Lớp 11 nhị thức newton 20 câu từ đề thi thử giáo viên mẫn ngọc quang năm 2018 converted image marked

NHI ̣THỨC NEWTON
Câu 1: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa
1
2

1
3

1
4

1
5

mãn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... +
A. 11

(−1) n n
1
.
Cn =
n+2
156

B. 9

C. 10

D. 12

Đáp án A.

Với mọi x  N và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có
Cn0 x − Cn1 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n +1 = (Cn0 − Cn1 x + ... + (−1) n Cnn ) x = (1 − x) n x

Suy ra

1

1

0

0

0
1 2
n
n n +1
n
 ( Cn x − Cn x + ... + (−1) Cn x )dx =  (1 − x) xdx Hay

1

1

0

0

1
1

1
−
=
, với mọi n  N*
n + 1 n + 2 (n + 1)(n + 2)

=  (1 − x) n dx −  (1 − x) n +1 dx =

Từ đó ta có

1 0 1 1
(−1)n n
Cn x − Cn + ... +
Cn
2
3
n+2

1
1
=
 n2 + 3n − 154 = 0  n = 11 ( vì n N*)
(n + 1)(n + 2) 156

Câu 2. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm các số ha ̣ng (nhỏ hơn 100) là số nguyên trong
khai triể n nhi ̣thức

(

A. 4536

Đáp án C.

)

n

3 + 3 2 , biế t ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27 , với n là số tự nhiên
3

B. 2196

C. 8

D. 10

Giải phương triǹ h ( Pn )3 .Cnn .C2nn .C3nn = P27  n = 9
9−k

k

Số ha ̣ng tổ ng quát C9k .3 2 .2 3
Số ha ̣ng là số nguyên khi

k
9−k
và là số nguyên  k = 3 và k = 9
3
2

Vâ ̣y có 2 số ha ̣ng là: C93 .33.21 = 4536 và C99 .23 = 8

Câu 3(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức

(

P = x 1 − 2x

)

n

(

+ x 2 1 + 3x

A. 3240
Điề u kiê ̣n n  2, n 

)

2n

. Biế t rằ ng An2 − C nn+−11 = 5

B. 3320

Ta có: An2 − C nn+−11 = 5  n (n − 1) −

C. 3210

( n + 1) n

2

D. 3340

(

n = −2 loai
= 5  n 2 − 3n − 10 = 0  
n = 5

Với n = 5 ta có: P = x (1 − 2x ) + x 2 (1 + 3x ) = x C 5k ( −2x ) + x 2 C 10l ( 3x )
5

10

5

k =0

k

10

l =0

l

)

⇒ Số hạng chứa x 5 là x .C 51. ( −2x ) + x 2 .C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27.120 ) x 5 = 3320x 5
4

3

Vậy hệ số của x 5 trong biểu thức P đã cho là 3320. Cho ̣n B.
Câu 4. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho phương trình: 2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12 . Biết
phương trình trên có 2 nghiệm là a, b. Giá trị của S = ab(a + b) là
A. 30
B. 84
C. 20
D. 162
Điều kiện: n  2
2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12  2.n !+ 6n (n − 1) − n (n − 1).n ! = 12
n = 3

 (n !− 6)(n − n − 2) = 0  n = 2
n = −1(loai )

2

Vậy a = 3, b = 2 (hoặc a = 2, b = 3). Chọn A.
Câu

5(GV

MẪN

NGỌC

QUANG

2018)Cho

n

=

6

tính

giá

trị

của:

(C ) + (C ) + (C ) + ... + (C )
0 2
n

1 2
n

2 2
n

n 2
n

A. 924
B. 876
Chọn A.
 Cách 1: Sử dụng máy tính.
 Cách 2.

C. 614

(

D. 512

)(

x n .x n = C n0 + C n1x + C n2x 2 + .. + C nn x n C n0x n + C n1x n −1 + C n2x n −2 + .. + C nn

)

