Phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính giới hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
XÁC ĐỊNH DÃY SỐ VÀ TÍNH GIỚI HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ NHUNG

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
XÁC ĐỊNH DÃY SỐ VÀ TÍNH GIỚI HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành:

Phương pháp toán sơ cấp

Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - 2017


i

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời nói đầu

1

Chương 1. Dãy số và một số hệ thức lượng giác liên quan
1.1 Một số định lý cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Các hệ thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Các hệ thức lương giác cơ bản . . . . . . . . . . .
1.2.2 Các hệ thức lượng giác hypebolic . . . . . . . . . .
1.3 Một số lưu ý về phương pháp lượng giác hóa dãy số . . .
1.3.1 Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy
số xn+1 = f (xn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy
số xn+2 = f (xn+1 , xn ) . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.
.
.
.
.
.

2
2
2
3
7
7
9
12

. 13
. 13

Chương 2. Phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính
giới hạn
2.1 Phương pháp lượng giác xác định dãy số . . . . . . . . . . .
2.1.1 Sử dụng phép thế lượng giác xác định công thức tổng
quát của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Dùng phương pháp lượng giác để giải một số bài
toán về tính toán dãy số . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Tìm công thức tổng quát của dãy số bằng hàm hypebolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Phương pháp lượng giác tính giới hạn của dãy số . . . . . .
2.2.1 Tính giới hạn của một dãy số bằng công thức tổng
quát của dãy số đó . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15
15
15
27
32
41
41


ii

2.2.2

Tính giới hạn của dãy số truy hồi . . . . . . . . . . 46

Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

61


1

Lời cảm ơn
Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH.
NGND. Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng

như giải đáp các thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và giúp đỡ tác giả hoành thành luận văn này.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo
khoa Toán - Cơ - Tin học và các Thầy trong hội semina Toán học Hà Nội
của trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã
nhận xét góp ý cho bản luận văn này.
Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, lãnh đạo trường
trung học phổ thông Lý Tử Tấn - Thường Tín - Hà Nội đã động viên, cổ
vũ, tạo điều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Mặc dù có rất nhiều cố gắng và nghiệm túc trong học tập và nghiên
cứu khoa học, song quá trình thực hiện không tránh khỏi những sơ suất.
Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy giáo,
cô giáo và các bạn để bản luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 27 tháng 10 năm 2017
Học viên

Nguyễn Thị Nhung


1

Lời nói đầu
Dãy số là một chuyên đề quan trọng trong chương trình chuyên toán ở
các trường trung học phổ thông chuyên. Các bài toán liên quan đến dãy
số thường là những bài toán khó, thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi
môn Toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế, Olympic 30/4 và Olympic sinh
viên. Các dạng toán về dãy số rất phong phú và đa dạng và cũng rất phức
hợp nên khó phân loại và hệ thống hóa thành các chuyên đề riêng biệt.
Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy

số liên quan đến chương trình toán bậc trung học phổ thông.
Nội dung của luận văn ”Phương pháp lượng giác xác định dãy số và
tính giới hạn” là hệ thống dạng toán dùng hàm lượng giác, hàm lượng giác
hypebolic để xác định số hạng tổng quát của dãy số, tìm giới hạn của một
vài dãy số, và một số bài toán trong các kỳ thi học sinh giỏi.
Nội dung của luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày về dãy số và một số hệ thức lượng giác liên quan.
Trong chương này, trình bày các khái niệm cơ bản về dãy số, một số định
nghĩa, định lý cơ bản và một vài dãy số đặc biệt. Tiếp theo, trình bày
các hệ thức lượng giác và lượng giác hypebolic cơ bản cũng như một số ý
tưởng về phương pháp lượng giác hóa dãy số.
Chương 2 khảo sát các phương pháp lượng giác xác định dãy số và tính
giới hạn. Trong chương này, trình bày một số bài toán có thể sử dụng được
phương pháp lượng giác, lượng giác hypebolic để xác định số hạng tổng
quát của dãy số và tìm giới hạn tương ứng. Tiếp theo, trình bày phương
pháp lượng giác trong một số bài toán về tính toán dãy số, tính giới hạn
của một số dãy số truy hồi.


