Hệ động lực cho mô hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐINH THỊ THU

HỆ ĐỘNG LỰC CHO MÔ HÌNH
ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017



ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐINH THỊ THU

HỆ ĐỘNG LỰC CHO MÔ HÌNH
ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành
luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội
đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Hà Nội, ngày 02 tháng 10 năm 2017
Học viên

Đinh Thị Thu


Mục lục
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1. Những không gian hàm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Không gian Holder có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7
7

1.2. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1. Toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2. Hàm mũ của toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3. Hàm lũy thừa của toán tử quạt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4. Xấp xỉ Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1. Cặp không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Bộ ba không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12
13

1.4. Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . .

16

1.5. Phương trình tiến hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Chương 2. Mô hình động học rừng với điều kiên biên hỗn hợp . . . . . . . .

21

2.1. Nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2. Tính không âm của nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.3. Nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.3.1. Ước lượng tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Sự tồn tại nghiệm toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Tính liên tục theo điều kiện ban đầu của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

26
32
33
35


LỜI MỞ ĐẦU
Vào năm 1972, D. B. Botkin trong [2] đã đưa ra mô hình toán học cơ sở đầu
tiên về sự phát triển của rừng. Trong đó, Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng
(100m3 tới 300m3 ) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sự
tương tác giữa các cây trong khu vực. Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya.
Antonovsky và M. D. Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán học về rừng
trong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi. Mô hình đó sau
này vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A. Kuznetsov, M. Ya. Antonovsky, V. N.
Biktashev và A. Aponina trong [4] phát triển thành mô hình động học rừng theo
cấu trúc tuổi của cây có xét đến sự hình thành và khuếch tán của hạt. Mô hình động
học rừng do Kuznetsov đưa ra có dạng:

∂u


= β δ w − γ(v)u − f u
trong Ω × (0, ∞),


∂t



 ∂v

= f u − hv
trong Ω × (0, ∞),
(0.1)
∂t

∂
w


= d∆w − β w + αv
trong Ω × (0, ∞),



∂t

 u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) trong Ω,
0

0

0

trong đó u và v là mật độ cây non và cây già , w là mật độ của hạt trong không khí.
Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự phát triển của cây; phương trình thứ ba
mô tả động học của hạt; δ là tỉ lệ nảy mầm của hạt; γ(v) là tỉ lệ chết của cây non; f
là tốc độ phát triển của cây non; h là tỉ lệ chết của cây già; αvà β là tốc độ tạo hạt
của cây già và tỉ lệ lắng đọng của hạt; d là hằng số khuếch tán của hạt.
Mô hình trên trong trường hợp w thỏa mãn điều kiện biên Neumann đã được
các tác giả Chuan, Tsujikawa, Yagi nghiên cứu. Phương pháp được sử dụng là công

cụ nửa nhóm giải tích để nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm toàn cục và tính ổn định
của nghiệm dừng. Các tác giả trên đã chứng minh được sự tồn tại của nghiệm toàn
cục, xây dựng hệ động lực và nghiên cứu sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất.
Sử dụng các kĩ thuật tương tự như trong trường hợp điều kiện biên Neumann, các
tác giả Shirai, Chuan, Yagi đã nghiên cứu mô hình trên với điều kiện biên Dirichlet
và thu được các kết quả tương tự.
Trong luận văn này, vấn đề được đặt ra là nghiên cứu mô hình động học rừng với
điều kiện biên hỗn hợp. Tức là biên Γ của Ω được chia làm 2 phần ΓN và ΓD . Đây là
điều kiện biên tổng quát xuất phát từ các điều kiện tự nhiên. Khó khăn gặp phải là
toán tử quạt sinh ra bởi toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp không có
3


được các tính chất tốt như trong trường hợp điều kiện biên Neumann hoặc Dirichlet.
Do đó bằng cách tiếp cận giống như trong trường hợp điều kiện biên Neumann và
Dirichlet tác giả biến đổi hệ ban đầu về phương trình tiến hóa dạng Parabolic bằng
cách xây dựng toán tử quạt là sự kết hợp giữa toán tử Laplace với điều kiện biên hỗn
hợp. Từ đó chỉ ra sự tồn tại của nghiệm toàn cục và xây dựng hệ động lực cho mô
hình ban đầu.
Nội dung của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu mô hình động học
rừng (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp. Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1 của luận văn gồm những khái niệm và kết quả trong giải tích hàm
liên quan đến không gian Holder, không gian Sobolev, toán tử quạt, phương
trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến
hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, các định lý và kết quả
cơ bản liên quan tới luận văn. Chương này được trình bày dựa trên tài liệu
[6].
• Chương 2 là nội dung chính của luận văn. Ở chương này tác giả nghiên cứu
bài toán (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể tác giả chỉ ra sự tồn tại duy
nhất nghiệm không âm của nghiệm địa phương và sự tồn tại nghiệm toàn

cục. Cuối cùng xây dựng tập hút cho hệ động lực sinh bởi (0.1).
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm
luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm
ơn!
Hà Nội, ngày 12 tháng 08 năm 2017
Học viên

