chuyen de hinh hoc 10-11-12(rat hay)

H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
( ) ( ) ( )
( )
( )








=∧
=++⇔=⇔⊥
==⇔=∧⇔=⇔
++=





=
=
=
⇔=
++=
=
±±±=±

−+−+−==
−−−=
21
21
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211
222
,,a .10
0...0.a .9

0.//a .8
....a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba
b
aaa
kakaka

babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABAB
cb,,a .11
đồng phẳng
( )
0.
=∧⇔
cba
cb,,a .12
khơng đồng phẳng
( )
0.
≠∧⇔
cba
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1







−
−
−
−
−

−
k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
BABABA
1
,
1
,
1
14. M là trung điểm AB







+++
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx

M
15. G là trọng tâm tam giác ABC







++++++
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị cđa 3 trơc:
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321
===
eee
17.
OzzKOyyNOxxM
∈∈∈
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM

∈∈∈
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1
aaaACABS
ABC
++=∧=
∆
20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1
∧=
21.
/
.
).(
////
AAADABV

DCBAABCD
∧=
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

[
→→
AC,AB
] ≠
0


• S
∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
• Đường cao AH =
BC
S
ABC
∆
.2
• S
hbh
=

→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
• ABCD là hbh
⇔

DCAB
=
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• [
→→
AC,AB
].
→
AD
≠ 0
• V
td
=
6
1
→→→
AD.AC],[AB
Đường cao AH của tứ diện ABCD
AHSV
BCD
.
3
1

=

⇒

BCD
S
V
AH
3
=
• Thể tích hình hộp :
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
1
1




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
[ ]
/
.
.;
////
AAADABV
DCBAABCD

=
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp α
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và
vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng
(d)
 Viết phương trình mpα qua M và vuông
góc với (d): ta có
d
an
=
α
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (α)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp α
 Tìm hình chiếu H của M trên mpα (dạng
4.1)
 H là trung điểm của MM
/
2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng

d:
 Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng
4.2)
H là trung điểm của MM
/

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y:
2a i j
→ → →
= − +
;
7 8b i k
→ → →
= −
;
9c k
→ →
= −
;
3 4 5d i j k
→ → → →
= − +

2: Cho ba vect¬
→
a
= ( 2;1 ; 0 ),
→
b

= ( 1; -1; 2) ,
→
c
= (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ :
→
u
= 4
→
a
- 2
→
b
+ 3
→
c
b) Chøng minh r»ng 3 vect¬
→
a
,
→
b
,
→
c
kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biĨu diĨn vect¬
→
w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬

→
a
,
→
b
,
→
c
.
3: Cho 3 vect¬
→
a
= (1; m; 2),
→
b
= (m+1; 2;1 ) ,
→
c
= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng .
4: Cho:
( ) ( ) ( )
2; 5;3 , 0;2; 1 , 1;7;2a b c
→ → →
= − = − =
. T×m täa ®é cđa vect¬: a)
1
4 3
2
d a b c
→ → → →

= − +
b)
4 2e a b c
→ → → →
= − −
5: T×m täa ®é cđa vect¬
x
→
, biÕt r»ng:
a)
0a x
→ → →
+ =
vµ
( )
1; 2;1a
→
= −
b)
4a x a
→ → →
+ =
vµ
( )
0; 2;1a
→
= −

c)
2a x b

→ → →
+ =
vµ
( )
5;4; 1a
→
= −
,
( )
2; 5;3 .b
→
= −
6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng:
(1;3;7), ( 5;2;0), (0; 1; 1).A B C
− − −
H·y t×m träng t©m G cđa tam gi¸c
ABC.
7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).A B C D
− − − −
H·y t×m täa ®é träng t©m G
cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O b) Qua mỈt ph¼ng Oxy c) Qua Trơc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn
l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? b) T×m täa ®é ®iĨm M.

