Dao động uốn của tấm mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng

Lời nói đầu
Trong các nghành công nghiệp hiện nay, đặc biệt là nghành chế tạo máy,
xây dựng, giao thông, máy bay, tàu thuỷ, các kết cấu dạng tấm và vỏ đ ợc sử
dụng rộng rãi với nhiều loại vật liệu khác nhau vì chúng có những u điểm nh
nhẹ, bền, tiết kiệm vật liệu và đảm bảo đợc yêu cầu đa dạng của cơ học và tạo
dáng công nghiệp.
Tuy nhiên, việc sử dụng các kết cấu tấm và vỏ đặt ra yêu cầu cao về công
nghệ chế tạo, thi công cũng nh tính toán thiết kế. Riêng về mặt tính toán kết
cấu tấm và vỏ đã có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến việc xây
dựng các lý thuyết khác nhau cũng nh các phơng pháp tính toán các loại kết
cấu cụ thể, nhằm giải quyết các yêu cầu về độ bền và độ ổn định của kết
cấu.Trong các phơng pháp tính toán kết cấu hiện nay ngời ta thờng dùng các
phơng pháp tính gần đúng, đặc biệt là phơng pháp phần tử hữu hạn đợc thừa
nhận là một phơng pháp có hiệu quả nhất để tính toán các trạng thái ứng suất,
chuyển vị trong kết cấu. Hơn nữa, nó lại có thể tính toán các kết cấu có hình
dáng bất kỳ và sử dụng tính một cách thuận tiện nhất. Vì vậy, trong thời gian
gần đây phơng pháp phần tử hữu hạn đợc ứng dụng ngày càng phổ biến hơn.
Trong đồ án tốt nghiệp này, với đề tài đợc giao: Dao động uốn của tấm
mỏng hình chữ nhật với điều kiện biên không đối xứng em đã tiến hành
nghiên cứu và triển khai trên máy tính bằng Maple và Matlab. Kết quả tính
toán đã đợc so sánh với kết quả của chơng trình ứng dụng Sap 2000 và còn đợc
thể hiện bằng đồ hoạ ra màn hình.
1
chơng 1 tổng quan về lý thuyết uốn tấm mỏng
1.1 Khái niệm.
Tấm là phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bề dày của nó nhỏ so với các
kích thớc khác.
Tấm mỏng là một vật thể hình trụ có chiều cao h nhỏ so với kích thớc của
hai mặt đáy. Chiều cao h gọi là bề dày của tấm. Mặt trung gian là mặt chia đôi
bề dày của tấm ( hình 1.1 ). Mặt đàn hồi là mặt trung gian bị uốn cong dới tác
dụng của ngoại lực. Tuỳ theo những hình dạng của tấm ta có những tên gọi

thích hợp nh : tấm tròn, elíp, vuông, chữ nhật, hình bình hành, tam giác
O

x
h mặt trung
bình
y z
p mặt trung bình
m m
h x
n n
z mặt đàn hồi
Hình 1.1
Khi nghiên cứu ta chọn mặt toạ độ xOy trùng với mặt trung gian. Trục z h-
ớng xuống dới. Khi đó chuyển vị w theo phơng trục z sẽ là độ võng của tấm.
Khi nghiên cứu tấm mỏng chịu uốn ta dựa trên một số giả thiết sau:
Phần tử thẳng mn ( hình 1.1) ở trong tấm thẳng góc với mặt trung gian
thì sau khi uốn vẫn thẳng góc với mặt trung gian ( mặt đàn hồi ) đã bị
2
uốn, chiều dài đoạn đó không đổi. Ngời ta thờng gọi đó là giả thiết về
các phần tử phẳng của Kirchoff. Theo giả thiết về phần tử phẳng, nếu
chọn mặt trung gian là Oxy thì góc vuông giữa pháp tuyến với các trục
x và y sau khi uốn vẫn vuông tức là không có biến dạng trợt :

