Lớp 12 hàm số 216 câu từ đề thi thử các sở giáo dục năm 2018 converted

Câu 1(Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Đường thẳng nào dưới đây là tiệm cận ngang của đồ
thị hàm số y =

2x − 3
?
x +1

A. y = −2

C. x = 2

B. y = −1

D. y = 2

Đáp án D
Câu 2 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số f ( x ) = x 2 ln x . Tính f ' ( e )
A. 3e

B. 2e

D. 2 + e

C. e

Đáp án A
1
Ta có: f ' ( x ) = 2 x ln x + x 2 . = 2 x ln x + x  f ' ( e ) = 3e
x

Câu 3 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm tập xác định D của hàm số y = ln ( x 2 − 3x )

A. D = ( 0;3)

B. D = 0;3

C. D = ( −;0)  ( 3; + )

D. D = ( −;0)  3; + )

Đáp án C

x  3
Hàm số xác định khi x 2 − 3x  0  
x  0
Câu 4 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số y = x3 − mx + 1 (với m là tham số). Tìm
tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
A. m 

33 2
2

B. m 

33 2
2

C. m 

33 2
2

D. m 

33 2
2

Đáp án B
Phương trình hoành độ giao điểm là x3 − mx + 1  m =

x3 + 1
1
= x 2 + (Do x = 0 không phải
x
x

là nghiệm của PT)
Xét hàm số g ( x ) = x 2 +
Ta có g ' ( x ) = 2 x −

1
(x
x

\ 0 ) .


1
=0 x= 3
2
x
2

Lập BBT ta thấy PT có 3 nghiệm khi

x

−

y'
y

0

−

+

+

+

 1  33 2
m  f  3  =
2
 2

Câu 5 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho

3

−

1
2
0

+
+


hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương

x

trình có ba nghiệm thực phân biệt.

y'

A. m  ( −1; + )

B. m  ( −;3)

C. m  ( −1;3)

D. m   −1;3

y

−

0
-

+

2
0

+

+

0

-

3
−1

Đáp án C

−

Phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phân biệt thì đồ thị hàm số y = f ( x ) cặt đường
thẳng y = m tại 3 điểm phân biệt  m  ( −1;3)
Câu 6 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau.
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 0.
B. Hàm số có điểm cực đại bằng 5.
C. Hàm số có điểm cực tiểu bằng −1

D. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1.
Đáp án D
Nói đến điểm cực trị của hàm số là nói đến x.
Hàm số có điểm cực đại bằng 0 và điểm cực

x

−

y'

+

y

tiểu bằng 1.

0
0

-

0

x−2
4x2 −1

có đồ thị

( C ) .Đồ

−1

−

thị

( C ) có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4

B. 3

C. 1

Đáp án A
1 1


Hàm số có tập xác định D =  −;    ; + 
2 2


1
1
Ta có lim y = ; lim y = −  Đồ thị ( C ) có 2TCN
x →+
x
→−
2
2

1
Lại có 4 x 2 − 1 = 0  x =  , lim1 y = lim1 y = −  ( C ) có 2 TCĐ
2 x→
x →−
2

2

+

+

5

Câu 7 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho
hàm số y =

+

1

D. 2


1
Câu 8 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số y = x3 − 2 x 2 + 2 x + 1( C ) . Biết đồ thị
3

(C )

có hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng d : y = x . Gọi h là khoảng cách giữa

hai tiếp tuyến đó. Tính h.
B. h =

A. h = 2

4 2
3

C. h =

2
3

D. h =

2 2
3

Đáp án D
Gọi  là tiếp tuyến với ( C ) tại M ( x0 ; y0 ) thỏa mãn đề bài.
Ta có y ' = x2 − 4 x + 2  y ' ( x0 ) = x02 − 4 x0 + 2 = k là hệ số góc của 

7
7
− +1

x

=
1
 0
2 2
 : x + y − = 0
3
 ⊥ d  x02 − 4 x0 + 2 = −1  
 1
h=
=
3
2
2
3
1 +1
 x0 = 3  : x + y − 1 = 0
 1
Câu 9 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số
y = ( x − 1) ( x 2 − 2 x ) với trục hoành.

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Đáp án D

x = 1
PT hoành độ giao điểm là ( x − 1) ( x − 2 x ) = 0   x = 0

 x = 2
2

Câu 10 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số y = x3 + 3x 2 − 9 x + 1. Mệnh đề nào dưới
đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −3;1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −3)

Đáp án A


x  1
y'  0  
Ta có y ' = 3x + 6 x − 9 = 3 ( x + 3)( x − 1)  
 x  −3
 y '  0  −3  x  1

2

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −3) và (1; + ) , nghịch biến trên khoảng ( −3;1)

Câu 11 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x3 − 3x 2 − 9 x + 2 trên đoạn 0;4

A. min y = −18
0;4

C. min y = −25

B. min y = 2

0;4

0;4

D. min y = −34
0;4

Đáp án C

x = 3
Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x − 9  y ' = 0  
 x = −1
Suy ra y ( 0 ) = 2; y ( 3) = −25, y ( 4 ) = −18  min y = −25
0;4

Câu 12 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018) Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn
hàm số dưới đây.

