phương pháp lượng giác hóa pt đại số

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT
NHỜ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA
Khi gặp các phương trình đại số đại số rất khó giải, khi đó chúng ta xem có thể thay đổi hình thức của bài
toán (thường thông qua phương pháp ẩn phụ) để thu được những phương trình đơn giản hơn hay không!
Trong một số trường hợp ta có thể chuyển phương trình đại số thành phương trình lượng giác thông qua các
dấu hiệu đặc biệt của các biểu thức chứa ẩn có mặt trong PT và thông qua miền giá trị của chúng.
I CÁC BIỂU THỨC THƯỜNG ĐƯỢC LƯỢNG GIÁC HÓA
BIỂU THỨC ĐẠI SỐ CÁCH CHỌN ẨN PHỤ
2 2
a x−
sin ;
2 2
x a t t
π π
= − ≤ ≤
hoặc
cos ;0x a t t
π
= ≤ ≤
2 2
x a−
;
sin
a
x
t
=
{ }
; \ 0
2 2

t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc
;
cos
a
x
t
=
[ ]
0; \
2
t
π
π
 
∈
 
 
2 2
a x+
tan ; ;
2 2
x a t t
π π
= − < <

hoặc
cot ;0 ;x a gt t
π
= < <
2 2
ax
1
c
bx
c
   
+ =
 ÷  ÷
   
[ ]
.sin
; 0 ; 2
.cos
c t
x
a
t
c t
y
a
π

=



∀ ∈


=


3
4 3x x−
(giống
3
4cos 3cost t−
os3tc
→
)
cos ; 0x t t
π
= ≤ ≤
2
2 1x −
(giống
2
2cos 1t −
os2tc→
)
cos ; 0x t t
π
= ≤ ≤
2
2
1

x
x−
(giống
2
2 tan
tan 2
1 tan
t
t
t
→
−
)
tan ;
2 2
x t t
π π
−
= < <
2
2
1
x
x+
(giống
2
2 tan
n 2
1 tan
t

si t
t
→
+
)
tan ;
2 2
x t t
π π
−
= < <
II CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: Giải phương trình :
( ) ( )
2
3
23
121 xxxx −=−+
Giải :
+ ĐK :
→≤≤−
11 x
ẩn phụ
ϕ
cos=x
với
πϕ
≤≤0
.
1 Nguyễn Công Mậu

PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
+ Khi đó
2
1 sinx
ϕ
− =
;
sin 0 sin sin
ϕ ϕ ϕ
≥ ⇒ =
+ Ta có phương trình :
3 3
os sin 2 sin . osc c
ϕ ϕ ϕ ϕ
+ =

( ) ( )
sin os 1 sin . os 2 sin . osc c c
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
⇔ + − =
+ Đặt
sin os = 2 sin
4
u c
π
ϕ ϕ ϕ
 
= + +
 ÷
 

+ Vì :
5 2
0 sin 1
4 4 4 2 4
π π π π
ϕ π ϕ ϕ
 
≤ ≤ ⇒ ≤ + ≤ ⇒ − ≤ + ≤
 ÷
 

1 2u⇒ − ≤ ≤
+ Thu gọn phương trình theo ẩn u ta được :
2
( 2)( 2 2 1) 0u u u− + + =
(*)
+ PT (*) có các nghiệm là :
2 ; 2 1 ; 2 1 2u u u= = − + = − − < −
(loại)
+ Với
2 2 ( )
4
u k k Z
π
ϕ π
= ⇔ = + ∈
2
2
x⇒ =
+Vơi

2
u 1
sin os =1- 2 sin . os = 1 2
2
u c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
−
= + ⇒ = −
Vậy
sin , osc
ϕ ϕ
là nghiệm PT :
2
2 1 ( 2 1)(3 2)
(1 2) 1 2 0
2
t t t
− + ± − +
− − + − = ⇔ =
+ Vì
- 2 1 ( 2 1)(3 2)
sin 0 os =
2
c x
ϕ ϕ
+ − − +
≥ ⇒ =
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là :
2
2

x =
và
- 2 1 ( 2 1)(3 2)
2
x
+ − − +
=
Ví dụ 2: Giải phương trình :
2 2
1 1
1
2 2
x x
a a
a a
   
