giao trinh co ly thuyet

CƠ LÝ THUYẾT

Có ba phần là tónh học, động học
và động lực học
CHƯƠNG I: TĨNH HỌC
Bài 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC NGUN LÝ TĨNH

HỌC
1. Những khái niệm cơ bản
1.1 Vật rắn tuyệt đối
Vật rắn tuyệt đối là vật rắn có hình dạng hình học khơng đổi trong khi chịu
lực và được gọi tắt là vật rắn.
1.2. Vật rắn cân bằng
Vật ở trạng thái cân bằng khi nó đứng n hoặc chuyển động tịnh tiến thẳng
đều, tức là vật chịu tác dụng bởi hệ lực cân bằng.
1.3.Lực
Lực là tác dụng qua lại giữa các vật mà kết quả là gây ra sự thay đổi trạng
thái chuyển động của các vật ấy.
Căn cứ vào vị trí của các vật người ta chia lực thành hai loại:
− Lực tác dụng với sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, ví dụ người ngồi trên ghế sẽ

đè lên ghế một lực ép, ngược lại ghế cũng tác dụng lên người một lực đẩy, kết quả
người khơng bị rơi xuống – tức đã thay đổi trạng thái động học.
− Lực tác dụng khơng có sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, ví dụ lực hút giữa trái

đất với mặt trăng, trọng lực…
Lực có ba yếu tố:
− Điểm đặt
− Phương và chiều
− Trị số hay còn gọi là cường độ, độ lớn.

Đơn vị của lực là Niutơn (N).
Biểu diễn lực
 

Lực được biểu diễn bằng một vectơ lực, ví dụ F , Q , P … Điểm đặt của vectơ
là điểm đặt của lực; phương chiều của vectơ là phương chiều của lực; độ dài của
vectơ biểu diễn cường độ của lực, ký hiệu F, Q, P…; giá mang vectơ gọi là đường
tác dụng của lực.
1.31.Hệ lực cân bằng
Hệ lực cân bằng là hệ lực mà dưới tác dụng của nó khơng làm thay đổi trạng
thái chuyển động của vật, nói cách khác là hệ lực tương đương với khơng.
1.3.2. Hai hệ lực tương đương
1


Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng tác dụng cơ học, ký
hiệu là
 

 

(F1, F2 ,...,Fn ) ~ (P1, P2 ,...,Pk )
 

(F1, F2 ,...,Fn ) ~ 0

N

1.3.3.Hợp lực của hệ lực

F2

Hợp
lực của một hệ lực, ký

hiệu R , là một lực tương đương với
tác dụng
của cả hệ lực đó, nghĩa là
 

R ~ (F1, F2 ,...,Fn ) .

R

F

F2
Hình 1-3

Hình 1-4

1.3.4.Hai lực trực đối
Hai lực trực đối là hai lực cùng phương, cùng trị số nhưng ngược chiều.
2. Các nguyên lý tỉnh học
a.Tiên đề 1 (tiên đề về hai lực cân bằng)
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên một vật rắn được cân bằng là
chúng phải trực đối nhau
b.Tiên đề 2 (tiên đề thêm bớt hai lực cân bằng)
Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào hay
bớt đi hai lực cân bằng nhau.

F1

A

F2

B

F1

A

B

F2

Hình 1-2

Hệ quả (Định lý trượt lực)
Tác dụng của lực lên một vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên đường tác
dụng của nó.
c-Tiên đề 3 (tiên đề hình bình hành lực)
Hai lực tác dụng tại một điểm thì tương đương với một lực cũng tác dụng tại
điểm đó và được biểu diễn bằng vectơ đường chéo của hình bình hành có hai cạnh
là hai lực đã cho
 

R = F1 + F2

d.Tiên đề 4 (tiên đề về tương tác)

Lực tác dụng và phản lực là hai lực trực đối


Ch ý: Lực tác dụng F và phản lực
chúng đặt vào hai vật khác nhau.


N

khơng phải l hai lực cân bằng nhau, vì

3. Liên kết và phản lực liên kết
2


3.1 Vật tự do
Gọi l vật tự do khi cc di chuyển của nĩ khơng bị cc vật khc cản trở, vật tự do
cịn được gọi là vật khơng chịu lin kết.
Ngược lại, vật khơng tự do khi một vài phương chuyển động của nó bị cản
trở, vật không tự do cịn được gọi là vật chịu lin kết hay l vật khảo st.
Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là lin kết, những điều
kiện đó được thể hiện bằng sự tiếp xúc trực tiếp giữa hai vật.
Ví dụ: quyển sách đặt trên bàn thì quyển sch l vật khảo st v bn l vật gy lin
kết.
Phản lực liên kết
Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát (vật vẽ trắng) tc dụng ln vật chịu lin kết
(vật vẽ gạch cho) một lực gọi l lực tc dụng. Ngược lại, vật gây liên kết cũng tác
dụng lên vật khảo sát một lực, lực đó gọi là phản lực lin kết gọi tắt l phản lực.
Phản lực có các tính chất:
− Được đặt lên vật khảo sát ở chỗ tiếp xúc với vật gây liên kết.

− Cùng phương và ngược chiều với chuyển động bị cản trở của vật khảo sát.
− Trị số phụ thuộc vào các lực tác dụng lên vật khảo sát.

