Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề hình học 10 nguyễn phú khánh

BỘ TÀI LIỆU GỒM 300 TRANG FILE , LỜI GIẢI CHI TIẾT.
CHÚNG TÔI XIN TRÌNH DẪN MỘT PHẦN NHỎ NỘI DUNG BỘ
TÀI LIỆU NÀY

CHƢƠNG I: VECTƠ
§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa vectơ:
Vectơ là đoạn thẳng có hướng, nghĩa là
trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ
B
a
rõ điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm
A
cuối.
Hình 1.1
Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B ta

x

kí hiệu : AB
Vectơ còn được kí hiệu là: a, b, x, y,...
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối. Kí hiệu là 0
2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.
- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ gọi là giá của vectơ
- Hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau gọi là hai vectơ cùng phương
- Hai vectơ cùng phương thì hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.

A

F

B

E

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

C

D

Hình 1.2

H

G

1


Ví dụ: Ở hình vẽ trên trên (hình 2) thì hai vectơ AB và CD cùng hướng còn
EF và HG ngược hướng.
Đặc biệt: vectơ – không cùng hướng với mọi véc tơ.
3. Hai vectơ bằng nhau

- Độ dài đoạn thẳng AB gọi là độ dài véc tơ AB ,

A

B

kí hiệu AB .
Vậy AB

AB .

C

Hình 1.3

D

- Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Ví dụ: (hình 1.3) Cho hình bình hành ABCD khi đó AB CD
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Xác định một vectơ; phƣơng, hƣớng của vectơ; độ dài
của vectơ
1. Phƣơng pháp giải.
 Xác định một vectơ và xác định sự cùng phương, cùng hướng của hai
vectơ theo định nghĩa
 Dựa vào các tình chất hình học của các hình đã cho biết để tính độ
dài của một vectơ
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có
điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
Lời giải
Hai điểm phân biệt, chẳng hạn A, B ta xác định được hai vectơ khác vectơkhông là AB, BA . Mà từ bốn đỉnh A, B, C , D của ngũ giác ta có 6 cặp
điểm phân biệt do đó có 12 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba điểm A, B,C phân biệt thẳng hàng khi và chỉ
khi AB, AC cùng phương.

Lời giải
Nếu A, B,C thẳng hàng suy ra giá của AB, AC đều là đường thẳng đi qua
ba điểm A, B,C nên AB, AC cùng phương.
– Website chuyên đề thi tài liệu file word


Ngược lại nếu AB, AC cùng phương khi đó đường thẳng AB và AC
song song hoặc trùng nhau. Nhưng hai đường thẳng này cùng đi qua điểm A
nên hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A, B,C thẳng
hàng.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của

BC ,CA, AB .
a) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng phương với MN có điểm
đầu và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
b) Xác định các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB có điểm đầu
và điểm cuối lấy trong điểm đã cho.
c) Vẽ các vectơ bằng vectơ NP mà có điểm đầu A, B .
Lời giải (Hình 1.4)
a) Các vectơ khác vectơ không cùng phương với MN là

NM , AB, BA, AP, PA, BP, PB .
b) Các vectơ khác vectơ - không cùng hướng với AB là AP, PB, NM .
c) Trên tia CB lấy điểm B ' sao cho
BB ' NP

A'

A

Khi đó ta có BB ' là vectơ có điểm đầu
là B và bằng vectơ NP .
Qua A dựng đường thẳng song song
với đường thẳng NP . Trên đường
thẳng đó lấy điểm A ' sao cho AA '
cùng hướng với NP và AA '

N

P
B'
B

NP .

C

M
Hình 1.4

Khi đó ta có AA ' là vectơ có điểm đầu
là A và bằng vectơ NP .
Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a . Gọi M là trung điểm của
AB , N là điểm đối xứng với C qua D . Hãy tính độ dài của vectơ sau

MD , MN .
Lời giải (hình 1.5)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông MAD ta có

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

3


DM

2

AM

2

AD

a
2

2

2

5a 2
4

a2

a 5
2

DM

N

D

C

a 5
O
.
2
Qua N kẻ đường thẳng song song với AD
A
P
M
cắt AB tại P .
Hình 1.5
Khi đó tứ giác ADNP là hình vuông và
a
3a
.
PM
PA AM
a
2
2
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông NPM ta có
Suy ra MD

MN

2

NP

MD

2

Suy ra MN

PM

2

MN

a

3a
2

2

2

13a 2
4

a 13

2

DM

a 13
.
2

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.1: Cho ngũ giác ABCDE . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ-không có
điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của ngũ giác.
Bài 1.2: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Tìm các vectơ từ 5 điểm
A, B, C, D, O
a) Bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
Bài 1.3: Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng.
a) Khi nào thì hai vectơ AB và AC cùng hướng ?
b) Khi nào thì hai vectơ AB và AC ngược hướng ?
Bài 1.4: Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt.
a) Nếu AB

