Lớp 12 HÌNH học KHÔNG GIAN ( trường không chuyên) 1212 câu hình học không gian p3

Câu 1(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Cho hình chóp S . ABC , đáy ABC là tam giác
vuông cân tại B có AC  2a 2, SA vuông góc với đáy, góc giữa SB với đáy bằng 600 . Tính
diện tích mặt cầu tâm S và tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  .
A. 16 a 2

B. 24 a 2

D. 48 a 2

C. 16 a 3

Đáp án D



Ta có 2 AB 2  AC 2  2a 2



2

 AB  2a

Mặt cầu tâm S tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  có bán kính

SA  AB tan 600  2a 3



Diện tích mặt cầu tâm S là: S  4 2a 3



2

 48 a 2

Câu 12(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Cho hình chóp S . ABC : SA   ABC  . Gọi
H , K là trực tâm SBC , ABC .Chọn mệnh đề sai?

A. HK   SBC 

B. BC   SAB 

C. BC   SAH 

D. SH , AK , BC đồng quy

Đáp án B

Câu 14(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018)Cho tứ diện ABCD . Gọi G1 , G2 , G3 là trọng tâm
các tam giác ABC , ACD, ABD . Phát biểu nào sau đây đúng? (Dethithpt.com)
A.  G1G2 G3  cắt  BCD 
C.  G1G2 G3    BCA 
Đáp án B

B.  G1G2 G3    BCD 
D.  G1G2 G3  không có điểm chung với  ACD 


G G  BD

Ta có  1 2
  G1G2 G3    BCD 
G2 G3  BC

Câu 27(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Cho khối chóp S . ABC với tam giác ABC
vuông cân tại B . AC  2a, SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a . (Dethithpt.com)
Giả sử I là điểm thuộc cạnh SB sao cho SI 
A.

a3
6

1
SB . Thể tích khối tứ diện SAIC bằng
3

2a 3
3

B.

C.

a3
9

D.

a3
3

Đáp án C
Ta có

VS . AIC
SI 1
1
1 1
1

  VS . AIC  VS . ABC  . SA. BA.BC
VS . ABC SB 3
3
3 3
2

1
1  2a 
a3
2
 a.BA  a.

18
18
2
9
2

Câu 20(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018)Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng

3a và đường sinh bằng 5a . Thể tích khối nón là
A. 9 a 3

B. 12 a 3

C. 5 a 3

D. 15 a 3

Đáp án B
Độ dài đường cao là

 5a 

2

1
2
2
  3a   4a . Thể tích khối nón là V   .  3a  .4a  12 3
3

Câu 42(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình
trụ (có nắp) đựng được 10m3 nước. Tìm bán kính R của đáy bồn nước, biết lượng inox được
sử dụng để làm bồn nước là ít nhất (bỏ qua độ dày của bồn) (Dethithpt .com)


A. R 

3

5
m
2

B. R 

3

5



C. R 

m

3

10



m

D. R  3 5 m

Đáp án B
Yêu cầu bài toán “Tìm R để diện tích toàn phần của hình truh là nhỏ nhất”
Gọi h là chiều cao của hình trụ  Thể tích khối trụ là V   R 2 h  10  h 

Diện tích toàn phần của hình trụ là: STP  S xq  2  S d  2 Rh  2 R 2
Từ 1 ,  2  suy ra STP  2 R 2 

10
 R2

1

 2

20
10 10
 2 R 2    3 3 200
R
R R

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi 2 R 2 

10
5
R3 m
R


Câu 43(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành có thể tích là V . Gọi M

là một điểm trên cạnh AB sao cho

MA

 x, 0  x  1 . Biết rằng mặt phẳng   qua M và song song với  SBC  chia khối
AB

chóp S . ABCD thành hai phần trong đó phần chứa điểm A thể tích bằng
của biểu thức P 
A.

1
2

1 x
1 x

B.

1
5

C.