Hàm số đó là hàm số nào?
A. y = x 4 − 3x 2 − 1

B. y = − x 4 + 3x 2 − 1
C. y = x 4 − 3x 2 + 1
D. y = x3 − 2 x 2 + 1
Đáp án C
Dựa vào đồ thị suy ra hàm số đã cho là hàm số trùng phương có hệ số
Ta có: a  0
Câu 13 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Đồ thị hàm số nào dưới đây đi qua điểm M ( 2; −1)
?
A. y = − x3 + 3x − 1

B. y = x 4 + 4 x 2 + 1

C. y =

2x − 3
x−3

D. y =

−x + 3
x +1

Đáp án C
Câu 14 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số y =

2x +1
. Phương trình tiếp tuyến tại
x −1

điểm M ( 2;5) của đồ thị hàm số trên là

A. y = 3x − 11

B. y = −3 x + 11

C. y = −3x − 11

D. y = 3x + 11


Đáp án B
Ta có: y ' = −

3

( x − 1)

2

 y ' ( 2 ) = −3

Suy ra PTTT tại M ( 2;5) là y = −3 ( x − 2) + 5  y = −3x + 11
Câu 15 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = x3 − 3x . Mệnh đề nào
dưới đây sai?
A. Đồ thị ( C ) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
B. Đồ thị ( C ) cắt trục tung tại một điểm.
C. Đồ thị ( C ) nhận trục Oy làm trục đối xứng.
D. Đồ thị ( C ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Đáp án C
Ta có: f ( x ) = x3 − 3x  f ( − x ) = − f ( x ) nên hàm số đã cho là hàm lẻ
Do đó đồ thị ( C ) nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Mệnh đề C sai.

Câu 16 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tính đạo hàm của hàm số y = 3x
A. y ' =

1 x
3
ln 3

D. y ' = x.3x −1

C. y ' = 3x ln 3

B. y ' = 3x

Đáp án C
Câu 17 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Bảng sau là bảng biến thiên của một trong bốn hàm
số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A. y =

x +1
x−2

B. y =

2x −1
x+2

C. y =

2x + 3
x−2

D. y =

x−4
x−2

x

−

−

y'
y

+

2

−
+

2

Đáp án C
Ta có: x = 2 là tiềm cận đứng và y = 2 là tiệm cận ngang

−

2

Câu 18 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

x
trên
x +4
2

đoạn 1;5 .
A. Max y =
1;5

5
29

B. Max y =
1;5

1
4

C. Max y =
1;5

2
6

D. Max y =
1;5

1
5

Đáp án B

x2 + 4 − 2 x2

Ta có: y ' =

(x

2

+ 4)

2

x = 2
=0
 x = −2 ( loai )

1
1
5
1
Lại có y (1) = ; y ( 2 ) = ; y ( 5 ) =
do đó Max y =
1;5



5
4
29
4

Câu 19 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

y = − x3 + 2 x2 − ( m − 1) x + 2 nghịch biến trên khoảng ( −; + )
A. m 

7
3

B. m 

7
3

C. m 

1
3

D. m 

7
3

Đáp án B

Ta có: y ' = −3x 2 + 4 x − m + 1
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; + )  y '  0 ( x 
Câu 20 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số y =

a = −3  0
7
m
3
 ' = 4 − 3m + 3  0

)

x +1
. Gọi M là giá trị lớn nhất và
x −1

m là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  −5; −1 . Tính M + m
A. −6

B.

2
3

C.

3
2

D.

6
5

Đáp án B
Ta có: y ' =

−2

( x − 1)

2

 0 do đó hàm số liên tục và nghịch biến trên đoạn  −5; −1

Ta có: M + m = y ( −5 ) + y ( −1) =

2
3

Câu 21 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
?
2
A. y =  
3

Đáp án B

x

 2 
B. y = 

 3

x

C. y = ( 0,99 )

x

(

D. y = 2 − 3

)

x


Lý thuyết “Hàm số y = a x với hệ số a  1 là hàm số đồng biến trên

”

e2017 − 1
.
x →0
x

Câu 22 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tính giới hạn I = lim

A. 0

B. 1

D. +

C. 2017

Đáp án C


eax − 1
e2017 x − 1 
e2017 x − 1
Ta có lim
= 1  I = lim  2017.
= 2017
 = 2017.lim
x →0
x →0
x →0 2017 x
ax
2017 x 

Câu 23 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số
y = x4 − 4 x2 + 3

A. yCT = 0

B. yCT = 2

D. yCT = −1

C. yCT = 3

Đáp án D
x = 0
Ta có y ' = 4 x 3 − 8 x; y ' = 0  
. Vậy yCT = y  2 = −1
x
=

2


(

)