0
==
zxyz

suy ra
0

==
zxyz

(a)
Còn chiều dài đoạn thẳng mn không đổi, suy ra
z
= 0 (b)
Bỏ qua
z
gây ra do các lớp nằm ngang của tấm ép lên nhau. Theo giả
thiết này ta có :

xyxyxyyyxx
GEE
àà
1
;)(
1
;)(
1
===
(c)
Trên mặt trung gian các điểm chỉ có dịch chuyển theo phơng z nghĩa là
xem :
u(0) = 0 ; v(0) = 0 ; w(0) = 0
1.2 tơng quan giữa chuyển vị biến dạng - ứng suất.
1.2.1 Hệ thức Côsi giữa biến dạng và chuyển vị.
Véc tơ
};;{
''''

zzyyxxPP

hay
},,{
'
wvuPP
gọi là véctơ chuyển vị của
điểm P trong hệ toạ độ Đềcác. u, v, w gọi là các thành phần chuyển vị theo ph-
ơng x, y, z tơng ứng ( hình vẽ 1.2).
Biến dạng dài tỉ đối theo các phơng x, y, z xác định theo hệ thức Côsi
( hình vẽ 1.3):
x
u
dx
udx
x
u
u
x


=

+
=


y
v
dy
vdy
y
v
v
y


=











+
=

(1.1)
z
w
dz
wdz
z
w
w
z


=









+
=

3
z

),,(
''''
zyxP

),,( zyxP
O y
x
H×nh 1.2

y
dy
y
u
u
∂
∂
+



dy
y
v
v
∂
∂
+


dy
γ α A
’

v
B
’
β
dx
x
v
v
∂
∂
+
B dx A
u
dx
x
u
u
∂
∂
+
O x
H×nh 1.3
BiÕn d¹ng gãc t¬ng ®èi:
y
u
x
v
dy
udy
y

u
u
dx
vdx
x
v
v
xy
∂
∂
+
∂
∂
=








−
∂
∂
+
+







−
∂
∂
+
=+=−=
γβα
π
γ
2
4
Tơng tự ta có :











+


=

+


=


+


=
z
u
x
w
z
v
y
w
y
u
x
v
xz
yz
xy



(1.2)

Công thức trên có thể viết dới dạng :










+


=
i
j
j
i
ij
x
u
x
u
2
1

với
ij

là thành phần
của tenxơ biến dạng:

















=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
T




2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
hoặc










333231
22221
311211



(1.3)
Trong đó : u
i

( i=1, 2, 3 ) là các thành phần của véctơ chuyển vị
'
PP
.
Nếu gọi véctơ chỉ phơng của đoạn AB ở trạng thái trớc khi biến dạng là


;
véctơ chỉ phơng của BC là

à
, thì sự thay đổi góc giữa hai vécơ đó sau khi biến
dạng đợc xác định theo công thức :
ijij
v
à
2
=
( i, j = 1, 2, 3 lấy tổng theo i, j )
1.2.2 Định luật Hooke tổng quát
Trong vật rắn biến dạng đàn hồi, quan hệ biến dạng ứng suất tuân theo
định luật Hooke :

klijklij
C

=
( i, j, k, l = 1ữ 3, tổng theo k, l ) (1.4)
Trong đó
ijkl

C
là tenxơ các hằng số đàn hồi và là tenxơ hạng bốn.
5
hay :

=

13
23
12
33
22
11
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
13
23
12
33
22
11

CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
(1.5)
Nếu vật liệu đẳng hớng, tenxơ các hằng số đàn hồi chỉ có hai hằng số độc
lập và , gọi là hằng số Lamê, khi đó :

)3,1,(
=+=
ji
ijijij


iiij

=++=
332211
gọi là biến dạng thể tích tỉ đối.