1
3

Đáp án A
Kẻ MN  BC  N  CD  , NP  SC  PD  , MQ  SB  Q  SA 

 mp  a  cắt khối chóp S . ABCD theo thiết diện là MNPQ
Ta có

MA AQ ND

SQ SP


x

 1  x (Định lý Thalet)
AB SA CD
SA SD

x
x2
Mà AMN  ADN  VQ. AMN  VP. ADN  xVS . AMN  VS . AMND  V
2
2

Và S N . APQ

x 2 1  x 
1
 d  N ;  SAD   .S APQ  x 1  x   VN .SAD 
V
3
2

Do đó VAQM .DPN  VQ. AMN  VP. AND  VN . APQ
 x3  3x 2 

4
V . Tính giá trị
27

3x 2  x3
4

V  V
2
27

8
1
1
1 x 
 0  x  . Vậy P  
 1 
27
3
2
 1  x  x
3

D.

3
5


Câu 45(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là

  1200 . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
hình bình hành, AB  3a, AD  4a, BAD

SA  2a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  SCD  (Dethithpt .com)
A. 450

B. arccos

17 2
26

C. 600

D. 300

Đáp án A



Dựng trục tọa độ với A  0;0;0  ;  0; 4a;0  ; S 0;0; 2a 3
Ta có: AH  AB sin 600 



3a 3
3a
; BH 
2
2

 3a 3 3a   3a 3 5a 
;  ;0  ; C 

; ;0 
Do đó B  
2   2
2 
 2
Khi đó nSBC  k  SB; BC    4;0;3 ; nSCD  k  SC ; DC  
Do đó cos 
SBC ; SCD  

10 3
4 3
2

2

24



1
2



3;3; 2 3



 
SBC ; SCD   450

Câu 46(Nguyễn Đăng Đạo-Bắc Ninh-2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, SA  2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SD . Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng AM và SC .
A.

a 5
5

B.

a 6
6

C.

2a 21
21

Đáp án C
Gọi I , N lần lượt là trung điểm của AB và SC
Suy ra AMNI là hình bình hành  AM  IN  AM   SCI 
Do đó d  AM , SC   d  AM ,  SCI    d  A;  SCI    h
Kẻ AH  IC  H  IC  , AK  SH  K  SH   AK   SCI 
Ta có S ACI 

1
1
a2 a 5 a 5
S ABC  . AH .IC  AH 

:

2
2
4
4
5

Tam giác SAH vuông tại A , có
Vậy khoảng cách cần tính là h 

1
1
1
2a

 2  AK 
2
2
AK
AH
SA
21

2a 21
21

D.

a

2


Câu 6(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Một hình cầu có bán kính bằng 2(m). Hỏi diện tích của
mặt cầu bằng bao nhiêu
A. 4  m 2 

B. 16  m 2 

C. 8  m 2 

D.   m 2 

Đáp án B
Diện tích mặt cầu là: S  4.22  16  m 2  .
Câu 14(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Một
2  cm 2  và bán kính đáy

A. 2  cm 

khối nón có diện tích xung quanh bằng

1
 cm  .Khi đó độ dài đường sinh là
2

B. 3  cm 

C. 1 cm 

D. 4  cm 

Đáp án D
Độ dài đường sinh là: l 

2
 4  cm  .
1
.
2

Câu 21(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết

  
MA '  kMC, NC '  l.ND . Khi MN song song với BD’ thì khẳng định nào sau đây đúng
A. k  l  

3
2

B. k  l  3

C. k  l  4

D. k  l  2

Đáp án C
Câu 34(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông
góc tại O và OA  2, OB  3, OC  6. Thể tích của khối chóp bằng
A. 12

B. 6

C. 24

D. 36

Đáp án B
1
Ta có: VOABC  OA.OB.OC  6.
6

Câu 36(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. I là trung điểm của SA, thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng  IBC  là
A. IBC

B. Hình thang IJBC (J là trung điểm của SD)

C. Hình thang IGBC (G là trung điểm của SB) D. Tứ giác IBCD
Đáp án B


Do AD / /BC (Dethithpt.com)
Do đó  IBC    SAD   IJ  IJ / /AD / /BC .
Câu 37(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành. Gọi M là trung điểm của
SA, N là điểm trên đoạn SB sao cho SN  2NB. Mặt phẳng chứa MN cắt đoạn SD tại Q và
cắt đoạn SC tại P. Tỉ số
A.

