Bộ đề thi chọn đội tuyển HSG quốc gia môn toán năm 2018 và HSG tỉnh các năm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
Năm 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề)
Ngày thi: 15/9/2017
________________
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (5,0 điểm) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
 y  2  x  2  x y  0


2
 x  1 y  1   y  3 1  x  y  3x







u

Bài 2: (5,0 điểm) Cho dãy số un xác định bởi: u0
n



3; u1 17
6un 1 un

2

n

1

.

Chứng minh rằng với mọi n ta có un2 1 2 và thương là một số chính phương.
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H , trung điểm của
BC là M . Biết B(3;7) , đường thẳng AM có phương trình là: 3x  5 y  2  0 ,

đường thẳng CH có phương trình là: x  3 y  12  0 . Tìm tọa độ các điểm A và C .
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm H , AH cắt BC tại
5
K (3;1) , trung điểm của BC là điểm M (5;1) , trung điểm của BH là điểm L (2; ) .
2
Tìm tọa độ các điểm A, B, C .

Bài 4: (5,0 điểm)
a) Bạn An muốn lập các số tự nhiên có bảy chữ số gồm hai chữ số 1, hai chữ số 2,
một chữ số 3, một chữ số 4 và một chữ số 5 sao cho trong số tự nhiên lập được không
có hai chữ số giống nhau nào đứng cạnh nhau. Hỏi bạn An có thể lập được nhiều nhất
bao nhiêu số tự nhiên thỏa điều kiện trên?

b) Cho tập hợp A  {1,2,3,...,2049} gồm 2049 số nguyên dương đầu tiên. Hỏi có thể
chọn được tất cả bao nhiêu tập con B  {a1, a2 ,..., a9} là tập con gồm 9 phần tử của A
thỏa điều kiện | ai  a j | 5 i, j {1,2,...,9}, i  j ?
--- HẾT --Họ tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ............................
Chữ ký của Giám thị 1: ........................

Chữ ký của Giám thị 2: ..................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA
Năm 2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề)
Ngày thi: 16/9/2017
________________
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (6,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f :



thỏa mãn điều kiện

f (2 x  2 y  f ( x))  f ( f ( y))  8 x, x, y  .
Bài 2: (7,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có BAD là góc nhọn, AC và BD cắt nhau

tại I . E là điểm trên đoạn CI sao cho ABE là góc tù. Đường thẳng đi qua E và
vuông góc với BC cắt BD tại F , cắt CD tại K .
a) Chứng minh bốn điểm A, B, E , F cùng nằm trên một đường tròn, gọi O là tâm của
đường tròn này.
b) Chứng minh IO  IK .
Bài 3: (7,0 điểm) Cho phương trình (2018x  2017 y)(2017 x  2018 y)  2z . Hỏi có
tồn tại bộ ba số nguyên dương x, y , z nghiệm đúng phương trình trên hay không?

--- HẾT --Họ tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ............................
Chữ ký của Giám thị 1: ........................

Chữ ký của Giám thị 2: ..................


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
SÓC TRĂNG
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học 2016-2017
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN - Lớp 12
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể phát đề)
Ngày thi: 17/9/2016
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Đề thi này có 01 trang
Bài 1: (5,0 điểm)

Giải phương trình: log 2016 ( 1  x 2  x)  log 2017 ( 1  x2  x) trên tập số thực.
Bài 2: (5,0 điểm)
1

 x1 
2
Cho dãy (xn) xác định như sau: 
 x  x 2  x (n  0)
n
n
 n 1
Gọi A 

1
1
1

 ... 
. Tính  A (phần nguyên của A).
x1  1 x2  1
x2016  1

Bài 3: (5,0 điểm)
Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau dạng a1a2a3a4 a5a6 a7 sao cho
a1  a2  a3  a4

a4  a5  a6  a7
Bài 4: (5,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 1). Các
điểm I(-1; 2) và J(-1; 3) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam

giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh B và C của tam giác.
--- HẾT --Họ tên thí sinh: .................................................... Số báo danh: ............................
Chữ ký của Giám thị 1: ........................ Chữ ký của Giám thị 2: ...........................