Bài giảng lý thuyết sức bền vật liệu phần 2

BỘ XÂY DỰNG
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP.HCM
BỘ MÔN: CƠ HỌC ỨNG DỤNG

\WX[


BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT

SỨC BỀN VẬT LIỆU
PHẦN 2















GV sưu tầm & tổng hợp, biên soạn:
PHAN NGỌC ANH

TP.HCM 07.2007
TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
SBVL 1 & 2
Trang 1 - 50
MỤC LỤC
CHƯƠNG 9: XOẮN THUẦN TÚY ...................................................................... 4
 
9.1. KHÁI NIỆM................................................................................................................... 4 
9.1.1. Đònh nghóa ............................................................................................................ 4 
9.1.2. Biểu đồ Nội Lực .................................................................................................... 4  
9.2. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN ................................................................... 5 
9.2.1. Thí nghiệm ............................................................................................................ 5 
9.2.2. Các giả thiết ......................................................................................................... 5 
9.2.3. Công thức tính ứng suất tiếp ................................................................................. 6 
8.2.4. Công thức tính biến dạng ...................................................................................... 8 
9.2.5. Điều kiện bền – điều kiện cứng ............................................................................ 8 
9.3. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT .......................................................... 8 
9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN ..................................................... 10 
9.5. BÀI TÓAN SIÊU TĨNH ................................................................................................ 10 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 9 ............................................. 11 
CHƯƠNG 10: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP ................................................ 12
 
10.1. KHÁI NIỆM ............................................................................................................... 12 
10.1.1. Đònh nghóa ........................................................................................................ 12 
10.1.2. Phạm vi nghiên cứu .......................................................................................... 12 
10.2. UỐN XIÊN (UỐN 2 PHƯƠNG) .................................................................................. 13 
10.2.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 13 

10.2.2. Công thức tính ứng suất pháp .......................................................................... 13 
10.2.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất .............................................................. 14 
10.2.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền ............................................................ 15 
10.2.5. Tính toán độ võng ............................................................................................. 15 
10.3. UỐN CỘNG KÉO HAY NÉN .................................................................................... 16 
10.3.1. Đònh nghóa ........................................................................................................ 16 
10.3.2. Công thức tính ứng suất pháp .......................................................................... 17 
10.3.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp ..................................................... 17 
10.3.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền ............................................................ 17 
10.3.5. Thanh chòu kéo hay nén lệch tâm .................................................................... 18 
10.3.6. Lõi tiết diện ....................................................................................................... 19 
10.4. UỐN CỘNG XOẮN ................................................................................................... 20 
10.4.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 20 
10.4.2. Thanh tiết diện chữ nhật: .................................................................................. 21 
10.4.3. Thanh tiết diện tròn: ......................................................................................... 22 
10.5. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT: ............................................................................ 23 
10.5.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 23 
10.5.2. Thanh tiết diện chữ nhật ................................................................................... 23 
10.5.3. Thanh tiết diện tròn: ......................................................................................... 24 
SBVL 1 & 2
Trang 2 - 50
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 10 ........................................... 25 
CHƯƠNG 11: ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ............................. 26
 
11.1. KHÁI NIỆM ............................................................................................................... 26 
11.1.1. Đònh nghóa: ....................................................................................................... 26 
11.1.2. Các loại ổn đònh và can bằng: .......................................................................... 26 
11.1.3. Phân tích ổn đònh và can bằng: ........................................................................ 26 
11.1.4. Ý nghóa thực tiễn: ............................................................................................. 27 
11.2. LỰC TỚI HẠN CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM ................................. 27 

11.2.1. Thanh liên kết khớp 2 đầu: ............................................................................... 27 
11.2.2. Thanh có các liên kết khác.............................................................................. 28 
11.2.3. Phạm vò áp dụng công thức Euler .................................................................... 30 
11.3. ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI ............................................................................ 31 
11.3.1. ÝÕ nghóa ............................................................................................................. 31 
11.3.2. Công thức thực nghiệm Iasinski ....................................................................... 31 
11.4. PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN ........................ 32 
11.4.1. Phương pháp tính ............................................................................................. 32 
11.4.2. Ba bài toán cơ bản ........................................................................................... 33 
11.4.3. Chọn mặt cắt ngang và vật liệu hợp lí .............................................................. 33 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 11 ........................................... 34 
CHƯƠNG 12: UỐN NGANG VÀ UỐN DỌC ĐỒNG THỜI ............................... 35
 
12.1. ĐẶC ĐIỂM ................................................................................................................ 35 
12.2. PHƯƠNG PHÁP CHÍNH XÁC .................................................................................. 35 
12.3. PHƯƠNG PHÁP GẦN ĐÚNG ................................................................................... 36 
12.4. ỨNG SUẤT VÀ KIỂM TRA BỀN .............................................................................. 37 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 12 ........................................... 37 
CHƯƠNG 13: TẢI TRỌNG ĐỘNG .................................................................. 38
 
