Về module hữu hạn sinh và module Noether

Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

Lời nói đầu
Cùng với sự phát triển của toán học, thì bộ môn cơ sở đại số hiện đại ngày
càng có vai trò quan trọng, là nền tảng để phát triển, nghiên cứu chuyên sâu
về đại số hiện đại. Trong đó khái niệm module đóng vai trò quan trọng nhất.
Hiện nay bộ môn Đại số đại cương nâng cao được đưa vào giảng dạy ở
trường Đại học Sư phạm Huế đã cung cấp những kiến thức cơ bản về module
và đại số.
Với mong muốn hiểu rõ hơn về những tính chất cơ bản của lớp module hữu
hạn sinh, cùng với sự truyền cảm hứng của thầy giáo PGS-TS Phan Văn
Thiện, em đã mạnh dạn chọn đề tài tiểu luận : Về module hữu hạn sinh.
Tiểu luận này ngoài lời nói đầu và mục lục, gồm hai chương:
Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, nhắc lại các kiến thức về module, module con,
module hữu hạn sinh, module thương, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng
trực tiếp.
Chương II: Một số bài toán
Trong chương này, đưa ra một số bài toán về module hữu hạn sinh, đưa
ra các định nghĩa về lớp module Noether và trình bày các tính chất của lớp
module này.
Cuối tiểu luận còn có phần phụ lục: Vài nét về nhà toán học Emmy Noether.
Tiểu luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Phan
Văn Thiện. Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy.
Mặc dù đã cố gắng nhưng vì thời gian và khả năng còn hạn chế, chắc
chắn tiểu luận của em sẽ không tránh được những sai sót. Em rất mong nhận
được lời góp ý, nhận xét từ thầy cô và các bạn để tiểu luận này được hoàn
thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Page 1

Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................... 1
CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 3
1.1. Module .........................................................................................................................3
1.2. Module con ................................................................................................................4
1.3. Module thương ........................................................................................................5
1.4. Đồng cấu module.....................................................................................................5
1.5. Tích và tổng trực tiếp của module ...................................................................5
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TOÁN................................................................... 7
Bài toán 1. ...........................................................................................................................7
Bài toán 2. ...........................................................................................................................7
Ví dụ ......................................................................................................................................8
2.1. Mệnh đề .......................................................................................................................9
2.2. Định nghĩa ............................................................................................................... 10
2.3. Mệnh đề .................................................................................................................... 10
2.4. Hệ quả ....................................................................................................................... 11
2.5. Mệnh đề .................................................................................................................... 11
2.6. Mệnh đề (Hilbert) . .............................................................................................. 12
2.7. Hệ quả ....................................................................................................................... 13
2.8. Mệnh đề .................................................................................................................... 13
PHỤ LỤC: Vài nét về nhà toán học Emmy Noether. .....................15
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................17

Page 2


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị
Trong suốt tiểu luận này, nếu không nói gì thêm, vành
vành có đơn vị

luôn được hiểu là

1. Module
Định nghĩa 1.1. Cho là một vành có đơn vị
R module trái (hay module trái trên vành R) nếu
cùng với một ánh xạ (gọi là phép nhân vô hướng):
:R

M

. M được gọi là một
là một nhóm cộng Abel

M

thỏa mãn các điều kiện:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
với bất kì

và

.

Tương tự, được gọi là một
module phải (hay module phải trên vành )
nếu là một nhóm cộng Abel cùng với một ánh xạ:

thỏa mãn các điều kiện:

Page 3


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2
với bất kì

à

.

Trong tiểu luận này chỉ đề cập đến những
module.

module trái, và gọi chúng là

2. Module con
Định nghĩa 1.2. Cho

module

. Khi đó:

Bộ phận ổn định của là một tập con

với mọi
ta có
và
các phép toán sau:

(i)

gọi là các phép toán của

sao cho với mọi
, và
. Khi đó chúng ta có

cảm sinh từ các phép toán của

Một module con của
module
là một bộ phận ổn định
của
và cùng với phép cộng và phép nhân với vô hướng cảm sinh lập
thành một
module.

