CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TIỂU HỌC

Group: />
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
Phần thứ nhất
Giới thiệu các phương pháp giải toán ở tiểu học
§ 1.Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng
Khi phân tích một bài toán cần phải thiết lập được các mối liên hệ và phụ
thuộc giữa các đại lượng cho trong bài toán đó. Muốn làm việc này ta thường
dùng các đoạn thẳng thay cho các số ( số đã cho, số phải tìm trong bài toán ) để
minh họa các quan hệ đó. Ta phải chọn độ dài các đoạn thẳng và cần sắp xếp các
đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối liên hệ và
phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi
cách giải bài toán.
Ví dụ 1 Một cửa hàng có số mét vải hoa nhiều hơn số mét vải xanh là 540m.
Hỏi mỗi loại vải có bao nhiêu mét, biết rằng số mét vải xanh bằng

số mét vải

hoa ?
Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 1 :

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng như thế này dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán
: số mét vải hoa nhiều hơn vải xanh là 540m ( biểu thị quan hệ hai số hơn kém
nhau một đơn vị ) và số mét vải hoa nhiều gấp 4 lần số mét vải xanh ( biểu thị
quan hệ so sánh số này gấp số kia một số lần )
Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số mét vải xanh bằng cách lấy 540 chia cho 3 (
vì số mét vải xanh bằng

của số 540m ) ; Cũng nhờ sơ đồ gợi cho ta cách tìm

số mét vải hoa bằng cách lấy số mét vải xanh tìm được đem cộng với 540m (

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />hoặc gấp 4 lần số mét vải xanh )
Giải :
Vì số mét vải xanh bằng

số mét vải hoa và số mét vải xanh ít hơn số mét vải

hoa là 540m nên số mét vải xanh là :
540 : 3 = 180 (m)
Số mét vải hoa là :
180 + 540 = 720 (m)
(hoặc 180 x 4 = 720 (m) )
Cũng có thể giải bài toán theo cách sau đây :
Số mét vải hoa là :
540 : 3 x 4 = 720 (m)
Số mét vải xanh là :
720 – 540 = 180 (m)
Ví dụ 2. Một đội công nhân sửa chữa đường sắt, ngày thứ nhất sửa chữa được
15m đường, ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất 1m ngày thứ ba hơn ngày thứ nhất
2m. Hỏi trung bình mỗi ngày đội công nhân ấy sửa chữa được bao nhiêu mét
đường sắt ?
Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 2 :

Nhìn sơ đồ này gợi cho ta cách tìm số mét của ngày thứ hai, số mét của ngày
thứ ba. Từ đó tìm được đáp số của bài toán
Giải :
Ngày thứ hai sửa chữa được là :
15 + 1 = 16 (m)

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Ngày thứ ba sửa chữa được là :
15 + 2 = 17 (m)
Cả ba ngày sửa chữa được là :
15 + 16 + 17 = 48 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là :
48 : 3 = 16 (m)
Ta có thể giải bài toán bằng cách sau đây :
Cả ba ngày sửa chữa được là :
15 x 3 + 1 + 2 = 48 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa chữa được là :
48 : 3 = 16 (m)
Nếu ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 3 thì bài toán có thể giải một cách ngắn
gọn hơn như sau :

Giải
Nếu ta chuyển 1m của ngày thứ ba sang ngày thứ nhất thì số mét của cả ba ngày
đều bằng nhau và bằng số mét của ngày thứ hai ( hình 3 ). Vậy số mét của ngày
thứ hai là:
15 + 1 = 16 (m)
Trung bình mỗi ngày sửa được 16m
Ví dụ 3. Cùng một lúc Giang đi từ A đến B, còn Dương đi từ B đến A. Hai bạn
gặp nhau lần đầu tại một điểm C cách A 3km, rồi lại tiếp tục đi. Giang đến B rồi
quay lại A ngay, còn Dương đến A rồi cũng trở về B ngay. Hai bạn gặp nhau lần
thứ hai tại một điểm D cách B 2km
Tính quãng đường AB và xem ai đi nhanh hơn

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Phân tích. Ta vẽ sơ đồ đoạn thẳng như hình 4 :

Theo đầu bài thì Giang đi từ A đến B rồi quay lại D, còn Dương đi từ B đến A
rồi cũng quay lại D, lúc đó hai bạn gặp nhau lần thứ hai ở D. Nhìn trên sơ đồ ta
thấy, cho đến khi gặp nhau lần thứ hai ở D, cả Giang và Dương đã đi cả thấy 3
lần quãng đường AB. Khi Giang và Dương gặp nhau lần thứ nhất ở C thì cả hai
bạn đã đi được vừa đúng một lần quãng đường AB, trong khi đó Giang đi được
đoạn AC dài 3km. Do đó khi cả hai bạn đi cả thấy ba lần quãng đường AB thì
Giang di được là
3 x 3 = 9 (km)
Đoạn đường Giang đi được từ A đến B rồi tới D dài hơn quãng đường AB một
đoạn BD dài 2km. Vì vậy quãng đường AB dài là
9 – 2 = 7 (km)
Khi gặp nhau lần thứ nhất thì Giang đi được 3km, do đó Dương đi được là
7 – 3 = 4 (km)
Trong cùng một thời gian kể từ lúc bắt đầu đi cho đến khi gặp nhau mà Dương
đi được 4km, Giang đi được 3km, suy ra Dương đi nhanh hơn Giang.
Giải
Cho đến khi gặp nhau lần thứ hai thì cả hai bạn Giang và Dương đã đi cả thẩy 3
lần quãng đường AB. Hai bạn cứ đi một lần quãng đường AB thì Giang đi được
3km. Như vậy Giang đã đi một quãng đường là :
3 x 3 = 9 (km)
Quãng đường AB dài là :