13.1. KHÁI NIỆM ............................................................................................................... 38 
13.1.1. Tải trọng động & tónh ........................................................................................ 38 
13.1.2. Các giả thiết chinh: ........................................................................................... 38 
13.1.3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 38 
13.2. THANH CHUYỂN ĐỘNG VỚI GIA TỐC LÀ HẰNG SỐ ............................................ 38 
13.3. DAO ĐỘNG CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO .................................................................. 39 
13.3.1. Khái niệm ......................................................................................................... 39 
13.3.2. Phương trình vi phân dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do ........................ 40 
13.3.3. Dao động tự do ................................................................................................. 41 
13.3.4. Dao động tự do có cản ..................................................................................... 41 

13.3.5. Dao động cưỡng bức có cản ............................................................................ 42 
13.3.6. HIện tượng cộng hưởng .................................................................................... 44 
13.3.7. Nội lực toàn phần ............................................................................................. 44 
13.4. PHƯƠNG PHÁP THU GỌN KHỐI LƯNG .............................................................. 45 
SBVL 1 & 2
Trang 3 - 50
13.5. VA CHẠM CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO. .................................................................... 46 
13.5.1. Va chạm đứng. ................................................................................................. 46 
13.5.2. Va chạm ngang ................................................................................................ 49 
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 13 ........................................... 50 
SBVL 1 & 2
Trang 4 - 50

CHƯƠNG 9: XOẮN THUẦN TÚY
9.1. KHÁI NIỆM
9.1.1. Đònh nghóa
Là thanh khi trên các mặt cắt ngang chỉ có duy nhất momen xoắn Mz, tác dụng
trong mặt phẳng thẳng vuông góc với trục thanh (xOy).

Thực tế, có nhiều cấu kiện trong cơ khí, xây dựng chòu xoắn như các trục truyền
động, kết cấu chòu lực không gian, dầm đỡ ô văng....
9.1.2. Biểu đồ Nội Lực
Biểu đồ nội lực cũng được xác đònh bằng phương pháp mặt cắt và điều kiện cân
bằng tónh học:
/0M z∑=
.
Quy ước dấu: Dương khi nhìn vào mặt cắt, thấy Nội lực Mz quay theo chiều kim
đồng hồ.
Xét 1 trục truyền động chòu tác dụng của 3 ngẫu lực xoắn.

SBVL 1 & 2
Trang 5 - 50
9.2. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN TRÒN
9.2.1. Thí nghiệm
Lấy 1 thanh thẳng tiết diện tròn, trên mặt ngoài có vạch những đường song song và những
đường tròn thẳng góc với trục tao thành lưới ô vuông. Tác dụng lên 2 đầu thanh hai ngẫu lực
xoắn ngược chiều, ta thấy trục thanh vẫn thẳng, chiều dài thanh không đổi, những đường tròn
thẳng góc với trục vẫn phẳng và thẳng góc với trục, những đường song song với trục thành
những đướng xoắn ốc, lưới ô vuông thành lưới bình hành.



Từ các nhận xét trên, có thể đưa ra các giả thiết:
9.2.2. Các giả thiết
a. Giả thuyết về mặt cắt ngang phẳng
Trước và sau khi bị biến dạng, mặt cắt ngang vẫn phẳng và vng góc với trục thanh (tức là
0
z
σ
=
)
b. Giả thuyết về bán kính của thanh
Trước và sau khi thanh bị biến dạng bán kính của của mặt cắt ngang vẫn thẳng và bán kính
khơng đổi (tức chỉ có
zy
τ
vng góc R)
c. Giả thuyết về chiều dài của thanh
SBVL 1 & 2
Trang 6 - 50

Trước và sau khi thanh bị biến dạng, chiều dài của thanh cũng như khoảng cách giữa hai mặt cắt
ngang bất kỳ là khơng đổi (
0; 0
ztt
σ τ
==
)
d. Giả thuyết về các thớ dọc
Trong q trình thanh bị biến dạng, các thớ dọc khơng ép lên nhau và cũng khơng tách xa nhau
(
0
xy
σ σ
==
)

9.2.3. Công thức tính ứng suất tiếp
Theo các giả thiết trên ta thấy, biến dạng của thanh chòu xoắn thuần túy chỉ là sự xoay tương
đối giữa các mặt cắt ngang quanh trục.