(ii)

Định nghĩa 1.3. Cho

module

Một họ phần tử { } ⊂ M được gọi là hệ sinh của

của đều là tổ hợp tuyến tính của họ { } . Khi đó
con sinh bởi { } .

nếu mọi phần tử
chính là module

được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn. Nói cách khác
= 〈{
}〉. Vậy mọi
module hữu hạn sinh đều có dạng:
=
với
Khi đó nếu

sinh bởi 1 phần tử thì

được gọi là module xyclic.
Page 4


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

3. Module thương
Mệnh đề 1.4. Giả sử là một module con của một
module . Khi đó
nhóm thương cộng Abel
cùng với phép nhân ngoài cho bởi:
với mọi
và mọi

lập thành một

module.

Định nghĩa 1.5.
module
thương của theo .

xác định như trên được gọi là module

4. Đồng cấu module
Định nghĩa 1.6. Cho hai module
xạ
thỏa mãn:
(i)
(ii)

trên cùng một vành . Khi đó một ánh

với mọi
với mọi
và mọi

được gọi là một đồng cấu
một ánh xạ
tuyến tính từ

module từ
vào ).

.
vào

(hay còn được gọi là

5. Tích và tổng trực tiếp của module
Mệnh đề 1.7. Giả sử
là
module với mọi
∏
ta định nghĩa hai phép toán cộng và nhân như sau:
Với mọi

,

,

. Trên tập tích

:

Khi đó dễ dàng kiểm tra được ∏
thành một
module.

cùng với hai phép toán nói trên lập
Page 5


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

Định nghĩa 1.8. –module ∏
tiếp của họ module { } .

trong mệnh đề trên được gọi là tích trực

Mệnh đề 1.9. Gọi
là tập các dãy
(với
) có giá hữu
hạn, tức là hầu hết
trừ ra một số hữu hạn
. Với hai phép toán cộng
và nhân vô hướng định nghĩa như trên
là một
module.
Định nghĩa 1.10.
module
trực tiếp của họ module { } .

trong mệnh đề trên được gọi là tổng

Lưu ý:
Khi là tập chỉ số hữu hạn,
của họ { } là trùng nhau:

{

} thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp

Page 6


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

Chương II: Một số bài toán
Sau đây, ta sẽ tìm hiểu một số bài toán liên quan đến module hữu hạn sinh.

Bài toán 1: Cho là một
Khi đó
cũng là một

module hữu hạn sinh,
module hữu hạn sinh.

là module con của

.

Chứng minh:
Theo giả thiết ta có:
là một
là hệ sinh của . Khi đó với mọi
thì :

module hữu hạn sinh. Gọi {
thì: x= ∑
,

Với mỗi

=∑

Do đó, tập {

=∑

.
.

} chính là hệ sinh của

cũng là một

Vậy,

+

}

module hữu hạn sinh.

Bài toán 2: Cho
là một
module, là module con của . Giả sử rằng
là
module hữu hạn sinh và
là -module hữu hạn sinh. Khi đó
rằng cũng là một
module hữu hạn sinh.

Chứng minh:
là một

Theo giả thiết

=
Và

là một

̅

module hữu hạn sinh nên
̅

̅

module hữu hạn sinh nên

có dạng:

̅
có dạng:

=
Với mọi
̅

:
̅

̅

Page 7


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

〈{
Vậy

}〉

là một –module hữu hạn sinh.