3.2 .Khái niệm về liên kết
3.3. Các loại liên kết thường gặp
a.Liên kết tựa (hay dựa)
Hai vật liên kết tựa khi chúng trực tiếp tựa vào nhau. Phản lực liên kết tựa có
phương vuông
góc với mặt tựa, chiều đi từ vật gây liên kết hướng vào vật khảo

sát, ký hiệu N (h.1-5).
b.Liên kết dây mềm
Liên kết dây (h.1-6) cản trở chuyển động của vật khảo sát theo phương của
dây, trường hợp dây vòng qua vật cũng được gọi là liên kết dây.
Phản lực đặt vào điểm buộc dây và hướng ra ngoài vật khảo sát theo phương

của dây, tên gọi là sức căng, ký hiệu T .

NB
NA
N

B
A
Hình 15

3


a)

A
T

B
TA

B

y

y

N

N

TB
y

b)
Y

B

P

R
x
X

P

Hình 1-6

Hình 1-7

c.Liên kết bản lề phẳng
Có hai loại là: bản lề di động và bản lề cố định.
− Bản lề di động (h.1-7a)

Vật khảo sát (B) quay quanh trục bản lề và di chuyển song song với mặt tựa.
Phản lực của bản lề di động giống liên kết tựa, ký hiệu N có phương vuông góc
với mặt tựa và chiều giả định.
− Bản lề cố định (h.1-7b)

Vật khảo sát (B) chỉ quay quanh trục bản lề. Phản lực liên kết R đi qua tâm
của trục, trị số, phương chiều chưa
biết nên được giả định và được phân ra hai
 
thành phần vuông góc với nhau: X , Y chiều giả định.
A

d.Liên kết thanh (h.1-8)
Liên kết thanh là liên kết khi
ở đầu thanh được liên kết với
nhau bằng bản lề hoặc tựa. Liên
kết thanh cản trở chuyển động của
vật khảo sát theo phương của
thanh. Phản lực có phương

dọc

theo trục thanh, ký hiệu S , chiều
được giả định.

SC

SA

B
y
MA

XA

A
B

e.Liên kết ngàm (h.1-9)

P

Hình 1-8 và 1-9

Liên kêt ngàm là liên kết khi
vật được nối cứng vào một vật khác. Ví dụ như là hàn hay một trụ đứng được chôn
chặt xuống nền.
Trong trường hợp
ngàm phẳng phản lực liên kết gồm ba thành phần: hai lực


thẳng góc với nhau, X nằm ngang, Y thẳng đứng và một ngẫu lực có mômen M,
chiều giả định.

4


Chú ý:
Chiều của phản lực trong các liên kết được giả định. Sau
khi tính toán, kết quả > 0 thì chiều thực tế của phản lực đúng
với chiều đã giả định còn kết quả < 0 thì ngược lại.

A
T

3.4.Giải phóng liên kết
Khi khảo sát vật rắn, ta tách vật rắn khỏi các liên kết rồi
thay bằng các phản lực tương ứng, công việc đó được gọi là
giải phóng liên kết. Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát
được coi là vật tự do cân bằng dưới tác dụng của hệ lực gồm
các lực đã cho và phản lực.
Ví dụ

N
O

B

P

Hình ví dụ

Quả cầu đồng chất có trọng lượng P được treo vào mặt
tường nhẵn thẳng đứng nhờ dây OA . Hãy đặt tất cả các lực tác dụng lên quả cầu.
Bài giải
Khảo sát quả cầu. Các lực tác dụng lên quả cầu có:


− Trọng lực P đặt tại tâm O và hướng thẳng đứng xuống dưới.


− Phản lực liên kết tựa N C của tường đặt tại C, hướng vào tâm quả cầu.


− Lực căng T đặt tại O hướng về A (H.b).
 



Như vậy, hệ lực tác dụng lên quả cầu là ( P, N C , T ).
Chú ý:
Để cho gọn, sau này ta vẽ ngay các phản lực và lực đã
cho vào hình vẽ có cả các liên kết.

B
A

CÂU HỎI
P

1.

Khi nào vật được coi là vật rắn tuyệt đối?

2.

Lực là gì? Cách biểu diễn một lực?

3.

Điều kiện để 2 lực tác dụng vào một vật rắn được
cân bằng?

C

Hình bài 2

BÀI TẬP
1.

Người ta biểu diễn một lực có trị số 300N bằng độ dài 10mm. Vậy một lực có
độ dài 18mm có trị số là bao nhiêu?
ĐS: 540N
5


2.

Ở điểm A của giá gồm hai thanh AB và AC người ta treo vật có trọng lượng
P. Hãy xác định hệ lực tác dụng lên mút A .
B

C

C
A
A

P

P

B

P

B

A

Hình baøi 3, 4
vaø 5

3.

Thanh đồng chất AB có trọng lượng P được treo vào một điểm cố định C bởi
hai dây AC và BC . Hãy xác định hệ lực tác dụng lên thanh AB.

4.

Thanh đồng chất AB có trọng lượng P, ở A bắt bản lề cố định và tựa lên mặt
cầu nhẵn ở C. Xác định hệ lực tác dụng lên thanh AB.

5.
6.