2

Chương 1
Dãy số và một số hệ thức lượng
giác liên quan
1.1
1.1.1

Một số định lý cơ bản về dãy số
Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1. Dãy số là một hàm số từ N∗ (hoặc từ N, hoặc tập con
của N) vào tập hợp số R (N, Q, C). Các số hạng của dãy số thường được
kí hiệu là un , vn , xn , yn , . . . thay vì u(n), v(n), . . . Bản thân dãy số được kí
hiệu là (un ), (vn ), (xn ), (yn ), . . . hoặc {un }, {vn }, {xn }, {yn }, . . .
Định nghĩa 1.2. Cho dãy un , n ∈ N.

• Dãy (un ) được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1 , ∀n ∈ N.
• Dãy (un ) được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1 , ∀n ∈ N.
• Dãy (un ) được gọi là dãy (đơn điệu) tăng ngặt nếu un < un+1 , ∀n ∈ N.
• Dãy (un ) được gọi là dãy (đơn điệu) giảm ngặt nếu un > un+1 , ∀n ∈
N.
Nhận xét 1.1.

• Nếu (xn ) tăng, (yn ) tăng thì (xn + yn ) tăng.
• Nếu (xn ) giảm, (yn ) giảm thì (xn + yn ) giảm.
• Nếu (xn ) tăng thì (−xn ) giảm và nếu (xn ) giảm thì (−xn ) tăng.
• Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) cùng tăng (giảm) thì (xn yn ) tăng
(giảm).


3

• Một dãy có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ xn = (−1)n
∀n ∈ N
Định nghĩa 1.3. Cho dãy số (xn ), n ∈ N.

• Dãy (xn ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại hằng số M sao cho
xn ≤ M

∀n ∈ N.

(1.1)

• Dãy (xn ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại hằng số m sao cho
xn ≥ m ∀n ∈ N.

(1.2)

Các số M thỏa mãn (1.1) được gọi là cận trên của dãy số, số bé nhất
trong các cận trên được gọi là cận trên đúng của (xn ), kí hiệu supn xn . Các
số m thỏa mãn (1.2) được gọi là cận dưới của dãy số, số lớn nhất trong
các cận dưới được gọi là cận dưới đúng của (xn ), kí hiệu inf n xn .
Định lý 1.1. Dãy (un ) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới,
nghĩa là tồn tại một số M và một số m sao cho ∀n ∈ N, m ≤ un ≤ M.

1.1.2

Một vài dãy số đặc biệt

Cấp số cộng
Định nghĩa 1.4. Dãy số u1 , u2 , u3 , . . . được gọi là một cấp số cộng với
công sai d (d = 0) nếu un = un−1 + d, ∀n = 2, 3, . . ..
Tính chất 1.1. Dãy số {un } là cấp số cộng với công sai d thì
uk−1 + uk+1
• un = u1 + (n − 1)d và uk =
với mọi k = 2, 3, . . .
2
• Nếu cấp số cộng hữu hạn phần tử u1 , u2 , . . . , un thì u1 +un = uk +un−k
với mọi k = 2, 3, . . . , n − 1.
n

n
• Sn = u1 + u2 + · · · + un = (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d].
2
2

Cấp số nhân
Định nghĩa 1.5. Dãy số u1 , u2 , u3 , . . . được gọi là một cấp số nhân với
công bội q (q = 0, q = 1) nếu un = un−1 · d, ∀n = 2, 3, . . ..
Tính chất 1.2. Dãy số {un } là cấp số nhân với công bội d thì


4

• un = u1 · q n−1 với mọi k = 2, 3, . . .
• u2k = uk−1 · uk+1 với ∀k = 2, 3, . . .
u1 (q n − 1)
.
• Sn = u1 + u2 + · · · + un =
q−1
Nhận xét 1.2. Theo định nghĩa ta có

• Nếu {un } là một cấp số cộng và a > 0 thì dãy {vn } với vn = aun
∀n ∈ N lập thành một cấp số nhân.
• Nếu {un } là một cấp số nhân với số hạng dương và 0 < a = 1 thì dãy
{vn } với vn = loga un ∀n ∈ N lập thành một cấp số cộng.
Nhận xét 1.3. Nếu |q| < 1 thì {un } được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
u1
.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức S =
1−q

Cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.6. Dãy số dương {un } thỏa mãn điều kiện

un =

2un−1 un+1
,
un−1 + un+1

∀n > 1

được gọi là cấp số điều hòa.