Câu 24 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số
y=

2 3 5 2
x − x + 2x +1
3
2

 1
A. M  2; 
 3

1

B. M  2; − 
3


 1 35 
C. M  ; − 
 2 24 

 1 35 
D. M  ; 
 2 24 

Đáp án D
Xét hàm số y =

2 3 5 2
x − x + 2 x + 1, ta có y ' = 2 x 2 − 5 x + 2  y '' = 4 x − 5; x 
3
2

1

 x = 2  y ( 2) = 3
1
 1 35 
Phương trình y ' = 0  
. Mà y ''    0  M =  ;  là điểm cực đại

2
 2 24 
 x = 1  y  1  = 25



2
 2  24

Câu 25 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Đồ thị hàm số y =

1 − 2 x2
có tiệm cận đứng
x2 + 6 x + 9

x = a và tiệm cận ngang y = b . Tính T = 2a − b
A. T = −4
Đáp án A

B. T = −8

C. T = −1

D. T = −6


1
−2
2
1− 2x

x
Ta có lim y = lim 2
= lim
= −2  y = −2 là TCN của đồ thị hàm số
x →
x → x + 6 x + 9
x →
6 9
1+ +
x x
2

Và lim y = lim
x →3

x →3

1 − 2 x2

( x + 3)

2

a = −3
 T = −4
=   x = −3 là TCĐ của đồ thị hàm số . Vậy 
b = −2

Câu 26 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh 2018): Cho hàm số

f ( x ) có đạo hàm

f ' ( x ) = ( x + 1) ( x − 3) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1

D. Hàm số đạt cực đại tại x = −1

Đáp án B
Phương

trình

 x = −1
.
f '( x) = 0  
x = 3

Bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây:
Dựa vào BBT, ta thấy hàm số đạt cực

−1

−

x
f '( x)

-

+

3
0

-

0

f ( x)

tiểu tại x = 3
CT

Câu 27 (Sở GD và ĐT Bắc Ninh
2018): Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng ( −; + ) ?
A. y = x 4 + 3x

C. y =

B. y = x3 + 1

x −1
x+2

D. y = e− x

Đáp án B
Ta có y = x3 + 1  y ' = 3x 2  0, x 

 Hàm số y = x3 + 1 đồng biến trên

Câu 28: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
 1

Đạo hàm cấp một của hàm số y = log2 ( 2 x + 1) trên khoảng  − ; +  là:
 2


A.

2
( 2 x + 1) ln x

B.

2
( x + 1) ln 2

Đáp án C
Ta có y ' =

( 2 x + 1) ' =
2
( 2 x + 1) ln 2 ( 2 x + 1) ln 2

Câu 29: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)

C.

2
( 2 x + 1) ln 2

D.

2 ln 2
2x +1

+


Hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (1; −1)
B. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1; −1)
C. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là ( −1;3)
D. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (1;1)
Đáp án B
Câu 30 : (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Hàm số nào sau đây đồng biến trên
e
A. y =  
 

x

2
B. y =  
e

?
x

C. y =

( 2)

D. y = ( 0,5 )

x

x

Đáp án C
x

x

e 2
x
e
2
Vì 0  ; ;0,5  1  2  các hàm số y =   , y =   , y = ( 0,5 ) nghịch biến và hàm
 e
 
e

số y =

( 2 ) đồng biến
x

Câu 31: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ?
A. y =

2x − 3
x+2

B. y =

2x −1
x−2

C. y =

x+3
x−2

D. y =

2x − 5
x−2

x

y

Câu 32: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)

A. y = −

x3
+ x2 + 1
3

B. y = 3x 2 + 2 x + 1
C. y = x 4 + 3x 2 + 1

+

2

−

y'

Đáp án B
Đồ thị như hình vẽ là của hàm số

−

−
+

2

−

2


D. y = x3 − 3x 2 + 1
Đáp án D
Câu 33: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Cho hàm số y = x3 + 3x + 2. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;0 ) và nghịch biến trên khoảng ( 0; + )
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; + )
C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + )
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 ) và đồng biến trên khoảng ( 0; + )
Đáp án C
Ta có y ' = 3x 2 + 3 ( x 2 + 1)  0, x 

 Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; + )

Câu 34: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Cho f ( x ) = sin 2 x − cos2 x − x . Khi đó f ' ( x ) bằng
A. −1 + sin x cos x

B. 1 + 2sin 2x C. 1 − 2sin 2x D. −1 + 2sin 2 x

Đáp án D
Ta có f ( x ) = − cos 2 x − x  f ' ( x ) = 2sin 2 x −1
Câu 35: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Đạo hàm của hàm số y = 2 x5 − 4 x3 − x 2 là
A. y ' = 5 x 4 − 12 x 2 − 2 x

B. y ' = 10 x 4 − 12 x 2 − 2 x

C. y ' = 10 x 4 − 3x 2 − 2 x

D. y ' = 10 x 4 + 12 x 2 − 2 x

Đáp án B
Câu 36: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Hàm số nào trong các hàm số sau không có đạo hàm trên
A. y = x 2 − 4 x + 5

.

