Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không kahler

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ
TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K�HLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ
TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC
KHÔNG K�HLER
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố. Tôi cũng xin cam đoan rằng
các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái nguyên, tháng 04 năm 2016
Học viên

Nguyễn Thị Vân Anh

i


M C

C
Trang

Trang bìa phụ
L i cam đoan ......................................................................................................... i
Mục lục ................................................................................................................ ii
LỜI MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3
1.1. Không gian phức ........................................................................................... 3
1.2. Đa tạp phức ...................................................................................................
4
1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình ...................................................................
6
1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức .....................................................................

7
1.6. Hàm đa điều hòa............................................................................................
7
1.7. Dòng .............................................................................................................. 8
1.8. Miền giả lồi ................................................................................................... 9
1.9. Mặt cầu ..........................................................................................................
9
Chương 2. SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI
GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER ................. 10
2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình ................................................. 10
2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình .............................. 10
2.1.2. Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f ........................................... 14
2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình .....................................
29
2.2.1. Tổng quát của lí thuyết đa thế vị .............................................................. 29
2.2.2. Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình
Hartogs H n1  r  vào một không gian phức lồi đĩa ...........................................
U
ii


35
KẾT UẬN........................................................................................................ 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................ 57

ii


LỜI MỞ ĐẦU
Giải tch phức hay còn gọi là lý thuyết hàm biến phức là một nhánh của

toán học nghiên cứu các hệ hàm số một hay nhiều biến và các biến số đều là
số phức. Trong đó, thác triển phân hình là một trong những bài toán trung
tâm của Giải tch phức. Những năm gần đây, thác triển phân hình là vấn đề
nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.
Trong luận văn này, tôi nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho một tập con
mở khác rỗng
của ̂

, ánh xạ f thác triển trên

sao cho f thác triển phân hình trên ̂

. Vậy, giá trị cực đại nào
?

Vấn đề này được gọi là thác triển kiểu Hartogs. Nếu ̂

với mọi f lấy

giá trị trong X và mọi gốc (khác rỗng) U thì ta nói rằng định lý thác triển kiểu
Hartogs vẫn đúng với các ánh xạ phân hình vào trong X này. Với

, tức là

với các hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh bởi F.
Hartogs. Nếu

, tức là các hàm phân hình, kết quả được chứng minh

bởi E. Levi. Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh ít nhất hai

lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát chứ không riêng những hàm chỉnh hình
hay hàm phân hình.
Để hệ thống lại các kết quả chính về sự thác triển của các ánh xạ phân
hình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler, tôi trình bày trong hai
chương của luận văn:
Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàm
chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới,
phủ, mặt cầu.
Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứu
vềsự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức
không K hler.
1


Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư
phạm - ĐH Thái Nguyên). Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em.
Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quý
thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm
– Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến
thức quý báu cho em hoàn thành khóa học.
Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i
đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô
và các bạn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả luận văn
Nguyễn Thị Vân Anh

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian phức
1.1.1. Định nghĩa không gian phức
2n

Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R , các điểm của nó là các
bộ có thứ tự 2n số thực

 x1,...x2n  . Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng
cách

đặt zv  xv  ixnv (v  1,...n) . Ta thư ng kí hiệu xnv  yv nên
zv  xv  iyv (v  1,.., n) . Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu

hạn) z   z1,...zn   zv  sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu
biệt, khi n = 1, ta có

. Đặc

là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy

ý,
không gian

là tích n mặt phẳng phức

⏟

.
1.1.2. Không gian phức chuẩn tắc
Định nghĩa 1.2: Cho E là một không gian vecto phức. Một giả chuẩn p trên E
là một ánh xạ từ E vào tập các số thực không âm thỏa
mãn:
(i)
(ii)

)

p(
p(

)

p( )

p( ) với mọi a, b

| |p( ) với mọi

E.

, với mọi a

Giả chuẩn p trên E xác định một tôpô trên E (*
lân cận mở của

E.
p(

)

+ là một

).

