Lớp 11 lượng giác 54 câu từ đề thi thử các trường chuyên năm 2018 converted image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.16 MB, 24 trang )
Câu 1: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
f ( x ) = sinx + cos2x trên 0; là
9
.
8
−4
Câu 2: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Số nghiệm thuộc khoảng
; của
3 2
3
phương trình cos ( + x ) + 3sinx = sin 3x − là
2
A. 6.
B. 2.
C. 4.
D. 3.
Đáp án A.
A.
5
.
4
B. 1.
C. 2.
D.
PT
− cos x + 3 sinx = − cos3x cos3x − cosx + 3 sinx = 0 −2sin 2 xsinx + 3 sinx = 0
x = k
x = k
sinx = 0
2x = 2 + k2 x = + k ( k ) .
sinx −2sin 2x + 3 = 0
sin 2 x = 3
3
3
2
2x = + k2
x = + k
3
6
1
4
4
− 3 k 1 2
− 3 k1 2
k1 −1;0
5
1
4 4
x − ; −
+ k 2 − k 2 k 2 −1;0 .
3
2
6
3 2 3 3
k 3 −1;0
− 4 + k 3
− 3 k 3 1
3 6
2
2
3
(
)
Câu 3: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Phương trình cos3x.tan 5x = sin 7x nhận
những giá trị sau của x làm nghiệm
A. x = 5, x = . B. x = 5, x = . C. x = . D. x = 10, x = .
2
20
10
10
Đáp án A.
Điề u kiê ̣n: cos5x 0. Khi đó, phương trình đã cho cos3x.
sin 5x
= sin 7x
cos5x
1
1
( sin 8x + sin 2x ) = ( sin12x + sin 2x )
2
2
12x = 8x + k2
.
sin8x = sin12x
12x = − 8x + k2
cos3x.sin5x = cos5x.sin 7x
Câu
4:
(Chuyên
ĐH
Sư
Phạm
Hà
Nội)
Cho
hai
phương
trình
−1
( 2 ) . Tập các nghiệm của phương trình (1) đồng thời là
2
nghiệm của phương trình (2) là
A. x = + k2, k .
B. x = k2, k .
3
2
C. x = + k2, k . D. x =
+ k2, k .
3
3
Đáp án D.
cos3x − 1 = 0 (1) ; cos 2x =
Ta có (1) cos3x = 1 3x = k2 x = k
2
(k
3
2
2x = 3 + k2
x = 3 + k
(2)
(k
2x = − 2 + k2
x = − + k
3
3
).
).
Suy ra nghiê ̣m chung của hai phương triǹ h là x =
2
+ k2 ( k
3
).
Câu 5: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội)Tìm số đo ba góc của một tam giác cân, biết rằng
−1
số đo của một góc là nghiệm của phương trình cos2x =
2
2
A. , , .
B. , , .
3 6 6
3 3 3
2
C. , , ; , , .
D. , , ; , , .
3 3 3 3 6 6
3 3 3 4 4 2
Đáp án D.
2
2
2x =
+ k2 x = + k
3
3
3
x = 3
Do x ( 0; 2 )
tam giác ABC cân nên đáp án cầ n tim
̀ là D.
x = 2
3
Câu 6:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m
Ta có: cos2x = cos
để phương trình
A. 3
1 + 2 cos x + 1 + 2sin x =
B. 5
m
có nghiệm thực?
2
C. 4
Đáp án A
2sin x + 1 0
2
Xét x −; mà
suy ra x − ;
6 3
2 cos x + 1 0
D. 2
Ta có
1 + 2cos x + 1 + 2sin x =
m
m2
= 1 + s inx + cos x +
2
2
(1 + 2sin x )(1 + 2cos x )
3 −1
; 2 và 2sin x.cos x = t 2 − 1
Đặt t = s inx + cos x = 2 sin x + t
4
2
3 −1
0; t
; 2
2t 2 + 2t − 1
2
2t + 1
Khi đó f ( t ) = 1 + t + 2t 2 + 2t − 1, có f ' ( t ) = t +
( )
min f ( t ) = f 2 = 2 + 2 2
3 −1
Suy ra f ( t ) là hàm số đồng biến trên
; 2
3 −1 1 + 3
2
m ax f ( t ) = f
=
2
2
Do đó, để f ( t ) =
m2
1 + 3 m2
2 + 2 2 2 1+ 3 m 4 1+ 2
có nghiệm
8
2
8
Câu 7:( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam) Phương trình
với phương trình nào sau đây?
1
1
A. sin x − = . B. sin − x = .
6 2
6
2
1
C. sin x − = 1.
D. cos x + = .
3 2
6
Đáp án A.
PT
3 sinx − cos x = 1 tương đương
3
1
1
1
sin x − cos x = = sin x − = .
2
2
2
6 2
Câu 8: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam)
2sin 2 2x + cos2x + 1 = 0 trong 0; 2018 là
A. 1008.
Đáp án B.
B. 2018.
Số
nghiệm
C. 2017.
của
phương
D. 1009.
cos2x = −1
PT 2 (1 − cos 2x ) + cos2x + 1 = 0 −2 cos 2x + cos2x + 3 = 0
cos2x = 3
2
cos2x = −1 2x = + k2 x = + k ( k ) .
