H10 c3 b1
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (486.41 KB, 67 trang )
Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Bài 1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I. LÝ THUYẾT
1. Vectơ chỉ phương
r
r
Vectơ u � 0 được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc
trùng với D .
r
r
ku
( k � 0) cũng là VTCP của D .
Nhận xét : Nếu u là VTCP của D thì
2. Phương trình tham số của đường thẳng
r
M
(
x
;
y
)
u
Cho đường thẳng D đi qua 0 0 0 và = (a;b) là VTCP. Khi đó phương trình tham số của đường
thẳng có dạng:
�x = x0 + at
�
�
�
�y = y0 + bt
t �R
.
Nhận xét : A �D � A(x0 + at;y0 + bt)
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
r
a � 0, b � 0
M
(
x
;
y
)
Cho đường thẳng D đi qua 0 0 0 và u = (a;b) (với
) là VTCP. Khi đó phương trình
chính tắc của đường thẳng có dạng:
x - x0
y - y0
=
a
b
4. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
u
r
r
n
�
0
Vectơ
gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của D nếu giá của nó vuông góc với D .
u
r
u
r
kn
( k � 0) cũng là VTPT của D .
Nhận xét : Nếu n là VTPT của D thì
5. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Cho đường thẳng D đi qua
thẳng có dạng:
M 0(x0;y0)
u
r
n
và có VTPT = (a;b) . Khi đó phương trình tổng quát của đường
Chú ý :
u
r
n
ax
+
by
+
c
=
0
- Nếu đường thẳng D :
thì = (a;b) là VTPT của D .
6. Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
D song song hoặc trùng với trục Ox � D : by + c = 0
D song song hoặc trùng với trục Oy � D : ax + c = 0
D đi qua gốc tọa độ � D : ax + by = 0
x y
+ =1
ab � 0)
a b
D đi qua hai điểm
với (
Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y = kx + m với k = tan a , a là góc hợp bởi tia
Mt của D ở phía trên trục Ox và tia Mx ( M là giao điểm của D và Ox ).
7. Liên hệ giữa VTCP và VTPT
r
u
r
VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do đó nếu D có VTCP u = (a;b) thì n = (- b;a) là một VTPT
của D .
A ( a;0) , B ( 0;b) � D :
8. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
1 : a1 x b1 y c1 0
Cho hai đường thẳng
2 : a2 x b2 y c2 0
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta xét số nghiệm của hệ phương trình
�a1 x b1 y c1 0
�
�a2 x b2 y c2 0
(I)
Chú ý: Nếu a2b2 c2 �0 thì :
9. Góc giữa hai đường thẳng.
�
Góc giữa hai đường thẳng có VTPT
n1 a1;b1
� �
�
và
n2 a2 ;b 2
�
cos(1 , 2 ) cos(n1 , n2 )
�
| n1 . n2 |
�
�
| n1 || n2 |
được tính theo công thức:
| a1a2 b1b2 |
a12 b12 . a22 b22
10. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Khoảng cách từ một điểm
M x0 ; y0
đến đường thẳng : ax by c 0 cho bởi công thức:
d(M0,) =
II. DẠNG TOÁN
1. Xác định vectơ pháp tuyến; vectơ chỉ phương của đường thẳng
Phương pháp giải
r
r
kn k �0
n
- Nếu là VTPT của thì
cũng là VTPT của .
r
r
ku
k �0 cũng là VTCP của .
u
- Nếu là VTCP của thì
- Hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường này là VTPT của đường kia; VTCP của
đường này cũng là VTCP của đường kia.
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTPT của đường này là VTCP của đường kia và ngược lại.
r
u
- VTPT và VTCP của 1 đường thẳng vuông góc với nhau. Do vậy nếu có VTCP (a; b) thì
r
n ( b; a ) là một VTPT của .
A. VÍ DỤ MINH HỌA
�x 2 3t
�
Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng �y 3 t là:
ur
uu
r
uu
r
u1 2; –3 .
u2 3; –1 .
u3 3; 1 .
A.
B.
C.
D.
uu
r
u4 3; –3 .
A 3; 2
Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
B 1; 4 ?
A.
ur
u1 1; 2 .
B.
uu
r
u2 2;1 .
C.
uu
r
u3 2;6 .
Ví dụ 3: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2 x 3 y 6 0 là :
uu
r
uu
r
uu
r
n4 2; 3
n2 2;3
n3 3; 2
A.
B.
C.
x y
1
Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng 3 2
là:
r
r
u 4 2;3
u 2 3; 2
A.
B.
C.
D.
D.
r
u 3 3; 2
và
uu
r
u4 1;1 .
ur
n1 3; 2
D.
r
u1 2;3
Hướng dẫn giải:
Chọn đáp án B
x y
r
r
1 � 2x 3y 6 0
n
2;3
u
3; 2
3 2
nên đường thẳng có VTPT là
. Suy ra VTCP là
.
Ví dụ 5: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2 x 3 y 6 0 là :
uu
r
uu
r
uu
r
n4 2; 3
n2 2;3
n3 3; 2
A.
B.
C.
D.
ur
n1 3; 2
Ví dụ 6: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm
B 4;1 ?
A.
ur
n1 2; 2 .
B.
uu
r
n2 2; 1 .
C.
uu
r
n3 1;1 .
D.
uu
r
n4 1; 2 .
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1.
Câu 2.
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ chỉ phương ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số
Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. Vô số.
Câu 3. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
�x = 2
d :�
�
�
�y = - 1+ 6t ?
A 2;3
và
A.
ur
u1 = ( 6;0)
.
B.
uu
r
u2 = ( - 6;0)
.
C.
uu
r
u3 = ( 2;6)
.
D.
Câu 4. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
A.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
uu
r �
uu
r �1 �
1 �
�
u2 = �
;3�
u
- ;3�
�
�
�
3 =�
�
�
�
�
�
�
�
2
2 �
B.
C.
ur
u1 = ( - 1;3)
D.
uu
r
u4 = ( 0;1)
.
