Đề chọn đội tuyển VMO cấp tỉnh

Đề chọn đội VMO 2017
Nguyễn Trung Tuân
Ngày 25 tháng 10 năm 2016
Tóm tắt nội dung
Tài liệu chứa các đề chọn đội VMO 2017 của các tỉnh.

Mục lục
1 Thái Bình

4

2 Hà Nội

5

3 Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh
3.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
6
7

4 Thanh Hóa
4.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
8
9

5 Nam Định
10
5.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6 Quảng Bình
12
6.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7 Quảng Ninh
14
7.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1


Đề chọn đội VMO 2017

Nguyễn Trung Tuân

8 Ninh Bình
16
8.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9 Bắc Ninh

18

10 Đà Nẵng
19

10.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11 THPT Chuyên KHTN - ĐHQG Hà
11.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . .
11.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . .
11.3 Ngày thứ ba . . . . . . . . . . . . .
11.4 Ngày thứ tư . . . . . . . . . . . . .

Nội
. . .
. . .
. . .
. . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

21
21
22
23
24

12 Hà Tĩnh
25
12.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
12.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
13 Thành phố Hồ Chí Minh
27
13.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
14 Nghệ An
29

14.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
15 Hòa Bình
31
15.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
15.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
16 Hải Phòng
33
16.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
17 Phú Thọ
35
17.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
17.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


Đề chọn đội VMO 2017

Nguyễn Trung Tuân

18 Đồng Nai
37
18.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
18.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
19 Thái Nguyên

39

20 Hà Nam

40

21 THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
41
21.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
21.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
22 Bình Thuận

43

23 Lạng Sơn
44
23.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
23.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
24 Lào Cai

46

25 Hải Dương

47

26 Khánh Hòa
48
26.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
26.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
27 Quảng Nam

50

28 THPT Chuyên Đại học Vinh
51
28.1 Ngày thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
28.2 Ngày thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
29 Đoạn cuối

53


Đề chọn đội VMO 2017

1

Nguyễn Trung Tuân

Thái Bình

Câu 1(4,0 điểm). Cho dãy số (an ) có a1 ∈ R và an+1 = |an − 21−n | ∀n ∈ N∗ .
Tìm
lim an .
n→+∞

Câu 2 (4,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số f : R → R sao cho:
f (f (x + y) f (x − y)) = x2 − yf (y) ∀x, y ∈ R.
Câu 3 (4,0 điểm). Giải phương trình nghiệm nguyên dương xy y x = (x + y)z .
Câu 4 (4,0 điểm). Cho đường tròn (C) tâm O và AB, CD là hai đường
kính của đường tròn đó. Tiếp tuyến với đường tròn (C) tại B cắt AC tại P .
Gọi G là giao điểm thứ hai của đường thẳng DP với đường tròn (C). Gọi I
là trung điểm của AP . Chứng minh rằng
a) Các điểm O, B, C, I cùng nằm trên một đường tròn;

b) Ba đường thẳng AG, BC, OP đồng qui.
Câu 5 (4,0 điểm). Cho n > 2 là số nguyên dương. Các điểm A1 , A2 , · · · , An
cùng thuộc một đường tròn. Có tối đa bao nhiêu tam giác nhọn có đỉnh là 3
trong số các đỉnh trên nếu:
a. n = 4;
b. n = 2017.


Đề chọn đội VMO 2017

2

Nguyễn Trung Tuân

Hà Nội

Bài 1. Giải hệ phương trình

x2 − xy + y 2 − x − 3y − 2 = 0
x3 − x2 y + xy 2 + y 2 + x − y = 0.