Hế số của của x^n trong khai triển là C 2nn
Hoặc (C n0 )2 + (C n1 )2 + (C n2 )2 + ... + (C nn )2
Do đó: (C n0 )2 + (C n1 )2 + (C n2 )2 + ... + (C nn )2 =C 2nn
Thay n = 6 vào
Câu 6. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Ta có: C 14k , C 14k +1, C 14k +2 lập thành cấp số công. Biết k có 2
giá trị là a và b. Giá trị của ab là:
A. 30
B. 32
Chọn B. 0  k  12
Ta có: C 14k + C 14k +2 = 2.C 14k +1 


C. 50

D. 56

14 !
14 !
2.14 !
+
=
k !(14 − k ) ! (k + 2) !(12 − k ) ! (k + 1) !(13 − k ) !

k = 4
1
1
2
+
=

(14 − k )(13 − k ) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k )
k = 8

Câu 7(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tim
hê ̣ số
̀
 2
1
 x + x +  1 + 2x
4


(

(

18

trong khai triể n

)

B. 4031040

)

x8

18

A. 125970
 2
1
 x + x +  1 + 2x
4


của

=

(

1
1 + 2x
4

)

20

=

C. 8062080
20

( )

1
k
C 20
2x

4 k =o

k

=

20

1
k k k
C 20
2x

4 k =o

D. 503880


x8 

1 8 8
C 20 .2 = 64C 208 = 8062080 . Cho ̣n C.
4

Câu

8(GV

MẪN

NGỌC

QUANG

P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x ) + 3(1 + x ) + ... + 20(1 + x )
2

3

2018)Cho

đa

thức:

20

Được viết dưới dạng P (x ) = a 0 + a1x + a 2x 2 + ... + a 20x 20 . Tìm hệ số của a15?
A. 400995
Chọn A.

B. 500995

C. 600995

D. 700995

P (x ) = (1 + x ) + 2(1 + x )2 + 3(1 + x ) 3 + ... + 20(1 + x )20
15
15
15
15
a15 = 15.C 15
+ 16.C 16
+ 17.C 17
+ ... + 20.C 20
= 400995

Câu 9: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tìm số nguyên dương n thỏa
1
2

1
3

1
4

1
5

mãn Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + ... +
A. 11

(−1) n n
1
Cn =
.
n+2
156

B. 9

Đáp án A.
Với mọi x 

C. 10

D. 12

và mọi số nguyên dương n, theo nhị thức Niu tơn ta có

Cn0 x − Cn1 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n +1 = (Cn0 − Cn1 x + ... + (−1) n Cnn ) x = (1 − x) n x
1

Suy ra

 (C

1

0
n

0

x − Cn1 x 2 + ... + (−1) n Cnn x n +1 )dx =  (1 − x ) n xdx Hay
0

1

1

0

0

=  (1 − x) n dx −  (1 − x) n +1 dx =

Từ đó ta có

1 0 1 1
(−1)n n
Cn x − Cn + ... +
Cn
2
3
n+2

1
1
1
−
=
, với mọi n 
n + 1 n + 2 (n + 1)(n + 2)

1
1
=
 n2 + 3n − 154 = 0  n = 11 ( vì n
(n + 1)(n + 2) 156

*

*)

Câu 10. (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Tim

̀ các số ha ̣ng (nhỏ hơn 100) là số nguyên trong
khai triể n nhi ̣thức

(

)

n

3 + 3 2 , biế t ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27 , với n là số tự nhiên

A. 4536
Đáp án C.

3

B. 2196

Giải phương triǹ h ( Pn ) .Cnn .C2nn .C3nn = P27  n = 9
3

9−k

k

Số ha ̣ng tổ ng quát C9k .3 2 .2 3

C. 8

D. 10

Số ha ̣ng là số nguyên khi

k
9−k
và là số nguyên  k = 3 và k = 9
3
2

Vâ ̣y có 2 số ha ̣ng là: C93 .33.21 = 4536 và C99 .23 = 8
Câu 11(GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm hệ số của x 5 trong khai triển biểu thức
P = x (1 − 2 x ) + x2 (1 + 3x ) . Biế t rằ ng An2 − Cnn+−11 = 5
n

A. 3240
Điề u kiê ̣n n  2, n 

2n

B. 3320

C. 3210

Ta có: An2 − C nn+−11 = 5  n (n − 1) −

( n + 1) n
2

D. 3340

(

n = −2 loai
= 5  n 2 − 3n − 10 = 0  
n = 5

)

