Đột phá tư duy giải nhanh trắc nghiệm hình học không gian

GI ÁO D
Đ

C LÀ V

I CẢ TH

K H M Ạ N H N H ẤT M À N G

GI

I TA C

TH

S

D

NG Đ

T H AY

I.

N.MANDELA

H

C VẤ N D O N G

H

U, QUY N L

L

I S I N G N Ă N G Đ ẠT Đ
I DO NG

N G T H I N X ÂY D

ID

C , TÀ I S Ả N D O N G

NG CẢM NẮM GI

, THI N Đ

I TINH T

S

NG DO NG

I

C H T P H Ả I P H ÁT T R I N G I Á O D

C.

NG.

FRANKLIN (M )

MU
MU

N X ÂY D

N TR N

CHI U LẬP H

N G Đ ẤT N
C, PHẢI TR

C

C, TR
NG D

NG NG

I TÀ I



L C TR TUY N

Đ T PHÁ T DUY GIẢI
NH A N H T R ẮC N G H I M
H NH H

C KH

N H À X U ẤT B Ả N D Â N T R

NG GIAN


Bản quy n © 2018 Thầy L c Tr Tuy n

:/ /

.

.

/

Đi u khoản bản quy n theo luật s h u tr tu s 50/2005/QH11; bạn kh ng đ c ph p sao ch p tài li u
này ngoại tr s cho ph p c a tác giả. Bạn c th t m hi u th m v luật bản quy n tại .
gov.vn. Ngoại tr s cho ph p c a tác giả, m i hành vi
,
,
đ u
vi phạm bản quy n theo luật bản quy n.
Xuất bản lần đầu, Tháng 10 năm 2018

M cl c

1 KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N
1.1 Đại c ng v kh i đa di n . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Kh i đa di n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 C bản v ph p bi n h nh trong kh ng gian
1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u . . . . . . . . .
1.1.4 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Th t ch kh i đa di n . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Làm ch h nh v kh i ch p và lăng tr
. . .
1.2.2 T nh th t ch kh i ch p . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Th t ch kh i lăng tr
. . . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch . . . . . . . . . . .
1.2.7 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Bài toán c c tr và bài toán th c t . . . . . .
1.2.9 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Khoảng cách và g c . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 G c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

9
9
9
11
14
17
18
18
24
38
39
43

44
51
52
61
62
62
71
72
89

2 Kh i tr n xoay
2.1 Kh i n n và kh i tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Đ nh ngh a và m t s thi t di n c bản . . . . . . . . . .
2.1.2 Th t ch và di n t ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mặt cầu và kh i cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Đ nh ngh a và các v tr t ng đ i . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Th t ch kh i cầu và di n t ch mặt cầu . . . . . . . . . . .
2.2.3 Xác đ nh tâm và bán k nh kh i cầu ngoại ti p . . . . . .
2.2.4 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Th t ch l n nhất nh nhất và toán th c t đ i v i kh i tr n xoay
2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c . . . .
2.3.2 M t s v d v trải h nh và t nh toán th c t . . . . . . .
2.3.3 Bài tập áp d ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

90
90
90
93
100
101
101
104
105
110
111
111
114
117

Tra c u theo vần

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

119



Ch

L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

ng 1

KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N

1.1 Đại c

ng v kh i đa di n

1.1.1 Kh i đa di n
M c này gi i thi u các ki n th c đại c ng v kh i đa di n n n các khái ni m đ c t ng h p
lại trong Sách giáo khoa C bản H nh h c 12 [3] nhằm th ng nhất các khái ni m trong ch ng
tr nh.
Đ nh ngh a 1.1.1: H nh đa di n
H nh đa di n (H ) (g i tắt là đa di n) là h nh đ

th a mãn đ ng th i ba đi u ki n:

c tạo b i m t s h u hạn các đa giác

• Hai đa giác phân bi t ch c th hoặc kh ng giao nhau, hoặc ch c m t đ nh chung,
hoặc ch c m t cạnh chung.
• M i cạnh c a đa giác nào c ng là cạnh chung c a đ ng hai đa giác.
• V i hai mặt S, S ′ bất k lu n t n tại m t dãy các mặt S0 , S1 , ..., Sn sao cho S0 ≡ S,
Sn ≡ S ′ và bất k hai mặt li n ti p nào trong dãy này đ u c m t cạnh chung.
M i đa giác nh th đ c g i là m t mặt c a h nh đa di n (H ). Các đ nh, cạnh c a các
đa giác ấy theo th t g i là các đ nh, cạnh c a h nh đa di n (H ).
Đ nh

Cạnh

Mặt
Đ nh ngh a 1.1.2: Kh i đa di n
Kh i đa di n là phần kh ng gian đ
đ .

c gi i hạn b i m t h nh đa di n, k cả h nh đa di n

9


L c Tr Tuy n

M i đa di n (H ) chia các đi m c n lại c a kh ng gian thành hai mi n kh ng giao nhau:
mi n trong và mi n ngoài c a (H ). Trong đ ch c duy nhất mi n ngoài là ch a hoàn toàn
m t đ ng thẳng nào đấy.