Bài 2. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x; y; z) thỏa mãn 12x + y 4 = 56z .
Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x2 − f 2 (y)) = xf (x) + y 2 , ∀x, y ∈ R.
Bài 4. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) với trung tuyến AM. Đường
thẳng AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai D.
Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại E, đường thẳng AC cắt đường
thẳng BD tại F. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác ACE tại hai điểm A và P. Gọi (S1 ) là đường tròn đi qua
C và tiếp xúc với AB tại A, (S2 ) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với

AC tại A. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và Q là giao
điểm thứ hai của (S1 ) và (S2 ). Chứng minh tam giác OP Q là tam giác vuông.
Bài 5. Xét các cách viết các số 12 , 22 , ..., 82 trên 8 đỉnh của một hình lập
phương, mỗi đỉnh viết một số và hai đỉnh khác nhau viết hai số khác nhau.
Trong một cách viết, với mỗi cạnh của hình lập phương ta lập một số là tích
hai số ở 2 đầu mút của cạnh đó, gọi S là tổng của 12 số như vậy. Tìm giá trị
lớn nhất của S.


Đề chọn đội VMO 2017

3

Nguyễn Trung Tuân

Phổ thông Năng Khiếu - ĐHQG Thành
phố Hồ Chí Minh

Nguồn: TS. Trần Nam Dũng, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh.

3.1

Ngày thứ nhất

Bài 1. Tìm a để dãy số (un ) hội tụ biết u1 = a và


2un − 1, un > 0
∀n ≥ 1.
un+1 = −1, −1 ≤ un ≤ 0


 2
un + 4un + 2, un < −1
Bài 2. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
xk y k z k (x3 + y 3 + z 3 ) ≤ 3
đúng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 3.
Bài 3. Cho hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn các điều kiện: f tăng thực
sự và f (2n) = 2f (n) với mọi số nguyên dương n.
a) Giả sử f (1) = 3 và p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng tồn tại
n sao cho f (n) chia hết cho p.
b) Cho q là số nguyên tố lẻ. Hãy xây dựng một hàm f thỏa mãn các điều
kiện của bài toán mà f (n) không chia hết cho q với mọi số nguyên dương n.
Bài 4. Tam giác ABC có góc BAC tù, AH là đường cao. Điểm M thay
đổi trên cạnh AB. Dựng N sao cho hai tam giác BM N và HCA đồng dạng
(H và N khác phía đối với đường thẳng AB).
a) CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BM N tại K (khác M ). Chứng
minh N K luôn qua điểm cố định.
b) N H cắt AC tại P. Dựng Q sao cho hai tam giác HP Q và HN M (Q và
M khác phía đối với đường thẳng N P ). Chứng minh Q thuộc một đường
thẳng cố định.


Đề chọn đội VMO 2017

3.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Bài 1. Với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất số tự nhiên a thoả
a2 ≤ n < (a + 1)2 . Đặt ∆n = n − a2 .
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của ∆n khi n thay đổi và luôn thoả n = 15m2 với m
là số nguyên dương.
2) Cho p, q là các số nguyên dương và d = 5(4p + 3)q 2 . Chứng minh ∆d ≥ 5.
Bài 2. Với các số nguyên a, b, c, d thoả 1 ≤ a < b < c < d; ký hiệu
T (a, b, c, d) = {{x, y, z, t} ⊂ N|1 ≤ x < y < z < t; x ≤ a, y ≤ b, z ≤ c, t ≤ d}.
a) Tính số phần tử của T (1, 4, 6, 7).
b) Cho a = 1 và b ≥ 4. Gọi d1 là số phần tử của T (a, b, c, d) chứa 1 và không
chứa 2; d2 là số phần tử chứa 1, 2 và không chứa 3; d3 là số phần tử chứa
1, 2, 3 và không chứa 4. Chứng minh rằng d1 ≥ 2d2 − d3 . Dấu "=" xảy ra khi
nào?
Bài 3. Trong một hệ thống máy tính, một máy tính bất kỳ có kết nối
trực tiếp với ít nhất 30% máy tính khác của hệ thống. Hệ thống này có một
chương trình cảnh báo và ngăn chặn khá tốt, do đó khi một máy tính bị
virus, nó chỉ có đủ thời gian lây cho các máy tính được kết nối trực tiếp với
nó. Chứng minh rằng dù vậy, kẻ tấn công vẫn có thể chọn hai máy tính của
hệ thống mà nếu thả virus vào hai máy đó, ít nhất 50% máy tính của hệ
thống sẽ bị nhiễm virus.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn; đường tròn (I) có tâm I thuộc cạnh BC
và tiếp xúc với các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F . Lấy M, N bên trong tứ
giác BCEF sao cho EF N M nội tiếp (I) và các đường thẳng M N, EF, BC
đồng quy. M F cắt N E tại P, AP cắt BC tại D.
a) Chứng minh A, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Lấy trên các đường thẳng BN, CM các điểm H, K sao cho ACH =
ABK = 90◦ . Gọi T là trung điểm HK. Chứng minh T B = T C.