Đinh Thị Thu

4


BẢNG KÍ HIỆU
Dưới đây là một số kí hiệu thường xuyên sử dụng trong luận văn:

C(Ω) := { f : Ω → C liên tục trong Ω}.
Cm (Ω) := { f : Ω → C : Dα f ∈ C(Ω), ∀α : |α| ≤ m} với m ≥ 1.
L(X,Y ) : { f : X → Y thỏa mãn f tuyến tính liên tục}.
| f (x)| p dx < ∞} với p ≥ 1.

L p (Ω) := { f : Ω → C đo được sao cho
Ω

L p,loc (Ω) := { f ∈ L p (Ω ),

∀Ωcompact ⊂ Ω}.

5

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài toán mô
hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp. Cụ thể, ta hệ thống lại các kiến thức
về một số không gian hàm, toán tử quạt, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương
trình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiến hóa
tuyến tính.

1.1.

Những không gian hàm cơ bản

1.1.1.

Không gian Holder

Cho Ω ⊂ R là một tập mở và 0 < γ ≤ 1.
Định nghĩa 1.1. Hàm số u : Ω → R được gọi là liên tục Holder bậc γ nếu tồn tại
hằng số C > 0 sao cho
|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ ,

x, y ∈ Ω.

Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz. Kí hiệu không gian các hàm liên
tục Holder bậc γ là C0,γ (Ω).
b) Nửa chuẩn Holder bậc gamma của u ∈ C0,γ (Ω) là
[u]C0,γ (Ω) := sup

x=y
x,y∈Ω

6

|u(x) − u(y)|
.
|x − y|γ


Định nghĩa 1.2. Không gian Holder Ck,γ (Ω) là không gian các hàm u : Ω → R sao
cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục Holder bậc γ với chuẩn xác
định như sau:
u

Ck,γ (Ω)

:=

∑

Dα u

C(Ω) +

|α|≤k

1.1.2.

∑ [Dα u]C0,γ (Ω) .

|α|=k

Không gian Holder có trọng

Cho X là không gian Banach với chuẩn . , [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <
β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ ((a, b]; X) như
sau:
Định nghĩa 1.3. Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tục F : (a, b] →
X (hay F : [a, b] → X ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:
(1) Với β < 1, (t − a)1−β F(t) có giới hạn khi t → a.
(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ , cụ thể là
(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
sup
(t − s)σ
a≤s(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
= sup sup
< ∞.
(t − s)σ
a≤t≤b a≤s
(1.1)

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
→ 0.
(t − s)σ
a≤s
(1.2)

(3) Khi t → a,
ωF (t) = sup

Không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) được trang bị chuẩn
F

F β ,σ

1−β

= sup (t − a)
a≤t≤b

(s − a)1−β +σ F(t) − F(s)
F(t) + sup
. (1.3)
(t − s)σ
a≤s
Với chuẩn trên, không gian Fβ ,σ ((a, b]; X) trở thành một không gian Banach.
Phần dưới đây, ta nhắc lại một số kết quả đã biết trong không gian Sobolev.

1.1.3.

Không gian Sobolev

Để định nghĩa lớp các không gian Sobolev ta nhắc lại khái niệm đạo hàm yếu
của một hàm trong không gian L1,loc (Ω).
7

Định nghĩa 1.4. Xét hàm u ∈ L1,loc (Ω), ta nói rằng hàm v ∈ L1,loc (Ω) là đạo hàm
yếu của u theo biến x j , kí hiệu v = D j u, nếu
vϕdx = −
Ω

u
Ω

∂ϕ
dx,
∂xj

với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω). Tương tự, đạo hàm cấp α của u được kí hiệu bởi Dα u là hàm
thuộc không gian L1,loc (Ω) thỏa mãn
Dα uϕdx = (−1)|α|
Ω

uDα ϕdx,
Ω

với mọi ϕ ∈ C0∞ (Ω).
Định nghĩa 1.5. Không gian W k,p (Ω) là không gian hàm được xác định như sau
W k,p (Ω) := {u ∈ L p (Ω) : Dα u ∈ L p (Ω), ∀0 ≤ |α| ≤ k},
với chuẩn
u

W k,p

=

Dα u

∑

p
Lp

1
p

.