Dãy Fibonaci
Định nghĩa 1.7. Dãy u1 , u2 , . . . được xác định như sau

u1 = 1, u2 = 1
un = un−1 + un−2 , ∀n = 3, 4, . . .
được gọi là dãy Fibonaci.
Dãy Fibonaci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự
nhiên trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Người ta đã tìm được công thức
tổng quát của dãy là (công thức Binet)
√ n
√ n
1
1+ 5
1
1− 5
un = √

−√
.
2
2
5
5


5

Dãy số dạng xn+1 = f (xn )
Đây là dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số.
Dãy số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban đầu x0 . Do vậy sự
hội tụ của dãy số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f (x) và x0 .
Một đặc điểm quan trọng của dãy số này là nếu a là giới hạn của dãy
số thì a phải là nghiệm của phương trình x = f (x). Chúng ta có một số
kết quả cơ bản như sau.
Định lý 1.2. Cho dãy số

(xn ) :

x0 = a
xn+1 = f (xn ).

Khi đó, nếu hàm số y = f (x) đồng biến, thì dãy đã cho đơn điệu.
Khi đó, để biết dãy tăng hay giảm cần xét dấu của biểu thức f (x) − x.
Định lý 1.3. Cho dãy số (xn ) : x0 = a, xn+1 = f (xn ). Khi đó, nếu hàm
số y = f (x) nghịch biến thì hai dãy con (x2k ) và (x2k+1 ) đơn điệu ngược
chiều. Trong trường hợp này hai dãy con (x2n ) và (x2n+1 ) là hai dãy con
kề nhau.

Nhận xét 1.4. Để biết dãy nào tăng, dãy nào giảm ta xét dấu của
f (f (x)) − x.
Định nghĩa 1.8. Hàm số f : (a, b) → (a, b) được gọi là một hàm số co
trên (a, b) nếu tồn tại số thực q, 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ q|x − y|
với mọi x, y thuộc (a, b).
Định lý 1.4. Nếu f (x) là hàm số co trên khoảng (a, b) thì dãy số {xn }
xác định bởi x0 = a ∈ (a, b), xn+1 = f (xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là
nghiệm duy nhất trên (a, b) của phương trình x = f (x).
Định nghĩa 1.9. Dãy {un } được gọi là hội tụ về a, ký hiệu limn→∞ un = a,
nếu với mọi ε > 0 cho trước tùy ý, tìm được số n0 sao cho với mọi n ≥ n0
đều có |un − a| < ε, tức là

lim un = a ⇔ ∀M > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n > n0 , |un − a| < ε.

n→∞

Định lý 1.5 (Tính duy nhất của giới hạn). Giới hạn của một dãy hội tụ
là duy nhất.


6

Định lý 1.6 (Tính thứ tự của dãy hội tụ). Cho limn→∞ xn = l và a ∈ R.
Khi đó:

• Nếu a > l thì ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 ta đều có a > xn .
• Nếu a < l thì ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 ta đều có a < xn .
Định lý 1.7 (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức). Cho limn→∞ xn =
l và a ∈ R. Khi đó:

• Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≥ a thì l ≥ a.
• Nếu ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ≤ a thì l ≤ a.
Định lý 1.8 (Định lý giới hạn kẹp giữa). Cho ba dãy số {xn }, {yn }, {zn }
thỏa mãn

• ∃n0 ∈ N : ∀n ≥ n0 ⇒ zn ≤ xn ≤ yn .
• Các dãy {yn }, {zn } cùng hội tụ đến l.
Khi đó dãy {xn } hội tụ và limn→∞ xn = l.
Định lý 1.9 (Tính chất đại số của dãy hội tụ). Cho hai dãy {xn }, {yn }
và limn→∞ xn = a, limn→∞ yn = b. Khi đó

• Dãy {−xn } hội tụ và limn→∞ (−xn ) = −a.
• Dãy {|xn |} hội tụ và limn→∞ |xn | = |a|.
• Dãy {xn + yn } hội tụ và limn→∞ (xn + yn ) = a + b.
• Dãy {xn − yn } hội tụ và limn→∞ (xn − yn ) = a − b.
• Dãy {kxn } hội tụ và limn→∞ (kxn ) = ka.
• Dãy {xn · yn } hội tụ và limn→∞ (xn · yn ) = ab.
1
• Với b = 0 thì dãy
được xác định từ một chỉ số nào đó là hội tụ
yn
1
1
và limn→∞
= .
yn
b
xn
• Với b = 0 thì dãy
được xác định từ một chỉ số nào đó là hội

yn
xn
a
tụ và limn→∞
= .
yn
b
Định lý 1.10. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.
Định lý 1.11. Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ.