Đề chọn đội VMO 2017

4

Nguyễn Trung Tuân

Thanh Hóa

Nguồn: diendantoanhoc.net

4.1

Ngày thứ nhất

Câu 1. Tìm tất cả f : R → R sao cho
f (f (x) + f (y)) = f (x2 ) + 2x2 f (y) + f 2 (y) ∀x, y ∈ R.
√
Câu 2. Cho số thực a = −1/ 2. Xét dãy (an ) xác định bởi
a1 = a, xn+1 =

7 2a2n + 7 − 14
4an +

2a2n + 7

∀n ≥ 1.

Tìm a để dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. Cho tam giác ABC không cân tại A. Đường tròn nội tiếp có tâm I
tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC cắt EF tại P, Q. Gọi M là trung điểm của BC và O1 , O2 lần lượt
là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác IAB, IAC. Chứng minh rằng

a) D, Q, P, M cùng nằm trên một đường tròn;
b) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác DP Q nằm trên O1 O2 .
Câu 4. Tại bốn đỉnh của tứ diện ABCD có ghi các số a, b, c, d không bằng
nhau. Thực hiện phép biến đổi: thay (x, y, z, t) bởi bộ
(x + y + z − 3t, y + z + t − 3x, z + t + x − 3y, t + x + y − 3z)
theo một thứ tự tùy ý.
Chứng minh rằng, kể từ sau lần biến đổi đầu tiên, trong bốn đỉnh của tứ
diện có ít nhất một đỉnh mang số dương và sau một số lần thực hiện phép
biến đổi, có ít nhất một đỉnh mang số không bé hơn 2016.


Đề chọn đội VMO 2017

4.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Câu 1. Cho x, y, z > 0 thỏa

x=

1
.
x

Chứng minh rằng

1

3
≤
.
(2xy + yz + zx)2
16x2 y 2 z 2
Câu 2. Tìm tất cả đa thức P (x) với hệ số là các số nguyên thỏa mãn
2016
P (n)|n(n−1)
− 1 với mọi số nguyên dương n.
Câu 3. Với mọi số nguyên dương n cho trước, tính tổng sau theo n
]
[ n+1
2
i
Cn−i+1
.

Sn =
i=0


Đề chọn đội VMO 2017

5

Nguyễn Trung Tuân

Nam Định

Nguồn: diendantoanhoc.net

5.1

Ngày thứ nhất

Bài 1. Giải hệ
x3 − y 3 + 3y 2 + x − 4y + 2 = 0
√
2x2 + x + 9 + 2y 2 − 5y + 4 = 2x − y + 5.
Bài 2. Dãy số xn xác định bởi x1 = 1 và
xn+1 = 1 +

n
∀n ≥ 1.
xn

√
√
1. Chứng minh n < xn < n + 1, ∀n ≥ 2.
2. Với mỗi n ∈ N∗ , đặt yn = √xnn . Chứng minh yn hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) ngoại tiếp (I) và nội tiếp
(O). Gọi P là trung điểm của cung BC không chứa A của (O); J là điểm
đối xứng với I qua O. Tiếp tuyến tại I của (IBC) cắt BC tại M ; H là hình
chiếu của M trên OI. Gọi D là trung điểm cạnh BC và K là giao điểm thứ
hai của ID với (ODH). Chứng minh
1. Tam giác JP M vuông;
2. H, A, K thẳng hàng.
Bài 4. Tìm tất cả f : N∗ → N∗ sao cho
(n − 1)2 < f (n).f (f (n)) < n2 + n, ∀n ∈ N∗ .
Bài 5. Cho S = {1, 2, 3, 4, 5} và số nguyên dương n. Có bao nhiêu số nguyên

dương M sao cho
a. M có n chữ số được lấy từ S;
b. hai chữ số cạnh nhau của M hơn kém nhau nhiều nhất 1?


