Lớp 12 số mũ và logarit (gv văn phú quốc) 60 câu mũ logarit từ đề thi năm 2018

Câu 1: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b  0 và a  1 . Trong các mệnh đề sau mệnh đề
nào đúng?
A. log a3  a.b   3  3log a b

1 1
B. log a3  a.b    log a b
3 3

1
C. log a3  a.b   log a b
3

D. log a3  a.b   3log a b

Đáp án B
Ta có log a3  a.b  

1
1
1 1
log a  a.b     log a a  log a b    log a b

3
3
3 3

Câu 2: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hai số thực a và b sao cho với a 5  a 4 và
3
4
log b    log b   . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng?
4

5

A. a  1; b  1.

B. a  1;0  b  1 .

C. 0  a  1; b  1.

D. 0  a  1;0  b  1.

Đáp án C
3 4
 4  5
5  4
 0  a  1 và 
Ta có  5
 b  1.
4
3
4




a  a
log b    log b  
4
5


Vậy 0  a  1; b  1.
Câu 3: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cường độ một trận động đất được cho bởi công thức

M  log A  log A0 , với A là biên độ rung chấn tối đa và A0 là một biên độ chuẩn (hằng số).
Đầu thế kỷ XX, một trận động đất ở San Francisco có cường độ đo được 8 độ Richter. Trong
cùng năm đó, trận động đất khác ở Nhật Bản có cường độ đo được 6 độ Richter. Hỏi trận
động đất ở San Francisco có biên độ gấp bao nhiêu lần biên độ trận động đất ở Nhật Bản?
A. 1000 lần.

B. 10 lần.

C. 2 lần.

D. 100 lần.

Đáp án D
Ta có M  log
Tương tự

A1
A
 1  108 .
A0
A0

A 108
A2
 106. Khi đó 1  6  100.
A2 10
A0

Câu 4: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các khoảng chứa giá trị của a để phương trình

2  3

x





x

 1  a  2  3  4  0

có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  log 2 3 3 .


A.  ; 3 .

B.  3;   .

C.  3;   .

D.  0;   .

Đáp án B



Ta có 2  3

Đặt t 

 2  3
x

1

2  3

x

x



1 2  3



x



1

2  3

x

 t  0  , phương trình đã cho trở thành
t

1 a
 4  0  t 2  4t  1  a  0
t

 *

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  phương trình (*) có 2nghiệm dương phân biệt

t  t  4  0
1 2
 a  1.
t1t2  1  a  0



Ta có x1  x2  log 2 3 3  2 

2  3
3
3
2  3

x1

x1  x2

x2

3

t1
 3.
t2

Vì t1  t2  4 nên điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình * có 2 nghiệm t  3; t  1.
Khi đó 1  a  3.1  3  a  2.
Câu 5: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 9 x  9 x  23 . Tính giá
trị của biểu thức P 

5  3x  3 x
.
1  3x  3 x

5
A.  .
2

B.

1
2

C.

3
2

D. 2

Đáp án A
Ta có  3x  3 x   9 x  9 x  2  23  2  25.
2

Suy ra 3x  3 x  5
Do đó P 

5  3x  3 x 5  5
5

 .
x
x
1 3  3
1 5
2

Câu 6: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình



10  3



3 x
x 1





10  3

A. 0



x 1
x 3

.

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án D
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x  1; x  3
Ta có



10  3



3 x
x 1





10  3



x 1
x 3





10  3



x 3
x 1





10  3



x 1
x 3




x  3 x 1
8


0
x 1 x  3
 x  1 x  3

  x  1 x  3  0  3  x  1.

Do x   nên x  2; 1;0 .
Vậy bất phương trình đã cho có 3 nghiệm nguyên.
Câu 7: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a  0 . Tính giá trị của biểu thức: (Gv Văn


Phú Quốc 2018) P 
a 
1

3

a 2  3 a 1

5

a 2  5 a 8

a3
8
5

A. P  a  1.

.


B. P  a  1.

y '  2018  2 x  1  x 2  x  1

2018 1

C. P 

1
.
a 1

D. P 

1
.
a 1

.

Đáp án D


Ta có P 
a 
a

1
3

3

a 2  3 a 1

8
5

5

a 2  5 a 8

  a 1  1 .
 a 1 a 1

2

Câu 8: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho phương trình x12  1  4 x 4 x n  1 1 . Tìm số n nguyên
dương bé nhất để phương trình có nghiệm
A. n  3

B. n  4

C. n  5

D. n  6

Đáp án C
Cái hay của bài toán này là đi tìm giá trị bé nhất của n bởi vì nó yêu cầu người làm toán phải
biết “khôn khéo” trong quá trình biện luận để loại bỏ những giá trị không cần thiết và sử dụng
linh hoạt phương pháp đánh giá bằng bất đẳng thức.
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x n  1  0
* x  1 không phải là nghiệm của phương trình (1)
* Với n chẵn thì nếu x0 là một nghiệm của (1) thì  x0 cũng là một nghiệm của (1)
* Với n lẻ thì x  1 . Khi đó phương trình (1) xác định và ta chỉ cần xét x  1
Từ x  1 ta có x 4  1  2 x 2 và x8  x 4  1  x 4  x 4  1  1  2 x 2 x 4  1
Nhân vế theo vế của hai bất đẳng thức này ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

x

4

 1 x8  x 4  1  4 x 4 x 4  1  x12  1  4 x 4 x 4  1  2 

Từ (2) ta thấy với n  4 , phương trình (1) vô nghiệm và do x  1 nên với n  4 thì phương
trình (1) cũng vô nghiệm
* Với n  5
Xét hàm số f  x   x12  1  4 x 4 x5  1 liên tục và xác định trên 1;  
12