BC thì có nhận xét gì về ba điểm A, B, C

b) Nếu AB DC thì có nhận xét gì về bốn điểm A, B, C, D
Bài 1.5: Cho hình thoi ABCD có tâm O . Hãy cho biết khẳng định nào sau
đây đúng ?
a) AB

BC

d) OB

OA

b) AB
e) AB

BC

DC

c) OA
f) 2 OA

OC
BD

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

B


Bài 1.6: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Hãy tìm các vectơ khác vectơkhông có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của lục giác và tâm O sao cho
a) Bằng với AB
b) Ngược hướng với OC
Bài 1.7: Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O và M là trung điểm AB.
Tính độ dài của các vectơ AB, AC ,OA,OM ,OA

OB .

Bài 1.8: Cho tam giác ABC đều cạnh a và G là trọng tâm. Gọi I là trung
điểm của AG .
Tính độ dài của các vectơ AB, AG, BI .
Bài 1.9: Cho trước hai điểm A, B phân biệt . Tìm tập hợp các điểm M thoả
mãn MA

MB .

 DẠNG 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau.
1. Phƣơng pháp giải.
 Để chứng minh hai vectơ bằng nhau ta chứng minh chúng có cùng độ
dài và cùng hướng hoặc dựa vào nhận xét nếu tứ giác ABCD là hình
bình hành thì AB DC và AD BC
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng MN

QP .

Lời giải (hình 1.6)
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình
của tam giác ABC suy ra MN / /AC và

1
AC (1).
2
Tương tự QP là đường trung bình của tam
giác ADC suy ra QP / /AC và
MN

1
AC (2).
2
Từ (1) và (2) suy ra MN / /QP và
MN QP do đó tứ giác MNPQ là hình
bình hành
QP

Vậy ta có MN

A

Q

D
P

M
B

N

C

Hình 1.6

QP

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm của
BC . Dựng điểm B ' sao cho B ' B

AG .

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

5


a) Chứng minh rằng BI

IC

b) Gọi J là trung điểm của BB ' . Chứng minh rằng BJ
Lời giải (hình 1.7)
a) Vì I là trung điểm của BC nên BI CI và
BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ
BI , IC bằng nhau hay BI

b) Ta có B ' B
BB '/ /AG .

IG .

A

B'

IC .

AG suy ra B ' B

AG và

G

J
B

Do đó BJ , IG cùng hướng (1).
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
1
IG
AG , J là trung điểm BB ' suy ra BJ
2
Vì vậy BJ
IG (2)

C

I
Hình 1.7

1
BB '
2

Từ (1) và (2) ta có BJ
IG .
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD . Trên các đoạn thẳng DC , AB theo
thứ tự lấy các điểm M , N sao cho DM

BN . Gọi P là giao điểm của

AM , DB và Q là giao điểm của CN , DB . Chứng minh rằng AM
và DB QB .
Lời giải (hình 1.8)
Ta có DM
BN
AN
MC , mặt khác
AN song song với MC do đó tứ giác
ANCM là hình bình hành
Suy ra AM
Xét tam giác

NC .
DMP và

Mặt khác DMP

N

A

Q

BNQ ta có

DM
NB (giả thiết), PDM

le trong)

QBN (so

P
D

NQB (hai góc đồng vị) suy ra

DMP
Do đó

BNQ .
DMP

BNQ (c.g.c) suy ra DB

M
Hình 1.8

APB (đối đỉnh) và

APQ

NC

QB .

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

C

B


Dễ thấy DB, QB cùng hướng vì vậy DB

QB .

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.10: Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB,
BC, CD, DA. Chứng minh rằng MQ

NP .

Bài 1.11: Cho hình bình hành ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm
của DC, AB ; P là giao điểm của AM , DB và Q là giao điểm của

CN , DB . Chứng minh rằng DM

NB và DP

PQ

QB .

Bài 1.12: Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB  2CD .
Từ C vẽ CI

DA . Chứng minh rằng

a) AD  IC và DI CB
b) AI
IB DC
Bài 1.13: Cho tam giác ABC có trực tâm H và O tâm là đường tròn ngoại
tiếp . Gọi B' là điểm đối xứng B qua O. Chứng minh : AH

B 'C .

§2 TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Tổng hai vectơ
a) Định nghĩa: Cho hai vectơ a ; b . Từ điểm A tùy ý vẽ AB
vẽ BC

a rồi từ B

b khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a ; b .

Kí hiệu AC
a
b) Tính chất :

b (Hình 1.9)

B
a

+ Giao hoán : a

b

b

a

+ Kết hợp : (a

b)

c

a

(b

c)

+ Tính chất vectơ – không: a
2. Hiệu hai vectơ
a) Vectơ đối của một vectơ.