13 . Cho ba vect¬
( ) ( )
1; 1;1 , 4;0; 1 ,a b
→ →
= − = −

( )
3;2; 1 .c
→
= −
T×m:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;a a b c b a b c c a b b c c a
→ → → → → → → → → → → →
   
+ +
 ÷  ÷
   

2 2 2
) 3 2 . ; ) 4 . 5d a a b b c b e a c b c
→ → → → → → → → → →
 
− + + −
 ÷
 
.
14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬
a

→
vµ
b
→
:
( ) ( )
) 4;3;1 , 1;2;3a a b
→ →
= = −

( ) ( )
) 2;5;4 , 6;0; 3 .b a b
→ →
= = −
15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
2
2




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬
, ,a b c

→ → →
trong mçi trêng hỵp sau ®©y:

( ) ( ) ( )
) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3a a b c
→ → →
= − = =

( ) ( ) ( )
) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1b a b c
→ → →
= = − =

( ) ( ) ( )
) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1c a b c
→ → →
= = =

( ) ( ) ( )
) 3;1; 2 , 1;1;1 , 2;2;1 .d a b c
→ → →
= − − = = −
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch ∆ABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa ∆ABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa ∆ABC.
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn.
b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.

19. Cho ∆ ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
c) TÝnh ®é dµi ®êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®êng th¼ng AB, CD.
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp
α
:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của α

⇔

n

⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:

a


b

là cặp vtcp của α
⇔
a

,
b

cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b


:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp
α
qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

(α) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0)
B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
3
3




0915.673.504
0915.673.504
//
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010

6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Chùm mặt phẳng : giả sử α
1
∩ α
2
= d trong đó
(α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m

2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
) =
0
8. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt

≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==⇔
βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1

D
D
C
C
B
B
A
A
===⇔≡
βα
ª
0
212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D =
0

222
ooo
CBA

D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng :
21
21
.
.
nn
nn


=
),cos(
βα
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:
→
AB
,
→
AC
°
]
)(
→→

=
AC , AB[nvtpt
qua

ChayBhayA
α
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
→
=
AB vtpt
AB điểm trungMqua
n

α
Dạng 3: Mặt phẳng
α
qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°
)....( AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua


α
α
Dạng 4: Mp
α
qua M và //
β
: Ax + By + Cz + D =
0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua

=
Dạng 5: Mp
α
chứa (d) và song song (d
/
)
 Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
 Mpα chứa (d) nên
α
aa
d
=
Mpα song song (d
/
) nên

α
ba
d
=
/
■ Vtpt
[ ]
/
,
d
d
aan
=
Dạng 6 Mp
α
qua M,N và
⊥

β
:
■ Mpα qua M,N nên
α
aMN
=
■ Mpα ⊥ mpβ nên
αβ
bn
=
°
],[

β
α
n nvtpt
N) (hayM qua

→
=
MN
Dạng 7 Mp
α
chứa (d) và đi qua
■ Mp
α
chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mp
α
đi qua
)(dM
∈
và A nên
α
bAM
=
°
],[ AM nvtpt
A qua

→
=
d
a

α

GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
4
4




0915.673.504
0915.673.504
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
3.BI TP P DNG
Bài toán 1 . Phơng trình mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vtpt
n

biết
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2=

b,

( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1 =

c,
( ) ( )
M 4; 1; 2 , n 0;1;3 =

d,
( ) ( )
M 2;1; 2 , n 1;0;0 =

Bài 2: Lập phơng trình mặt phẳng trung trực của AB biết:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c,
1 1
A ; 1;0 , B 1; ;5
2 2


ữ ữ

d,
2 1 1
A 1; ; , B 3; ;1
3 2 3


ữ ữ

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng
( )

đi qua điểm M và song song với mặt phẳng
( )

biết:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxy =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0 + =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0 + =
Bài 4 Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;3;2) và cặp VTCP là
(2;1;2); (3;2; 1)a b


Bài 5 : Lập phơng trình của mặt phẳng (P) đi qua M(1;1;1) và
a) Song song với các trục 0x và 0y. b) Song song với các trục 0x,0z.
c) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 6 : Lập phơng trình của mặt phẳng đi qua 2 điểm M(1;-1;1) và B(2;1;1) và :
a) Cùng phơng với trục 0x. b) Cùng phơng với trục 0y. c) Cùng phơng với trục 0z.
Bài 7 : Xác định toạ độ của véc tơ
n
vuông góc với hai véc tơ
(6; 1;3); (3;2;1)a b

.
Bài 8 : Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết (P) có cặp VTCP là