C. y = x − 1

B. y = sin x

D. y = 2 − cos x

Đáp án C
Hàm số y = x − 1 =

( x − 1)

2

2 ( x − 1)

 y'=

2

( x − 1)

2

không có đạo hàm tại điểm x = 1 nên nó

không có đạo hàm trên
Câu 37: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)


Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 x + m − 4 x 2 + x + 1 (với m là
tham số là).
A. y =

2m + 1
2

B. y =

2m − 1
2

C. y =

4m − 1
4

D. y =

4m + 1
4

Đáp án C
Ta có y = 2 x + m − 4 x + x + 1 =
2

( 2x + m)

2

− ( 4 x 2 + x + 1)

2x + m = 4x2 + x + 1

=

4mx − x + m 2 − 1
2x + m = 4x2 + x + 1

x ( 4m − 1) 4m − 1
=
x →+ 2 x + 2 x
4

Khi đó lim y = lim
x →+

Vậy tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y =

4m − 1
4

Câu 38: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Tìm trên đường thẳng x = 3 điểm M có tung độ là số nguyên nhỏ nhất mà qua đó có thể kẻ tới
đồ thị ( C ) của hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 đúng 3 tiếp tuyến phân biệt.
A. M ( 3;2 )

B. M ( 3; −6)

C. M ( 3;1)

D. M ( 3; −5)

Đáp án D
Gọi M ( 3; a )
Phương trình tiếp tuyến của lim có dạng: y = ( 3x02 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x03 − 3x02 + 2 ( d )
x →+

Do d đi qua điểm M ( 3; a ) nên a = ( 3x02 − 6 x0 ) ( 3 − x0 ) + x03 − 3x02 + 2

 a = −2 x03 + 12 x02 −18x0 + 2 = f ( x0 )(*)
x = 3
Xét hàm số f ( x ) = 2 x3 + 12 x 2 − 18 x + 2  f ' ( x ) = −6 x 2 + 24 x − 18 = 0  
x = 1
Lại có f (1) = −6; f ( 3) = 2
Vẽ BTT hoặc phát họa độ thị hàm số f ( x )  (*) có 3 nghiệm phân biệt khi −6  a  2
Vì a là số nguyên nhỏ nhất nên a = −5
Câu 39: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 + 2 x2 + ( m − 3) x + m có 2 điểm
cực trị và điểm M ( 9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
A. m = 3
Đáp án A

B. m = 2

C. m = −5

D. m = −1


Ta có y ' = 3x 2 + 4 x + m − 3
Hàm số có 2 điểm cực trị khi  ' = 4 − 3 ( m − 3) = 13 − 3m  0
Lấy

y
tìm phần dư ta được phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là
y'

2 ( m − 3)
 2 ( m − 3) 8 
y=
−  x+m−
(d )
3
9
3


2 ( m − 3)
 2 ( m − 3) 8 
Do d đi qua M ( 9; −5) nên −5 = 9 
− +m−
m=3
3
9
3

Câu 40: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Hàm số f ( x ) có đạo hàm trên

là hàm số f ' ( x ) . Biết đồ thị hàm số

f ' ( x ) , hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng:
A. ( 0; + )

1 
B.  ;1 
3 

1

C.  −; 
3


D. ( −;0 )

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số y = f ' ( x ) ta thấy f ' ( x )  0  x  0
Do đó hàm số f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −;0 )
Câu 41: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y = x 4 − 2mx 2 có ba điểm cực
trị tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1.
A. 0  m  1

B. 0  m  3 4

C. m  1

D. m  0

Đáp án A
x = 0
Xét hàm số y = x 4 − 2mx 2 , ta có y ' = 4 x3 − 4mx = 0  x ( x 2 − m ) = 0   2
x = m

Hàm số có 3 điểm cực trị  (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0  m  0
Gọi A ( 0;0 ) , B

(

) (

)

m ; −m2 , C − m ; −m2 là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Gọi H là trung điểm của BC  H ( 0; −m 2 )  AH = ( 0; −m 2 )  AH = m 2

( *)


1
1
Diện tích tam giác ABC là S = . AH .BC = .m 2 .2 m = m 2 m  1  0  m  1
2
2

Câu 42: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Phương trình x3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1) có nghiệm thực khi và chỉ khi
2

A. −6  m 

3
4

B. −6  m 

3
4

C. −6  m 

3
4

D. −6  m 

3
4

Đáp án C
Ta có x3 + x ( x + 1) = m ( x 2 + 1)  x ( x 2 + 1) + x 2 = m ( x 2 + 1)  m =
2

Đặt t =

2

2

x
 x 
+ 2
 ( *)
2
x +1  x +1 

x
x
1
1
x
1
2
 1 1
 −  2

 suy ra t   − ; 
vì x 2 + 1 = x + 1  2 x  2
x +1
x +1 2
2 x +1 2
 2 2
2

3
1
 1 1
Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 trên  − ;   max f ( t ) = ; min f ( t ) = −
4 − 1 ; 1 
4
 2 2  − 12 ; 12 
2 2