+ −
− =
 ÷  ÷
   
với tham số
( )
0;1a ∈
Giải :
2 2
1 1
1
2 2
x x
a a

a a
   
+ −
− = ⇔
 ÷  ÷
   
2 2
1 1
1
2 2
x x
a a
a a
   
+ −
= +
 ÷  ÷
   
+ Chia cả hai vế của phương trình cho
2
1
2
x
a
a
 
+
 ÷
 
, ta được :

2
2 2
2 1
1
1 1
x
x
a a
a a
 
−
 
= +
 ÷
 ÷
+ +
 
 
.
+ Vì
( )
0;1a ∈
nên tồn tại góc
0;
2
π
ϕ
 
∈
 ÷

 
để cho
tan
2
a
ϕ
=
.
+ Thu được phương trình :
2
2 tan
2
1
1 tan
x
ϕ
ϕ
 
 ÷
=
 ÷
+
 ÷
 
2
2
1 tan
2
1 tan
x

ϕ
ϕ
 
−
 ÷
+
 ÷
+
 ÷
 
( ) ( )
1 sin cos
x x
ϕ ϕ
⇔ = +
+ Hàm số
( ) ( )
sin cos
x x
y
ϕ ϕ
= +
là hàm nghịch biến và ta có :

( ) ( )
2 2
(2) sin cos 1f
ϕ ϕ
= + =
.

+ Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình :
Giải :
2 Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
( ) ( )
2332
121111 xxxx −+=






+−−−+
+ ĐK :
→≤≤− 11 x
ẩn phụ
ϕ
cos=x
với
πϕ
≤≤0
+ Khi đó
2
1 sinx
ϕ
− =
;
sin 0 sin sin

ϕ ϕ ϕ
≥ ⇒ =
+ Phương trình đã cho có dạng lượng giác là :
( ) ( )
3 3
1 sin 1 os 1 os 2 sinc c
ϕ ϕ ϕ ϕ
 
+ − − + = +
 
 
(1)
+ Vì
2
1 sin sin os sin os
2 2 2 2
c c
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
 
+ = + = +
 ÷
 
(do
πϕ
≤≤0
nên
sin 0 & os 0
2 2
c

ϕ ϕ
≥ ≥
)
+ Biến đổi (1) được :
( )
2 2
2 sin os 2 sin 2 sin 2 os =1
2 2
c c
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
 
− + = + ⇔ −
 ÷
 
1 2
os =-
2
2
c
ϕ
⇔ = −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
2
os = -
2
x c
ϕ
=
Ví dụ 4 : Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :

( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
(1)
Giải : Điều kiện :
3 1x− ≤ ≤
.
+
3 3 4 1 1
(1)
4 3 3 1 1
x x
m
x x
+ + − +
⇔ =
+ + − +

+ Vì :
( ) ( )
2 2
2 2
3 1
3 1 4 1
2 2
x x
x x
   
+ −
+ + − = ⇔ + =

 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

⇒

∃
0;
2
π
ϕ
 
∈
 
 
sao cho :

2
2
3 2sin 2
1
t
x
t
ϕ
+ = =
+
và
2
2

1
1 2cos 2
1
t
x
t
ϕ
−
− = =
+
với
[ ]
tan ; 0;1
2
t t
ϕ
= ∈

2
2
3 3 4 1 1 7 12 9
5 16 7
4 3 3 1 1
x x t t
m m
t t
x x
+ + − + − + +
= ⇔ =
− + +

+ + − +
+ Xét hàm số :
[ ]
2
2
7 12 9
( ) ; 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− + +
= ∈
− + +