2
5

VS.MNPQ
VS.ABCD
B.

lớn nhất bằng

1
3

Đáp án B

Ta có:

VS.MNP 2VS.MNP SM SN SP 1 SP


.
.
 .
VS.ABC
VS.ABC
SA SB SC 3 SC

C.

1
4

D.

3
8


Tương tự
Do đó
Đặt

VS.MPQ
VS.ACD

2VS.MNPQ
VS.ABCD




2VS.MPQ
VS.ABCD

1 SP SQ
 . .
2 SC SD

1 SP 1 SP SQ
 . .
3 SC 2 SC SD

SP
 x  0  x  1 , ta chứng minh được
SC

SA SC SB SD
SO



2
SM SP SN SQ
SI

Do đó

SD 1 1
x  2
1
   2k  x  

SQ x 2
3 x2 3

Do 0  x  1 nên  2k max  f 1 

2
1
k .
3

3

Câu 38(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình chóp có diện tích mặt đáy là 3a 2 và chiều
cao bằng 2a. Thể tích của khối chóp bằng
A. 6a 3

B. 2a 3

C. 3a 3

D. a 3

Đáp án B
1
V  Sh  2a 3
3

Câu 39(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A 'B'C 'D ' có đáy là
hình thoi, biết AA '  4a, AC  2a, BD  a. Thể tích của khối lăng trụ là
A. 2a

3

B. 8a

3

8a 3
C.
3

D. 4a 3

Đáp án D
V  A A '.SABCD  A A '.

AC.BD
 4a 3 .
2

Câu 40(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
a. Biết SA vuông góc với đáy và SA  a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp  SBD  .
A.

2a
3

B.

a
3

C.

a
2 3

Đáp án B
Ta có:

1
2

d  A;SBD 



1
1
1
3
a


 2  d  A;SBD  
2
2
2
SA
AB AD
a
3

D.

a 2
6


Câu 42(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh

BC. Khi đó cos  AB, DM  bằng
A.

3
6

2
2

B.

C.

3
2

D.

1
2

Đáp án A

Xét tứ diện đều ABCD canh a  DM 





Ta có cos AB; DM 

AB.DM
AB . DM





a 3
a 3
; AM 
2
2

AB.DM
2 AB.DM

.
a2
a 3
3
a.
2



Mà AB.DM  AB AM  AD  AB.AM  AB.AD









 AB.AM.cos AB; AM  AB.AD.cos AB; AD  a.





Vậy cos AB.DM 

a 3 3 a2 a2
.
 
2 2
2
4

3
3
 0  cos  AB; DM  
.
6
6

Câu 45(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, mặt phẳng qua
trục cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 8a 2 . Tính diện tích xung quanh của hình

trụ.
A. 4a 2

B. 8a 2

C. 16a 2

Đáp án B
R  a
Theo bài ra, ta có 
 S  h.2R  8a 2  h  4a.
2
S  8a

Vậy diện tích xung quanh của hình trụ là Sxq  2Rh  8a 2

D. 2a 2


Câu 46(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho tam giác SOA vuông tại O có
OA  3cm, SA  5cm, quay tam giác SOA xung quanh cạnh SO được hình nón. Thể tích của

khối nón tương ứng là
A. 12  cm3 

B. 15  cm3 

C.

