB .
uuur uuur uuu
r uuu
r uuu
r uuur
uuur uuu
r uuur
uuur r
uuu
r
AC + BD = AB + BC + BC + CD = 2BC + AB + CD = 2BC + 0 = 2BC
D. Đúng do
.

(

) (

)

(

Câu 34.

)

Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC .

Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
uuu
r uuur 3 uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuu
r uuur
uuuu
r
AB + AC = AG
2
AM
=
3AG
AM
=
2
AG
AB
+
AC
=
2GM
2
A.
.

B.
.
C.
. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có

AM =

3
AG
2

uuuu
r 3 uuur
uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
⇒ AM = AG
AG
2
AM
=
3AG

2
AM
Mặtkhác
và
cùng hướng
hay
.

Câu 35.

Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC . Câu
nào sau đây đúng?


uuu
r uuur
uuuu
r
uuu
r uuur
uuu
r
uuu
r uuur
uuur
A. GB + GC = 2GM . B. GB + GC = 2GA . C. AB + AC = 2 AG .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

uuu

r uuur
uuuu
r
D. AB + AC = 3AM .

uuu
r uuur
uuuu
r
BC
GB
+
GC
=
2GM
M
Do
là trung điểm của
nên ta có:
.
Câu 36.

Nếu G là trọng tam giác ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu
r uuur
uuu

r uuur
uuur AB + AC
uuur AB + AC
uuur 3( AB + AC )
uuur 2( AB + AC )
AG =
AG =
AG =
AG =
2
3
2
3
A.
.
B.
.
C.
. D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Gọi M là trung điểm của BC nên ta có
uuu
r uuur
uuuu
r
AB + AC = 2 AM
uuu

r uuur
uuuu
r 3 uuur
uuu
r uuur
uuur
uuur AB + AC
3 uuur
AM = AG ⇒ AB + AC = 2. AG = 3AG ⇒ AG =
2
2
3
Mà
.
Câu 37.

Đẳng thức nào sau đây mô tả đúng hình vẽ bên:
uur uuu
r r
uu
r uur r
uur uur r
3AI
+
AB
=
0
3IA
+
IB

=
0
A.
.
B.
.
C. BI + 3BA = 0 .

uur uuu
r r
AI
+
3AB
=0.
D.

Hướng dẫn giải
Chọn A.

uur
uuu
r
uur
uur uuu
r r
uuu
r
AB
=
3AI

;
AI
AB
=
−
3AI
⇔
3AI
+
AB
=0
AB
Ta có
và
ngược hướng nên
uur uuu
r r
Vậy 3AI + AB = 0 .
uur uu
r r
Câu 38. Cho đoạn thẳng AB và điểm I thỏa mãn IB + 3IA = 0 . Hình nào sau đây mô tả đúng giả thiết
này?


A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.
Hướng dẫn giải

D. Hình 4.

Chọn D.
uur uu
r r uur
uu
r
Ta có IB + 3IA = 0 ⇔ IB = −3IA .
uu
r
uur
Do đó IB = 3.IA ; IA và IB ngược hướng. Chọn Hình 4.
Câu 39.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau
đây là đẳng thức sai?
uuu
r uuur
uuu
r
uuur uuuur
uuu
r uuur uur
uuur
uuur
OB
−
OD
=

2OB
AC
=
2
AO
CB
+
CD
=
CA
DB
=
2BO
A.
. B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
uuur
uuu
r
Ta có DB = 2OB . Chọn D.
Câu 40.

Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của

tam giác. Hệ thức đúng là:
uuur 3 uuur
uuur 1 uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OH = OG
OG = GH
2
2
A.
B. OH = 3OG
C.
D. 2GO = −3OH
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Câu 41.

Cho hình vuông ABCD tâm O. Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuu
r 1 uuu
r
uuur uuur
1 uur
uuur uuur
uuu
r

uuu
r uuur
uuur
OA + OB = CB
AD + DO = − CA
AC
+
BD
=
2
BC
AB
+
AD
=
2
AO
2
2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Câu 42.

Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC. Câu nào
sau đây đúng?

uuu
r uuur 1 uuuu
r
uuu
r uuur
uuuu
r
uuu
r uuur uuuu
r
uuur
uuur
AB + AC = AM .
GB
+
GC
=
2GM
.
GB
+
GC
=
GM
.
AG
=
2MG.
2
A.

B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuu
r uuur
uuuu
r
GB + GC = 2GM


Câu 43.

Câu 44.