Không gian vecto phức E cùng với tôpô định nghĩa như trên được gọi là
một không gian giả chuẩn tắc
Nếu p là một chuẩn trên E thì không gian phức E được gọi là không gian
3


phức chuẩn tắc.
Nói một cách khác, một không gian phức E là không gian phức chuẩn tắc
nếu p thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và điều kiện sau:

4


(iii) p( )

nếu và chỉ nếu a = 0.

1.1.3. Không gian phức khả quy

Định nghĩa 1.3: Một cặp (

) được gọi là một không gian vành phức nếu:

1. X là một không gian tôpô;
2.  là một bó -đại số địa phương trên X .
Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy là một không gian vành phức
(

) mà có những tính chất sau:
1. X là một không gian Hausdorff;
có một lân cận mở ( )

2. Với mọi điểm
A sao cho (

| )

và một tập giải tích

( )).

(

n

(A nằm trong một tập mở B

và

( ):=(
( /(A)|A, trong đó (A) là

một bó ideal của A).
1.2. Đa tạp phức
1.2.1. Định nghĩa đa tạp phức
Định nghĩa 1.5: Cho M là không gian tôpô Hausdorff.
V là một tập mở trong M và  :V 

n

là một ánh xạ. Khi đó:

Cặp V ,  được gọi là một bản đồ địa phương của M, nếu các điều kiện sau



được thỏa mãn:
i)  (V ) là tập mở trong
ii)  : V   (V)

n

,

là một đồng phôi.

Định nghĩa 1.6: Họ   (Vi ,i )

i∈I

của M được gọi là một tập bản đồ giải tích

(atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
i) Vi i∈I là một phủ mở của M,


ii) Với mọi Vi ,V j mà V V  , ánh xạ  j ϕi −1 : ϕi (Vi V j )   j (Vi V j ) là
i
j
ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên M. Hai atlas gọi là tương đương nếu hợp của
chúng là một atlas trên M. Dễ thấy sự tương đương giữa các atlas lập thành
một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương
trên gọi là
một cấu trúc khả vi phức trên M. M cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được
gọi là một đa tạp phức n chiều.
Ví dụ: Cho D

n

là một miền. Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với

bản đồ địa phương  D, Id D .
Định nghĩa 1.7: Cho U là một miền trong

n

. Mộtậpt con V của U là

một đa tạp con nếu với mọi z trong U có một lân cận U và các hàm chỉnh
z

hình f1,...
ft

trong U z sao cho:
V

Uz =

{x

U z : f1  x   0,..., ft  x   0  V  f1,... ft 

1.2.2. Tập giải tích trên đa tạp
phức
Định nghĩa 1.8: Cho  là một đa tạp phức (một miền trong
Một tập A

hoặc trong

 được gọi là tập con giải tích của  nếu với mỗi điểm a  có

một lân cận U của a và các hàm
*

chỉnh hình trên U sao cho:
( )

( )

+

Định nghĩa 1.9: Một tập A trong đa tạp phức  được gọi là một tập giải tích
(địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các
hàm chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó.
Nhận xét:

).


+ Mọi miền D
tch trong

n

chỉ khi D 

n

là tập giải tích trong
n

.

n

nhưng nó là tập con giải

+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải
tích của một lân cận của nó.
Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập
con giải tích

sao cho:

1.

;

2. A i  A, i  1, 2.
Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy.
Định nghĩa 1.11: Tập con giải tích bất khả quy A của tập giải tch A được gọi
là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tch

A sao cho A   A

A

và

A  là khả quy.

A

1.3. Hàm chỉnh hình, hàm phân hình
Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở

D

n

được gọi là chỉnh hình trên

cận mở U, w U
f z






av ...v

v1...vn 0

1

n

nếu với mỗi điểm w  D

có một lân

D sao cho hàm f có một khai triển thành chuỗi lũy thừa

 nz1  w1 v 1 ... zn  wv n
n 

hội tụ với mọi z U .