80

cm3 

3

D. 36  cm3 

Đáp án A
Theo bài ra , ta có khối nón tạo thành có chiều cao h  SO  4 cm và có bán kính đáy
1

r  OA  3cm Vậy thể tích khối nón cần tính là V  r 2 h  .32.4  12 cm3
3
3

Câu 47(Kinh Môn-Hải Dương 2018): Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy,

  120 . Hình chiếu vuông góc của A lên các đoạn SB và SC lần lượt là
SA  2BC và BAC
M và N. Góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  AMN  bằng
A. 45

B. 60

C. 15

D. 30

Đáp án D

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , D là điểm đối xứng với A qua O.

 OA  OB  OD suy ra tam giác ABD vuồn tại B  AB  BD .
AB  BD
Ta có 
 BD   SAB   BD  AM suy ra AM   SBD  .
SA  BD
Suy ra AM  SD. Tương tự, ta chứng minh được AN  SD

Do đó SD   AMN  . suy ra 
ABC  ;  AMN   
SA;SD   A
SD


SD 
Tam giác SAD vuông tại A, có tan A

AD
SA


Mà đường kính AD  2 x R ABC 


SD 
Vậy tan A

BC
3


x SA

sin120
2

3

A
SD  30  
ABC  ;  AMN   30
3

Câu 5(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình cầu đường kính 2a 3 . Mặt phẳng  P  cắt hình
cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2 . Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến
mặt phẳng  P 
A. a

B.

a
2

C. a 10

D.

a 10
2

Đáp án A

Bán kính hình cầu là: R  a 2 . Khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt phẳng  P  là:

h  R2  r 2 

 IH 

a 3  a 2 
2

2

a

a 21
1 a 21 a 21
 d  M ;  SCD    .

7
2 7
14

Câu 20(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình lăng trụ đều ABC. A ' B ' C ' biết góc giữa hai
mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  bằng 45 , diện tích tam giác A ' BC bằng a 2 6 . Tính diện
tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
A.

4 a 2 3
3

B. 2 a 2

C. 4 a 2

Đáp án C

Gọi I là trung điểm của BC. Đặt A ' A  x  AI  x, A ' I  x 2
Khi đó: BC  2 BI  2. AI tan 30 

2x
3

D.

8 a 2 3
3


S A ' BC 

1
1
2x
AI '.BC  a 2 6  x 2.
 a2 6  x  a 3
2
2
3

 BC 

2 x 2a 3

 2a (Dethithpt .com)
3
3

Bán kính mặt đáy hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là R 

 2a 
4a

2

3

3



2a
3

Diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là S xq  2 .

2a
.a 3  4 a 2
3

Câu 22(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông ABCD
cạnh a mặt phẳng  SAB  vuông góc với mặt phẳng đáy. Tam giác SAB đều, M là trung điểm

của SA. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SCD  .
A.

a 21
14

B.

a 21
7

C.

a 3
14

D.

a 3
7

Đáp án A

Gọi I, E lần lượt là trung điểm của AB và CD
Vì


SM 1
1
1

  d  M ;  SCD    d  A;  SCA    d  I ;  SCA  
SA 2
2
2

1
IH , trong đó H là hình chiếu của I lên SE
2

Ta có

1
1
1
 2 2 
2
IH
IS
IE

1
a
a2   
2

2



1

7
 2
2
a
3a

Câu 26(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ', có đáy ABC là
tam giác vuông tại B,

AB  BC  a, BB '  a 3. Tính góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng  BCC ' B ' .
A. 45

B. 30

C. 60

D. 90


Đáp án B

Ta có tan 
A ' BB ' 

A' B '
a
1




A ' BB '  30
BB ' a 3
3

Câu 27(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thang vuông tại
A, B. Biết SA   ABCD  , AB  BC  a, AD  2a, SA  a 2. Gọi E là trung điểm của AD.