Đề chọn đội VMO 2017

5.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Bài 1. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh
rằng
√
√
√
(a + b)2
(b + c)2
(c + a)2
√
+√
+√
≤ 12.
a2 − ab + b2
b2 − bc + c2
c2 − ca + a2
Bài 2. Cho hai đa thức hệ số nguyên P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
và Q(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0 thỏa mãn an − bn là một số nguyên

tố và an−1 = bn−1 . Giả sử hai đa thức P (x), Q(x) có một nghiệm hữu tỉ chung
là m và m = 0. Chứng minh rằng m là một số nguyên.
Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn ω tâm
O. Một đường tròn ω , đi qua B, C cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở E, F
(E, F = A). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt lại đường tròn ω tại
K (A = K). KE, KF lần lượt cắt lại đường tròn ω tại Q, P (P, Q = K). Gọi
T là giao điểm của BQ và CP ; M, N lần lượt là trung điểm BF, CE.
1. Chứng minh rằng A, O, T thẳng hàng.
2. Chứng minh rằng KA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
AM N .
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n > 1 có tính chất: nếu a, b là
các ước số của n và (a, b) = 1 thì a + b − 1 cũng là ước số của n.
Bài 5. Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1 và 2n điểm trong không gian sao
cho không có 4 điểm nào trong chúng đồng phẳng. Xét n2 + 1 đoạn thẳng
bất kì, mỗi đoạn có hai đầu mút là hai trong 2n điểm trên. Chứng minh rằng
1. Có ít nhất một tam giác được tạo thành từ n2 + 1 đoạn trên;
2. Có ít nhất n tam giác được tạo thành từ n2 + 1 đoạn trên.


Đề chọn đội VMO 2017

6

Nguyễn Trung Tuân

Quảng Bình

Nguồn: diendantoanhoc.net

6.1

Ngày thứ nhất

Câu 1. Cho a là một số thực và dãy số thực (xn ) xác định bởi
√
3
xn = 2016n + a. n3 + 1 ∀n ≥ 1.
a) Tìm a sao cho dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn;
b) Tìm a để dãy số là dãy tăng từ một lúc nào đó.
Câu 2. Cho đa thức f (x) = x2017 + ax2 + bx + c. Trong đó a, b, c ∈ Z
có ba nghiệm nguyên x1 , x2 , x3 . Chứng minh rằng biểu thức sau là bội của
2017
(a2017 + b2017 + c2017 + 1)(x1 − x2 )(x2 − x3 )(x3 − x1 ).
Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH trực tâm K. Đường thẳng
BK cắt đường tròn đường kính AC tại D, E(BD < BE). Đường thẳng CK
cắt đường tròn đường kính AB tại F, G(CF < CG). Đường tròn (DHF ) cắt
BC tại điểm thứ hai là P .
a) Chứng minh các điểm G, H, P, E đồng viên;
b) Chứng minh rằng BF, CD, P K đồng quy.
Câu 4. Cho số nguyên dương n ≥ 4 . Tìm số lớn nhất các cặp gồm hai
phần tử phân biệt của tập Xn = {1, 2, ..., n} sao cho tổng các cặp khác nhau
là các số nguyên khác nhau và không vượt quá n.


Đề chọn đội VMO 2017

6.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Câu 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và a ≥ b ≥ c . Chứng minh
rằng
a(a + b −

√
ab) +

b(a + c −

√

ac) +

c(c + b −

√

bc) ≥ a + b + c.

Câu 6. Cho tam giác ABC nhọn không cân. P là một điểm bất kì trên cạnh
BC và không trùng với B, C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP cắt AC
tại Y khác A. Tương tự xác định Z. Gọi BY cắt CZ tại K. Gọi T là hình
chiếu của A lên BC, H là trực tâm tam giác ABC, A là điểm đối xứng của
A qua BC.
a) Chứng minh A , P, K thẳng hàng;
b) Chứng minh khi P di chuyển trên BC, tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác AY Z luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định.
Câu 7. Tìm tất cả hàm số f : N∗ → N∗ sao cho ba số a, f (b), f (b + f (a) − 1)

luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi a, b ∈ N∗ .