Các đi m thu c mi n trong đ c g i là các đi m trong, các đi m thu c mi n ngoài đ c g i là
các đi m ngoài c a (H ).
Kh i đa di n (H ) (lấy c ng t n v i h nh đa di n) là h p c a h nh đa di n (H ) và mi n trong
c an .
d

Mi n ngoài

Đi m trong
N

Đi m ngoài

M

V d 1.1.1
Các h nh d

i đây là các kh i đa di n:

V d 1.1.2
Các h nh d

i đây kh ng phải là các kh i đa di n:

a)
10

b)

c)

d)


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

H nh a) kh ng là kh i đa di n do c m t cạnh (tr n c ng) kh ng là cạnh chung c a hai mặt.
Đi u này vi phạm đi u ki n th hai trong Đ nh ngh a 1.1.1.
H nh b) kh ng là kh i đa di n do c m t mặt phẳng ch a m t đ nh c a các mặt khác. Khi đ ,
mặt phẳng này giao v i mặt phẳng khác nh ng lại kh ng c đ nh chung c ng kh ng c cạnh
chung. Đi u này vi phạm đi u ki n m t trong Đ nh ngh a 1.1.1.
H nh c) kh ng là kh i đa di n do c m t cạnh là cạnh chung c a b n mặt. Đi u này vi phạm
đi u ki n hai trong Đ nh ngh a 1.1.1.
H nh d) kh ng là kh i đa di n do vi phạm đi u ki n th ba trong Đ nh ngh a 1.1.1.
1.1.2 C bản v ph p bi n h nh trong kh ng gian
Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh
Ph p bi n h nh trong kh ng gian là m t quy tắc F mà v i m i đi m M trong kh ng gian,
th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t và ch m t đi m M ′ . Đi m M ′ đ c g i là ảnh
c a đi m M qua ph p bi n h nh F , k hi u là M ′ = F (M ).
→
V d 1.1.3: Ph p t nh ti n theo vect −
v
−
→
v

Là quy tắc: M i đi m M bi n thành đi m M ′
−−−→ →
sao cho M M ′ = −

v .
−−−→′ −
→
′
→
K hi u, T−
v : M → M ⇔ MM = v .

M′

M

V d 1.1.4: Ph p đ i x ng qua mặt phẳng (P )
Là quy tắc: M i đi m M bi n thành
ch nh n n u M ∈ (P ) và bi n thành M ′
sao cho (P ) là mặt phẳng trung tr c c a
M M ′ n u M kh ng thu c (P ) .
N u ph p đ i x ng qua mặt phẳng (P )
bi n h nh H thành ch nh n th (P ) đ c
g i là mặt phẳng đ i x ng c a H .

M

H
(P )

M′

V d 1.1.5: Ph p đ i x ng tâm O
Là quy tắc: Bi n O thành ch nh n , bi n m i đi m M ̸= O

thành M ′ sao cho O là trung đi m c a M M ′ .
N u ph p đ i x ng tâm O bi n h nh H thành ch nh n th
O đ c g i là tâm đ i x ng c a H .

M

O

M′

11


L c Tr Tuy n

V d 1.1.6: Ph p đ i x ng qua đ

ng thẳng ∆

Là quy tắc: Bi n m i đi m thu c ∆
thành ch nh n và bi n m i đi m M
kh ng thu c ∆ thành M ′ sao cho ∆ là
trung tr c c a M M ′ .
N u ph p đ i x ng tr c ∆ bi n h nh H
thành ch nh n th ∆ đ c g i là tr c đ i
x ng c a h nh H .

∆
H

M

M′

Đ nh ngh a 1.1.4: Ph p d i h nh và hai h nh bằng nhau
• Ph p bi n h nh F đ c g i là m t ph p d i h nh n u v i hai đi m M, N bất k , g i
M ′ , N ′ lần l t là ảnh c a M, N qua ph p bi n h nh F , ta c M ′ N ′ = M N.
V d : Các ph p t nh ti n, đ i x ng qua mặt phẳng, đ i x ng tâm, đ i x ng qua đ ng
thẳng là các ph p d i h nh.
Ch : Th c hi n li n ti p các ph p d i h nh s đ c m t ph p d i h nh. H n n a,
ph p d i h nh bi n h nh H thành h nh H ′ th bi n m i đ nh, cạnh, mặt c a H t ng
ng thành đ nh, cạnh, mặt c a H ′ .
• Hai h nh đa di n đ c g i là bằng nhau n u c m t ph p d i h nh bi n h nh đa di n
này thành h nh đa di n kia.
V d 1.1.7
→
Ph p t nh ti n vect −
v bi n đa di n (H ) thành đa di n H ′ , ph p đ i x ng tâm O bi n
đa di n (H ′ ) thành đa di n (H ′′ ). Khi đ , ph p d i h nh c đ c bằng cách th c hi n
→
li n ti p ph p t nh ti n vect −
v và ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ) thành đa di n
′′
(H ). Do đ , các đa di n (H ), (H ′ ) và (H ′′ ) bằng nhau.