7

Định lý 1.12 (Định lý Bolzano - Weierstrass). Từ một dãy bị chặn luôn
rút ra được một dãy con hội tụ.
Định lý 1.13 (Tiêu chuẩn Cauchy). Dãy {xn } hội tụ khi và chỉ khi ∀ε > 0
cho trước tùy ý tìm được chỉ số n0 sao cho với mọi m, n ≥ n0 đều có
|xn − xm | < ε.

1.2
1.2.1

Các hệ thức lượng giác
Các hệ thức lương giác cơ bản
sin2 x + cos2 x = 1
tan x · cot x = 1

x=

kπ

2

π
1
x
=
+ kπ
cos2 x
2
1
1 + cot2 x =
(x = kπ)
sin2 x

1 + tan2 x =

∗ Cung đối
sin(−x) = − sin x
cos(−x) = cos x
tan(−x) = − tan x
cot(−x) = − cot x
∗ Cung bù
sin(π − x) = sin x
cos(π − x) = − cos x
tan(π − x) = − tan x
cot(π − x) = − cot x
∗ Cung sai kém π
sin(π + x) = − sin x
cos(π + x) = − cos x
tan(π + x) = tan x

cot(π + x) = cot x


8

∗ Cung phụ
π
−x
2
π
cos
−x
2
π
tan
−x
2
π
cot
−x
2
sin

= cos x
= sin x
= cot x
= tan x

∗ Công thức cộng
cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b

sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b
tan a ± tan b
π
tan(a ± b) =
,
a, b = + kπ
1 ∓ tan a tan b
2
cot a cot b ∓ 1
cot(a ± b) =
, (a, b = kπ)
cot a ± cot b
∗ Công thức nhân đôi
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a
π kπ
2 tan a
,
a
=
+
,k ∈ Z
tan 2a =
1 − tan2 a
4
2
cot2 a − 1
kπ
cot 2a =
,

a=
,k ∈ Z
2 cot a
2
∗ Công thức nhân ba
sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a
cos 3a = −3 cos a + 4 cos3 a
3 tan a − tan3 a
,
tan 3a =
1 − 3 tan2 a

a=

π kπ
+
6
3

∗ Công thức hạ bậc
1
sin2 a = (1 − cos 2a)
2
1
cos2 a = (1 + cos 2a)
2

1
sin3 a = (3 sin a − sin 3a)
4

1
cos3 a = (3 cos a + cos 3a)
4


9

3 sin a − sin 3a
3 cos a + cos 3a
3
cos a + cos 3a
cot3 a =
3 sin a − sin 3a

1 − cos 2a
1 + cos 2a
1
+ cos 2a
cot2 a =
1 − cos 2a

tan3 a =

tan2 a =

∗ Công thức biến đổi theo t = tan
2t
sin a =
,
1 + t2

a
2

1 − t2
cos a =
,
1 + t2

tan a =

2t
1 − t2

∗ Công thức biến đổi tổng thành tích
a−b
a+b
cos
2
2
a+b
a−b
cos a − cos b = −2 sin
sin
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2 sin
cos

2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
sin(a ± b)
tan a ± tan b =
cos a cos b
sin(b ± a)
cot a ± cot b =
sin a sin b
cos a + cos b = 2 cos

∗ Công thức biến đổi tích thành tổng
1
[cos(a − b) + cos(a + b)]
2
1
sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)]
2
cos a cos b =

1.2.2

Các hệ thức lượng giác hypebolic

Định nghĩa
Cho x ∈ R, kí hiệu

cosh x =

ex + e−x
và gọi cosh x là hàm côsin hypebolic;
2


10

ex − e−x
và gọi sinh x là hàm sin hypebolic;
sinh x =
2
sinh x
tanh x =
và gọi tanh x là hàm tang hypebolic;
cosh x
cosh x
coth x =
và gọi coth x là hàm côtang hypebolic.
sinh x
Tính chất
Để ý rằng

ex − e−x

ex + e−x
, sin ix =
cos ix =
2
2i

do đó

cosh x = cos ix, sinh x = −i sin ix, tanh x = −i tan ix; coth x = i cot ix.
Vì vậy, tất cả các công thức lượng giác đối với sin x, cos x, tan x, cot x thì
cũng có thể áp dụng cho sinh x, cosh x, tanh x, coth x.