Nhận xét: Ta có nhận xét rằng: Module con của một module hữu hạn sinh
chưa chắc đã hữu hạn sinh. Ta sẽ xét ví dụ sau đây:
Ví dụ:
Xét
là tập các hàm số liên tục trên đoạn
. Khi đó
là một
vành giao hoán có đơn vị, và đương nhiên nó là module hữu hạn sinh trên
chính nó.
Bây giờ, với mỗi số nguyên dương

xét hàm liên tục trên

Gọi
là idean của

sinh bởi tập { }
thì
Ta sẽ chứng minh không là module hữu hạn sinh.
Thật vậy, giả sử có một hệ sinh hữu hạn là {
tuyến tính của một số hữu hạn
nên
sao cho các
Khi đó

=(

Giả sử

=

Khi đó ta có:
Vậy

) do vậy
+...+

(
với các

thỏa mãn:

là module con của

.

}. Vì mỗi là tổ hợp
đều sinh bởi ,...,

).
.

( ) = 0. Mâu thuẫn với cách xác định

.

không phải là một module hữu hạn sinh.

Page 8


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2
Sau đây ta sẽ nghiên cứu một lớp module thỏa mãn tính chất: mọi module con
của module này đều hữu hạn sinh. Đó là module Noether, nó được đưa ra bởi
nhà toán học E.Noether.

Ta sẽ mở đầu bằng mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 2.1. Cho là một
module. Khi đó các khẳng định sau là tương
đương:
(i)
Mọi tập hợp khác rỗng các module con của luôn chứa ít nhất một
phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm).
(ii) Mọi dãy tăng các
module con của
⊂

⊂
⊂ ⊂

(iii)

đều dừng, tức là có một số n sao cho
Mọi
module con của là hữu hạn sinh.

Chứng minh:
(ii): Lấy tùy ý một dãy tăng các modulo con của .
⊂
⊂
⊂ ⊂
Gọi là tập tất cả các phần tử của dãy này. Theo giả thiết (i) thì tập
này có phần tử cực đại
với nào đó. Do đó ta có một số sao
cho
=....
(i)

(ii) (iii): Cho
là một module con của . Chọn tùy ý
.
Nếu
{ } thì N sinh bởi và kết thúc chứng minh.
Nếu
{ } , ta lại chọn
,
{ } Nếu

{
} thì
kết thúc chứng minh. Và nếu
{
}, thì ta lại tiếp tục làm như
vậy.
Và được dãy tăng các module con của . Theo giả thiết (ii), quá
trình này phải dừng lại sau một số hữu hạn bước, và ta có
{
} với nào đó.
Vậy là một module hữu hạn sinh.
Page 9


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2
(ii): Xét dãy tăng bất kì gồm các module con của :
⊂
⊂
⊂ ⊂
Khi đó, hợp của chúng
là một module con của
(iii)

.

Theo giả thiết (ii) thì
là module hữu hạn sinh. Giả sử
{
} là một tập sinh của . Mỗi đều thuộc một module
trong dãy tăng nói trên. Vì thế có một module

chứa tất cả
. Ta có:
={
} = N. Vậy
=
=...
(ii) (i): Giả sử phản chứng: ∑ là một họ khác rỗng các module con
của không có phần tử cực đại.
Giả sử
∑ Vì S không có cực đại nên
∑, sao cho
⊂
và
Tiếp tục quá trình trên: Nếu đã có module , thì vì ∑ không có cực
đại, nên
∑ sao cho
⊂
và
Ta thu được dãy tăng không ngừng các module con của
⊂
⊂
⊂ ⊂
Điều này vô lí với giả thiết (iii). Vậy giả thiết phản chứng bị bác bỏ.
Định nghĩa 2.2. Một
module M được gọi là module Noether nếu nó thỏa
mãn một trong các điều kiện tương đương nói trong Mệnh đề 2.1.
Mệnh đề 2.3. Giả sử
là một module con của module . Khi đó
Noether nếu và chỉ nếu các module và
đều là Noether.