−
→
v
O
(H ′ )

(H )

12

(H ′′ )


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

Đ nh ngh a 1.1.5: Ph p v t và ph p đ ng dạng
• Ph p v t tâm O t s k ̸= 0 là quy tắc bi n m i đi m M thành đi m M ′ sao cho
−−−→′
−−→
OM = k OM
N′
N
O

M′

M

• Ph p bi n h nh F đ c g i là ph p đ ng dạng t s k > 0 n u F bi n hai đi m M, N
bất k thành hai đi m M ′ , N ′ sao cho M ′ N ′ = k.M N .
V d : Ph p v t tâm O t s k ̸= 0 là ph p đ ng dạng t s |k|.

C
: Ph p đ ng dạng t s k > 0 bi n kh i đa di n (H ) thành kh i đa di n (H ′ ) th t s
th t ch c a (H ′ ) và (H ) bằng k 3 (lập ph ng t s đ ng dạng). Ch

này rất h u ch cho các
bài toán v t l th t ch các phần sau.
V d 1.1.8
Cho t di n ABCD. G i A′ là tr ng tâm c a tam giác BCD. Các đ ng thẳng qua A′
lần l t song song v i AB, AC, AD lần l t cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC)
tại B ′ , C ′ , D′ . Ch ng minh rằng t di n ABCD và A′ B ′ C ′ D′ đ ng dạng.
H

ng dẫn

G i M là trung đi m c a CD. Do A′ là
BA′
2
tr ng tâm tam giác BCD n n
= .
BM
3
AB ′
BA′
′
′
=
(Ta-let)
Do A B ∥ AB n n
BM
AM
′
2
AB
= . Vậy B ′ c ng là tr ng tâm

⇒
AM
3
c a tam giác ACD.
D′
T ng t , C ′ , D′ c ng là tr ng tâm c a
B
tam giác ABD và tam giác ABC.
Trong tam giác ABM , g i G = AA′ ∩
BB ′
AG
BG
AB
⇒
=
= ′ ′ (Ta-let).
C
GA′
GB ′
AB
AB
AM
AG
BG
Mặt khác, ′ ′ = ′
= 3. Vậy
=
= 3. T
′
AB

BM
GA
GB ′

A

C′

B′

G

D
A′

ng t

M

CG
BG
=
= 3.
′
GC
GB ′
13


L c Tr Tuy n

−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
Do các cặp vect (GA, GA′ ), (GB, GB ′ ), (GC, GC ′ ) ng

ch

ng n n ta c

−−→ −−→
−−→ −−→
−−→
−→
GA = −3GA′ , GB = −3GB ′ , GC = −3GC ′ .

Vậy ph p v t tâm G t s k = −3 bi n t di n A′ B ′ C ′ D′ thành t di n ABCD. Do đ
hai t di n ABCD đ ng dạng v i t di n A′ B ′ C ′ D′ theo t s 3.

1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u
T
THP T , đ i t ng ch y u c a h nh
kh ng gian là các kh i đa di n l i và đi t nh các y u t li n quan
c a n nh th t ch, g c hay khoảng cách. Nh ng tr c khi đi
vào các kh i h nh c th , ta cần phân bi t đ c kh i đa di n l i
v i các kh i kh ng l i và nắm đ c c bản các đặc đi m c a các
kh i đa di n đ u.
Đ nh ngh a 1.1.6: Kh i đa di n l i
Kh i đa di n (H ) đ c g i là kh i đa di n l i n u
đoạn thẳng n i hai đi m bất k c a (H ) lu n thu c
(H ). Khi đ h nh đa di n t ng ng đ c g i là đa
di n l i.

V d : Các kh i ch p tam giác (t di n), kh i ch p
đa giác l i, kh i h p là nh ng kh i đa di n l i.
Ch : Kh i da di n là l i khi và ch khi mi n trong
c a n lu n nằm v m t n a kh ng gian chia b i m t
mặt bất k c a n .