Tính bán kính mặt cầu đi qua các điểm S , A, B, C , E.
A.

a 30
6

B.

a 6
6

C.

a 3
2

D. a

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của SC. Khi đó I là tâm mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C, E
Ta có: AC  a 2  a 2  a 2, SC 

a 2   a 2 
2

2

 2a

 bán kính mặt cầu đi qua các điểm S, A, B, C, E là: R 

SC
a
2


Câu 29(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho nửa hình tròn tâm O đường kính AB. Người ta ghép
hai bán kính OA, OB lại tạo thành mặt xung quanh một hình nón. Tính góc ở đỉnh của hình
nón đó.
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
Đáp án C
Đặt OA  R . Độ dài cung AB là: l   R . Gọi r là bán kính đáy của hình nón.
Ta có: 2 r   R  r 

R
. Gọi góc ở đỉnh của hình nón là 2
2

R
1
Ta có sin   2     30  2  60
R 2

Câu 35(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho khối chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có thể tích V.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. V  AB.BC. AA '

B. V 

1
AB.BC. AA '
3

C. V  AB. AC. AA '

D. V  AB. AC. AD

Đáp án A

V  AB.BC. AA '

Câu 37(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh
bằng a, cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng

 ABC  , SB  2a.

Tính thể tích khối chóp

S . ABC .
a3
A.
4

a3 3
B.
6

3a 3
C.
4

a3 3
D.
2

Đáp án B

1
1
a 2 3 a3 3

Ta có: VS . ABC  SB.S ABC  .2a.
3
3
4
6
Câu 38(Kiến An-Hải Phòng 2018): Tính diện tích lớn nhất S max của một hình chữ nhật nội
tiếp trong nửa đường tròn bán kính R  6cm nếu một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc theo
đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp.


A. S max  36 cm 2

B. S max  36cm 2

C. S max  96 cm 2

D. S max  18cm 2

Đáp án B

Dựng hình như hình vẽ. Đặt MN  2 x  NP  R 2  x 2
Khi đó S  2 x. R 2  x 2  R 2  x 2  x 2  R 2
Vậy S max  36cm 2
Câu 39(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình chóp S . ABC có cạnh SA vuông góc với mặt
phẳng biết AB  AC  a, BC  a 3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  SAC  .
A. 30

B. 150

C. 60

D. 120

Đáp án C


 hoặc 180  BAC
Ta có SA   BAC   
SAB  ;  SAC   BAC

Lại có cos BAC

AB 2  AC 2  BC 2
1
  120
   BAC
2 AB. AC
2

Vậy 
SAB  ;  SAC   60
Câu 43(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình chóp S . ABCD có

SA   ABCD  . Biết AC  a 2 , cạnh SC tạo với đáy một góc 60 và diện tích tứ giác

ABCD là

3a 2
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp
2

H.ABCD.

3a 3 6
A.
6

3a 3 6
B.
2

3a 3 6

C.
8

3a 3 6
D.
4


Đáp án C



  60
Xác định góc SC
;  ABCD   SC
; AC  SAC

 SA  tan 60. AC  a 6

Tam giác SAC vuông tại A, có 
a 2
 HC  cos 60. AC 

2



d  H ;  ABCD  
d  S ;  ABCD  



HC a 2
1
a 6

: 2a 2   d  H ;  ABCD   
SC
2
4
4

Vậy thể tích khối chóp H . ABCD là

1
1 a 6 3a 2 a 3 6
VH . ABCD  d  H ;  ABCD   .S ABCD  .
.

3
3 4
2
8
Câu 45(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ
nhật, AB  a, AD  a 2 . Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của

BC , SH 
A.

a 2

2

Đáp án B

a 2
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BHD .
2
B.

a 5
2

C.

a 17
4

D.

a 11
4


Tam giác HCD vuông tại C  HD  HC 2  CD 2 

a 6
2

  CD  1
Tam giác BCD vuông tại C  sin CBD

BD
3

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp HBD là

RHBD 

HD
a 6 2 3a 2

:


2
4
3
2.sin HBD

Bán kính mặt cầu cần tính là R  R2HBD 

SH 2 a 5

4
2

Câu 46(Kiến An-Hải Phòng 2018): Tính diện tích xung quanh một hình trụ có chiều cao
20m, chu vi đáy bằng 5m.
A. 50m 2

B. 50 m 2

C. 100 m 2

D. 100m 2

Đáp án D
Bán kính đáy của hình trụ là C  2 R  5  R 

5
2

Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq  2 Rh  2 .