0

a, a

b
a

A

a

b
b

C

Hình 1.9

Vectơ đối của vectơ a là vectơ ngược hướng và cúng độ dài với vectơ a
Kí hiệu a
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

7


Như vậy a

a

0, a và AB

BA

b) Định nghĩa hiệu hai vectơ:
Hiệu của hai vectơ a và b là tổng của vectơ a và vectơ đối của vectơ b . Kí
hiệu là a

b

a

b

3. Các quy tắc:
Quy tắc ba điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB BC
AC
Quy tắc hình bình hành : Nếu ABCD là hình bình hành thì

AB

AD

AC

Quy tắc về hiệu vectơ : Cho O , A , B tùy ý ta có : OB OA AB
Chú ý: Ta có thể mở rộng quy tắc ba điểm cho n điểm A1, A2,..., An thì

A1A2 A2A3 ... An 1An
A1An
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Xác định độ dài tổng, hiệu của các vectơ.
1. Phƣơng pháp giải.
Để xác định độ dài tổng hiệu của các vectơ
 Trước tiên sử dụng định nghĩa về tổng, hiệu hai vectơ và các tính
chất, quy tắc để xác định định phép toán vectơ đó.
 Dựa vào tính chất của hình, sử dụng định lí Pitago, hệ thức lượng
trong tam giác vuông để xác định độ dài vectơ đó.
2. Các ví dụ.

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC
Tính độ dài của các vectơ AB
Lời giải (hình 1.10)
Theo quy tắc ba điểm ta có


BC , AC

300 và BC

BC và AB

AC .

B

D

A

C

BC
AC
AC
Mà sin ABC
BC
AC

AB

BC .sin ABC

Do đó AB


AC

BC
BC

AC
AC

a 5.sin 300

AC
CB

a 5
2

a 5.

a 5
2
Hình 1.10

AB

– Website chuyên đề thi tài liệu file word


Ta có

AC 2

AB 2

BC 2

AB

AC 2

5a 2
4

5a 2

a 15
2

a 15
2
Gọi D là điểm sao cho tứ giác ABDC là hình bình hành.

Vì vậy AC


BC 2

BC

AB

AB

Khi đó theo quy tắc hình bình hành ta có AB AC
AD
Vì tam giác ABC vuông ở A nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật suy ra

AD

BC

a 5

Vậy AB

AC

AD

AD

a 5

Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm
bất kỳ.

a) Tính AB

AD , OA

b) Chứng minh rằng u

CB , CD

MA

MB

DA
MC

MD không phụ thuộc vị trí

điểm M . Tính độ dài vectơ u
Lời giải (hình 1.11)
a) + Theo quy tắc hình bình hành ta có AB
Suy ra AB

AD

AC

AD

AC

AC .

C'

Áp dụng định lí Pitago ta có
AC 2

AB 2

Vậy AB

BC 2

AD

2a 2

AC

a 2

+ Vì O là tâm của hình vuông nên OA

OA

CB

Vậy OA

CO

CB

CB

BC

BC

a

+ Do ABCD là hình vuông nên CD

CD

DA

Mà BD

CD

DA

BA
BD

2a

AD
AB 2

CO suy ra

a 2 suy ra

B

O

BA suy ra

BD
AD 2

A

D

C
Hình 1.11

a 2

b) Theo quy tắc phép trừ ta có
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

9


u

MA

MC

MB

MD

CA

DB

Suy ra u không phụ thuộc vị trí điểm M .
Qua A kẻ đường thẳng song song với DB cắt BC tại C ' .
Khi đó tứ giác ADBC ' là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song)
suy ra DB
Do đó u

AC '

CA

Vì vậy u

AC '

CC '

CC '

BC

BC '

a

a

2a

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.14: Cho tam giác ABC đều cạnh a . Tính độ dài của các vectơ sau
AB  AC, AB  AC .
Bài 1.15: Cho hình vuông ABCD có tâm là O và cạnh a . M là một điểm
bất kỳ.
a) Tính AB

OD , AB

OC

OD

b) Tính độ dài vectơ MA  MB  MC  MD
Bài 1.16: Cho hình thoi ABCD cạnh a và BCD
thoi.
Tính AB

AD , OB

600 . Gọi O là tâm hình

DC .

Bài 1.17: Cho bốn điểm A, B, C, O phân biệt có độ dài ba vectơ

OA, OB, OC cùng bằng a và OA

OB

OC

0

a) Tính các góc AOB, BOC , COA
b) Tính OB

AC

OA

Bài 1.18: Cho góc Oxy . Trên Ox, Oy lấy hai điểm A, B . Tìm điều kiện của
A,B sao cho OA

OB nằm trên phân giác của góc Oxy .