=
=
jikhi
jikhi
ij
0
1

là kí hiệu Kronecker.
hay dới dạng khai triển :
6






=+=
=+=
=+=
13133333
23232222
12121111
.;2
.;2
.;2

(1.6)

)1(2
;
)21)(1(
à

àà
à

+
==
+
=
E
G
E
Trong đó : E môđun đàn hồi ; à - hệ số Poátxông ; G môđun trợt .
Từ ( 1.1 ) ta có thể tính các thành phần biến dạng:









+
=

ijijij

à
à



.
12
1
; với =
11
+
22
+
33
(1.7)
hay :

[ ]
[ ]
[ ]

==+=
==+=
==+=
GE
GE
GE
13
131322113333
23
232333112222
12
121233221111
2;)(
1
2;)(
1
2;)(
1

à

à

à
(1.8)
1.2.3 Quan hệ giữa chuyển vị biến dạng ứng suất.
Xét mặt tấm chịu tải trọng vuông góc với mặt trung gian.
Từ giả thiết 1: Biến dạng dài
0

=


=
z
w
z

, ta thấy chuyển vị w chỉ là hàm của
hai biến x, y không phụ thuộc vào z. Do đó w = w(x,y). (d)
Mọi điểm nằm trên đờng vuông góc với mặt trung gian đều có chuyển vị w
nh nhau.
Các chuyển vị u, v đợc tính theo chuyển vị w nh sau :
Từ điều kiện (a) ta có :
0;0
=


+


==


+


=
z
u

x
w
y
w
z
v
xzyz

Rút ra
x
w
z
u
y
w
z
v


=




=


;

(e)

7
Lấy tích phân biểu thức (e) theo z ta đợc :
),(
),(
2
1
yxf
y
w
zv
yxf
x
w
zu
+


=
+


=
Trong đó f
1
, f
2
là các hàm của hai biến (x,y).
Để xác định f
1
(x,y), f

2
(x,y), tại z = 0 ta có : u(0) = f
1
(x,y), v(0) = f
2
(x,y)
Theo giả thiết 3 ta có : u(0) = f
1
(x,y) = 0, v(0) = f
2
(x,y) = 0.
Suy ra :
y
w
zv
x
w
zu


=


=
;

(1.9)
Thay (1.9) vào các công thức Côsi (1.1) ta tìm đợc các biến dạng theo
chuyển vị w.

2
2
x
w
z
x
u
x


=


=

,
2
2
y
w
z
y
v
y


=


=

,
yx
w
z
x
v
y
u
xy


=


+


=
2
2


(1.10)
Khi đã biết chuyển vị theo (1.10), dựa vào định luật Hoocke (1.8) ta nhận đợc
các biểu thức ứng suất theo chuyển vị w :

+



=+

=
2
2
2
2
22
1
)(
1 y
w
x
wEzE
yxx
à
à
à
à

+



=+

=
2
2
2
2
22
1
)(
1 x
w
y
wEzE
xyy

à
à
à
à

(1.11)

yx
wEzE
xyyxxy


+
=
+
==
2
1)1(2
à

à

1.2.4 Quan hệ giữa ứng suất và nội lực.
Xét một phân tố đợc tách ra từ hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian
cách nhau một đoạn dx và hai mặt phẳng vuông góc với mặt trung gian cách
nhau một đoạn dy. Chiều cao của phân tố bằng bề dày của tấm ( hình 4)

8

2

h
O x

x


xz


y
2
h

y


yz


yx


xy


z
Tại một điểm có toạ độ z trên mặt vuông góc với trục x có các ứng suất
x
,

xy
,
xz
tác dụng, trên mặt vuông góc với trục y có các ứng suất
y
,
yx
,
yz
tác
dụng. Còn các thành phần
xz
=
yz
= 0 (theo giả thiết 1). Trong thực tế các ứng
suất này là khác không, vì nếu không có nó thì sẽ không thoả mãn điều kiện
cân bằng của phân tố đợc tách ra để khảo sát. Nhng các ứng suất này là nhỏ so
với các ứng suất
x
,
y
,
xy
nên ta đa vào giả thiết 1 để bỏ qua cho bài toán đ-
ợc đơn giản.
Đại lợng

