Lớp 12 nguyên hàm tích phân 29 câu câu nguyên hàm tích phân từ đề thi thử giáo viên nguyễn thị lanh năm 2018 converted image marked

Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là một nguyên


hàm của f ( x ) = cos  − x 
2



A. F ( x ) = sin  − x  + C
2




B. F ( x ) = sin  + x 
2




C. F ( x ) = − sin  − x 
2


D. F ( x ) = cos x

Đáp án C








Ta có  − sin  − x   = cos  x − 
2
2



Chú ý
* Theo định nghĩa, nguyên hàm của hàm số f ( x ) là các hàm số F ( x ) thõa mãn điều
kiện F ( x ) = f ( x ) , x  K
* Để tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x ) , các em chỉ cần tìm một nguyên hàm
F ( x ) của nó.

Câu 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích hình phẳng
(phần gạch trong hình) là:

−3

4

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx

A.

C.

0

0

0

0

B.

4

−3

1

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx
4

 f ( x ) dx +  f ( x ) dx

−3

1

D.

 f ( x ) dx

−3

4

Đáp án C
- Vì đồ thị của hàm số f ( x ) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 0 nên:
- Diện tích phần gạch trên hình là: S =
Câu 3

4

0

0

−3

−3

4

 f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay

quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3 x y = 0, x = 1, x = 8.
A.


3

B.

93
5

C.

9
4

D. 8


Đáp án B
y = 3 x

- Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi  y = 0
. Khi quay D quanh Ox tạo thành khối
 x = 1; x = 8

8

tròn xoay có thể tích là: VOX = 

( x)
3

2

8

2

3

dx =  x dx =

1

1

93
.
5

Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?
A.

3

1

1

3

3
3
 ( 2x − x ) dx =  ( x − 2x ) dx

B.  e x dx =




C. cos   (  − x ) sin xdx  = −1
0


D.

e x +1
+C
x +1

1

 x dx = ln x + C

Đáp án B
A. Đúng
B. Sai vì  e x dx = e x + C




−
x
sin
xdx
=


cos

  (  − x ) sin xdx  = −1
0 ( )
0



C. Đúng vì
D. Đúng.

Lỗi sai:

x n +1
+ c ( n  −1) và  e x dx = e x + c
Các em nhớ nhầm công thức  x dx =
n +1
n

Câu 5:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số f

5

5

4

4

1

2

1

2

(x) liên tục trên

thỏa mãn

 f ( x ) dx = 5,  f ( u) du = 9,  f ( t ) dt = 4 . Tính I =  f ( x ) dx .
A. I = 0.

C. I = 8.

B. I = 18.

D. I = 10.

Đáp án C
4

5

1

4

5

5

4

5

1

2

1

1

Em có I =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx
2

2

5

5

4

2

1

1

=  f ( u) du −  f ( x ) dx +  f ( t ) dt = 9 − 5 + 4 = 8.

Câu 6 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Họ các nguyên hàm F (x) của hàm số f ( x ) = x lnx
trên khoảng ( 0;+ ) là


A.

1 2
1
x lnx + x 2 + C
2
4

B.

1 2
1
x lnx + x 2 + C
2
2

C.

1 2
1
x lnx − x 2 + C
2

4

D.

1 2
1
x lnx − x 2 + C
2
2

Đáp án C
1

du = dx

u = lnx
1
1
1
1

x
Đặt 

 I = x 2 lnx −  xdx = x 2 lnx − x 2 + C.
2
2
2
4
dv = xdx v = 1 x 2


2

Câu 7 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số y =

ex
x

2

e2x
dx
x
1

trên ( 0;+ ) . Tính I = 
A. F ( 4) − F ( 2)

B. 2  F ( 2) − F (1) 

C.

F ( 4) − F ( 2)
2

D. 2  F ( 4) − F ( 2) 

Đáp án A
Đặt t = 2x  dt = 2dx . Đổi cận
x

1
2
t
4

2
4

4
4

4
et dt
et
ex
I=
=  dt =  dx = F ( x ) 2 = F ( 4) − F ( 2) .
t 2 2 t
x
2
2
2

Câu 8 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.  tanxdx = − ln cosx + C.