)4,2,3( );2,7,2( ba
Bài 9 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) biết :
a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10 : Lập phơng trình tổng quát của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
B ài 11 : (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P),(Q).
Bài 12 : Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a) Đi qua hai điểm A(0;-1;4) và có cặp VTCP là
( )
3;2;1a

và
( )
3;0;1b

b) Đi qua hai điểm B(4;-1;1) và C(3;1;-1) và cùng phơng với trục với 0x.
Bài 13: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB và song song vói cạnh CD.
Bài 14: Viết phơng trình tổng quát của (P)
a) Đi qua ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chứa 0x và đi qua A(4;-1;2) , d) Chứa 0y và đi qua B(1;4;-3)
Bài 15: Cho hai điểm A(3;2;3) B(3;4;1) trong không gian 0xyz
a) Viết phơng trình mặt phẳng (P) là trung trực của AB.
b) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A vuông góc vơi (P) và vuông góc với mặt phẳng y0z
c) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A và song song với mặt phẳng (P).

GV: Phạm Xuân Trung
GV: Phạm Xuân Trung
5
5




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

= (a
1
;a
2
;a
3

)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
∈





+=
+=
+=
:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o

1
o 0
:
=
−
=
−
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp α
1
và
α
2





=+++
=+++
0 DzBxA
0 DzBxA
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương









=
22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB
CB
a
4.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
(d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d

a

 d chéo d’
⇔
[
d
a

,
/
d
a
].
→
MN
≠
0
(không đồng
phẳng)
 d,d’ đồng phẳng
⇔
[
d
a

,
/
d
a
].

→
MN
=
0

 d,d’ cắt nhau
⇔
[
d
a

,
/
d
a
]
0
≠
và [
d
a

,
/
d
a
].
→
MN
=0

 d,d’ song song nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM
∉
}
 d,d’ trùng nhau
⇔
{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM

∈
}
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a
Kc t ừ đ iểm đến đ ường thẳng :
d
d
a
AMa
dAd
];[
),(
=
Kc giữa 2 đ ường thẳng :
];[
].;[
);(
/
/
/
d
d
d

d
aa
MNaa
ddd
=
6.Góc : (d) có vtcp
d
a

; ∆ ’ có vtcp
/
d
a
; ( α ) có
vtpt
n


Góc gi ữa 2 đường thẳng :
/
/
.
.
'
d
d
d
d
aa
aa



=
)dcos(d,
Góc gi ữa đ ường và m ặt :
na
na
d
d


.
.
=
)sin(d,
α
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=
ABaVtcp
hayBquaA
d
d
)(
)(
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (

∆
)
∆
=∆
a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
mp
α

α
α
n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua

=⊥
A
d)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=

α

∩

β

 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
6
6




0915.673.504
0915.673.504
Qui ước:
Mẫu = 0 thì Tư û= 0
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010

( )
( ) ( )








=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(
)(
αβ
βα
β
αβ
β
β
nan
bn
aad
dquaM
d
d
ª



)(
)(
)(
/
β
α

d
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc
(d
1
),(d
2
)
]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(

=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm
d
a
= [
a


d1
,
a

d2
]
+ Mpα chứa d
1
, (d)
; mp
β
chứa d
2
, (d)

⇒
d = α ∩ β
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =
α

∩

β

với mpα = (A,d

1
) ; mpβ = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //
∆
và cắt d
1
,d
2
: d =
α

1

∩

α

2
với mpα
1
chứa d
1
// ∆ ; mpα
2
chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và

⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mpα qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ α
Dạng 10: PT d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
: d =
α

∩

β

với mpα chứa d
1
,⊥(P) ; mpβ chứa d
2
, ⊥ (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)a

lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( ) : -3 2 -6 0 P x y z+ =
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng
tr×nh:
( )
R t,
21
22:
∈





+=
+=
−=
tz
ty
tx
d
Bµi 4: Cho ®êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph¬ng tr×nh lµ :
( )

R t,
21
22:
∈





+=
+=
−=
tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng
(D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng th¼ng
(d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + − =
.

Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
th¼ng (
∆
) cho bëi :
( )
2 2
: 3 t
3
x t
y t R
z t
= +


∆ = − ∈


= − +

.
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
7
7




0915.673.504
0915.673.504

H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a)
( )
R t,
2
3
1
:
∈





+=
−=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:

∈





+=
+=
+=
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
( )
3
2
12
1
:
−
+
==
−
zyx
d
.
a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d

1
) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
( )
1
1
2
1
1
2
:
1
−
=
−
=
−
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:

2
R
tz
ty
tx
d
∈





+−=
+=
+=

a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d
1
),(d
2
).
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) cã ph¬ng tr×nh cho bëi :
( )

34

24
37
:
1





+=
−=
+−=
tz
ty
tx
d

( ) ( )
R
tz
ty
tx
d
∈





−−=

+−=
+=
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
) chÐo nhau.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d
1
),(d
2
) .
III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Ph ương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính
R

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,

222
=−+−+−
(1)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
(
0dcbavới
222
>−++
)
• Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR
−++=
222
2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
và α : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,α) : khỏang cách từ tâm mc(S)
đến mpα :
 d > R : (S) ∩ α = φ
 d = R : α tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm,
α: tiếp diện)

GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
8
8




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
*Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên
mp
α
)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua
I và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và
(α)
 d < R : α cắt (S) theo đường tròn có pt
( ) ( ) ( )



=+++α

=−+−+−

2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22
α
IdRr
−=
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpα)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua
I và vuông góc mpα : ta có
α
na
d
=
 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và
(α)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu






+=

+=
+=
tazz
tayy
taxx
d
3o
2o
1o
:
(1) và

( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R

2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp α
222
..
)(
CBA
D
I
zC
I
yB
S
++
+++
==
I
A.x
)d(I, R
I tâmcầu mặt Pt
α
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2)
0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++

A,B,C,D ∈ mc(S)
⇒
hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

0d2cz2by2axzyx:R)S(I,
222
=+−−−++
(2)
A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α)
Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện
α
của mc(S) tại A :
α
qua A,
→
=
IA n vtpt

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: Trong c¸c ph¬ng tr×nh sau ®©y ,ph¬ng tr×nh nµo lµ ph¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ
b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a)
( )
02642:
222

=++−−++
zyxzyxS
b)
( )
09242:
222
=+−+−++
zyxzyxS
c)
( )
03936333:
222
=+−+−++
zyxzyxS
d)
( )
07524:
222
=−−++−−−
zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )
04624:
2222
=++−−−++
mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:
( )
05824:
22222
=−+−−++
mymmxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) T×m q tÝch t©m cđa hä (S
m
) khi m thay ®ỉi. c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (S
m
) lu«n ®i qua.
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
9
9



0915.673.504
0915.673.504
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
Hình Học giải tích trong không gian LTĐH năm 2009-2010
Bài 4: Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
03cos2sin2:
222
=++
mymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,cắt (C) tại T, S , đờng
thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4. b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm
I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x. d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-

7)
Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d
1
),(d
2
), (d
3
) có phơng trình :
( )
1
1
4
2
3
2
:
1

=
+
=

zyx
d
,
( )
1
9
2
3

1
7
:
2


=

=

zyx
d
,
( )
1
2
2
3
3
1
:
3


=

+
=
+
zyx

d
a) Lập ptđt (d) cắt cả (d
1
),(d
2
) và song song với (d
3
).
b) Giả sử
( ) ( ) { }
Add
=
1
,
( ) ( ) { }
Bdd
=
2
.Lập phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình :
( )
R
tz
ty
tx
d

=
=
+=
t
2
1
2
:
1
,
( )
1
9
2
3
1
7
:
2


=

=

zyx
d
a) CMR (d
1
) và (d
2
) chéo nhau. b) Viết phơng trình đờng vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
).
c) Lập mật cầu (S) có đờng kính là đoạn vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
). d) Viết pttq mp cách đều(d
1
) (d
2
).
Bài 8: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1;4;-7) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) Bán kính R = 9 và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1;1;-3).
Bài 9: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ toạ 0xyz ,cho bốn điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
b) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài10: Cho bốn điểm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.

b) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A. Gọi K là giao
điểm của hình chiếu đó với 0A. Hãy xác định toạ dộ của K.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt là điểm giữa của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M trên SB sao cho
PQ và KM cắt nhau.
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ 0xyz ,cho bốn điểm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc của D lên (ABC) và tính thể tích tứ diện ABCD.
b) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số đờng thẳng vuông góc chung của AC và BD.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12: Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ độ
của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABCD

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
GV: Phạm Xuân Trung
GV: Phạm Xuân Trung
10
10




0915.673.504
0915.673.504

H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
a) CMR tø diƯn ABCD cã cỈp c¹nh ®èi diƯn b»ng nhau . b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cđa tø diƯn.
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diƯn ABCD.
H×nh häc mỈt ph¼ng t¹o ®é
C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó ý : - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cđa ®g kia,
chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia
Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK
- viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH

Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t  ®iĨm C
- LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t  ®iĨm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm
B vµ C
chó ý :
c¸c bµi to¸n kÕt hỵp ®êng cao vµ ph©n gi¸c; ®êng cao vµ trung tun; trung tun vµ ph©n gi¸c ta
®Ịu dùa vµo c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn
lo¹i 4: Bµi to¸n cho diƯn tÝch, cho ®iĨm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tríc
c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diƯn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cđa ®iĨm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k

Bµi tËp:
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ;
2
3
), D (- 2; 2)
a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng.
b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B.
c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tìm tọộ trọng tâm G của tam giác ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
11
11




0915.673.504
0915.673.504
A
B’
I
C
C
A(x;y)
A’
B
A(x;y)
C’

J
B
C(x;y)
B
A’
A’’
B’
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
a/ Xác đònh tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Xác đònh tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng.
3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành.
b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất .
c/ Tìm điểm N trên trục tung sao cho NA + Nb nhỏ nhất.
d/ Tìm điểm I trên trục tung sao cho |
→−→−
+
IBIA
| ngắn nhất.
e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a) Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:
Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của đường
thẳng trong các trường hợp sau:

1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ
→
u
=( 4; -3) làm vectơ chỉ phương .
2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) và B( -3 ; 5 ) .
3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ
→
n
= ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến .
Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Viết phương trình đường
thẳng d trong các trường hợp sau :
a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4.
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C
c) d cách đều ba điểm A; B ; C
d) d vuông góc với AB tại A. e; d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC
, CA . 1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC.
2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0 .
1/ Lập phương trình tổng quát đường thẳng ( d’) đi qua điểm A (1 ; -2 ) và song song với (d).
2/ Lập phương trình đường thẳng (d’’) đi qua điểm M( 3 ; 1 ) và (d’’) vuông góc với (d).
Bài 6 : Cho hai đường thẳng d: 2x + 7y – 8 = 0 và d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi
qua giao điểm của d và d’và thoả mản môït trong các điều kiện sau đây :
1/ Đi qua điểm ( 2 ;- 3) 2/ Song song với đường thẳng x – 5y + 2 = 0
3/ Vuông góc với đường thẳng x- y + 4 = 0 .
Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.
Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường

thẳng d trong mổi trường hợp sau :
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
12
12




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4. 2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một
đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .

Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y
– 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1
, C trên d
2
và B , D trên
trục hoành sao cho ABCD là hình vuông .
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác đònh hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:
•Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d .
• Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H.
2/ Phương pháp :Xác đònh điểm N đối xứng của điểm M qua d.
• Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.
•Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa độ
điểm N
Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d .
Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng
d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d.
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d .
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất.
Dạng 3 : Các bài toán về vò trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 1 : Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Bài 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trò nào của m thì :
1/ d và d’ cắt nhau. 2/ d // d’. 3/ d trùng với d’.
Bài 3: Với giá trò nào của m thì hai đường thẳng sau cắt nhau tại một điểm trên trục hoành
d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0.
Dạng 4 : Các bài toán Sử dụng công thức tính góc và khoảng cách.
Bài 1 : Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau :
1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0
2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 .
Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và
hợp với d một góc 45
0
.
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
13
13




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.

Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng : (d
1
):2x – y + 5 = 0 , (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d
1
) và (d
2
) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình
3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và
4x +7y – 21 =0. Viết phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là
7x- y +8 = 0
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a. Xác đònh tọa độ điểm A.
b. Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của
B , C.
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại C .
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ C
có phương trình x + y – 5 =0
a. Tìm tọa độ điểm A. b, Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.

