Bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN
NHẤT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THANH HUYỀN

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN
NHẤT

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Thủy

THÁI NGUYÊN - 2016

Líi cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cùu cõa riêng tôi. Các tài li»u
trong luªn văn là trung thüc. Luªn văn chưa tøng đưñc công bè trong
b§t cù công trình nào.
Tác gi£ luªn văn

Vũ Thà Thanh Huy·n
Xác nhªn cõa
Khoa chuyên môn

Xác nhªn cõa
ngưíi hưîng d¨n khoa håc

TS. Ph¤m Thà Thõy

i


Lới cÊm n
BÊn luên vn ủc hon thnh tÔi Trớng Ôi hồc S phÔm Ôi hồc
Thỏi Nguyờn dợi sỹ hợng dăn tên tỡnh cừa TS. PhÔm Th Thừy. Nhõn
dp ny tụi xin by tọ lũng biát n cụ vã sỹ hợng dăn hiằu quÊ cựng nhỳng
kinh nghiằm trong quỏ trỡnh hồc têp, nghiờn cựu v hon thnh luên
vn.
Xin chõn thnh cÊm n Phũng Sau Ôi hồc, Ban chừ nhiằm Khoa Toỏn,
cỏc thƯy cụ giỏo Trớng Ôi hồc S phÔm Ôi hồc Thỏi Nguyờn, Viằn
Toỏn hồc v Trớng Ôi hồc S phÔm H Nởi ó giÊng dÔy v tÔo iãu kiằn
thuên lủi cho tụi trong quỏ trỡnh hồc têp v nghiờn cựu khoa hồc.

BÊn luên vn chc chn s khụng trỏnh khọi nhỳng khiám khuyát, vỡ vêy
rĐt mong nhên ủc sỹ úng gúp ý kián cừa cỏc thƯy cụ giỏo v cỏc
bÔn hồc viờn luên vn ny ủc hon chnh hn.
Em xin chõn thnh cÊm n!
Thỏi Nguyờn, thỏng 04 nm 2016
Tỏc giÊ luên vn

V Th Thanh Huyãn

ii


MỤC LỤC
Lời

cam

đoan…………………………………………………………………i

Lời

cảm

ơn……………………………………………………………….......ii

MỤC

LỤC……………………………………………….…………………..iii

MỞ

ĐẦU……………………………………………………………………..1
Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………...3
1.1. Phân loại phương trình đạo hàm riêng………………………........3
1.2. Phép biến đổi Fourier trong

………………………………8

1.3. Phép biến đổi Fourier trong

……………………………..13

1.4. Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier…………………...19
1.5. Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản………………….22
Chƣơng 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
KHÔNG THUẦN NHẤT…………………………………………29
2.1. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần
nhất với hệ số hằng trong

…………………………………………29

2.1.1. Bài toán Cauchy…………………………………………...29
2.1.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.1.1), (2.1.2)…………………..29
2.2. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần
nhất với hệ số hằng trong

…………………………………………31

2.2.1. Bài toán Cauchy…………………………………………...31
2.2.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.2.1), (2.2.2)…………………..31

2.3. Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần
nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong
………………...33
2.3.1. Bài toán Cauchy…………………………………………...33
2.2.2. Tìm nghiệm của bài toán (2.3.1), (2.3.2)…………………..34
KẾT LUẬN…………………………………………………………………39
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………40


iii


Mé U
1. Lý do chồn ã ti
Trong số lợp phng trỡnh Ôo hm riờng tuyán tớnh, phng trỡnh
parabolic l lợp phng trỡnh mụ tÊ cỏc quỏ trỡnh truyãn nhiằt, khuyách
tỏn. Cỏc bi toỏn cú chựa phng trỡnh parabolic ủc nghiờn cựu tứ
rĐt lõu v lý thuyát cừa cỏc phng trỡnh ú án nay tng ối hon
chnh. Khi nghiờn cựu bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt,
nh toỏn hồc Phỏp Poisson ó thiát lêp cụng thực tớnh nghiằm, hiằn nay
mang tờn ụng v cú nhiãu ựng dửng. Ngy nay cú rĐt nhiãu phng phỏp
nghiờn cựu vã phng trỡnh Ôo hm riờng tuyán tớnh nhng phng
phỏp bián ời Fourier trong nhiãu trớng hủp tọ ra rĐt quan trồng v
hiằu quÊ. Phng phỏp bián ời Fourier giỳp cho viằc nghiờn cựu cỏc lợp
phng trỡnh khỏc nhau v thiát lêp ủc cụng thực biu diạn nghiằm cừa
cỏc bi toỏn. Khụng nhỳng thá phng phỏp bián ời Fourier cũn nghiờn
cựu ủc tớnh chĐt cừa cỏc cụng thực biu diạn nghiằm ú.
Theo hợng nghiờn cựu ny chỳng tụi chồn Bi toỏn Cauchy ối
vợi phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt lm ã ti
nghiờn cựu cừa mỡnh.