( )
[ ]
2
2
2
52 8 60
'( ) 0, 0;1
5 16 7
t t
f t t
t t
− − −
= < ∀ ∈
− + +
+

( )f t⇒
nghịch biến trên đoạn
[ ]
0;1
và
9 7
(0) ; (1)
7 9
f f= =

+ Vậy (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm trên đoạn
[ ]
0;1
khi và chỉ khi :
7 9
9 7
m≤ ≤
Ví dụ 5 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :
1x x m+ − =
(1)
Giải : ĐK :
0 1x
≤ ≤
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
(Nhận xét :
( ) ( )
2 2
1 1x x+ − =
để đặt ẩn phụ)
+ Đặt

sin ;
1 cos
x t
x t

=


− =


với
0;
2
t
π
 
∈
 
 

3 Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
+ (1)
sin cos 2 cos
4
t t m t m
π
 
⇔ + = ⇔ − =

 ÷
 
cos
4
2
m
t
π
 
⇔ − =
 ÷
 
.
+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
2 2m− ≤ ≤
+ Do điều kiện m>0 ta có :
20 ≤< m
Ví dụ 6 : Trên đoạn
[ ]
0;1
phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :

( ) ( )
2 4 2
8 1 2 8 8 1 1x x x x− − + =

Giải :
+ Vì
[ ]
0;1x ∈

nên tồn tại góc
0;
2
π
α
 
∈
 
 
sao cho
sinx
α
=
+ Ta có ph. trình:
( ) ( )
2 4 2
8sin 1 2sin 8sin 8sin 1 1
α α α α
− − + =
8sin .cos 2 .cos4 1
α α α
⇔ =
(*)
+ Nhận thấy
cos 0
α
=
không là nghiệm của phương trình (*)nên nhân hai vế của phương trình cho

cos 0 0;

2
π
α α
 
≠ ⇒ ∈
÷

 
ta được :

8sin .cos cos 2 .cos 4 cos sin8 cos sin8 sin
2
π
α α α α α α α α α
 
= ⇔ = ⇔ = −
 ÷
 

8 2
2
8 2
2
k
m
π
α α π
π
α π α π


= − +


 

= − − +
 ÷

 


2
18 9
2
14 7
k
m
π π
α
π π
α

= +

⇔


= +



;
,k m Z∈
+ Vì
0;
2
π
α
 
∈
÷

 
suy ra các nghiệm :
sin
18
x
π
=
;
5
sin
18
x
π
=
;
sin
14
x
π

=
;
5
sin
14
x
π
=
Ví dụ 7 : Cho hai phương trình :
( ) ( )
3 2 2 2 1 3
x x
+ = − +
(1) và
( )
2 1 2cos
9
x
π
+ =
(2)
Giả sử x là nghiệm của ph.trình (1). Ch. minh rằng, khi đó x cũng là nghiệm của phương trình (2) .
Giải :
+
( ) ( ) ( )
( )
2
1
3 2 2 2 1 3 2 1 3
2 1

x x x
x
+ = − + ⇔ + = +
+
+ Đặt
( )
2 1 2
x
t+ =
với t > 0. Khi đó phương trình (1) trở thành :
2 3
1 1
4 3 4 3
2 2
t t t
t
= + ⇔ − =
.
+ Xét
( )
1;1t ∈ −
, đặt
( )
cos , 0;t
α α π
= ∈
ta được
3
1 1 2
4cos 3cos cos3

2 2 9 3
k
π π
α α α α
− = ⇔ = ⇔ = ± +
+ Vì
( )
0;
α π
∈
nên
5 7
; ;
9 9 9
π π π
α
 
∈
 
 
suy ra
1 2 3
5 7
cos ; cos ; cos
9 9 9
t t t
π π π
= = =
4 Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

+Vì phương trình bậc ba có đủ ba nghiệm nên ta không xét nghiệm
( )
1;1t ∉ −
. Mặt hác
2
5
cos 0
9
t
π
= <

và
3
7
cos 0
9
t
π
= <
do đó nghiệm của phương trình (1) là :
1
cos
9
t
π
= ⇒

( )
2 1 2cos

9
x
π
+ =
.
+ Vậy nếu x là nghiệm của phương trình (1) thì x cũng là nghiệm của phương trình (2)
Ví dụ 8 : Giải phương trình :
2
2 2
1
x
x
x
+ =
−