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí

Group: />9 – 2 = 7 (km)
Khi gặp nhau lần đầu tiên, Giang đi được 3km, còn Dương đi được là :
7 – 3 = 4 (km)
Cùng một thời gian Dương đi được một quãng đường dài hơn quãng đường của
Giang, nên Dương đi nhanh hơn Giang

Bải tập
1.Người ta lấy ra khỏi một kho đông lạnh 17 tấn cá Hỏi phải đưa vào kho đó bao
nhiêu tấn cá để trong kho sẽ có số cá nhiều hơn số cá trước khi lấy là 8 tấn ?
2.Hiện nay anh 11 tuổi, em 5 tuổi. Hãy tính tuổi mỗi người khi anh gấp 3 lần
tuổi em
3.Trung bình cộng của hai số bằng 14. Biết rằng một phần ba số này bằng một
phần tư số kia. Tìm một số
4.Cho ba số có trung bình cộng bằng 21. Tìm ba số đó, biết rằng số thứ ba gấp 3
lần số thứ hai, số thứ hai gấp 2 lần số thứ nhất
5.Hà, Phương và Hiếu cùng tham gia trồng su hào. Hà và Phương trồng được 46
cây, Phương và Hiếu trồng được 35 cây. Hiếu và Hà trồng được 39 cây. Hỏi mỗi
bạn trồng được bao nhiêu cây su hào ?
6.Một thùng đựng dầu cân nặng cả thẩy 14kg. Người ta đổ ra một phần ba số
dầu trong thùng thì cả thùng và số dầu còn lại nặng 10kg. Tính xem thùng không
có dầu nặng mấy kilôgam ?
7.Giang cùng với mẹ đi tẩu hỏa về quê. Đi được nửa quãng đường thì Giang
chợt ngủ thiếp đi. Lúc thức giấc, Giang hỏi mẹ thì biết rằng còn phải đi một nửa
của quãng đường mà Giang đã ngủ thì mới đến nơi. Hỏi quãng đường mà Giang
ngủ thiếp đi bằng bao nhiêu phần quãng đường phải đi ?
8.Hiệu của hai số bằng 12. Nếu gấp số lớn lên 3 lần thì số mới tạo thành sẽ hơn
số bé 48 đơn vị. Tìm mỗi số đã cho
9.Tổng ba số bằng 74. Nếu lấy số thứ hai chia cho số thứ nhất và lấy số thứ ba

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí

Group: />chia cho số thứ hai thì đều được thương là 2 và dư 1. Tìm mỗi số đó.
10.Hai anh em đi hái nấm. Em hỏi “Anh hái được bao nhiêu nấm rồi ? Có được
nửa chục không ?”. Anh trả lời : “Nếu lấy đi một nửa số nấm của anh rồi cho
anh một cái nấm thì anh sẽ có nửa chục. Thế còn em hái được bao nhiêu nấm ?”.
Em trả lời: “Nếu lấy đi một nửa số nấm của em và lấy thêm một cái nữa thì em
sẽ có nửa chục”.
Hỏi cả hai anh em hái được bao nhiêu nấm ?

§2. Phương pháp rút về đơn vị phương pháp tỉ số
Trong một bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ ( thuận hay nghịch ) người ta
thường cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất và một giá trị của đại lượng
thứ hai. Bài toán đó đòi hỏi phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai.
Để tìm giá trị đó, ở cấp Một có thể sử dụng một trong những phương pháp
thường dùng như phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số …
Ví dụ 1. Có 45m vải may được 9 bộ quần áo như nhau. Hỏi phải dùng bao
nhiêu mét vải loại đó để may được 7 bộ quần áo như thế ?
Phân tích. Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ
nhất ( 9 bộ và 7 bộ ) và một giá trị của đại lượng thứ hai (45m). Ta phải tìm một
giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai ( đó là số mét vải để may 7 bộ quần áo ).
Ta tóm tắt bài toán như sau :
9 bộ : 45m
7 bộ : ?m
Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây :
1 bộ : ?m
7 bộ : ?m
a )Bước một: Tìm xem 1 bộ quần áo hết mấy mét vải ? (của đại lượng thứ hai)
b)Bước hai: Tìm xem 7 bộ quần áo hết mấy mét vải ? (của đại lượng thứ hai)