2. Mửc ớch v nhiằm vử nghiờn cựu
2.1. Mửc ớch nghiờn cựu
Nghiờn cựu phng phỏp bián ời Fourier v ỏp dửng trong viằc giÊi bi
toỏn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn nhĐt.
2.2. Nhiằm vử nghiờn cựu
Luên vn têp trung vo cỏc nhiằm vử chớnh sau õy
- Trỡnh by tờng quan vã phng trỡnh Ôo hm riờng, phộp bián ời
Fourier trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), v cỏc tớnh chĐt cừa chỳng.
- Tỡm nghiằm cừa bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt khụng
thuƯn nhĐt vợi hằ số hơng trong R1 , hằ số hơng trong Rn v hằ số ch
phử thuởc bián thới gian trong Rn .
1


3. Phng phỏp nghiờn cựu
Sỷ dửng phng phỏp phng trỡnh Ôo hm riờng, phng phỏp
giÊi tớch, v sỷ dửng hằ thống cỏc phộp bián ời Fourier, cụng thực Poisson
nghiờn cựu bi toỏn Cauchy cho phng trỡnh truyãn nhiằt khụng
thuƯn nhĐt.
4. Bố cửc luên vn
Nởi dung luên vn gỗm 41 trang trong ú cú phƯn m Ưu, hai
chng nởi dung, phƯn kát luên v danh mửc ti liằu tham khÊo.
Chng 1. Trỡnh by mởt số kián thực chuân b thỹc hiằn nởi dung
cừa chng sau: Phõn loÔi phng trỡnh Ôo hm riờng, trỡnh by hằ
thống vã phộp bián ời Fourier trong L1 (Rn ), trong L2 (Rn ), cỏc cụng thực
n giÊn cừa bián ời Fourier, bián ời Fourier cừa mởt vi hm số n
giÊn.
Chng 2. L nởi dung chớnh cừa luên vn, trỡnh by cỏc kát quÊ nghiờn
cựu vã bi toỏn Cauchy ối vợi phng trỡnh truyãn nhiằt khụng thuƯn
nhĐt vợi hằ số hơng trong R1 , hằ số hơng trong Rn v hằ số ch phử thuởc

bián thới gian trong Rn .
Cuối cựng l phƯn kát luên trỡnh by túm tt kát quÊ Ôt ủc.

2


Chng 1

MậT Sẩ KIN THC CHUN B
Trong chng ny, ta s nhc lÔi mởt số kián thực quan trồng lm nãn
tÊng nghiờn cựu chng sau, ú l cỏc kián thực vã phng trỡnh Ôo
hm riờng v bián ời Fourier. Cỏc nởi dung trong chng ủc trớch dăn
tứ cỏc ti liằu tham khÊo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11].
1.1
1.1.1

Phõn loÔi phng trỡnh Ôo hm riờng
Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trong trớng hủp hai bián

nh ngha 1.1.1.1. Cho k l mởt số nguyờn dng v U l mởt têp
m trong Rn . Mởt biu thực cú dÔng
k

F x, u (x) , Du (x) , . . . , D u (x) = 0,

xU

(1.1.1)