2
1
Có x 0; 2018 0 + k 2018 − k 2017,5.
2
2
Suy ra PT có 2018 nghiệm thỏa mãn đề bài.
2
2
trình
Câu 9: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Giải phương trình 2sin 2 x + 3 sin 2x = 3.
Đáp án B.
PT 3 sin 2x − cos2x = 2
3
1
sin 2x − cos2x = 1 sin 2x − = 1
2
2
6
= + k2 x = + k ( k ) .
3
6 2
2
A. x = − + k.
B. x = + k.
C. x =
D. x = + k.
+ k2.
3
3
4
3
Câu 10: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Số các giá trị thực của tham số m để phương
trình ( sin x − 1) ( 2 cos 2 x − ( 2m + 1) cos x + m ) = 0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn
2x −
0; 2
là
A. 1.
Đáp án B.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
sin x = 1
PT
2
2 cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0
Với s inx = 1 x = + k2 do đó x 0;2 x = .
2
2
2
2
Với 2cos x − ( 2m + 1) cos x + m = 0 2cos x − cos x = ( 2cos x −1) m
1
cos x =
( 2cos x − 1)( m − cos x ) = 0
2
m = cos x
1
PT: cos x =
có 2 nghiệm thuộc trên đoạn 0; 2 do đó để PT đã cho có 4 nghiệm
2
thực thuộc đoạn 0; 2 thì
m = −1 x = −
.
TH1: m = cos x có 1 nghiệm thuộc đoạn 0; 2
m = 1 x = 0; x = 2 ( loai )
TH2: m = cos x có 2 nghiệm thuộc đoạn 0; 2 trong đó có 1 nghiệm trùng
m=0 x =− .
2
2
Vậy m = −1; m = 0.
x=
Câu 11: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Số nghiệm thực của phương trình
3
sin 2x + 1 = 0 trên đoạn − ;10 là
2
A. 12.
B. 11.
C. 20.
D. 21.
Đáp án A.
+ k2 x = − + k ( k ) .
2
4
3
3
x − ;10 −
− + k 10 −1, 25 k 10, 25
2
4
2
3
Suy ra PT có 12 nghiệm trên đoạn − ;10 .
2
PT sin 2x = −1 2x = −
Câu 12:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Phương trình cos x = −
3
có tập nghiệm là
2
5
A. + k, k B. + k2, k
6
6
C. + k, k
3
D. + k2, k
3
Đáp án B
PT x =
5
+ k2 ( k
6
)
Câu 13:(Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc
khoảng
( 0; 2 )
của phương trình
A. 6
B.
11
2
2cos3x = sin x + cos x.
C. 8
D.
9
2
Đáp án A
x = − + k
8
2cos3x = s inx + cos x cos3x = cos x x −
4
x = + l
16 2
7
15
x = 8 ; x = 8
x ( 0; 2 ) →
→ ( x ) = 6.
x = ; x = 9 ; x = 17 ; x = 25
16
16
16
16
Nguyên Lần 1) Các nghiệm của phương trình
sin
x −1
2 (1 + cos x ) (1 + cot 2 x ) =
được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm trên đường tròn
sin x + cos x
lượng giác?
Câu
14:(Chuyên
Thái
A. 3
Đáp án D
B. 2
C. 4
D. 1
sin x + cos x 0
ĐK:
sin x 0
2 (1 + cos x )
sin x − 1
=
2 (1 + cos x )( sin x + cos x ) = sin 2 x ( sin x − 1)
2
sin x
sin x + cos x
cos x + 1 = 0
(1 + cos x ) 2 ( sin x + cos x ) − (1 − cos x )( sin x − 1) = 0
sin x + cos x + sin x cos x + 1 = 0
PT
x + − + k 2 ( loai )
cos x + 1 = 0
(k )
2
sin x + 1 = 0
x = + k 2
Kết hợp với điều kiện ban đầu, suy ra x = + k 2
Suy ra có 2 điểm biểu diễn nghiệm PT trên vòng tròn lượng giác
Câu 15: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1)Số nghiệm của phương trình cos x =
−2 ; 2 là
A. 4
Đáp án A
B. 2
C. 3
1
thuộc
2
D. 1
x = 3 + k 2
PT
(k )
x = − + k 2
3
5
5
7
−2 3 + k 2 2
− 6 k 6 k = −1, 0 x = − 3 , x = 3
x −2 ; 2
k = 0,1
−2 − + k 2 2
− 5 k 7
x = − , x = 5
6
3
6
3
3
Câu 16: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Phương trình sin 2x + 3cos x = 0 có bao
nhiêu nghiệm trong khoảng ( 0; )
A. 0
Đáp án B
B. 1
C. 2
sin 2x + 3cos x = 0 2sin x cos x + 3cos x = 0 cos x ( 2sin x + 3) = 0
cosx = 0 x = 2 + k ( k )
sinx = − 3 loaïi vì sinx −1;1
2
(
)
D. 3
2
Câu 17: (Đại Học Vinh 2018)Phương trình 2cos x + 2 = 0 có tất cả các nghiệm là
Theo đề: x ( 0; ) k = 0 x =
x = 4 + k2
,(k
A.
x = 3 + k2
4
7
x = 4 + k2
B.