�
1
�
x = 5- t
�
D :�
2
�
�
�y = - 3+ 3t ?
uu
r
u4 = ( - 1;- 6)
Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: –2 x 3 y – 1 0 . Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ
phương của đường thẳng .
3; 2 .
2;3 .
–3; 2 .
2; –3 .
A.
B.
C.
D.
Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: –2 x 3 y – 1 0 . Vectơ nào sau đây không là
vectơ chỉ phương của
� 2�
1; �
.
�
3; 2 .
2;3 .
–3; –2 .
A. � 3 �
B.
C.
D.
Cho đường thẳng (d): 2 x 3 y 4 0 . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)?
A.
ur
n1 3; 2
.
B.
uu
r
n2 4; 6
.
C.
uu
r
n3 2; 3
.
D.
uu
r
n4 2;3
.
THÔNG HIỂU
Câu 8. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A.
ur
u1 = ( - 1;2) .
Câu 9.
B.
uu
r
u2 = ( 2;1) .
C.
uu
r
u3 = ( - 2;6) .
D.
A ( - 3;2)
uu
r
u4 = ( 1;1) .
D. Bằng nhau.
Câu 10. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ
M ( a;b) ?
ur
u1 = ( 0; a+ b) .
B.
uu
r
u2 = ( a;b) .
C.
uu
r
u3 = ( a;- b) .
D.
ur
u1 = ( a;- b)
B.
uu
r
u2 = ( a;b)
.
C.
Câu 12. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
vectơ pháp tuyến của d ?
A.
ur
n1 = ( - 1;2) .
B.
uu
r
n2 = ( 1;- 2) .
C.
uu
r
u3 = ( b;a)
r
u = ( 2;- 1)
.
và điểm
A ( a;0)
B 0;b ?
và ( )
uu
r
u4 = ( - b;a)
. Trong các vectơ sau, vectơ nào là một
uu
r
n3 = ( - 3;6) .
r
D.
O( 0;0)
uu
r
u4 = ( - a;b) .
Câu 11. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm
A.
B ( 1;4) ?
Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của một đường thẳng:
A. Song song với nhau.
B. Vuông góc với nhau.
C. Trùng nhau.
A.
và
D.
uu
r
n4 = ( 3;6) .
Câu 13. Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n = ( 4;- 2) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một
vectơ chỉ phương của d ?
A.
ur
u1 = ( 2;- 4) .
B.
uu
r
u2 = ( - 2;4) .
uu
r
u3 = ( 1;2) .
C.
r
n 2;3
Câu 14. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến
đường thẳng đó.
r
r
u 2; 3 .
A.
B. u (3; 2).
Câu 15. Cho đường thẳng có vectơ pháp tuyến
đường thẳng đó.
r
r
u 0; 3 .
u 0; –7 .
A.
B.
C.
r
n 2;0
C.
D.
uu
r
u4 = ( 2;1) .
. Vectơ nào sau là vectơ chỉ phương của
r
u 3; 2 .
D.
r
u –3; 3 .
.Vectơ nào không là vectơ chỉ phương của
r
u 8; 0 .
D.
r
u 0; –5 .
VẬN DỤNG
Câu 16. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox ?
A.
ur
u1 = ( 1;0)
.
B.
uu
r
u2 = ( 0;- 1) .
C.
uu
r
u3 = ( - 1;1) .
D.
uu
r
u4 = ( 1;1) .
Câu 17. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?
ur
uu
r
A. u1 = ( 1;- 1) .
uu
r
B. u2 = ( 0;1) .
C. u3 = ( 1;0) .
uu
r
D. u4 = ( 1;1) .
Câu 18. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường phân giác góc phần tư thứ nhất?
A.
ur
u1 = ( 11
; ).
B.
uu
r
u2 = ( 0;- 1) .
C.
uu
r
u3 = ( 1;0) .
D.
uu
r
u4 = ( - 1;1) .
Câu 19. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox ?
A.
ur
n1 = ( 0;1) .
B.
uu
r
n2 = ( 1;0) .
C.
uu
r
n3 = ( - 1;0) .
D.
uu
r
n4 = ( 1;1) .
Câu 20. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?
A.
ur
n1 = ( 1;1) .
B.
uu
r
n2 = ( 0;1) .
C.
uu
r
n3 = ( - 1;1) .
D.
uu
r
n4 = ( 1;0) .
Câu 21. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?
A.
ur
n1 = ( 11
; ).
B.
uu
r
n2 = ( 0;1) .
Câu 22. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
vectơ pháp tuyến là:
ur
C.
r
u = ( 3; - 4)
uu
r
A. n1 = ( 4;3) .
B. n2 = ( - 4;- 3) .
d
Câu 23. Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là
một vectơ chỉ phương là:
A.
ur
u1 = ( 5;- 2) .
B.
uu
r
u2 = ( - 5;2) .
uu
r
n3 = ( 1;0) .
. Đường thẳng D vuông góc với d có một
uu
r
C. n3 = ( 3;4) .
r
n = ( - 2;- 5)
C.
D.
uu
r
n4 = ( - 1;1) .
uu
r
D. n4 = ( 3;- 4) .
. Đường thẳng D vuông góc với d có
uu
r
u3 = ( 2;5) .
D.
uu
r
u4 = ( 2;- 5) .
A 1; 2 , B 5; 6
Câu 24. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm
.
r
r
r
r
n
(4;
4)
n
(1;1)
n
(
4;
2)
n
A.
B.
.
C.
.
D. ( 1;1) .
r
u 3; 4
Câu 25. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là
. Đường thẳng vuông góc với d có
một vectơ pháp tuyến là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
n1 4; 3 .
n2 4; 3 .
n3 3; 4 .
n4 3; 4 .
A.
B.
C.
D.
r
n 2; 5
d
Câu 26. Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là
. Đường thẳng vuông góc với d có
một vectơ chỉ phương là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1 5; 2 .
u2 5; 2 .
u3 2;5 .
u4 2; 5 .