ủc gồi l mởt phng trỡnh Ôo hm riờng bêc k vợi

n

F :Uì Rì R ì ãããì R

n

k

R,

l hm cho trợc, v u : U R l hm cƯn tỡm.
Phng trỡnh Ôo hm riờng (1.1.1) ủc gồi l giÊi ủc náu tỡm ủc tĐt
cÊ cỏc hm số u thoÊ món (1.1.1).
nh ngha 1.1.1.2. Phng trỡnh Ôo hm riờng (1.1.1) ủc gồi l tuyán
tớnh náu phng trỡnh ú cú dÔng
X

a (x)D u = f (x) ,
||k

trong ú a (x), f (x) l cỏc hm số ó cho.
Phng trỡnh tuyán tớnh ny ủc gồi l thuƯn nhĐt náu f 0.
3


nh ngha 1.1.1.3. GiÊ sỷ u = u (x, y) l hm xỏc nh trong R2 , a
(x, y) , b (x, y) , c (x, y) R2 . Phng trỡnh Ôo hm riờng tuyán tớnh
cĐp hai trong trớng hủp hai bián l phng trỡnh cú dÔng
a (x, y) uxx + 2b (x, y) uxy + c (x, y) uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0.
a) Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trong trớng

hủp hai bián
Xột phng Ôo hm riờng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai vợi cỏc hằ số thỹc
auxx + 2buxy + cuyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0,

(1.1.2)

cú biằt thực = b2 ac.
Xột mởt im (x0 , y0 ) cố nh. Phng trỡnh (1.1.2) tÔi im (x0 , y0 ) ủc
gồi l
- Thuởc loÔi elliptic náu nh tÔi im ú b2 ac < 0.
- Thuởc loÔi hypecbolic náu nh tÔi im ú b2 ac > 0.
- Thuởc loÔi parabolic náu nh tÔi im ú b2 ac = 0.
Náu tÔi mồi im trong mởt miãn G m phng trỡnh (1.1.2) thuởc cựng
mởt loÔi thỡ ta núi rơng phng trỡnh (1.1.2) thuởc loÔi ú trong miãn G.
b) DÔng chớnh tc cừa phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trong
trớng hủp hai bián
Ta a phng trỡnh (1.1.2) vã cỏc dÔng chớnh tc sau
- Vợi b2 ac > 0 thỡ dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi hypecbolic l
uxx uyy = hay uxy = .
- Vợi b2 ac < 0 thỡ dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi elliptic l
uxx + uyy = .
- Vợi b2 ac = 0 thỡ dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi parabolic l
uxx = .
1.1.2

Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trong trớng hủp nhiãu
bián

nh ngha 1.1.2.1. GiÊ sỷ u = u (x1 , x2 , ..., xn ) l hm xỏc nh trong Rn .
Phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trong trớng hủp n bián l phng

trình có d¤ng


n
X

aij ux

xi

j

+ F (x1 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn ) = 0,

(1.1.3)

i,j=1

vợi aij = aji v l hm cừa cỏc bián x1 , ..., xn .
a) Phõn loÔi phng trỡnh tuyán tớnh cĐp hai trong trớng
hủp nhiãu bián
Ta ký hiằu x = (x1 , x2 , ..., xn ) l im trong khụng gian clit n chiãu vợi
cỏc tồa ở l x1 , ..., xn .
Xột ma trên
A(x) = kaij (x)k .
(1.1.4)
Coi (1.1.4) l mởt ma trên ối xựng.
Ta cố nh mởt im x0 = x1 0 , ..., xn 0 . Khi ú ma trên A(x) tr thnh

ma trên hơng A(x0 ).
Phng trỡnh
det(A(x0 ) E) = 0,
(1.1.5)
trong ú E l ma trên n v, l mởt vụ hợng, ủc gồi l phng
trỡnh c trng tÔi im x0 cừa phng trỡnh (1.1.3). Tứ ú ta cú
- Phng trỡnh (1.1.3) ủc gồi l thuởc loÔi elliptic tÔi im x0 = x1 0 , ..., xn 0
náu nh tÔi im ú, tĐt cÊ n nghiằm ối vợi cừa phng trỡnh c trng
(1.1.5) ãu khỏc khụng v cựng mởt dĐu.
- Phng trỡnh (1.1.3) ủc gồi l thuởc loÔi hypecbolic tÔi im
x0 = x1 0 , ..., xn 0 náu nh tÔi im ú, tĐt cÊ n nghiằm ối vợi cừa
phng trỡnh c trng (1.1.5) ãu khỏc khụng v trong ú cú n 1 nghiằm
cựng mởt dĐu, cũn nghiằm cuối cựng cũn lÔi cú dĐu khỏc.
- Phng trỡnh (1.1.3) ủc gồi l thuởc loÔi parabolic tÔi im
x0 = x1 0 , ..., xn 0 náu nh tÔi im ú, trong n nghiằm ối vợi cừa
phng trỡnh c trng (1.1.5) cú mởt nghiằm bơng khụng, cũn n 1
nghiằm cũn lÔi ãu khỏc khụng v cựng mởt dĐu.
Náu tÔi mồi im trong mởt miãn cừa khụng gian E m phng trỡnh