 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phƣơng pháp giải.
 Để chứng minh đẳng thức vectơ ta có các cách biển đổi: vế này thành
vế kia, biến đổi tương đương, biến đổi hai vế cùng bằng một đại

lương trung gian. Trong quá trình biến đổi ta cần sử dụng linh hoạt
ba quy tắc tính vectơ.
– Website chuyên đề thi tài liệu file word


Lưu ý: Khi biến đổi cần phải hướng đích , chẳng hạn biến đổi vế phải, ta cần
xem vế trái có đại lượng nào để từ đó liên tưởng đến kiến thức đã có để làm
sao xuất hiện các đại lượng ở vế trái. Và ta thường biến đổi vế phức tạp về
vế đơn giản hơn.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho năm điểm A, B,C , D, E . Chứng minh rằng
a) AB

CD

EA

CB

ED

b) AC CD EC
AE
Lời giải
a) Biến đổi vế trái ta có

DB

CB

VT

CD

ED

DA

AC

CD

DA

AC

CB

CB

ED

CB

ED

AD

DA

CB ED VP ĐPCM
b) Đẳng thức tương đương với
AC

AE

EC

BD

CD

CB

EC

EC

DB

0

DB

0

BD DB
0 (đúng) ĐPCM.
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong
mặt phẳng. Chứng minh rằng

a) BA
b) OA

DA
OB

AC

0

OC

OD

c) MA MC
MB
Lời giải (Hình 1.12)
a) Ta có

BA

DA
AB

AC
AD

A

0

MD .

O
AB

AD

DA

AC

D

AC

AC

C
Hình 1.12

AC

Theo quy tắc hình bình hành ta có AB

BA

B

AC

AD

AC suy ra

0

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

11


b) Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

OA

CO

OA

OC

OA

AO

0

Tương tự: OB OD 0
OA OB OC

c) Cách 1: Vì ABCD là hình bình hành nên

AB

DC

MA

BA

MC

DC

BA

AB

OD

0.

0

MB

BA

MD

DC

MB

MD

BA

DC

MB

MD

Cách 2: Đẳng thức tương đương với

MA MB MD MC
BA CD (đúng do ABCD là hình bình
hành)
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC , CA, AB . Chứng minh rằng
a) BM

CN

AP

0

b) AP

AN

AC

BM

0

c) OA OB OC OM ON OP với O là điểm bất kì.
Lời giải (Hình 1.13)
a) Vì PN , MN là đường trung bình của tam giác ABC nên
PN / / BM , MN / / BP suy ra tứ giác BMNP là hình bình hành

 BM  PN
N là trung điểm của AC  CN  NA
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
BM

CN

AP

PN

NA

A

AP

N

P

PA AP
0
b) Vì tứ giác APMN là hình bình hành nên theo
quy tắc hình bình hành ta có AP
kết hợp với quy tắc trừ

AP
Mà CM

AN

BM

AC

BM

AN

AM ,

B

M
Hình 1.13

AM

AC

BM

CM

BM

0 do M là trung điểm của BC .

Vậy AP AN AC BM
c) Theo quy tắc ba điểm ta có

0.

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

C


OA

OB

OC

OP

OM

ON

OP

OM

ON

OP

Theo câu a) ta có BM

PA
PA
BM

CN

OM
MB
CN

AP

MB

ON

NC

NC
AP

0 suy ra

OA OB OC OM ON OP .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.19: Cho bốn điểm A, B,C , D . Chứng minh rằng
a) DA  CA  DB  CB
b) AC  DA  BD  AD  CD  BA
Bài 1.20: Cho các điểm A, B, C , D, E , F . Chứng minh rằng

AD BE CF
AE BF CD
Bài 1.21: Cho hình bình hành ABCD tâm O . M là một điểm bất kì trong
mặt phẳng. Chứng minh rằng
a) AB  OD  OC  AC
b) BA  BC  OB  OD
c) BA  BC  OB  MO  MB
Bài 1.22: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC , CA, AB . Chứng minh rằng
a) NA

PB

MC

0

b) MC BP NC
BC
Bài 1.23: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C ' D ' có chung đỉnh A.
Chứng minh rằng B ' B CC ' D ' D 0
Bài 1.24: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng

OA OB OC OE OF
0
Bài 1.25: Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM

BA, MN

DA, NP

Chứng minh rằng: AQ

DC , PQ

BC .

0.

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

13

§3 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k

0 là một vectơ, kí hiệu là

ka , cùng hướng với cùng hướng với a nếu k

0 , ngược hướng với a nếu

0 và có độ dài bằng k a

k

Quy ước: 0a
0 và k0
2. Tính chất :
i) (k

m)a

iii) k (ma )
v) 1a

ka

0

ma

(km )a

a, ( 1)a

ii) k(a

b)

iv) ka

0

ka

kb

k

0

a

0

a

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phƣơng



b cùng phương a ( a
0 ) khi và chỉ khi có số k thỏa b ka
Điều kiện cần và đủ để A, B,C thẳng hàng là có số k sao cho

AB kAC
4. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng.