∗ Các đồng nhất thức cơ bản
cosh2 x − sinh2 x = 1
1
1 − tanh2 x =
cosh2 x
1
coth2 x − 1 =
sinh2 x
∗ Công thức cộng
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ∓ cosh x sinh y
cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
tanh x ± tanh y
tanh(x ± y) =
1 ± tanh x tanh y
∗ Công thức góc nhân đôi
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x = 2 cosh2 x − 1 = 2 sinh2 x + 1
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
2 tanh x

tanh 2x =
1 + tanh2 x


11

∗ Công thức góc nhân ba
cosh 3x = 4 cosh3 x − 3 cosh x
sinh 3x = 4 sinh3 x + 3 sinh x
3 tanh x + tanh3 x
tanh 3x =
1 + 3 tanh2 x
∗ Công thức biến đổi tổng thành tích
x+y
x−y
cosh
2
2
x+y
x−y
cosh x − cosh y = 2 sinh
sinh
2
2
x+y
x−y
sinh x + sinh y = 2 sinh
cosh
2
2

x−y
x+y
sinh
sinh x − sinh y = 2 cosh
2
2
sinh(x + y)
tanh x + tanh y =
cosh x cosh y
sinh(x − y)
tanh x − tanh y =
cosh x cosh y
cosh x + cosh y = 2 cosh

∗ Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cosh x cosh y = [cosh(x − y) + cosh(x + y)]
2
1
sinh x sinh y = [cosh(x − y) − cosh(x + y)]
2
1
sinh x cosh y = [sinh(x − y) + sinh(x + y)]
2
∗ Hàm số y = sinh x
+ Tập xác định R, hàm sinh x là hàm lẻ (vì sinh(−x) = − sinh(x)).
e2x − 1
ex − e−x
=
và ex > 0 ∀x ∈ R nên sinh x ≥ 0, ∀x ≥

+ Vì sinh x =
x
2
2e
0 và sinh x < 0, ∀x < 0.
+ Do y = cosh x ≥ 1, y = sinh x nên hàm y = sinh x luôn đồng biến
trên R và lồi với mọi x < 0, lõm với mọi x ≥ 0.

∗ Hàm số y = cosh x


12

+ Tập xác định R, hàm cosh x là hàm chẵn (vì cosh(−x) = cosh(x)).
1 √
ex + e−x
≥ · 2 ex e−x = 1, vậy cosh x ≥ 1.
+ Ta có cosh x =
2
2
+ Do y = sinh x, y = cosh x ≥ 1 nên hàm y = cosh x đồng biến trong
[0, +∞) và nghịch biến trong (−∞, 0) và là hàm lõm với mọi x ∈ R.

1.3

Một số lưu ý về phương pháp lượng giác hóa
dãy số

Ta để ý rằng

|a| ≤ 1 ⇔ ∃t ∈ [0, π] sao cho a = cos t;
a > 1 ⇔ ∃t ∈ R sao cho a = cosh t;
a < −1 ⇔ ∃t ∈ R sao cho a = − cosh t;
−π π
a ∈ R ⇔ ∃t ∈
,
sao cho a = tan t.
2 2
Giống như phương pháp giải phương trình, tính tích phân,... khi xét một
số bài toán dãy số ta cũng lượng giác hoá hoặc lượng giác hypebolic hoá
chúng. Cách biễu diễn số hạng đầu cần tương thích với công thức truy hồi
của dãy.
Ví dụ 1.1. Cho dãy (un ) với un = 2n

2−

2+

2 + ... +

√

2 (n + 1

dấu căn). Tìm limn→∞ un .