0≤|α|≤k

Trong trường hợp p = 2, kí hiệu W k,2 (Ω) là không gian H k (Ω). Không gian H k (Ω)
là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định như sau
< u, v >H k =

(Dα u, Dα v)L2 .

∑
0≤|α|≤k

1/2

u

Hk

=

Dα u

∑

2
L2

.

0≤α≤k
o

Định nghĩa 1.6. Không gian H k (Ω) là bao đóng của không gian C0∞ (Ω) trong
H k (Ω).
Định lý 1.1. (Định lý nhúng Sobolev) Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp
Ck trong Rn và giả sử u ∈ H k (Ω). Khi đó
n
i) Nếu k < thì u ∈ L2n/(n−2k) (Ω) và tồn tại hằng số C sao cho
2
u L2n/(n−2k) (Ω) ≤ C u H k (Ω) .
n
ii) Nếu k = thì u ∈ L p (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) và với mỗi p tồn tại một hằng số
2
C = C(p) sao cho
u L p (Ω) ≤ C u H k (Ω) .
8

iii) Nếu k > j +

n
thì u ∈ C j (Ω) và tồn tại hằng số C sao cho
2
u

1.2.

Toán tử quạt

1.2.1.

Toán tử quạt

C j (Ω)

≤C u

H k (Ω) .

Định nghĩa 1.7. Cho X,Y là hai không gian Banach, A : D(A) ⊂ X → Y , trong đó
D(A) là miền xác định của toán tử A.
• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.
• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X ×Y thì A được gọi là toán tử đóng,
tức là:
GA = {(x, y) : x ∈ D(A), y = Ax} là tập đóng.
Định nghĩa 1.8. Cho A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không
gian Banach X. Khi đó ta có các định nghĩa sau:

• Tập giải ρ(A) = {λ ∈ C : (λ − A)−1 ∈ L(X)}.
• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức.
• Tập phổ của A là σ (A) = C\ρ(A).
Định nghĩa 1.9. Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Giả sử A là một
toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A chứa trong một miền
quạt mở, cụ thể là
σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,

0 < ω ≤ π,

(1.4)

đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau
(λ − A)−1 ≤

M
,
|λ |

λ∈
/ Σω ,

(1.5)

với hằng số M ≥ 1. Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trên X.
Ký hiệu ωA là góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) và (1.5). Khi đó, ωA được gọi là góc
của toán tử quạt A.

9

1.2.2.

Hàm mũ của toán tử quạt

Trong luận văn này, ta luôn xét A là một toán tử quạt trong không gian Banach
X với góc 0 ≤ ωA < π2 và ω là góc sao cho ωA < ω < π2 . Khi đó ta có
σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} ,
và
(λ − A)−1 ≤

M
,
|λ |

(1.6)

λ∈
/ Σω .

(1.7)

Toán tử −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X (xem [6, Chương 2]), được
xác định bởi công thức tích phân sau
e−zA =

1
2πi

e−zλ (λ − A)−1 dλ ,

z ∈ Σ π −ω ,
2

Γ

trong đó Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A) và bao quanh σ (A) theo định
hướng ngược chiều kim đồng hồ. Tích phân này hội tụ trong L(X).
Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công thức
e−tA =

1
2πi

e−tλ (λ − A)−1 dλ ,

0 < t < ∞.

Γ

Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.
Mệnh đề 1.1 ([6], Mệnh đề 2.5). Với mỗi φ sao cho 0 < φ <
mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

π
2

− ω, tồn tại một số

e−zA ≤ Cφ e−δφ |z| , z ∈ Σφ − {0} .

Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt.

1.2.3.

Hàm lũy thừa của toán tử quạt

Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa
A−z =

1
2πi

λ −z (λ − A)−1 dλ ,
Γ

trong đó Γ là đường cong bao quanh σ (A) theo định hướng ngược chiều kim đồng
hồ nằm trong (C\(∞, 0]) ∩ ρ(A). Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 và
hàm này nhận giá trị trong L(X).
10


Định nghĩa At với t ∈ R như sau:
a) Khi t = 0, A0 ≡ I.
b) Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈ L(X).
c) Khi t > 0, At = (A−t )−1 là khả nghịch và D(At ) trù mật trong X. Hơn nữa,
với 0 < t1 ≤ t2 thì D(At2 ) ⊂ D(At1 ). Ngoài ra, D(At ) có thể được xác định bằng
cách nội suy không gian, cụ thể như sau:
D(As ) = [D(As1 ), D(As2 )]θ
với 0 ≤ θ ≤ 1 và s = s1 (1 − θ ) + s2 θ . Ta có các tính chất sau của toán tử lũy thừa
và toán tử mũ:

Với mỗi 0 < φ < π2 , khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới 1 trong X
(xem [6, Định lý 2.21]).
Đặc biệt, với 0 < θ < 1, Aθ là một toán tử quạt của X với góc quạt ≤ θ ωA . Hơn
nữa Aθ thỏa mãn bất đẳng thức năng lượng sau
Aθ U ≤ C AU

θ

U

1−θ

U ∈ D(A)

,

trong đó C là hằng số phụ thuộc θ .
Ta có
1
Aθ e−tA = e−tA Aθ =
λ θ e−tλ (λ − A)−1 dλ
2πi Γ
π
trong đó ωA < ω < . Ta có đánh giá chuẩn của Aθ e−tA như sau
2
Aθ e−tA ≤ Ct −θ ,

0 < t < ∞, 0 < θ < ∞.

Hơn nữa

A−z < ∞.

sup

(1.8)

|arg z|<φ ,0<|z|<1

Cho 0 < θ ≤ 1, ta có
t

e−tA − 1 A−θ ≤
0

A1−θ e−τA dτ ≤ Cθ

t
0

τ θ −1 dτ ≤ Cθ t θ ,

0 < t < ∞.
(1.9)

Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,
t θ Aθ e−tA

hội tụ mạnh tới 0 trên X.

(1.10)

Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì
t −θ e−tA − 1 A−θ

hội tụ mạnh tới 0 trong X .
11

(1.11)


Định lý 1.2 ([6], Định lý 2.27). Cho 0 < β ≤ 1 và U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, với mọi σ
sao cho 0 < σ < β ≤ 1 và mọi 0 < T < ∞, ta có
Ae−tAU0 ∈ Fβ ,σ ((0, T ] ; X)
và ước lượng
Ae−tAU0

1.2.4.

F β ,σ ((0,T ];X)

≤ CT Aβ U0

X

.

Xấp xỉ Yosida

Định nghĩa 1.10. Cho A là một toán tử quạt của X với góc ωA . Ta xác định dãy An
của các toán tử tuyến tính bị chặn trên X bởi công thức

An = A(1 + n−1 A)−1 = n − n2 (n + A)−1 , n = 1, 2, 3, ...
Dãy {An }n=1,2,3,... được gọi là Xấp xỉ Yosida của A.
Giả sử An là xấp xỉ Yosida của A. Khi đó An là các toán tử quạt, đồng thời ta có
ước lượng
Aθn e−tAn ≤ Ct −θ ,
0 < t < ∞,
0 < θ < ∞.
(1.12)
và
Aθn e−tAn → Aθ e−tA

trong L(X) 0 < t < ∞,

0 < θ < ∞.

(1.13)

1.3.

Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính

1.3.1.

Cặp không gian liên hợp

Cho X, X ∗ là hai không gian Banach trên C với chuẩn tương ứng là . X và
. X ∗ . Ánh xạ nhận giá trị phức ., . xác định trên không gian tích X × X ∗ được gọi
là dạng nửa song tuyến tính nếu ., . thỏa mãn
i. αu1 + β u2 , v = α u1 , v + β u2 , v , α, β ∈ C; u1 , u2 ∈ X; v ∈ X ∗ ,
ii. u, αv1 + β v2 = α u, v1 + β u, v2 , α, β ∈ C; u ∈ X; v1 , v2 ∈ X ∗ .

Hơn nữa, dạng nửa song tuyến tính ., . trên X × X ∗ được gọi là tích đối ngẫu nếu
nó thỏa mãn
i) | U, Φ | ≤ U

Φ ,

với mọi

U ∈ X, Φ ∈ X ∗ ,
12


ii)

U = sup

iii)

Φ = sup

Φ ≤1 |
U ≤1 |

U, Φ |,

với mọi

U ∈ X,

U, Φ |,

với mọi

Φ ∈ X ∗.

Khi đó {X, X ∗ } được gọi là một cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu là ., . .
Cho X, X ∗ là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ., . . Với mỗi G ∈ X ∗ ,
., G là hàm tuyến tính liên tục trên X. Kí hiệu X là không gian gồm các phiếm
hàm tuyến tính liên tục trên X, ta xét tương ứng
J : X∗
G

→X
→ JG

được xác định bởi
(JG)(F) = F, G ,

∀ F ∈ X.