Cho a không cùng phương b . Với mọi vectơ x luôn được biểu diễn

x
ma nb với m, n là các số thực duy nhất.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Dựng và tính độ dài vectơ chứa tích một vectơ với một
số.
1. Phƣơng pháp giải.
Sử dụng định nghĩa tích của một vectơ với một số và các quy tắc về
phép toán vectơ để dựng vectơ chứa tích một vectơ với một số, kết hợp với
các định lí pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài của
chúng.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a . điểm M là trung điểm BC . Dựng
các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
1
1
a) CB  MA
b) BA  BC
2
2
1
3

c) AB  2 AC
c) MA  2,5MB
2
4
– Website chuyên đề thi tài liệu file word


Lời giải (Hình 1.14)
1
a) Do CB  CM suy ra theo quy tắc ba
2
điểm ta có
1
CB  MA  CM  MA  CA
2
1
Vậy CB  MA  CA  a
2
1
b) Vì BC  BM nên theo quy tắc trừ ta
2
1
có BA  BC  BA  BM  MA
2
Theo định lí Pitago ta có

A
L
K
N

C

2

2

B

H

Q

a 3
a
MA  AB  BM  a    
2
2
2

M

2

P
Hình 1.14

1
a 3
Vậy BA  BC  MA 
2

2
c) Gọi N là trung điểm AB , Q là điểm đối xứng của A qua C và P là
đỉnh của hình bình hành AQPN .
1
Khi đó ta có AB  AN , 2 AC  AQ suy ra theo quy tắc hình bình hành ta
2
1
có AB  2 AC  AN  AQ  AP
2
Gọi L là hình chiếu của A lên QN
Vì MN / / AC  ANL  MNB  CAB  600
Xét tam giác vuông ANL ta có
AL
a
a 3
sin ANL 
 AL  AN .sin ANL  sin 600 
AN
2
4
NL
a
a
cos ANL 
 NL  AN .cos ANL  cos 600 
AN
2
4
Ta lại có AQ  PN  PL  PN  NL  AQ  NL  2a 

a 9a

4 4

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác ALP ta có
3a 2 81a 2 21a 2
a 21
AP 2  AL2  PL2 


 AP 
16
16
4
2
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

15


Vậy

1
a 21
AB  2 AC  AP 
2
2

d) Gọi K là điểm nằm trên đoạn AM sao cho MK 

3
MA , H thuộc tia
4

MB sao cho MH  2,5MB .
3
Khi đó MA  MK , 2,5MB  MH
4
3
Do đó MA  2,5MB  MK  MH  HK
4
a 5a
3
3 a 3 3 3a
Ta có MK  AM  .
, MH  2,5MB  2,5. 

4
4 2
8
2 4
Áp dụng định lí Pitago cho tam tam giác vuông KMH ta có

KH  MH 2  MK 2 

25a 2 27a 2 a 127


16
64

8

3
a 127
MA  2,5MB  KH 
4
8
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD cạnh a .
a) Chứng minh rằng u 4MA 3MB MC
vị trí điểm M.
b) Tính độ dài vectơ u
Lời giải (Hình 1.15)
a) Gọi O là tâm hình vuông.
Theo quy tắc ba điểm ta có
Vậy

u

4 MO
4OA

Mà OD

OA
3OB

3 MO
OC

OB , OC

OB

MO

2MD không phụ thuộc vào

OC

2 MO

OD

2OD

OA nên u

3OA OB

A'

Suy ra u không phụ thuộc vào vị trí điểm M
b) Lấy điểm A ' trên tia OA sao cho OA '  3OA khi đó
OA ' 3OA do đó u OA ' OB BA '
Mặt khác
BA '
OB 2 OA '2
OB 2 9OA2 a 5
a 5
Suy ra u

3. Bài tập luyện tập.
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

B

A
O
D

Hình 1.15

C


Bài 1.26. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Gọi điểm M , N lần lượt là
trung điểm BC, CA . Dựng các vectơ sau và tính độ dài của chúng.
1
1
a) AN  CB
b) BC  2MN
2
2
3
c) AB  2 AC
c) 0, 25MA  MB
2
Bài 1.27: Cho hình vuông ABCD cạnh a .
a) Chứng minh rằng u MA 2MB 3MC 2MD không phụ thuộc vào
vị trí điểm M.
b) Tính độ dài vectơ u

 DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức vectơ.
1. Phƣơng pháp giải.
Sử dụng các kiến thức sau để biến đổi vế này thành vế kia hoặc cả hai biểu
thức ở hai vế cùng bằng biểu thức thứ ba hoặc biến đổi tương đương về
đẳng thức đúng:
 Các tính chất phép toán vectơ
 Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép
trừ
 Tính chất trung điểm:
M là trung điểm đoạn thẳng AB

MA

M là trung điểm đoạn thẳng AB
 Tính chất trọng tâm:

OA

G là trọng tâm của tam giác ABC

MB
OB

0
2OM (Với O là điểm tuỳ ý)