Đ nh ngh a 1.1.7: Kh i đa di n đ u loại {p; q}
Kh i đa di n đ u loại {p; q} là kh i đa di n l i th a mãn đ ng th i hai t nh chất:
• M i mặt c a n là m t đa giác đ u p cạnh (c ng là p đ nh).
• M i đ nh c a n là đ nh chung c a q mặt (c ng là q cạnh).

N
{5; 3} và {3; 5}. C th đ
14

ch c năm kh i đa di n đ u g m các loại {3; 3}, {4; 3}, {3; 4},
c t m tắt bảng sau.


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

T n (n =s mặt)

Loại

S đ nh

S cạnh

S mặt phẳng

đ i x ng

{3; 3}

4

6

6

{4; 3}

8

12

9

{3; 4}

6

12

9

{5; 3}

20

30

15

{3; 5}

12

30

15

T di n đ u (n = 4)

Kh i lập ph
(n = 6)

ng

Bát di n đ u (n = 8)

Thập nh di n đ u
(n = 12)

Nh thập di n đ u
(n = 20)
15


L c Tr Tuy n

L

, ta c th t nh s đ nh và s cạnh c a kh i đa di n đ u n mặt loại {p; q} nh sau

S cạnh =

n×p
;
2

S đ nh =

n×p
q

N
, m t s đặc đi m khác c a kh i đa di n đ u c ng đ c quan tâm nh s tr c đ i
x ng, g c nh di n gi a hai mặt k , g c tâm mặt cầu ngoại ti p chắn b i m t cạnh, th t ch, bán
k nh kh i cầu ngoại ti p. Chẳng hạn, kh i t di n đ u c 3 tr c đ i x ng là các đ ng đi qua
trung đi m c a hai cạnh đ i di n; kh i lập ph ng c 9 tr c đ i x ng bao g m: 3 đ ng đi qua
tâm hai mặt đ i di n, 6 đ ng đi qua trung đi m c a hai cạnh đ i di n; kh i bát di n đ u c ng
c 9 tr c đ i x ng bao g m: 3 đ ng đi qua hai đ nh đ i di n, 6 đ ng đi qua trung đi m c a
hai cạnh đ i di n. Vi c đ m s tr c đ i x ng c a kh i m i hai (thập nh ) mặt đ u và hai m i
(nh thập) mặt đ u ph c tạp và kh h nh dung h n nhi u n n cu n sách này kh ng đ cập đây.
Đ nh ngh a 1.1.8: Nh di n và g c nh di n
Nh di n là h nh h p b i hai n a mặt phẳng c chung b là gia tuy n c a ch ng.
Cho nh di n (P ) và (Q) c giao tuy n d. T I ∈ (P ) và J ∈ (Q) v i I, J ∈
/ d hạ
−→ −−→

IH⊥d; JK⊥d th g c (HI, KJ) g i là g c nh di n [(P ), d, (Q)].
Nh vậy, s đo g c nh di n c th t và bằng hoặc b v i s đo g c gi a (P ) và (Q).
G i α là g c phẳng nh di n tạo b i m t cạnh bất k
c a kh i đa di n đ u và hai mặt b n k v i cạnh đ , β
là g c tâm kh i cầu ngoại ti p c a đa di n (c bán
k nh R) chắn b i m t cạnh bất k (xem H nh 1.1).
N u nắm đ c s đo các g c này th ta c th d
dàng t nh toán đ c các y u t khác c a kh i đa di n.
Bảng d i đây ch ra m t s đặc đi m c bản khác
c a các kh i đa di n đ u bao g m s đo các g c α và
β. Chi ti t xem th m tại [4].

O
R

β
α

T di n đ u
Lập ph

ng

Bát di n đ u
M

i hai mặt đ u

Hai m
16

i mặt đ u

Di n t ch
m t mặt
√
3
4
1
√
3
4
√
1√
25 + 10 5
4
√
3
4

B

A

H nh 1.1: G c nh di n và g c

Kh i đa di n đ u
cạnh 1

R

Th t ch
√
2
12
1
√
2
3
√ )
1(
15 + 7 5
4
√ )
5 (
3+ 5
12

G c nh di n
m t cạnh: α
1
cos α =
3
π
α=
2
1
cos α = −
√3
5

cos α = −
√5
5
cos α = −
3

tâm c a đa di n đ u

G c tâm cầu
chắn 1 cạnh: β
1
cos β = −
3
1
cos β = −
3
π
β=
2√
5
cos β =
√3
5
cos β =
5


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

1.1.4 Bài tập áp d ng

17


L c Tr Tuy n

1.2 Th t ch kh i đa di n
M
cu n sách gi i thi u v i đ c giả ph ng pháp ti p
cận m i trong vi c t nh th t ch kh i ch p và kh i lăng tr mà
đ i v i nh ng h c sinh hạn ch v t ng t ng h nh kh ng gian
vẫn c th d dàng vận d ng đ c. Đ làm đ c đi u này, h c
sinh tr c h t phải bi t v h nh (làm ch h nh v ) và xác đ nh
đ c các y u t c bản c a h nh.
Đ
, đ i v i h nh th c thi và làm bài trắc nghi m th ngoài
y u t nắm r ph ng pháp giải toán h c sinh cần phải t nh toán
nhanh ra đáp s . Ch nh v vậy, nh ng y u t c t nh chất quen
thu c, lặp lại nhi u lần trong quá tr nh giải bài n n đ c h c
thu c m t cách h th ng.