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Giải
Số mét vải để may một bộ quần áo là :
45 : 9 = 5 (m)
Số mét vải để may một bộ quần áo là
5 x 7 = 35 (m)
Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị. Cách giải theo
phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước :
a)Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng với một giá trị nào của
đại lượng thứ hai ( ở bài toán này thì 1 bộ quần áo ứng với 5m vải ). Để làm việc
này ta có thể thực hiện phép tính chia.
Có bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì có bấy nhiêu lần giá trị tương
ứng ( vừa tìm ) của đại lượng thứ hai. Giá trị này của đại lượng thứ hai chính là
số phải tìm trong bài toán ( ở bài toán này thì 7 bộ quần áo ứng với 35m vải ).
Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính nhân.
Ví dụ 2. Có 50m vải may được 10 bộ quần áo như nhau. Hỏi có 40m vải cùng
loại thì may được mấy bộ quần áo như thế ?
Phân tích. Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ
nhất ( 50m và 40m ) và một giá trị của đại lượng thứ hai ( 10 bộ ).Ta phải tìm
một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai ( đó là số bộ quần áo may được từ
40m vải ).Ta tóm tắt bài toán như sau :
50m : 10 bộ
40m : ? bộ
Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây :
?m : 1 bộ
40m : ? bộ
a)Bước một: Tìm xem một bộ quần áo hết mấy mét vải ? ( của đại lượng thứ
nhất )

b)Bước hai : Tìm mét vải để may 1 bộ quần áo là :

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />50 : 10 = 5 (m)
Số bộ quần áo may được là :
40 : 5 = 8 ( bộ )
Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị. Cách giả này thường
được tiến hành theo hai bước :
a)Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ hai tương ứng với một giá trị nào của
đại lượng thứ nhất ( ở bài toán này thì một bộ quần áo ứng với 5m vải ). Để làm
việc này ta có thể thực hiện phép tính chia
b)So sánh giá trị còn lại của đại lượng thứ nhất với giá trị tương ứng ( vừa tìm )
xem lớn nhỏ gấp mấy lần ( ở bài toán này so sánh 40m và 5m ) . Kết quả này
chính là số phải tìm trong bài toán. Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính
chia
Ví dụ 3. Một xe máy đi 3 giờ được 60km. Hỏi xe đó đi trong 6 giờ được bao
nhiêu ki lô mét ? ( Coi như vận tốc không đổi )
Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau :
3 giờ : 60km
6 giờ : ?km
Bài toán có thể giải theo hai bước sau đây :
a)6 giờ gấp bao nhiêu lần 3 giờ ? suy ra
b)Quãng đường phải tìm gấp bấy nhiêu lần 60km
Giải
So sánh 6 giờ với 3 giờ ta thấy :
6 : 3 = 2 (lần)
Vậy trong 6 giờ xe máy đi được :
60 x 2 = 120 (km)

Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp tỉ số. Cách giải theo phương pháp
này thường được tiến hành theo hai bước :

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />a)So sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất xem số này gấp mấy lần số kia ( ở
bài toán này 6 giờ gấp 2 lần 3 giờ )
b)Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai cũng được tăng ( hoặc giảm ) đúng một số
lần vừa tìm ở bước a, ( ở bài toán này 60km được tăng gấp hai lần ). Kết quả tìm
được chính là số phải tìm trong bài toán
Ngoài cách giải bằng phương pháp tỉ số, bài toán ở ví dụ 3 còn có thể giải
bằng phương pháp rút về đơn vị :
Trong 1 giờ xe máy đi được là :
60 : 3 = 20 (km)
Trong 6 giờ xe máy đi được là :
20 x 6 = 120 (km)
Hoặc giải như sau :
3 giờ = 180 phút
6 giờ = 360 phút
Vì vậy 60km đi hết 180 phút nên đi 1km hết thời gian là :
180 : 60 = 3 ( phút )
Trong 3 phút đi được 1km, do đó trong 360 phút đi được quãng đường là :
360 : 3 = 120 (km)
Ví dụ 4. Xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 36km/ giờ thì hết 4 giờ. Nếu đi từ A
đến B hết 6 giờ thì ô tô đi với vận tốc bao nhiêu km/ giờ ?
Phân tích
Tóm tắt : 4 giờ : 36km/ giờ
6 giờ : ?km/ giờ
Giả sử ô tô đi từ A đến B hết một giờ thì khi đó vận tốc của ô tô là :

36 x 4 = 144 ( km/ giờ )
Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì vận tốc của ô tô là :
144 : 6 = 24 (km/ giờ)

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Bài toán trên đã được giải theo phương pháp rút về đơn vị. Cách giải này cũng
được tiến hành theo hai bước
a)Tìm sự tương ứng giữa một đơn vị của đại lượng thứ nhất với một giá trị của
đại lượng thứ hai ( 1 giờ ứng với 144km/ giờ ) bằng cách thực hiện phép tính
nhân
b)Nhờ sự tương ứng này mà tìm giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai ( 6 giờ
ứng với 24km/giờ ) bằng cách thực hiện phép tính chia
Tuy nhiên, ở tiểu học có thể trình bày bài giải như sau :
Quãng đường từ A đến B dài là :
36 x 4 = 144 (km)
Vận tốc của ô tô là :
144 : 6 = 24 (km/ giờ )
Ngoài phương pháp rút về đơn vị, có thể giải bài toán này theo phương pháp tỉ
số bằng cách lập luận như sau :
Trên cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau. Theo
đầu bài ta vẽ sơ đồ vận tốc của ô tô trong hai lần chạy ( hình 5 ) :