Cho ∆ ABC có trọng tâm G và M là trung điểm của BC. Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
uuu
r uuur 3 uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuu
r uuur
uuuu
r
AB + AC = AG.

2
A. 2 AM = 3AG.
B. 3AM = 2 AG.
C.
D. AB + AC = 2GM .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuur 2 uuuu
r
uuur
uuuu
r
AG = AM ⇔ 3AG = 2 AM
3
AM =

Cho đoạn thẳng AB. Gọi M là một điểm trên AB sao cho
sai?
uuur 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r
uuuu
r 3 uur
MA = MB
AM = AB
BM = BA
3
4
4

A.
.
B.
.
C.
.

1
AB
4
.Khẳng định nào sau đây

uuur
uuur
D. MB = −3MA .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuur 1 uuur
MA = MB
3
Sai do không chú ý hướng của vectơ
Câu 45.

Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, AC, AB. Gọi I là giao điểm của
AM và PN. Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur
uuur
uuur
uuur

uuur
uuuu
r
uu
r uur uur r
A. BC = 2BN .
B. BC = −2BN .
C. BC = 2 AM .
D. IA + IB + IC = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuur
uuur
BC = 2BN

Câu 46.

Cho ba điểm phân biệt A, B, C nếu AB = −4 AC .thì khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 1 uuu
r
uuur 1 uuu
r
uuu
r
uuur
uuur
uuur
AC = AB
AC = BC
4

4
A. BC = 5 AC .
B. BC = −5 AC .
C.
.
D.
.

uuuuuuuuu
r

uuuuuuuuur

Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuu
r
uuur
uuuuuuuuu
r
uuuuuuuuur
BC = 5AC vì AB = −4 AC nên ABC thẳng hang
Câu 47.

Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Khảng định nào
sau đây đúng
uuur uuu
r
uuur
uuu

r
uuuuu
r
uuu
r
uuuuu
r uuu
r
MN
=
QP
MN
=
2
QP
3MN
=
2
QP
3MN
=
QP
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là
đường trung bình của tam giác ABC suy ra MN / / AC và

MN =

1
AC
2
(1).

Tương tự QP là đường trung bình của tam giác ADC suy ra
1
AC
QP / / AC và
2
(2).
Từ (1) và (2) suy ra MN / / QP và MN = QP do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
QP =


uuur uuu
r
MN
=
QP
Vậy ta có

Câu 48.

Cho ∆ ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G . Khẳng định nào sau đây đúng:
uuur 1 uuur uuur uuur
uuuu
r uuu

r uuur
MG = MA + MB + MC
3
A. AM = AB + AC .
B.
uuur 2 uuu
r uuur
uuuu
r
uuur
AG = AB + AC
3
C. AM = 3MG .
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B. .
Ta có: Nếu G là trọng tâm của ∆ ABC và M là điểm tùy ý thì
uuur uuur uuur
uuur
uuur 1 uuur uuur uuur
MA + MB + MC = 3MG ⇔ MG = MA + MB + MC
3
Phân tích phương án nhiễu:
Phương án A: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của cạnh BC
uuuu
r 1 uuu
r uuur
AM =
AB + AC

2
.Phương án C: Sai do HS dùng sa
uuur
uuuu
r
AM và MG là 2 vectơ ngược chiều
uuuu
r
uuur
AM = −3MG
Phương án D: Sai do HS dùng sai M là trung điểm của
cạnh BC
uuur 2 uuuu
r 2 1 uuu
r uuur
r uuur
1 uuu
AG = AM = . AB + AC = AB + AC
3
3 2
3
.

(

)

(

(

(

)

)

)

(

)

(

)

Câu 49.

Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC , I là trung điểm của AM . Đẳng thức nào sau đây
đúng?
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. 2IA + IB + IC = 0 B. − IA + IB + IC = 0 C. IA + IB − IC = 0

D. IA + IB + IC = 0
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Câu 50.

Cho tam giác ABC , có trọng tâm G . Gọi A1 ,B1 ,C1 lần lượt là trung điểm của BC ,CA, AB .
Chọn khẳng định sai?
uuur uuur uuuu
r r
uuur uuur uuur r
GA
+
GB
+
GC
=
0
1
1
1
A.
B. AG + BG + CG = 0
uuur uuur uuuu
r r
uuur
uuuu
r
AA
+

BB
+
CC
=
0
GC
=
2GC
1
1
1
1
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn.

Câu 51.