(1.1.3) thuëc cùng mët lo¤i, thì ta nói r¬ng phương trình (1.1.3) thuëc lo¤i
đó trong Ω.


b) D¤ng chính tc cõa phương trình tuy¸n tính c§p hai trong
trưíng hñp nhi·u bi¸n
Xét phương trình tuy¸n tính c§p hai (1.1.3).
Dùng phương pháp đêi bi¸n
ξ1 = ξ1 (x1 , ...., xn )
..........................

(1.1.6)

ξn = ξn (x1 , ...., xn ) .
Gi£ thi¸t trong mët lân cªn nào đó cõa điºm (x1 , x2 , ...., xn ), các hàm
ξr = ξr (x1 , . . . , xn ) ,

r = 1, . . . , n,

liên töc và có các đ¤o hàm riêng tîi c§p hai liên töc vîi


D (ξ1 , . . . , ξn )
= 0.
D (x1 , . . . , xn )

(1.1.7)

Phép bi¸n đêi (1.1.6) thäa mãn đi·u ki»n (1.1.7) đưñc gåi là phép bi¸n đêi
không suy di¹n. Ta có
n
X
∂ ξr
u xj =
u ξr
.
∂x
j
r=1
u xi xj

X
n

Xn
∂ 2 ξr
uξr ξs
uξ r
=
+
.
∂x
∂x
∂x
∂x
i
j
j
i
r,s=1
r=1
∂ ξr ∂ ξs

(1.1.8)

Thay (1.1.8) vào (1.1.3), ta đưñc
n
X

a˜

ξ
r,s=1

rs urξ s

+ Φ (ξ1

n

,...,ξ

trong đó

n

a˜rs =

X

, u, uξ 1 , . . . ,ξ u n ) = 0.

(1.1.9)

∂ξ
aij

i,j=1

∂ξr

s

∂xj ∂xi

= a˜sr .

Khi đó, phương trình d¤ng
n
X
i=1

λi u ξ

ξ

i i

1
+ Φ (ξ

n,

,...,ξ

u, uξ 1 , . . . , ξu n ) = 0

(1.1.10)

đưñc gåi là d¤ng chính tc cõa phương trình (1.1.9) t¤i điºm x0 = x1 0 , ..., xn 0 .

- GiÊ thiát tÔi im x0 = x1 0 , ..., xn 0 phng trỡnh (1.1.9) thuởc loÔi
elliptic. Khi ú, mồi i trong (1.1.10) cựng mởt dĐu, giÊ sỷ i > 0 (ngủc
lÔi náu i < 0 thỡ ời dĐu ton bở phng trỡnh (1.1.9)). t
2

i = i .
Vêy (1.1.10) cú dÔng
n
X
2
i=1

i u i i

+ (1 , . . . , n , u, u1 , . . . , un ) = 0.

Bơng cỏch co gión tồa ở i = i 0 .i Tứ (1.1.11) ta cú

(1.1.11)


n
X
i=1

u 0 1 0 i

+

0

0

1 , . . . , n , u, u

1
0

, . . . , un0 = 0.

(1.1.12)

(1.1.12) ủc gồi l dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi elliptic.
- GiÊ thiát tÔi x0 = x1 0 , ..., xn 0 phng trỡnh (1.1.9) thuởc loÔi hypecbolic,
thỡ trong n nghiằm cừa phng trỡnh c trng cú n 1 nghiằm cựng dĐu
v mởt nghiằm khỏc dĐu. Do ú, tứ (1.1.10) ta cú
u 0 n 0 n

n1
X

0

0

u 0 i 0 i + 1 , . . . , n , u, u 0 1 , . . . , u 0 n = 0.