Với n = 5 ta có: P = x (1 − 2x ) + x 2 (1 + 3x ) = x C 5k ( −2x ) + x 2 C 10l ( 3x )
5

5

10

k

k =0

10

l

l =0

⇒số hạng chứa x 5 là x .C 51. ( −2x ) + x 2 .C 107 ( 3x ) = (16.5 + 27.120 ) x 5 = 3320x 5
4

3

Vậy hệ số của x 5 trong biểu thức P đã cho là 3320. Cho ̣n B.

k
k +1
k +2
, C14
, C14
Câu 1(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Ta có: C14
lập thành cấp số công. Biết k có

2 giá trị là a và b . Giá trị của ab là:
A. 32

B.30

C.50

D.56

Đáp án A
0  k  12
k
k +2
k +1
C14
+ C14
= 2.C14
14!
14!

2.14!

+
=
k!(14 − k)! (k + 2)!(12 − k)! (k + 1)!(13 − k)!
Ta có:
1
1
2

+
=
(14 − k)(13 − k) (k + 2)(k + 1) (k + 1)(13 − k)
k = 4

k = 8

Câu 2(GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Tìm hê ̣ số của x8 trong khai triể n
 2
18
1
 x + x +  (1 + 2x )
4


A.125970

B. 8062080

C.4031040

D.503880


Đáp án B
 2
18 1
20
k
1
1 20 k
1 20 k k k
 x + x +  (1 + 2x ) = (1 + 2x ) =  C20 ( 2x ) =  C20 2 x
4
4
4 k =o
4 k =o


Câu 3(GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển biểu
n


1
thức  x3 −  , biết n là số tự nhiên thỏa mãn Cn4 = 13Cnn − 2 .
x2 


A. −6435

B. 5005

D. −6435

C.-5005

1
4

x8  C820 .28 = 64C820 = 8062080

Câu 4: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018)Cho n là số nguyên dương thoả mañ
3Cn2 + 2An2 = 3n2 + 15 . Tim
̀ hê ̣ số số ha ̣ng chứa x

10

trong khai triể n nhi ̣trức Niu- tơn của

n

 3 3
 2x − 2  , x  0.
x 

4
C. C10
.26.34

8

B. C10
.28.36

4
A. C10
.24.36

8
D. C10
.26.38

Đáp án C
Điề u kiện n  2
Ta có 3C2n + 2A 2n = 3n2 + 15 

3n ( n − 1)
2

+ 2n ( n − 1) = 3n2 + 15

 n2 − 7n − 30 = 0  n = 10



Khi đó  2x3 −


n

10

3  3 3
 =  2x − 2 
x2  
x 

=

10

k 10− k
2
.( −3)
 C10

k

.x30−5k

k =0

Số ha ̣ng chứa x10 ứng với 30 − 5k = 10  k = 4
4
.26.34 .
Vâ ̣y hê ̣ số số ha ̣ng chứa x10 là C10

 a
+
Câu 5 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Trong khai triển:  3


b


21

b 
 , tìm hệ số của số
3 
a

hạng chưa a,b với lũy thừa a, b giống nhau?
A. 293930

B. 352716

C. 203490

D. 116280


Ta có:



k
C21
. 3






a 

b 

21− k


.



k

21− k k k 21− k
−
−
3
6 .b 2
6

b 
k
 = C21.a
3 
a

21 − k k k 21 − k

9
− = −
 k = 9. Hệ số cần tìm là C21
. Cho ̣n đáp án A
3
6 2
6

Câu 6: (GV MẪN NGỌC QUANG 2018) Cho phương trình: 2Pn + 6An2 − Pn An2 = 12. Biết phương
trình trên có 2 nghiệm là a, b
Giá trị của S = ab(a+b) là
A. 20

B. 84

C. 30

D. 162

Đáp án C
n 2
2Pn + 6A 2n − Pn A 2n = 12  2.n!+ 6n(n − 1) − n(n − 1).n! = 12
n = 3
 (n!− 6)(n2 − n − 2) = 0   n = 2

 n = −1(loai)