Xác định hệ lực tác dụng lên dầm AB, biết dầm có trọng lượng P.
Thanh đồng chất AB trọng lượng P tựa trên mặt phẳng ngang tại điểm A.
Thanh nghiêng một góc 60 o so với phương nằm ngang. Ngoài ta thanh được giữ
tại hai điểm C và D. Hãy xác định hệ lực tác dụng lên thanh.
B

D
o

C

60

A

Hình baøi 6

Bài 2: HỆ LỰC PHẲNG ĐỒNG QUY
1. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp hình học
6


1.1.Định nghĩa
Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng nằm trong một mặt
phẳng và đồng quy tại một điểm (h.2-1a).
Theo hệ quả của tiên đề 2, ta có thể trượt các lực đó trên đường tác dụng của

nó về điểm đồng qui O, nên hệ lực đồng qui có thể thay bằng hệ lực đặt tại một
điểm (h.2-1b).
1.2.Hợp lực của hai lực đồng a)
qui
1.2.1.Qui tắc hình bình hành
lực


F1

b)
F2

A1

A2
O A3
F3



Giả sử có hai lực F1 và F2
đồng qui tại O. Theo tiên đề 3,
hợp lực R là đường chéo của
hình bình hành lực (h.2-2):

F2

F1
O

F3

Hình 2-1




R = F1 + F2


Để xác định R ta phải xác định trị số, phương chiều của nó.
− Về trị số:

R2 = F12 + F22 − 2F1F2 cos(180− α) .
Vì cos(180- α) = - cosα nên cuối cùng ta có: R = F12 + F22 + 2F1F2 cosα
(2-1)
Các trường hợp đặc biệt
− Hai lực cùng phương, cùng chiều (h.2-3a), ta có α = 0, nên R = F1 + F2.
− Hai lực cùng phương, ngược chiều (h.2-3b), ta có α = 180o, nên R = | F1 - F2| .
− Hai lực vuông góc nhau (h.2-3c), ta có α = 90o, nên R =

F12 + F22

− Về phương chiều:

Ap dụng hệ thức trong tam giác, ta có:
F
F
R
R

=
=
=
sinα1 sinα 2 sin(180o − α) sinα

F1

O

C
R

α2
α1
α

F1

a)

A

F2

R

O
b

F2

O

F1
R

F2

B

c)

F1

O

Hình 2-2 và Hình 2-3
7

R
F2


F1
sinα và
R

⇒sinα1 =

sinα2 =

F1
sinα
R


trong đó: góc α1 và α2 xác định phương và chiều của R
1.2.2.Qui tắc tam giác lực






Ta có thể xác định hợp lực R bằng cách: từ mút A của lực F1 đặt lực F2' song


song, cùng chiều và có cùng trị số với lực F2 . Rõ ràng hợp lực R có gốc đặt tại O,

mút trùng với mút C của lực F2' .



R



= F1 + F2'


Ta thấy rằng: hợp lực R đã khép kín tam giác lực tạo bởi hai lực thành phần


F1 và F2 (h.2-4). R .
1.2.3.Quy tắc hình hộp lực
R'

a)

ω
b)
Fx

Fy

Fx

ϕ

F
Fy

Fz

F

R
c)

ω

d)

Fx

ω

Fy
Fz

Fz
R1

R2

Hình 2-7

Ở trên ta đã xét trường hợp các lực phẳng đồng quy tác dụng lên vật. Trong
kỹ thuật, nhiều khi các chi tiết chịu tải trọng là những lực đồng quy không nằm
trong cùng một mặt phẳng như lực cắt gọt khi tiện (h.2-7).








Fz .
Trong mặt phẳng chứa lực R và trục Z: R là hợp lực của các lực F vaø

  
R = F + Fz

Về trị số

R = F 2 + Fz2

8






Trong mặt phẳng ngang, lực F có thể phân tích thành hai lực thành phần Fx

hướng theo trục chi tiết, thành phần Fy hướng theo bán kính vng góc với trục:
  
F = Fx + Fy

Về trị số

y

F = Fx2 + Fy2

Từcác biểu thức trên cho ta cơng thức tính
lực cắt R theo quy tắc hình hộp lực (h.2-7a):
   
R = Fx + Fy + Fz

Về trị số

R=

F'2

Y2

Ry

R

Fx2 + Fy2 + Fz2

Trong q trình tiện mặt đầu bằng dao vai
(h.2-7c) có ϕ = 90o, khi đó Fy = 0. Lực cắt sẽ là:

 
R1 = Fx + Fz

Về trị số

F'n

F2

F1

Fn

O

X1

R1 = Fx2 + Fz2

X2
Rx

Xn

x

Hình 2-9

Trong q trình tiện rãnh bằng dao cắt
(h.2-7d) có ϕ = 0o, khi đó lực hướng trục là F x =
0. Lực cắt sẽ là:

 
R 2 = Fy + Fz

Về trị số

R2 = Fy2 + Fz2

Theo tiên đề tương tác, dao sẽ tác dụng lên chi tiết




lực R' có trị số
bằng
lực
, hướng ngược lại và đặt vào y
R

chi tiết. Lực R' cũng được phân tích thành các lực thành

phần theo quy tắc hình hộp lực.

Y

1.3.Hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui
Có hai phương pháp để tìm hợp lực của hệ lực O
phẳng đồng quy, đó là phương pháp đa giác lực (còn gọi
là phương pháp hình học) và phương pháp giải tích (còn
gọi là phương pháp chiếu).