Vận tốc phải tìm của ô tô là :
36 : 6 = 24 (km/ giờ)
Ví dụ 5. Để chuyên chở 39kg hàng hóa trên quãng đường dài 74km phải chi
phí hết 12000 đồng. Hỏi phải chi phí hết bao nhiêu tiền nếu chuyên chở 26kg
trên quãng đường dài 185km ?
(Giá cước chuyên chở tỷ lẹ thuận với khối lượng hàng hóa và đường dài )

Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau :
39kg – 74km – 12000 đồng

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />26 kg – 185km - ? đồng
Ta có thể “tách” bài toán đã cho thành hai bài toán đơn giản hơn và tiến hành
giải liên tiếp hai bài toán đó. Kết quả của bài toán thứ hai chính là đáp số của bài
toán đã cho
Ta tiến hành như sau :
a)Cứ chuyên chở 39kg ( đi 74km ) thì chi phí là 12 000 đồng. Vậy chuyên chở
26kg ( đi 74km ) thì chi phí là :
= 8000 ( đồng )
b)Chuyên chở (26kg) trên đường dài 74km thì chi phí là 8000 đồng. Vậy chuyên
chở (26kg) đi trên đường dài 185km thì chi phí là :
= 20000 (đồng)
Bài tập
11.Mua 6 ngòi bút hết 3000 đồng. Hỏi mua 12 ngòi bút như thế hết bao nhiêu
tiền ?
12.Một người tính rằng nếu mua 15kg gạo thì phải trả 30 000 đồng. Hỏi nếu
người đó trả 6000 đồng thì mua được bao nhiêu kilôgam gạo ?
13.Quãng đường từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm
dài 480 bước. Hỏi quãng đường từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mười dài
bao nhiêu bước, biết rằng khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp đều như nhau ?
14.Một người đi xe máy từ A đến B mỗi giờ đi được 30km thì hết 3 giờ. Khi trở
về từ B đến A người đó đi hết 6 giờ. Hỏi khi trở về mỗi giờ đi được bao nhiêu
kilômét, biết rằng cả lúc đi và về đều không nghỉ ở dọc đường ?
15.Trong kì thi chọn học sinh giỏi người ta thấy rằng cứ 5 bạn thì có hai bạn gái
còn lại là con trai. Hãy tinh xem trong kì thi đó có bao nhiêu bạn gái, biết rằng

có 240 bạn trai tham gia ?
16. Một đơn vị có 45 người đã chuẩn bị đủ gạo ăn trong 15 ngày. Sau 5 ngày

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />đơn vị đó tiếp nhận thêm 5 người nữa. Hãy tính xem số gạo còn lại đủ cho đơn
vị ăn trong bao ngày nữa?
17.Theo dự định thì một đơn vị thanh niên xung phong phải làm xong quãng
đường trong 10 ngày. Ngày hôm sau, vì có 10 người đã chuyển đi nơi khác trong
7 ngày nên đội thanh niên đã phải làm xong quãng đường đó trong 12 ngày. Hỏi
lúc đầu đội thanh niên có bao nhiêu người ?
18.Một đội 15 công nhân dự địng lắp xong một cái máy trong 20 ngày, mỗi ngày
làm việc 8 giờ.Nếu thêm 5 người nữa mà cả đội mỗi ngày làm việc 10 giờ, thì
lắp xong cái máy đó trong bao nhiêu ngày ?
19.Người ta tính rằng cứ 3 ô tô chở hàng, mỗi ô tô đi 50km thì tiền chi phí tất cả
là 120000 đồng. Vậy nếu 5 ô tô như thế, mỗi ô tô đi 100km thì chi phí hết tất cả
bao nhiêu tiền ?
20.Một ô tô chạy từ tỉnh A đến tỉnh B. Nếu chạy mỗi giờ 60km thì ô tô sẽ đến B
vào lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40km thì ô tô sẽ đến B vào lúc 17 giờ cùng
ngày.
a)Hỏi tỉnh A cách tỉnh B bao nhiêu kilômét ?
b)Hãy tính xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu kilômét để đến B
vào lúc 16 giờ ?

§3. Phương pháp chia tỉ lệ
Người ta thường sử dụng phương pháp chia tỉ lệ khi gặp các bài toán đã cho
biết tỉ số của các số và cho biết tổng ( hoặc hiệu ) của các số đó. Nhiều bài toán
về đại lượng tỷ lệ thuận, về đại lượng tỉ lệ nghịch có thể giải được bằng phương
pháp này.

Ví dụ 1a. Nhà trường chia đều 800 quyển vở cho mỗi lớp của khối Năm và
khối Bốn. Hỏi mỗi khối được chia bao nhiêu quyển vở, biết rằng khối Năm có 3
lớp và khối Bốn có 5 lớp ?