=
F
zx

dFN

gọi là lực pháp trên một đơn vị dài theo phơng x.
Trong đó : dF = l.dz ; h là bề dày của tấm.
Suy ra


=
2
2
h
h
zx
dzN


Tơng tự :


=
2
2
h
h
yy
dzN

là lực pháp theo phơng y.
9

=
2
2
h
h
xy
dzT

là lực tiếp trên một đơn vị dài.
Thứ nguyên của N
x
, N
y
, T là [ lực/ chiều dài ].Thay trị số ứng suất theo (1.11)
vào các biểu thức lực pháp và tiếp, thực hiện phép lấy tích phân, ta thấy các lực
này trong tấm mỏng bằng không: N
x
= N
y
= T = 0. (1.12)
Các đại lợng


==
2
2
2
2

..;..
h
h
yy
h
h
xx
dzzMdzzM


(1.13)
đợc gọi là mômen uốn trên một đơn vị dài.
Đại lợng


=
2
2
..
h
h
xyxy
dzzM

là mômen xoắn trên một đơn vị dài. (1.14)
Các mômen này có thứ nguyên là [(lực x chiều dài)/ chiều dài ], ví dụ Nm/m,
kNm/m.
Đại lợng

==
2
2
2
2
.;.
h
h
yzy
h
h
xzx
dzQdzQ

là lực cắt trên một đơn vị dài, có thứ
nguyên là [ lực/ chiều dài ], ví dụ N/m, kN/m .
Sau khi lấy tích phân với các giá trị ứng suất theo (1.12), các giá trị mômen
uốn và xoắn đợc tính theo độ võng là :
M
x
=


=
2
2
h
h
x
zdz

- D










+


2
2
2
2
y
w
x
w
à

(1.15)
10
M
y
=

=
2
2
h
h
y
zdz

- D










+


2
2
2
2
x
w

y
w
à

(1.16)
M
xy
=


=
2
2
h
h
xy
zdz

- D
)1(
à

yx
w


2

(1.17)
Q

x
=










+


=


2
3
3
3
2
2
.
yx
w
x
w
Ddz

h
h
xz


(1.18)
Q
y
=










+


=


2
3
3
3
2

2
.
xy
w
x
w
Ddz
h
h
yz


(1.19)
Trong đó : D =
)1(12
2
3
à

Eh
gọi là độ cứng trụ của tấm.
Quy ớc chiều trên ( hình 1.5 ) biểu diễn các nội lực dơng.
So sánh (1.11) và (1.15) ữ (1.19) ta nhận đợc biểu thức quan hệ giữa ứng
suất và nội lực.


M
xy
M
x

x
11
M
y
M
yx
Q
x
y Q
y


Hình 1.5
z
J
M
z
h
M
xx
x
==
3
12


z
J
M
z

h
M
yy
y
==
3
12

(1.20)
z
J
M
z
h
M
xyxy
xy
==
3
12

Trong đó :
12
3
h
J
=
Vậy các ứng suất có giá trị lớn nhất, bé nhất tại các mặt
2
h

z
=
.
1.2.5 Các phơng trình cân bằng tĩnh học.
1.2.5.1 Phơng trình cơ bản của uốn thuần tuý.
M
y
M
x
x
12

M
x
y M
y
z
Hình 1.6 Uốn thuần tuý tấm mỏng hình chữ nhật
Tấm mỏng hình chữ nhật ở hình 1.6, dới tác dụng của mômen uốn thuần tuý
có cờng độ M
x
và M
y
phân bố đều trên một đơn vị chiều dài dọc theo các cạnh.
Dới tác dụng của mômen uốn làm bề mặt trên của tấm bị nén lại và kéo căng
trên bề mặt dới.
Xét một phân tố của tấm có bề rộng là
x
,
y