B.  cotxdx = − ln cosx + C.

x
x

C.  sin dx = 2cos + C.
2
2

x
x
D.  cos dx = −2sin + C.
2
2

Đáp án A
•

 tanxdx = 

•

 cot xdx = 

•

d ( cosx )
sinx
dx = − 
= − ln cosx + C.
cosx
cosx

d ( sinx )
cosx

dx = 
= ln sinx + C.
sinx
sinx
x
x x
x
 sin 2 dx = 2 sin 2 d  2  = −2cos 2 + C.


Câu 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a,x = b như trong hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây là sai?
b

A. S =  f ( x ) dx
a

b

C. S =  f ( x ) dx
a

b

B. S =  ( −f ( x ) ) dx
a

b

D. S =  f ( x ) dx
a

Đáp án A
b

b

a

a

Từ hình trên S =  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx → Đáp án B, C , D đúng.
2

x
dx và t = 1 + x −1. Khẳng định
x −1
1 1+

Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Đặt I = 
nào trong các khẳng định sau là sai?
A. xdx = ( t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) dt.

B. I =

4

C. I =   2t 2 − 6t + 8 −  dt.
t

1

2

D. I =  t 3 − 3t 2 + 8t − 4 ln t 
3
1

2

11
+ 4 ln 2.
3
2

Đáp án B
t = 1 + x − 1  x = ( t − 1) + 1  x 2 = ( t 2 − 2t + 2 )
2

2

 xdx = ( t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 ) dt  A đúng

Đổi cận x = 1  t = 1 và x = 2  t = 2

2
2
t 2 − 2t + 2 ) ( 2t − 2 )
(
x

4

I=
dx = 
dt =   2t 2 − 6t + 8 − dt
t
t
x −1
1 1+
1
1
2

2
=  t 3 − 3t 2 + 8t − 4 ln
3

2

11

t  = − 4 ln 2.
1 3

 C,D đúng; B sai
11
− 4 ln 2.
3
Câu 11: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f ( x ) = ln16x. Chọn khẳng định đúng.

Nếu B đúng phải sửa thành I =

A.  f ( x ) dx =

x
( ln16x − 1) + C.
16

B.  f ( x ) dx =

x
( ln16x − 1) + C.
4


C.  f ( x ) dx = x ( ln16x − 1) + C.

D.  f ( x ) dx = 4x ( ln16x − 1) + C.

Đáp án C
Bằng định nghĩa, ta tính được:

16
= ln16x.
(  f ( x ) dx ) = x ( ln16x −1) + C = ln16x −1 + x 16x
Câu 12:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay

quanh trục hoành Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = ln x, y = 0, x = 1, x = e.

B. e + 2.

A. e − 2.

C.  ( e + 2) .

D. (e − 2).

Đáp án D

1

u = ln 2 x du = 2ln x. dx

Ta có: V =  ( ln x ) dx; đặt 
x
dv = dx
1
 v = x
e

2

1

e
e





e
u = ln x du = dx
2

 V =   x.ln x − 2 ln x.dx  =  e − 2 ln x.dx  ; đặt 
x
1
dv = dx  v = x
1
1





e



e
e
 V =  e − 2  x.ln x 1 −  dx   =  e − 2  2 − x 1   =   e − 2.




1

 

1
Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho F ( x ) = − 3 là một nguyên hàm của hàm số
3x

f (x)
. Tìm nguyên hàm của hàm số f  ( x ) ln x.
x
A.  f  ( x ) ln xdx =

ln x
1
+ 5 + C.
3
x
5x

B.  f  ( x ) ln xdx =

C.  f  ( x ) ln xdx =

ln x
1
+ 3 + C.
3
x
3x

D.  f  ( x ) ln xdx = −

Đáp án C

f (x)
1
là một nguyên hàm của
nên
3
3x
x
f (x)
1
 1  1
= F ( x ) = −  3  = 4  f ( x ) = 3
x
x
 3x  x
F(x) = −

Ta tính  f  ( x ) ln xdx

v = f ( x )
u = ln x


Đặt 
1
dv = f  ( x ) dx = d ( f ( x ) ) du = dx

x
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có

ln x
1
− 5 + C.
3
x
5x
ln x
1
+ 3 + C.
3
x
3x


f (x)
ln x
1
dx = 3 + 3 + C
x
x
3x
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

 f  ( x ) ln xdx =  ln xd ( f ( x ) ) = ln x.f ( x ) − 
Câu 14:

y = x 2 − 6x + 9 và 2 đường thẳng x = 0; y = 0. Đường thẳng
trục tung tại điểm A (0;4). Giá trị của k để

(d) chia

(k

(d) có hệ số k

) và cắt

(H) thành 2 phần có diện tích bằng

nhau là:
A. −

16
.
9

B.