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Giải
Số lớp của hai khối Năm và Bốn là :
3 + 5 = 8 ( lớp )
Số vở của mỗi lớp là :
800 : 8 = 100 ( quyển )
Số vở của khối Năm là :
100 x 3 = 300 ( quyển )
Số vở của khối Bốn là :
100 x 5 = 500 ( quyển )
(hoặc 800 – 300 = 500)
Ở bài toán này ta tìm được hai số (là 300 và 500) mà tổng của hai số đó bằng
800 và tỉ số của hai số đó bằng

( vì

) . Bài toán ở ví dụ 1a này chính

là mô hình cụ thể của bài toán được nêu ở ví dụ 1b sau đây
Ví dụ 1b. Hãy chia số 800 thành hai số tỉ lệ thuận với 3 và 5
Phân tích. Bài toán này đòi hỏi ta phải tìm hai số sao cho tổng của hai số đó
bằng 800 và tỉ số của chúng bằng

. Ở Tiểu học co thể hiểu “tỉ số của hai số

bằng ” một cách đơn giản như sau : nếu số thứ nhất gồm có 3 phần bằng nhau
thì số thứ hai gồm có 5 phần như thế. Thông thường ta hay dùng sơ đồ đoạn
thẳng để biểu diễn cụ thể tỉ số của các số
Khi giải bài toán này ta thường tiến hành theo các bước sau đây :
1.Vẽ sơ đồ đoạn thẳng ( hình 6 )

Ở bài toán này ta đã biểu diễn số thứ nhất thành 3 phần bằng nhau và số thứ hai

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />thành 5 phần như thế
2.Tính giá trị của mỗi phần. Muốn vậy ta làm như sau :
Đếm hoặc tính số phần của các số. Ở bài toán này, cả hai số có 8 phần bằng
nhau.
-Lấy tổng các số chia cho số phần đó. Ở bài toán này ta thực hiện phép chia sau :
800 : 8 = 100
3.Tìm từng số. Ở bài toán này ta tìm số thứ nhất như sau :
100 x 3 = 300
Tìm số thứ hai như sau :
100 x 5 = 500
(hoặc : 800 – 300 = 500)
4.Kiểm tra lại cách giải ( không phải yêu cầu bắt buộc )
Ở bài toán này ta thực hiện như sau :
-Tính xem tổng hai số vừa tìm có bằng 800 không ?
300 + 500 = 800 ( đúng )
-Tỉ số hai sơ đồ có bằng

không ?

(đúng)

Nhìn chung, ta không cần ghi lại bước kiểm tra trong việc trình bày bài giải (
trừ trường hợp bắt buộc )
Dưới đây nêu lên hình thức trình bình bài giải
Giải
Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ nhất gồm có 3 phần bằng nhau và số thứ hai gồm
có 5 phần như thế
Cả hai số gồm có 8 phần bằng nhau và bằng 800. Vậy :
Số thứ nhất là :
800 : 8 x 3 = 300

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Số thứ hai là :
800 : 8 x 5 = 500
Chú ý. Ta có thể giải bài toán này theo cách lập luận sau đây :
a)Giả sử ta chọn số thứ nhất là 3 thì số thứ hai là 5 ; khi đó tổng của hai số vừa
chọn bằng 8
b)Bây giờ ta phải gấp số 8 lên bao nhiêu lần để được số 800 ?
800 : 8 =100 (lần)
c)Theo quy tắc nhân một tổng với một số ta phải gấp số 3 lên 100 lần và gấp số
5 lên 100 lần thì ta tính được hai số phải tìm
3 x100 = 300
5 x 100 = 500
Ví dụ 2a. Khối Năm có 2 lớp, khối Bốn có 3 lớp và khối Ba có 5 lớp. Cả ba
khối thu nhặt được 720kg giấy vụn. Hỏi mỗi khối thu được bao nhiêu kilôgam
giấy vụn, biết rằng mỗi lớp thu được số giấy vụn như nhau ?
Giải

Số lớp của cả ba khối là :
2 + 3 + 5 = 10 (lớp)
Số giấy vụn của mỗi lớp là :
720 : 10 = 72 (kg)
Số giấy vụn của khối Năm là :
72 x 2 = 144 (kg)
Số giấy vụn của khối Bốn là :
72 x 3 = 216 (kg)
Số giấy vụn của khối Ba là :
72 x 5 = 360 (kg)
Ở bài toán này ta tìm được ba số ( là 144, 216 và 360 ) mà tổng của ba số đó
bằng 720 và coi rằng số thứ nhất có 2 phần thì số thứ hai có 3 phần và số thứ ba

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />có năm phần bằng nhau
(vì 144 : 72 = 2; 216 : 72 = 3 ; 360 : 72 = 5)
Bài toán này chính là mô hình cụ thể của bài toán được nêu ở ví dụ 2b sau đây
Ví dụ 2b. Hãy chia 720 thành ba số tỉ lệ thuận với 2, 3 và 5
Phân tích. Bài toán này đòi hỏi ta phải tìm ba số sao cho tổng của chúng bằng
720 và nếu số thứ nhất có 2 phần thì số thứ hai có 3 phần, số thứ ba có 5 phần
như thế. Khi giải bài toán này ta cũng tiến hành theo các bước sau đây :