Vậy để phương trình(*) có nghiệm −







1
3
m
4

4

Câu 43: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm cấp hai trên

. Đồ thị

của các hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) và y = f '' ( x ) lần lượt là các
đường cong nào trong hình vẽ bên.
A. ( C1 ) , ( C3 ) , ( C2 )
B. ( C3 ) , ( C2 ) , ( C1 )
C. ( C3 ) , ( C1 ) , ( C2 )
D. ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 )
Đáp án C
Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:
Đồ thị ( C3 ) có dạng đồ thị hàm số trùng phương.
Đồ thị ( C2 ) có dạng đồ thị hàm số bậc hai (parabol)
Đồ thị ( C1 ) có dạng đồ thị hàm số bậc ba
Vậy đồ thị của các hàm số y = f ( x ) , y = f ' ( x ) , y = f '' ( x ) lần lượt là ( C3 ) , ( C1 )( C2 )
Câu 44: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)


Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị của hàm số y − f ' ( x ) như hình vẽ bên. Đặt h ( x ) = f ( x ) − x .
Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
A. h ( 0) = h ( 4) + 2  h ( 2)
B. h (1) + 1 = h ( 4)  h ( 2)
C. h ( −1)  h ( 0)  h ( 2)
D. h ( 2)  h ( 4)  h ( 0)
Đáp án C
Ta có h ( x ) = f ( x ) − x suy ra h ' ( x ) = f ' ( x ) −1

Đồ thị hàm số y = f ' ( x ) cắt đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ x0  ( −2; −1)
Dựa vào hình vẽ, ta thấy f ' ( x )  1 trên khoảng ( x0 ; + )  h ' ( x )  0, x  ( x0 ; + )
Suy ra h ( x ) là hàm số đồng biến trên ( x0 ;+ ) . Vậy h ( −1)  h ( 0)  h ( 2)
Câu 45: (Sở giáo dục đào tạo Vĩnh Phúc- 2018)
Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình cos 2 x − ( 2m −1) cos x − m + 1 = 0 có
  
đúng 2 nghiệm thuộc đoạn  − ;  là
 2 2

A. −1  m  0

B. 0  m  1

C. −1  m  1

D. 0  m  1

Đáp án B
Ta có cos 2 x − ( 2m −1) cos x − m + 1 = 0  2cos2 x − 1 − ( 2m − 1) cos x − m + 1 = 0

 2cos2 x − ( 2m −1) cos x − m = 0  2cos2 x + cos x − ( 2cos x + 1) m = 0
  
 ( 2cos x + 1)( cos x − m)  cos x = m vì x   − ;   cos x   0;1  2 cos x + 1  0
 2 2
  
  
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm x   − ;   cos x = m có 2 nghiệm x   − ; 
 2 2
 2 2

Suy ra 0  m  1 ( m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất) là giá trị cần tìm
Câu 46: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

lim f ( x ) = a, lim− f ( x ) = b. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng

x →x +0

A. x = b
Đáp án D

x →x 0

B. y = b

C. x = a

D. y = a

và


Câu 47: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018) Xét hàm số y =

3− x
, mệnh đề nào sau
x +1

đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −; −1) và ( −1; + )
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −;1) và (1; + )

C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −; −1) và ( −1; + )
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;1) và (1; + )
Đáp án A
Ta có y ' = −

4

( x + 1)

2

 0x  ( −; −1)  ( −1; + )  Hàm số nghịch biến trên các khoảng

( −; −1) và ( −1; + )
Câu 48: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Số điểm cực trị của hàm số

y = x 4 − 2x 3 − 2 là
A. 2

B. 0

C. 3

D. 1

Đáp án D
Ta có: y ' = 4x 3 − 6x 2 = 0  2x 2 ( 2x − 3) = 0  0  x 
x=

3

 y ' chỉ đổi dấu qua điểm
2

3
 hàm số có một điểm cực trị
2

TCN : y = m4 = 4  m = 2

Câu 49: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018) Tập hợp các giá trị của tham số m sao cho
đồ thị hàm số y =
A. −4;4

m2 x + 1
có tiệm cận ngang đường thẳng y = 4
x −1
B. −2; −1

C. 1; 2

D. −2;2

Đáp án D
Câu 50: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai
trên khoảng ( a; b ) và x 0  ( a;b ) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu x 0 là điểm cực đại của hàm số f ' ( x 0 ) = 0 và f '' ( x 0 )  0
B. Nếu f ' ( x 0 ) = 0 và f '' ( x 0 )  0 thì x 0 là điểm cực đại của hàm số
C. Nếu x 0 là điểm cực tiểu của hàm số f ' ( x 0 ) = 0 và f '' ( x 0 )  0