F

α
X

x

Hình 2-8

Ở đây ta chỉ nghiên cứu hệ lực bằng phương pháp giải tích.
1.4.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng
quy

Muốn hệ lực phẳng đồng qui cân bằng thì trò số

của hợp lực R phải bằng không. Khi đó đa giác lực tự
đóng kín, nghóa là đa giác lực có mút của lực cuối
cùng trùng với gốc của lực đầu.
9


Ta có kết luận: “Điều kiện cần và đủ để một hệ
lực phẳng đồng qui cân bằng là đa giác lực tự đóng
kín”.
2. Khảo sát hệ lực phẳng đồng quy bằng giải tích
2.1.Chiếu một lực lên trục tọa độ


Gọi hình chiếu của lực F lên hai trục
vng góc Oxy là X và Y, ta có (h.2-8):
X = ± F cosα 

Y = ± F sinα 

(2-1)


trong đó: α - góc nhọn hợp bởi lực F với trục x.
Hình chiếu lấy dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của
mút cùng chiều (+) với trục, lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại.
Đặc biệt

− Nếu F vng góc, chẳnng hạn với trục Ox thì X = 0 và Y = ± F.


− Nếu F song song, chẳng hạn với trục Ox thì X = ± F còn Y = 0.

Ngược lại, khi biết hình chiếu X, Y của lực F trên hai trục vng góc Oxy,

ta hồn tồn xác định được nó:
− Về trị số:

F=

X 2 +Y 2

(2-3)

− Về phương chiều:

cosα =

X
F

và sinα =

hoặc tgα =

Y
F

Y
X

(2-4)

2.2.Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp giải tích






Cho hệ lực phẳng đồng qui ( F1 , F2 … Fn ) có hình chiếu tương ứng trên các
trục của hệ tọa độ vng góc là (X1, X2,…, Xn) và (Y1, Y2,…, Yn) (h.2-9).
Ta có hợp lực:





R = F1 + F2 + … + Fn = Σ F

Chú ý
n

Đáng lẽ phải viết là




F
∑ k nhưng để cho gọn, ta quy ước viết Σ Fk hoặc Σ F .

k =1

Theo php tính vectơ, thì: “Hình chiếu của vectơ tổng bằng tổng đại số hình
chiếu của của các vectơ thành phần”.
Tổng qt, ta có:
10


R x = X1 + X2 + … + X n = ΣX 

R y = Y1 + Y 2 + … + Y n = ΣY 

(2-5)

− Về trị số:

R = R 2x + R 2y = (ΣX )2 + (ΣY )2

(2-6)

− Về phương chiều:
cosα =

R
Rx
ΣX
ΣY
=
và sinα = y =
R

R
R
R

(2-7)

Ví dụ 2-1
Hệ lực phẳng đồng quy gồm các lực có trị số F 1 = F2 = 100N; F3 = 150N;
F4 = 200N; góc giữa các lực cho trên hình vẽ. Hãy xác định hợp lực của hệ lực
đó
Bài giải
Chọn hệ trục xOy như hình vẽ. Hình chiếu của hợp lực lên các trục là:
Rx = ΣX = F1 + F2 cos50° - F3 cos 60° -F4 cos20°
= 100 + 100.0,6428 – 150.0,5 – 200.0,9397 = -98,7N
Ry = ΣY = -F2 sin50° - F3 sin60° + F4 sin20°
= -100.0,766 – 150.0,866 + 200.0,3420 = -138,1N.

− Trị số của hợp lực R :

R =
170N

R 2x + R 2y

=

2
2
≈
(-98,7)

+ (-138,1)

y
F4


− Phương và chiều của hợp lực R :

F1

O

Ry

− 138,1
=
= 1,4
tgα =
R x − 98,1

α

Suy ra α = 54° 33’.

R

2.3.Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng quy

o

o

80

o

50

70
F3

Hình ví dụ 2-1

Tương tự như
trên, muốn hệ lực đồng qui cân

bằng thì hợp lực R phải bằng 0.
Mà theo phương pháp giải tích, thì:
R = (ΣX )2 + (ΣY )2
Vì (ΣX )2 vaø(ΣY )2 là những số dương cho nên điều kiện cân bằng là
11

F2

x


ΣX = 0

ΣY = 0

(2-8

Vậy: “điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là tổng hình
chiếu của các lực lên hai trục tọa độ đều phải bằng không”.
Hệ phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán cân bằng dưới tác
dụng của hệ lực phẳng đồng quy.
Ví dụ
Ong trụ đồng chất có trọng lượng P = 60N đặt trên máng ABC hoàn toàn
nhẵn và vuông góc ở B. Mặt BC của máng hợp với mặt nằm ngang góc α = 60°.
Hãy xác định các phản lực của máng lên ống ở hai điểm tiếp xúc D và E.
Bài giải
Trọng lượng P của ống trụ có phương thẳng đứng, hướng về tâm của trái đất
và có trị số P = mg = 6.10 = 60N. Mặt khác, ống trụ tựa trên
haimặt nghiêng tại

các điểm tiếp xúc D và E nên có các phản lực tương ứng N D, N E, các phản lực
này vuông góc với các mặt nghiêng BD và BE.
Như
vậy, ống trụ được cân bằng

 
dưới tác dụng của ba lực đồng quy tại O: ( P , N D, N E).
Ta có thể giải bài toán này theo hai phương pháp: hình học và giải tích.
a)Phương pháp hình học
 



Vì hệ lực ( P , N D, N E) cân bằng nên tam giác lực của hệ tự đóng kín. Ta dựng


tam giác lực đó bằng cách: từ một điểm I bất
kỳ
vẽ
vectơ
lực
, từ gốc I và mút K
P



của P kẻ các đường thẳng song song với N D, N E, chúng cắt nhau tại L. Tam giác

IKL chính là tam giác lực cần dựng. Trên tam giác lực, đi theo chiều của P ta xác
định được chiều của N D và N E. Độ dài mỗi cạnh của tam giác lực biểu thị trị số
của các lực tương ứng. Từ đó, ta có:
ND = Pcos30o = 60
NE = Psin30o = 60

3
= 51,96N
2

1
= 30N
2

b)Phương pháp giải tích
Chọn hệ trục x, y như hình vẽ và lập phương trình cân bằng của hệ lực đồng
qui.