(1.14)

Ta có
JG
G

X

= sup (JG)(F) = sup | F, G | ≤ G

X∗

= sup | F, G | = sup (JG)(F) ≤ JG

F X ≤1

X∗ ,

G ∈ X ∗,

,

G ∈ X∗

F X ≤1

F X ≤1

F X ≤1

X

Do đó J là phép nhúng bảo toàn chuẩn từ X ∗ vào X . Khi đó ta có kết quả sau
Định lý 1.3 ([6], Định lý 1.17). Cho X là không gian Banach phản xạ và X, X ∗ là
cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ., . . Khi đó phép nhúng J : X ∗ → X
được xác định bởi (1.14) là một đẳng cấu. Do đó với mỗi Φ ∈ X thì tồn tại duy nhất
G ∈ X ∗ sao cho
Φ X = G X∗
và
Φ(F) = F, G

1.3.2.

∀F ∈ X.

Bộ ba không gian

Xét (Z, ((., .))), (X, (., .)) là hai không gian Hilbert thỏa mãn Z nhúng liên tục
và trù mật trong X.
Định nghĩa 1.11. Giả sử tồn tại không gian Banach Z ∗ thỏa mãn các điều kiện sau
i) Z ⊂ X ⊂ Z ∗ nhúng liên tục và trù mật.
13


ii) (Z, Z ∗ ) là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu ., .

Z,Z ∗ .

iii) Tích đối ngẫu trên thỏa mãn tính chất z, x = (z, x) với mọi z ∈ Z, x ∈ X. Khi
đó ba không gian Z ⊂ X ⊂ Z ∗ được gọi là bộ ba không gian.
Cho Z ⊂ X ⊂ Z ∗ là một bộ ba không gian. Giả sử a : Z × Z → C là dạng nửa
song tuyến tính, tức là a thỏa mãn các điều kiện sau
i) a(αu1 + β u2 , v) = αa(u1 , v) + β a(u2 , v),

α, β ∈ C; u1 , u2 , v ∈ Z,

ii) a(u, αv1 + β v2 ) = αa(u, v1 ) + β a(u, v2 ),

α, β ∈ C; u, v1 , v2 ∈ Z.

Hơn nữa giả sử a(., .) liên tục, tức là tồn tại số M ≥ 0 sao cho
|a(u, v)| ≤ M u

v ,

∀u, v ∈ Z,

(1.15)

với mỗi u ∈ Z ta có a(u, .) là hàm tuyến tính liên tục trên Z. Do đó theo Định lý 1.3
thì tồn tại duy nhất Φ ∈ Z ∗ sao cho
a(u, v) = v, Φ

∀v ∈ Z

Z×Z ∗

nghĩa là
∀v ∈ Z.

a(u, v) = Φ, v
Khi đó ánh xạ
A:

Z
u

→ Z∗
→Φ

là một toán tử tuyến tính và A được gọi là toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa
song tuyến tính a(u, v). Khi đó
a(u, v) = Au, v ,

u, v ∈ Z

(1.16)

Mặt khác, ta có
Au

Z∗

= sup | Au, v | = sup |a(u, v)| ≤ sup M u
v ≤1

v ≤1

v =M u

Z

v ≤1

nên toán tử A liên tục và A ≤ M.
Ta nói a(., .) thỏa mãn điều kiện bức nếu
Rea(u, u) ≥ δ u 2 ,
trong đó δ > 0 là hằng số.
14

u ∈ Z.

(1.17)


Định lý 1.4 ([6], Định lý 1.24). Cho dạng nửa song tuyến tính a(u, v) thỏa mãn
điều kiện (1.15), (1.17) và A là toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v).
Khi đó A là một đẳng cấu từ Z vào Z ∗ và là một toán tử tuyến tính đóng, xác định
trù mật trong Z ∗ .
Xét hạn chế của A trên X, Z, ký hiệu là A|X , A|Z được xác định như sau:
D(A|X ) = {u ∈ Z, Au ∈ X}
A|X u = Au,
và
D(A|Z ) = {u ∈ Z, Au ∈ Z}
A|Z u = Au.
Ta có toán tử A, A|X , A|Z là các toán tử tuyến tính, đóng và xác định trù mật trong
Z ∗ , X, Z.
Với mỗi Reλ ≤ 0 ta có dạng nửa song tuyến tính
a(u, v) − λ (u, v),

u, v ∈ Z

là liên tục và thỏa mãn điều kiện bức trên Z. Do đó, A − λ là một phép đẳng cấu từ
Z vào Z ∗ . Với Reλ ≤ 0 ta có một số ước lượng liên quan đến tập giải (λ − A)−1 như
sau
|λ | (λ − A)−1 Φ ∗ ≤ (Mδ −1 + 1) Φ ∗ , Φ ∈ Z ∗ ,
|λ ||(λ − A)−1 F| ≤ (Mδ −1 + 1) F ,

F ∈ X,

|λ | (λ − A)−1U ≤ (Mδ −1 + 1) U ,

U ∈ Z.