Kí hiệu ( ) là tập tất cả các hàm chỉnh hình trên D.
Định nghĩa 1.13: Một hàm phân hình trên X là một cặp  A, f thỏa mãn các



tính chất sau:
1) A là một tập con của X
2) F là một hàm chỉnh hình trên X-A
3) Với mọi điểm x0  A , có một lân cận U  x0



g, h trên U sao cho:
a. A U = {xU | h  x   0

X và các hàm chỉnh hình


b. Các mầm g x ,
hx 0

là nguyên tố cùng nhau
0

c. f  x   g  x  / h với mọi x U  A .

 x

1.4. Metric Hermit trên đa tạp phức
Định nghĩa 1.14: Cho E là một bó vecto phức C



trên một đa tạp (thực hoặc


phức) M. Một cấu trúc Hermit hoặc metric Hermit h trên E là một C trư ng
các tích trong Hermit của các thớ của E.
Cho M là một đa tạp phức, g là một cấu trúc Hermit trên TM. g được gọi
là một metric Hermit trên M.
Một đa tạp phức M cùng với một metric Hermit g trên nó được gọi
là một đa tạp Hermit.
1.5. Phủ
Định nghĩa 1.15: Cho X, Y là các đa tạp phức, A là một tập đóng địa phương
trên X và f : A  Y là ánh xạ hữu hạn, riêng, liên tục. Bộ ba ( A, f ,Y ) được
gọi một phủ giải tích trên Y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
i)

Tồn tại một tập con giải tích 
số tự nhiên k sao cho A \ f

1

Y (có thể là rỗng) chiều
  là một đa tạp phức trong X và

f : A \ f 1    Y \  là một phủ k-tầng song chỉnh hình đại phương

(tức f là một ánh xạ song chỉnh hình địa phương mà mỗi thớ của nó gồm
k điểm)
ii)

Tập f

1

  là không đâu trù mật trong A.

Một phủ giải tch thư ng được viết như là một ánh
xạ

f :AY.

1.6. Hàm đa điều hòa
Định nghĩa 1.16: Giả sử D là miền trong C. Một
được gọi là điều hòa nếu  h : 4

xác định trên D

2

 h
 0 trên D.
z z

Định nghĩa 1.17: Hàm u : D   ; )
nếu u thoả mãn hai điều kiện sau:

được gọi là điều hòa dưới trong miền D


i)

U là nửa liên tục trên trong D, tức là tập  z  D; u  z   s là tập mở
với mỗi số thực s;

ii)

Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm
h : G  R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u  h

trên G thì u  h trên G.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:
Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D cần và đủ
là với mỗi điểm z  D , tồn tại r0  z   sao cho u  z  

1

0

2

2

 u

z  re

 dt

it

với

0

mọi r  r0  z  .
Định nghĩa 1.18: Giả sử G là một tập con mở trong

. Một hàm:

 : G  [  ; )
được gọi là đa điều hòa dưới nếu:
i)

 là nửa liên tục trên và  không đồng nhất với  trên mọi thành

phần liên thông của G;
ii)

Với mỗi z0  G và a 
:




1

→

n

n

mà a  0 và với mỗi ánh xạ

,τ ( z ) z0  az , hàm  trên mỗi thành phần liên thông của

=

 G (là các miền trong ) hoặc bằng  hoặc là điều hòa dưới.

Định nghĩa 1.19: Giả sử X là một không gian phức. Hàm  : X  [  ; )
được gọi là hàm vét cạn nếu 
c]

1

[  ,

là compact với mọi c  R .

1.7. Dòng
Định nghĩa 1.20: Mỗi phần tử thuộc không gian đối ngẫu D



' mr

M

(hay còn


kí hiệu D'r  M của không gian tuyến tnh


(hay còn gọi là bậc bằng m-r)

( ) được gọi là một dòng r-chiều


Định nghĩa 1.21: Cho  là các dòng trên một đa tạp phức,
gian đối ngẫu của
Tp,q   T 



p,q

(  ),

(  ),

Tp,q

(  ) là không

xác định như sau:

 trong đó  p,q là  p, q  - thành phần của dạng  . T  T

. Khi đó các dòng Tp,q được gọi là các dòng song chiều

p,q

 p, q  .