và chiều dày bằng chiều dày h
của tấm.
Giả thiết rằng bán kính cong của mặt trung hoà là
x
và
y
trong mặt phẳng
xz và yz tách biệt nhau. Mặt lồi của tấm tơng ứng với mômen uốn dơng tạo ra
chuyển vị theo hớng dơng của trục z hay trục hớng xuống dới. Mà theo lý
thuyết dầm đơn, biến dạng chính
x
,
y
tơng đơng với ứng suất
x
,
y
của
phần tử có chiều dày
z
ở phía dới mặt trung hoà một khoảng z, cho bởi công
thức :

y
y
x
x
zz

==
;
( 1.21)
x
y



2
h
13
z
y

x


x

2
h

y
z

a) b)
Hình 1.7 a) ứng suất pháp, b) Bán kính cong của tấm
Định luật Hoocke tổng quát :

)(
1
)(
1
xyy
yxx
E
E
à
à
=
=
( 1.22)
Thế
x
,
y
từ (1.21) vào (1.22), sau đó biến đổi ta đợc :









+

=








+

=
xy
y
yx
x
zE
zE

à

à


à

à

1
1

1
1
2
2
( 1.23)
Từ giả thiết rằng các phân tố cùng nằm trên một mặt phẳng có ứng suất
pháp chỉ thay đổi theo chiều dày của tấm, độ lớn của chúng phụ thuộc vào độ
cong ( tức là mômen uốn) của tấm. Ta có phơng trình cân bằng mômen của
phân tố đang xét là:
14












=
=

=
=








2
2
2
2
2
2
2
2
h
h
yy
h
h
xx

h
h
xyxy
h
h
yxyx
dzzM
dzzM
dzzM
dzzM




(1.24)
Thế
x
,
y
từ (1.23) vào (1.24), ta có :

+=








+

=

+=








+

=




2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
11
1
h
h

xyxy
y
h
h
yxyx
x
Ddz
zE
M
Ddz
zE
M

à

à

à

à

à

à
(1.25)
với
)1(12
2
3
à

=
hE
D
gọi là độ cứng khi uốn của tấm. (1.26)
Liên hệ giữa chuyển vị và bán kính cong :

2
2
2
2
1
;
1
y
w
x
w
yx


=


=


Thay vào (1.25), ta có :
15

+


=










+


=
2
2

2
2
2
2
2
2
x
w
y
w
DM
y
w
x
w
DM
y
x
à
à
(1.27)
Biểu thức (1.27) cho ta biết độ biến đổi hình dáng của tấm nếu đã M
x
và M
y
đã biết.
Nếu M
x
= 0 thì
2

2
2
2
y
w
x
w


=


à
, hoặc M
y
= 0 thì
2
2
2
2
x
w
y
w


=


à

, do đó
x
và

y
trái dấu nhau, ta gọi đó là uốn lệch pha ( anticlastic).
Nếu M
x
= M
y
= M thì

111
==
yx
, sự uốn theo mặt cầu gọi là uốn đồng pha
( syclastic) và
)1(
1
à
+
=
D
M
.




M

x

M
y
Hình 1.8 Uốn lệch pha
1.2.5.2 Tấm chịu uốn và xoắn đồng thời.
a) Mômen chính và độ cong chính.
Thông thờng, mômen uốn tác dụng lên tấm sẽ không nằm trong mặt phẳng
vuông góc với các cạnh. Vì thế, mômen uốn có thể tách thành các thành phần
đơn giản gồm thành phần tiếp tuyến và thành phần pháp tuyến. Thành phần
pháp tuyến M
x
và M
y
đã đề cập ở phần trên, còn các thành phần tiếp tuyến M
xy
và M
yx
( cũng là mômen đơn vị ) gây ra sự xoắn của tấm đối với các trục song
16
song với trục x và y. Chỉ số thứ nhất của mômen xoắn chỉ phơng pháp tuyến
của mặt đang xét, chỉ số thứ hai của mômen xoắn chỉ độ dài cạnh song song
trục nào.
Quy ớc dấu : M
x
, M
y
> 0 nếu làm căng thớ ở z > 0; M
xy
,M

yx
> 0 nếu quay
ngợc chiều kim đồng hồ khi nhìn dọc trục của nó theo hớng song song với h-
ớng dơng của trục tơng ứng x hoặc y. Trong hình vẽ tất cả các cờng độ mômen
đều dơng.