A.
B.
C.
D.
r
u 3; 4
d
Câu 27. Đường thẳng
có một vectơ chỉ phương là
. Đường thẳng song song với d có
một vectơ pháp tuyến là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
n1 4; 3 .
n2 4;3 .
n3 3; 4 .
n4 3; 4 .
A.
B.
C.
D.
r
n 2; 5
d
Câu 28. Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là
. Đường thẳng song song với d có
một vectơ chỉ phương là:
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1 5; 2 .
u2 5; 2 .
u3 2;5 .
u4 2; 5 .
A.
B.
C.
D.
Câu 29. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox ?
ur
uu
r
uu
r
uu
r
u1 1;0
u2 0; 1 .
u3 1;1 .
u4 1;1 .
A.
.
B.
C.
D.
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. D
2. D
3. D
4. C
5. A
6. C
7. B
8. B
9. B
10. B
11. A
12. D
13. C
14. C
15. C
16. A
17. C
18. D
19. A
20. D
21. A
22. D
23. C
24. D
25. D
26. C
27. A
28. A
29. A
2. Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp giải
1. Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định
- Điểm A(x0;y0) �D
- Một vectơ pháp tuyến
u
r
n ( a;b)
của D
a x - x0 ) + b( y - y0 ) = 0
Khi đó phương trình tổng quát của D là (
2. Để viết phương trình tham số của đường thẳng D ta cần xác định
- Điểm A(x0;y0) �D
- Một vectơ chỉ phương
r
u ( a;b)
của D
x = x0 + at
�
�
, t �R
�
�y = y0 + bt
�
D
Khi đó phương trình tham số của là
.
3. Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng D ta cần xác định
- Điểm A(x0;y0) �D
- Một vectơ chỉ phương
r
u ( a;b) , ab � 0
của D
x - x0
y - y0
=
b
Phương trình chính tắc của đường thẳng D là a
(trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc)
4. Đường thẳng qua điểm
M x0 ; y0
có hệ số góc k có phương trình là
y k x x0 y0
Chú ý:
Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT.
Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường
thẳng kia và ngược lại
r
u
r
u
=
(
a
;
b
)
n
Nếu D có VTCP
thì = (- b;a) là một VTPT của D .
A. VÍ DỤ MINH HỌA
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTPT
r
A 1; 2
n 1; 2
Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua
, nhận
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:
A. x 2 y 5 0 .
B. 2 x y 0
C. x 2 y 1 0
D. x 2 y 5 0
Lời giải
Chọn D.
d
Gọi
là đường thẳng đi qua và nhận
r
n 1; 2
làm VTPT
� d : x 1 2 y 2 0 � x 2 y 5 0
Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
pháp tuyến.
M 1; 3
và nhận vectơ
r
n 1; 2
làm vectơ
�x 1 t
:�
�y 3 2t
B.
A. : x 2 y 5 0
�x 1 2t
:�
�y 3 t .
C.
D.
:
x 1 y 3
2
1
Lời giải
Chọn C.
r
n 1; 2
Vì nhận vectơ
làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của là
r
u 2;1
.
�x 1 2t
�
Vậy phương trình tham số của đường thẳng là �y 3 t
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết VTCP
d
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng
đi qua
�x 2 3t
�
A. �y 1 4t .
�x 1 2t
�
C. �y 4 3t .
�x 2 t
�
B. �y 3 4t
M –2;3
và có VTCP
r
u 1; 4
.
�x 3 2t
�
D. �y 4 t
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng
�x 2 t
�
�y 3 4t
d
đi qua
M –2;3
và có VTCP
r
u 1; 4
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua
vectơ chỉ phương.
A. : 2 x y 5 0
B.
�x 1 t
:�
�y 3 2t .
C.
D.
:
:
nên có phương trình:
M 1; 3
và nhận vectơ
r
u 1; 2
làm
x 1 y 3
1
2
x 1 y 3
1
2
Lời giải
Chọn B.
Đường thẳng đi qua
x 1 y 3
2 .
là 1
M 1; 3
và nhận vectơ
r
u 1; 2
làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc
3. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và song song với 1 đường thẳng cho trước.
d : x 2 y 1 0 . Đường thẳng đi qua M 1; 1 và song song với d
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
có phương trình:
A. x 2 y 3 0 .
B. 2 x y 1 0 .
C. x 2 y 3 0 .
D. x 2 y 1 0
Lời giải
Chọn A.
Do
Mà
d nên có phương trình dạng: x 2 y c 0 c �1
song song với
M 1; 1 � � 1 2 1 c 0 � c 3
Vậy
: x 2 y 3 0
A 2;0 , B 0;3 , C 3;1 .
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
Đường thẳng đi qua B và song song với AC
có phương trình:
A. 5 x y 3 0
B. 5 x y 3 0
C. x 5 y 15 0 .
D. x 5 y 15 0
Lời giải
Chọn D.
d
Gọi
Suy ra
d
là đường thẳng cần tìm. Do
r
n 1; 5
là VTPT của
song song với AC nên nhận
uuur
AC 5;1
làm VTCP.
d .
� d có phương trình: 1 x 0 5 y 3 0 � x 5 y 15 0
4. Viết phương trình đường thẳng qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước
Ví dụ 1: Phương trình tham số của đường thẳng
d�
: 3x 4 y 1 0 là:
thẳng
�x 3 2t
�x 2 3t
�
�
A. �y 4 3t
B. �y 3 4t
d
đi qua điểm
M 2;3
và vuông góc với đường
x2 y 3
4
C. 3
Lời giải
D. 4 x 3 y 1 0 .
Chọn B.
d d�
: 3x 4 y 1 0
Ta có
Suy ra
uu
r
� VTCP ud 3; 4
và qua
M 2;3
�x 2 3t
t ��
�y 3 4t
d :�
A 2; 1 ; B 4;5 ; C 3; 2
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
. Phương trình tổng quát của đường cao AH
của tam giác ABC là:
A. 3 x 7 y 11 0 .
C. 3 x 7 y 13 0 .
B. 7 x 3 y 11 0
D. 7 x 3 y 13 0 .
Lời giải
Chọn B.