2.Tính giá trị bằng số của mỗi phần ( mỗi đoạn thẳng )
Cả ba số gồm có 10 phần bằng nhau và bằng 720. Vậy mỗi phần bằng :
720 : 10 = 72
3.Tìm từng số
72 x 2 = 144
72 x 3 = 216

72 x 5 = 360
4.Kiểm tra
144 + 216 + 360 = 720

Giải
Cách 1. Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ nhất gồm có 2 phần bằng nhau, số thứ hai
gồm có 3 phần và số thứ ba gồm có 5 phần như thế. Do đó cả ba số gồm có 10
phần bằng 720. Vậy :

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Số thứ nhất là :
720 : 10 x 2 = 144
Số thứ hai là :
720 : 10 x 3 = 216
Số thứ ba là :
720 : 10 x 5 = 360
Chú ý. Ta có thể giải bài toán này theo cách khác
Cách 2. Tiến hành theo các bước sau :
a)Giả sử ta chọn số thứ nhất là 2 thì số thứ hai là 3 và số thứ ba là 5. Khi đó tổng
của ba số vừa chọn là 10
b)Ta phải gấp số 10 lên bao nhiêu lần để được số 720 ?
720 : 10 = 72 ( lần )
c)Gấp từng số mà ta đã chọn lên 72 lần thì tính được các số phải tìm
2 x 72 = 144
3 x 72 = 216
5 x 72 = 360
Cách 3. Ở bài toán này còn có thể giải theo cách lập luận như sau : Theo đầu bài,
nếu số thứ nhất gồm 2 phần bằng nhau thì số thứ hai gồm 3 phần và số thứ ba

gồm 5 phần như thế. Do đó ta thấy số thứ ba bằng tổng hai số kia. Vậy số thứ ba
bằng :
720 : 2 = 360
Tổng các số thứ nhất và số thứ hai bằng 360. Vậy số thứ nhất bằng 360 : 5 x 2 =
144 và số thứ hai bằng 360 – 144 = 216
Ví dụ 3a. Hai đội xe chở gạo : đội thứ nhất có 3 xe và đội thứ hai có 8 xe. Đội
thứ hai chở nhiều hơn đội thứ nhất 100 tạ gạo. Biết rằng mỗi xe chở số gạo như
nhau, hãy tính xem mỗi đội xe chở bao nhiêu tạ gạo ?
Giải
Số xe đội thứ hai hơn đội thứ nhất là :

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />8 – 3 = 5 (xe)
Mỗi xe chở được là :
100 : 5 = 20 (tạ)
Đội thứ nhất chở là :
20 x 3 = 60 (tạ)
Đội thứ hai chở là :
20 x 8 = 160 (tạ)
(hoặc 60 + 100 = 160)
Ở bài toán này ta tìm được hai số (là 60 và 160) mà hiệu của hai số đó bằng
100 và tỉ số của hai số đó bằng

( vì

). Bài toán này là mô hình cụ

thể của bài toán được nêu ở ví dụ 3b sau đây

Ví dụ 3b. Hãy tìm hai số tỉ lệ thuận với 3 và 8 sao cho hiệu của hai số đó bằng
100
Phân tích. Bài toán này đòi hỏi ta phải tìm hai số sao cho hiệu của hai số đó
bằng 100, trong đó số thứ hai có 8 phần bằng nhau thì số thứ nhất có 3 phần như
thế. Khi giải bài toán này ta có thể tiến hành theo các bước sau đây :
1.Vẽ sơ đồ đoạn thẳng ( hình 8 )

2.Tính giá trị của mỗi phần
Số thứ hai hơn số thứ nhất 5 phần bằng nhau , 5 phần đó chính là 100. Vậy mỗi
phần là :
100 : 5 = 20
3.Tìm từng số
Số thứ nhất là :
20 x 3 = 60

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Số thứ hai là :
20 x 8 = 160
(hoặc 60 + 100 = 160)
4.Kiểm tra cách giải
Hiệu của hai số là :
160 – 60 = 100
Tỉ số của hai số là :

Giải
Nhìn trên sơ đồ ta thấy số thứ hai gồm có 8 phần bằng nhau và số thứ nhất
gồm có 3 phần như thế. Số thứ hai nhiều hơn số thứ nhất 5 phần bằng nhau và
bằng 100. Vậy :

Số thứ nhất là :
100 : 5 x 3 = 60
Số thứ hai là :
100 : 5 x 8 = 160
Chú ý. Ta có thể giải bài toán này theo cách lập luận sau đây:
a)Giả sử ta chọn số thứ hai là 8 thì số thứ nhất là 3; khi đó hiệu của hai số vừa
chọn bằng 5
b)Ta phải gấp số 5 lên bao nhiêu lần để được 100 ?
100 : 5 = 20 (lần)
c)Tìm từng số
Số thứ hai là :
8 x 20 = 160
Số thứ nhất là :
3 x 20 = 60
Bài tập