5
.20  100m 2
2

Câu 49(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho khối nón có chiều cao bằng 24cm, độ dài đường
sinh bằng 26cm. Tính thể tích V của khối nón tương ứng.
A. V  800 cm3

B. V  1600 cm3

C. V 

1600
cm3
3

Đáp án A

Bán kính đáy của hình nón là r  l 2  h 2  262  242  10 cm
1

Thể tích khối nón cần tính là V   r 2 h  .102.24  800 cm3
3
3

D. V 

800
cm3
3


Câu 50(Kiến An-Hải Phòng 2018): Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một
vuông góc với nhau, OA 

a 2
, OB  OC  a . Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt
2

phẳng  ABC  Tính thể tích khối tứ diện OABH
A.

a3 2
6

B.

a3 2

12

C.

a3 2
24

D.

a3 2
48

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC  BM   OAM 
Vì OH   ABC  

1
1
1
1
a



 OH 
2
2
2
2

OH
OA OB OC
2

Tam giác OAH vuông tại H, có AH  OA2  OH 2 

a
2

1
a2
Diện tích tam giác vuông OAH là S OAH  .OH . AH 
2
8

Thể tích khối chóp OABH là (Dethithpt .com)

VOABH

1
1 a 2 a 2 a3 2
 .BM .S OAH  .
. 
3
3 2 8
48

Câu 2(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Cho lăng trụ tam giác ABC.A 'B'C ' có đáy là tam
giác đều cạnh a. Độ dài cạnh bên bằng 4a. Mặt phẳng  BCC ' B' vuông góc với đáy và

  30 .Thể tích khối chóp A.CC 'B' là
B'BC
A.

a3 3
2

Đáp án D

B.

a3 3
12

C.

a3 3
18

D.

a3 3
6


Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó BI   BCC ' B' .
2

a 3
a

Ta có: AI  a    
2
2
2

1
SB'C'C  .a.4a.sin 30  a 2
2
1
1 a 3 2 a3 3
VA.CC'B'  AI.SB'C'C  .
.a 
.
3
3 2
6
Câu 5(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Cho khối chóp S.ABCD có thể tích V. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của SA, MC. Thể tích của khối chóp N.ABCD là:
A.

V
6

B.

V
4

C.

V
2

Đáp án B

1
Vì NC  MN và MA  MS nên d  N;  ABCD    d  M;  ABCD  
2
1 1
1
 . d  S;  ABCD     S;  ABCD  
2 2
4

D.

V
3


1
1 1
V
Thể tích khối chóp N.ABCD là: V  d  N;  ABCD   .SABCD  . d  S;  ABCD   .SABCD 
3
4 3
4

Câu 19(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Hình bên có bao nhiêu mặt?

A. 10

B. 7

C. 9

D. 4

Đáp án C
Câu 26(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Tam giác ABC vuông cân đỉnh A có cạnh huyền là
2. Quay hình tam giác ABC quanh trục BC thì được khối tròn xoay có thể tích là:
A.

2 2

3

B.

4

3

C.

2

3

D.

1

3

Đáp án C
Khối tròn xoay tạo thành 2 khối nón, đó là: khối nón đỉnh B, đường sinh AB và khối nón
1
2
đỉnh C đường sinh CA. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là: V  2. .12.1 
.
3
3

Câu 28(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Cho hình trụ có diện tích toàn phần là 4 và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng qua trục là hình vuông. Tính thể tích khối trụ.
A.

 6
9

B.

4 6
9

C.

 6
12

D.