Vậy a = 3, b=2 (hoặc a=2, b=3).
Chọn C
Cy − Cy +1 = 0

x
x
. Giá
y
y −1
 4Cx − 5Cx = 0

Câu 7 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Biết x,y là nghiệm của hệ sau 
trị của x + y là
A. 26

B. 25

C. 27

Đáp án B
Đkxd: y  x  1
Cy − Cy +1 = 0
y = x − (y + 1)
 y
 x y x y −1
y −1
4Cx − 5Cx = 0 4Cx = 5Cx
x = 2y + 1
x = 2y + 1

(2y + 1)!
 y
y −1   (2y + 1)!
4

= 5.
4C2y +1 = 5C2y +1
 y!(y + 1)!
(y − 1)!(y + 2)!
x = 2y + 1


5   x = 17
 4
=
y = 8
 y y + 2

D. 28


Câu 8 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018): Tính tổng S =

A.

n

B.

( n + 1)( n + 2)

−2n
( n + 1)( n + 2)

C.

−C1n
2.3

+

2C2n
3.4

−n
( n + 1)( n + 2)

−

−1) nCnn
(
+ ... +
4.5
( n + 1)( n + 2)
n

3C3n

D.

2n
( n + 1)( n + 2)

Đáp án C
Tính tổng S =

−C1n
2.3

+

2C2n
3.4

−

( −1) nCnn
+ ... +
4.5
( n + 1)( n + 2)
n

3C3n

n + 1)!
Cnk++11
(
n!
1
Ta có
(3)
=
=
.
=

k + 1 k! ( k + 1)( n − k )! n + 1 ( k + 1)! ( n + 1) − ( k + 1) ! n + 1


Cnk

( −1) kCnk = ( −1) kCnk++22
( k + 1)( k + 2) ( n + 1)( n + 2)
k

Áp dụng 2 lần công thức (3) ta được:

k

Cho k chạy từ 1 đến n rồi cộng vế các đẳng thức trên ta có

( n + 1)( n + 2) S = −C3n+2 + 2Cn4+2 − 3C5n+2 + ... + ( −1)

(

) (

) (

n

nCnn++22

)

= − C2n+1 + C3n+1 + 2 C3n+1 + Cn4+1 − 3 Cn4+1 + C5n+1 + ... + ( −1) nCnn++11

= −C2n+1 + C3n+1 − C4n+1 + ... + ( −1) Cnn++11

n

n

n+1
= C0n+1 − C1n+1 −  Cn0+1 − C1n+1 + C2n+1 − C3n+1 + Cn4+1 − C5n+1 + ... + ( −1) Cnn++11 


n−1
= 1 − ( n + 1) − (1 − 1) = −n

Vậy S =

−n
.
( n + 1)( n + 2)

 n

Câu 9 (GV MẪN NGỌC QUANG 2018). Tìm hệ số chứa x trong khai triển 1 + x + 3x 2 
6


n+1
n
biết: Cn+ 4 − Cn+ 3 = 7(n + 3) .
4

A.8080

B. 8085-8085

C. -8085

D.-8080

n− 2


n  0

ĐK 

n  Z

 (1) 

(n + 4)! (n + 3)!
−
= 7(n + 3)  (n+ 4)(n+ 2) − (n+ 1)(n+ 2) = 42  n = 12
(n + 1)! 3!
n! 3!

1
2
(1 + 2x)9 .3x 2 + C10
(1 + 2x)8 .9x 4 + ...
+ Với n = 12  (1 + 2x ) + 3x 2  = C100 (1 + 2x)10 + C10

10

Ta có:

0
0
0
1
2
3
4
C10
(1 + 2x)10 = C10
[C10
+ C10
2x + C10
4x 2 + C10
8x 3 + C10
16x 4 + ...]
1
1
3x 2 C10
(1 + 2x)9 = 3x 2 C10
[C90 + C19 2x + C92 4x 2 + ...]

2
2
9x 4 C10
(1 + 2x)8 = 9x 4 C10
[C80 + ...]

1
2
Vậy hệ số của số hạng chứa x 4 là: C100 C104 16 + 3C10
C92 4 + 9C10
C80 = 8085 . Chọn B.