Từ các ước lượng này ta có kết quả sau
Định lý 1.5 ([6], Định lý 2.1). Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính trên
Z thỏa mãn điều kiện (1.15), (1.17). Khi đó, toán tử A liên kết với dạng nửa song
tuyến tính a(u, v) và các hạn chế A|X , A|Z là các toán tử tuyến tính thỏa mãn điều
M+δ
π
. Tức là các toán tử A, A|X , A|Z là
kiện (1.4), (1.5) với góc ω = và hằng số
2
δ
π
toán tử quạt trên Z ∗ , X, Z với các góc phổ nhỏ hơn .
2

15


1.4.

Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn
hợp

Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử biên ∂ Ω chia thành
ΓD và ΓN thỏa mãn ∂ Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = 0/ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω.
Đặt
Z

0
= HD1 (Ω) = {u

∈ H 1 (Ω) : u = 0

trên ΓD }.

Xét bộ ba không gian Z ⊂ L2 (Ω) ⊂ Z∗ và dạng nửa song tuyến tính trên Z là
a : Z × Z → C xác định bởi
n

a(u, v) =

ai j (x)Di uD j vdx +

∑

c(x)uvdx,

u, v ∈ Z.

(1.18)

Ω

i, j=1 Ω

Trong đó ai j (1 ≤ i, j ≤ n) là các hàm nhận giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện
ai j ∈ L∞ (Ω),

1 ≤ i, j ≤ n,

(1.19)

n

∑

ai j ζi ζ j ≥ δ |ζ |2 ,

(ζ ∈ Rn , δ > 0),

(1.20)

i, j=1

và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn
c(x) ∈ L∞ (Rn ) và c(x) ≥ c0 > 0 hầu khắp nơi trên Ω.

(1.21)

Ta có a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục trên Z. Gọi A là toán tử liên kết
với dạng nửa song tuyến tính a(u, v), khi đó A thỏa mãn
Au, v = a(u, v).
Do đó, A là toán tử xác định bởi
Au = −

n

∑

D j [ai j (x)Di u] + c(x)u.

i, j=1

với miền xác định D(A) trù mật trong Z ∗ . Hơn nữa nếu u ∈ D(A) thì
u = 0 trên ΓD

và

16

∂u
= 0 trên ΓN .
∂ νA

(1.22)


Định lý 1.6 ([6],Định lý 2.5). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Giả sử ta
có các giả thiết (1.19), (1.17), (1.21). Khi đó toán tử A liên kết với dạng (1.18) và
π
các hạn chế A|L2 (Ω) , A| 0
thỏa mãn (1.4), (1.5) với góc ω = và hằng số M
2
HD1 (Ω)
được xác định bởi ai j L∞ , c L∞ , δ , c0 . Tức là các toán tử A, A|L2 (Ω) , A| 0
là
toán tử quạt trong

0
HD1 (Ω)

HD1 (Ω)

∗

0

, L2 (Ω), HD1 (Ω) với các góc phổ nhỏ hơn

π
.
2

0
HD1 (Ω)

Chú ý 1.1. Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Khi Z =
thì điều
kiện bức (1.17) có được nhờ sử dụng tính dương của hàm c(x). Từ bất đẳng thức
0

Poincare ta có u L2 ≤ C ∇u L2 với mọi u ∈ HD1 (Ω). Do đó từ (1.20) và điều kiện
c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.17).
Hơn nữa, ta còn có kết quả sau:
Định lý 1.7 ([6], Định lý 2.10). Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz được tách
như sau ∂ Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN = 0/ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω. Giả sử ta
có các giả thiết (1.19), (1.17), (1.21) và hai điều kiện sau:

|B(x0 , R) ∩ ΓD | ≥ γ.Rn−1 , ∀x0 ∈ ΓD ,

(1.23)

|B(x0 , R) ∩ Ω| ≥ γ.Rn , ∀x0 ∈ ΓN , B(x0 , R) ∩ ΓD = 0,
/

(1.24)

trong đó γ là hằng số, B(x0 , R) là hình cầu mở tâm x0 ∈ ∂ Ω bán kính R > 0. Khi
đó, tồn tại p > 2 sao cho hạn chế A|L2 của toán tử liên kết với dạng (1.18) trong
0
HD1 (Ω)

có miền xác định thỏa mãn
D(A|L2 ) ⊂ Wp1 (Ω).