Cho bốn điểm A, B, C, D. Gọi I , J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và CD.
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
uuu
r uuur
uu
r
uuur uuur
uu
r
uuur uuur
uu

r
uu
r uuur uur r
AB
+
CD
=
2IJ
AC
+
BD
=
2IJ
AD
+
BC
=
2IJ
2IJ
+ DB + CA = 0 .
A.
.
B.
.
C.
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuur uuur uur uu

r uur
uur uu
r uur
uu
r uur uur
uur uur
uu
r
AC + BD = AI + IJ + JC + BI + IJ + JD = 2IJ + AI + BI + JC + JD = 2IJ
B đúng vì

(

) (

)

(

) (

)


uuur uuur uur uu
r uur
uur uu
r uur
uu
r uur uur

uur uur
uu
r
AD + BC = AI + IJ + JD + BI + IJ + JC = 2IJ + AI + BI + JC + JD = 2IJ
C đúng vì
uuur uuur
uu
r
uu
r uuur uur r
AC
+
BD
=
2IJ
⇔
2IJ
+ DB + CA = 0
D đúng vì
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuu
r
A sai vì AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB mà C đúng nên A sai.

(

Câu 52.

) (

)

(

) (

)

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của AC và BD .Tìm câu sai?
uuu
r 1 uur uuu
r
uuu
r uuur uuur
OA = BA + CB
2
A. AB + AD = AC
B.
uuu
r uuu
r uuur uuur
uuu
r uuu
r uuu
r
OA
+
OB
=

OC
+
OD
OB
+
OA
=
DA
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.

(

)

Câu 53.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là trung điểm của BC . Đẳng thức vectơ nào sau
đây đúng?
uuu
r uuur 3 uuur
uuuu
r
uuur
uuuu
r
uuur
uuu

r uuur
uuuu
r
AB + AC = AG
2
AM
=
3AG
AM
=
2
AG
AB
+
AC
=
2GM
2
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Câu 54.

Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH. Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuu
r uuur uuur

uuu
r uuur uuur r
A. AB + AC = AH .
B. HA + HB + HC = 0 .
uuur uuur r
uuu
r uuur
HB
+
HC
=
0
AB
= AC .
C.
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
uuur uuur r
Ta có HB + HC = 0 đúng vì H là trung điểm của đáy BC .
uuu
r uuur
uuur
AB
+
AC
=
2
AH .

Phân tích:Phương án A sai vì
uuu
r uuur uuur uuu
r
Phương án B sai vì HA + HB + HC = HA .
Phương án D sai vì các vectơ. không cùng phương.

Câu 55.

Cho hình bình hành ABCD .Khẳng định nào sau đây sai?
uuu
r uuur uuur r
uuu
r uuur uuur
uuur
AB
+
AC
+
AD
=
0
AB
+
AC
+
AD
=
2AC
A.

.
B.
.
uuu
r uuur uuur
uuur
uuu
r uuur uuur
uuur
C. AB + AC + AD = 2AC .
D. AB + AC + AD = 3AC .
Hướng dẫn giải
Chọn A
uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur uur uuur r
AB + AC + AD = CD + CB + AC = CA + AC = 0 Sai hướng của hai vecstơ

Câu 56.

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB và M là
một điểm tùy ý trong mặt phẳng. Khẳng định nào sau đây Sai?
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur uuur
uur uur uuur uur
A. MA − MI + MB − MJ + MC − MK = MG .
B. AI + BJ + CK = 0 .
uuu
r uuur uuur
uuur

uuu
r uuu
r uuur uur
MI
+
MJ
+
MK
=
3MG
GA
+
GB
+
GC
=
0
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn A
uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur
uuur
r
MA − MI + MB − MJ + MC − MK = 3 MG Sai vì kết quả 0

Câu 57.

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, H là trung điểm cạnh BC. Khẳng định nào sau đây
đúng?
uuu
r uur
uuuu
r
uuur uuur
uuur uuur
uuuuu
r uuur uuu
r
A. CH − HC = a.
B. CH − HC = 0.
C. 2 AH = AC + AB . D. AB + CA = 2 AM .
Hướng dẫn giải
Chọn C.

Câu 58.

Cho tam giác đều ABC cạnh a, H là trung điểm BC. Câu nào sau đây sai?
uuu
r uuur uuu
r
uuu
r uuur
uuur
uuur uuu
r

uuur
AB
−
AC
=
CB
A. AB + AC = 2 AH
B. AC + AB = 2 AH
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
uuu
r uuur uuur
AB
+ AC + AD .
Câu 59. Cho ABCD là hình chữ nhật, tìm tổng
uuur
uuur
uuu
r
A. 2 AC.
B. 2 AD.
C. 2 AB.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuur

uuur
AB + AC + AD = AB + AD + AC = AC + AC = 2 AC.