(1.1.13)

i=1

(1.1.13) ủc gồi l dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi hypecbolic.
- GiÊ thiát tÔi x0 = x1 0 , ..., xn 0 phng trỡnh (1.1.9) thuởc loÔi parabolic
thỡ trong n nghiằm ối vợi cừa phng trỡnh c trng cú mởt nghiằm
bơng khụng, cũn n 1 nghiằm cũn lÔi ãu khỏc khụng v cựng mởt dĐu,
nờn tứ (1.1.10) ta cú
n1
X
i=1

u 0 i 0 i

0

0

+ 1 , . . . , n , u, u 0

1

, . . . , un0 = 0.

(1.1.14)

(1.1.14) ủc gồi l dÔng chớnh tc cừa phng trỡnh loÔi parabolic.
Nh vêy, rừ rng ta thĐy
- Phng trỡnh Laplace uxx +uyy +uzz = u = 0 l phng trỡnh loÔi eliiptic.

- Phng trỡnh truyãn nhiằt ut a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuởc loÔi parabolic.
- Phng trỡnh truyãn súng ut a2 (uxx + uyy + uzz ) = 0 thuởc loÔi
hypecbolic.


1.2
1.2.1

Phép bi¸n đêi Fourier trong L1 (Rn )
Bi¸n đêi Fourier trong L1 (Rn )

Gi£ sû f (x) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ L1 (Rn ) là hàm kh£ tích trong toàn bë
không gian Rn .
Đành nghĩa 1.2.1.1. Bi¸n đêi Fourier cõa hàm sè f (x), ký hi»u là (F f ) (ξ)
∧

ho°c f (ξ), là hàm sè cõa bi¸n ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và đưñc tính theo
công thùc
Z
∧

n


−2

(F f ) (ξ) = f (ξ) = (2π)

e

−ihx,ξi

f (x) dx.

(1.2.1)

Rn

Đành nghĩa 1.2.1.2. Bi¸n đêi Fourier ngưñc cõa hàm sè f (x) ký hi»u là
∨

F −1 f (ξ) ho°c f(ξ), là hàm sè cõa bi¸n ξ = (ξ 1, ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và đưñc
tính theo công thùc
Z
∨
n
− 2
eihx,ξi f (x) dx.
(1.2.2)
F −1 f (ξ) = f(ξ) = (2π)
Rn

1.2.2

Các tính ch§t cõa bi¸n đêi Fourier trong L1 (Rn )

M»nh đ· 1.2.2.1.
N¸u f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có
−1

(F f ) (ξ) = F

f (−ξ) .

Chùng minh.
Vîi f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f ) (ξ) = (2π)

− 2n

Z

e−ihx,ξi f (x) dx

Rn

= (2π)
= F
Vâ (F f ) (ξ) = F −1 f (−ξ) .

− n2

−1

R

Rn

eihx,−ξi f (x) dx

f (−ξ) .

M»nh đ· 1.2.2.2.
N¸u f (x) ∈ L1 (Rn ) thì ∀ξ ∈ Rn ta có
(F f ) (ξ) = F

−1

f (−x) (ξ) .


Chùng minh.
Vîi f (x) ∈ L1 (Rn ), ∀ξ ∈ Rn ta có
Z
n

n

Z


2

(F f ) () = (2)

e

ihx,i

2

ihx,i

f (x) dx = (2)

Rn

e

f (x) dx. (1.2.3)

Rn

t x = y dx = dy = d (y) thay vo (1.2.3) ta ủc
Z
2n
ihy,i
1
1
(F f ) () = (2)
e
f (y) d (y) = F f (y) () = F f (x) () .
Rn

Vêy (F f ) () = F 1 f (x) () .
Mằnh ã 1.2.2.3.
GiÊ sỷ hm f (x) L1 (Rn ) . Khi ú hm
Z

2n

ihx,i
f () = (2)
f (x) e
dx,
Rn



l hm số liờn tửc, b chn v lim f () = 0.
||

Chựng minh.
Vỡ f (x) khÊ tớch tuyằt ối nờn suy ra tớch phõn Fourier
Z

2n
f (u) eih,ui du
f () = (2)
Rn

hởi tử tuyằt ối.