Gọi AH là đường cao của tam giác.
uuur
A
2;
1
BC 7; 3 7;3
AH đi qua
và nhận
làm VTPT
� AH : 7 x 2 3 y 1 0 � 7 x 3 y 11 0
5. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết hệ số góc.
M 1; 2
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng biết đi qua điểm
và có hệ số góc
k 3.
A. 3x y 1 0
B. 3 x y 5 0
C. x 3 y 5 0.
Lời giải
D. 3x y 5 0
Chọn D.
y 3 x 1 2 � 3 x y 5 0
Phương trình đường thẳng là
.
M 2; 5
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng biết đi qua điểm
và có hệ số góc k 2 .
A. y 2 x 1
B. y 2 x 9 .
C. y 2 x 1 .
Lời giải
D. y 2 x 9 .
Chọn A.
y 2 x 2 5 � y 2 x 1
Phương trình đường thẳng là
.
6. Viết phương trình đường thẳng qua 2 điểm
A 2; 4 ; B 6;1
Ví dụ 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
là:
3
x
4
y
10
0.
3
x
4
y
22
0.
3
x
4
y
8
0.
A.
B.
C.
Lời giải
D. 3 x 4 y 22 0 .
Chọn B.
Ta có
AB :
x xA
y yA
x2 y4
�
� 3x 4 y 22 0
xB x A y B y A
4
3
A 1; 2 ; B 0; 2 ; C 2;1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
. Đường trung tuyến BM có phương trình
là:
A. 5 x 3 y 6 0
B. 3 x 5 y 10 0
C. x 3 y 6 0 .
D. 3x y 2 0
Lời giải
Chọn A
r � 3 5� 1
� 3 1 � uuuu
�M�
; � BM �
; � 3;5
2
2
2 2� 2
�
�
�
AC
M
Gọi
là trung điểm
;
BM qua
B 0; 2
và nhận
r
n 5; 3
làm VTPT
� BM : 5 x 3 y 2 0 � 5 x 3 y 6 0
7. Viết phương trình đường trung trực của 1 đoạn thẳng
A x1 ; y1 , B x2 ; y2
Bài toán: Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB biết
.
�x x y y2 �
I �1 2 ; 1
�
2 �của AB và nhận
Đường trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm � 2
uuur
AB x2 x1 ; y2 y1
làm VTPT.
A 2;3 ; B 4; 1 .
Ví dụ 1: Cho hai điểm
Viết phương trình đường trung trực của đoạn AB .
A. x y 1 0.
B. 2 x 3 y 1 0.
C. 2 x 3 y 5 0.
D. 3 x 2 y 1 0.
Lời giải
Chọn D.
� M 1;1
Gọi M trung điểm AB
uuu
r
AB 6; 4 2 3; 2
Ta có
r
n 3; 2
M 1;1
Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua
và nhận
làm VTPT.
3 x 1 2 y 1 0 � 3x 2 y 1 0
Phương trình d :
A 1; 1 ; B 3; 5
Ví dụ 2: Cho điểm
. Viết phương trình tham số đường trung trực của đoạn thẳng AB .
�x 2 2t
.
�
A. �y 3 t
�x 2 2t
.
�
B. �y 1 3t
�x 2 t
.
�
C. �y 3 2t
�x 1 2t
.
�
D. �y 2 3t
Lời giải
Chọn A.
M 2; 3
là trung điểm của AB .
uuur
AB 2; 4 2 1; 2
Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua
�x 2 2t
.
�
y
3
t
�
nên có phương trình:
M 2; 3
và nhận
8. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác
Cho 2 đường thẳng cắt nhau:
d1 : A1 x B1 y C1 0 ; d 2 : A2 x B2 y C2 0 .
Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:
A1 x B1 y C1
A x B2 y C2
� 2
A12 B12
A2 2 B2 2
Chú ý:
r
u 2;1
làm VTCP
A x1 , y1 B x2 , y2
Cho ( ): f ( x, y ) Ax By C 0 và
,
.
� f x1 , y1 . f x2 , y2 0
* A và B nằm về cùng một phía đối với
� f x1 , y1 . f x2 , y2 0
* A và B nằm khác phía đối với
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh AB : x y 1 0 ; AC :7 x y 2 0 ;
BC :10 x y 19 0 . Viết phương trình đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
A. 12 x 4 y 3 0. B. 2 x 6 y 7 0.
C. 12 x 6 y 7 0.
D. 2 x 6 y 7 0.
Lời giải
Chọn B.
B AB �BC � B 2; 1
C AC �BC � C 1;9
PT các đường phân giác góc A là:
x y 1
12 12
Đặt
�
7x y 2
7 2 1
2
2 x 6 y 7 0 d1
�
��
12 x 4 y 3 0 d 2
�
f1 x, y 2 x 6 y 7; f 2 x, y 12 x 4 y 3
ta có:
f1 B . f1 C 0; f 2 B . f 2 C 0
.
Suy ra B, C nằm khác phía so với d1 và cùng phía so với d 2 .
Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2 x 6 y 7 0 .
A 2; 1 ; B 1;3 ; C 6;1
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có
.Viết phương trình đường phân giác ngoài
góc A của tam giác ABC .
A. x y 1 0
B. 5 x 3 y 9 0.
C. 3 x 3 y 5 0.
D. x y 3 0
Lời giải
Chọn D.
x 2 y 1
� 4x y 7 0
1 2 3 1
x 2 y 1
� x 4y 2 0
AC :
6 2 11
AB :
Phương trình các đường phân giác góc A là:
4x y 7
42 1
Đặt
2
�
x 4y 2
12 4
2
x y 3 0 d1
�
��
x y 1 0 d2
�
f1 x, y x y 3; f 2 x, y x y 1
ta có:
f1 B . f1 C 0; f 2 B . f 2 C 0
Suy ra B, C nằm cùng phía so với d1 và khác phía so với d 2 .