Giải: Điều kiện:
1x >
. Đặt
1
; (0; );
cos 2
x
π
α
α
= ∈
Thu được PT mới có dạng LG như sau :
1 1
2 2 sin cos 2 2 sin cos

cos sin
α α α α
α α
+ = ⇔ + =

+ Đặt :
sin cos 2 cos
4
t
π
α α α
 
= + = −
 ÷
 

+ ĐK :
1 2;t≤ ≤

2
1
sin .cos
2
t
α α
−
⇒ =
+ Ta có PT :
2
2 2t t t= − − ⇔

2
2
2 2 0 2
1
2
t
t t t
t

=

− − = ⇔ ⇒ =
−

=



+
2 0; 2.
4 2
t x
π π
α
 
= ⇒ = ∈ ⇒ =
 ÷
 

Ví dụ 9 : Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm :

1x x m+ − =
(1)
Giải : ĐK :
0 1x≤ ≤
Phương trình (1) có nghiệm khi m>0
(Nhận xét :
( ) ( )
2 2
1 1x x+ − =
để đặt ẩn phụ)
+ Đặt
sin ;
1 cos
x t
x t

=


− =


với
0;
2
t
π
 
∈
 

 

+ (1)
sin cos 2 cos
4
t t m t m
π
 
⇔ + = ⇔ − =
 ÷
 
cos
4
2
m
t
π
 
⇔ − =
 ÷
 
.
+ Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi :
2 2m− ≤ ≤
+ Do điều kiện m>0 ta có :
20 ≤< m
Ví dụ 10 : Giải phương trình :
2
2 2
1

x
x
x
+ =
−

Giải: Điều kiện:
1x >
. Đặt
1
; (0; );
cos 2
x
π
α
α
= ∈
Thu được PT mới có dạng LG như sau :
5 Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1 1
2 2 sin cos 2 2 sin cos
cos sin
α α α α
α α
+ = ⇔ + =

+ Đặt :
sin cos 2 cos
4

t
π
α α α
 
= + = −
 ÷
 

+ ĐK :
1 2;t≤ ≤

2
1
sin .cos
2
t
α α
−
⇒ =
+ Ta có PT :
2
2 2t t t= − − ⇔
2
2
2 2 0 2
1
2
t
t t t
t


=

− − = ⇔ ⇒ =
−

=



+
2 0; 2.
4 2
t x
π π
α
 
= ⇒ = ∈ ⇒ =
 ÷
 

Ví dụ 11: Cho phương trình :
1 8 (1 )(8 )x x x x m+ + − + + − =
(1)
a) Giải PT (1) khi m= 3
b) Tìm m để PT (1) có nghiệm.
Giải :
+ Với điều kiện:
[ ]
1;8x∈ −

, ta đặt :
3 sin 1
3 cos 8
t x
t x

= +


= −


;
0;
2
t
π
 
∈
 
 
a) m = 3 ta có PT : 3sint+3cost+9sint.cost = 3
⇔
sint+cost+3sint.cost = 1 (2)
+ Đặt :
sin cos 2 sin ;
4
u t t t
π
 

= + = +
 ÷
 
ĐK :
1 2u≤ ≤

2
1
3 2 5 0
5
3
1 1 8
u
u u
u
u x x
=


⇔ + − = ⇔
−

=

⇒ = ⇒ = − ∨ =

Ví dụ 12: Giải phương trình sau :
( ) ( )
2
3 3

2
2 1
1 1 1 1
3
3
x
x x x
−
 
+ − + − − = +
 
 
Giải:
+ Điều kiện :
1x ≤
+ Với
[ 1;0]x ∈ −
: thì
( ) ( )
3 3
1 1 0x x+ − − ≤
(ptvn)
+
[0;1]x ∈
ta đặt :
cos , 0;
2
x t t
π
 