đây ta k hi u Rđ là bán k nh đ ng
tr n ngoại ti p đáy c a các kh i ch p
hoặc lăng tr , S(ABC) là di n t ch tam
giác ABC và các quy c v đ dài cạnh,
đ ng cao đ ng trung tuy n, n a chu
vi lần l t là a, b, c, ha , ma , p nh th ng
l .

1.2.1 Làm ch h nh v kh i ch p và lăng tr

Đáy là tam giác đặc bi t: T m tắt đặc đi m c bản
Tam giác đ u
√cạnh bằng a
3
Đ ng cao:
a.
2
√
3 2
Di n t ch:
a .
4
a
Bán k nh đ ng
tr n √ngoại ti p:
3
a.
Rđ =
3

√

3
2 a

Tam giác vu ng cân cạnh b n bằng a
√
Cạnh huy n: 2a.
1
Di n t ch: a2 .

√
2
a 2
a
Bán k nh đ ng
tr n √ngoại ti p:
2
Rđ =
a.
a
2

Tâm ngoại ti p c ng là tr ng tâm.

Tâm ngoại ti p là trung đi m cạnh huy n
(chung cho m i tam giác vu ng).

Tam giác vu ng c g c bằng 60◦

Tam giác cân g c 120◦

60◦

a

1
2

a

2a

√

3
2 a

a
√
Di n t ch =
18

đ nh
120◦

a
2

√
3a

1√ 2
3a ; Rđ = a.
2

Rđ = a; đ

a

3a

√
a
3 2
ng cao = ; di n t ch:
a .
2
4


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

Đáy là t giác đặc bi t: T m tắt đặc đi m c bản
Đáy là h nh vu ng
a

Đáy là h nh ch nhật
b
a

Di n t ch =

a2 ;

Rđ =

1√ 2
a + b2 .
2
ng tr n ngoại ti p là tâm đáy.

Di n t ch = ab; Rđ =

45◦

√

Tâm đ

2
a.
2

Đáy là h nh thoi c g c 60◦

Đáy là h nh thang vu ng c đáy l n gấp 2
đáy nh và đ ng cao

a
60◦

a
Đ
Đ

ng ch o ngắn = a.
√
ng ch o dài = 3a.
3 2
√

3 2 Di n t ch = 2 a . H nh gh p b i h nh vu ng
1
Di n t ch = t ch hai đ ng ch o =
a .
và tam giác vu ng cân. Kh ng c đ ng
2
2
Kh ng c đ ng tr n ngoại ti p.
tr n ngoại ti p.

H th c l

ng trong tam giác

Tam giác vu ng
A

Tam giác th
A

ng

c
ma
B

H

C
BA2

BH
=
.
BH.BC = BA2 ⇒
BC
BC 2
1
1
1
=
+
.
AH 2
AB 2 AC 2
AH.BC = AB.AC = 2S(ABC).
AC
AH
AB
tan B =
=
. cos B =
, v.v...
AB
BH
BC

b

aM

B

C

+ c2 a2
+ −
; m2a =
− .
cos A =
2bc
2
4
a
b
c
=
=
= 2Rđ .
sin A
sin B
sin C
1
1
S(ABC) = bc sin A = a.ha
2
2
√
= p(p − a)(p − b)(p − c) = pr.
b2

c2

a2

b2

19


L c Tr Tuy n

N
, trong m t s t tr ng h p ta gặp phải đáy là h nh b nh hành hoặc n a l c giác đ u.
Khi đ , m t s đặc đi m quan tr ng c a các h nh này c ng cần đ c ghi nh .
Đáy là h nh b nh hành hoặc n a l c giác đ u
H nh b nh hành bi t g c-cạnh-g c

N a l c giác đ u hay h nh thang cân

60◦

a
a
α
b
Di n t ch = ab sin α, đây α ̸= 90◦ .
Kh ng c đ ng tr n ngoại ti p.
√
Đ ng ch o ngắn = a2 + b2 − 2ab cos α.

√
Đ ng ch o dài = a2 + b2 + 2bc cos α.

√
3 3 2
Di n t ch =
a ; Rđ = a.
4
H nh đ c gh p b i 3 tam giác đ u và
đ ng tr n ngoại ti p nhận đáy l n là
đ ng k nh.