.
Vậy phương trình đường phân giác ngoài góc A là: x y 3 0 .
9. Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và tạo với trục Ox một góc cho trước.
Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng
A.
d
3x y 3 2 0
C. 3 x y 2 0
Lời giải
Chọn A.
Do
d
M 1; 2
B.
3x y 3 2 0
D.
3x y 3 2 0
0
và tạo với trục Ox một góc 60 .
0
0
tạo với trục Ox một góc 60 nên có hệ số góc: k tan 60 3 .
Phương trình
d
là:
y 3 x 1 2 � 3 x y 3 2 0
Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng
A. x y 1 0
C. x y 5 0
Lời giải
Chọn C.
Do
qua
d
d
.
0
N 3; 2
qua
và tạo với trục Ox một góc 45 .
B. x y 1 0
D. x y 2 0
0
0
tạo với trục Ox một góc 45 nên có hệ số góc: k tan 45 1 .
Phương trình
d
là: y x 3 2 � x y 5 0
10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tạo với đường thẳng cho trước một góc.
ur
uu
r
d1
n1 A1 , B1 d 2
n2 A2 , B2
Giả sử
có VTPT là
;
có VTPT
thì
u
r uu
r
A1 A2 B1B2
�
cos(d�1 , d 2 )= cos(n1 , n2 )
A12 B12 . A2 2 B2 2
Chú ý:
Giả sử
d1 ; d 2
có hệ số góc lần lượt là k1 ; k2 thì:
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
M 2;1
và tạo với
A. 1
Lời giải
d
tan(d�1 , d 2 )
k1 k2
1 k1.k2
.
có phương trình: x 2 y 5 0 . Có mấy phương trình đường thẳng qua
d
0
một góc 45 .
B. 2
C. 3
D. Không có.
Chọn B.
Gọi là đường thẳng cần tìm;
r
n A, B
d một góc 450 thì:
Để lập với
là VTPT của
A
2
B 2 �0
cos 450
A 2B
A2 B 2 . 5
A 3B
�
1
2
� 2 A 2 B 5 A2 B 2 � �
B 3A
2
�
+ Với A 3B , chọn B 1 � A 3 ta được phương trình :3 x y 5 0 .
+ Với B 3 A , chọn A 1 � B 3 ta được phương trình : x 3 y 5 0
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
d
có phương trình: x 3 y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng qua
A 2;0
d một góc 450 .
và tạo với
A. : 2 x y 4 0 hoặc : x 2 y 2 0
C. : 2 x y 4 0 hoặc : x 2 y 2 0
B. :2 x y 4 0 hoặc : x 2 y 2 0
D. :2 x y 4 0 hoặc : x 2 y 2 0 .
Lời giải
Chọn C.
r
n A, B
Gọi là đường thẳng cần tìm;
là VTPT của
A
2
B 2 �0
d một góc 450 thì:
Để lập với
cos 450
A 3B
A2 B 2 . 10
A 2B
�
1
2
� 2 A 3B 10 A2 B 2 � �
B 2 A
2
�
+ Với A 2B , chọn B 1 � A 2 ta được phương trình :2 x y 4 0 .
+ Với B 2 A , chọn A 1 � B 2 ta được phương trình : x 2 y 2 0
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT
Câu 1.
Đường thẳng đi qua
A. x – 2 y – 4 0 .
A 1; 2
r
n
, nhận (2; 4) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
B. x y 4 0 .
C. – x 2 y – 4 0 .
Câu 2.
D. x – 2 y 5 0 .
r
M
1;
2
u
3;5
Đường thẳng d đi qua điểm
và có vectơ chỉ phương
có phương trình tham
số là:
�x 3 t
d :�
�y 5 2t .
A.
C.
d:
Câu 3.
x 1 y 2
3
5 .
�x 1 3t
d :�
�y 2 5t .
B.
�x 3 2t
d :�
�y 5 t .
D.
Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 4),B(1;0) là
A. 4 x 3 y 4 0.
B. 4 x 3 y 4 0.
4 x 3 y 4 0.
D. 4 x 3 y 4 0.
C.
Câu 4.
Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm
thẳng
M 2;3
và vuông góc với đường
d�
: 3x 4 y 1 0
A. 4 x 3 y 1 0.
là:
�x 2 3t
�
B. �y 3 4t .
�x 2 4t
�
C. �y 3 3t .
�x 5 4t
�
D. �y 6 3t .
Câu 5.
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm
B 2;5
.
�x 2
.
�
A. �y 1 6t
A 2; 1
và
�x 2t
.
�
B. �y 6t
�x 2 t
.
�
C. �y 5 6t
�x 1
.
�
D. �y 2 6t
Câu 6. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với
đường thẳng : 6 x 4 x 1 0 là:
A. 3 x 2 y 0.
B. 4 x 6 y 0.
C. 3 x 12 y 1 0.
D. 6 x 4 y 1 0.
THÔNG HIỂU
Câu 7.
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
x y
x y
1
1
A. 5 3
.
B. 5 3
.
x y
1
C. 3 5
.
A 0; 5
B 3;0
.
x y
0
D. 3 5
.
M 1; 2
Câu 8. Đường thẳng d đi qua điểm
: 2 x 3 y 12 0 có phương trình tổng quát là:
A. 2 x 3 y 8 0 .
B. 2 x 3 y 8 0 .
C. 4 x 6 y 1 0 .
D. 4 x 3 y 8 0 .
Câu 9.
và
Cho hai điểm A(1; 4) và
trung trực của đoạn AB .
B 3; 2 .
và song song với đường thẳng
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng
A. x 3 y 1 0 .
B. 3x y 1 0 .
C. x y 4 0 .
D. x y 1 0 .
A 4; 1
B 1; 4
Câu 10.Đường trung trực của đoạn AB với
và
có phương trình là:
A. x y 1.
B. x y 0.
C. y x 0.
D. x y 1.
VẬN DỤNG
M 2; 5
Câu 11. Viết phương trình đường thẳng qua
và song song với đường phân giác
góc phần tư thứ nhất.