1
.
9

C. −

1
.
12

D. −

1
.
18

Đáp án A
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 2 − 6x + 9 và trục hoành là:

x 2 − 6x + 9 = 0  x = 0.
(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số

Diện tích hình phẳng

y = x 2 − 6x + 9

và

2

đường

thẳng

x = 0; y = 0

là:

3

 x3


S =  x − 6x + 9 dx =  ( x − 6x + 9 ) dx =  − 3x 2 + 9x  = 9.
 3
0
0
0
3

3

2

2

Phương trình đường thẳng

(d) có hệ số góc k và cắt trục tung tại

điểm A (0;4) là: y = kx +4
Gọi B là giao điểm của

 4 
(d) và trục hoành  B  − ;0  .
 k 

Để (d) chia (H) thành 2 phần có diện tích bằng nhau thì:

B  OI


1

9
SAOB = 2 S = 2
2

0  − k  3

 1 .OA.OB = 1 .4.  − 4  = − 8 = 9
 2
2  k
k 2
k=−

Câu 15:

16
.
9

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f

f  ( x ) = 3 − 5sin x,f ( 0 ) = 10. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. f ( x ) = 3 + 5cos x + 5.
C. f ( x ) = 3 − 5cos x + 2.

B. f ( x ) = 3 + 5cos x + 2.
D. f ( x ) = 3 − 5cos x + 15.

(x) thỏa mãn

Đáp án A
Ta có: f ( x ) =  f  ( x ) dx =  ( 3 − 5sin x ) dx = 3x + 5cos x + C.
f ( 0) = 10  5 + C = 10  C = 5.

Câu 16 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = cos3x .
B.  cos 3xdx =

A.  cos 3xdx = 3sin 3x + C.
C.  cos 3xdx = −

sin 3 x
+ C.
3

sin 3 x
+ C.
3

D.  cos 3xdx = sin 3x + C.

Đáp án B
1

1

 cos 3xdx =  3 cos 3xd (3x ) = 3 sin 3x + C
e tan 2x +3
dx và u = tan 2x + 3 . Chọn
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho I = 

1 − sin 2 2x

Câu 17

mệnh đề đúng.
A. du =

1
dx. B. I =  e u du.
1 − sin 2 2x

C. I =

e tan 2x +3
+ C.
2

D. I = 2  e u du.

Đáp án C
Đặt u = tan 2x + 3  du =

2
2
dx =
dx.
2
cos 2x
1 − sin 2 2x

e tan 2x +3
1 2e tan 2x +3
1 e tan 2x +3d ( tan 2x + 3) =
dx
=
dx
=
Khi đó: I = 
1 − sin 2 2x
2  1 − sin 2 2x
2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên ( 0; + ) thỏa

Câu 18:
x

mãn


1

 x2

f ( t ) dt =  + 7  log 2 x . Tìm f ( 2 ) .
 4


A.

69
+ 48
ln 2

B.

138
+ 54
ln 2

C.

138
69
+ 144 D.
+ 48
ln 2
ln 2

Đáp án C
Ta có f ( x ) = F ( x )
3

Em có

e tan 2x +3
+ C.
2

x

 f ( x ) dx = F ( x )
1

3

1

x

=F

 x2

x − F (1) =  + 7  log2 x
 4


( )
3

Đạo hàm 2 vế:

1
33 x

F'

( )
3

x =

 x
1  x2
 + 7  + log2 x
x ln2  4
 2


 33 x 2
33 x 2  x 2
+
7
log2 x

+
x ln2  4
2

3.2
69
.23 + 144 =
+ 144
Cho x = 8 ta được f ( 2) =
2ln2
ln2
Chú ý áp dụng công thức:
* Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 và hàm số y = f ( u) có đạo hàm tại điểm
F'