Chứng minh:

là

(
Nếu
là Noether thì theo định nghĩa cũng là Noether. Mỗi module
con của
đều có dạng
với là một module con của
sao cho
⊂ ⊂ . Vì thế
cũng noether.
(
: Giả sử các module
module con của :

và

cũng là Noether. Với mỗi dãy tăng các
⊂

⊂

⊂

⊂
Page 10

Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2
Ta xét hai dãy tăng tương ứng các module con của
⊂

⊂

⊂

và

:

⊂
⊂

⊂

Do và
là Noether, hay dãy này đều dừng, chẳng hạn từ bước
thứ . Tức là:

Từ đó:
Với mọi i
=

, ta có:
=

Hệ quả 2.4. Tích trực tiếp của một họ hữu hạn các module là Noether nếu và
chỉ nếu mỗi module nhân tử là Noether.

Chứng minh:
Chỉ cần chứng minh cho trường hợp tích của hai module. Bằng cách quy nạp
lên, ta được trường hợp tổng quát.
Nếu
và
{ }
cùng là Noether.

thì
{ } là một module con của
. Theo Mệnh đề 2.3, là Noether nếu và chỉ nếu và

Mệnh đề 2.5. Giả sử là một tự đồng cấu của module Noether
nếu là một toàn cấu thì nó là một đẳng cấu.
Chứng minh:
Giả sử
là Noether và
module con của :
0⊂

. Khi đó,

là một toàn cấu. Ta có dãy tăng các
⊂

⊂
Page 11


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

Vì thế,
thuộc
đó

với một nào đó. Giả sử a là một phần tử bất kì
là một toàn cấu nên
với một phần tử nào
= 0. Hay b
.

. Bởi vì
. Do đó,

Từ đó
cấu.

. Như vậy

là một đơn cấu, và do đó nó là một đẳng

Mệnh đề 2.6. (Hilbert) Giả sử là một vành Noether. Khi đó vành đa thức
một biến
cũng là một vành Noether.
Chứng minh:
Để chỉ ra
là vành Noether, ta sẽ chứng minh rằng mọi iđêan khác không
của nó là hữu hạn sinh.
Giả sử là một iđêan (trái) khác không tuỳ ý của vành
. Với mỗi
ta kí hiệu bởi

tập hợp tất cả các phần tử
sao cho là hệ số của số
hạng bậc cao nhất của một đa thức bậc nào đó:

thuộc . Khi đó,
và
Hơn nữa

là một idean (trái) của . Vì nếu
với mọi

⊂
, bởi vì phần tử
với bậc
. Vậy

thì dễ thấy rằng

cũng là hệ số cao nhất của đa thức
Ta có một dãy tăng các idean của

vành :
⊂

Vì

⊂

⊂

là một vành Noether, nên
⊂

Ngoài ra, cũng do

⊂

⊂

nào đó. Ta có:

... với một số

⊂

⊂

⊂

Noether, nên:
=

+ +

,(

.
Page 12

Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2
Gọi
là đa thức trong với hệ số của số hạng bậc cao nhất là
chứng minh rằng là một idean (trái) sinh bởi hệ hữu hạn
{

TH1: Nếu
∑
TH2:

}.

là một đa thức bậc , với số hạng cao nhất là

Giả sử

: Ta có

Nếu
∑

.

, vì

=∑
là một đa thức của

có bậc

Ta có
= ∑
là một đa thức của có bậc

. Khi đó
.
.

Khi

đó

.

Bằng quy nạp lùi theo bậc , ta chứng minh được rằng
của
sinh bởi hệ hữu hạn
Vậy

. Ta sẽ

là một idean (trái)
.

là một vành Noether.

Hệ quả 2.7. Nếu
là một vành Noether thì vành đa thức nhiều biến
cũng là Noether.
Chứng minh:

Theo Mệnh đề 2.6, khẳng định này đúng với
Giả sử quy nạp vành

.

là Noether. Khi đó theo Mệnh đề 2.6:

cũng là một vành Noether.

Mệnh đề 2.8. Cho là một vành Noether.
Khi đó là – module Noether.

là

–module hữu hạn sinh.

Page 13


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

Chứng minh:
} là một hệ sinh của
module. Theo Hệ quả 2.4 thì
là một module Noether.