1.8. Miền giả lồi
Định nghĩa 1.22: Cho M là một đa tạp phức và D là một miền con của M. D
được gọi là giả lồi tại y  D nếu có một lân cận U của y và một C 2 - hàm giá
trị thực  xác định trên U sao cho:
i) D U  x U :   x   0
ii) Nếu t M Ty và d  t   0 thì H
.
  y   t,t   0
Nếu ii) là đúng với H
t,t   với mọi t  0 , D được gọi là giả lồi
 y  
0
chặt tại y.
D được gọi là giả lồi Levi (chặt) nếu D là compact trong M và D giả lồi
(chặt) tại mọi điểm y  D .
1.9. Mặt cầu
Định nghĩa 1.23: Một mặt cầu (2-chiều) trong một đa tạp phức X là ảnh

của hình cầu têu chuẩn
vào X sao cho





qua một ánh xạ chỉnh hình từ lân cận của

không tương ứng tới 0 trong X.


Chương 2
SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ
TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER
2.1. Ánh xạ phân hình và không gian chu trình
2.1.1. Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình
Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng khái niệm và kết quả nghiên cứu từ lí
thuyết không gian chu trình mà Barlet đã đưa ra (xem [3] hoặc [6]). Tất cả các
không gian phức trong luận văn đều được giả thiết là chuẩn tắc, khả quy và có
thể đếm được tại vô cực. Tất cả các chu trình, nếu không nói gì thêm, được giả
thiết là có giá liên thông.
Định nghĩa 2.1: Một k-chu trình giải tch trong một không gian phức Y là tổng
Z   n j Z j , trong đó Z j  là một dãy hữu hạn địa phương các tập con giải
j

tch (k chiều thuần túy) và n j là các số nguyên dương được gọi là các bội số
của Z j .
Đặt Z   j Z j là giá của Z.
k

Đặt A k  r,1  k \ 


r.

Cho X là không gian phức chuẩn tắc, khả quy được trang bị metric Hermit.
n

Cho một ánh xạ chỉnh hình f :   A

k

 r,1  X . Ta sẽ bắt đầu với không

gian của các chu trình gắn với f . Cố định hằng số dương C và xét tập C f ,C của
tất cả các k-chu trình giải tích Z trong Y : 
(a) Z    n A

k

 f là đồ thị của ánh xạ hạn
chế

z

z

 X sao cho:

k

 r,1  X   
f

nk

f z| :
k

  Az  r,1  X 
với

A

n

z   trong đó

. Ở đây

 r ,1

r,1
z A:


 r,1

f

Ak
z

z

k


.Điều này có nghĩa, trong trư ng hợp đặc biệt, với z này, ánh xạ f thác triển
z
k

phân hình từ Az

k

 r,1

k

 z :  z   .

trên
( )

(b)

và giá | | của Z là liên thông.

Ta đặt C f :

C >0

C f ,Cvà chỉ ra rằng C f là một không gian giải tích hữu

hạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó.
Cho Z là một chu trình giải tích k chiều trong một không gian phức
chuẩn tắc, khả quy Y. Trong phần này, Y là  nk  X . Bằng một biểu đồ tọa
độ tương thích với Z, ta sẽ hiểu một tập mở V trong Y như là

| |

cùng

k
q
với một phép đẳng cấu j từ V vào một đa tạp con ̃ trong lân cận của   

(̅

sao cho

)

. Ta sẽ kí hiệu biểu đồ như vậy bởi V , j  .

| |

Ảnh j  Z của chu trình Z qua phép đẳng cấu j chính là ảnh của tập giải tích



cơ bản cùng với các bội. Đôi khi, theo Barlet, ta sẽ kí hiệu: 

k

q

 U ,   B và

gọi bộ bốn E  V , j,U , B  là thang tương thích với Z.
Nếu

pr :

k

×

q

→

k

là phép chiếu tự nhiên, thì hạn chế

pr | j Z  j  Z    k là phủ rẽ nhánh bậc d. Số q phụ thuộc vào số chiều nhúng
:

của Y (hoặc X trong trư ng hợp này). Thỉnh thoảng, ta sẽ bỏ qua j trong phần



kí hiệu. Các phủ rẽ nhánh: pr |Z : Z   k   q
nhiên một ánh xạ:

 z :   Symd   q 
k

z   pr |Z

  z
1

 

k

xác định một cách tự


trong đó, Symd  q là lũy thừa đối xứng thứ d của q
 . Điều này cho phép ta
 
biểu diễn một chu
trình

Z

ánh xạ chỉnh hình d giá trị.