M
xy
M
yx
( = - M
xy
)
M
y
M
x
M
x
x
M
xy
y
M
yx
M
y
z
Hình 1.9 Uốn và xoắn đồng thời tấm phẳng

D
M
xy
M
yx
M
y
M
x
M
x
x
M
xy
y F
M
yx
M
y
z
17
M
t
M
n
A
M
x
C
M

xy
M
xy
M
y
B
Hình 1.10 Mômen trong mặt phẳng bất kì
Vì M
xy
và M
yx
sinh ra ứng suất tiếp
xy
= -
yx
nên M
xy
= - M
yx
. Trên mặt
phẳng chéo FD có các mômen tác dụng là mômen tiếp M
t
và mômen pháp
M
n
. Chúng ta có thể biểu diễn các mômen này qua các M
x
, M
y
, M

xy
nhờ vào
các phơng trình cân bằng phân tố tam giác ABC ( hình 1.10 ).
Trong mặt phẳng vuông góc với AC có :


cossinsincos BCMABMBCMABMACM
xyxyyxn
+=
M
n
= M
x
cos
2
+ M
y
sin
2
- M
xy
sin2 (1.28)
Tơng tự cho cân bằng trong mặt phẳng song song với AC, cũng có :


sincoscossin BCMABMBCMABMACM
xyxyyxt
+=

2cos2sin
2
xy
yx
t
M
MM
M
+

=
(1.29)
Từ (1.28) và (1.29) ta nhận thấy có hai giá trị của , chênh nhau 90
0
thoả
mãn và :

yx
xy
MM
M
tg

=
2
2

(1.30)
Thay (1.30) vào (1.28), M
n

có hai giá trị max và min, ta có :

2
2
22
min)(max,
xy
yxyx
n
M
MMMM
M
+










+
=
(1.31)
Các mômen chính gây ra các độ cong chính tơng ứng. Trong trờng hợp tấm
chịu uốn và xoắn thuần tuý trong đó M
x
, M

y
và M
xy
không đổi trong suốt chiều
18
B
A
E
z
dài các cạnh của tấm thì các mômen chính là đại lợng lớn nhất và nhỏ nhất
trong tấm và đợc tính theo công thức (1.31). Từ đó ta thấy không có ứng suất
cắt trên mặt phẳng đó và các ứng suất pháp tơng ứng ( phụ thuộc vào z và M
x
,
M
y
, M
xy
) là ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất trong tấm.
b) Liên hệ giữa mômen xoắn và chuyển vị w.
Trở lại tấm chịu tải nh hình 1.10 a), chúng ta đã thành lập đợc mối liên hệ
giữa cờng độ mômen uốn M
x
và M
y
với chuyển vị w của tấm cho bởi các công
thức (1.27). Tiếp theo chúng ta sẽ tìm mối liên hệ giữa mômen xoắn M
xy
và
chuyển vị w. Từ định lý siêu định vị chúng ta có thể xét riêng M

xy
tác dụng bỏ
qua M
x
và M
y
. Nh ta đã biết M
xy
bị chống lại bởi hệ các cặp ứng suất bù nhau
trong mặt phẳng thẳng đứng của phân tố đợc lấy ra suốt chiều dày của tấm và
song song với các trục x và y.
Xét một phân tố thuộc phân tố đang xét ( hình 1.11 ). Các ứng suất tiếp bù
nhau trên lân cận của phân tố cách một khoảng z phía dới mặt trung hoà là
xy
.
Cho nên trên mặt ABCD có : x



=
2
2
h
h
yxyyxy
dzzM

y

và trên mặt ADEF có :
2
h



=
2
2
h
h
xxyxxy
dzzM

M
xy

2
h
M
xy
z
xy

xy

F C

19

z
Hình 1.11 ứng suất tiếp do mômen xoắn gây ra



=
2
2
h
h
xyxy
dzzM




=
2
2
h
h
xyxy
dzzGM

(1.32)
Trong đó :
G : mô đun đàn hồi.

xy
: độ dãn dài góc.