,(k
x = − 7 + k2
4
)
3
x = 4 + k2
C.
,(k
x = − 3 + k2
4
x = 4 + k2
D.
,(k
x = − + k2
4
)
)
)
Đáp án là C.
3
x=
+ k 2
2
4
• cos x = −
;(k
2
x = − 3 + k 2
4
).
Câu 18: (Đại Học Vinh 2018) Nghiệm của phương trình 8.cos2x. xsin2x. cos4x = 2
là
x = 8 + k 8
A.
(k
x = 3 + k
8
8
x
=
+
k
16
8
C.
(k
3
x =
+k
16
8
)
x = 32 + k 8
B.
(k
x = 3 + k
32
8
)
)
x
=
+
k
32
4
D.
(k
3
x =
+k
32
4
)
Đáp án là D.
Ta có: 8cos 2x.sin 2x.cos 4 x = 2 4sin 4 x.cos 4 x = 2
k
x
=
+
2
32 4
2sin 8 x = 2 sin 8 x =
; ( k ).
2
x = 3 + k
32 4
Câu 19: (Đại Học Vinh 2018) Phương trình tan x = cot x có tất cả các nghiệm là:
A. x =
C. x =
+ k (k
4
4
+ k2 ( k
4
)
)
B. x =
D. x =
+ k (k
4
2
+ k ( k
4
)
)
Đáp án C
Phương pháp:
Sử dụng công thức nhân đôi sin2x = 2sin x cos x đưa phương trình ban đầu về dạng
phương trình tích sau đó giải phương trình tích đó và tìm các nghiệm trong đoạn
0;100.
Tính tổng các nghiệm vừa tìm được, sử dụng công thức tính tổng của cấp số cộng
Sn =
( u1 + u n ) n
2
Cách giải:
sin2x + 4sinx − 2cosx − 4 = 0 2sinxcosx + 4sinx − 2cosx − 4 = 0
2cosx(sinx −1) + 4(sinx − 1) = 0 2 (sin x −1)( cos x + 2) = 0
sin x = 1
sin x − 1 = 0
x = + 2 ( k
2
cos x + 2 = 0
cos x = −2 ( vn )
)
Đáp án là B.
k
; ( k ).
• tan x = tan − x x = +
4 2
2
Câu 20: (Chuyên Vĩnh Phúc – lần 2) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
sin 2x + 4sin x − 2cos x − 4 = 0 trong đoạn 0;100 của phương trình:
A. 2476
B. 25
C. 2475
D. 100
2
Câu 21: (Chuyên Quang Trung -2018) Nghiệm của phương trình cos x + =
là
4 2
x = k2
x = k
A.
B.
(k )
(k )
x = − + k
x = − + k
2
2
x = k
x = k2
C.
D.
(k )
(k )
x = − + k2
x = − + k2
2
2
Đáp án D
Phương pháp
Giải phương trình lượng giác cơ bản.
Lời giải chi tiết.
x + = + k2
2
4 4
Ta có cos x + =
= cos →
4
2
4
x + = − + k2
4
4
x = k2
(k
x = − + k2
2
)
Câu 22: (Chuyên Quang Trung -2018) Phương trình cos2x + 4sin x + 5 = 0 có bao
nhiêu nghiệm trên khoảng ( 0;10)
A. 5
Đáp án A
B. 4
C. 2
D. 3
Phương pháp
Dùng công thức cos2x=1 − 2sin 2 x để đưa phương trình ban đầu về đa thức bậc 2 theo
sin x.
Giải phương trình này tìm x và đối chiếu với yêu cầu X ( 0;10 ) để tìm được giá trị
của x.
Lời giải chi tiết.
cos2x + 4sin x + 5 = 0 (1 − 2 sin 2 x ) + 4 s inx + 5 = 0 sin 2 x − 2 s inx − 3 = 0
Ta có
( s inx + 1)( s inx − 3) = 0 s inx = −1 x = − + k2 ( k )
2
1
21
Do x ( 0;10 ) 0 − + k2 10 ( k ) k ( k ) k = 1, 2,3, 4,5
2
4
4
Do đó tập nghiệm của phương trình đã cho trên ( 0;10) là
3
; − + 4; − + 6; − + 8; − + 10
2
2
2
2
2
Câu 23: (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm góc ; ; ; để phương trình
6 4 3 2
cos2x + 3sin2x − 2cosx = 0 tương đương với phương trình cos ( 2x − ) = cosx
A. =
6
B. =
4
C. =
2
D. =
3
Đáp án D
Phương pháp.
Dùng công thức cosacosb+sinasinb=cos ( a − b ) để biến đổi phương trình không chứa
về dạng giống phương trình có chứa .
Lời giải chi tiết.