Giả sử {
Xét

đồng cấu:

xác định bởi:

Dễ thấy

là một

=

.

toàn cấu. Ta có

.

Áp dụng Bài toán 1- Chương 2, ta có:
là một

Vậy

module hữu hạn sinh,
là module con của
cũng là một
module hữu hạn sinh.

là một

–module hữu hạn sinh hay

là một

. Khi đó có

module Noether.

Page 14


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

PHỤ LỤC: Vài nét về nhà toán học Emmy Noether.
Emmy Noether (1882-1935) là một nhà toán học nữ nổi tiếng người Đức gốc
Do Thái. Cha của bà là nhà toán học Max Noether. Ban đầu bà dự định sẽ trở
thành giáo viên dạy tiếng Anh, nhưng sau khi vượt qua kỳ thi kiểm tra trình
độ, bà lại chọn học toán tại đại học Erlangen, nơi cha bà làm giảng viên.
Sau khi hoàn thành luận án của mình vào năm
, bà làm việc không lương
tại Viện Toán học của Erlangen trong bảy năm (vào cái thời phần lớn phụ nữ
bị loại khỏi các vị trí học thuật).
Năm
5, bà được David Hilbert và
Felix Klein mời tham gia khoa toán tại
Đại học Gottingen, một trung tâm
nghiên cứu toán học nổi tiếng thế giới.
Bà đã trải qua bốn năm giảng dạy dưới
tên của Hilbert.
Những đóng góp đột phá của Emmy là
trong lĩnh vực đại số lý thuyết và vật lý
lý thuyết. Bà đưa ra định lý Noether
thứ nhất vào năm
5 khi bà đang ở

đại học Gottingen để giúp Einstein giải
quyết vấn đề về nghịch lý bảo toàn
năng lượng trong thuyết tương đối
rộng.
Thậm chí đến ngày nay, nghiên cứu
của Emmy vẫn được sử dụng trong công cuộc khám phá hố đen và tìm ra đối
tượng mới ngoài không gian.
Sau
, bà bị cấm dạy ở Gottingen do đảng phát xít lên nắm quyền ở Đức.
Bà di cư sang M và bắt đầu giảng dạy tại Viện nghiên cứu Cấp cao
Princeton.
Năm
5, khi Emmy Noether mất trong một cuộc phẫu thuật ở tuổi 53. trong
lá thư hồi tưởng bà, nhà Tôpô học Pavel Alexandrov coi Emmy Noether "là
Page 15


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2
nhà nữ toán học lớn nhất mọi thời đại". Còn nhà toán học Norbert Wiener viết
rằng bà “ có thể sánh ngang với Madame Curie”.
Không chỉ các nhà toán học tôn kính bà mà cả những nhà vật lý học cũng cần
phải cảm ơn vì những đóng góp của bà.
Hay tin bà mất, nhà vật lý thiên tài Albert Einstein đã gửi một bức thư tới tờ
New York Times, trong đó có đoạn ông viết: "Fraulein Noether was the most
significant creative mathematical genius thus far produced since the higher
education of women began" . Tạm dịch: "Noether là thiên tài toán học sáng
tạo lớn nhất kể từ khi giáo dục dành cho phụ nữ được nâng cao".
Tên của bà được đặt cho một tiểu hành tinh nhỏ trong vành đai của hệ mặt
trời.

Page 16


Về module hữu hạn sinh – Đại số đại cương 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[ ] Văn Nam – Phan Văn Thiện, Giáo trình Đại số đại cương nâng cao,
2011.
[2] Nguyễn Xuân Tuyến – Lê Văn Thuyết, Đại số trừu tượng. Nhà xuất bản
Giáo dục, 2005.
[3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương. Nhà xuất bản Giáo dục, 1998.
[4] Dương Quốc Việt, Cơ sở lý thuyết module. Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm, 2008.
[5] Dương Quốc Việt, Bài tập lý thuyết module. Nhà xuất bản Đại học Sư
phạm, 2013.
[6] />
Page 17