( )
3

x =

u0 = u( x0 ) thì hàm số hợp g ( x ) = f  u ( x )  có đạo hàm tại điểm x0 và
g' ( x0 ) = f ' ( u0 ) .u' ( x0 )

* Nếu giả thiết trong phần * trên được thỏa mãn đối với mọi điểm x thuộc J thì hàm số
hợp y = g ( x ) có đạo hàm trên J và
g' ( x ) = f '  u ( x ) .u' ( x ) 

Câu 19:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới

hạn bởi các đường y =

1
, y = 0, x = 0, x = 2 quay một vòng quanh trục Ox là
x−3

(theo đơn

vị thể tích)
A. 2

(đvtt)

B.

2

3

(đvtt)

C.

4

3

(đvtt)

D.

1

3

(đvtt)

Đáp án B.
2

2

 1 


 2
Thể tích khối tròn xoay là: Vox =   
= − =
 dx = −
x − 3
x−3 0
3 3
0
2



Câu 20: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Nguyên hàm của f ( x ) = cos 3x −  là :
7

A.

1 

sin  3x −  + C
3 
7



B. 3sin  3x −  + C
7


1 

C. − sin  3x −  + C
3 
7



D. −3sin  3x −  + C
7


Đáp án A.
Ta có





1



 

 1





 cos 3x − 7  dx = 3  cos 3x − 7  d  3x − 7  = 3 sin  3x − 7  + C
1

Câu 21 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho

x
0

định đúng trong các khẳng định sau:

2

3x3 + 4dx và u = 3x3 + 4 . Chọn khẳng


2
9

A.

7

7

2
 u du

B.

2

1
u2du

32

C.

1
9

1

7

2
 u du

D.

2

2 2
u du
9 0

Đáp án A.
Đặt u = 3x3 + 4  u2 = 3x3 + 4  2udu = 9x2dx; Với x = 0 thì u = 2 ; Với x = 1 thì y = 7
1

Nên

2
3
 x 3x + 4dx =
0

Câu

22

7

2
9

 u du
2

2

(GV

Nguyễn

Thi

Lanh

2018)Tìm

số

thực

để

m

hàm

số

F ( x ) = mx3 + ( 3m + 2) x2 − 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) = 3x2 + 10x − 4 ?

A. m= −1 .

D. m = 2 .

C. m= 1.

B. m= 0 .

Đáp án C.
Cách 1: Ta có

 f ( x) dx =  (3x

2

)

+ 10x − 4 dx = x3 + 5x2 − 4x + C

m = 1
m = 1

.
Yêu cầu bài toán:  3m + 2 = 5  
C = 3
3 = C


Vậy m = 1 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

(

)


Cách 2: Ta có F ( x ) = mx2 + ( 3m + 2) x2 − 4x + 3 = 3mx2 + 2 ( 3m + 2) x − 4.
Vì F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) nên ta có F  ( x ) = f ( x ) , x .
Do đó 3mx2 + 2 ( 3m + 2) x − 4 = 3x2 + 10x − 4 .

m = 1
 m = 1.
Đồng nhất hệ số hai vế ta có 
2 ( 3m + 2) = 10
Câu 23 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = x 2 , và đường thẳng y = 2x là
A.

4
3

B.

3
2

C.

5
3

D.

23
15

Đáp án A
b

Áp dụng công thức

 f ( x ) − g ( x ) dx,

cận a,b ta phải tìm bằng cách giải phương trình

a

hoành độ giao điểm

x = 0
x = 2x  
Ta có:
x = 2
2

2


0

2

 2 x3 
8 4
x − 2x dx =  ( 2x − x ) dx =  x −  = 4 − =
3 0
3 3

0
2

2

2

ln ( x + 1)
dx = a ln 2 + b ln 3. Giá trị của a
x2
1
2

Câu 24:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho I = 

+b là
A.

9
.
2

B.

−9
.
2

3
C. − .
2

D.