4
9

Đáp án B
Gọi bán kính đáy là R=>độ dài đường sinh là: 2R
Diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp  2R 2  2R.2R  6R 2  4  R 

2
6

3

 2  4 6
Thể tích khối trụ là: V  R .2R  2 
  9 .
 6
2

Câu 34(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a . Tam giác SAB có diện tích bằng 2a 2 . Thể tích khối nón có đỉnh là S và đường tròn
đáy nội tiếp ABCD là
A.

a 3 7
8

B.

a 3 7
7

C.

a 3 7
4

D.

a 3 15
24


Đáp án A
1
Ta có: SSAB  SH.AB  2a 2  SH  4a
2

 SO  SH 2  OH 2 

3a 7
2

2

1
1  a  3a 7 a 3 7
V N   R 2 h  .   .


3
3 2
2
8

Câu

40:

(Lương

Thế

Vinh-Hà

Nội

2018)

Cho

hình

SA   ABCD  , ABCD là hình chữ nhật. SA  AD  2a. Góc giữa

 ABCD 

chóp

S.ABCD có

SBC  và

mặt đáy

là 60 . (Dethithpt .com) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Thể tích khối chóp

S.AGD là
A.

32a 3 3
27

B.

8a 3 3
27

C.

4a 3 3
9

D.

16a 3
9 3

Đáp án B

Gọi M là trung điểm của BC ta có:

SG 2

SM 3

BC  AB
  
Do 
 BC   SBA   SBA
SBC; ABC   60
BC

SA

Ta có: AB tan 60  SA  AB 

SAMB 

2a
.
3

1
2a 2
1
4a 3 3
AB.AD 
 VS.AMD  SA.SAMB 
2

3
9
3

VS.AMD 

2
8 3a 3
VS.AMD 
3
27

Câu 42(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC có góc A
bằng 120 và BC  2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a.
A.

a 3
2

Đáp án D

B.

2a 3
3

C.

a 6
6

D.

a 6
2


Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
R ABC 

BC
2a
(định lí sin)

2.sin A
3

Vì SA  SB  SC suy ra hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng  ABC  là tâm I đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC  IA 

2a
3

Tam giác SAI vuông tại I, có SI  SA 2  IA 2 

2a 6
3

Áp dụng CTTN, bán kính mặt cầu cần tính là R S.ABC 

 2a 6  a 6
SA 2
 4a 2 :  2.
 
2.SI
3
2



Câu 44(Lương Thế Vinh-Hà Nội 2018): Cho hình trụ có đáy là hai đường tròn tâm O và O’,
bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 2a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường
tròn tâm O’ lấy điểm B. Đặt  là góc giữa AB và đáy. Biết rằng thể tích khối tứ diện OO’AB
đạt giá trị lớn nhất. Khẳng định nào sau đây là đúng ? Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp theo a.
A. tan   2

B. tan  

Đáp án B
Kẻ đường sinh AA’, gọi D là
điểm đối xứng A’ qua tâm O’.

1
2

C. tan  

1
2

D. tan   1


1
Kẻ BH vuông góc với A ' D  BH   AO O ' A '  VOO'AB  .BH.SOO'A
3
1
2a 2
Mà SOO'A  .O O '.OA  2a 2  VOO'AB 
x BH
2
3

Để VOO'AB lớn nhất  BH  BO '  H  O '  A ' B  2a 2
Tam giác AA’B vuông tại A’, có tan 
ABA ' 

AA'
2a
1


A ' B 2a 2
2


'    tan   1
Vậy AB;
AB; A ' B   ABA

 O '  
2

Câu 1(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Tứ diện ABCD có tam giác BCD đều cạnh a, AB vuông
góc với mặt phẳng  BCD  , AB  2a. M là trung điểm của AD, gọi  là góc giữa đường
thẳng CM với mp(BCD), khi đó:
A. tan  

3
2

B. tan  

2 3
3

C. tan  

3 2
2

D. tan  

6
3

Đáp án B

 
Gọi I là trung điểm BD. Khi đó ICM

Ta có: tan  

IM
a
2 3


CI a 3
3
2

Câu 2(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc

BAC  60o , SA vuông góc với mp(ABCD) góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng
60. Khoảng cách từ A đến mp (SBC) bằng:


A.

a 2
3

B. 2a

C.