K
bản chất nh nhau trong quá tr nh v h nh c ng nh t nh toán.
Chẳng hạn, cho lăng tr ABC.A′ B ′ C ′ c h nh chi u c a A′ l n mặt phẳng (ABC) là H (tại v tr
nào đ tr n đáy mà bài toán cho bi t tr c). Khi đ , ta ch cần làm vi c v i h nh ch p A′ .ABC
là đ đ t nh toán m i th ng s c a h nh lăng tr ABC.A′ B ′ C ′ . Do đ , h c sinh ch cần nắm
chắc các tr ng h p xác đ nh đ ng cao đ i v i h nh ch p (xem H nh 1.2).
A′

A′

C′

B′

A

A
C

C
H
B

H
B
H nh 1.2: Quy h nh lăng tr v h nh ch p

M
, bài toán kh ng cho ch nh xác v tr chân đ ng cao H ngay t đầu,
ta ch cần g i H là m t v tr nào đ d i đáy đ t đ khai thác các th ng tin v H d a vào các
giả thi t. Nh ng bài toán dạng này đ c x p vào bài toán m c đ vận d ng tr l n.
20


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

Đ
bài toán cho th ng tin v đ
th r i vào m t trong b n tr ng h p d i đây.
B n tr

ng cao c a kh i ch p (lăng tr ) mà đ u c

ng h p c bản xác đ nh

Cạnh b n vu ng g c v i đáy
Chẳng hạn: S.ABCD c SA⊥(ABCD)
S

D

A

Hai mặt c ng vu ng g c v i đáy
Chẳng hạn: S.ABC c (SIA), (SIB)⊥(ABC)
v i I là đi m xác đ nh tr c
S

A

C
I

C
B

B

Đ ng cao ch nh là cạnh b n.
Đ ng cao là giao tuy n SI c a hai mặt
Đặc bi t: Kh i lăng tr đ u là lăng tr đ ng này.
và đáy là đa giác đ u.
M t mặt vu ng v i đáy
Chẳng hạn: S.ABCD c (SAB)⊥(ABCD)
S

A

Cạnh b n bằng nhau
Chẳng hạn: S.ABC c SA = SB = SC.
S

C

D
A

H
B

O
C

B
Đ ng cao ch p ch nh là đ ng cao t S
đ n AB c a tam giác SAB.
Chân đ ng cao tr ng v i tâm đ ng tr n
Đặc bi t: N u ∆SAB cân tại S th H là ngoại ti p O c a đáy.
trung đi m AB.
Đặc bi t: N u th m đi u ki n đáy là đa giác
đ u ta c kh i ch p đ u.

21


L c Tr Tuy n

G

trong kh ng gian s đ c tr nh bày sâu h n trong m c 1.3. Tuy nhi n,
đ h tr các t nh toán li n quan trong các bài toán t nh th t ch kh i đa di n, m c này s tr nh
bày nh ng khái ni m c bản và cách xác đ nh g c c ng nh khoảng cách trong tr ng h p đ n
giản nhất.
Đ nh ngh a 1.2.1: Đ nh ngh a g c gi a đ
G c gi a đ

ng thẳng và mặt phẳng
d
M

φ
(P )

I

d′
H

G c gi a hai mặt phẳng
(Q)
M

φ
(P )

H

I

ng v i mặt phẳng và g c gi a hai mặt phẳng
G c gi a đ ng thẳng d và mặt phẳng (P ),
k hi u là φ = (d, (P )) là g c (d, d′ ) (g c
gi a hai đ ng d và d′ ) v i d′ là h nh chi u
c a d l n (P ).
d(M, (P ))
Cách t nh ph bi n: sin φ =
,
MI
v i M là đi m bất k tr n (P ) và d(M, (P ))
k hi u cho khoảng cách t M đ n (P ). I
là giao đi m c a đ ng thẳng d v i mặt
phẳng (P ).
G c gi a hai mặt phẳng (P ) và (Q), k hi u
là φ = ((P ), (Q)), là g c gi a d và d′ v i d, d′
lần l t là hai đ ng thẳng vu ng g c v i
(P ) và (Q). Tuy nhi n, th ng d ng g c
gi a hai mặt phẳng nh h nh b n thay cho
đ nh ngh a.
Cách t nh ph bi n: Lấy đi m M bất k tr n
(Q). Chi u vu ng g c M I l n giao tuy n
c a hai mặt phẳng. Chi u vu ng g c M H
d(M, (P ))
l n (P ). Khi đ sin φ =
.
MI

Đ
trong các bài toán t nh th t ch, tr c h t h c sinh cần
nắm v ng hai loại g c c bản: g c gi a cạnh b n và đáy và g c gi a mặt b n và đáy.