k q

với | |

(̅

)

như đồ thị của một


Không mất tính tổng quát, ta giả thiết rằng ánh xạ chỉnh hình f được xác
định trên  n  a  
k

A

 r1 ,
b

với a, b  1,  r . Bây gi , mỗi Z  C f có thể

r1

được phủ bởi một số hữu hạn các lân cận tương thích
vậy

V , j  . Phủ như

được gọi là một phủ tương thích.
Kí hiệu hợp WZ 

α

Vα. Lấy phủ V , j  đủ nhỏ, ta có thể giả thiết

rằng: (a) Nếu

, thì trên mỗi thành phần bất khả quy của

giao

Z

Vα1

đa trụ 1k

Vα,2 một điểm x1 được cố định sao cho:  c1 hoặc tồn tại một lân cận



k của pr
j 

1

 x1

12

ứng với Z và được chứa trong V , trong đó

 c2  hoặc điều này được thực hiện cho V
2

(b) Nếu y V với p  y  



nk

1

 là thích

thay vì V
;
1 

 c  k A r 2 1 ,1 , thì






p V 

 
 
Ở đây, ta kí hiệu p : 

n

1

được cho như phép nhúng αj1 ,

1

V12



sao cho biểu đồ V  j 1 k  q

n

c1

  k   A (r,1 ).
 2 

 X   nk

là phép chiếu tự nhiên. Trư ng

hợp  c1 có thể được thực hiện khi chiều nhúng

của

Vα1 nhỏ hơn hoặc bằng



chiều nhúng của V , và  c2  trong trư ng hợp ngược lại (xem [3], pp. 91-92).
2


Cho E= V , j,U , B là một thang trong không gian phức Y. Kí hiệu



H

Y

U , sym

d

 B   : Y U , symd  B

là tập giải tích Banach của mọi tập



Hol

con giải tích d-tầng trên U  B , chứa trong j Y  . Các tập con WZ cùng với
tôpô hội tụ đều
trên



H Y U , sym



d

B

xác định một (metric) tôpô trên không

gian chu trình C f , và tương đương với tôpô của các dòng (xem [6], [9]).


Ta tham khảo [3] để định nghĩa sự đẳng hướng của tập hợp các phần
tử



từ HY U , sym

d

B

đã được tham số hóa bởi tập giải tích Banach S. Không





gian H Y U , sym



d

B

có thể được thay thế bởi một (nhiều) cấu trúc giải tch

khác nhiều tnh chất hơn. Không gian giải tch mới này sẽ được kí hiệu bằng
∧



H Y U , sym

d

 B   . Tính chất chính của cấu trúc mới này là họ hằng

đúng
∧



H Y U , sym

d

 B   U '  symd 

B
với bất kì đa đĩa compact tương đối

Z s : s  S 



H Y U ', sym

là đẳng hướng
trong



d

B

. Trên thực tế, các họ đẳng hướng

được tham số hóa bởi các tập giải tch Banach theo định lí phép

chiếu thay đổi của Barlet cố định.
Định lý (Barlet): Nếu họ Z

: s  S

H

 Y

s

U , sym

d

B

là đẳng hướng thì

với bất kì thang E  V , j ,U , B trong U  B tương thích với Z , tồn tại
s0
1
1
1
1
1







một lân cận U s0 của s0 trong S sao cho Z s : s U s là đẳng hướng trong V1 .
0
Điều này có nghĩa,trong trư ng hợp đặc biệt, ánh xạ:

s  Z s V1



HY U 1 ,

d

 B1  

sym
là giải tích, tức là có thể thác triển tới một lân cận của mọi s Us0 . Lân cận ở