GA +GB +GC =O

G là trọng tâm của tam giác ABC OA +OB +OC =OG (Với O là điểm
tuỳ ý)

2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD,
O là trung điểm của IJ .Chứng minh rằng:
a) AC

BD

b) OA

OB

2IJ

OC

OD

0

c) MA MB MC MD 4MO với M là
điểm bất kì
Lời giải (Hình 1.16)
a) Theo quy tắc ba điểm ta có
AC AI IJ AI IJ JC

A

B

I

O

– Website chuyên đề thi tài liệu D
file word

J

Hình 1.16

17

C


Tương tự BD BI IJ JD
Mà I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD nên
AI BI 0, JC JD 0
Vậy AC

BD

AI

BI

JC

JD

2IJ

b) Theo hệ thức trung điểm ta có OA OB
Mặt khác O là trung điểm IJ nên OI
Suy ra OA

OB

OC

c) Theo câu b ta có OA
OA

OB
OM

OC

MB

OD

2OJ

0
0 đpcm

OJ

OD

0 do đó với mọi điểm M thì

0

OM

MC

OC

2OI , OC

OJ

2 OI

OB

OD

MA

MA

OD

2IJ đpcm

MA

MD

OM

MA

OM

MA

0

4MO đpcm

Ví dụ 2: Cho hai tam giác ABC và A1B1C 1 có cùng trọng tâm G. Gọi
G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 . Chứng minh
rằng GG1 GG2 GG3 0
Lời giải
Vì G1 là trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1 GB GC GA1
Tương tự G2 , G3 lần lượt là trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy ra

3GG2 GA GB GC1 và 3GG3 GA GC GB1
Công theo vế với vế các đẳng thức trên ta có
GG1 GG2 GG3 2 GA GB GC
GA1 GB1

GC1

Mặt khác hai tam giác ABC và A1B1C 1 có cùng trọng tâm G nên
GA GB

GC

0 và GA1

GB1

GC1

Suy ra GG1 GG2 GG3 0
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn
ngoại tiếp O. Chứng minh rằng
a) HA

HB

HC

2HO

b) OA

OB

OC

OH

c) GH

2GO

0

– Website chuyên đề thi tài liệu file word


Lời giải (Hình 1.17)

A

a) Dễ thấy HA HB HC
2HO nếu tam
giác ABC vuông
Nếu tam giác ABC không vuông gọi D là điểm
đối xứng của A qua O khi đó
BH / /DC (vì cùng vuông góc với AC)
BD / /CH (vì cùng vuông góc với AB)
Suy ra BDCH là hình bình hành, do đó theo
quy tắc hình bình hành thì HB HC HD (1)
Mặt khác vì O là trung điểm của AD nên
HA

HD

OA

HC

HB

HC

2HO

2HO

OA

OB

HO

OC

OB

HO

OC

Mặt khác theo câu b) ta có OA

3OG

2HO

OH đpcm

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA

Suy ra OH

C
D

2HO (2)

HB
HO

B

Hình 1.17

Từ (1) và (2) suy ra HA
b) Theo câu a) ta có
HA

H
O

OG

OB OC
GH
3OG

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với AB

OB

OC

OH
0 GH

c, BC

3OG
2GO

a, CA

0

b và có trọng

tâm G. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB .
Chứng minh rằng a 2 .GD b 2 .GE c 2 .GF
0
Lời giải (hình 1.18)
Trên tia GD, GE, MF lần lượt lấy các điểm N, P, Q sao cho
GN a , GP b, GQ c và dựng hình bình hành
GPRN
Ta có a 2 .GD

b 2 .GE

c 2 .GF

0

a.GDGN
.
bGE
. .GP cGF
. .GQ 0 (*)
Ta có a.GD  2SGBC , b.GE  2SGCA , c.GF  2SGAB ,
mặt khác G là trọng tâm tam giác ABC nên
SGBC  SGCA  SGAB suy ra a.GD  b.GE  c.GF

Vậy (*)

GN

GP

GQ

P

A

Q

E
F
B

G

D

0

N

– Website chuyên đề thi tài liệu file word Hình 1.18 19

R

C


Ta có AC  GP  b, PR  BC  a và ACB  GPR (góc có cặp cạnh vuông
góc với nhau)
Suy ra ACB
GPR c.g.c
GR

AB

c và PGR

BAC

Ta có QGP BAC 1800 QGP GPR 1800 Q , G , R thẳng
hàng do đó G là trung điểm của QR
Theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có
GN

GP

GQ

GR

GQ

0

Vậy a 2 .GD b 2 .GE c 2 .GF
0.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với các cạnh AB

c, BC

a, CA

b . Gọi

I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng

aIA bIB cIC
0
Lời giải
Cách 1: (Hình 1.19)Gọi D là chân đường phân giác góc A
Do D là đường phân giác giác trong góc A nên ta có
DB
c
c