m c
tr n, h c sinh đã làm ch đ c b n tr ng h p c bản xảy ra c a đ ng cao trong m t h nh
ch p (t ng t đ i v i h nh lăng tr ). Đi u đ c ngh a rằng ch ng ta đã làm ch đ c v tr
chân đ ng cao H nằm tr n mặt phẳng đáy. V vậy, áp d ng Đ nh ngh a 1.2.1 ta d dàng xác
đ nh đ c hai loại g c c bản này.
Đ
ta c ng gặp phải m t s bài toán li n quan đ n khoảng cách m c đ c bản. Khi đ ,
đ ch đ ng trong t nh toán h c sinh cần nắm đ c cách xác đ nh khoảng cách c bản nhất.
22


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

Hai loại g c c bản
G c gi a cạnh b n (cạnh xi n) và đáy
S

A

φ

G c gi a mặt b n (mặt xi n) và đáy
S

A
φ

H

H

I
B
T chân đ ng cao H n i v i giao c a cạnh T chân đ ng cao H k HI vu ng g c v i
b n (cạnh xi n) v i đáy.
giao tuy n c a mặt b n (mặt xi n) v i đáy.
Chẳng hạn, g c (SA, (đáy)) = SAH.
Chẳng hạn, g c ((SAB), (đáy)) = SIH.
Xác đ nh khoảng cách c bản
Khoảng cách t chân đ
xi n
in

x
ặt

ng cao đ n mặt D ch chuy n khoảng cách
Mu n chuy n khoảng cách dM = d(M, (α))
S
sang dN = d(N, (α)) → n i M N :
N u M N ∥ (α) ⇒ dM = dN (1.1).

m

K

M

N

dM

dN

A
(α)
H

I
B

T H k HI vu ng g c v i giao tuy n.
T H k HK vu ng g c v i SI.
Khi đ , d(H, (SAB)) = HK.
1
1
1
Cách t nh:
=
+
.
HK 2
HI 2 HS 2

N u M N ∩ (α) = I ⇒

IM
dM
=
(1.2).

dN
IN
N

M
dM

dN

I
(α)

23


L c Tr Tuy n

S
đáy và đ ng cao c a m t kh i ch p hay lăng
tr th vi c t nh th t ch c a kh i ch p hay lăng tr đ tr n n
h t s c đ n giản. Đ i v i bài toán cho bi t g c gi a cạnh b n và
đáy hoặc mặt b n và đáy lần l t là φ = SAH hoặc φ = SIH th
chi u cao h c a kh i ch p (hoặc lăng tr ) th ng đ c t nh theo
các giá tr l ng giác c a φ. Chẳng hạn

h = HA. tan ϕ hoặc h = HI. tan ϕ

th

D

i đây, cu n sách s minh h a chi ti t cho các dạng toán
ng gặp trong các k thi THPT Qu c gia.

1.2.2 T nh th t ch kh i ch p
T
c a m t kh i đa di n là đại l ng d ng đ đo phần
kh ng gian b n trong kh i đa di n đ , th ng k hi u là V .
ch ng tr nh THCS h c sinh đã đ c làm quen v i th t ch m t
s kh i da di n đặc bi t nh :
• Vkh

i lập ph

• Vkh

i h p ch nhật k ch th

ng cạnh a

= a3 .
c a, b, c

= abc.

Trong ch ng tr nh THPT, ch ng ta ti p t c đ c h c v th t ch
c a các kh i ch p, kh i lăng tr và m t s kh i đa di n khác.
Th t ch kh i ch p
S
1

t ch c a
3
di n t ch đáy và chi u cao kh i ch p đ .
Ta k hi u Sđáy là di n t ch đáy c a kh i ch p,
h là đ dài đ ng cao c a kh i ch p. Ta c :

Th t ch kh i ch p đ

c t nh bằng

h

1
V = Sđáy .h (1.3)
3

Sđáy
H

24


L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

V d 1.2.1: Cạnh b n vu ng đáy bi t g c c a cạnh b n v i đáy
Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh ch nhật, AB = a, BC = 2a, SA⊥(ABCD). Bi t
g c gi a SC và đáy là 60◦ , t nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABCD.
H

ng dẫn

Coi a là đ n v đ dài, do đ ta ch t nh toán
v i các h s c a đ dài các đoạn thẳng.
Ta c A là chân đ ng cao c a h nh ch p
n n g c gi a SC và đáy bằng SCA = 60◦ .
√
√
Vậy h = SA = AC tan 60◦ = AC. 3 = 15
√
√
(do AC = 12 + 22 = 5).
C Sđáy = AB.BC = 2.
Do đ