Vỡ eih,ui liờn tửc theo nờn theo dĐu hiằu hm trởi suy ra f () liờn tửc
theo bián . Vợi > 0 tỗn tÔi số A > 0
Z

|f (x)|dx < .
2

Vỡ lim

R

|x|>A

f (u) eih,ui du = 0 nờn > 0 sao cho vợi : || > ta cú

|| |u|
Z

ih,ui

f (u) e
|u|
du <


.
2


Vªy vîi |ξ| > σ
Z

Z

Z

f (u) e

−ihu,ξi

du ≤

|f (u)| du +

∧

−2

n

du <
2

ε

+
2

ε

=ε

R
f (u) e−ihξ,ui du là giîi nëi khi |ξ| → +∞.

⇒ f (ξ) = (2π)
Khi đó

−ihξ,ui

|u|
|u|>A

Rn

f (u) e

Rn

∧

lim f (ξ) = 0.

|ξ|→∞

M»nh đ· 1.2.2.4. (Tính tuy¸n tính)
Gi£ sû f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) và x ∈ Rn ; α, β ∈ R. Khi đó
F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ)
Chùng minh.
Vîi f (x), g(x) ∈ L1 (Rn ) và ξ, x ∈ Rn ; α, β ∈ R ta có
F (αf + βg) (ξ) = (2π)
= (2π)

− n2

− n2
Rn

R

e−ihx,ξi (αf (x) + βg (x)) dx
− n2

e−ihx,ξi αf (x) dx + (2π)

Rn

= α(2π)

− n2

R

e−ihx,ξi βg (x)dx

Rn

R

e

−ihx,ξi

n

f (x) dx + β(2π)

−2

Rn

R
Rn

e−ihx,ξi g (x)dx

= αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .
Vªy
F (αf + βg) (ξ) = αF (f ) (ξ) + βF (g) (ξ) .
M»nh đ· 1.2.2.5. (Bi¸n đêi Fourier cõa đ¤o hàm)
Gi£ sû f (x) và Dxj f thuëc không gian L 1(Rn ) trong đó D x f =
j
N¸u ∃c > 0, ε > 0 sao cho
c
∀x,
|f (x)| ≤
n−1+ε
(1 + |x |)
thì

∧
j

F Dx f (ξ) = (iξj ) f (ξ) = (iξj ) (F f ) (ξ)

R

∂f
∂xj

.


Chùng minh.
Theo đành nghĩa bi¸n đêi Fourier trong L1 (Rn ) ta có
Z
n


2

F Dx fj () = (2)

Dx jf e

ihx,i

dx.

Rn

p dửng cụng thực tớnh tớch phõn tứng phƯn trong Rn
Z

Z
Z
f gj d Dxj f gdx,
f Dxj gdx =






trong ú = (1 , 2 , . . . , n ) l vộct phỏp tuyán n v ngoi tÔi im
x . Ta cú
2

F Dx fj () = (2)

n

Z

Rn

2n

= (2)

lim

A+

ihx,i

e

"

2

Dx fj dx = (2)

R

|x|=A

R
eihx,i f j d

n

Z
lim

A+
|x|
|x|
ihx,i

e

Dx fj dx
#

eihx,i (ij ) f (x) dx .

Mt khỏc
Z
|x|=A


e ihx,i

Z
f j d

|f |d
|x|=A

c
A n1,
n1+ n
(1 + A)

trong ú n l diằn tớch mt cƯu n v. Do ú
Z
2 n
ihx,i
F Dx fj () = (2)
e

Dx fj dx
Rn

2n

= (2)

lim

A+

R
|x|
eihx,i ij f (x) dx

= (ij ) (F f ) () .
Vêy F Dx jf () = (ij ) (F f ) () .
Nhên xột 1.2.2.6.
Tng tỹ nh Ôo hm cĐp 1 ta cú cụng thực bián ời Fourier ối vợi cỏc
Ôo hm cĐp cao.
GiÊ sỷ f (x) L1 (Rn ), x, Rn .