BD
DC
A
DC
b
b
c
ID IB
IC ID
b
b c ID bIB cIC (1)
Do I là chân đường phân giác nên ta có :
ID
BD CD
BD CD
a
IA
BA CA
BA CA
b c
b c ID
aIA (2)

B

I
D

C

Hình 1.19

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
Cách 2: (hình 1.20)Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai
B’;song song với BI cắt AI tại A’

IA ' IB ' (*)
Ta có IC
Theo định lý Talet và tính chất đường phân giác
trong ta có :
IB
BA1 c
b
IB '
IB (1)
IB ' CA1 b
c

A
B'
I

B
a
IA (2)
Tương tự : IA '
c
C'
– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Hình 1.20

C


Từ (1) và (2) thay vào (*) ta có :
a
b
IC
IA
IB
aIA bIB cIC
0
c
c
3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.28: Cho tam giác ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
BC , CA, AB . Chứng minh rằng
a) AM BN CP 0
b) OA OB OC OM ON OP với O là điểm bất kỳ.
Bài 1.29: Cho tam giác ABC .Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là
trọng tâm tam giác. Chứng minh rằng
2
1
1
1
a) AH
AC
AB , CH
AB
AC

3
3
3
3
1
5
b) MH
AC
AB với M là trung điểm của BC
6
6
Bài 1.30: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng
MC
MB
AM
AB
AC
BC
BC
Bài 1.31: Cho hai hình bình hành ABCD và AB 'C ' D ' có chung đỉnh A.
Chứng minh rằng B ' B CC ' D ' D 0
Bài 1.32: Cho tam giác ABC đều tâm O. M là điểm tùy ý trong tam giác.
Hạ MD, ME, MF tương ứng vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
3
MD ME MF
MO
2
Bài 1.33: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC. Một đường thẳng
là
đường thẳng bất kỳ. Gọi G là trọng tâm ABC và A’, B’, C’, G’ lần lượt là

hình chiếu vuông góc của A, B, C, G lên đường thẳng .
Chứng minh rằng : AA '  BB '  CC '  3GG '
Bài 1.34: Cho n vectơ đôi một khác phương và tổng của n 1 vectơ bất kì
trong n vectơ trên cùng phương với vectơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n
vectơ cho ở trên bằng vectơ không.
a, CA b .
Bài 1.35: Cho tam giác ABC với các cạnh AB c, BC
Gọi I là tâm và D, E, F lần lượt là tiếp điểm của cạnh BC, CA, AB của
đường tròn nội tiếp tam giác ABC . M, N, P lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB. Chứng minh rằng:
B
C
C
A
A
B
cot
IA
cot
cot IB
cot
cot
IC
0
a) cot
2
2
2
2
2

2

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

21


b) cot
c) b

A
IM
2

c

cot

B
IN
2

a IM

a

C
IP
2

0

b IN

a

cot

c

b

c IP

0

d) aAD bBE cCF
0
Bài 1.36: Cho tam giác ABC . M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác.
Chứng minh rằng : SMBC MA SMCA .MB SMAB MC =0
Bài 1.37: Cho đa giác lồi A1A2 ...An ( n

3 ); ei , 1

i

n là vectơ đơn vị

vuông góc với AA
A1 ) và hướng ra phía ngoài đa giác.

i i 1 (xem An 1
Chứng minh rằng
AA
A2A3e2 ... AnA1en 0 (định lý con nhím)
1 2e1
Bài 1.38: Cho đa giác lồi A1A2 ...An ( n 3 ) với I là tâm đường tròn tiếp xúc
các cạnh của đa giác; gọi ei , 1 i n là véc tơ đơn vị cùng hướng với véc
A
A
A
tơ IAi . Chứng minh rằng cos 1 e1 cos 2 e2 ... cos n en 0
2
2
2
Bài 1.39: Cho tam giác ABC vuông tại A. I là trung điểm của đường cao
AH. Chứng minh rằng : a 2 IA

b 2 IB

c 2 IC

0.

 DẠNG 3: Xác định điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ cho
trƣớc
1. Phƣơng pháp giải.
 Ta biến đổi đẳng thức vectơ về dạng AM a trong đó điểm A và a
đã biết. Khi đó tồn tại duy nhất điểm M sao cho AM a , để dựng
điểm M ta lấy A làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ a suy ra điểm
ngọn vectơ này chính là điểm M.

 Ta biến đổi về đẳng thức vectơ đã biết của trung điểm đoạn thẳng và
trọng tâm tam giác
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết

2MA 3MB 0
Lời giải (hình 1.21)
Ta có 2MA 3MB
2MA

3 MA

0
AB

A
0

B
Hình 1.21

AM 3AB
M nằm trên tia AB và AM 3AB
– Website chuyên đề thi tài liệu file word

M


Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD . Xác định điểm M , N , P sao cho
a) 2MA MB MC 0

b) NA NB NC ND 0
c) 3PA PB PC PD 0
Lời giải (hình 1.22)
a) Gọi I là trung điểm BC suy ra MB
Do đó 2MA MB MC 0

MC

2MI

NB

M

P
N

H

NC

IB

(

IA
)IA

3PG

0.