Ta có
1
3
cos2x +
sin 2x − cosx=0
2
2
cos cos2x + sin sin 2x = cosx cos 2x − = cosx
3
3
3
cos2x + 3 sin 2x − 2cosx=0
Do đó để phương trình cos2x + 3 sin 2x − 2cosx=0 tương đương với phương trình
cos ( 2x − ) =cosx thì =
3
Câu 24: (Chuyên Quang Trung -2018)
cos 2x + 3sin x − 2
= 0 là:
Nghiệm của phương trình
cos x
x = 2 + k2
x = + k
6
A. x = + k ( k )
B.
(k
6
x = 5 + k
6
x = 5 + k
6
x = 2 + k
x = + k2
6
C. x = + k2 ( k )
D.
(k )
6
x = 5 + k2
6
x = 5 + k2
6
Đáp án D
)
Phương pháp
Tìm điều kiện để phương trình có nghĩa. Sau đó sử dụng công thức 2cos2x=1 − 2sin 2 x
để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc 2 đối với sin x và giải phương trình
này để tìm nghiệm. Bước cuối cùng là đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết.
Điều kiện cos x 0 x + k ( k )(1)
2
Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành
cos 2x + 3sin x − 2 = 0 (1 − 2sin 2 x ) + 3sin x − 2 = 0 2sin 2 x − 3sin x + 1 = 0
2sin x − 1 = 0
( 2sin x − 1)( s inx − 1) = 0
s inx − 1 = 0
Nếu s inx − 1 = 0 s inx = 1 cos x = 0, không thỏa mãn điều kiện (1)
x = + k2
1
6
Vậy 2sin x − 1 = 0 sin x = = sin
(k
2
6
x = − + k2 = 5 + k2
6
6
)
Câu 25: (Chuyên Quang Trung -2018) Tập giá trị của hàm số y = sin2x + 3cos2x+1
là đoạn a; b . Tính tổng T = a + b?
A. T = 1
B. T = 2
Đáp án B
C. T = 0
D. T = −1
Phương pháp.
Dùng công thức sin a sin b + cos a cos b = cos ( a − b ) , −1 cos x 1, x, a, b
Lời giải chi tiết.
1
3
cos2x + 1 = 2cos 2x − + 1
Ta có y = sin2x + 3cos2x+1 = 2 sin 2x +
2
6
2
Do −1 cos 2x − 1 −1 2 cos 2x − + 1 3. Như vậy a = −1, b = 3
3
3
Do đó T = a + b = ( −1) + 3 = 2
Câu 26: (Chuyên Quang Trung -2018) Nghiệm của phương trình tan3x = tan x là
A. x = k , ( k ) B. x = k, ( k )
2
C. x = k2, ( k )
D. x = k , ( k )
6
Đáp án A
Phương pháp.
Tìm điều kiện để phương trình ban đầu có nghĩa. Giải trực tiếp phương trình đã cho và
đối chiếu điều kiện để suy ra nghiệm cần tìm.
Lời giải chi tiết.
k
x +
3x + k
cos3x 0
6 3
2
Điều kiện
(k )
cosx
0
x + k
x + k
2
2
m
Ta có tan3x = tan x 3x = x + m x =
( m ) . Đối chiếu với điều kiện
2
m 1
x + k + k m 2k + 1. Khi đó m = 2k ( k ) x = k ( m ) .
2
2 2
k
k
1 n
+
k +
k + . Do vế phải của biểu thức trên không là số
6 3
6 3
6 3
nguyên nên nó luôn đúng.
Vậy nghiệm của phương trình tan3x = tan x là x = k, ( k )
Từ x
Câu 27: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Tìm nghiệm của phương trình lượng giác
cos 2 x − cos x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 x
A. x =
2
Đáp án A
C. x =
B. x = 0
D. x = 2
Phương pháp: Giải phương trình lượng giác sau đó kết hợp vào điều kiện của đầu bài để
tìm ra nghiệm thỏa mãn.
Cách giải:
cos 2 x − cos x = 0
x
=
+ k
cos x = 0
,k
cos x ( cos x −1) = 0
2
cos x = 1
x = 2k
1
1
+) Với: x = + k : 0 x 0 + k − k 2 − k
2
2
2
2
4
4
Mà k
nên k = 0 khi đó ta có x =
2
+) Với: x = 2k : 0 x 0 2k 0 k
1
2
Mà k nên không có giá trị k nào thỏa mãn.
Sai lầm và chú ý: Đối với những bài toán giải phương trình lượng giác thỏa mãn điều
kiện cho trước, ta cần tìm được x sau đó cho x thỏa mãn điều kiện đầu bài và cô lập được
k khi đó ta sẽ tìm được giá trị nguyên k thỏa mãn và sẽ tìm đc x.
Câu 28: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
A. tan x + 3 = 0
B. sin x + 3 = 0
C. 3sin x − 2 = 0
D. 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0
Đáp án B
Phương pháp:
Giải từng phương trình ra và kết luận phương trình vô nghiệm.