6 6
6
Ta có f 1  2  0; f       1  4  
5 5
5

4

5

6
  1  0
5

 6
Như vậy, phương trình f  x   0 có nghiệm x0   0; 
 5

* Với n  5 lại xét hàm số g  x   x12  1  4 x 4 x n  1 liên tục trên 1;  
Lập luận hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được phương trình g  x   0 có nghiệm
 6
x0  1; 
 5

Do đó phương trình có nghiệm với mọi n  5 và số tự nhiên bé nhất cần tìm là n  5
Câu 9: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm m để hàm số y 

 m  1 x  m
 0  a  1
log a  mx  m  2 

xác

định với mọi x  1
A. m  0

B. m  0

C. m  0

D. m  0

Đáp án B
 m  1 x  m  0
 m  1 x  m  0


Hàm số xác định mx  m  2  0
 mx  m  2  0
log mx  m  2  0


 a
mx  m  2  1

1
 2
 3

Hàm số xác định với mọi x  1 khi và chỉ khi 1 ,  2  ,  3 đồng thời thỏa mãn với mọi x  1

m  1  0
 m  1
Ta có g  x    m  1 x  m  0, x  1  
 g 1  0
m  0
h  x   mx  m  2  0, x  1  
m0
h 1  0
Do đó 1 ,  2  đồng thời thỏa mãn với mọi x  1 khi m  0
Khi đó q  x   mx  m  2  m  x  1  2  2 . Suy ra (3) đúng. Tóm lại m  0
Câu 10: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho 0  a, b, c  1 thỏa log a b  3, log a c  2 . Hãy tính
log a

a4 3 b
c3


A. 11

B. 10

C. 9

D. 8

Đáp án A
Ta có log a

1
a4 3 b
1
4
3

log
a

log
b
 log a c 3  4  .3  3.  2   11
a
a
3
c
3

Câu 11: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x  0 . Rút gọn biểu thức P 

1  2x
A.
1  2x

2

1 x
2  2 x 

4
2
1
1  1   2 x  2 x 
4

1  1 

1  2 x
C.
1  2 x

1  2x
B.
1  2x

1  2 x
D.
1  2 x

Đáp án B
VT 

2 4   2 x  2 x 
2 4  2  2
x



2 x  2 x  2
2 x  2 x  2



2





x 2

x
  2x

2
2

2




x
  2x

2

2

2





2 22 x  22 x  2
2 22 x  22 x  2



2
2




x
2
x
2

x

 22
x

 22





2 
2

2  2 
2  2 
x

x

x 2

x 2

1  2x
1  2x

Câu 12: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b  0 thỏa mãn a 2  4b 2  12ab . Xét hai mệnh đề
sau: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

1
2

 I  .log3  a  2b   2 log3 2   log3 a  log3 b 
1
2

 II  .log3  a  2b    log3 a  log3 b 
Mệnh đề nào là đúng trong các mệnh đề sau?
A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

Đáp án C
Ta có a 2  4b 2  12ab   a  2b   16ab
2

Suy ra 2 log 3  a  2b   log 3 24  log 3 a  log 3 b

 log 3  a  2b   2 log 3 2 

1
 log3 a  log3 b 
2

Do đó cả hai mệnh đề đều sai

C. Cả hai sai

D. Cả hai đúng


Câu 13: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Rút gọn biểu thức P 

1  log 3a b
a

 log a b  logb a  1 log a
b

với

0  a, b  1
B. log a b

A. 1

D.  log b a

C. log b a

Đáp án B
Ta có P 

1  log 3a b


1
a
 1 log a
 log a b 
log a b 
b


1  log a b  1  log 2a b  log a b  log a b


 log a b
 log 2a b  1  log a b  1  log a b 

Câu 14: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm các giá trị của m để phương trình



4 log 2 x
A. m 



2

 log 1 x  m  0 có nghiệm thuộc khoảng  0;1
2

1
4

B. m 

1
4

C. 0  m 

1
4

D. 0  m 

1
4

Đáp án A
Phương trình đã cho tương ứng với log 22 x  log 2 x  m  0 (*)
Đặt t  log 2 x  x  2t .Do 0  x  1  0  2t  1  t  0
Phương trình (*) thành t 2  t  m  0  t 2  t  m (**)
Phương trình đã cho có nghiệm x   0;1  phương trình (**) có nghiệm t   ;0 
Xét hàm số f  t   t 2  t , t   ;0 
Ta có f '  t   2t  1; f '  t   0  t  

1
2

Lập bảng biến thiên và đi đến kết luận m 

1
4

Câu 15: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tổng của nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất trong
bất phương trình log 3
A. 6

x2  4x
1
2x  3
B. 4

C. 6

Đáp án C
 x2  4x
 x2  4x

0
 2 x  3
 2 x  3  0
x2  4x
log 3
1  2
 2
2x  3
 x  4x  3
 x  2x  9  0
 2 x  3
 2 x  3