Chúng ta có mối quan hệ giữa biến dạng góc
xy
và các chuyển vị cho bởi
công thức :

y
u
x
v
xy


+


=

Ta cần biểu diễn
xy
qua chuyển vị w của tấm. Lấy một phân tố có chiều dày
của tấm sẽ bị quay một góc bằng
x
w


và
y
w

trong các mặt phẳng xz và yz.
Xét sự quay của một phân tố trong mặt phẳng xz của một điểm ở phía dới mặt
trung hoà một khoảng z là :

z
x
w
u


=
Tơng tự, chuyển vị theo phơng y là :

z
y
w
v


=
O x

x
w



x
w

h
20


z
z -u
Hình 1.12 Góc xoay của phân tố
Thay u, v vào biểu thức
xy
ta có :

yx
w
z
xy


=
2
2


(1.33)
Từ (1.32) :

dz
yx
w

zGM
h
h
xy




=
2
2
2
2
2

yx
w
hG
M
xy


=
2
3
6
Thay
)1(2
à
+

=
E
G
cho ta :

yx
w
hE
M
xy


+
=
2
3
)1(12
à
Nhân cả tử và mẫu của biểu thức với (1- à) thì :

yx
w
DM
xy


=
2
)1(
à

(1.34)
Biểu thức (1.27) và (1.34) cho ta mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắn với
chuyển vị của tấm và chúng cũng tơng đơng với mối quan hệ giữa mômen uốn
và độ cong trong dầm đơn.
1.2.5.3 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm.


q
21
y x
z
Hình 1.13 Tấm chịu tải trọng phân bố vuông góc
Mối quan hệ giữa mômen uốn và xoắn với chuyển vị của tấm sẽ đợc sử
dụng trong việc thiết lập phơng trình vi phân tổng quát cho bài toán tấm hình
chữ nhật mỏng chịu tải trọng phân bố vuông góc với mặt tấm (hình
1.13) Trong trờng hợp tổng quát tải trọng phân bố có thể thay đổi theo một
hàm phụ thuộc vào x và y. Chúng ta vẫn giả thiết mặt trung gian trùng với mặt
trung hoà, mặt cắt ngang vẫn phẳng trong suốt quá trình biến dạng. Giả thiết
sau chỉ rõ sự mâu thuẫn trong lý thuyết, đó là nếu mặt cắt ngang vẫn phẳng
trong quá trình biến dạng thì các biến dạng góc
xz
và
yz
phải bằng 0, trong khi
tải trọng phân bố gây các lực cắt vuông góc mặt tấm vẫn tồn tại ( và là ứng
suất đã biết ). Vì thế chúng ta giả thiết rằng mặc dù
G
xz
xz

=
và
G
yz
yz


=
là
không đáng kể nhng các lực cắt tơng ứng lại giống với độ lớn của tải trọng
phân bố q và các mômen M
x
, M
y
và M
xy
. Giả thiết này tơng tự trong lý thuyết
dầm đơn mà trong đó biến dạng góc đợc bỏ qua.
Xét một phân tố của tấm nh hình 1.14, chịu mômen uốn và xoắn nh mô tả
lần trớc, và các lực Q
x
và Q
y
tác dụng lên một đơn vị chiều dài trong từng mặt
phẳng vuông góc với trục x và y. Thay đổi của ứng suất cắt
xz
và
yz

theo các
cạnh nhỏ
x
và
y
của phân tố là không đáng kể và hợp lực của lực cắt Q
x
y và
Q
y
x đặt ở trọng tâm các mặt phẳng của phân tố.
Ta có :
22