(

uuu
r uuur uur r
AB + BC + CA = 0

r
0.

)

Thông hiểu
Câu 60.

Cho tam giác ABC có D, M lần lượt là trung điểm của AB,CD . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur uuur r
MA
+
MC
+
2MB
=
0
A.
.
B. MA + MB + MC + MD = 0 .

uuur uuur uuur r
uuur uuur uuuu
r r
C. MC + MA + MB = 0 .
D. MC + MA + 2BM = 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Ta có
uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
r r
MA + MC + 2MB = 2MD + 2MB = 2 MD + MB = 2.0 = 0

(

)

.

Câu 61.

Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuu
r
2MA
+

MB
−
3MC
=
AC
+
2BC
2MA
+
MB
−
3MC
=
2
AC
+
BC
A.
B.
uuur uuur uuur
uur uuu
r
uuur uuur uuur
uuu
r uur
C. 2MA + MB − 3MC = 2CA + CB
D. 2MA + MB − 3MC = 2CB − CA
Hướng dẫn giải
Chọn C.
uuuu

r uuur uuu
r
Câu 62. Ba trung tuyến AM , BN , CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ AM + BN + CP
bằng vectơ nào?
r uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r
3 uuu
GA + GB + CG
3 MG + NG + GP
A. 2
.
B.
.

(

)

(

)


r uuu
r uuur
1 uuu
AB + BC + AC
C. 2

.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có:

(

)

r
0
D. .

uuuu
r uuur uuu
r 3 uuur 3 uuur 3 uuur 3 uuur uuur uuur r
AM + BN + CP = AG + BG + CG = AG + BG + CG = 0
2
2
2
2
.

(

Câu 63.

)

Cho hình chữ nhật ABCD, I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Hệ thức nào sau đây

đúng?
uur uuur
uuur
uur uuur uuu
r uuur
A. AI + AK = 2 AC
B. AI + AK = AB + AD
uur uuur 3 uuur
uur uuur uur
AI + AK = AC
2
C. AI + AK = IK
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Câu 64.

Cho tam giác đều ABC tâm O. M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba
uuur uuur uuur uuur
cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F. Hệ thức giữa các vectơ MD, ME , MF , MO là:
uuur uuur uuur 1 uuur
uuur uuur uuur 2 uuur
MD + ME + MF = MO
MD + ME + MF = MO
2
3
A.
B.
uuur uuur uuur 3 uuur

uuur uuur uuur 3 uuur
MD + ME + MF = MO
MD + ME + MF = MO
4
2
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Câu 65.

Cho hình chữ nhật ABCD . I, K lần lượt là trung điểm của BC, CD. Khẳng định nào sau đây
sai?
uuur uuur uuur r
uuur uuur uuur
uuur
AB
+
AC
+
AD
=
0
AB
+
AC
+
AD
=

2
AC .
A.
.
B.
uuur uuur uuur
uuur
uuur uuur uuur
uuur
C. AB + AC + AD = 2 AC .
D. AB + AC + AD = 2 AC .
Hướng dẫn giải
A
Chọn
uur uuur 3 uuur
AI + AK = AC
2

Câu 66.

Cho năm điểm A, B, C , D, E . Khẳng định nào đúng?
uuu
r uuur uuu
r 1 uuu
r uuur
uuur uuur uuu
r
uuu
r uuur
AB + CD + EA = CB + ED

AB + CD + EA = 2 CB + ED
2
A.
B.
uuu
r uuur uuu
r 3 uuu
r uuur
uuu
r uuur uuu
r uuu
r uuur
AB + CD + EA = CB + ED
2
C.
D. AB + CD + EA = CB + ED

(

)

(

)

(

Hướng dẫn giải
Chọn D

)


uuur uuur uuu
r uuu
r uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur
AB + CD + EA = CB + ED = AC + CB + CD + ED + DA
uuu
r uuur
uuur uuur uuur uuu
r uuur uuur uuur uuu
r uuur
= CB + ED + AC + CD + DA = CB + ED + AD + DA = CB + ED = VP

(

Câu 67.