ΣFx = ND - Psin60o = 0
(1)

x

ΣFy = -Pcos60 + NE = 0
o

(2)
Giải hệ phương trình này, ta có:
NE = 30N và ND = 51,96N.

y
A

C

O

o

α=60
B

12

o

o

E
P

NE
60

NE

ND
o
30
D
o
30

I

Hình ví dụ 2-2

P

30
K

K
ND


Từ ví dụ trên, ta có thể tóm tắt cách giải một bài toán hệ lực phẳng đồng quy
gồm các bước sau:

Bước 1: Phân tích bài toán
Đặt các lực tác dụng lên vật cân bằng được chọn, bao gồm lực đã cho và các
phản lực liên kết.
Bước 2: Lập phương trình cân bằng (ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích vì
đó là phương pháp thường gặp nhất)
− Chọn hệ trục tọa độ vuông góc thích hợp với bài toán, có thể chọn tùy ý sao

cho bài toán được giải
đơn giản nhất (các trục
song song hoặc vuông
góc với nhiều lực của hệ
nhất).
− Viết

phương trình

A

O

B
F2

F1

cân bằng

R

Hình 2-10

bài toán và
nhận định kết quả (cần
thử lại hoặc liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp không)
− Giải

Trường hợp giải ra lực có trị số âm, cần đổi chiều ngược lại.

Chương 3: Hệ lực phẳng song song - ngẫu lực – Momen của một lực
đối với một điểm.
1. Hệ lực phẳng song song.
13


1.1Định nghĩa
Hệ lực phẳng song song là hệ lực nằm trong cùng một mặt phẳng và có các
đường tác dụng song song.
1.2.Hợp lực hai lực song song cùng chiều




F2 song song cùng chiều đặt tại hai điểm A và B của
Giả sử có hai lực F1 và

vật, ta cần phải tìm hợp lực R của chúng (h.2-10). Ở đây, ta khơng chứng mình
mà hỉ nêu kết luận:

Hợp lực của hai lực song song cùng chiều là một lực, có:
− Phương song song và cùng chiều với hai lực đã cho;
− Trị số bằng tổng trị số của hai lực, tức:

R = F1 + F2
− Điểm đặt chia trong đường nối điểm đặt của hai lực thành hai đoạn tỉ lệ nghịch

với trị số của hai lực ấy, tức là
F
F
R
= 1 = 2
AB OB OA

(2-10)

Chú ý:


Vectơ hợp lực R ln ln nằm ở trong đoạn AB và ở gần lực có trị số lớn.
Ví dụ
Ở hai đầu thanh AB dài 0,6m người ta treo hai vật có tải
trọng PA = 60kN và PB = 20kN. Xác đònh điểm đỡ O để thanh
AB nằm ngang.

Bài giải
Để cho thanh AB nằm ngang thì điểm đỡ O chính là
 

điểm đặt hợp lực R của PA , PB .
Theo cơng thức hợp lực của hai lực song song cùng chiều, ta có:
R = PA + PB = 60 + 20 = 80kN
Và

PB
R
=
AB
OA

⇒ OA =

AB x PB
0,6x2
= 0,15m
=
R
80

Ví dụ
Trên dầm AB dài l = 7m treo vật nặng có trong lượng P = 14kN. Hỏi phải treo vật
cách gối A bao nhiêu để áp lực tác dụng lên gối A có trị số là FA = 5kN?
a)

b)
O

A

PA

B

PB14

Hình ví dụ 2-3

B

O

A

PB

PA
R


Bài giải
Nếu áp lực lên gối A là FA = 5kN thì áp lực lên gối B là:
FB = P - FA = 14 – 5 = 9kN
Theo công thức hợp lực của hai lực song song
cùng chiều, ta có:
⇒x=

F
P
= B
AB
x

AB x FB

7x9
=
= 4,5m
P
14

F2

1.3.Hợp lực của hai lực song song ngược chiều




F2 song song ngược
Giả sử có hai lực F1 vaø
chiều
đặt ở A và B (F1 > F2). Ta phải tìm hợp lực

R của chúng (h.2-11). Ở đây, ta cũng không
chứng minh mà chỉ nêu kết luận:

có:

C

A
B

R
F1

Hình ví dụ 25



Hai lực song song ngược chiều không cùng trị số có hợp lực là một lực R ,

− Phương song song và cùng chiều với lực có trị số

lớn;
− Trị số bằng hiệu trị số của hai lực:

R = F1 – F2
− Điểm đặt chia ngoài đường nối điểm đặt

của hai lực đã cho thành hai đoạn tỉ lệ
nghịch với trị số của hai lực đã cho ấy (nằm
phía ngoài lực có trị số lớn)
F
F
R
= 1 = 2
AB OB OA

O

A

B

x
FA

P

FB

Hình ví dụ 2-4

(2-11)

Trường hợp đặc biệt, nếu F1 = F2 thì R
= F1 – F2 = 0, hệ lực thu về ngẫu lực, ta sẽ xét ở phần thứ III.
F2

Ví dụ
O

Hai lực song song ngược chiều có F 1 =
30kN, F2 =20kN, AB = 0,2m. Hãy xác định hợp
lực của 2 lực ấy.