3
.
2

Đáp án D
1

u = ln ( x + 1)
du =
dx
2
2

−1
1
3


x
+
1
Đặt 


1
=
ln
x
+

1
+
dx = 3ln 2 − ln 3.
(
)

1

x
x ( x + 1)
2
1
1
dv = 2 dx
 v = −1

x

x

3
Vậy a + b = .
2

Câu 25 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
y = tan2 x − cot 2 x ?

A. y =

1

1
−
. B. y = tanx − cot x.
sinx cosx

C. y =

1
1
+
. D. y = tanx + cot x.
sinx cosx

Đáp án D
Ta có

 1− cos2 x 1− sin2 x 
 1
1 
2
2
tan
x
−
cot
x
dx
=

  cos2 x − sin2 x dx =   cos2 x − sin2 x  dx = tanx + cot x + C

Câu 26
(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
. Biết

(

)

 x.f ( x ) dx = 2 , hãy tính I =  f ( x ) dx .
4

2

2

0

0

A. I = 2.

1
C. I = .
2

B. I = 1.

D. I = 4.

Đáp án D

Đặt
4
4
x = 0 → t = 0 2
1
2
t = x  dt = 2xdx, 
  x.f x dx =  f ( t ) dt   f ( x ) dx = 4  I = 4. Câu
20
x = 2 → t = 4 0
0

( )

2

27:

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho F ( x ) =

f (x) =

a
( lnx + b) là một nguyên hàm của hàm số
x

1+ lnx
, trong đó a,b . Tính S = a + b .
x2

A. S= −2.

B. S = 1.

C. S= 2.

D. S= 0.


Đáp án B

1
 u = 1 + lnx du = dx


x  F x = 1 + lnx dx = − 1 1+ lnx + 1 dx
Đặt 

( )  x2
(
)  x2
1
x
dv = 2 dx v = − 1

x

x

=−

1
1
1 + lnx ) − + C
(
x
x

 F(x) = −
Câu 28:

a = −1
1
lnx + 2) + C  
 S = 1.
(
x
b = 2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

f ( x ) + f ( −x ) = x 2 , x 

và thỏa mãn

1

. Tính I =  f ( x ) dx .
−1

2
A. I = .
3

1
D. I = .
3

C. I = 2.

B. I = 1.

Đáp án D
1

1

1

1

1

−1

−1

−1

−1

−1

Ta có f ( x ) + f ( −x ) = x 2    f ( x ) + f ( −x ) dx =  x 2dx   f ( x ) dx +  f ( −x ) dx =  x 2dx
1

−1

1

1

−1

1

Đặt t = −x  dt = −dx   f ( −x ) dx = −  f ( t ) dt =  f ( t ) dt =  f ( x ) dx
−1

1

1

1

1

−1

1

x 1
2
1
Suy ra  f ( x ) dx +  f ( x ) dx =  x dx  2  f ( x ) dx =
=   x 2dx =
3 −1 3 −1
3
−1
−1
−1
−1
3

2

Câu 29 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho hàm số f (x) có đạo hàm dương, liên tục trên
1
1
2

1
đoạn  0;1 thỏa mãn điều kiện f ( 0) = 1 và 3 f ' ( x ) . f ( x ) + dx  2 f ' ( x ).f ( x ) dx .
9
0
0
1

Tính

 f ( x )

3

dx.

0

A.

3
5
5
7
. B. . C. . D. .
2
4
6
6

Đáp án D
1

1

2
1
Giả thiết  3  f ' ( x ) .f ( x ) dx  2 f ' ( x ).f ( x ) dx


3

0
0
1

1

1

1

  3 f ' ( x ) .f ( x ) dx − 2 3 f ' ( x ).f ( x ) dx +  dx  0   3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 dx  0




0
0
0
0
2

2

Khi đó 3 f ' ( x ).f ( x ) − 1 = 0  9f ' ( x ) .f 2 ( x ) = 1   9f ' ( x ) .f 2 ( x ) dx =  dx = x + C


(

)

1
  9f 2 ( x ) d f ( x ) = x + C  3f 3 ( x ) = x + C mà f ( 0) = 1  C = 3  f 3 ( x ) = x + 1
3
1
1
3
 x2

1

Vậy   f ( x )  dx =   x + 1 dx =  + x 
3

0
0
 6


1

=
0

7
6