Lớp 12 bài TOÁN THỰC tế ( nguyễn thanh tùng) 13 câu thực tế từ đề thi năm 2018

Câu 1(GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Thầy Tùng
có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn là
10m và độ dài trục nhỏ là 8m. Giữa vườn là một cái
giếng hình tròn có bán kính 0,5m và nhận trục lớn và
trục bé của Elip làm trục đối xứng (như hình vẽ).
Thầy muốn trồng hoa hồng đỏ trên phần đất còn lại
(xung quanh giếng) để dự kiến có thể thu hoạch vào
ngày 14/02 và ngày 08/03. Biết kinh phí trồng hoa là 120.000 đồng/1 m2. Hỏi Thầy Tùng cần
bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đền hàng nghìn).
A. 7.325.000 đồng.

B. 7.446.000 đồng.

C. 7.125.000 đồng.

D. 7.545.000 đồng.

Đáp án B.
+ Lập công thức tổng quát tính diện tích elip có phương trình

x 2 y2
 1
a 2 b2

Do elip có tính đối xứng nên ta chỉ cần tính diện tích phần S1 nằm trong góc phần tư thứ nhất.
a

x 2 y2
b 2
b 2
 2 1 y 

a  x 2  S1  
a  x 2 dx
2
a
b
a
a
0




0
2
b 2
x  0  t 
2
2
x  a cost  
a  a cos t.  a sin t  dt  ab  sin 2 tdt
2  S1  
 a
0

x  a  t  0
2

2



1 1

 t sin 2t  2
 S  4S1  4ab    cos 2t  dt  4ab  
  ab.
2 2
4 0

2
0

+ Áp dụng:
Diện

tích

S  Selip  Stron  .

trồng

hoa

là:

10 8
2
.  .  0,5   19, 75  m 2 
2 2

Số tiền cần để trồng hoa là: 19, 75.120000  7446000 đồng.


Câu 2 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Hộp kẹo Coffe
Cappuchino có hình dạng là một vật thể tròn xoay như hình
vẽ bên. Biết bán kính cổ hộp và đáy hộp bằng nhau và bằng
4cm, bán kính thân hộp bằng 5,5cm và AB  1.8cm ,

BC  2.2cm , CD  13cm , DE  1, 2cm . Hỏi hộp chứa được
tối đa bao nhiêu cái kẹo với thể tích của mỗi cái kẹo là
1, 6  cm3  . (Giả thiết rằng độ dày vỏ hộp không đáng kể).

A. 310.

B. 311.

C. 312.

D. 313.

Đáp án C.
+ Công thức tính thể tích hình nón cụt:

1
V    r12  r22  r1r2  h
3

Vhộp = Vtrụ 1 + Vnón cụt 1 + Vtrụ 2 + Vnón cụt 2
1
1

2497
 .42.1,8    42  5,52  4.5,5  .2, 2  .5,52.13    42  5,52  4.5,5  .1, 2 
  cm3 
3
3
5

2497

5
 312 (chiếc)
Số chiếc kẹo chứa được tối đa trong hộp là:
1, 6
Câu 3 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Quan sát một đám bèo trên mặt hồ thì thấy cứ sau
một ngày, diện tích của đám bèo lớn gấp 10 lần diện tích đám bèo trước đó và sau 10 ngày
đám bèo ấy phủ kín mặt hồ. Sau khoảng thời gian x (ngày) thì đám bèo ấy phủ kín một phần
ba mặt hồ. Khi đó x bằng bao nhiêu?
10
A. x  .
3

10
.
B. x 
log 3

1010
.
C. x 
3

D. x  10  log 3.

Đáp án D
Giả sử diện tích bèo ban đầu là u1 . Diện tích bèo tháng thứ n là un  u1.10n 1
Sau 10 ngày bèo phủ khắp mặt hồ. Diện tích bèo khi đó là u10  u1.109 .