D. 4


2 x  3  0
2
 2
(do x 2  2 x  9   x  1  8  0, x )
x  4x  0

 4  x  0
Do x   nên x  3; 2; 1

Vậy tổng của nghiệm nguyên lớn nhất và bé nhất bằng 4
Câu 16: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong loại cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận
được một lượng nhỏ cacbon 14 (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây
nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cácbon 14
nữa. Lương cacbon 14 của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành
nitơ 14. Biết rằng nếu gọi P  t  là số phần trăm cacbon 14 còn lại trong một bộ phận của một
cái cây sinh trưởng thì từ t năm trước đây thì P  t  được tính theo công thức
t

P  t   100.  0,5  5750  % 

Phân tích một mẫu gỗ từ một công trình công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon
14 còn lại trong mẫu gỗ đó là 65%. Hãy xác định niên đại công trình kiến trúc đó (lấy gần
đúng).
A. 3576 năm

B. 3575 năm

C. 3574 năm

D. 3573 năm

Đáp án C
Thay giá trị P  t   65 vào công thức ta được
t

100.  0,5  5750  65
t

2 5750 

100
t
100 log100  log 65 2  log 65

 log 2


65
5750
65
log 2
log 2

Suy ra t  3570 (năm)
Câu 17: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập nghiệm của bất phương trình x 2 .3x  3x  2  0
A. S   3;3

B. S   ; 3  3;  

C. S   ;3

D. S  3;  

Đáp án A
Bất phương trình tương đương với

3x  x 2  9   0  x 2  9  0  3  x  3
Vậy S   3;3

Câu 18: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giả sử M, m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số y 

ln 2 x
trên đoạn 1; e3  . Tính giá trị của Q  e 2  M  m 
x

A. Q  1

B. Q  2

C. Q  e

D. Q  2e

Đáp án B

 2  ln x  ln x



Ta có y ' 



x  1
y'  0  
2
x  e



y 1  0; y  e3  



4

Vậy Q  e 2  M  m   e 2  2  0   2
e


x2

9
4
4
; y  e 2   2 . Suy ra M  2 và m  0
3
e
e
e

Câu 19: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho 0  a  1 và b  0 . Xét hai mệnh đề sau: (Gv Văn
Phú Quốc 2018)

 I  ." n  ; k  a.a 2 .a3 ...a n  log a k 
 II  .

n2  n
”.
2

log a  log b
ab
 log
2
2

Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Cả hai sai

D. Cả hai đúng

Đáp án A
* Xét mệnh đề (I): (Gv Văn Phú Quốc 2018)

log a k  1  2 log a a  ...  n log a a  1  2  ...  n
n  n  1 n 2  n
(mệnh đề đúng)


2
2

* Xét mệnh đề (II): (Gv Văn Phú Quốc 2018)

log a  log b
ab
ab
 log
 log ab  log
2
2
2
 ab 

ab
(mệnh đề sai)
2

Câu 20: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho các số thực a, b, c thỏa mãnh
a log3 7  27, b log7 11  49, clog11 25  11 . Tính giá trị của bi0u thức T  a 

A. T  496

B. T  649

C. T  469

log3 7 

2

 b

log 7 11

2

 c  log11 25

D. T  694

2


Đáp án C
Ta có T   a log3 7 

log3 7

 27 log3 7  49log7 11 



 b log7 11

 
11



log11 25

log 7 11

  c log11 25 

log11 25

1

 73  112  25 2  469

Câu 21: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị của biểu thức : (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
1 1
1
1

 16
  12

   13
6
6 6
2
K   a  b   a  b   a  a b  b 3  với a, b  0





A. K  a  b

B. K  a  b

C. K 

1  ab
a

D. K 

1  ab
a

Đáp án D


1

1

Đặt x  a 6 , y  b 6 . Khi đó

K   x  y   x 2  xy  y 2  x3  y 3    x3  y 3  x3  y 3 

 x 6  y 6  a 1  b 

1  ab
a

Câu 22: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho dãy số  xn  xác định bởi công thức xn 

1
với
log n 2010

n  2,3, 4... Đặt a  x11  x 12  x13  x14  x24 ; b  x63  x 64  x65  x66  x67 . Tính b  a
A. 0

B. 1

C. 2010

D. 2010

Đáp án B
Ta có xn  log 2010 n với n  2,3, 4,...
Khi đó

a  x11  x12  x13  x 24
 log 2010 11  log 2010 12  log 2010 13  log 2010 14  log 2010 24
 log 2010 11.12.13.14.24 
b  x63  x64  x65  x 66  x 67  log 2010  63.64.65.66.67 

Suy ra b  a  log 2010  2.3.5.6.7   log 2010 2010  1
Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b  0 thỏa 9a 2  b  10ab . Hãy chọn đẳng thức
đúng
 a  b  log a  log b
A. log 

2

 4 
 ab
C. log 
  log a  log b
 2 

 3a  b  log a  log b
B. log 

2
 4 
 3a  b 
D. log 
  log a  log b
 4 


Đáp án B
2

 3a  b 
Ta có 9a  b  10ab  
  ab
 4 
2

2

2

 3a  b 
 3a  b  log a  log b
Suy ra log 
  log  ab   log 

2
 4 
 4 
Câu 24: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị gần đúng với 3 chữ số thập phân của
ln  0, 004 

A. 1,002

B. 0,002

C. 1,003

D. 0,004

Đáp án D
Áp dụng công thức f  x 0  x   f  x0   f '  x0  .x
Với f  x   ln x; x0  1; x  0, 004 ta có

1
ln 1, 004   ln 1  0, 004   ln1  .0, 004  0, 004
1
Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018)Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình

log 32 log 32 x  1  2m  1  0 có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3 



A. 1

B. 2

C. 3

Câu 26: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Rút gọn biểu thức
A.