= ∈
 
 
. Khi đó phương trình trở thành:

1 1
2 6 cos 1 sin 2 sin cos
2
6
x t t t
 
+ = + ⇔ =
 ÷
 
vậy phương trình có nghiệm :
1
6
x =


Ví dụ 13: Giải phương trình sau:
3
6 1 2x x+ =
Giải:
6 Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
+ Lập phương 2 vế ta được:
3 3
1
8 6 1 4 3

2
x x x x− = ⇔ − =
+ Xét :
1x ≤
, đặt
[ ]
cos , 0;x t t
π
= ∈
. Khi đó ta được
5 7
cos ;cos ;cos
9 9 9
S
π π π
 
=
 
 
mà phương trình
bậc 3 có tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình.
Ví dụ 14: Giải phương trình
2
2
1
1
1
x
x
 

+
 ÷
−
 
=1
Giải: đk:
1x >
, ta có thể đặt
1
, ;
sin 2 2
x t
t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
+ Khi đó ptt:
( )
2
cos 0
1
1 cot 1
1
sin
sin 2
2
t
t

t
t
=


+ = ⇔

= −

+ Phương trình có nghiệm :
( )
2 3 1x = − +
Ví dụ 15: .Giải phương trình :
( )
( )
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2 1
x
x
x
x
x x

+
+
+ = +
−
Giải: đk
0, 1x x≠ ≠ ±
+ Ta có thể đặt :
tan , ;
2 2
x t t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
+ Khi đó ta có phương trình:
( )
2
2sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0t t t t t t+ − = ⇔ − − =
+ Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm
1
3
x =
Sau đây là xét mở rộng thêm ví dụ về lượng giác hóa để giải hệ phương trình :
Ví dụ 16: Xác định bộ 3 hệ số (x,y,z) thõa mãn hệ pt:






=+
=+
=+
xxzz
zzyy
yyxx
2
2
2
2
2
2
Hướng dẫn:
+ ( 0,0,0 ) là một nghiệm của hệ ; nhận xét
1,, ±≠zyx

→
Hệ tương đương với









−
=
−

=
−
=
2
2
2
1
2
1
2
1
2
z
z
x
y
y
z
x
x
y
+ Sự có mặt các vế phải của các pt
→
liên hệ đến công thức lượng giác
→
−
=
α
α
α

2
tan1
tan2
2tan
đặt
7 Nguyễn Công Mậu
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

24
tan
1
ππ
αα
k
x
x
+≠ →=
±≠

( )
1tan/
7
8tantan
8tan
4tan
2tan
±≠=⇔=⇒
=
=
=






→
αε
π
ααα
α
α
α
Znđk
n
x
z
y
→
Ngiệm của hệ là
7
4
tan,
7
2
tan,
7
tan
πππ
n
z

n
y
n
x ===
Ví dụ 17: Giải hệ phương trình:





=++






+=








+=







+
1
1
5
1
4
1
3
zxyzxy
z
z
y
y
x
x
Hướng dẫn:
+ Lưu ý :



≠
dcùng,,
0,,
zyx
zyx
và nếu x,y,z là 1 nghiệm thì (-x,-y,-z) cũng là nghiệm (do t/c đối xứng )
→

xét x, y, z > 0
+ Sự xuất hiện các biểu thức
z
z
y
y
x
x
1
,
1
,
1
+++
dạng chung là
→+
u
u
1
ẩn phụ :







<<===
2
,,0:,tan,tan,tan

π
γβαγβα
đkzyx
+ Sử dụng định lý hàm số sin

Ví dụ 18: Tìm giá trị của tham số m dể hệ phương trình sau có nghiệm :






=+−
=−−
23
01
2
mmmxy
yx
Hướng dẫn:
+ Đk :
→≤1x
đặt x = cos
ϕ

→
hệ pht :
( )