A. x y 3 0 .
B. x y 3 0 .
C. x y 3 0 .
D. 2 x y 1 0 .
Câu 12. Cho đường thẳng d : 3x 5 y 2018 0 . Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
r
n
3;5
A. d có vectơ pháp tuyến
.
r
u 5; 3
d
B. có vectơ chỉ phương
.
C. d có hệ số góc
k
5
3.
D. d song song với đường thẳng : 3x 5 y 0 .
Câu 13. Viết phương trình đường thẳng qua A(3; 2) và giao điểm của hai đường thẳng
d1 : 2 x y 5 0 và d 2 : 3 x 2 y 3 0 .
A. 5 x 2 y 11 0
B. x y 3 0
C. 5 x 2 y 11 0
D. 2 x 5 y 11 0
A 1;1 , B(0; 2), C 4; 2 .
Câu 14.Cho tam giác ABC có
Lập phương trình đường trung
tuyến của tam giác ABC kẻ từ A.
A. x y 2 0.
B. 2 x y 3 0.
C. x 2 y 3 0.
D. x y 0.
A 2; 1 , B 4;5
Câu 15.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có
và
C 3; 2
. Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A.
A. 7 x 3 y 11 0.
B. 3x 7 y 13 0.
C. 3x 7 y 1 0.
D. 7 x 3 y 13 0.
M 5; 3
Câu 16. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm
và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B
sao cho M là trung điểm của AB.
A. 3 x 5 y 30 0.
B. 3 x 5 y 30 0.
C. 5 x 3 y 34 0.
D. 5 x 3 y 34 0
Câu 17.Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng
�x 3 5t
d :�
�y 1 4t ?
A. 4 x 5 y 17 0 .
B. 4 x 5 y 17 0 .
C. 4 x 5 y 17 0 .
D. 4 x 5 y 17 0 .
Câu 18.Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng
d : x y 3 0?
�x t
.
�
y
3
t
�
A.
�x t
.
�
y
3
t
�
B.
�x 3
� .
C. �y t
�x 2 t
.
�
y
1
t
�
D.
VẬN DỤNG CAO
A 4; 2
Câu 19. Cho ABC có
. Đường cao BH : 2 x y 4 0 và đường cao CK : x y 3 0 . Viết
phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A.
A. 4 x 5 y 6 0
B. 4 x 5 y 26 0
C. 4 x 3 y 10 0
D. 4 x 3 y 22 0
Câu 20. Cho tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) và phương trình cạnh AB : 5 x 2 y 6 0 , phương
trình cạnh AC : 4 x 7 y 21 0 . Phương trình cạnh BC là
A. 4 x 2 y 1 0
B. x 2 y 14 0
C. x 2 y 14 0
D. x 2 y 14 0
A 1; 2
Câu 21. Cho tam giác ABC có
, đường cao CH : x y 1 0 , đường phân giác trong
BN : 2 x y 5 0 . Tọa độ điểm B là
A.
4;3
B.
4; 3
C.
4;3
D.
4; 3
Câu 22. qua M lần lượt cắt hai tia Ox , Oy tại A và B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất.
A. x 4 y 17 0
B. 4 x y 0
C. 2 x y 6 0
D. 4 x y 8 0
Câu 23. Có mấy đường thẳng đi qua điểm
M 2; 3
và cắt hai trục tọa độ
tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.
A. 2
B. 3
C. ĐÁP ÁN PHẦN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. D
2. B
11. B
12. C
21. C
22. D
C. 1
D. Không có.
3. B
4. B
5. A
6. A
7. C
8. A
9. A
10. B
13. C
14. A
15. A
16. A
17. C
18. A
19. A
20. D
23. A
D. HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
Câu 16
Chọn A.
Gọi
A �Ox � A x A ;0 ; B �Oy � B 0; y B
�x x 2 xM
�x 10
� �A B
� �A
�y A yB 2 yM
�yB 6
Ta có M là trung điểm AB
x
y
AB : 1 � 3 x 5 y 30 0
10 6
Suy ra
.
Câu 19
Chọn A
Gọi AI là đường cao kẻ từ đỉnh A . Gọi H1 là trực tâm của ABC , khi đó tọa độ điểm
� 7
x
�
2
x
y
4
0
�
� 3
��
�
uuuur � 5 4 �
�x y 3 0
�y 2
AH1 �
; �
�
3 .
� 3 3�
H thỏa mãn hệ phương trình
�7 2 �
r
H1 � ; �
n
3
3
�
�và nhận 4;5 làm VTPT
AI qua
� 7� � 2�
� AI : 4 �x � 5 �y � 0 � 4 x 5 y 6 0
� 3� � 3�
Câu 20
Chọn D.
Ta có
Ta có
Mà
uuur
A AB �AC � A 0;3 � AH 1; 2
BH AC � BH : 7 x 4 y d 0
H 1;1 � BH � d 3
suy ra
19 �
�
B AB �BH � B �
5; �
2�
�
Có
BH : 7 x 4 y 3 0
Phương trình
Suy ra
BC nhận
19 �
�
B�
5; �
2�
là VTPT và qua �
uuur
AH 1; 2
19 �
� 0 � x 2 y 14 0
� 2�
BC : x 5 2 �
�y
Câu 21
Chọn C.
Ta có
Mà
AB CH � AB : x y c 0
A 1; 2 � AB � 1 2 c 0 � c 1
Suy ra
B AB �BN
Có
AB : x y 1 0
� Toạ
độ
B
là
nghiệm
hệ
phương
trình
�x y 1 0
�x 4
��
� B 4;3
�
�2 x y 5 0 �y 3
.
Câu 22
Chọn D.