7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0.
a, Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B. Với C vừa tìm được .Tìm D s/cho ABCD là hbh .tính S
hbh
.
9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a. Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh
có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.
11/Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai trung tuyến có phương trình x-2y+1
=0, y -1=0 .
12/ Cho tam giác ABC có A(2;-1) và phương trình hai phân giác trong của góc B và C lần lượt là d:x –
2y+1=0 , d
’
:x+y+3 = 0. Tìm phương trình cạnh BC.
13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng
3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0.
Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1).
15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm.
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
14
14





0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
:x-y=0,d
2
:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một
đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0.
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0.
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh.
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là
3x y 3 0− − =
, các đỉnh A và B thuộc trục

hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
ĐƯỜNG TRÒN
A . LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
I .phương trình đường tròn :
* Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là :
(x – a )
2
+ ( y – b)
2
= R
2
* Phương trình : x
2
+ y
2
–2ax – 2by + c = 0 , a
2
+ b
2
– c > 0 là phương trình của một đường tròn có tâm I
( a ; b ) ,bán kính R =
cba
−+
22
II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn .
Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x
2
+y
2
– 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M

0
(x
0
;y
0
)
P
M
/
(C )
= F (x
0
; y
0
) = x
0
2
+y
0
2
–2ax – 2by + c .
III. Trục đẳng phương của hai đường tròn :
Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C
1
) : x
2
+ y
2
– 2a
1

x – 2b
1
y + c
1
= 0 ,
( C
2
) : x
2
+ y
2
– 2a
2
x - 2b
2
y + c
2
= 0 .
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C
1
) , ( C
2
) có phương trình là :
2( a
1
- a
2
) x + 2( b
1
- b

2
) y – c
1
+ c
2
= 0 .
IV. Tiếp tuyến của đường tròn
1/Dạng 1: Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )
2
+ ( y –b)
2
= R
2
. Tâm I ( a ;b) , bán kính R.
Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M
0
( x
0
; y
0
)
∈
( C ) có phương trình :
(x
0
– a) (x – a ) + ( y
0
– b)( y – b) = R
2

Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M
0
nhận vectơ M
0
I làm vectơ pháp tuyến từ đó suy ra phương trình
tiếp tuyến với ( C ) tại M
0
.
2/ Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng
∆
có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
*
∆
tiếp xúc với ( C ) ⇔ d( I ,
∆
) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m.
3/ Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( x
M
; y
M
).
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
15
15





0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
* Đường thẳng
∆
qua M có phương trình : A ( x – x
M
) + B ( y – y
M
) = 0.
*
∆
tiếp xúc với ( C ) ⇔ d( I ,
∆
) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 :Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau :
1/ x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x
2
+ 2y
2
+ 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x
2
+ y

2
– 6x – 16 = 0 . 4/ x
2
+ y
2
- 8y - 9 = 0 .
Bài 2 :Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau:
1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R =
3
.
2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) có tâm I ( 3 ; - 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng
∆
: 4x –3y + 5 = 0 .
4/ ( T ) đi qua ba điểm A ( - 1 ; - 5 ), B ( 5 ; - 3 ) , C ( 3 ; -1 ).
5/ ( T )tiếp xúc với hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng
∆
:2x – y – 8 = 0.
6/ ( T ) qua hai điểm A(1;2 ),B(3; ) và tiếp xúc với đường thẳng
∆
có phương trình : 3x +y–3 = 0
Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với ( C
) : 1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Biết d song song với
∆
: 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) .

Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ).
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng
∆
:2x – 3y + 1= 0.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).
Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C
1
) và ( C
2
) lần lượt có phương trình là :
x
2
+ y
2
+ 4x + 4y –13 = 0 , x
2
+ y
2
- 2x + 8 y + 5 = 0 .Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường
tròn đó .
Bài 6 : Cho ( C
m
) có phương trình : x
2
+ y

2
– 2mx – 4my + 2m
2
– 1 = 0.
1/ Tìm các giá trò của m sao cho (C
m
) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm I của ( C
m
) .
Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x
2
+ y
2
– 2x + 4y – 20 = 0.
a) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) tại các điểm A(4 ;2) , B(-3 ; -5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyế của (T) đi qua C( 6 ; 5) .
c) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (T) và (T’) có pt : x
2
+y
2
-10x + 9 = 0
d) Với giá trò nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x
2
+ y
2
– 2my = 0.
CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
(d