3a
4

D. a

Đáp án C

Gọi E và H lần lượt là hình chiếu của A lên CB và SE

  sin60  a 3
Ta có: AE  ABsin ABE
2
AH  AE sin 60 

3
3 3a
a.

2
2
4

Câu 5(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Thiết diện qua trục của một hình nón (N) là một tam
giác vuông cân, có cạnh góc vuông bằng a diện tích toàn phần của hình nón (N) bằng:

 2a 2
A.
2

B.





 1 2 a2
2

C.





 1 3 a2
2

D.

a 2
2

Đáp án B
Độ dài đường sinh là l  a.
Bán kính đáy là: R 

a2  a2 a 2

2
2
2





 1 2 a2
a 2
a 2
2
.a 
Diện tích toàn phần của hình nón là: S  R  Rl   
  
2
2
 2 
Câu 9(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Trong tất cả các hình chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu
có bán kính bằng 9, tính thể tích 𝑉 của khối chóp có thể tích lớn nhất.
A. V  144

B. V  576

C. V  576 2

D. V  144 6


Đáp án B
Ta có: R 
Suy ra

SA 2
9
2SO

SO 2  OA 2
 18
SO

Mặt khác VS.ABCD

1
1
AC2 2
 SO.SABCD  SO.
 SO.OA 2
3
3
2
3

2
 SO. 18SO  SO 2  . đặt SO  t  0  t  18  , xét hàm số
3
3

2
8 t t
8  t  18  t 
f  t   t 2 18  t   . . 18  t   
  576
3
3 2 2
3

3


Cách 2: các em xét hàm số f  t  trên khoảng  0;18 
Câu 11(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Cho hình nón (N) có đường cao SO  h và bán kính
đáy bằng R, gọi M là điểm trên đoạn SO, đặt OM  x, 0  x  h.  C  là thiết diện của mặt
phẳng (P) vuông góc với trục SO tại M, với hình nón (N). Tìm x để thể tích khối nón đỉnh O
đáy là (C) lớn nhất.
A.

h
2

B.

h 2
2

C.

h 3
2

D.

h
3

Đáp án D
Gọi r là bán kính đáy của hình nón đỉnh O.

Ta có

r hx
hx

r
R
R
h
 h 

Chiều cao của khối nón đỉnh O là x
Thể tích của khối nón đỉnh O là:
2

3

3

1 hx
R 2
R 2  h  x  h  x  2x  R 2  2h  4R 2 h
V  
x

h

x
h


x
2x






  2  
3  h 
6h 2
6h 2 
3
6h  3 
81


 Vmax  h  x  2x  x 

h
3

Câu 12(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và diện tích xung
quanh bằng 15. Thể tích V của khối nón (N) là:
A. V  12
Đáp án A

B. V  20

C. V  36

D. V  60


Độ dài đường sinh là l 

15
5
3

Chiều cao của khối chóp là h  52  32  4
1
Thể tích của khối nón là V  32 4  12
3

Câu 16(Phan Đăng Lưu-Huế 2018): Cho (H) là khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả
các cạnh bằng a, thể tích của (H) bằng:
A.

a3
2

B.

a3 3
2

C.

a3 3

4

D.

a3 2
3

Đáp án C

1 2
a3 3
Thể tích của  H  là: V  Bh  a sin 60.a 
2
4
Câu

20(Phan

Đăng

Lưu-Huế

2018):

Khối

chóp

O.ABC

có

  AOC
  45, BOC
  60, OA  a 2. Khi đó thể tích khối tứ diện
OB  OC  a, AOB
O.ABC bằng:
A.

a2
12

B.

a3 2
12

C.

Đáp án B



Ta có AB2  AC2  a 2  a 2



2

 2a.a 2cos45  a 2

 AB  AC  a (Dethithpt .com)

  60  đều
Tam giác cân OBC có góc BOC

a3 3
12

D.

a3
6