�4 10
�
M�
; 1�
�
�
A a;0 , B 0; b
� 5
�. Khi đó đường thẳng đi qua A, B có dạng
Giả sử
với
x2 y 2
160 1
2
1� a 8
1
25a 2 5
5
. Do 8
nên F1 ( 3; 0)
1
1
SOAB OA.OB ab
2
2 .
Mặt khác
2
2
2
2
Áp dụng BĐT Côsi ta có a b c b 3
Suy ra
M (1;
4 33
1
528
1 4
1 4
) �( E ) � 2
1
1
2
5
a
25b
nhỏ nhất khi a b và a b
do đó a 2; b 8
x y
1
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là 2 8
hay 4 x y 8 0
Câu 23
Chọn A.
Phương trình đoạn chắn
AB :
x y
1
a b
ba
�
� a b ��
b a
�
Do OAB vuông cân tại O
x y
� 1� x y a
M 2; 3 � AB � 2 3 a � a 1 � b 1
a a
TH1: b a
mà
Vậy
AB : x y 1 0 .
TH2: b a
�
x y
1� x y a
M 2; 3 � AB � 2 3 a � a 5 � b 5
a a
mà
Vậy
AB : x y 5 0 .
3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương pháp:
Dùng Casio bấm giải hệ phương trình từ hai phương trình của hai đường thẳng:
Hệ vô nghiệm: hai đường thẳng song song
Hệ có nghiệm duy nhất: hai đường cắt nhau
Nếu tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 thì vuông góc
Hệ có vô số nghiệm: hai đường trùng nhau
Cách khác: Xét cặp VTPT của hai đường thẳng
Không cùng phương: hai đường thẳng cắt nhau
Nếu tích vô hướng của hai VTPT bằng 0 thì vuông góc
Cùng phương: hai đường thẳng song song hoặc trùng
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây:
1 : x 2 y 1 0 và 2 : 3 x 6 y 1 0 .
A. Song song.
B. Trùng nhau.
C. Vuông góc nhau. D. Cắt nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Giải hệ phương trình thấy vô nghiệm nên hai đường thẳng song song
ur
uu
r
n
(1;
2)
n
Cách 2: Đường thẳng 1 có vtpt 1
và 2 có vtpt 2 (3; 6) .
uu
r
ur
n
3
n
2
1 và 1 �1 nên hai đường thẳng này song song
2
1
Hai đường thẳng , có
Ví dụ 2: Đường thẳng : 3x 2 y 7 0 cắt đường thẳng nào sau đây?
A. d1 : 3x 2 y 0.
C. d3 : 3x 2 y 7 0.
Hướng dẫn giải
B. d 2 : 3x 2 y 0.
D. d 4 : 6 x 4 y 14 0.
Chọn A.
3 2
� �
: 3 x 2 y 7 0 và d1 : 3 x 2 y 0 có 3 2
cắt d1.
Ví dụ 3: Hai đường thẳng d1 : 4 x 3 y 18 0; d 2 : 3x 5 y 19 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ:
A. 3; 2 .
B. 3; 2 .
C. 3; 2 .
D. 3; 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
�4 x 3 y 18 0
�x 3
.
�
�
3
x
5
y
19
0
y
2
�
�
Giải hệ phương trình
ta được
Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường
thẳng d : y 2 x 1?
A. 2 x y 5 0.
B. 2 x y 5 0.
C. 2 x y 0.
D. 2 x y 5 0.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
d : y 2 x 1 � 2 x y 1 0 và đường thẳng
2 1
�
2 x y 5 0 không song song vì 2 1 .
Ví dụ 5: Hai đường thẳng d1 : m x y m 1; d 2 : x my 2 song song khi và chỉ khi:
A. m 2.
B. m �1.
C. m 1.
D. m 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
m 1 m 1
�
.
1 m
2
1 1 2
D1 D2 .
Khi m 1 ta có: 1 1 2
1 1 0
� � D1 / / D2 .
Khi m 1 ta có: 1 1 2
D1 //D2 �
Ví dụ 6: Cho 3 đường thẳng d1 : 2 x y –1 0, d 2 : x 2 y 1 0, d3 : mx – y – 7 0. Để ba đường
thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:
A. m –6
B. m 6
C. m –5
D. m 5
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
2x y 1 0
�
�x 1
��
�
Giao điểm của d1 và d 2 là nghiệm của hệ �x 2 y 1 0 �y 1
A 1; 1
Vậy d1 cắt d 2 tại
Để 3 đường thẳng d1 , d 2 , d3 đồng quy thì d3 phải đi qua điểm A � A thỏa phương
trình d3
� m 1 7 0 � m 6.
Ví dụ 7: Cho 4 điểm A(0 ; 2), B(1 ; 0), C (0 ; 4), D(2 ; 0) . Tìm tọa độ giao điểm của 2
đường thẳng AB và CD
A. (1 ; 4) .
� 3 1�
; �
.
�
B. � 2 2 �
C. (2 ; 2) .
D. Không có giao điểm.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
AB có
Ta có:
điểm.
vectơ chỉ phương là
uuu
r
AB 1; 2
và
uuu
r
AB 1; 2
uuur
CD 2; 4
uuur
CD 2; 4
CD
và
có vectơ chỉ phương là
.
cùng phương nên AB và CD không có giao
�
�x 3 2t
�
:
�y 1 3t và 2 :
1
Ví dụ 8: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
�
�x 2 3t '
�
�y 1 2t '
A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Vuông góc nhau.
D. Trùng nhau.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
1 : có vtcp
ur
u1
2; 3
; 2 : có vtcp ..
ur uu
r
ur uu
r
u
u
u
.
u
Ta có: 1 , 2 không cùng phương và 1 2 2 6 nên 1 , 2 Cắt nhau nhưng không
vuông góc
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT.
Câu 1. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 4 x 3 y 26 0 và đường thẳng
d : 3x 4 y 7 0 .