A
B

R

Bài giải
Theo công thức hợp lực song song ngược
chiều, ta có:

R = F1 – F2 = 30 – 20 = 10kN.
15

F1
Hình 2-11


Và

F2
R
=
CA AB

⇒ CA = CA =

F2.AB
= 0,4m
R

2. Ngẫu lực
1.Định nghĩa
Trường hợp đặc biệt của hai lực song song ngược chiều là có trị số bằng
nhau. Trong truờng hợp này hệ không có hợp lực, vì R = F 1 - F2 = 0 (h.2-12a).
Nhưng hệ cũng không cân bằng.
Trong thực tế, hệ như vậy sẽ gây cho vật quay và được gọi là ngẫu lực.
Vậy: Ngẫu lực là hệ hai lực song song ngược chiều, có trị số bằng nhau
nhưng không cùng đường tác dụng.








Ngẫu lực gồm hai lực F1 , F2 được ký hiệu ( F1 , F2 ), khoảng cách giữa hai
đường tác dụng gọi là cánh tay đòn, ký hiệu d.
Ta có thể trượt các lực để cho đoạn nối hai điểm đặt đúng là cánh tay đòn và
từ đây ta qui ước vẽ ngẫu lực như vậy (h.2-12b).
Ngẫu lực đươc xác định bởi ba yếu tố:
-

Mặt phẳng tác dụng: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực;

− Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên (đi vòng

quanh ngẫu lực theo chiều của lực), ký hiệu bằng mũi tên vòng.Chiều quay là
dương khi vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm khi thuận chiều kim đồng hồ
(h.2-12c).
− Trị số mômen của ngẫu lực:

m = F.d

(2-12)

trong đó: F - trị số của lực còn d - cánh tay đòn
Đơn vị của mômen là Niutơn-mét (Nm)
2. Biểu diễn một ngẫu lực
a)

F2

B

c)

d

F1

F

+

A
B'

d

F2

F

b)
d

F1
A

Hình 2-12

16


− Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng

tác dụng của nó.
− Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực, miễn là bảo đảm trị số

mômen và chiều quay của nó.
Đặc biệt khi cho nhiều ngẫu lực, ta có thể biến đổi để cho chúng có cùng
chung cánh tay đòn. Từ các tính chất trên có thể rút ra:
Tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng
chiều quay và trị số mômen của nó. Do đó, có thể biểu diễn ngẫu lực bằng chiều
quay và trị số mômen của nó (h.2-13).
2.3. Hệ ngẫu lực phẳng và điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Người ta chứng minh được rằng: “Hợp các ngẫu lực phẳng được một ngẫu
lực – gọi là ngẫu lực tổng hợp - cùng nằm trong mặt phẳng đó, có mômen bằng
tổng mômen của các ngẫu lực thuộc hệ”.
Nếu hệ có n ngẫu lực thành phần, thì:
M = m1 + m2 +…+ mn = Σ m

(2-

13)
Ví dụ

F

d
Hệ ngẫu lực phẳng gồm
m=Fxd
các ngẫu lực có momen: m1 =
F
m
m
100Nm,
3 =
2 = -80Nm,
250Nm và m 4 = -200Nm. Xác
Hình 2-13
định momen của ngẫu lực tổng
hợp. Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2m thì trị số của lực phải là bao
nhiêu?

Bài giải
Ngẫu lực tổng hợp có trị số momen là:
M

=

m1 + m2 + m3 + m4

= 100 – 80 + 250 – 200 = 70Nm
Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay đòn là 2m thì:
Từ công thức M = F.d
⇒ F = M:d = 70:2 = 35N
Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Muốn hệ ngẫu lực cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng,

nghĩa là M = 0. Mà M = Σ m , nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phải là:
17


Σm = 0

(2-

14)
Vậy: Điều kiện để hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng mômen của các ngẫu
lực thuộc hệ phải bằng không.
Điều kiện cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tác
dụng của hệ ngẫu lực phẳng.
Ví dụ 2-7
Dầm chịu tác dụng của các ngẫu lực có trị số momen m 1 = 20kNm, m2 =
15kNm, m3 =10kNm. Hãy xác định phản lực ở các gối A và B của dầm.
Bài giải
Trên dầm chỉ có các ngẫu lực tác dụng,nên để cân bằng phản lực ở hai gối
cũng phải lập thành một ngẫu lực. Phản lực N B vuông góc với mặt tựa và có chiều


giả định đi lên, tương ứng phản lực R A phải song song với N B và có chiều giả
định đi xuống.
Theo điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực, ta có:
Σm =

RAl – m1 + m2 – m3 = 0

⇒ RA = (m1 - m2 + m3):l
= (20 – 15 + 10):4 = 3,75kNm.

R có dấu (+), như vậy chiều giả định của

A

R A là đúng với chiều thực, tương ứng N B =

RA
m1

NB

m2

3,75kNm và chiều trên hình vẽ là đúng với A
chiều thực.

m3

B
l=4m

CÂU HỎI

Hình ví dụ 2-7

1.

Trình bày cách tìm hình chiếu của một
lực trên hệ trục tọa độ vuông góc.

2.

Trình bày cách tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp
giải tích.

3.

Viết công thức tính hình chiếu hợp lực của hệ phẳng đồng qui.

4.

Phát biểu điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng đồng qui theo phương pháp
giải tích.

5.

Phương, chiều, trị số và điểm đặc của hợp lực hai lực song song cùng chiều
được xác định như thế nào?

6.