Giải sử sau x ngày thì bèo phủ kín

1
mặt hồ. Ta có
3

1
1
1
1
u1.10 x 1  u1.109  10 x 10   x  10  log  x  10  log  10  log 3
3
3
3
3
Câu 4 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Người ta cần xây một hồ nước với dạng khối hình
hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng

500 3
m . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp
3

đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Người ta đã thiết kế hồ với
kích thước hợp lí để chi phí bỏ ra thuê nhân công là ít nhất. Chi phí đó là?
A. 74 triệu đồng.

B. 75 triệu đồng.

C. 76 triệu đồng.

D. 77 triệu đồng.

Đáp án B
Giả sử đáy hồ có chiều rộng là x  m  thì chiều dài đáy hồ là 2x  m  . Khi đó chiều cao của
hồ là

V
250
 2  m .
2
2x
3x

Tổng diện tích cần xây dựng là diện tích xung quanh hồ và diện tích đáy hồ. Diện tích đó là

S  x   2 x 2  2 x.

250
250
500 2
 2.2 x. 2  2 x 2 
m  .

2
3x
3x
x

Để tiền thuê nhân công là ít nhất thì diện tích cần xây dựng phải nhỏ nhất.
Ta có S  x   2 x 2 

250 250
250 250

 3 3 2x2.
.
 150
x
x
x
x

Do đó chi phí nhỏ nhất là 150.500000  75000000 .
Câu 5 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kết
luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít tốn kém nhất (tức là diện tích
toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất). Muốn thể tích của vỏ lon đó bằng 2 và diện tích toàn
phần của vỏ lon nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất?
A. 0,5 .

B. 0,6 .

C. 0,7 .

D. 0,8 .

Đáp án B
Gọi bán kính đáy là r  h 

V
2
.

 r2  r2




Diện tích toàn phần của vỏ lon là Stp  2 r  r  h   2 r  r 

2 
4
 2 r 2  .
2 
r 
r


Ta có 2 r 2 

4
2 2
2 2
 2 r 2    3 3 2 r 2 . .  6 3  .

r
r r
r r

Dấu "  " xảy ra  2 r 2 

2
1
1
 r 3   r  3  0.68 .
r



Câu 6. (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Một cái trống trường có bán kính hai đáy đều bằng
25cm , thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có chu vi là 70 (cm) . Chiều cao của

trống bằng 80 cm . Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt

xung

quanh của trống là các parabol (như hình vẽ). Hỏi thể tích

của

trống?
A. 254259, 6 cm3 .
B. 127129,8cm3 .
C. 80933,3cm3 .
D. 253333,3cm3 .

Đáp án A
Ta có C  2 r  70  r  35 .
Đặt hệ trục tọa độ có gốc O là tâm của trống, trục Ox là trục dọc cái trống và trục Oy là trục
ngang cái trống

I
A

B

-40

Ta có A  40;25  , B  40;25  và I  0;35  .

O

40

X


Do đó phương trình của Parabol là y  

1 2
x  35 .
160
2

40

 1 2

x  35  dx  254259,6 cm3 .
Vậy thể tích của cái trống là V     
160

40 
Câu 7 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Trên một hình tròn là đáy chung, ta dựng hai hình
nón (hình nón này chứa hình nón kia – như hình vẽ), sao cho hai đỉnh cách nhau bằng a . Góc
ở đỉnh hình nón lớn là 2 và của hình nón nhỏ là 2  . Khi đó thể tích phần ở ngoài hình nón
nhỏ và ở trong hình nón to là bao nhiêu?
A.

 a3
.
2
 cot   cot  

 a3
.
2
 tan   tan  

B.

 a3
. C.
2
3  tan   tan  

D.

 a3
.
2
3  cot   cot  

Đáp án D
Gọi bán kính đáy là r . Chiều cao của hình nón nhỏ là h1 
Chiều cao của hình nón lớn là h2 
Theo giả thiết a  h2  h1 

r
.
tan 

r
.
tan 

r
r
a.tan  tan 

r
tan  tan 
tan   tan 

1
3

1
3

Thể tích cần tính là V   r 2  h2  h1   

a 3 tan 2  tan 2 

 tan   tan  

2



 a3
2
3  cot   cot  

Câu 8 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Một vật chuyển động trong 5 giờ với vận tốc v
(km/h) phụ thuộc vào thời gian t(h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của parabol có đỉnh I(2;8) và
trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là những đoạn thẳng
(như hình vẽ). Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 5 giờ đó.
A. 25km
Đáp án C