1
) :
5
2
5
−=
x
y
, (d
2
) : y = x+2 , (d
3
): y = 8 – x
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d) :
2x – y + 1 = 0
5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2)
6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng
(d
2
): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2).
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
16
16



0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai
đường thẳng (d
2
) : x +y+4 = 0 ,(d
3
) :7x – y+4 = 0
8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ .
9/ Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+y
2

+4x – 2y – 20 = 0
a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C

1
) ,(C
2
) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) ,(C
2
)
10/ Cho (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’)
đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C
1
) : x
2
+y
2
– 4x – 5 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của hai đường tròn .
12/ Cho hai đường tròn : (C

1
) : x
2
+y
2
– 4x +2y –4 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau , tìm tọa độ tíêp điểm H.
b. Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
) không qua H .Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với
IJ .Viết phương trình đường tròn (C) đi qua K và tiếp xúc với (C
1
) và (C
2
) tại H.
13/ Cho điểm M(6;2) và đường tròn (C) :x
2
+y

2
– 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB =
10
.
14/Cho đường tròn (C ) : x
2
+y
2
– 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) .
a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn.
b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB.
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1) ∩ (d2) = A,
(d
2
) ∩ (d
3
) =B , (d
3
) ∩ (d
1
) = C.
a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC .
b. Tính diện tích tam giác ABC .
c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
16/ Cho đường tròn (C) :x
2
+ y

2
-8x -6y = 0 và điểm A(14;8) . Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với
(C) . Lập phương trình đường thẳng MN .
17/ Cho (Cm) : x
2
+y
2
+2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xác đònh m để (Cm) là đường tròn .
b. Tìm quỹ tích tâm I của (C
m
) .
18/ Cho (C) : x
2
+ y
2
+2x – 4y – 20 = 0 và A(3 ; 0) .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt (C)
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
19/ Cho hai đường tròn (C1) :x
2
+ y
2
– 2x – 9y – 2= 0 v (C2) : x
2
+ y
2
– 8x – 9y +16 = 0.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C

2
) tiếp xúc nhau .
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó .
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau :
a. (C
1
): x
2
+ y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
+4x -2y -20 = 0
b. (C
1
): x
2
+ y
2
- 4x - 5 = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
- 6x +8y +16 = 0

C«ng thøc vỊ E-LÝp
Ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t:
2 2
2 2
x y
+ = 1
a b
(a,b>0)
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
17
17




0915.673.504
0915.673.504
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
H×nh Häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian LT§H n¨m 2009-2010
NÕu a>b th×: b
2
= a
2
- c
2

trơc lín lµ 2a
trơc nhá lµ 2b

tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/a
tiªu ®iĨm ( thc Ox) F
1
=(-c;0) F
2
=(c;0)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF a ex a x
a
c
MF a ex a x
a
= + = +
= − = −

NÕu b>a th×: a
2
= b
2
- c
2

trơc lín lµ 2b
trơc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c

t©m sai e=c/b
tiªu ®iĨm ( thc Oy) F
1
=(0;-c) F
2
=( 0;c)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF b ex a x
b
c
MF b ex a x
b
= + = +
= − = −
. CÁC DANG BÀI TẬP:
Bài 1 : Tìm tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tiêu cự , độ dài các trục và tâm sai của elip (E ) cho bởi các
phương trình sau :
1/ 16x
2
+ 25y
2
= 400 ; 2/ 4x
2
+ 9y
2
= 144 ;

3/ 9x
2
+25 y
2
= 225 ; 4/ 4x
2
+ 9y
2
= 25.
Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2
10
.
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M (
15
; - 1 ).
4/ ( E ) có một tiêu điểm F
2
( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)
5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3
2
)
6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x
7
±
16 = 0.

7/ ( E ) có tâm sai bằng
2
1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó.
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua
tiêu điểm bên phải .
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x
2
+ 6y
2
= 12 .
1/ Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) .
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 16x
2
+ 25y
2
= 400 .
1/ Tìm các điểm M trên ( E ) sao cho 3F
1
M = F
2
M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF

1
+ BF
2
= 8 .Hãy tính AF
2
+ BF
1
.
Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính độ dài AB
3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y
2
=25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ).
GV: Ph¹m Xu©n Trung
GV: Ph¹m Xu©n Trung
18
18



0915.673.504
0915.673.504