Để xét biến dạng xoắn của 1 phân tố tại 1 điểm bất kì bán kính
ρ
trong thanh, ta
tách phân tố ABCDEFGH bằng ba cặp mặt cắt như sau:
- Hai mặt phẳng cắt (1-1) và (2-2) thẳng góc với trục cách nhau đoạn dz (ABCD;
EFGH).
- Hai mặt phẳng cắt chứa trục hợp với nhau một góc
d
α
(ABFE;CDHG)

- Hai mặt cắt trụ đồng trục z ( trục thanh) bán kính
ρ
và
ρ
+
d
ρ
(EHAD;FGCB)
Gọi
d
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng OAB và OA’B’, đó là góc xoay của mặt cắt (2-2)
so với (1-1) quanh trục z, gọi là góc xoắn tương đối giữa hai tiết diện lân cận cách nhau
dz.
Đối với phân tố đang xét, góc A’EA biểu diễn sự thay đổi góc vuông của mặt bên
phân tố gọi là biến dạng trượt ( góc trượt)
γ
của phân tố.
Ta có:
'
tan
AAd
EAdz
ϕ
γγ ρ
≈≈ =

Theo các giả thiết thì trên mặt cắt ngang của thanh chòu xoắn thuần túy chỉ tồn tại
ứng suất tiếp theo phương vuông góc bán kính, gọi là
ρ

τ
và phân tố đang xét ở trạng
thái trượt thuần túy.
p dụng đònh luật Hooke về trượt cho phân tố này, ta có:
SBVL 1 & 2
Trang 7 - 50
G
ρ
τ γ
=
Từ đó ta có:
d
G
dz
ρ
ϕ
τρ
=

Gọi dA là một diện tích vô cùng bé bao quanh điểm đang xét, thì
dA
ρ
τ
là lực tiếp
tuyến tác dụng trên diện tích đó và
dA
ρ
τρ
là mômen lực của lực
dA

ρ
τ
đối với tâm O.
tổng các momen này phải bằng Mz, nên ta viết:
z
A
M dA
ρ
τ ρ
=
∫
và
z
A
d
M GdA
dz
ϕ
ρ ρ
=
∫


Vì
d
G
dz
ϕ
là hằng số đối với mọi điểm thuộc mặt cắt A, và
2

A
dA
ρ
∫
chính là momen
quán tính cực
p
I
của mặt cắt ngang đối với tâm O.
zp
A
dd
M GdAGI
dz dz
ϕ ϕ
ρρ
==
∫

Từ đó, ta có:
z
p
M
d
dz GI
ϕ
=
. Có thể thấy rằng
d
dz

ϕ
chính là góc xoắn trên 1 đơn vò
chiều dài, gọi là góc xoắn tỷ đối (rad/m).
Đặt
d
dz
ϕ
θ
=
, ta có:
z
p
M
GI
θ
=
và
z
p
M
I
ρ
τ ρ
=

ng suất tiếp thay đổi theo qui luật bậc nhất, bằng không tại tâm O và cực đại tại
những điểm trên chu vi.
Biểu đồ ứng suất tiếp tại mọi điểm trên mặt cắt ngang, ứng suất tiếp đối ứng trên
các mặt cắt chứa trục thể hiện trên hình vẽ.

Thay
R
ρ
=
, ta có
max
z
p
M
R
I
τ
=

Đặt
p
I
W
R
ρ
=
: momen chống xoắn của mặt cắt ngang.
SBVL 1 & 2
Trang 8 - 50
+ Với tiết diện tròn đặc và đường kính D:
3
0.2
p
I
WD

R
ρ
=≈

+ Với tiết diện tròn rỗng và đường kính D, d:
34
0.2 (1 )
p
I
WD
R
ρ
η
=≈ −

suy ra:
max
z
p
M
W
τ
=

8.2.4. Công thức tính biến dạng
Ta có:
z
p
M
ddz

GI
ϕ
=
, là góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách nhau dz, do đó
góc xoắn tương đối giữa hai mặt cắt cách một đoạn bằng chiều dài L của thanh:
0
L
z
p
M
dz
GI
ϕ
=
∫

Khi thanh gồm nhiều đoạn, mỗi đoạn có
z
p
M
GI
là hằng số, thì tổng quát:
()
zi
i
i
p
M L
GI
ϕ

=
∑
.
Góc xoắn
ϕ
được qui ước dương theo chiều dương của momen nội lực và ngược lại.

9.2.5. Điều kiện bền – điều kiện cứng
Điều kiện bền
:
0
max
[]
n
τ
ττ
≤=
.
Đối với thanh chòu xoắn, ngoài điều kiện bền còn phải đảm bảo điều kiện cứng như
sau:
max
[]
θ θ
≤
.
Có thể tính toán thanh chòu xoắn theo ba bài toán cơ bản như sau:
- kiểm tra bền, cứng (bài toán kiểm tra)
- xác đònh tải tọng cho phép.
- xác đònh đường kính (bài toán thiết kế)
9.3. XOẮN THANH THẲNG TIẾT DIỆN CHỮ NHẬT

Thí nghệm xoắn thanh tiết diện chữ nhật cho thấy những đường song song và thẳng
với trục không còn song song và thẳng góc với trục, tiết diện bò vênh, giả thiết mặt cắt
phẳng không thể áp dụng được. Do đó không thể dựa trên các giả thiết mà đơn giản
hóa bài toán được
.
SBVL 1 & 2
Trang 9 - 50