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />21. Cho hai số có tổng bằng 132 và biết số này gấp 21 lần số kia. Tìm hai số đó
22.Một ô tô đi từ A đến B rồi đi đến C dài tất cả là 320km. Hãy tính xem từng
đoạn đường AB, BC dài bao nhiêu kilômét ; biết rằng ô tô đi từ A đến B hết 3
giờ, đi từ B đến C hết 5 giờ và vận tốc không đổi trên đường đi từ A đến C ?
23. Chị Hằng hỏi bố: “Năm nay bố bao nhiêu tuổi ạ” ? Bố trả lời: “Con hãy tính
nhé ! Tổng số tuổi của bố và con bằng 68, tuổi của con bằng

tuổi của bố”. Hãy

tính tuổi của mỗi người.
24.Cho hai số có hiệu bằng 952 và biết số này bằng

số kia. Tìm hai số đó

25.Một cơ quan dự định giao cho 3 tổ xe vận tải chở 150 tấn gạo. Tổ một gồm
các xe chở được 2 tấn mỗi xe, tổ hai gồm các xe chở được 3 tấn mỗi xe, tổ ba
gồm các xe chở được 5 tấn mỗi xe. Hãy tính xem mỗi tổ sẽ chở bao nhiêu tấn
gạo, biết rằng số xe ở mỗi tổ đều bằng nhau
26. Ba khối học sinh Năm, Bốn, Ba cùng nhau thu nhặt được cả thẩy 855kg giấy
vụn, trong đó khối Năm thu được số giấy gấp 3 lần khối Bốn và khối Bốn thu
được số giấy gấp 2 lần khối Ba. Tính số giấy thu được của từng khối lớp
27.Hai bác công nhân Đỗ và Vũ được thưởng 62400 đồng, trong đó
thưởng của bác Đỗ đúng bằng

số tiền

số tiền thưởng của bác Vũ.

Hãy tính số tiền thưởng của từng người
28. Cường và Điệp có cả thẩy 56 tấm ảnh, trong đó
bằng

số ảnh của Cường đúng

số ảnh của Điệp. Hãy tính số ảnh của từng người

29.Ba người thợ thủ công nhận làm một bức tranh sơn mài với số tiền công do
hợp tác xã khoán là 140000 đồng. Theo kế hoạch sau khi người thứ nhất làm
được 7 ngày thì hai người trong nhóm mới tới làm. Cả ba người lĩnh bao nhiêu
tiền, biết rằng tiền công một ngày của mỗi người đều như nhau.

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />30.Ba ô tô đi cả thẩy được 550km. Ô tô thứ nhất đi được quãng đường bằng
quãng đường đi được của ô tô thứ ba, ô tô thứ hai đi được quãng đường bằng
quãng đường của ô tô thứ ba. Hỏi mỗi ô tô đi được bao nhiêu kilômét ?

§4. Phương pháp thay thế
Trong một bài toánn hợp thể phải tìm nhiều số chưa biết. Khi giải bài toán đó
ta có thể tạm thời thay thế một vài số chưa biết bằng một số chưa biết khác, hoặc
nói cách khác, ta biểu diễn một vài số chưa biết này theo một số chưa biết khác.
Lúc đó những số chưa biết này được thay đổi để bằng một số chưa biết đó. Dựa
vào các điều kiện của bài toán ta tìm giá trị của số chưa biết đó, rồi từ giá trị mới
tìm này mà tìm tiếp các số chưa biết còn lại của bài toán
Ví dụ 1. Hai lớp 5A và 5B trồng được tất cả 345 cây. Lớp 5B trồng được nhiều
hơn lớp 5A là 25 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây ?
Phân tích. Ở bài toán này có hai số phải tìm là số cây của lớp 5A và số cây của
lớp 5B. Nếu ta bớt đi 25 cây của lớp 5B thì số cây còn lại của lớp 5B đúng bằng
số cây của lớp 5A, khi đó tổng số cây trồng của hai lớp sẽ còn lại là :
320 : 2 = 160 (cây)
số cây của lớp 5B là :
160 + 25 = 185(cây)
Qua cách giải này thấy rằng ta đã tạm thời thay thế số cây của lớp 5B bằng số
cây của lớp 5A (bằng cách bớt đi số cây chênh lệch giữa hai lớp là 25 cây). Hay
nói một cách khác, ta đã biểu diễn số cây của lớp 5B (là số phải tìm) theo số cây
của lớp 5A (cũng là số cây phải tìm) bằng cách bớt ở lớp 5B 25 cây
Trên thực tế ta có thể giải và trình bày như sau :
Giải
Cách 1.

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />
Giả sử bớt 25 cây của lớp 5B thì số cây của hai lớp bằng nhau, do đó tổng số
cây trồng của hai lớp sẽ là :
345 – 25 = 320 ( cây )
Số cây của lớp 5A là :
320 : 2 = 160 ( cây )
Số cây của lớp 5B là :
160 + 25 = 185 ( cây )
Tương tự như trên, ta có thể biểu diễn số cây của lớp 5A theo số cây của lớp
5B bằng cách cộng thêm 25 cây vào số cây của lớp 5A
Cách 2.