Hơn nữa ta có ước lượng
u

Wp1 (Ω)

≤ C( A|L2 u

L2

+ u

L2 ).

Trong bài toán này ta xét dạng nửa song tuyến tính với ai j = δi j ; c(x) = 0. Ta có
a(u, v) =

∇u∇vdx

(u, v

0
∈ HD1 ).

Ω

Khi đó, toán tử liên kết với a(u, v) là
n

Au = − ∑ D2i u = −∆u.
i=1

17


Ta có A là toán tử quạt trên HD−1 (Ω) . Đặt Λ = A|L2 . Khi đó, miền xác định của
toán tử Λ1/2 trùng với Z (xem [6, Định lý 2.34]), tức là
D(Λ

1/2

Hơn nữa, với

0

) = HD1 .

1
< η < 1 thì
2

D(Λη ) = [D(Λ1/2 ), D(Λ)]2η−1
⊂ [H 1 (Ω),Wp1 (Ω)]2η−1
⊂ [L p (Ω),Wp1 (Ω)]2η−1 = [Wp0 (Ω),Wp1 (Ω)]2η−1 = Wp2η−1 .
Theo Định lý nhúng Sobolev ta thấy nếu 2η − 1 >

1 1
2
↔ η > + thì ta có
p
p 2

D(Λη ) ⊂ Wp2η−1 ⊂ C(Ω) ⊂ L∞ (Ω)

1.5.

Phương trình tiến hóa

Phương trình tiến hóa tuyến tính
Ta xét bài toán giá trị ban đầu

 dU
+ AU = F(t),
dt
 U(0) = U

0
(1.25)

0

trong không gian Banach X. Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A là một
toán tử quạt trong X với góc ωA < π2 . Hàm F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1.
Giá trị ban đầu U0 được lấy trong X.
Định lý 1.8 ([6], Định lý 3.4). Cho A thỏa mãn (1.6) và (1.7). Với mỗi hàm F ∈
Fβ ,σ ((0, T ]; X), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban đầu U0 ∈ X, luôn tồn
tại duy nhất một nghiệm U của (1.25) nằm trong không gian hàm
U ∈ C([0, T ] ; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1 ((0, T ]; X)

(1.26)

và thỏa mãn ước lượng
U(t) + t

dU
(t) + t AU(t) ≤ C( U0 + F
dt
18

F β ,σ ),

0 ≤ t ≤ T. (1.27)

Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức
t

U(t) = e−tAU0 +

e−(t−τ)A F(τ)dτ,

0 ≤ t ≤ T.

(1.28)

0

Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ ), ta có thể chứng minh được tính chất tốt
hơn của nghiệm.
Định lý 1.9 ([6], Định lý 3.5). Cho F ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1, và cho
U0 ∈ D(Aβ ). Khi đó, nghiệm U của (1.25) có các tính chất sau:
Aβ U ∈ C((0, T ]; X),

(1.29)

dU
, AU ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X),
dt

(1.30)

với các ước lượng
Aβ U
dU

dt

C

≤C

+ AU
F β ,σ

F β ,σ

Aβ U0 + F
≤C

F β ,σ

Aβ U0 + F

,

(1.31)
F β ,σ

.

(1.32)

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính
Cho X là một không gian Banach với chuẩn . . Ta xét bài toán Cauchy cho
phương trình nửa tuyến tính như sau


 dU
+ AU = F(U) + G(t),
0 < t ≤ T,
(1.33)
dt
 U(0) = U ,
0

trong X. Trong đó, A là một toán tử quạt trên X thỏa mãn (1.6) và (1.7), F là một
toán tử phi tuyến đi từ D(Aη ) vào X, với
0 ≤ η < 1.

(1.34)

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz
F(U) − F(V ) ≤ ϕ( U + V ) [ Aη (U −V ) + ( Aη U + Aη V ) (U −V ) ] ,
(1.35)
η
trong đó U,V ∈ D(A ) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng. Từ (1.35), ta suy ra F thỏa
mãn ước lượng sau
F(U) ≤ ψ( U )( Aη U + 1),
19

U ∈ D(Aη ),

(1.36)


với ψ(ξ ) = F(0) +ϕ(ξ )(ξ +1). Hàm G(t) được cho trong không gian Fβ ,σ ((0, T ]; X),