==
2
2
2
2
;
h
h
yy
h
h
xx
dzzMdzzM

==
2
2
h
h
xyyxxy
dzzMM

và


==
2
2
2
2
;
h
h
yzy
h
h
xzx
dzQdzQ


(1.35)

Phơng trình cân bằng lực của phân tố theo trục Oz và giả thiết là trọng lợng
riêng của tấm đợc kể trong q, có dạng :

0
=+










++








+
yxqxQxy
y
Q
QyQyx
x

Q
Q
y
y
yx
x
x


0
=+


+



q
y
Q
x
Q
y
x
(1.36)
Lấy mômen với trục x :

0
222
222

=








++










+

++










+
y
xq
y
x
x
Q
Q
y
Qyxy
y
Q
Q
xy
y
M
MxMyx

x
M
MyM
x
xx
y
y
xy
yy
xy
xyxy







Đơn giản phơng trên và bỏ qua các đại lợng vô cùng bé bậc cao, ta đợc:

0
=+



y
yxy
Q
y
M

x
M
(1.37)
Tơng tự lấy mômen đối với trục y, ta có :

0
=+



x
x
xy
Q
x
M
y
M
(1.38)
1.2.5.4 Tấm chịu uốn đồng thời với lực tác dụng trong mặt phẳng trung gian
của tấm.
23
Trong các trờng hợp đã xét chúng ta giả thiết rằng các mặt trung hoà của
tấm không có ứng suất. Nếu trong mặt phẳng của tấm thêm vào tải trọng kéo,
nén hoặc tiếp thì sẽ gây ra ứng suất trong mặt trung gian và nếu nh nó đủ lớn
sẽ ảnh hởng đến sự uốn của tấm.
Xét một phân tố nhỏ xy thuộc mặt phẳng trung gian của tấm mỏng, vị trí
chuyển vị của nó nh hình 1.15. Chiều và độ lớn của lực trên một đơn vị dài đợc
tạo bởi tải trọng trong mặt phẳng tấm là N
x

, N
y
, và N
xy
và quy ớc dấu của nó
nh đối với ứng suất pháp và ứng suất tiếp. Ngoại lực theo phơng vuông góc với
tấm không tham gia vào phơng trình cân bằng chiếu theo phơng x và y, do đó :
x M
xy
y
q Q
y

M
y

2
h
M
xy
Q
x

M
x

x
x
M
M

x
x



+

y
y
M
M
y
y



+

2
h

x
x
M
M
xy
xy

+

y
y
M
M
xy
xy



+

y
y
Q
Q
y
y



+

x
x
Q
Q
x
x

+
Hình 1.14 Trạng thái chịu lực của phần tử tấm
Theo phơng x :

0coscos
2
2
=










++

+










+
xNxy
y
N
N
x
w
yNx

x
w
x
w
yx
x
N
N
yx
yx
yxx
x
x

do w nhỏ nên
2
2
,
x
w
x
w




nhỏ, suy ra :
24
cos

x
w
1, cos










2
2
x
w
1
Vậy ta có :
y
N
x
N

yx
x


+


= 0 (1.39)
O x x
N
x-

x
w



x
x
N
N
x
x



+
O
x
x

w
xx
w











+


N
yx
N
y
x
N
xy

x
x
N
N
xy

xy



+
y N
x

x
x
N
N
x
x



+

y
y
N
N
yx
yx



+

y
y
N
N
y
y



+

Hình 1.15 Lực tác dụng trong mặt phẳng tấm
Tơng tự theo phơng y :

x
N
y
N
xyy


+


= 0 (1.40)
Những phơng trình này hoàn toàn độc lập với ba phơng trình cân bằng
( đã nêu trong 2.5.3) và vì thế ta có thể sử dụng chúng một cách độc lập. Khi
xét hình chiếu của các lực lên trục z, ta phải kể đến ảnh hởng của các lực N
x
,

N
y
, N
xy
và N
yx
do khi tấm bị uốn mà có những góc nhỏ giữa các phơng của các
lực này.
Thành phần hình chiếu lên trục z do N
xy
là :
25