3

a

B.

4

a

C.

6

D. 4

a.6 a
 a  0
3
a4 a

a

D.

12

a

Đáp án D
Ta có

3

a . 6 a 12 a 6 .12 a 2 12 a8 12


 a
a . 4 a 12 a 4 .12 a 3 12 a 7

Câu 27: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a  log 3 2, b  log 5 2 . Khi đó log16 60 bằng: (Gv Văn
Phú Quốc 2018)
A.

ab
a b

B. 1  a  b

C. 1 

ab
ab

D.

1 ab
1 

2
ab 

Đáp án D
2
log 2 60 log 2  2 .3.5  1  1 1  1  a  b 

 1     1 
Ta có log 6 60 

log 2 16
log 2 24
2 a b 2
ab 

Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b, c  1 . Xét hai mệnh đề sau: (Gv Văn Phú Quốc
2018)


 I  .log a b  logb c  log c a  3
 II  .log a b 2  logb c 2  log c a 2  24

A. Chỉ (I)

B. Chỉ (II)

C. Cả hai sai

D. Cả hai đúng

Đáp án A
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương

 I  .log a b  logb c  log c a  3 3 log a b.logb c.log c a  3

(mệnh đề đúng)

 II  .log a b2  logb c 2  log c a 2  3 3 log a b2 .logb c 2 .log c a 2  3 3 8  6 (mệnh đề sai)

 x4 1  
 tại
Câu 29: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Giá trị của biểu thức P  4 1  1  
2 

 2 x  

x



1
2

2

A.

2

 2

2

2

 22

2

2

 2

2



2

B. P 

2

2

2

 22

2

2

2

 2

2

C. P 

2

2

 22

2 2 2

2

2

D. P 

2

2

 22

2

2

2

2
2

Đáp án A
2
 x4 1 
 x4 1 
x8  2 x 4  1
x 4  1  x  1


1

1



1


Ta có 1  

2 
2 
4x4
2x2
2x2
 2x 
 2x 
2

2



x2  1
1
Do x  0 nên P 
2 . Thay x 
2
x
2






1 2 2
2  22 2  2  1
22
P 2
. 2
1
2
2 2  2 2
2



2

 22

2

 2

2

 2

2

2

 vào P ta được

2
2

Câu 30: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Năm 1992, người ta đã biết số p  2756839  1 là một số
nguyên tố (số nguyên tố lớn nhất được biết cho đến lúc đó) Hỏi rằng, viết trong hệ thập phân
số nguyên tố đó có bao nhiêu chữ số? (Biết rằng log 2  0,30102 )
A. 227821

B. 227822

C. 227823

D. 227824

Đáp án D
Ta có p  1  2756839  log  p  1  756839.log 2  227823, 68

 p  1  10227823,68  10227823  p  1  20227824
Câu

31:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

x  y  z  x y  z  x  y z  x  y  z 


log x
log y
log z

2018)

Cho

x, y , z  0

thỏa

mãn

điều

kiện


Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. x z y z  y x z x  z y x y
B.  x  y    y  z    z  x 
z

x

y

C. x y y x  z y y z  z x x z
D.  x  y  z    y  z  x    z  x  y 
z

x

y

Đáp án C
Đặt

x  y  z  x y  z  x  y z  x  y  z  1



log x
log x
log x
t

Suy ra log x  tx  y  z  z   y log x  txy  y  z  x 
log y  ty  z  x  y   x log y  txy  z  x  y 

Từ đó ta có

x log y  y log x  2txyz

1

y log z  z log y  2txyz

 2

z log x  x log z  2txyz

 3

Từ (1), (2) và (3) suy ra

x log y  y log x  y log z  z log y  z log x  x log z
 log  x y y x   log  z y y z   log  z x x z   x y y x  z y y z  z x x z
Câu 32: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho 0  a, b, c  1 thỏa log a b  3 và log a c  2 . Tính
log a a 3b 2 c

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Đáp án D

1
1
Ta có log a a 3b 2 c  3  2 log a b  log a c  2  2.3  .  2   8
2

2


Câu 33: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính giá trị của biểu thức P   log 5  log 5 5 5 ... 5 5 