Ngẫu lực là gì? Vì sao nói ngẫu lực không tương đương với một lực?

7.

Nêu tính chất của ngẫu lực, từ đó suy ra cách biểu diễn nó trên hình vẽ.
18


P2

2m
F1

F3

B

A

D

E

O

P1
o
120

A

2m

C
10m

B

P

F2

Hình bài số 1, 2 và 3

BÀI TẬP
A

B

4m

6m

Hình bài 4
 
1. Cho hai lực đồng qui tại O là ( F1 , F2 ) với F1 = F2. Cần phải đặt vào điểm O một

  
lực F3 như thế nào để hệ lực ( F1 , F2 , F3 ) cân bằng.

 
Trả lời: F3 nằm trên đường phân giác của góc ( F1 , F2 ) về bên trái và F1 = F2 =

F3 .
2. Thanh đồng chất AB trọng lượng P 1 = 200N được treo bằng các dây song song

AE và BD. Vật nặng có khối lượng Q = 80kg được treo vào điểm C của thanh
AB. Xác định lực kéo của vật lên 2 dây, biết AC = 30cm, BC = 50cm.
ĐS: TA = 60N;

TB = 400n
 
3. Dầm có hai gối đỡ A và B chịu tác dụng bởi ngẫu lực ( P1 , P2 ) có mômen

3.105Nm. Xác định phản lực tại các gối đỡ của dầm.
ĐS: NA = NB =50N
4. Otô tải trọng 50kN độ trên cầu, cách đầu cầu này 4m và đầu cầu kia 6m. Xác

định những lực tác dụng và hai mố cầu A và B.
ĐS: PA = 30kN; PB = 20N

19


3. Momen của một lực đối với một điểm.
3.1.Định nghĩa



Giả sử vật rắn chịu tác dụng củamột lực F , vật có thể quay quanh điểm O cố
định (h.3-1). Tác dụng quay mà lực F đã gây cho vật không những phụ thuộc vào
trị số của lực mà còn vào khoảng cách từ điểm O đến đường tác dụng của lực. Còn
chiều quay mà lực gây ra cho vật có thể là ngược hoặc thuận chiều kim đồng hồ.
Đại lượng đặc trưng cho tác dụng mà lực gây ra cho vật quay quanh điểm O được
gọi là mômen của lực đối với một điểm và ta có định nghĩa:




Momen của lực F đối với một tâm O, ký hiệu là mo (F) , là tích số giữa

cường độ của lực với cánh tay đòn của lực đối với điểm đó.

mo (F) = ± Fd

B

(3-1)

F



d

trong đó: F là cường độ hay còn gọi là trị số của lực F
và d là cánh tay đòn là khoảng cách từ tâm quay tơi
đường tác dụng của lực.

A

O



Lấy dấu + (hoặc -) tùy theo chiều quay của lực F
quanh tâm O là ngược chiều (hay thuận chiều kim
đồng hồ). Đơn vị của mômen là Nm.

Hình 3-1

Trị số mômen bằng hai lần diện tích tam giác do lực và điểm O tạo thành:

mo (F) = 2S∆OAB

(3-2)

Chú ý:




Khi đường tác dụng của lực F đi qua tâm O thì mo (F) bằng không, vì d = 0.
I F1

Ví dụ


Xác định momen của các lực F1 vaøF2 đối với A

các điểm A và B. Biết F1 =10kN, F2 = 12kN, α
=30°, AC = CD = DB = 2m.

F2

α

C

D

B
K

Hình ví dụ 3-1

Bài giải

mA (F1) = -F1 . AI = -F1 . AC . sinα

=-10.2.sin 30° = -10(kNm).

mA (F2) =F2.AD = -12.4 = - 48(kNm)

mB (F1) = F1.BK = F1.CBsinα = 10.4 .1/2 =20(kNm)

mB (F2) =F2.BD =12.2 = 24(kNm).
20


Chương 4: Hệ lực phẳng bất kỳ
1. Định nghĩa.
2. Định lý dời lực song song.
- Định lý VARINHÔNG
Mômen của hợp lực của một hệ lực phẳng đối với điểm O bất kỳ nằm trên
mặt phẳng bằng tổng mômen của các lực thành phần đối với điểm đó (không
chứng minh định lý)
21





mo (R) = Σmo (F)

(3-3)

Định lý Varinhông được dùng để xác định đường tác dụng hợp lực của hệ
lực phẳng song song, lấy mômen của một lực đối với một điểm bằng cách phân
lực đó làm hai thành phần…
2. Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về 1 tâm.
Đòn là vật rắn có thể quay quanh một trục cố định, chịu tác dụng của các lực
nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với trục đó. Giao điểm O của trục với mặt
phẳng của lực gọi là điểm tựa của đòn. Sơ đồ tời đơn giản trên hình 3-2 là một ví
dụ về đòn.
Vì đòn có thể quay quanh điểm tựa, nên nó chỉ cân
bằng khi hợp lực của các lực tác dụng lên nó đi qua điểm
tựa, tức:
mà

F

r


mo (R) = 0


mo (R) = Σmo (F) .

Vì vậy, đòn cân bằng khi:

O


Σmo (F) = 0

Vậy: Điều kiện cần và đủ để một đòn được cân bằng
là tổng đại số mômen của các lực tác dụng lên đòn đối với
điểm tựa bằng không.