Chú ý tập giá trị của hàm sin và hàm cos : −1 sin x 1; −1 cos x 1
Cách giải: Xét đáp án B ta có sin x + 3 = 0 sin x = −3. Phương trình vô nghiệm
Câu 29: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Giải phương trình 2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3
5
2
+ k
+ k
A. x = − + k
B. x = + k
C. x =
D. x =
3
3
3
3
Đáp án B
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp giải phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sin và cos bằng cách chia
cả 2 vế phương trình cho cos 2 x .
2sin 2 x + 3 sin 2 x = 3 2sin 2 x + 3 sin x cos x = 3
TH1: cos x = 0 x = + k ( k ) , khi đó ta có sin 2 x = 1 2.1 = 3 (vô nghiệm).
2
TH2: cos x 0 x + k chia cả 2 vế phương trình cho cos 2 x ta được
2
2
2 tan x + 2 3 tan x = 3 (1 + tan 2 x )
(
tan 2 x − 2 3 tan x + 3 = 0 tan x − 3
)
2
=0
+ k ( k )( tm )
3
Câu 30: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2) Nghiệm của phương trình 2sin x = 1 có dạng nào
sau đây?
x = 3 + k 2
x = 6 + k 2
A.
B.
(k )
(k )
x = 2 + k 2
x = 5 + k 2
3
3
tan x = 3 x =
x = 6 + k 2
C.
(k
x = 5 + k 2
6
Đáp án C
)
x = 6 + k 2
D.
(k
x = − + k 2
6
x = + k 2
Phương pháp: Giải phương trình: sin
(k
x = − + k
1
Cách giải: Ta có phương trình: sin x = sin x = sin
2
6
)
)
x = 6 + k 2
x = 6 + k 2
(k )
x = − + k 2
x = 5 + k 2
6
6
Chú ý: Học sinh có thể nhầm lẫn khi chọn đáp án B với k
Câu 31: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Khẳng định nào sau đây là khẳng định
sai?
A. cosx = −1 x = + k2
B. cosx = 0 x = + k
2
C. cosx = 1 x = k2
D. cosx = 0 x = + k2
2
Đáp án D
Câu 32: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Giải phương trình
cos2x − 5sinx − 4 = 0
A. x = + k
B. x = − + k
C. x = k2
2
2
Đáp án D
D. x =
+ k2
2
sinx = 1
Ta có PT 1 − 2sin x + 5sinx − 4 = 0 2sin x + 5sinx − 3 = 0
sinx = 3 ( L )
2
x = + k2
2
2
2
Câu 33: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Giải phương trình cos5x.cosx = cos4x
k
k
k
k )
k )
A. x =
B. x =
C. x = k ( k )
D. x =
(
(
(k
3
5
7
Đáp án A
Ta có
1
( cos6x + cos4x ) = cos4x cos6x + cos4x = 2cos4x
2
x = k
cos6x = cos4x
k ).
x = k (
5
k
Vậy phương trình có nghiệm là x =
(k )
5
Câu 34: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Cho phương
cos5x.cosx = cos4x
trình: ( cosx + 1)( cos2x − mcosx ) = msin 2 x. Phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn
2
0; 3 khi:
A. m −1
B. m −1
C. −1 m 1
D. −1 m
Đáp án D
Ta có: PT (1 + cos x )( cos2x − mcosx ) = m (1 − cos 2 x ) = m (1 + cos x )(1 − cos x )
1 + cos x = 0
cos x = −1
cos2x − m cos x = m − m cos x
cos2x = m
−1
2
)
Với x 0; cos x = −1( vn )
2
2
4
Với x 0; 2x 0; dựa vào đường tròn lượng giác suy ra PT có đúng hai
2
3
nghiệm khi −1 m cos
4
−1
−1 m .
3
2
Câu 35: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Cho phương trình
cos x + sin 2x
+ 1 = 0.
cos3x
Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. Phương trình đã cho vô nghiệm.
B. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = −
2
C. Phương trình tương đương với phương trình ( sinx −1)( 2sin x −1) = 0.
D. Điều kiện xác định của phương trình là cosx(3 + 4cos 2 x) 0.
Đáp án A
cos ( 4cos 2 x − 3) 0
cos3x 0
cos3x 0
PT
cos x + sin 2x + cos3x = 0
2cos2x cos x + 2sin x cos x = 0
2 cos x ( cos2x + s inx ) = 0
cos ( 4 − 4sin 2 x − 3) 0
cos x (1 − 2sin x )(1 + 2sin x ) 0
PTVN
2
cos x ( 2sin x + 1)( s inx − 1) = 0
2 cos x ( −2sin x + sin x + 1) = 0
Câu 36: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Phương trình
cos4x
= tan 2x có số
cos2x
nghiệm thuộc khoảng 0; là:
2
A. 1
B. 3
C. 4
D. 2
Đáp án D
ĐK: cos2x 0. Khi đó
1
sin 2x =
cos4x sin 2x
2
2
PT
=
1 − 2sin 2x = sin 2x
cos2x cos2x
sin 2x = −1 cos2x = 0 ( loai )
2x = + k2
x = + k
1
6
12
Do đó PT sin 2x =
2
2x = 5 + k2
x = 5 + k
6
12
Do đó PT có 2 nghiệm thuộc khoảng 0; .