0 < σ < β.
Định lý 1.10 ([6], Định lý 4.4). Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.6), (1.7) và F
thỏa mãn (1.35), (1.34). Khi đó, với mỗi hàm G ∈ Fβ ,σ ((0, T ]; X), 0 < σ < β ≤
1 − η, và bất kỳ U0 ∈ X, (1.33) có duy nhất một nghiệm địa phương U thuộc không
gian hàm
U ∈ C([0, TG,U0 ]; X) ∩C1 ((0, TG,U0 ]; X),
trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào G
lượng
U(t) + t

F β ,σ

AU ∈ C((0, TG,U0 ]; X),

và U0 . Hơn nữa, U thỏa mãn ước

dU
(t) + t AU(t) ≤ CG,U0 ,
dt

với hằng số CG,U0 > 0 phụ thuộc vào G

F β ,σ

20

(1.37)

0 ≤ t ≤ TG,U0 ,

và U0 .

(1.38)


Chương 2

Mô hình động học rừng với
điều kiên biên hỗn hợp
Trong chương này ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phương, nghiệm toàn
cục của bài toán mô hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp. Phần cuối
chương ta kiểm tra tính liên tục của nghiệm và xây dựng hệ động lực cho mô hình
này.
Xét mô hình động lực rừng với điều kiện biên hỗn hợp

∂u


= β δ w − γ(v)u − f u
trong Ω × (0, ∞),



∂t


∂v


= f u − hv

trong Ω × (0, ∞),



∂t

 ∂w
= d∆w − β w + αv
trong Ω × (0, ∞), (2.1)
∂t



u=v=w=0
trên ΓD × (0.∞),




∂w


=0
trên ΓN × (0.∞),



∂n

 u(x, 0) = u (x), v(x, 0) = v (x), w(x, 0) = w (x) trong

Ω,
0

0

0

trong đó Ω là khu vực rừng có thể phát triển và Ω ⊂ R2 là một miền bị chặn với biên
Lipschitz. Giả sử biên ∂ Ω chia thành ΓD và ΓN thỏa mãn ∂ Ω = ΓD ∪ ΓN , ΓD ∩ ΓN =
0/ và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω. Các hàm u(x,t) và v(x,t) lần lượt là mật độ
cây non và mật độ cây trưởng thành vị trí x ∈ Ω và tại thời điểm t ∈ [0, ∞). Hàm
w(x,t) là mật độ hạt trong không khí tại x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞). Phương trình đầu
tiên thể hiện sự phát triển của các cây non; phương trình thứ hai thể hiện sự phát
21


triển của các cây trưởng thành; phương trình thứ ba thể hiện sự khuếch tán của các
hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt, và α > 0 và β > 0 lần
lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất. Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ
hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của cây non, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành
v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triển thành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của
cây trưởng thành. Hàm γ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2 + c, với a > 0, b > 0 và
c > 0. Hàm w là mật độ hạt trong không khí, được xác định trên toàn Ω. Các hàm
giá trị ban đầu không âm u0 (x) ≥ 0, v0 ≥ 0 và w0 ≥ 0 được lấy trong Ω.

2.1.

Nghiệm địa phương

Trước tiên, ta xét không gian nền của bài toán (2.1)

X = (u, v, w)t : u ∈ L∞ (Ω), v ∈ L∞ (Ω) và w ∈ L2 (Ω)

(2.2)

và không gian giá trị ban đầu
K = (u, v, w)t

với 0 ≤ u, v ∈ L∞ (Ω); 0 < w ∈ L2 (Ω) .

Ta viết lại (2.1) thành bài toán Cauchy của một phương trình tiến hóa

 dU
+ AU = F(U),
0dt
 U(0) = U ,

(2.3)

0

trong X. Ở đây A là toán tử tuyến tính trên X xác định bởi A = diag { f , h, Λ},
D(A) = (u, v, w)t : u ∈ L∞ (Ω), v ∈ L∞ (Ω) và w ∈ D(Λ) ,
trong đó Λ là toán tử liên kết với −d∆ + β trong L2 (Ω) với điều kiện biên hỗn hợp
(xem mục 1.4). Theo Định lý 1.7 tồn tại p > 2 mà D(Λ) ⊂ Wp1 (Ω).
Toán tử phi tuyến F : D(Aη ) → X được xác định bởi


β δ w − γ(v)u



U = t (u, v, w) ∈ D(Aη ),
F(U) = 
fu
,
αv
trong đó η là số mũ cố định thỏa mãn
D (Aη ) =

t

1 1
+ < η < 1 và
p 2

(u, v, w) : u, v ∈ L∞ (Ω) và w ∈ D(Λη ) .
22