Nghiên cứu xoắn thanh tiết diện chữ nhật bằng lý thuyết đàn hồi, người ta thu được
các kết quả như sau
:
+ Trên mặt cắt ngang chỉ có ứng suất tiếp, tại tâm và các góc, ứng suất tiếp bằng
không. Trên hai trục đối xứng của tiết diện, ứng suất thay đổi theo đường cong, tăng
dần từ tâm và đạt giá trò cực đại tại trung điểm các cạnh.
+ Tại trung điểm cạnh dài, ứng suất tiếp đạt giá trò lớn nhất
max
τ
; tại trung điểm
cạnh ngắn, ứng suất nhỏ hơn
max
τ
là
1
τ
.
+ Phân bố ứng suất tiếp tại các điểm trên các trục đối xứng, các cạnh tiết diện và
các đường chéo được biểu diện ở hình dưới

a. ng suất tiếp:
max 1 max
2
;
z
M
hb
τ τγτ
α
==

b. Góc xoắn tương đối:
3
z
M
hb
θ
β
=

Trong đó:
,,
αβγ
: các hệ số phụ thuộc tỷ số (cạnh dài/cạnh ngắn) được cho trong
bảng tra.
SBVL 1 & 2
Trang 10 - 50
9.4. TÍNH LÒ XO XOẮN HÌNH TRỤ CÓ BƯỚC NGẮN
Tham khảo thêm trong các tài liệu tham khảo.

9.5. BÀI TÓAN SIÊU TĨNH
Khi tính về xoắn, cũng như khi tính về kéo nén, ta có thể gặp những bài tốn siêu
tĩnh. Ðó là những bài tốn có số ẩn số lực nhiều hơn số phương trình cân bằng. Ðể giải bài
tốn này ta phải lập thêm phương trình biến dạng

Ví dụ: một thanh bị ngàm chặt ở hai đầu, chịu tác dụng bởi các momen xoắn ngoại lực
1
M
và
2
M
. Xác định momen xoắn ngoại lực tại hai đầu A, B.
Phương trình cân bằng:
Hai đầu thanh bị ngàm chặt, do đó góc xoắn tương đối
AB
ϕ
= 0 (đó là phương trình biến
dạng). Bây giờ ta tưởng tượng bỏ qua một trong hai ngàm, ví dụ ngàm B và thay thế bởi
momen phản lực
B
M
. Ðể tính góc xoay tương đối
AB
ϕ
ta dùng phương pháp cộng tác
dụng. Góc xoay tại B do các momen
1
M
,
2

M
và
B
M
gây ra đồng thời sẽ bằng tổng các
góc xoay do từng momen một gây ra:

Vậy góc xoay tổng cộng là:
SBVL 1 & 2
Trang 11 - 50

Vì
AB
ϕ
= 0 nên:

Dựa vào hai phương trình (1) và (2) ta tìm được
A
M
và
B
M
. Có được
A
M

và
B
M

ta có thể xác định được nội lực và biến dạng của thanh.
CÁC VẤN ĐỀ SINH VIÊN CẦN NẮM VỮNG Ở CHƯƠNG 9
1. Nắm đực khái niệm xoắn thuần túy
2. Phân biệt trạng thái xoắn thuần túy với trượt thuần tùy, uốn thuần túy.
3. Công thức tính toán góc xoay toàn thanh.
4. Tính toán xoắn thanh thẳng tiết diện tròn.
5. Vận dụng thành thạo bài toán cộng tác dụng để giải quyết vấn đề biến dạng tại 1
vò trí nào đó.
6. Phân tích được các điều kiện biến dạng tương thích để giải quyết các bài toán
siêu tónh.
SBVL 1 & 2
Trang 12 - 50

CHƯƠNG 10: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
10.1. KHÁI NIỆM
10.1.1. Đònh nghóa
Thanh chòu lực phức tạp khi trên các mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời lực dọc
N
z
. mômen uốn M
x
, M
y
, mômen xoắn M
z
.
Khi xét thanh chòu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền rất nhỏ so với
các thành phần nội lực khác nên trong tính toán không tính đến lực cắt.

10.1.2. Phạm vi nghiên cứu

Trong chương này chỉ xét những thanh chòu lực phức tạp mà trong quá trình chòu lực
còn thỏa mãn điều kiện sử dụng được nguyên lý cộng tác dụng, đó là:
+ Vật liệu phải đàn hồi tuyệt đối và tuân theo đònh luật Hooke.
+ Chuyển vò và biến dạng phải bé để có thể tính trên sơ đồ không biến dạng (sơ đồ
chưa có tác dụng của lực)
Nguyên lý cộng tác dụng phát biểu như sau: một đại lượng do nhiều nguyên nhân
tác dụng đồng thời gây ra thì bằng tổng đại lượng đó do từng nguyên nhân riêng lẻ.
Nhờ đó, chuyển vò hay ứng suất do nhiều thành phần nội lực tác dụng đồng thời
được phân tích thành tổng chuyển vò hay ứng suất do từng thành phần nội lực tác dụng
riêng lẻ.
SBVL 1 & 2
Trang 13 - 50
10.2. UỐN XIÊN (UỐN 2 PHƯƠNG)
10.2.1. Đònh nghóa:
Thanh chòu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang chỉ có mômen uốn Mx và mômen
uốn M
y
.