2
Câu 37: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2)Khẳng định nào sau đây đúng:
+ k2; k
2
A. c osx = −1 x = + k2; k
B. c osx = 0 x =
C. sin x = 0 x = k2; k
D. tan x = 0 x = k2; k
Đáp án A
Câu 38: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế)Tìm số
đo ba góc của một tam
1
giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương trình cos 2 x = − .
2
2
A. ; ;
B. ; ;
3 6 6
3 3 3
2
C. ; ; ; ; ;
D. ; ; ; ; ;
3 3 3 3 6 6
3 3 3 4 4 2
Đáp án D
1
Phương pháp: Giải phương trình cos2x = − , tính được 1 góc và suy ra các góc còn lại
2
của tam giác cân.
1
2
+ k2 x = + k
Cách giải: cos2x = − 2x =
2
3
3
x = 3
Vì x là số đo của 1 góc của tam giác cân nên 0 x
x = 2
3
Với x = => tam giác cân trở thành tam giác đều => 3 góc của tam giác là ; ;
3
3 3 3
2
2 góc còn lại của tam giác cân đều bằng
Với x =
3 góc của tam giác là
3
6
2
; ;
3 6 6
Câu 39: (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi – Lần 1) Có bao nhiêu giá trị nguyên của
tham số m để phương trình
sin 2x + cos2x + sin x + cosx − cos2 x + m − m = 0 có nghiệm thực?
A. 9B. 2 C. 3 D. 5
Đáp án
Phương pháp:
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, đánh giá số nghiệm của phương trình.
Cách giải:
sin 2x + cos2x + sin x + cosx − cos 2 x + m − m = 0
sin 2x − 2cos 2 x + 1 + sin x + cosx − cos 2 x + m − m = 0
sin 2x + 1 + sin x + cosx = 2cos 2 x + cos 2 x + m + m
sin x + cosx + sin x + cosx = 2cos 2 x + cos 2 x + m + m (1)
2
Xét hàm số y = f ( t ) = t 2 + t, t 0, ta có
y' = f ' ( t ) = 2t + 1 0, t 0
y = f ( x ) đồng biến trên khoảng 0; + )
(1) f ( sin x + cosx ) = f (
)
cos 2 x + m sin x + cosx = cos 2 x + m 1 + 2 sin x cos x = 2 cos 2 x + m
m = sin 2x − cos2x m = 2 sin 2x −
4
( 2)
mà −1 sin 2x − 1, x − 2 2 sin 2x − 2 , x
4
4
Để phương trình (2) có nghiệm thì m − 2; 2
m m −1;0;1
Vậy, có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 40: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với
tập nghiệm của phương trình sinx = 0?
A. cos x = −1. B. cos x = 1.
C. tanx=0.
D. cot x = 1.
Đáp án C.
Câu 41: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Phương trình 2log3 ( cot x ) = log 2 ( cos x ) có bao
nhiêu nghiệm trong khoảng
A. 2018 nghiệm.
Đáp án D.
( 0;2018) ?
B. 1008 nghiệm.
C. 2017 nghiệm.
cot x 0
. Ta có
Điề u kiê ̣n:
cos x 0
2 log 3 ( cot x ) = log 2 ( cos x ) log 3 ( cot 2 x ) = log 2 ( cos x ) = t
D. 1009 nghiệm.
Suy ra
cos 2 x
t
cot 2 x = 3t
= 3t
4t
4
t
t
t
t
t
2
=
3
4
+
12
−
3
=
0
2
1 − cos x
+ 4 − 1 = 0.
t
t
1− 4
3
cos x = 4
cos 2 x = 4t
t
t
4
4
4
Xét hàm số f ( t ) = + 4t − 1 trên , có f ' ( t ) = .ln + 4 t.ln 4 0; t .
3
3
3
mà
f ( t ) là hàm số đồ ng biế n trên
1
f ( −1) = 0 t = −1 cos x = x = + k2.
2
3
1
k
→ Có 1009 nghiê ̣m.
Kế t hơ ̣p với điề u kiê ̣n x ( 0; 2018 ) − k 1008,83 ⎯⎯⎯
6
Câu 42: ( Chuyên Tiền Giang-2018) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình
sin 4 x + cos 4 x + cos 2 4x = m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn − ; .
4 4
47
3
47
47
m .
A. m
hoă ̣c m .
B.
64
2
64
64
47
47
3
3
m .
m .
C.
D.
64
64
2
2
Đáp án C.
Ta có sin 4 x + cos 4 x =
3 1
+ cos4x, khi đó phương trình đã cho trở thành:
4 4
1
3
cos 2 4x + cos 4x + = m 4 cos 2 4x + cos4x + 3 = 4m
(*).
4
4
Đă ̣t t = cos4x mà 4x −; t −1;0 , khi đó (*) 4m = 4t 2 + t + 3
1
Xét hàm số f ( t ) = 4t 2 + t + 3 trên −1;0 , có f ' ( t ) = 8t + 1 = 0 t = − .
8
47
1 47
Tiń h f ( −1) = 6; f − = ; f ( 0 ) = 3 → minf ( t ) = ; max f ( t ) = 6.