2018


A. P  52018

B. P  52018

Đáp án C
Ta có

... 5  5



5 5

5

1
2018

2018

Khi đó log 5

1
... 5 5  2018  52018


 5
5 5

2018

C. P  2018

D. P  2018




Vậy P   log 5  log 5 5 5 ... 5 5   2018




2018


Câu 34: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho log 4 75  a;log8 45  b . Tính log 3 25 135 theo a, b
Đáp án B
Sử dụng công thức đổi cơ số

log 3 25 135  3log 25 135 

3
1  3log5 3 
2

log 2 3 
3
1  3
 1
2
log 2 5 

1
1
Ta có a  log 4 75  log 2 75   2 log 2 5  log 2 3
2
2
Suy ra 2 log 2 5  log 2 3  2a (2)

1
1
Lại có b  log8 45  log 2 45   log 2 5  2 log 2 3
3
3
Suy ra log 2 5  2 log 2 3  3b (3)
Giải hệ gồm (2) và (3) ta được log 2 5 
Thay vào (1) ta thu được P 

4a  3b
6b  2a
;log 2 3 
3
3

3 15b  2a 
2  4a  3b 

Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính tổng các nghiệm của phương trình
2
3
1
log 4  x 2  x  1  log 1  x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log
3
2

A. 0

2

x4  x2  1

C. 1

B. 1

D. 3

Đáp án A

Ta có

log 2  x 2  x  1  log 2  x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1
 log 2  x 2  x  1 x 2  x  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1
 log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1  log 2  x 4  x 2  1
 log 2  x 4  x 2  1  0  x 4  x 2  1  1  x 4  x 2  0  x  0; x  1
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 0
Câu 36: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình
log 2

A. 0
Đáp án D

B. 9







3 x  1  6  1  log 2 7  10  x

C. 8


D. 7


Điều kiện 

1
 x  10
3

Bất phương trình đã cho tương đương với: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
log 2

3x  1  6
3x  1  6
 log 2 7  10  x 
 7  10  x
2
2





 3 x  1  2 10  x  8  3 x  1  4
4

 3x  110  x   4 10  x   64

 3x  110  x   x  23  16  3x  110  x    x  23

 49 x 2  418 x  369  0  1  x 

2

369
 7,5
49

Mà x   nên x  1; 2;3; 4;5;6;7
Vậy có 7 giá trị nguyên của x
Câu 37: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Gọi a là nghiệm duy nhất của phương trình

 5.2 x  8 
log 2  4a 
log 2  x
.
  3  x . Tính giá trị của biểu thức P  a
 2 2 
A. P  4 .

B. P  8 .

C. P  2 .

D. P  1 .

Đáp án B

8
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x  log 2 .
5
Phương trình đã cho tương đương với

2x  4

5.2 x  8
 23 x  5.22 x  16.2 x  16  0   x
 x  2.
2   4  0
2x  2

5
Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất a  2 .
Thay vào biểu thức P ta thu được P  8 .
Câu 38: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b, n  0 và a  1, ab  1 .
Tính giá trị của biểu thức T 
A. T  4 .

log a n
 log a b .
log ab n

B. T  3 .

C. T  2 .

D. T  1 .

Đáp án D
Ta có T  log a n.

log a ab
 log a b  log a ab  log a b  log a a  1 .Câu 23: (Gv Văn Phú Quốc
log a n

2018) Cho 0  x, y, z  1 và thỏa mãn xyz  1 . Tính giá trị của biểu thức

x
y
z 
S   log z  log x  log y   log x z  log y x  log z
y
z
x  

y
z
x


y.




A. S  7 .
Câu

39:

B. S  8 .
(Gv

Văn

Phú

C. S  9 .

Quốc

2018)

Tìm

số

D. S  3 .
nghiệm

của

phương

trình



2 log 3  cot x   log 2  cos x  trong đoạn  ; 2  .
3


A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án A

cos x  0
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 
.
cot x  0
Đặt 2 log 3  cot x   log 2  cos x   t .
t

Ta có cot x  3 2 , cos x  2t  cot 2 x  3t , cos 2 x  4t .
cos 2 
Mặt khác, cot  
,   k nên
1  cos 2 
2

t

4t
4
3 
 3t  12t  4t  4t     1 1
t
1 4
3

t

Để ý rằng t  1 là một nghiệm của phương trình (1). Ta sẽ chứng minh t  1 là
nghiệm duy nhất của phương trình (1). Thật vậy, vế trái của (1) là một hàm đồng biến theo t
và vế phải là hàm hằng nên t  1 là nghiệm duy nhất.
Với cos x 

1

 x    k 2 , k   .
2
3

So điều kiện, chọn x 


3

 k 2 , k   .




Mà x   ; 2  nên chỉ có x  .
3
3

Câu 40: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tất cả các giá trị của a để bất phương trình sau
nghiệm đúng với mọi x.
a.9 x   a  1 3x  2  a  1  0 .

A. a  1 .

B. a  1 .

C. a  1 .

Đáp án B
Đặt t  3x  0 . Bất phương trình đã cho trở thành

at 2  9  a  1 t  a  1  0  a 

9t  1
.
t  9t  1
2

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

D. a  1 .


a  max f  t  với f  t  
t 0;  

Ta có f   t  

t

9t 2  2

2

 9t  1

2

9t  1
.
t  9t  1
2

 0, t  0  f  t  là hàm nghịch biến trên  0;   .

Suy ra f  t   f  0   1 .
Do đó

9t  1
 1, t  0 nên các giá trị của a cần tìm là a  1 .
t  9t  1
2

Câu 41: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn
3

3


 

1

xy  4, x  , y  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P   log 1 x    log 1 y  1 .
2
 2   2


A. 