D. Nếu f ' ( x 0 ) = 0 và f '' ( x 0 )  0 thì x 0 là điểm cực tiểu của hàm số
Đáp án D
Câu 51: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Cho hàm số y = 2x có đồ thị ( C ) và đường
thẳng d là tiếp tuyến của ( C ) tại điểm có hoành độ bằng 2. Hệ số góc của đường thẳng d là
A. ln2

B. 2ln2

C. 4ln2

D. 4ln2

Đáp án C
Ta có y' = 2x ln 2  y' ( 2) = 4ln 2 = k d là hệ số góc của d

Câu 52: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018) Số giao điểm của hai đồ thị hàm số y =
và y = x 2 − x +

x3
3

1
là
3

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Đáp án D
Phương trình hoành độ giao điểm là

x3
1
3
= x 2 − x +  x 3 − 3x 2 + 3x − 1 = 0  ( x − 1) = 0  x = 1
3
3
Câu 53 (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018): Gía trị lớn nhất của hàm số
y = x 5 − 5x 4 + 5x 3 + 1 trên đoạn  −1;2 bằng

A. 2

B. 65

C. -7

D. -10

Đáp án A

x = 0
Ta có y ' = 5x − 20x + 15x = 5x ( x − 4x + 3)  y ' = 0   x = 1

 x = 3
4

3

2

2

2

Suy ra y ( −1) = −10; y ( 0 ) = 1; y (1) = 2; y ( 2 ) = −7  max y = 2
 −1;2

Câu 54 : (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Cho hàm số y = −x 3 + 6x 2 − 9x + 4 là bảng
biến thiên như hình bên dưới

x

−

y'

y

1
-

+

0

+

3
+

0
4

-


−

0

Các giá trị của tham số m sao cho phương trình − x 3 + 6x 2 − 9x − m = 0 có ba nghiệm phân
biệt là
A. −3  m  1

C. −4  m  0

B. 0  m  4

D. 1  m  3

Đáp án C
Câu 55: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018) Đường cong trong hình bên dưới là của đồ
thị hàm số

A. y =

x −1
x +1

C. y = x 4 − x 2 + 4

B. y = x 3 − 3x 2

D. y = −x 3 + 3x 2

Đáp án D
Câu 56: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018) Đồ thị hàm số y =

1 − 3x
có các đường
x+2

tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là
A. x = −2 và y = −3

B. x = −2 và y = 1

C. x = −2 và y = 3

D. x = −3 và y = 1

Đáp án A
Câu 57: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên
như hình bên dưới
x

−

y'

1
+

+
2

y
1

+

1
0

-

3
−

A. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −;1)

-1


B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;3)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; + )
D. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2 )
Đáp án C
Câu 58: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018) Đạo hàm của hàm số y = 3x +1 là
A. y ' = 3x +1 ln 3

B. y ' =

3x +1
ln 3

C. y' = ( x + 1) 3x

D. y ' =

1
3 ln 3
x +1

Đáp án A

y ' = 3x +1 ln 3
Câu 59: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Biết hàm số y =

ax + 2
có đồ thị như hình
x+b

vẽ bên dưới. Tìm a và b

A. a = 1 và b = 2

B. a = 1 và b = −2

C. a = 1 và b = 1

D. a = 2 và b = 2

Đáp án B
Tiệm cận đứng: x = −b = 2  b = −2
Tiệm cận ngang: x = a = 1
Câu 60: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Tất cả các giá trị tham số m sao cho hàm số
y = −x 3 − 3mx 2 + 4m − 1 đồng biến trên khoảng ( 0; 4 ) là

A. m  0

B. m  −2

C. m  −4

Đáp án B
Ta có y ' = −3x 3 − 6mx
Hàm số đồng biến trên khoảng ( 0;4)  y'  0 ( x  ( 0;4 ) )

D. −2  m  0


−3x 2 − x
 −3x − 6mx  0 ( x  ( 0; 4 ) )  g ( x ) =
=

 m ( x  ( 0; 4 ) )
6x
2
 m  min g ( x )  m  −2
3

( 0;4 )

Câu 61: (Sở Giáo Dục-Đào Tạo Cần Thơ-2018)Gọi yCD , yCT lần lượt là giá trị cực đại và
giá trị cực tiểu của hàm số y =
A. 9

x 2 + 3x + 3
2
2
− 2y CT
. Gía trị của biểu thức y CD
bằng
x+2

B. 6

C. 8

D. 7

Đáp án D

( 2x + 3)( x + 2 ) ( x 2 + 3x + 3) x 2 + 4x + 3
x 2 + 3x + 3

 y' =
=
Ta có y =
2
2
x+2
( x + 2)
( x + 2)
 x = −1  y ( −1) = 1
2
2
2
− 2yCT
= ( −3) − 2.12 = 7
. Vậy yCD
Phương trình y ' = 0  
 x = −3  y ( −3) = 3
Câu 62: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Đồ thị hàm số y = x 3 + 3x 2 − 9x − 1 có hai cực trị A
và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB
C. Q ( −1; −8)