B. 41km

C. 33km

D. 26km


Kiến thức: 1 vật chuyển động với vận tốc phụ thuộc vào thời gian v(t)=f(t) thì quãng đường
t2

mà vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 là S   f (t) dt
t1

Ý tưởng: Viết 3 phương trình của 3 đường cong là xong
Ta có:
3

3

0

0

Đoạn 1: Đi từ 0h đến 3h => S1   v1 (t) dt   (2t 2  8t )dt
4

4

3

3

Đoạn 2: Đi từ 3h đến 4h => S 2   v2 (t) dt   2tdt
Đoạn 3: Đi từ 4h đến 5h => S3  8 (chuyển động thẳng đều)

=> S  S1  S 2  S3  33
Câu 9 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Hãng pha lê nổi
tiếng Swarovski của Áo dự định thiết kế một viên pha lê hình
cầu và đặt vào bên trong nó 7 viên ruby hình cầu nhỏ hơn,
trong đó viên ruby ở chính giữa có tâm trùng với tâm của
viên pha lê và tiếp xúc với 6 viên ruby còn lại, 6 viên ruby
còn lại có kích thước bằng nhau và nằm ở các vị trí đối xứng
nhau (qua tâm của viên pha lê) và tiếp xúc với viên pha lê
(như hình vẽ). Biết viên pha lê có đường kính 10 cm và hãng
này muốn thiết kế sao cho tổng thể tích các viên ruby bên trong là nhỏ nhất để tiết kiệm được
lượng ruby. Khi đó bán kính của viên ruby ở giữa mà hãng pha lê cần thiết kế gần giá trị
nào nhất sau đây?
A. 2,2 cm.

B. 2,3 cm.

Đáp án B
Gọi bán kính viên ruby ở giữa là R
Bán kinh viên ruby ở bên cạnh là r
=>2R+4r=10
 R 

10  4r
 5  2r
2

C. 2,4 cm.

D. 2,5 cm.

4
4
4
4
 V7 ruby   (5  2r )3  6.  r 3   (2 r 3  60r 2  150r  125)   f (r )
3
3
3
3
5
f (r )  2 r 3  60r 2  150r  125(0  r  )
2
2
f '(r )  6r  120r  150  0
 r1  10  5 3( L)
 
 r2  10  5 3(TM )
 R  5  2(10  5 3)  2,32

Câu 10 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018). Người ta thiết kế mô
hình viên đạn bằng cách cho hình phẳng  H  có kích thước như
hình vẽ quay xung quanh trục AB, sau đó tiến hành mạ vàng xung
quanh và đáy để được mô hình viên đạn. Biết giá của 1cm2 mạ
vàng là 50.000 VNĐ. Khi đó số tiền cần mạ vàng mô hình viên đạn
gần số nào nhất sau đây?
A. 800.000 VNĐ.

B. 900.000 VNĐ.

C. 1000.000 VNĐ.

D. 1100.000 VNĐ.

Đáp án C
Khi quay cạnh AC quanh trục AB ta được hình nón có bán kính đáy r  0.8 cm và chiều
cao h  4.5  2.5  2(cm)  l  r 2  h 2  4.64  cm   Diện tích xung quanh hình nón





đó là S1   rl   .0,8. 4,64  5, 41 cm 2 .
Khi quay CD quanh trục AB ta được hình trụ có bán kính đáy r  0.8 cm và chiều cao

h  l  2.5  cm   Diện

tích

xung

quanh

hình

trụ

đó

là

S 2  2 rl  2 .0,8.2,5  12,56  cm 2  .





Do đó diện tích xung quanh viên đạn là S  S1  S 2  5, 41  12,56  17,97 cm 2 .