27
.
4

C. 

B. 0.

4
.
27

D. 9 .

Đáp án A
Thay y 

4
vào biểu thức P và biến đổi ta thu được
x

P  9  log 2   27 log 2 x  27 .
2

Do y  1 nên x  4 . Suy ra

1
 x  4 . Đặt t  log 2 x , khi đó 1  t  2 .
2

Xét hàm số f  t   9t 2  27t  27, t   1; 2 .
Ta có f   t   18t  27; f   t   0  t 

3
.
2

 3  27
.
f  1  63; f  2   9; f   
2 4

Vậy max P  

27
 x  2 2, y  2 .
4

Câu 42: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. ln x  1  x  e .

B. ln a  ln b  a  b  0 .

C. log 2017 x  0  0  x  1 .

D. log

1
2018

a  log

1
2018

b  a b 0.

Đáp án D
Mệnh đề D sai bởi vì y  log
log

1
2018

a  log

1
2018

b  0  a  b.

1
2018

x là hàm nghịch biến trong khoảng

 0;  

nên


Câu 43: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

 2a 

x2  4 x  6

 1  a 2 

A. S   .

x2  4 x  6

 1  a 2 

x2  4 x  6

với 0  a  1 .
C. S   0;1 .

B. S   .

D. S   1;1 .

Đáp án A
Chia cả hai vế của bất phương trình cho 1  a 2 
 2a 

2 
 1 a 

Đặt a  tan
Khi đó

x2  4 x  6

 1  a2 

2 
 1 a 

x2  4 x  6

 0 ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

x2  4 x  6

1.

t
t 

với 0    0  t  .

2
2 4
2

2a
1  a2

sin
t
và
 cos 2 t .
2
2
1 a
1 a

Bất phương trình đã cho tương đương với  sin t 
Bất phương trình (*) luôn đúng vì  sin t 

 x  2 2  2

 x  2 2  2

  cos t 

 x  2 2  2

 sin 2 t và  cos t 

 1  *

 x  2 2  2

 cos 2 t .

Vậy S   .
Câu 44: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho log a 4  u và log a 3  v . Hỏi mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. log 2a 12   u  v  . B. log 2a 12   u  v  .
2

2

C. log 2a 12  u 2 v 2 .

D. log 2a 12 

u2
.
v2

Đáp án A
Ta có log 2a 12   log a 4.3   u  v  .
2

2

Câu 25: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho hàm số y   x .x . TÍnh đạo hàm y’ của hàm số.
A. y  x . x 1   x ln  

B. y   x .x 1  x ln    

C. y   x .x 1  x ln    

D. y   x .x 1   x ln  

Đáp án C
Ta có y   x  .x   x .  x    x .x 1   x ln   .
Câu 45: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm giá trị của m để bất phương trình
2

2

2sin x  3cos x  m.3sin
A. m  4 .
Đáp án A

2

x

có nghiệm.
B. m  4 .

C. m  1 .

D. m  1 .


Chia cả hai vế của bất phương trình cho 3sin

2
 
3

sin 2 x

1
 3.  
9

2

x

 0 ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018)

sin 2 x

m.

2
Xét hàm số f  x    
3

sin 2 x

1
 3.  
9

sin 2 x

.

Hàm số f  x  là hàm nghịch biến.
1

1

0

0

2
1
2
1
Ta có 0  sin x  1     3.    f  x      3.   hay 1  f  x   4 .
3
9
3
9
2

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  4 .
Câu

46:



(Gv



M  log a a b  log

Văn

 a b   log

Phú

4

a

3

b

2018)

Cho

biểu

thức

b  0  a, b  1 . Mệnh đề nào sau đây là đúng nhất?

B. 2 M  log 1

A. 2 M  log M 16 .

Quốc

M

1
.
16

C. 2 M  log M 15 .

D. M  4

Đáp án A

















Ta có M  log a a b  2 log a a 4 b  3log b b  log a a b  log a a 2 b  3
 a b 
1
 log a  2
  3  log a  3  2 .
a
a b

Câu 47: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho x, y  0 thỏa mãn log 9 x  log 6 y  log  x  y  . Tính
tỉ số
A.

x
.
y
x
2.
y

B.

x 1
 .
y 2

C.

x
5 1
.

y
2

Đáp án C
Đặt log 9 x  log 6 y  log 4  x  y   t  x  9t , y  6t , x  y  4t .
 3 t
5 1
  
2t
t
2
2
3
3
Khi đó 9t  6t  4t        1  0  
.
t
 3
2
2

5


1


  
0
2
 2 
t

x 9t  3 
5 1
Hơn nữa  t    
.
y 6 2
2

D.

x
5 1
.

y
2


Câu 48: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số bộ số  x; y; z  thỏa mãn các điều kiện sau: (Gv Văn
Phú Quốc 2018)

2 x  3 y  5 z  10; 2 x 3 y 5 z  30; xyz  1

A. 1.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Đáp án C
Xét các bộ số  x; y; z    log 2 a;log 3 b;log 5 c  trong đó a, b, c là hoán vị của 2;3;5 . Với các
bộ số này thì điều kiện thứ ba của bài toán luôn được thỏa mãn.
Ta lại thấy 2 x  3 y  5 z  2log2 a  3log3 b  5log5 c  a  b  c  2  3  5  10 .
Và 2 x.3 y.5 z  2log2 x.3log3 b.5log5 c  abc  2.3.5  30 .
Do đó các bộ xác định như trên luôn thỏa mãn các điều kiện đã cho. Do đó số các hoán vị của

2;3;5
Câu

là 3!  6 .