5; 2
A. .
B. Không có giao điểm.
C. 2; 6 .
D. 5; 2 .
Câu 2. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng
�
�x 2 ( 2 2)t '
�x 1 (1 2t )
�
�
1 : �y 2 2t
:
�y 1 2t '
2
và
A. Vuông góc. B. Song song.
C. Cắt nhau D. Trùng nhau.
Câu 3. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 5 x 2 y 10 0 và trục hoành Ox .
0; 2 .
A.
0;5 .
B.
2;0 .
C.
2;0 .
D.
Câu 4. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 5 x 2 y 12 0 và đường thẳng
D : y 1 0 .
A. (1; 2).
�14
�
� ; 1�
�.
C. � 5
B. (1;3) .
1 :
x
y
20
: 2x 2
2 1
2
và 2
Câu 5. Hai đường thẳng
đối là:
A. cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. vuông góc nhau.
� 14 �
1; �
.
�
5
�
�
D.
2 1 y 0
có vị trị tương
B. song song với nhau.
D. trùng nhau.
Câu 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:
�x 2 5t
�x 7 5t �
1 : �
2 : �
�y 3 6t và
�y 3 6t �
.
A. Trùng nhau.
B. Vuông góc nhau.
C. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
D. Song song nhau.
Câu 7. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng:
�x 2 3 2 t
�x 3 t �
�
�
1 : �
2 : �
y 3 5 2 6 t�
�y 2 3 2 t
�
�
�
và
A. Trùng nhau.
B. Cắt nhau.
C. Song song.
�
�x 3 2t
1 : �
�y 1 3t
D. Vuông góc.
�
�x 2 3t �
2 : �
�y 1 2t �
Câu 8. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng:
và
A. Song song nhau.
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
C. Trùng nhau.
D. Vuông góc nhau.
Câu 9. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
�x 3 4t
�x 1 4t �
2 : �
�y 2 5t và
�y 7 5t �
.
1 : �
A. A 5;1 .
B. A 1;7 .
C. A 3; 2 .
D. A 1; 3 .
Câu 10. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng :15 x 2 y 10 0 và trục tung Oy .
5; 0
A.
.
0;5
B. .
0; 5
C.
.
�2 �
� ;5 �
D. �3 �.
Câu 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng sau đây:
�x 22 2t
�x 12 4t �
1 : �
2 : �
�y 55 5t và
�y 15 5t �
6;5
A. .
0; 0
B. .
5; 4
C.
.
2;5
D. .
Câu 12. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : 7 x 3 y 16 0 và đường thẳng
d : x 10 0 .
A. 10; 18 .
B. 10;18 .
C. 10;18 .
D. 10; 18 .
3
�
� 9
x 3 t
x 9t �
�
�
�
� 2
2
1 : �
2 : �
4
�y 1 t
�y 1 8t �
�
� 3
3 và
Câu 13. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
.
A. Song song nhau. B. Cắt nhau.
C. Vuông góc nhau.D. Trùng nhau.
Câu 14. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
1;7
A. .
1; 3
B.
.
�x 1 2t
�x 1 4t �
2 : �
�y 7 5t và
�y 6 3t �
.
1 : �
3;1
C. .
3; 3
D.
.
Câu 15. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng 5 x 2 y 29 0 và 3x 4 y 7 0 .
5; 2
2; 6
5; 2
5; 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 16. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng 15 x 2 y 10 0 và trục tung?
�2 �
� ;0 �
A. �3 �.
0; 5
B.
.
0;5
C. .
5;0
D.
.
Câu 17. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng 5 x 2 y 10 0 và trục hoành.
2;0
0;5
2;0
0; 2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Câu 18. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng 15 x 2 y 10 0 và trục hoành.
0; 5
A.
.
�2 �
� ;0 �
B. �3 �.
0;5
C. .
5;0
D.
.
Câu 19. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng 7 x 3 y 16 0 và x 10 0 .
10; 18
A.
.
10;18
B.
.
10;18
C.
.
10; 18
D.
.
�x 1 2t
�x 1 4t �
d1 : �
d2 : �
�y 7 5t ,
�y 6 3t �
Câu 20. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
3; 3 .
1;7 .
1; 3 .
3;1 .
A.
B.
C.
D.
�x 3 4t
�x 1 4t �
d1 : �
d2 : �
�y 2 5t ,
�y 7 5t �
Câu 21. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng
1;7 .
3; 2 .
2; 3 .
5;1 .
A.
B.
C.
D.
�x 3 4t
�x 1 2t '
�
�
y
2
6
t
�
1
2
Câu 22. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: :
và : �y 4 3t '
A. Song song.
B. Trùng nhau.
C. Vuông góc.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
THÔNG HIỂU.
�x 1 2t
d :�
t ��
y
3
5
t
: 3x 2 y 1 0
�
Câu 23. Giao điểm M của đường thẳng
và đường thẳng d �
là:
� 11 �
M�
2; �
.
A. � 2 �
� 1�
M�
0; �
.
B. � 2 �
Câu 24. Cho 4 điểm
đường thẳng AB và CD .
� 1�
M�
0; �
.
C. � 2 �
A 3;1 , B 9; 3 , C 6; 0 , D 2; 4
6; 1
A.
.
9;3
B.
.
�1 �
M�
;0 �
.
D. � 2 �
. Tìm tọa độ giao điểm của 2
9; 3
C.
.
0; 4
D. .
x y
1
1
2
3
Câu 25. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây: :
và 2: 6x 2y
8 = 0.
A. Cắt nhau.
B. Vuông góc.
C. Trùng nhau.
D. Song song.
�x 4 t
�
7
x
2
y
1
0
1
2
Câu 26. Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng: :
và : �y 1 5t
A. Song song nhau.
B. Trùng nhau.
C. Vuông góc nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
x y
1
Câu 27. Cho hai đường thẳng 1 : 3 4
và 2 : 3x 4 y 10 0 . Khi đó hai đường thẳng
này:
A. Cắt nhau nhưng không vuông góc.
B. Vuông góc nhau.