Đề chọn đội VMO 2017

7

Nguyễn Trung Tuân

Quảng Ninh

Nguồn: Thầy giáo Phạm Văn Ninh, THPT Chuyên Hạ Long.

7.1

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn (a + b)(b + c)(c + a) = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
√
√
a2 − ab + b2
b2 − bc + c2
c2 − ca + a2
√
√
√
P =
+

+
.
ca + 1
ab + 1
bc + 1
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn
f (x2 + 2f (y)) = 2y + f 2 (x), ∀x, y ∈ R.
Bài 3. Cho số nguyên n > 1 thỏa mãn điều kiện 2ϕ(n) + 3ϕ(n) + · · · + nϕ(n)
chia hết cho n.
a) Chứng minh rằng n không có ước số lớn hơn 1 nào là số chính phương.
b) Biết rằng n có không quá 3 ước nguyên tố, tìm tất cả các số n thỏa mãn
điều kiện trên.
Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn và không cân tại A, nội tiếp đường tròn
(O). Gọi M là trung điểm của BC. Hai tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau
tại P . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, C lên AP ; Q là giao
điểm của AP và BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CQD và đường tròn
ngoại tiếp tam giác BQE lần lượt cắt (O) tại điểm thứ hai K, L.
a) Chứng minh M KC = M LB.;
b) Kẻ đường kính AT của (O). Giả sử các đường thẳng T B, T C, AK, AL đôi
một cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Chứng minh 4 giao điểm này là 4 đỉnh
của một tứ giác nội tiếp.


Đề chọn đội VMO 2017

7.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Bài 1. Cho a, b là các số nguyên dương. Xét dãy số (un ) xác định bởi
√
un = a2 n2 + bn, n = 1; 2; . . . . Tính lim{ un }, trong đó {x} là phần lẻ
của số thực x.
Bài 2. Gọi d(n) là ước nguyên tố bé nhất của số nguyên n nếu n ∈ {−1; 0; 1}.
Tìm tất cả các đa thức P (x) ≡ −1; 0; 1 với hệ số nguyên sao cho với mỗi số
nguyên n > 1, ta có P (n + d(n)) = n + d(P (n))
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), trực tâm H và AB < AC.
Lấy T khác A trên (O) sao cho AT ||BC. Giả sử AH cắt BC tại K và T H
cắt (O) tại D trên cung nhỏ BC. Gọi L là trung điểm của HT .
a) Chứng minh A, L, O, K, D đồng viên;
b) Gọi P là giao điểm thứ hai của AO và (O). Đường thẳng qua H song song
với BC cắt P D tại X. Chứng minh XA là tiếp tuyến của (O).
Bài 4. Giả sử S là tập hữu hạn các điểm mà mỗi điểm của nó được tô
bởi một trong 2 màu đỏ hoặc xanh. Gọi A1 , A2 , . . . , A68 là các tập con của
S mà mỗi tập chứa đúng 5 điểm thỏa mãn đồng thời:
1) Mỗi tập A1 , A2 , . . . , A68 chứa ít nhất một điểm đỏ.
2) Với ba điểm bất kỳ trong S, tồn tại đúng một tập con Ai chứa 3 điểm đó.
a) Tìm |S|.
b) Tồn tại hay không Ai chứa 4 hoặc 5 điểm đỏ. Vì sao?


Đề chọn đội VMO 2017

8

Nguyễn Trung Tuân

Ninh Bình

Nguồn: Thầy Đặng Sơn, Ninh Bình.

8.1

Ngày thứ nhất

Câu 1. (5,0 điểm) Giải hệ phương trình sau
y 3 + 3y 2 x + 4yx2 = x6 + 3x5 + 4x4
√
√
x2 + 3 + 3y + 1 = 4.
Câu 2. (5,0 điểm) Cho dãy số (xn ) xác định bởi x1 = 1 và
xn+1 =
n

Đặt yn =
i=1

xn (xn + 1)(xn + 2)(xn + 3) + 1 ∀n ≥ 1.