49:

(Gv

Văn

Phú

Quốc

2018)

Tìm

giá

trị

của

m

để

hàm

y  log 2 log 3  m  2  x 2  2  m  3 x  m  xác định trên  .

A. m  2 .

B. m 

7
.
3

C. 2  m 

7
.

3

D. m  2 .

Đáp án B
Hàm số đã cho xác định trên  .

 log 3  m  2  x 2  2  m  3 x  m   0, x  
 f  x    m  2  x 2  2  m  3 x  m  1  0, x   *

* Nếu m  2 thì f  x   2 x  1  0  x 

1
.
2

a  m  2  0
7
* Nếu m  2 thì *  
m .
3
  3m  7  0
Câu 50: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tính đạo hàm của hàm số y  log 2 x  3 x  1 .
A. y 
C. y 

1
.
 3x  1 ln  2 x 

B. y 

3 x ln  2 x    3 x  1 ln  3 x  1
x  3 x  1 ln  2 x  

2

Đáp án C
Ta có y  log 2 x  3 x  1 

ln  3 x  1
.
ln 2 x

.

D. y 

3
.
 3x  1 ln  2 x 
3 x ln  2 x    3 x  1 ln  3 x  1
x 2  3 x  1 ln  2 x  
2

2

.

số

ln  3 x  1  .ln  2 x   ln  3 x  1 ln  2 x  

Suy ra y 
2
ln  2 x  

3
2
ln  2 x   ln  3 x  1 3 x ln 2 x  3 x  1 ln 3 x  1
  
 
.
2x
 3x  1

2
2
x  3 x  1 ln  2 x  
ln  2 x  
Câu 5125: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a, b, c, d là bốn số dương tạo thành một cấp số
nhân với công bội q  1 . Xét dãy số log a, log b, log c, log d . Mệnh đề nào là đúng?
A. Dãy là cấp số nhân.
B. Dãy không phải là cấp số nhân, cấp số cộng.
C. Dãy là cấp số cọng.
D. Dãy là dãy giảm.
Đáp án C
Xét cấp số nhân a, aq, aq 2 , aq 3 .
Suy ra có dãy số log a, log a  log q, log a  2 log q, log a  3log q .

Đây là cấp số cộng với công sai d  log q  0 .
Câu 52: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho a  log 2 3; b  log 3 5; c  log 7 2 . Tính theo a, b, c giá
trị của log140 63 .
A. log140 63 

2ac  1
.
abc  2c  1

B. log140 63 

2ac  1
.
abc  2c  1

C. log140 63 

2ac  1
.
abc  2c  1

D. log140 63 

2abc  1
.
abc  2c  1

Đáp án B
Áp dụng công thức đổi cơ số ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
log140 63 

Mặt khác log 2 7 

log 2 63
log 2 7  2 log 2 3

 *
log 2 140 1  log 2 5  log 2 7
log 3 5
1
1
 ;log 2 5 
 log 3 5.log 2 3  ab .
log 7 2 c
log 3 2

Thay vào (*) ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018) log140 63 

1
 2a
c
2  ab 

1
c



2ac  1
.

abc  2c  1

Câu 53: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một nghiên cứu cho thấy một nhóm học sinh được cho xem
cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ nhớ bao nhiêu % mỗi tháng.


Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của mỗi học sinh được tính theo công thức
M  t   75  20 ln 1  t  , t  0 (đơn vị %).

Hỏi sau khoảng bao lâu thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới 10%?
A. 24 tháng.

B. 20 tháng.

C. 2 năm 1 tháng.

D. 2 năm.

Đáp án C
Theo công thức tính tỉ lệ % đã cho thì cần tìm nghiệm t của bất phương trình;
75  20 ln 1  t   10  ln 1  t   3, 25  t  24, 79 (tháng).

Vậy sau khoảng 25 tháng (tức 2 năm 1 tháng) thì học sinh nhớ được danh sách đó là dưới
10%.
Câu 28: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho số thực a, b, c thỏa mãn 1  a  b  c . Bất đẳng thức
nào sau đây đúng?
A. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   0 .
B. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   3 .
C. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   3 .
D. log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   3 3 .

Đáp án A
Để ý rằng 1  a  b nên log a b  1 . Khi đó nếu xét cùng các cơ số a và b thì
log a  log a b   log b  log a b   0 .

Do 1  a  c nên log c a  1  0  log c  log c a   log b  log c a  .
Từ đó suy ra
log a  log a b   log b  log b c   log c  log c a   log b  log a b.log b c.log c a   log b 1  0 .

Câu 54: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho log 2 3  a, log 2 5  b . Hãy tính log 3 125
A.

b
.
3a

B.

3b
.
a

C.

2a
.
b

D.