Diện tích cần mạ vàng là 17,97  2 r  23 cm 2



Vậy số tiền cần dùng để mạ vàng viên đạn là 23.50000  898500  1150000 VNĐ.
Câu 11 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và
lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi sau bao nhiêu năm người đó thu được gấp đôi số tiền
ban đầu?


A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

D. 2

Đáp án B
Gọi số tiền ban đầu là T. Sau n năm, số tiền thu được là: Tn  T 1  0, 084   T . 1, 084  .
n

n

Khi đó, Tn  2T  T . 1, 084   2T  1, 084   2  n  log1,084 2  8,59 .
n

n

Vì n   nên ta chọn n =9.
Câu 12 . (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018) Trên cánh đồng cỏ có 2 con bò được cột vào hai
cây cộc khác nhau. Biết khoảng cách giữa 2 cọc là 5 m , còn hai sợi dây buộc hai con bò lần
lượt có chiều dài là 4 m và 3 m ( không tính phần chiều dài dây buộc bò ). Tính diện tích mặt
cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 6, 642m 2

B. 6, 246m 2

C. 4, 624m 2

D. 4, 262m 2

Đáp án A
Ta giải bằng phương pháp gắn hệ tọa độ Oxy, với gốc tọa độ O chính là chỗ cây cộc buộc con
bò có sợi dây dài 3m, trục Ox là đường nối 2 cây cộc buộc dây của 2 con bò, ta được như
hình vẽ.
Khi đó con bò có sợi dây 3m có thể ăn cỏ trong hình tròn giới hạn bởi đường tròn có bán kính
3m và có phương trình đường tròn tâm O là x 2  y 2  9 , suy ra y  9  x 2 là đường phía

trên trục hoành. Ta cũng có phần cỏ của con bò có sợi dây 4m bị hạn chế trong đường tròn có
phương trình tâm A, bán kính 4 là ( x  5) 2  y 2  16 , suy ra y  16  ( x  5) 2 là đường nằm
phía trên trục hoành.
Giao điểm của 2
đường tròn này là
nghiệm của hệ 2 pt
đường tròn đó


 x2  y 2  9
 x2  y 2  9
 x  1,8
, suy ra hoành độ điểm B là x  1,8 .




2
2
 y   2, 4
( x  5)  y  16
10 x  18

Ta chỉ cần tính phần diện tích phía trên trục hoành, phần dưới trục hoành có độ lớn cũng bằng
như vậy. Từ B ta vẽ đường nét đứt vuông góc với Ox để chia đôi phần cần tính diện tích phía

S  2( S1  S 2 ) , trong đó

trên trục hoành, ta có
S1  

3

1,8

S1  

1,8

1

16  ( x  5) 2 dx

và

9  x 2 dx .

Bấm máy tính ta được S  2( S1  S 2 )  6, 642m 2 .
Câu 13 (GV Nguyễn Thanh Tùng 2018)Một tấm
bìa hình chữ nhật có chiều dài 40cm và chiều rộng
10cm được cắt thành hai phần. Một phần được uốn
thành hình hộp chữ nhật có hai đáy là hình vuông
cạnh a, phần còn lại được uốn thành hình trụ có hai
đáy là hình tròn bán kính r (không tính hai đáy của
hình hộp chữ nhật và hình trụ) như hình vẽ sao cho
tổng thể tích của hình hộp chữ nhật và hình trụ là
nhỏ nhất. Khi đó tổng  a  r  gần giá trị nào nhất
trong các giá trị sau?
A. 8,3cm.

B. 8, 4 cm.

C. 8,5cm.

D. 8, 6 cm.

Đáp án B.
 4a  2r  40  r 

20  2a
 0  a  10

2

 4  2 80
400 
 20  2a 
V  Vhop  Vtru  10a  10r  10a  10 
 10f  a 
  10   1 a  a 

 
  
  
2

2

2

80
40
40
60
8

BBT
f 'a     2  a   0  a 

 f  a min  a 
ar 
 8, 4.

4
4
4