) (

)

(

)

(

(

)

)

Cho năm điểm A, B, C , D , E . Khẳng định nào đúng?
uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur
uuur uuur uuu
r
AC + CD − EC = 2 AE − DB + CB
AC + CD − EC = 3 AE − DB + CB
A.
B.
uuur uuur uuu
r
uuur uuur uuur AE − DB + CB
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AC + CD − EC =
AC
+
CD
−
EC
=
AE
−

DB
+
CB
4
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuu
r uuur uuur r
AC + CD − EC = AE − DB + CB ⇔ AC − AE + CD − CB − EC + DB = 0
uuur uuur uuur uuur r
⇔ EC + BD − EC + DB = 0
uuur uuur r
BD + DB = 0 (đúng) ĐPCM.

(

)

(

(

) (

)

)

4. Dạng 4: Phân tích 1 véctơ theo hai hay nhiều véctơ không cùng phương
Nhận biết
Câu 68.

uuuu
r
uuu
r uuur
Hãy chọn kết quả đúng khi phân tích vectơ AM theo hai véctơ AB và AC của tam giác ABC
với trung tuyến AM .
uuuu
r uuu
r uuur
uuuu
r
uuu
r uuur
AM
=
AB
+
AC
AM
=
2
AB
+ 3AC .

A.
.
B.
uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuuu
r 1 uuu
r uuur
AM = ( AB + AC )
AM = ( AB + AC )
2
3
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.

uuuu
r 1 uuu
r uuur
AM = ( AB + AC )
2
Do M là trung điểm của BC nên ta có
.
uuur
Câu 69. Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm G . Khi đó BG =
r

r
1 uur uuu
1 uur uuur
1 uur uuu
uur uuur
BA + BC
BA + BC
BA + BC
A. BA + BC .
B. 2
.
C. 3
.
D. 3
.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

(

)

(

Ta có
uuur 2 uuuu
r 2 1 uur uuu
r
r
1 uur uuu

BG = BM = × BA + BC = BA + BC
3
3 2
3
.

(

)

(

)

)


uuu
r 1 uuur
uuur
uuur
uuu
r
BE = BC
3
Câu 70. Cho tam giác ABC, là điểm trên BC sao cho
. Hãy biểu diễn AE qua AB và AC
Một học sinh đã giải như sau:
(I) Gọi D là trung điểm EC thì BE = ED = DC
uuur 1 uuur uuur

AD = ( AE + AC )
2
(II) Ta có
uuur 1 uuu
r 1 uuur uuur
AE = AB + ( AE + AC )
2
4
(III)
uuur 2 uuu
r 1 uuur
AE = AB + AC
3
3
(IV) ⇔

Cách giải trên đúng đến bước nào?
A. I
B. II

C. III
Hướng dẫn giải

D. IV

Chọn D.
uuur
uuuu
r
uuu

r
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Hãy phân tích AM theo hai vectơ AB và AC :
uuur uuur
uuur uuur
uuu
r uuur
uuuur AB + AC
uuuur AB + AC
uuuu
r AB − AC
AM =
AM =
AM =
2
−2
2
A.
B.
C.
D. Cả A, B, C đều sai
Hướng dẫn giải
Chọn A.
uu
r uur
IA
= 3IB . Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?
Câu 72. Cho tam giác ABC và I thỏa
uur 1 uuu
r uuu
r

uur 1 uuu
r uuu
r
uur uuu
r uuu
r
uur uuu
r uuu
r
CI = 3CB − CA
CI = CA − 3CB
CI
=
CA
−
3
CB
CI
=
3
CB
−
CA
2
2
A.
.
B.
. C.
. D.

Câu 71.

(

)

(

)

Hướng dẫn giải
Chọn B.
uu
r
uur
uur uur
uuu
r uur
uur
uuu
r uur
uur 1 uuu
r uur
IA = 3IB ⇔ CA − CI = 3 CB − CI ⇔ 2CI = 3CB − CA ⇔ CI = 3CB − CA
2
Ta có
.

(

Câu 73.

)

(

)

uuuu
r
Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh AB sao cho MB = 3MA . Khi đó, biễu diễn AM
uuur
uuu
r
AB
theo
và AC là:
uuuu
r 1 uuu
r uuur
uuuu
r 1 uuu
r 3 uuur
AM = AB + 3 AC
AM = AB + AC
4
4
4
A.

.
B.
.
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 1 uuur
AM = AB + AC
AM = AB + AC
4
6
2
6
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.


uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 3 uuur uuu
r 3 uuu
r uuur

r 3 uuur
1 uuu
AM = AB + BM = AB + BC = AB + BA + AC = AB + AC
4
4
4
4
Ta có
.

(

Câu 74.