Theo cơ học lý thuyết, hợp 2 mômen này là mômen tổng M
u
biểu diễn bởi véctơ
tổng hình học của 2 véctơ Mx, My. Mu tác dụng trong mặt phẳng voz, mặt phẳng này
thẳng góc với trục u (chứa véctơ Mu) và chứa trục thanh.
Vậy có thể nói: thanh chòu uốn xiên khi trên các mặt cắt ngang chỉ có 1 mômen
uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng chứa trục mà không trùng với mặt phẳng đối xứng
nào. Ta có
22
uxy
MMM=+

Đặc biệt với thanh tiết diện tròn, mọi đường kính đều là trục đối xứng, nên bất kì mặt
phẳng chứa trục thanh nào cũng là mặt phẳng đối xứng. Do đó thanh tiết diện tròn
luôn luôn chỉ chòu uốn phẳng.
10.2.2. Công thức tính ứng suất pháp
Tại 1 điểm A(x,y) trên tiết diện, nếu chỉ có Mx tác dụng thì:
x
z
x
M
y
I
σ
=

Tương tự nếu chỉ có M
y
tác dụng thì :
y
z
y
M
x
I
σ
=

Khi Mx, My cùng tác dụng thì theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có
y
x

z
yx
M
M
x
y
II
σ
=+
(9.1)
Trong tính toán thực hành, thông thường dùng công thức kỹ thuật sau:
y
x
z
xy
M
M
y x
II
σ
=± ±
lấy dấu (+) khi đại lượng đó gây kéo
SBVL 1 & 2
Trang 14 - 50

10.2.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất
Công thức (9.1) là 1 hàm 2 biến, nó có đồ thò là 1 mặt phẳng trong hệ trục Oxyz.
Nếu biểu diễn giá trò ứng suất
σ
z

cho ở (9.1) bằng các đoạn thẳng đại số theo trục z
đònh hướng dương ra ngoài mặt cắt (H.10.4.a), ta thu được một mặt phẳng chứa đầu mút
các véctơ ứng suất pháp tại mọi điểm trên tiết diện, gọi là mặt ứng suất (H.9.5.a).


Gọi giao tuyến của mặt ứng suất và mặt cắt ngang là đường trung hòa, ta thấy,
đường trung hòa là 1 đường thẳng và là quỹ tích của những điểm trên mặt cắt ngang
có trò số ứng suất pháp bằng 0.
Cho biểu thức
0
σ
=
z
, ta được phương trình đường trung hòa:
0..
+==>=−
yy
xx
xy xy
MM
M I
y x y x
II MI
(9.3)
Phương trình (9.3) có dạng y = ax, đường trung hòa là 1 đường thẳng qua gốc tọa độ.
Nhận xét:
- Đường trung hòa chia tiết diện làm 2 miền: miền chòu kéo và miền chòu nén.
SBVL 1 & 2
Trang 15 - 50
- Những điểm nằm trên những đường thẳng song song với đường trung hòa có cùng

giá trò ứng suất.
- Trò số ứng suất của các điểm trên 1 đường thẳng vuông góc đường trung hòa tăng
theo luật bậc nhất.
- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chòu ứng suất kéo max, gọi la
max
σ

- Điểm xa nhất thuộc miền nén chòu ứng suất nén max, gọi là
min
σ

10.2.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền
Gọi A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) là 2 điểm xa đường trung hòa nhất về phía chòu kéo và chòu
nén, công thức (9.2) cho:

max
min
σσ
σσ
== +
==− −
y

x
AAA
xy
y
x
B BB
xy
M
M
yx
II
M
M
yx
II
(9.4)
Đối với thanh tiết diện chữ nhật (b.h), điểm xa đường trung hòa nhất luôn luôn là các
điểm góc của tiết diện, khi đó:
max min
22
;
22
;
;
/2 6 /2 6
σσ
== ==
=+ =−−
== ==
AB AB

yy
xx
x yxy
y
x
xy
bh
xx yy
M M
MM
WW WW
J
J
bh b h
WW
hb
(9.5)
Đối với thanh tiết diện tròn, khi tiết diện chòu tác dụng của 2 mômen uốn Mx, My
trong 2 mặt phẳng vuông góc yOz và xOz, mômen tổng là Mu tác dụng trong mặt phẳng
vOz cũng là mặt phẳng đối xứng, nghóa là chỉ chòu uốn phẳng, do đó:

3
22 3
max,min
.
; ; 0,1
32
π
σ
=± = + = ≈

u
uxy
u
M
D
M MM Wu D
W
(9.6)
Điều kiền bền: trên mặt cắt ngang của thanh chòu uốn xiên chỉ có ứng suất pháp,
không có ứng suất tiếp, đó là trạng thái ứng suất đơn, 2 điểm nguy hiểm là 2 điểm chòu
max min
,
σ σ
, tiết diện bền khi 2 điểm nguy hiểm trên thỏa mãn điều kiền bền tổng quát:

[] [ ]
max min
,
σ σσ σ
≤≤
kn
(9.7)
10.2.5. Tính toán độ võng
Gọi fx và fy là độ võng do Mx và My gây ra tại mặt cắt nào đó. Ðộ võng tồn phần:
SBVL 1 & 2
Trang 16 - 50
22
x y
f ff=+

Với cách đó ta có thể xác định được độ võng tại các mặt cắt khác nhau và như vậy ta có thể xác
định được đường đàn hồi của dầm.
Nếu đường đàn hồi nằm ngang trong mặt phẳng thì ta có uốn xiên phẳng, nếu là một đường cong
ghềnh thì gọi là uốn xiên khơng gian
Phương của chuyển vị:
y
x
f
tg
f
θ
=

θ
: góc hợp bởi phương của chuyển vị với trục x
10.3. UỐN CỘNG KÉO HAY NÉN
10.3.1. Đònh nghóa
Thanh chòu uốn hay kéo (nén) đồng thời khi trên các mặt cắt ngang có mômen uốn
Mu và lực dọc Nz.


SBVL 1 & 2
Trang 17 - 50
10.3.2. Công thức tính ứng suất pháp
p dụng nguyên lý cộng tác dụng, công thức tính ứng suất pháp tính tổng quát:

σ
=+ +
y
x

z
z
xy
M
M
N
yx
A II

Trong tính toán thực hành, ta cũng dùng công thức kỹ thuật:
σ
=± ± ±
y
zx
z
xy
M
NM
y x
AI I
lấy dấu (+) nếu đại lượng đó gây kéo
10.3.3. Đường trung hòa và biểu đồ ứng suất pháp
Tương tự như trong uốn xiên, có thể thấy rằng phương trình (9.9) là 1 hàm 2 biến
σ
= (,)
z
fxy
, nếu biểu diễn trong hệ trục Oxyz, với O là tâm mặt cắt ngang và
σ
z

đònh
hướng dương ra ngoài mặt cắt, thì hàm (9.9) biểu diễn 1 mặt phẳng, gọi là mặt ứng
suất, giao tuyến của nó với mặt cắt ngang là đường trung hòa. Dễ thấy rằng đường trung
hòa là 1 đường thẳng chứa tất cả những điểm trên mặt cắt ngang có trò số ứng suất pháp
bằng 0.
Từ đó, cho
σ
= 0
z
, ta có phương trình đường trung hòa:

..
y
x x
z
x yx
M
II
N
yx
M IAM
=− −
(9.11)
Phương trình (9.11) có dạng y = ax+b, đó là 1 đường thẳng không qua gốc tọa độ,
cắt trục y tại tung độ
x
z
x
I
N

b
A M
=−

Mặt khác, do tính chất mặt phẳng ứng suất, những điểm nằm trên những đường thẳng
song song với đường trung hòa có cùng giá trò ứng suất. Càng xa đường trung hòa, trò số
ứng suất của các điểm trên 1 đường thẳng vuông góc đường trung hòa tăng theo luật bậc
nhất. Những điểm xa đường trung hòa nhất có giá trò ứng suất lớn nhất.
- Điểm xa nhất thuộc miền kéo chòu ứng suất kéo max, gọi là
σ
max

- Điểm xa nhất thuộc miền nén chòu ứng suất nén max, gọi là
σ
min

10.3.4. ng suất pháp cực trò và điều kiền bền
Gọi A(x
A
, y
A
) và B(x
B
, y
B
) là 2 điểm xa đường trung hòa nhất về phía chòu kéo và chòu
nén, áp dụng công thức (9.10) cho ta công thức tính ứng suất pháp cực trò:
SBVL 1 & 2
Trang 18 - 50

max
min
y
xz
A AA
xy
y
xz
B BB
xy
M
M
N
yx
AI I
M
M
N
yx
AI I
σσ
σσ
==±+ +
==±− −
(9.12)
- Với thanh tiết diện chữ nhật, điểm nguy hiểm nhất A, B luôn luôn là các điểm góc
của tiết diện

max
min

;
22
AB AB
y
x
z
A AA
xy
y
xz
B BB
xy
bh
xx yy
M
MN
yx
AI I
M
MN
yx
AI I
σσ
σσ
== ==
==±+ +
==±− −
(9.13)
- Với thanh tiết diện tròn, mômen tổng của Mx, My là Mu gây uốn thuần túy thẳng,
khi đó ta có công thức tính ứng suất pháp cực trò:

max
min
22
u
Z
A
u
u
Z
B
u
uxy
MN
A W
MN
A W
MMM
σσ
σσ
==± +
==± −
=+
(9.13)
Thanh chòu uốn cộng kéo hay nén đồng thời chỉ gây ra ứng suất pháp trên mặt cắt
ngang, tại điểm nguy hiểm, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiền bền của
thanh là:

[ ] [ ]
max min
,

σ σσ σ
≤≤
kn
(9.14)
10.3.5. Thanh chòu kéo hay nén lệch tâm
Thanh chòu kéo hay nén lệch tâm khi ngoại lực hay nội lực tác dụng trên mặt cắt
ngang tương đương 1 lực P song song trục thanh mà không trùng với trục thanh.
p dụng nguyên lí dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm về tâm tiết diện, ta có thể
chứng minh 2 trường hợp này thực chất là bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời.
Gọi K(x
K
,y
K
) là điểm đạt lực lệch tâm P, dời về tâm O, ta có:
z
NP
=±
, lấy (+) khi P là lực kéo, ngược lại, lấy (-)
SBVL 1 & 2
Trang 19 - 50
.
.
x k
yk
M Py
M Px
=
=
(9.15)
Do đó, tất cả công thức đã được thiết lập cho bài toán uốn cộng kéo hay nén đồng

thời đều áp dụng được cho bài toán kéo hay nén lệch tâm.
10.3.6. Lõi tiết diện
Xét thanh chòu kéo hay nén lệch tâm, phương trình đường trung hòa có thể viết ở
dạng khác.
0
y
x
z
z
xy
M
M
N
yx
AI I
σ
=+ + =

Thay
.; .
x zK y zK
M Ny M Nx==


..
10
zK K
xy
NyFxF
yx

AI I
⎡⎤
++ =
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Đặt
;
y
x
xy
I
I
ii
A A
==
;
22
..
10
+ +=
KK
xy
yy xx
ii

2
2
; b

=− =−
y
x
KK
i
i
a
x y
(9.16)
Ta thu được dạng khác của phương trình đường trung hòa:
1
+=
x y
ab
(9.17)
Từ (9.16), (9.17), ta thấy đường trung hòa có các tính chất sau:
- Đường trung hòa cắt trục hoành x tai a và trục tung y tại b.
- Đường trung hòa không bao giờ qua phần tư chứa điểm đặt lực K vì a, b luôn
trái dầu với x
K
, y
K
.
- Điểm đặt lực tiến gần tâm O của tiết diện thì đường trung hòa rời xa tâm vì x
K
,
y
K
giảm thì a, b tăng.
- Khi đường trung hòa nằm ngoài tiết diện, trên tiết diện chỉ chòu ứng suất 1

dấu: kéo hoặc nén.
Gọi lõi tiết diện là khu vực bao quanh tâm sao cho khi lực lệch tâm đặt trong phạm vi
đó thì đường trung hòa hoàn toàn nằm ngoài tiết diện.
Với 1 thanh chòu kéo hay nén lệch tâm, việc xác đònh lõi tiết diện có ý nghóa thực
tiễn. Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chỉ chòu nén tốt như gạch, đá, gang, bê tông
không thép…, nếu chúng chòu nén lệch tâm mà lực nén đặt ngoài lõi tiết diện, ứng
SBVL 1 & 2
Trang 20 - 50
suất kéo phát sinh có thể lớn hơn khả năng chòu kéo của chúng, khi đó vật liệu sẽ bò
phá hoại, để tận dụng tốt khả năng chòu lực của vật liệu cần thiết đặt lực nén trong lõi
tiết diện.
Cách xác đònh lõi tiết diện:
Giả sử đường trung hòa tiếp xúc 1 cạnh tiết diện, từ
1
+ =
x y
ab
ta viết được phương
trình đường trung hòa, rồi từ
2
2
; b
=− =−
y
x
KK
i
i
a
x y

ta suy ra tọa độ điểm đặt lực K
tương ứng với vò trí đường trung hòa.
p dụng cách tương tự đối với tất cả các cạnh còn lại, nối vò trí các điểm đặt lực, ta
được lõi tiết diện.
Chú ý rằng, dù tiết diện là đa giác lõm thì lõi tiết diện luôn là 1 đa giác lồi.
Những trường hợp đặc biệt:



10.4. UỐN CỘNG XOẮN
10.4.1. Đònh nghóa:
SBVL 1 & 2
Trang 21 - 50
Thanh chòu uốn cộng xoắn khi trên các mặt cắt
ngang có tác dụng đồng thời của mômen uốn Mu và
mômen xoắn Mz.
10.4.2. Thanh tiết diện chữ nhật:
Uốn xoắn thanh tiết diện chữ nhật thường gặp
trong trình dân dụng như lanh tô đỡ ô văng, dầm
chòu lực ngoài mặt phẳng đối xứng, thanh chòu uốn
trong hệ không gian…
Xét một tiết diện chữ nhật chòu uốn xoắn (H.9.20)
trong đó mômen uốn Mu đã được phân tích thành 2
mômen uốn Mx, My trong các mặt phẳng quán tính
chính trung tâm yOz, xOz.

p dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, xoắn, ta được các kết quả
như sau:
• Tại các góc tiết diện (A, B): chỉ có ứng suất pháp lớn nhất do Mx, My, phân tố
ở trạng thái ứng suất đơn:

max,min
=± ±
y
x
x y
M
M
WW
σ
(9.19)
Điều kiền bền:
[] [ ]
max min
,
σ σσ σ
≤≤
kn

• Tại điểm giữa cạnh ngắn (C,D): chòu ứng suất pháp lớn nhất do Mx và ứng suất
tiếp
1
τ
do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
max,min 1 max
;
=± =
x
x
M
W

σ τγτ
(9.20)
SBVL 1 & 2
Trang 22 - 50
Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4
+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3
+≤
σ τσ

• Tại điểm giữa cạnh dài (E, F): chòu ứng suất pháp lớn nhất do My và ứng suất
tiếp
1max
τ
do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
max,min max
2
; =± =
y
z
y

M
M
Whb
στ
α

Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3+≤
σ τσ

10.4.3. Thanh tiết diện tròn:
Xét 1 thanh tiết diện tròn chòu tác dụng của mômen uốn Mu và mômen xoắn Mz
(H.9.21.a). Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng trong những mặt phẳng khác
nhau, ta luôn luôn phân tích chúng thành các thành phần tác dụng trong 2 mặt phẳng
vuông góc yOz, xOz, từ đó xác đònh Mx, My, sau đó xác đònh mômen tổng
22
=+
uxy
M MM
.
p dụng nguyên lý cộng tác dụng và lý thuyết về uốn, về xoắn, ta được các kết quả

như sau:

Dưới tác dụng của mômen uốn Mu, 2 điểm A, B chòu ứng suất pháp max
max,min
σ
,
ngoài ra, do tác dụng của mômen xoắn Mz, tại 2 điểm A, B còn chòu ứng suất tiếp
max
τ
,
đó là 2 điểm nguy hiểm nhất trên tiết diện.
SBVL 1 & 2
Trang 23 - 50
Ta có:
22
max,min
;
=± = +
u
uxy
u
M
M MM
W
σ


max
=
z

p
M
W
τ

Phân tố đang xét vừa chòu ứng suất pháp vừa chòu ứng suất tiếp, đó là phân tố ở
trạng thái ứng suất phẳng.
Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4
+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3
+≤
σ τσ

10.5. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT:
10.5.1. Đònh nghóa:
Thanh chòu lực tổng quát khi trên các mặt cắt ngang
có tác dụng của lực dọc Nz, mômen uốn Mu và mômen
xoắn Mz.
10.5.2. Thanh tiết diện chữ nhật
p dụng nguyên lý cộng tác dụng và lí thuyết về kéo (nén), uốn và
xoắn, ta được kết quả như sau:

• Tại các góc tiết diện: chỉ có ứng suất pháp do Nz, Mx, My, phân tố ở trạng thái
ứng suất đơn:
SBVL 1 & 2
Trang 24 - 50
max,min
=± ± ±
y
x
z
x y
M
MN
A WW
σ
(9.23)
Điều kiền bền:
[] [ ]
max min
,
σ σσ σ
≤≤
kn

• Tại điểm giữa cạnh dài: phân tố vừa chòu ứng suất pháp do My và lực dọc Nz,
vừa chòu ứng suất tiếp max do Mz, đó là phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:
max,min max
2
;
=± ± =

y
z
z
y
M
N
M
A Whb
στ
α
(9.24)
Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4
+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3
+≤
σ τσ

• Tại điểm giữa cạnh ngắn: phân tố vừa chòu ứng suất pháp max do Mx và lực
dọc Nz, vừa chòu ứng suất tiếp do Mz, phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng:

max,min 1 max

;
=± ± =
xz
x
M
N
AW
σ τγτ
(9.26)
Điều kiền bền:
Theo thuyết bền thứ 3:
[ ]
22
4
+≤
σ τσ

Theo thuyết bền thứ 4:
[ ]
22
3
+≤
σ τσ

10.5.3. Thanh tiết diện tròn:
Điểm nguy hiểm nằm trên chu vi, đó là 2 điểm A, B. Hai điểm này vừa chòu ứng suất
pháp max do mômen Mu và lực dọc Nz, vừa chòu ứng suất tiếp max do Mz, phân tố ở
trạng thái ứng suất phẳng:
22
max,min

;
=± ± = +
u
z
uxy
u
MN
M MM
AW
σ
(9.27)
max
=
z
p
M
W
τ