√
Lời giải. Đặt vn =
2 + 2 + 2 + . . . + 2 (n dấu căn), un =
√

√
√
a
2n 2 − vn . Do vn+1 = 2 + vn và 2 + 2 cos a = 2 cos nên ta viết
2
π
π
v1 = 2 cos 22 , bằng quy nạp suy ra vn = 2 cos n+1 . Vậy
2
π
un = 2n+1 sin n+2 .
2
sin x
Sử dụng tính chất limx→0
= 1. Khi đó ta có
x
n+1

lim un = lim 2

n→∞

n→∞

sin

π
2n+2

π 2n+2

π
π
= lim
sin n+2 = .
n→∞ 2 π
2
2


13

1.3.1

Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy số
xn+1 = f (xn )

Trong một số trường hợp hàm f (x) có dạng

f (x) = ax2 + bx + c, f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, f (x) =

P (x)
.
Q(x)

• Sử dụng công thức cos 2a = 2cos2 a − 1, cosh 2a = 2 cosh2 a − 1 ta
giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+1 = 2x2n − 1 tùy
theo |x1 | ≤ 1, |x1 | ≥ 1.
• Sử dụng công thức cos 3a = 4 cos3 a − 3 cos a, sin 3a = 3 sin a −
4 sin3 a, cosh 3a = 4 cosh3 a − 3 cosh a, sinh 3a = 4sh3 a + 3 sinh a ta
giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+1 = 4x3n −

3xn , xn+1 = 3xn − 4x3n , xn+1 = 4x3n + 3xn với x1 tương thích.
2 tan a
3 tan a − tan3 a
• Sử dụng công thức tan 2a =
, tan 3a =
ta
1 − tan2 a
1 − 3tan2 a
3xn − x3n
2xn
, xn+1 =
.
tìm được số hạng tổng quát của dãy xn+1 =
1 − x2n
1 − 3x2n
• Xét tương tự cho cot 2a, cot 3a, . . .

√
u1 = 3
2
Ví dụ 1.2. Cho dãy số (un ) có
. Tìm un .
un+1 = 3un − 1
6un
vn+1
vn2 − 1
vn
.
Lời giải. Ta biểu diễn un = √ , thay vào giả thiết có √ = √
3

3
2 3vn
Ta chọn v1 = 3 = cot a ⇒ v2 = cot 2a. Bằng quy nạp ta suy ra vn =
cot 2n−1 a.
1.3.2

Nhận xét về phương pháp lượng giác xác định dãy số
xn+2 = f (xn+1 , xn )

Trong một vài trường hợp đặc biệt, sử dụng công thức

cos(n + 2)a = 2 cos a cos(n + 1)a − cos na,
sin(n + 2)a = 2 cos a sin(n + 1)a − sin na
ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+2 = kxn+1 − xn
với |k| ≤ 2.


14

Sử dụng công thức

sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x,
sinh(x − y) = sinh x cosh y − sinh y cosh x,
sinh(n + 2)a = 2 cosh a sinh(n + 1)a − sinh na
ta giải được bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy xn+2 = kxn+1 − xn
với |k| ≥ 2.
Ví dụ 1.3. Xác định số hạng tổng quát của dãy (xn ) biết xn+2 = 4xn+1 −
xn , x1 = 1, x2 = 2.
Lời giải. Biểu diễn

2=

ea + e−a
= cosh a, x1 = sinh(a + k), x2 = sinh(a + 2k).
2

Từ

xn+2 = 4xn+1 − xn
⇒ x3 = 2 cosh a sinh(a + 2k) − sinh(a + k) ⇒ x3 = sinh(a + 3k).
Bằng quy nạp ta có xn = sinh(a + nk). Bằng phương pháp đổi dãy đưa
xn+2 = axn+1 + bxn về một trong 2 dạng xn+2 = kxn+1 − xn khi |k| ≤ 2,
|k| ≥ 2.


15

Chương 2
Phương pháp lượng giác xác định
dãy số và tính giới hạn
2.1
2.1.1

Phương pháp lượng giác xác định dãy số
Sử dụng phép thế lượng giác xác định công thức tổng
quát của dãy số

Mỗi một công thức lượng giác sẽ cho chúng ta một đẳng thức đại số
và nhiều dãy số có công thức phức tạp sẽ trở lên đơn giản nếu như chúng
ta khéo léo sử dụng các phép thế lượng giác. Ở đây, chúng ta xét các bài

toán được giải bằng cách dựa trên các đặc trưng của một số đa thức đại
số sinh bởi hàm số sin và cosin.
Bài toán 2.1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un } biết rằng

u1 ∈ R
un+1 = 2u2n − 1, ∀n = 1, 2, . . . .
Lời giải. Từ công thức truy hồi của dãy ta liên tưởng tới các công thức
nhân đôi. Ta có:
Nếu |u1 | ≤ 1 thì tồn tại α sao cho cos α = u1 . Khi đó

u2 = 2 cos2 α − 1 = cos 2α,
u3 = 2 cos2 2α − 1 = cos(22 α),
... ......
un = cos(2n−1 α).