)

Cho tam giác ABC có N thuộc cạnh BC sao cho BN = 2 NC . Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuur 2 uuu
r 1 uuur
uuur
r 2 uuur
1 uuu
AN = AB + AC
AN = − AB + AC
3
3
3
3
A.
.

B.
.
uuur 1 uuu
r 2 uuur
uuur 1 uuu
r 2 uuur
AN = AB − AC
AN = AB + AC
3
3
3
3
C.
.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có
uuur uuu
r uuur uuu
r 2 uuur uuu
r 2 uuu
r uuur uuu
r 2 uuu
r 2 uuur 1 uuu
r 2 uuur
AN = AB + BN = AB + BC = AB + BA + AC = AB − AB + AC = AB + AC
3
3

3
3
3
3
.

(

Câu 75.

)

Cho tam giác ABC có M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3MB .Đẳng thức nào sau đây đúng?
uuuu
r 1 uur 3 uuu
r
uuuu
r 7 uur 3 uuu
r
CM = CA + CB
CM = CA + CB
4
4
4
4
A.
.
B.
.
uuuu

r 1 uur 3 uuu
r
uuuu
r 1 uur 3 uuu
r
CM = CA + CB
CM = CA − CB
2
4
4
4
C.
.
D.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 3 uuu
r uuu
r 3 uuur uuu
r
r 3 uuu
r
1 uuu
CM = CA + AM = CA + AB = CA + AC + CB = CA + CB
4

4
4
4
Ta có
.

(

Câu 76.

)

Cho tam giác ABC . Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 4 MC . Khi đó
uuuu
r 4 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 4 uuu
r uuur
AM = AB + AC
AM = AB − AC
5
5
5
A.
.
B.
.
uuuu
r 4 uuu

r 1 uuur
uuuu
r 1 uuu
r 4 uuur
AM = AB − AC
AM = AB + AC
5
5
5
5
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải


Chọn D.
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 4 uuur uuu
r 4 uuu
r uuur 1 uuu
r 4 uuur
AM = AB + BM = AB + BC = AB + BA + AC = AB + AC
5
5
5

5
.

(

)

Thông hiểu
Câu 77.

Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N là trung điểm AB và DC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các
uuu
r
uuur
đường thẳng AD và BC sao cho PA = −2 PD ,
uuuu
r 1 uuur uuur
MN = ( AD + BC )
2
A.
.
uuuu
r
u
u
u
r
u
u
u

r
1
MN = − ( AD + BC )
2
C.
.

uuur
uuur
QP = −2QC Khẳng định nào sau đây đúng?
uuuur uuur uuuur
B. MN = MP + MQ .

uuuu
r 1 uuuu
r uuuu
r uuu
r uuu
r
MN = ( MD + MC + NB + NA)
4
D.
.

Hướng dẫn giải
Chọn A

uuuu
r 1 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
1 uuur uuur

MN = ( MA + AD + DN + MB + BC + CN ) = ( AD + BC )
2
2

Cho tam giác ABC, gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho BM = 3MC . Khẳng định nào sau
đây là khẳng định đúng?
uuuu
r 1 uuu
r 3 uuur
uuuu
r 2 uuu
r 1 uuur
AM = AB + AC.
AM = AB + AC.
4
4
3
3
A.
B.
uuuu
r 3 uuu
r 1 uuur
uuuu
r 5 uuu
r 3 uuur
AM = AB + AC.
AM = AB + AC.
4
4

4
4
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
uuuu
r uuu
r uuuu
r uuu
r 3 uuur uuu
r 3 uuur uuu
r 1 uuu
r 3 uuur
AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC − AB = AB + AC
4
4
4
4
uuur
ABC
G
BC
M
Câu 79. Cho tam giác
có trọng tâm . Gọi
là trung điểm
. Phân tích véctơ AG theo hai
uuur
uuu

r
véctơ AB và AC . Khẳng định nào sau đây đúng?
uuur 2 uuu
r 2 uuur
uuur 1 uuu
r 1 uuur
AG = AB + AC
AG = AB + AC
3
3
3
3
A.
.
B.
.
uuur 2 uuur 1 uuur
uuur 2 uuu
r 1 uuur
AG = AB + BC
AG = AC − BC
3
3
3
3
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
uuur 2 uuuu
r 2 1 uuu
r 1 uuur
r 1 uuur
1 uuu
AG = AM =  AB + AC ÷ = AB + AC
3
32
2
3
 3
Ta có:
Câu 78.

(

Phân tích phương án nhiễu:

)