16
8 16
47
47
3
4m 6
m .
Để phương triǹ h đa cho có 4 nghiê ̣m thuô ̣c − ;
16
64
2
4 4
Câu 43: (Chuyên Lê Quý Đôn- Quảng Trị -Lần 1) Giải phương trình
cos3x.tan 4x = sin5x
k2
k
k
,x = +
A. x =
B. x = k, x = + ( k )
(k )
3
16 8
16 8
k
k3
k3
,x = +
C. x = k2, x = +
D. x =
(k )
(k )
2
16
16
8
8
Đáp án B
Phương pháp giải: Quy đồng, đưa về dạng tích và sử dụng công thức tích thành tổng
k
+
8 4
Ta có cos3x.tan 4x = sin 5x cos3x.sin 4x = cos4x.sin 5x
Lời giải: Điều kiện: cos4x 0 x
x = k
9x = 7x + k2
1
1
( s inx + sin 7x ) = ( s inx + sin 9x ) sin 7x = sin 9x
( tm )
x = + k
9x
=
−
7x
+
k2
2
2
16 8
Câu 44: (Chuyên Phan Bội Châu- Nghệ An) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của
tham số m để phương trình cos 2x + m sin x − m = 0 có nghiệm?
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
: Đáp án B
PT 1 − 2sin 2 x + m sin x − m = 0 2sin 2 x − m sin + m −1 = 0 (1)
Đặt t = sin x , ( 0 t 1) (1) 2t 2 − mt + m −1 = 0 ( 2)
Để (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm t 0;1 2t 2 −1 = m ( t −1) có nghiệm t 0;1
Suy ra
2t 2 − 1
= m có nghiệm t 0;1
t −1
Xét hàm số f ( t ) =
2t 2 − 1
2t 2 − 4t + 1
2− 2
, f '(t ) =
f '(t ) = 0 t =
2
t −1
2
( t − 1)
Lập bảng biến thiên hàm số f ( t ) f ( t ) 4 − 2 2 m 4 − 2 2 m = 1
0;1)
Câu 45: ( Chuyên Sơn La- Lần 1) Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình
3 tan − x + tanx.tan − x + 3 tan x = tan 2x trên đoạn 0;10 . Số phần tử của
6
6
S là:
A. 19
B. 20
C. 21
Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng công thức tan ( a + b ) =
Cách giải:
tan a + tan b
1 − tan a tan b
D. 22
3 tan − x + tan x.tan − x + 3 tan x = tan 2x
6
6
tan − x 3 + tan x + 3 tan x = tan 2x
6
(
)
3 + tan x
tan − x .
. 1 − 3 tan x + 3 tan x = tan 2x
6
1 − 3 tan x
(
)
tan − x .tan x + . 1 − 3 tan x + 3 tan x = tan 2x
3
6
tan − x c ot − x . 1 − 3 tan x + 3 tan x = tan 2x
6
6
1. 1 − 3 tan x + 3 tan x = tan 2x tan 2x = 1 2x = + k, k
4
x = + k ,k
8
2
x 0;10 0 + k 10, k
8
2
1
79
− k , k k 0;1; 2;...;19
4
4
(
(
)
(
)
)
Ứng với mỗi giá trị của k ta có 1 nghiệm x.
Vậy số phần tử của S là 20.
Câu 46: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình
3 cos x − sinx = 1 trên đoạn 0; 2 .
A.
5
3
B.
11
6
C.
6
D.
3
2
Đáp án A
PT
3
1
1
cos x − s inx = sin − x = sin
2
2
2
6
3
3 − x = 6 + k2
x = 6 + k2
(k
− x = 5 + k2
x = − + k2
3
6
2
)
11
1
0 6 + k2 2
− 12 k 12 k = 0 x = 6
5
x 0; 2
x1 + x 2 =
3
k = 1
0 − + k2 2
x = 3
1 k 5
4
4
2
2
Câu 47: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để
phương trình cos2 x +
A. 2
m + cos x = m có nghiệm thực?