16

Nếu |u1 | ≥ 1, xét số thực β sao cho

1
1
β+
u1 =
2
β

2

⇔ β − 2u1 β + 1 = 0 ⇔

u21 − 1 thì u1 =

Do đó, nếu đặt β = u1 +

1
1
2
β+
2
β

2

−1=

β = u1 +
β = u1 −

u21 − 1
u21 − 1.

1
1
β+
. Ta có
2
β

1
1

β2 + 2
2
β

.

Do đó,

1
1
0
β 2 + 20
2
β
1
1
1 2
1
1
2
u2 = 2u1 − 1 = 2
−1=
β+
β 2 + 21
2
β
2
β
u1 =

1
1
β+
2
β

=

.

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

un =

1
1
n−1
β 2 + 2n−1
2
β

∀n ≥ 1.

Hay

un =

1
(u1 −
2

n−1

u21 − 1)2

+ (u1 +

n−1

u21 − 1)2

.

Bài toán 2.2. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn } biết rằng

x1 = α
xn+1 = ax2n + b, ∀n ∈ N∗ , ab = −2.

(2.1)

Lời giải. Từ công thức cos 2x = 2 cos2 x − 1 gợi ý cho chúng ta cố gắng
đưa dãy số đã cho về dãy số {yn }+∞
n=1 thỏa mãn

yn+1 = 2yn2 − 1, ∀n = 1, 2, 3, . . .

(2.2)

Đặt xn = pyn . Khi đó, pyn+1 = ap2 yn2 + b, kéo theo

b
yn+1 = apyn2 + .
p

(2.3)


17

Từ (2.2) và (2.3), suy ra

ap = 2
b
 = −1
p


p = 2
a
⇒
p = −b

(ab = −2).

2
Vậy ta sẽ đặt xn = yn ⇔ xn = −byn (do ab = −2). Khi đó,
a
yn =

1

−α
−1
x n ⇒ y1 = − α =
.
b
b
b

Thay vào (2.1) ta được

yn+1 = 2yn2 − 1, ∀n = 1, 2, 3, . . .
Sau đó sử dụng kết quả của Bài toán (2.1).
Bài toán 2.3. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {xn } biết rằng

1

x1 <
2
(2.4)
1

xn+1 = 4x2n − , ∀n ∈ N∗ .
2

1
Lời giải. Đặt xn = yn ta được dãy số (yn ) thỏa mãn: y1 = 2x1 < 1 và
2
1
1
yn+1 = yn2 − ⇔ yn+1 = 2yn2 − 1.

2
2

(2.5)

Sử dụng kết quả của Bài toán 2.1 ta được

yn =
Suy ra xn =

1
1
n−1
β 2 + 2n−1
2
β

1
1
1
n−1
yn =
β 2 + 2n−1
2
4
β

∀n = 1, 2, 3, . . .
, ∀n = 1, 2, . . . với β = x1 +

x21 − 1.
Bài toán 2.4. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un } biết rằng

u1 ∈ R
un+1 = 4u3n − 3un .


18

Lời giải. Nếu |u1 | ≤ 1 thì tồn tại ϕ sao cho cos ϕ = u1 . Khi đó:

u2 = 4 cos3 ϕ − 3 cos ϕ = cos 3ϕ,

, un = cos 3n−1 ϕ.

Nếu |u1 | > 1, xét số thực β sao cho

1
1
u1 =
β+
2
β
Đặt β = u1 +

u1 =

1
2

u2 = 4
Giả sử un =

un+1

1
2

2

⇔ β − 2u1 β + 1 = 0 ⇔

β = u1 +
β = u1 −

u21 − 1
u21 − 1.