Giả sử lớp 5A trồng thêm 25 cây nữa thì số cây của hai lớp bằng nhau, do đó
tổng số cây trồng của hai lớp sẽ là :
345 + 25 = 370 ( cây )
Số cây của lớp 5B là :
370 : 2 = 185 ( cây )
Số cây của lớp 5A là :
185 – 25 = 160 ( cây )
Ví dụ 2. Ba lớp 5A, 5B và 5C có 126 học sinh, trong đó lớp 5A ít hơn 5B là 4
học sinh, lớp 5B ít hơn lớp 5C là 10 học sinh. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học
sinh?

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Phân tích. Ở bài toán này có ba số phải tìm là số học sinh lớp 5A, số học sinh

lớp 5B, số học sinh lớp 5C. Nếu ta lấy ra 4 học sinh ở lớp 5b và lấy ra 14 học
sinh ở lớp 5C thì lúc đó số học sinh ở ba lớp sẽ bằng nhau và bằng số học sinh
lớp 5A. Từ đó tính được số học sinh 5A ; sau khi tính được số học sinh lớp 5A
thì dễ dàng tính được số học sinh lớp 5B và 5C.
Giải
Cách 1.

Theo đầu bài, lớp 5C hơn lớp 5A là :
4 + 10 = 14 ( học sinh )
Giả sử ta lấy ra 4 học sinh lớp 5B và lấy ra 14 học sinh lớp 5C thì số học sinh
còn lại của hai lớp này đều bằng số học sinh của lớp 5A. Khi đó tổng số học sinh
còn lại là :
126 – 4 – 14 = 108 (học sinh)
Số học sinh lớp 5A là :
108 : 3 = 36 (học sinh)
Số học sinh lớp 5B là :
36 + 4 = 40 (học sinh)
Số học sinh lớp 5C là :
36 + 14 = 50 (học sinh)
Tương tự như trên, ta có các cách giải sau :
Cách 2.

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />
Giả sử ta thêm 14 học sinh vào lớp 5A và thêm 10 học sinh vào lớp 5B thì số
học sinh của mỗi lớp đó sẽ bằng số học sinh của lớp 5C. Khi đó tổng số học sinh
sẽ là :
126 + 14 + 10 = 150 (học sinh)

Số học sinh lớp 5C là :
150 : 3 = 50 (học sinh)
Số học sinh lớp 5B là :
50 – 10 = 40 (học sinh)
Số học sinh lớp 5A là :
50 – 14 = 36 (học sinh)
Cách 3.

Giả sử ta lấy ra 10 học sinh lớp 5C rồi chuyển 4 bạn trong đó sang lớp 5A thì
số học sinh của lớp 5A và 5C đều bằng số học sinh lớp 5B. Khi đó tổng số học
sinh còn lại là :
4 + 126 – 10 = 120 (học sinh)
Số học sinh lớp 5B là :
120 : 3 = 40 (học sinh)
Số học sinh lớp 5C là :
40 + 10 = 50 (học sinh)

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí


Group: />Số học sinh lớp 5A là :
40 – 6 = 36(học sinh)
Ví dụ 3. Cô giáo mua cho lớp em một số sách Toán 5, mỗi quyển giá 3000
đồng và một số sách Bài tập toán 5 mỗi quyển giá 5000 đồng. Số sách toán mua
nhiều hơn sách bài tập là 12 quyển nhưng số tiền mua mỗi loại sách đó đều như
nhau. Hỏi cô giáo đã mua cho lớp bao nhiêu quyển sách mỗi loại ?
Phân tích. Ở bài toán này có hai số phải tìm là số sách bài tập và số sách toán.
Giả sử mua thêm 12 quyển sách bài tập nữa thì số sách hai loại bằng nhau ( và
bằng số sách toán ). Khi đó số tiền mua sách toán sẽ ít hơn số tiền mua sách bài
tập là 5000 x 12 = 60000 (đồng) ; đồng thời đã biết giá tiền 1 quyển sách toán ít

hơn giá tiền 1 quyển sách bài tập là 5000 – 3000 = 2000 (đồng), nên từ hai hiệu
đó tính được số sách toán phải tìm rồi từ đó tính được số sách bài tập phải tìm
rồi từ đó tính được số sách bài tập phải tìm
Giải
Giả sử mua thêm 12 quyển bài tập nữa thì số tiền mua sách toán sẽ ít hơn số tiền
mua sách bài tập là :
5000 x 12 = 60000 (đồng)
Giá tiền một quyển sách Toán ít hơn một quyển bài tập là:
5000 – 3000 = 2000 (đồng)
Số sách Toán mua là :
60000 : 2000 = 30 (quyển)
Số sách bài tập mua là :
30 – 12 = 18 (quyển)
Tương tự như trên ta có thể giải theo cách sau đây :
Giả sử bớt đi 12 quyển sách toán thì số tiền mua sách bài tập sẽ nhiều hơn số
tiền mua sách toán là :
3000 x 12 = 36000 (đồng)
Giá tiền 1 quyển bài tập nhiều hơn 1 quyển toán là :

Học 360.net – Tài liệu học tập , bài giảng miễn phí