B. 5
C. 3
D. 4
Đáp án C
Phương pháp giải:
Đưa về phương trình lượng giác cơ bản, biện luận tìm tham số m
Lời giải:
Ta có
( cos x + m ) + cos x + m = 0
cos x + m ) + cos x + cos x + m = 0
2
cos 2 x + m + cos x = m cos 2 x + cos x −
(
)(
cos x + cos x + m cos x −
cos x + m = cos x + 1
cos x − cos x + m + 1 cos x + cos x + m = 0
(* )
cos x + m = − cos x
(
)(
)
t + m = t + 1(1)
Đặt t = cos x −1;1 , khi đó (*)
t + m = − t ( 2 )
3
Giải (1) ta có m = t 2 + t + 1 có nghiệm t −1;1 m 3
4
1
Giải (2) ta có m = t 2 − t có nghiệm t −1;1 − m 2
4
+
Kết hợp với m , ta được m = {1; 2; 3} là các giá trị cần tìm
Câu 48: (Chuyên Thái Bình - Lần 6) Tìm số tất cả các giá trị nguyên của tham số thực
m để phương trình 2sin 3 2x + m sin 2x + 2m + 4 = 4cos 2 2x có nghiệm thuộc 0;
6
A. 4
B. 3
C. 1
D. 6
Đáp án C
2sin 3 2x + m sin 2x + 2m + 4 = 4cos 2 2x 2sin 3 2x + m sin 2x + 2m + 4 = 4 (1 − sin 2 2x )
2sin 3 2x + 4sin 2 2x + m sin 2x + 2m = 0
3
Đặt t = sin 2x t 0; t 0;
, ta được
2
6
3
2
2
2t + 4t + mt + 2m = 0 ( t + 2 ) ( 2t + m ) = 0
3
Vì t 0;
t + 2 0, vậy
2
( t + 2 ) ( 2t 2 + m ) = 0 2t 2 + m = 0 t 2 =
−m
2
3
3
2
Với t 0;
0 t , vậy để phương trình có nghiệm thì
4
2
−m 3
3
0
− m0
2
4
2
m = −1( m ) Có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 49: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Số nghiệm thuộc khoảng
5
trình cos2 x + cos x + 1 = 0 là
2
A. 2.
B. 4.
Đáp án C.
C. 3.
( 0;3)
của phương
D. 1.
1
2
x=
+ k2 ( k ) .
2
3
2
7
1
0 3 + k2 3
− 3 k 6 k 0;1
x ( 0;3 )
.
0 − 2 + k2 3
1 k 11 k = 1
3
3
6
Câu 50: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ) Nghiệm của phương trình 2sin x + 1 = 0
được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là
những điểm nào?
A. Điểm E, điểm D
B. Điểm C, điểm F
C. Điểm D, điểm C
D. Điểm E, điểm F
Đáp án D
PT ( 2 cos + 1)( cos x + 2 ) = 0 cos x = −
x = − + k2
1
6
Ta có 2sin x + 1 = 0 sin x =
(k )
2
x = 7 + k2
6
Vậy chỉ có hai điểm E và F thỏa mãn.
Câu 51: (Chuyên Lam Sơn –Thanh Hóa –Lần 3)
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình 3cos x −1 = 0 trên đoạn 0;4 là
15
2
C. 3
Đáp án D
A.
B. 6
C.
17
2
D. 8
D. 7
1
Phương trình 3cos x − 1 = 0 x = , x = 2 − , x = 2 + , x = 4 − với cos = và
3
0;
2
Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn 0;4 là 8
Câu 52 (Chuyên Lương Thế Vinh- Đồng Nai) : Khẳng định nào sau đây là đúng về
phương trình
80
x
sin 2
+ cos 2 + 2
= 0?
x + 32 x + 332
x +6
A. Số nghiệm của phương trình là 8.
B. Tổng các nghiệm của phương trình là
48.
C. Phương trình có vô số nghiệm thuộc
. D. Tổng các nghiệm của phương trình là 8.
Do đó, lim Sn = 1.
Đáp án B
Phương trình đã cho tương đương với
80
x
sin 2
= sin 2
x +6
x + 32 x + 332
(5)
Ta biết rằng hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng − ; . Ta chỉ ra rằng các
2 2
hàm số f ( x) =
Thật vậy
x
x +6
2
x
x +6
2
Mặt khác 0
và g ( x) =
x
2 6 x2
80
=
60
1
2 6
=
80
x + 32 x + 332 ( x + 16) + 76
Từ những đánh giá trên, (5) xảy ra khi và chỉ khi
x
=
2
60
nhận giá trị trong khoảng này.
x + 32 x + 332
2
2
80
76 2
x3 − 48x2 + 332 x − 480 = 0 x = 2 x = 6 x = 40.
x + 6 x + 32 + 332
Tổng các nghiệm của phương trình đã cho là 2 + 6 + 40 = 48.
Câu 53: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
m để phương trình sin 6 x + cos 6 x + 3sin x cos x − + 2 = 0 có nghiệm thực?
4
A. 13
B. 15
C. 7
D. 9
Đáp án A
2
2
Câu 54: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m sin x + 1
m để giá trị lớn nhất của hàm số y =
nhỏ hơn 2?
cos x + 2
A. 5
B. 3
C. 4
D. 6
Đáp án A
Giả
sử
giá
trị
lớn
nhất
của
m sin x + 1
= M m sin x + 1 = M cos x + 2M
cos x + 2
hàm
số
là
M.
Khi
đó
msin x − Mcos x = 2M −1
có nghiệm m2 + M 2 ( 2M − 1) 3M 2 − 4M + 1 − m2 0
2
(
)
xét f ( M ) = 3M 2 − 4M + 1 − m2 , Có ' = 4 − 3 1− m2 = 3m2 + 1 0; m
Suy ra f ( M ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt M 1,M 2 f ( M ) 0 M 1 M M 2
2 − 3m2 + 1
2 + 3m2 + 1
2 + 3m2 + 1
Ta có M 1 =
suy ra M max =
M2 =
3
3
3
Yêu cầu bài toán ymax =
2 + 3m2 + 1
2 3m2 + 1 4 − 5 m 5
3