1
, ∀n ∈ N ∗ . Xác định giới hạn của dãy số (yn ).
xi + 2

Câu 3. (5,0 điểm) Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O đi qua hai
điểm A và C của tam giác ABC, cắt các cạnh AB, BC lần lượt tại K, N.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBN cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC tại hai điểm B và M. Tính số đo BM O.
Câu 4. (5,0 điểm) Tìm số nguyên dương k lớn nhất sao cho ta có thể phân

hoạch tập hợp các số nguyên dương thành k tập hợp A1 , A2 , ..., Ak thỏa mãn
với mỗi số nguyên dương n lớn hơn 14, trong mỗi tập Ai (i = 1, 2, 3, ..., k) đều
tồn tại hai số có tổng bằng n.


Đề chọn đội VMO 2017

8.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Câu 1. (4,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3.
Chứng minh rằng
4
4
1
1
1
4
√
√ +√
√ ≥
+
+
.
√ +√
x+7 y+7 z+7
x+ y

y+ z
z+ x
Câu 2. (5,0 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương m, luôn tồn
tại vô số số nguyên dương n thỏa mãn (3.2n + n) chia hết cho m.
Câu 3. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC và điểm O bất kì nằm trong tam
giác ABC. Đường thẳng (d1 ) qua O, song song với BC cắt AB, AC lần lượt
tại J, G. Đường thẳng (d2 ) qua O, song song với CA cắt BC, BA lần lượt
tại F, I. Đường thẳng (d3 ) qua O, song song với AB cắt CA, CB lần lượt
tại H, E. Dựng các hình bình hành OEA1 F , OGB1 H, OIC1 J. Chứng minh
rằng các đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy.
Câu 4. (5,0 điểm) Cho hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn các điều kiện
sau:
1) f (m) < f (n) ∀m, n ∈ N∗ , m < n;
2) f (mn) = f (m)f (n) ∀m, n ∈ N∗ , (m, n) = 1;
3) Tồn tại i ∈ N∗ , i > 1 sao cho f (i) = i.
a) Chứng minh rằng f (1) = 1, f (3) = 3.
b) Tìm tất cả các hàm f (n) thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Đề chọn đội VMO 2017

9

Nguyễn Trung Tuân

Bắc Ninh

Nguồn: Thầy Nguyễn Tuấn, THPT Chuyên Bắc Ninh.
Câu 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
6x(x + 1) + y(y − 4x − 1) = 2 (x + 1)

2x + 5x =

13−y
6

+ 44log2 2 +

131x
3

x2 + y − 1

− 5x

(x, y ∈ R).

Câu 2. (4,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều
kiện a + b + c = 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
T =

ab
bc
ca
+
+
−
3a + 4b + 5c 3b + 4c + 5a 3c + 4a + 5b

1
ab(a + 2c)(b + 2c)

.

Câu 3. (4,0 điểm) Cho dãy (an ) xác định bởi a1 = 34 và
an+1 = 4a3n − 104a2n − 107an ∀n ≥ 1.
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p ≡ 3 (mod 4) và a2017 + 1 chia hết
cho p.
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Giả sử AD
cắt BC tại N, AB cắt CD tại M, AC cắt BD tại E. Đường thẳng OE cắt
M N tại K. Chứng minh KO là phân giác của góc BKD.
Câu 5. (4,0 điểm)
a) Xung quanh bờ hồ hình tròn có 2017 cây liễu. Người ta dự định chặt bớt
5 cây liễu sao cho không có 2 cây liễu nào kề nhau bị chặt. Hỏi có bao nhiêu
cách thực hiện khác nhau?
b) Một cuộc họp có 12k (k ∈ N∗ ) người, trong đó mỗi người bắt tay với đúng
3k + 6 người khác. Biết rằng với mọi cách chọn cặp hai người (A, B) thì số
người bắt tay với cả hai người A và B luôn là m (m ∈ N∗ , m ≤ 3k + 6). Hỏi
cuộc họp có bao nhiêu người?