S

A

√
1
2 15 3
V = .Sđáy .h =
a .
3
3

D

1
B

2

C

V d 1.2.2: Cạnh b n vu ng đáy bi t g c c a mặt b n v i đáy
Cho h nh ch p S.ABC c tam giác ABC đ u cạnh a và SA⊥(ABC). Bi t g c gi a mặt
phẳng (SBC) và đáy là 60◦ , t nh theo a th t ch kh i ch p S.ABC.
H

ng dẫn

Do A là chân đ ng cao c a h nh ch p n n
k AI⊥BC th SIA là g c gi a mặt phẳng
(SBC) và (ABC). Vậy SIA = 60◦ .
Tam giác ABC đ u cạnh a√n n I là trung
3
đi m c a BC, do đ AI =
a.
2
Tam giác SAI vu ng tại A n n
SA = AI. tan 60 =
◦

Vậy
VSABC

S

√

3
3 √
a. 3 = a
2
2

1
= .Sđáy .SA
3 √
√
3 3
1 3 3 3
= .
. a =
a .
3 4 2
8

C

A

60◦
I
B

25

L c Tr Tuy n

V d 1.2.3: Hai mặt b n c ng vu ng v i đáy
Cho h nh ch p S.ABC c ABC là tam giác vu ng tại B v i AB = a, BAC = 60◦ . Hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) c ng vu ng g c v i mặt phẳng (ABC). Bi t g c gi a (SBC) và
đáy bằng 45◦ , t nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABC.
H

ng dẫn

Do hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) c ng
vu ng g c v i mặt phẳng (ABC) n n
SA⊥(ABCD).
T A k vu ng g c v i BC r i vào B n n
SBA là g c gi a (SBC) và đáy.
Vậy SBA = 45◦ .
T nh đ c SA = BA √
tan 45◦ = a.
3 2
Đáy ABC c Sđáy =
a .
2
Vậy
√
√
3 3
1 3 3
.1a =
a .
V = .

3 2
6

S

A

60◦

C
1

√

45◦

3

B

V d 1.2.4: Hai mặt ch o c ng vu ng v i đáy
Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh thoi cạnh a, ABC = 60◦ . G i H là trung đi m c a
AB, hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) c ng vu ng g c v i (ABCD). Bi t khoảng cách t
3
A đ n (SBC) bằng a. T nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABCD.
4
H

ng dẫn
√

√
√
1 3 3 3
3 2
3 3
Đáy là h nh thoi
n n Sđáy =
Vậy VS.ABCD = .
a .
. a =
a .
2
3 2 4
8
Theo quy tắc chuy n khoảng cách:
S
d(A, (SBC)) = 2d(H, (SBC)) (do H là
3
trung đi m AB). Vậy d(H, (SBC)) = a.
8
H là chân đ ng cao n n
3
d(H, (SBC)) = HK = a.
8√
A
3
1
Mặt khác HI = AM =
.

K
2
4
1
1
1
H
=
+
Áp d ng
2
2
HK
HI
HS 2
3a
.
⇒ HS =
I
M a
B
C
4
60◦

26

D

L c Tr Tuy n ĐT: 0972177717

V d 1.2.5: Mặt b n vu ng v i đáy
Cho h nh ch p S.ABCD c ABCD là h nh thang vu ng tại A và B, AD = 2AB = 2BC =
2a. Tam giác SAB đ u và nằm trong mặt phẳng vu ng g c v i đáy. T nh th t ch c a
kh i ch p S.ABCD theo a.
H

ng dẫn

Tam giác SAB đ u và nằm trong mặt phẳng vu ng v i đáy n n chân đ
h nh ch p là trung đi m AB.
√
S
3
a.
Vậy SH =
2
Theo m c 1.2.1 ta c
3
Sđáy = a2 .
2

ng cao H c a

√

3
2

√

1 3 3 3
Vậy VS.ABCD = . .
a
3 2 2
√
3 3
=
a .
4

H

1

A

1

D

1

B

1

C

V d 1.2.6: Mặt ch o vu ng v i đáy
Cho h nh ch p S.ABCD và đáy là h nh vu ng cạnh a. Tam giác SAC vu ng tại S và nằm
trong mặt phẳng vu ng g c v i đáy. G c gi a SA và đáy bằng 60◦ . T nh th t ch kh i
ch p S.ABCD theo a.
H

ng dẫn

Mặt phẳng (SAC) vu ng v i đáy n n chân
đ ng cao H c a h nh ch p thu c AC.
Theo m c 1.2.1, g c gi a SA và đáy là g c
SAH = 60◦ .
C ng theo m c 1.2.1,
√ tam giác vu ng SAC
2
1
a.
c AH = AC =
4
4
√
6
◦
Vậy SH = AH tan 60 =
a
√ 4
6 3
1
a .
⇒ V = Sđáy .SH =

3
12

S

A

60◦
D
H

B

C

27