B. P ( −1;1)

A. N ( 0;2)

D. M ( 0; −1)

Đáp án A
Ta có y ' = 3x 2 + 6x − 9  d : y = −8x + 2 là đường thẳng đi qua A, B  N ( 0;2)  d
Câu 63: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình

bên dưới. Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho
x

−

y'

0
+

y

0

+

3
-

0

+

+

2
−2

−

A. yCD = 3 và yCT = 0

B. yCD = 2 và yCT = −2

C. yCD = −2 và yCT = 2

D. yCD = 0 và yCT = 3

Đáp án B
Câu 64: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên

, bảng biến

thiên như sau.
x

−

-1

1

2

+


y'

+

0

+

y

0

-

0

+

+

2
19
12

−

Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số có ba điểm cực trị

B. Hàm số có hai điểm cực trị

C. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2

Đáp án B
Câu 65 (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Cho hàm số y = ( x + 1) ( x 2 − 2 ) có đồ thị ( C ) . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?
A. ( C ) không cắt trục hoành

B. ( C ) cắt trục hoành tại một điểm

C. ( C ) cắt trục hoành tại ba điểm

D. ( C ) cắt trục hoành tại hai điểm

Đáp án C
x = 0
 ( C ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
Ta có ( x + 1) ( x 2 − 2 ) = 0  
x =  2

Câu 66: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Gọi S là tổng tất cả các giá trị nguyên dương của

2x − m2
tham số m sao cho hàm số y =
đồng biến trên khoảng ( 2021; + ) . Khi đó, giá trị
x−m−4
của S bằng
A. 2035144

B. 2035145

C. 2035146

D. 2035143

Đáp án D
Ta có y ' =

m 2 − 2m − 8

( x − m − 4)

2

Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2021; + )

m  4
m2 − 2m − 8  0  
 y'  0  
   m  −2  4  m  2017
x − m − 4  0
m  x − 4

Suy ra m  5;6;7;...; 2017  S = 5 + 6 + 7 + ... + 2017 =

2013
( 5 + 2017 ) = 2035143
2


Câu 67: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Cho hàm số y = x 4 − 2x 2 . Mệnh đề nào sau đây

đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −1;1)

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −2 )

C. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −1;1)

D. Hàm số đồng biến trên khoảng ( −; −2 )

Đáp án B

x  1
y '  0  

 −1  x  0
Ta có y ' = 4x 3 − 4x = 4x ( x 2 − 1)  
 y '  0   x  −1
0  x  1




Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −2 )

Câu 68: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Đồ thị y =
A. 2

B. 4

x−2

x2 − 4

có bao nhiêu tiệm cận?

C. 3

D. 1

Đáp án C
Hàm số có tập xác định D = ( −; −2)  ( 2; + )
Ta có lim y = 1, lim y = −1  Đồ thị hàm số có 2 TCN
x →+

x →−

x = 2
x2 − 4 = 0  
 x = −2

Có

Mặt khác lim

x →−2

x−2
x2 − 4

= −, lim
x →2

x−2
x2 − 4

= 0  Đồ thị hàm số có 1 TCD

Câu 69: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

y=

x3
− 3x 2 + m 2 x + 2m − 3 đồng biến trên
3

 m  −3
A. 
m  3

B. −3  m  3

C. −3  m  3

 m  −3
D. 
m  3

Đáp án D
y ' = x 2 − 6x + m2

Hàm số đồng biến trên

 y '  0, x 

a = 1  0
 m  −3


m  3
2

 ' = 9 − m  0

Câu 70: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?


A. Với 0  a  1, hàm số y = log a x là một hàm nghịch biến trên khoảng ( 0; + )
B. Với a  1, hàm số y = log a x là một hàm đồng biến trên khoảng ( −; + )
C. Với a  1, hàm số y = a x là một hàm đồng biến trên khoảng ( −; + )
D. Với 0  a  1, hàm số y = a x là một hàm nghịch biến trên khoảng ( −; + )
Đáp án B
Với a  1, hàm số y = log a x là một hàm đồng biến trên khoảng ( 0; + )
Câu 71: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Hình vẽ

bên

là

đồ thị của hàm số nào
A. y =

x+2
x +1

B. y =

x +3
1− x

C. y =

2x + 1
2x − 1

D. y =

x +1
x −1

Đáp án D
Ta có x = 1 là tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Câu 72: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Đạo hàm của hàm số y = 5x + 2017 là
A. y ' =

5x
5ln 5

B. y ' = 5x ln 5

C. y ' =

5x
ln 5

D. y ' = 5x

Đáp án B
Câu 73: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Tính đạo hàm của hàm số y = log ( 2x + 1)
A. y ' =

2
( 2x + 1) ln10

B. y ' =

2
( 2x + 1)

C. y ' =

1
( 2x + 1) ln10

D. y ' =

1
( 2x + 1)

Đáp án A
Ta có y ' =

2
( 2x + 1) ln10

Câu 74: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
1
y = x 3 − mx 2 + ( m 2 − 4 ) x + 3 đạt cực tiểu tại x = 3
3