−=−
=
(*)32cossin
sin
mm
y
ϕϕ
ϕ
+ Đk hệ đã cho có nghiệm  (*) có nghiệm t/m đkiện sin
ϕ
> 0
III BÀI TẬP
Bài 1 : Giải phương trình :
2
2
21
2
121
x
xx
−=
−+
+ ĐK:
→≤≤− 11 x
ẩn phụ
πϕ
≤≤= 0,cos yx
Bài 2 : Giải phương trình sau :

3 2 3 2
(1 ) 2(1 )x x x x+ − = −
( HDẫn : Đặt
[ ]
cos ; 0;x
α α π
= ∈
)
Bài 3 : Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm :

2
1 1
1
m
x
x
+ =
−
( H.Dẫn : Đặt
( )
cos ; 0;x
α α π
= ∈
)
Bài 4 : Giải và biện luận phương trình theo tham số a , ( a > 0 )

2
2 4
x x
a a+ − =

(HDẫn : Lấy ĐK, sau đó đặt
2 cos
x
a
α
=
)
Bài 5 : Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm :
3 2
4 3 1 ;x x x− = −
8 Nguyễn Công Mậu
1)188)(21(8
24
=+−−
xxxx
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
( HD: Đk:
[ ]
1;1x∈ −
; Đặt :
cos ; ;
2 2
x t t
π π
−
 
= ∈
 
 
;)

Bài 6: Giải phương trình sau :
2 2 2x x= + − +
( Đặt
[ ]
2cos ; 0;x
α α π
= ∈
)
Bài 7: Giải phương trình :
2
2
5
1
2 1
x x
x
+ = +
+
( Đặt :
tan ; ; ;
2 2
x
π π
α α
−
 
= ∈
 ÷
 
)

Bài 8 : Tìm m để PT sau có nghiệm :
(4 3) 3 (3 4) 1 1 0m x m x m− + + − − + − =

Bài 9 : Cho đường tròn có phương trình: (C):
( ) ( )
2 2
1 2 2x y− + − =
Tìm M (x
0
;y
0
) thuộc ( C ) sao cho (x
0
+y
0
) nhỏ nhất.
HD :
2 2
1 2
(1) 1
2 2
x y− −
   
⇔ + =
 ÷  ÷
   
đặt :
1
sin ;
2

2
cos
2
x
y
α
α
−

=



−

=



Bài 10 : Cho phương trình :
3
3 1 0x x− + =

Chứng minh rằng phương trình có ba nghiệm
1 2 3
; ;x x x
và thỏa điều kiện:
2 2
1 2 2 3
2 ; 2x x x x= + = +

Bài 11 : Giải phương trình :

2 2
1 1
1
2 2
x x
a a
a a
   
+ −
− =
 ÷  ÷
   
với tham số
( )
0;1a ∈
Bài 12: Giải phương trình :
2
1 (1 ) 1
3
x x x x+ − = + −
( Đặt
2
cos ; 0; ;
2
x
π
α α
 

= ∈
 
 
)
Bài 13 : Giải các hệ phương trình sau :
2
2
2
2
2
2
x y yx
y z zy
z x xz

= −

= −


= −


HD : Rút x; y; z và đặt
tan ;
2 2
x
π π
α α
−

 
= < <
 ÷
 
Bài 14 : Giải các hệ phương trình sau :
2 2
1
3
( )(1 4 )
2
x y
x y xy

+ =


− + =



HD : Đăt
[ ]
sin ; cos ; 0;2x y
α α α π
= = ∈
.
Bài 15: Giải các phương trình sau :
1)
1 2 1 2
1 2 1 2

1 2 1 2
x x
x x
x x
− +
− + + = +
+ −
HD: vì
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x
+
=
−
nên đặt x=cost
2)
(
)
2 2
1 1 1 2 1x x x+ − = + −
ĐS:
1
2
x =
3)
3
3 2x x x− = +

HD: chứng minh
2x >
vô nghiệm
Tạm dừng
9 Nguyễn Công Mậu