1
1
1
β+
, = u1 − u21 − 1. Ta có
2
β
β
1
1
1
0

β+
=
β 3 + 30
β
2
β
3
1
1
1
1
1
1
1
β+
−3
β+
=
β 3 + 31 .
2
β
2
β
2
β
1
n−1
β 3 + 3n−1 , khi đó
β
u21 − 1 thì u1 =

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
=4
2
β

3

−3

1
1
n−1
β 3 + 3n−1
2
β

=

1
1
n
β 3 + 3n
2
β

Theo nguyên lý quy nạp toán học ta suy ra

1
1
n
β 3 + 3n , ∀n = 1, 2, 3, . . .
un+1 =
2
β
1
n
n
Hay un+1 =
(u1 + u21 − 1)3 + (u1 − u21 − 1)3 .
2
Bài toán 2.5. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un } biết rằng

u1 = 2
un+1 = 9u3n − 3un , ∀n = 1, 2, . . .
2
Lời giải. Đặt un = xn , khi đó ta có
3
x1 = 3
xn+1 = 4x3n − 3xn , ∀n = 1, 2, . . .
Áp dụng kết quả của Bài toán 2.4 ta được
√ n−1
√ n−1
1
.
xn =
(3 + 2 2)3 + (3 − 2 2)3
2

√ n−1
√ n−1
2
1
Vậy un = xn =
(3 + 2 2)3 + (3 − 2 2)3
.
3
3

.


19

Bài toán 2.6. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un } biết rằng

u1 = α
un+1 = au3n + 3un , a > 0
2
Lời giải. Đặt un = √ yn . Khi đó ta có
a
√

α a

y1 =
2

yn+1 = 4yn3 + 3yn , ∀n ∈ N∗ .

Xét số thực β sao cho

y1 =

1
1
β−
2
β

Nếu đặt β = y1 +

y1 =

⇔ β 2 − 2y1 β − 1 = 0 ⇔

β = y1 +
β = y1 −

y12 + 1
y12 + 1.

y12 + 1 thì
1
1
β−
2
β

,

1
= −(y1 −
β

y12 + 1).

Ta có

1
1
1
1
0
β−
=
β 3 − 30
2
β
2
β
1
1 3
1
1
β−
+3
β−
y2 = 4
2

β
2
β
y1 =

Giả sử yn =

yn+1

1
1
n−1
β 3 − 3n−1
2
β

1
1
n−1
=4
β 3 − 3n−1
2
β

=

1
1
1
β 3 − 31

2
β

.

, ∀n = 1, 2, . . .. Khi đó
3

+3

1
1
n−1
β 3 − 3n−1
2
β

Theo nguyên lý quy nạp suy ra yn =

=

1
1
n−1
β 3 − 3n−1
2
β

1
1

n
β 3 − 3n
2
β

, ∀n = 1, 2, . . ..

Vậy

1
un = √
a

√
α a
+
2

α2 a
+1
4

3n−1

+

√
α a
−
2

α2 a
+1
4

3n−1

.

.


20

Bài toán 2.7 (Đề đề nghị thi Olympic 30/4/1999). Xác định số hạng tổng
quát của dãy số {un } biết rằng

u1 = 2
un+1 = 9u3n + 3un , ∀n = 1, 2, 3, . . .
2
Lời giải. Đặt un = xn , khi đó ta có
3
x1 = 3
xn+1 = 4x3n + 3xn , ∀n = 1, 2, 3, . . .
Áp dụng kết quả của Bài toán 2.6 ta được
√
√
1
n−1
n−1

(3 + 10)3 + (3 − 10)3
.
xn =
2
√
√
2
1
n−1
n−1
Vậy un = xn =
(3 + 10)3 + (3 − 10)3
.
3
3
Bài toán 2.8. Xác định số hạng tổng quát của dãy số {un } biết rằng


x1 = α



xn+1 = ax3n + bx2n + cxn + d, ∀n ∈ N∗
(2.6)

2
3

b
+

9a
b
+
18ab

 a > 0, c =
,d =
.
3a
27a2
Lời giải.
∗ Nhận xét: Xét hàm số

b2 + 9a
b3 + 18ab
f (x) = ax + bx + cx + d a > 0, c =
,d =
.
3a
27a2
3

2

Khi đó un+1 = f (un ), ∀n = 1, 2, . . . Ta có f (x) là đa thức bậc ba và

f (x) = 3ax2 + 2bx + c;
f (x) = 6ax + 2b
−b
f (x) = 0 ⇔ x = − .

3a
−b −b
Vậy điểm uốn của đồ thị hàm số f (x) là A
;
. Ta biết rằng đồ thị
3a 3a
−b −b
hàm số f (x) nhận điểm uốn A
;
làm tâm đối xứng. Do đó, nếu
3a 3a