Từ đó, suy ra với điểm bất kì M thì MA
Lời giải
Ta có:

C

Hình 1.22

ND 0 2NK 2NH 0
NK NH 0 N là trung điểm của KH
c) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD khi đó ta có PB PC PD
Suy ra 3PA PB PC PD 0
3PA 3PG 0
 PA  PG  0  P là trung điểm AG .
Ví dụ 3: Cho trước hai điểm A, B và hai số thực , thoả mãn
0. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm I thoả mãn
IA

I
G

D

2MA 2MI 0 MA MI 0
Suy ra M là trung điểm AI
b) Gọi K, H lần lượt là trung điểm của AB, CD ta có
NA

B

K

A

IB

IA

0
AB

0.

MB

(IA

AB)

)AI

(

)MI .

(
0

AB

AI

AB.

AB không đổi, do đó tồn tại duy nhất

Vì A, B cố định nên vectơ
điểm I thoả mãn điều kiện.
Từ đó suy ra
MA

MB

(

)MI

(MI
( IA

IA)
IB)

(MI

(

IB)

)MI đpcm.

3. Bài tập luyện tập.
Bài 1.40: Xác định điểm M biết MA 2MB
Bài 1.41: Xác định các điểm I, J, K, L biết

3MC

0

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

23


a ) IA

2IB

b ) JA JB
c ) KA

0
2JC

KB

0

KC

BC

d ) 2 LA LB 3LC AB AC
Bài 1.42: Cho tứ giác ABCD . Tìm điểm cố định I và hằng số k để hệ thức
sau thỏa mãn với mọi M
a ) MA MB 2MC kMI

b ) 2MA

3MB

MD

kMI

c ) MA 2MB 3MC 4MD kMI
Bài 1.43: Cho tam giác ABC với các cạnh AB

c, BC

a, CA

b.

Tìm điểm M sao cho aMA bMB cMC
0
Bài 1.44: Cho tam giác ABC và ba số thức , , không đồng thời bằng
không. Chứng minh rằng:

a) Nếu
0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho
MA
b) Nếu

MB

MC
0.
0 thì không tồn tại điểm N sao cho

NA
NB
NC
0.
Bài 1.45: Cho n điểm A1, A2,..., An và n số k1, k2,..., kn mà
k1

k2

...

kn

k

0

a) Chứng minh rằng có duy nhất điểm G sao
cho k1GA1

k2GA2

...

knGAn

0.

Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm Ai gắn với hệ số ki . Trong
trường hợp các hệ số ki bằng nhau(ta có thể chọn các ki đều bằng 1 ) thì G
gọi là trọng tâm của hệ điểm Ai
b) Chứng minh rằng nếu G là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với điểm M bất kỳ ta
1
k MA1 k2 MA2 ... kn MAn
OG
có
k 1
 DẠNG 4: Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng
phƣơng.
1. Phƣơng pháp giải.
– Website chuyên đề thi tài liệu file word


Sử dụng các tính chất phép toán vectơ, ba quy tắc phép toán vectơ và tính
chất trung điểm, trọng tâm trong tam giác.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Đặt a

AB, b

AC .

1
AB, CN
3

a) Hãy dựng các điểm M, N thỏa mãn: AM

2BC

b) Hãy phân tích CM , AN , MN qua các véc tơ a và b .
c) Gọi I là điểm thỏa: MI CM . Chứng
minh I , A, N thẳng hàng
Lời giải (hình 1.23)
1
a) Vì AM
AB suy ra M thuộc cạnh AB
3
1
và AM
AB ; CN
2BC , suy ra N
3
thuộc tia BC và CN
2BC .
1
b) Ta có: CM CA AM
AC
AB

3
AN

AB

BN

MN

MA

AN

AB

1
a
3

3BC

2a

AB

3b

A
M

B

C

1
a
3

3(AC

7
a
3

N

Hình 1.23

b
AB)

2a

3b

3b .

c) Ta có:

AI

AM

MI

1
AB
3

CM

1
a
3

1
a
3

b

1
( 2a
3

3b)

1
AN
A, I, N thẳng hàng.

3
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , trên cạnh BC lấy M sao cho BM
3CM ,
trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN
5MN . G là trọng tâm tam giác ABC .
AI

a) Phân tích các vectơ AM , BN qua các véc tơ AB và AC
b) Phân tích các vectơ GC , MN qua các véc tơ GA và GB
Lời giải (hình 1.24)
3
5
a) Theo giả thiết ta có: BM
BC và AN
AM
4
7
3
AB BM
AB
BC
suy ra AM
4

A

– Website chuyên đề thi tài liệu file word

B

N
25

M

Hình 1.24

C