P

Hình 3-2

Ví dụ
Để nâng vật nặng P thì phải đặt vào tay quay của tời (hình 3-2) một lực F
bằng bao nhiêu? Biết trống của tời có bán kính r = 0,15m, tay đòn l = 0,5m, P =
1000N, bỏ qua ma sát tại gối đỡ.
Bài giải
Xét sự cân bằng của tời, theo điều kiện cân bằng của đòn , ta có:



Σmo (F) = 0 ⇔ mo (P) + mo (F) = P.r − F.l = 0
P.r

Giải ra, ta được: F = l =

1000
.0,15
= 300N

0,5

4. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ

Hệ lực phẳng bất kỳ là hệ lực mà các đường tác dụng của các lực nằm bất kỳ
trong cùng một mặt phẳng (h.3-3).
Thực tế chứng tỏ rằng dưới tác dụng của một hệ
lực phẳng, vật rắn vừa tịnh tiến vừa quay.

Như thế, nếu hệ lực phẳng có hợp lực là R bằng 0

thì điều kiện đó vẫn chưa đủ để cho vật rắn cân bằng:
Vì điều kiện này chỉ mới chứng tỏ vật không tịnh tiến,
nhưng vật có thể quay. Đặc trưng cho khả năng quay là
22

F2

F1

Fn

Hình 3-3

F3








mômen của các lực đối với một điểm O bất kỳ trên vật: mO (F1) , mO (F2) ,..., mO (Fn )
.
Cho nên muốn cho hệ lực phẳng được cân bằng thì ngoài điều kiện R = 0,
phải có thêm điều kiện:

mO (Fn ) = 0



M O = mO (F1) + mO (F2 ) +…+

NA

q

A


Nếu gọi R' là vectơ chính và M o là mômen

R
2m

chính. Ta có điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng
là:

NB

C

B
2m

Hình ví dụ
3-4


R'= 0 

M o = 0

(3-5)
“Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và
mômen chính đều bằng không”.


Vì vectơ chính R' có hình chiếu trên các trục x, y là:
R 'x = ∑X
R'y = ∑Y




= mO (F1) + mO (F2) +…+ mO (Fn ) = ∑ mO (Fn ) nên có thể

và mômen chính M O
biểu diễn điều kiện dưới dạng phương trình sau đây:


ΣX = 0

ΣY = 0



Σmo (F) = 0

(3-6)

Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu
của các lực lên hai trục tọa độ vuông góc và tổng mômen của các lực đối với một
điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng các lực đều phải bằng không.
Phương trình cân bằng này dùng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới
tác dụng của hệ lực phẳng bất kỳ
Ví dụ 3-3
Xác định phản lực ngàm tại A của dầm AB. Biết F =
10kN, m = 6kNm, q = 8kN/m, α = 45°.

y
F2
Fn

Bài giải
Thay lực phân bố đều trên đoạn EB bằng lực
tập trung Q = qa =8.12 = 16kN đặt ở giữa đoạn
EB.
Dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực,
ta có:
23

F1
O

x

Hình 3-4


(XA, YA, mA, m, F, Q) ~ 0. Đây là hệ lực phẳng bất
kỳ, viết phương trình cân bằng, ta có:
ΣX = XA + 0 - Fcosα = 0

(1)

ΣY = 0 + YA - Fsinα - Q = 0

(2)


ΣmA (Fk ) = mA – m – F.AI – Q.3 = 0

(3)

Thay bằng số và giải, ta có
XA = 7,07kN; YA ≈

23,07kN; mA ≈ 61,07kNm.

5. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng song song.

Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng, nên từ điều
kiện cân bằng của hệ hệ lực phẳng bất kỳ
q
F
ta suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực a)
m
α
phẳng song song.
A
B
Chọn hệ trục Oxy có Ox vuông góc
với đường tác dụng của các lực (h.3-4) Khi
đó ΣX = 0, nên từ điều kiện cân bằng của
hệ lực phẳng bất kỳ ta suy ra điều kiện cân
bằng của hệ lực phẳng song song là:

1m
b)

YA
mA

XA

C

m

1m

E

2m

F

α

C

Q
D

B

I

ΣY = 0



Σmo (F) = 0

Hình ví dụ 3-3

(3-7)
Ví dụ 3-4
Xác định phản lực ở hai gối A và B cho dầm
Bài giải
Lực phân bố đều q có hợp lực: R =AC.q

= 2.4 =8kN đặt tại điểm giữa đoạn AC,


có phương thẳng đứng. Phản lực N A , N B có phương song song với R . Như vậy,
  
dầm được cân bằng dưới tác dụng của hệ lực ( N A , N B , R ) và ta có phương trình:
ΣY = − R + N A + N B = 0

ΣmA (F) = −R.1+ N B .4 = 0

(1)
(2)

Từ phương trình (2), ta có: NB = 2kN và từ (1), ta có: NA = 6kN.

24


y

R
x

N
F

Fms

α

Hình 3-5

Chương 5: MA SÁT
Có hai dạng ma sát thường gặp: ma sát trượt và ma sát lăn.
1.Ma sát trượt (h.3-5)
1.1-Định nghĩa


Lực ma sát trượt là lực cản lại khuynh hướng trượt của vật, ký hiệu là F ms.
Ma sát trượt thường gặp ở phanh hảm, ổ trượt, ổ lăn…Nguyên nhân chính
của ma sát trượt là do mặt tiếp xúc không tuyệt đối nhẵn.
1.2- Định luật ma sát trượt
- Từ thực nghiệm (thí nghiệm Culông nghiên cứu ở Vật lý), người ta rút ra được
các định luật về ma sát trượt sau đây:
25