D. m = −7

C. m = 5

B. m = −1

A. m = 1
Đáp án A

Ta có y ' = x 2 − 2mx + m2 − 4; y '' = 2x − 2m

m = 5
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3  y ' ( 3) = 5 − 6m + m 2 = 0  
m = 1
Với m = 5  y'' ( 3)  0  x = 3 là điểm cực đại
Với m = 1  y'' ( 3)  0  x = 3 là điểm cực tiểu
Câu 75: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm như
sau
−

x

y'

-2
+

0

0
-

||

+

2
-

0

-

Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;2 )

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −; −2 )

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −;0 )

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2;0 )

Đáp án D
Câu 76: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Hình vẽ sau đây là
đồ thị của hàm số nào?
A. y = − x 4 − 2x 2
B. y = − x 4 + 3x 2 + 1
C. y = −x 4 + 4x 2
D. y = x 4 − 3x 2
Đáp án C
Ta có lim y = −  a  0 (loại D)
x →+

Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0;0 ) (loại B)
Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị (loại A)

x − m2
Câu 77 (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018): Cho hàm số f ( x ) =
với m là tham số. Giá trị
x +8
lớn nhất của m để min ( x ) = −2 là
0;3


B. m = 6

A. m = 5

D. m = 3

C. m = 4

Đáp án
Ta có y ' =

8 + m2

( x + 8)

2

 0 ( x  −8 ) . Do đó hàm số đồng biến trên đoạn  0;3

m = 4
−m 2
= −2  
Do đó Min f ( x ) = f ( 0 ) =
0;3
8
 m = −4
Câu 78: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018) Giá trị lớn nhất của hàm số y =

x+4
trên đoạn
x−2

3; 4
A. -4

B. 10

C. 7

D. 8

Đáp án C
Ta có y ' =

−6

( x − 2)

2

 0 ( x  3; 4) .

Do đó hàm số nghịch biến trên đoạn 3; 4 suy ra Max f ( x ) = f ( 3) = 7
3;4

Câu 79: (Sở GD&ĐT Bạc Liêu.-2018)Hàm số y = f ( x ) có giới hạn lim− f ( x ) = + và đồ
x →a

thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) chỉ nhận đường thẳng d làm tiệm cận đứng. Khẳng định nào
sau đây đúng?
A. d : y = a

C. d : x = −a

B. d : x = a

D. d : y = −a

Đáp án B
Câu 80 (Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018): Cho hàm số y =

3x − 1
. Khẳng định nào sau
−2 + x

đây là đúng?
A. Hàm số luôn nghịch biến trên

.

B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −;2) và ( 2; + ) .
D. Hàm số luôn nghịch biến các khoảng ( −; −2) và ( −2; + ) .
Đáp án B
Ta có: y =

3x − 1
−5
 y' =
 0 ( x  2 ) Do đó hàm số luôn nghịch biến trên từng
2
x−2
( x − 2)

khoảng xác định.

Câu 81 (Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018): Với

 
x   0; 
 2

thì hàm số

y = 2 s inx − 2 cos x có đạo hàm :

A. y ' =

1
1
−
s inx
cosx

B. y ' =

1
1
+
s inx
cosx

C. y ' =

cos x
s inx

−
s inx
cosx

D. y ' =

cos x
s inx
+
s inx
cosx

Đáp án D
Ta có: y ' = 2.

( sinx ) ' − 2. ( cos x ) ' =

2 sinx

2 cos x

cos x
sinx
+
.
sinx
cos x

Câu 82: (Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018)Cho hàm số y = −2017e− x − 3e−2x . Mệnh đề
nào dưới đây đúng?

A. y ''+ 3y '+ 2y = −2017

B. y ''+ 3y '+ 2y = −3

C. y ''+ 3y '+ 2y = 0

D. y ''+ 3y '+ 2y = 2

Đáp án C
Ta có: y ' = 2017e− x + 6e−2x ; y '' = −2017e− x − 12e−2x Do đó: y ''+ 3y '+ 2y = 0.
Câu 83: (Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018) Đồ thị hình bên là đồ
thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Chọn đáp án đúng?
A. y = x 3 − 3x 2 − 3x − 1

1
B. y = x 3 + 3x 2 − 1
3

C. y = x 3 + 3x 2 − 3x + 1

D. y = x 3 − 3x − 1

Đáp án D
Ta có: Đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; −1) .Hàm số đạt cực trị tại các điểm x = 1.
Câu 84 (Sở Giáo Dục &ĐT Nam Định 2018): Cho hàm số y =

A  B ( x A  x B  0) là hai điểm trên

( C)

x +1
có đồ thị ( C ) . Gọi
x −1

có tiếp tuyến tại A,B song song nhau và

AB = 2 5. Hiệu x A − x B bằng?

A. 2

B. 4

C. 2 2

D.

2

Đáp án A
Gọi x A = a; x B = b ( a  b  0) . Theo giả thiết ta có: y ' ( a ) = y ' ( b ) 

−2

( a − 1)

2

=

−2

( b − 1)

2