2b

.
a

Đáp án B
Ta có log 3 125  3log 3 5  3

log 2 5 3b
 .
log 2 3 a

Câu 55: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho log12 6  a, log12 7  b . Hãy tính log 2 7
A.

a
.
a 1

B.

a
.
1 b

C.

a
.
1 b

D.

b
.
1 a


Đáp án D

a
 0 . Do đó (A) sai.
1 a

Ta có a  log12 6  1; b  log12 7  1 . Suy ra
Rõ ràng b  a  0 
Mặt khác log 2 7 

a
 1. Do đó (C) sai.
1 b

log12 7
b

.
log12 2 1  a

Vậy (D) là phương án đúng.
Câu 56: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm số nghiệm nguyên của phương trình

x log

A. 1.

2

x  log x3  3

2



1
1

1 x 1
1 x 1

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Đáp án A
Điều kiện: (Gv Văn Phú Quốc 2018) x  0
Phương trình đã cho tương đương với

x log

2

x  log x3  3

 x   log 2 x  log x3  3 log x  log x


x  1
log x  0

1
 log x  log 2 x  3log x  2   0  log x  1   x 
.

10
log x  2

1
x 
100

Vậy phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm nguyên.
Câu

57:

y  ln



(Gv

Văn

82 log x  3 42log x

A. D  100;  

Phú

Quốc

2018)

Tìm

miền

xác

định

của

hàm


B. D   0;  

C. D  1000;  

Đáp án A
Hàm số xác định khi và chỉ khi

 x  0
 x  0
82 log x  3 42log x  0   2 log x 3 2log x   2 log x 3
2
 4
   42log x 
 8
 8
 x  0
 x  0
  9 9 log x 

4 2  log x 
2
2
9  2  log x   4  2  log x 

D. D  10;  

số


x  0
x  0


 x  100.

log x  2
 x  100
Vậy miền xác định của hàm số đã cho là: (Gv Văn Phú Quốc 2018) D  100;  
Câu 58: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Tìm m để phương trình
3log 27  2 x 2  x  2m  4m 2   log 1

x 2  mx  2m 2  0

3

có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x12  x22  1 .

 1  m  0
.
A.  2
 m 1
2
5

 1  m  0
.
B.  2
 m 1
2
5

 1  m  0
.
C.  2
 m 1

2
5

 1  m  0
.
D.  2
 m 1
2
5

Đáp án C
Ta có: (Gv Văn Phú Quốc 2018) 3log 27  2 x 2  x  2m  4m 2   log 1

x 2  mx  2m 2  0

3

 log 3  2 x 2  x  2m  4m 2   log 3  x 2  mx  2m 2 
2
2
 x  mx  2m  0
 2
2
2
2
2 x  x  2m  4m  x  mx  2m

 x 2  mx  2m 2  0
 x 2  mx  2m 2  0


 2
   x1  m
2
 x  1  m
 x   m  1 x  2m  2m  0
 2
Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  1
 2m 2  m.2m  2m 2  0
 4m 2  0


2

 1  m   m. 1  m   2m 2  0  2m 2  m  1  0

5m 2  2m  0
2
2

 2m   1  m   1


m  0
 1  m  0

1

 1  m 
 2
1.


2

m


2
5
2

m

0

m


5
1 
Câu 59: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Cho x, y, z , t   ;1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 

(Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
1
1


 1


P  log x  y    log y  z    log z  t    log t  x  
4
4
4


 4



A. 4.

B. 8.

C. 16.

D. 64.

Đáp án B

1
1
1
1
Dễ dàng có được x 2  x  ; y 2  y  ; z 2  z  ; t 2  t 
4
4
4
4

1

Dấu “=” xảy ra trong các bất đẳng thức này khi và chỉ khi x  y  z  t 

1
2

1 
Vì x, y, z , t   ;1 nên theo tính chất của lôgarit với cơ số dương và bé hơn 1 nên từ (1) ta
4 

có: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1
1
1


 1

log x y 2  log x  y   ;log y z 2  log y  z   ;log z t 2  log z  t   ;log t x 2  log t  z  
4
4
4


 4


Cộng vế theo vế các bất đẳng thức này, ta được: (Gv Văn Phú Quốc 2018)
1

1
1


 1

log x  y    log y  z    log z  t    log t  z    2  log x y  log y z  log z t  log t x  (2)
4
4
4


 4


Dễ thấy log x y;log y z;log z t ;log t x luôn dương nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
(Gv Văn Phú Quốc 2018)

log x y  log y z  log z t  log t x  4 4 log x y log y z log z t log t x  3
Mà log x y log y z log z t log t x  log x y

log x z log x t
log t x  1
log x y log x z

 4

Từ (2). (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
Câu 60: (Gv Văn Phú Quốc 2018) Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức
lãi kép kì hạn 1 quý, với lãi suất 1,65% một quý. Hỏi bao lâu người đó có được ít nhất 20

triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi).
A. 15 quý.

B. 16 quý.

C. 17 quý.

D. 18 quý.

Đáp án D
Người gửi 15 triệu đồng sau n quý sẽ nhận được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 15. 1, 0165  .
n

Để có ít nhất 20 triệu ta phải có 15.  0,165   20
n

 n log  0, 0165   log 20  log15

20
15
n
 17,58.
log 1, 0165 
log

Vậy người đó cần gửi tiền liên tục 18 quý.