Đề chọn đội VMO 2017

10

Nguyễn Trung Tuân

Đà Nẵng

Nguồn: diendantoanhoc.net

10.1

Ngày thứ nhất

Bài 1. Cho dãy số Fibônaci xác định như sau
u1 = u2 = 1; un = un−1 + un−2 (n = 3, 4, ...).
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p ≥ 7 thì có đúng một trong hai số
up−1 , up+1 là bội của p.
Bài 2. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức f (x) bậc n có
hệ số nguyên thỏa mãn: f (0) = 0, f (1) = 1 và với mọi m ∈ N∗ , f (m)(f (m)−1)
là bội của 2017.
Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H là trực tâm tam giác. Đường
thẳng qua A vuông góc OH cắt BC tại D. K.L là tâm (ADB), (ADC).
a. Chứng minh A, K, L, O thuộc một đường tròn gọi là (S).
b. AH cắt lại (S) tại E.F đối xứng với E qua BC. Chứng minh HA = HF.
Bài 4. Trong mặt phẳng cho n ≥ 2 đường thẳng đôi một cắt nhau và
không có ba đường nào đồng quy. Các đường này chia mặt phẳng thành các
miền hữu hạn và vô hạn. Chứng minh ta có thể đánh dấu các miền đó bằng
các số nguyên thỏa mãn cả ba điều kiện sau:
(i) Các số đó khác 0.
(ii) Trị tuyệt đối của mỗi số không lớn hơn n.
(iii) Mỗi đường thẳng đã cho sẽ phân mặt phẳng làm hai phần mà tổng các
số của mọi miền thuộc mỗi phần sẽ bằng 0.


Đề chọn đội VMO 2017

10.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Bài 5. Chứng minh rằng với mọi m ∈ N, tồn tại đa thức fm (x) có hệ số hữu
tỉ thỏa mãn với mọi n ∈ N∗ thì
12m+1 + 22m+1 + ... + n2m+1 = fm (n(n + 1)).
Bài 6. Cho tứ giác ABCD lồi, P là điểm nằm bên trong tứ giác thỏa
P AD = CAB.M, N đối xứng C qua AB, AD. (CP M ), (CP N ) cắt đoạn
AB, AD tại S, T.X, Y tâm (P SC), (P T C).Q là giao của XY và trung trực
AP.
a. Chứng minh AQ là tiếp tuyến AXY.
b. Tiếp tuyến tại P, C của (P ST ), (CST ) cắt nhau ở G.(P ST ), (CST ) cắt
lại AP, AC ở U, V. Chứng minh tâm (AU V ) thuộc AG.
Bài 7. Cho bảng ô vuông 2017 × 2017, người ta điền vào mỗi ô của bảng
một số nguyên từ 1 đến 20172 sao cho mỗi số được điền vào bảng đúng một
lần.
a. Chứng minh tồn tại hai số cạnh nhau trong bảng (tức thuộc hai ô chung
cạnh) có hiệu không nhỏ hơn 2017.
b. Tìm k ∈ N∗ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách điền để hiệu hai số cạnh
nhau bất kì trong bảng đều không lớn hơn k.


Đề chọn đội VMO 2017

11

Nguyễn Trung Tuân

THPT Chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội

Nguồn: diendantoanhoc.net

11.1

Ngày thứ nhất

Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương (a, p, n) trong đó p là một
số nguyên tố:
a2 (a2 + 1) = 5n (5n+1 − p3 ).
Bài 2. Tìm tất cả các đa thức P (x) với hệ số thực sao cho
2 P (x) − P

1
x

2

+ 3P (x2 )P

1
x2

= 0 ∀x ∈ R \ {0}.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, H, O lần lượt là trực tâm và
tâm ngoại tiếp của tam giác ABC. E thuộc cạnh AC sao cho OE||BC. Gọi
OE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC tại F . Tiếp tuyến tại F của
đường tròn (EBC) cắt BC, AH lần lượt ở P, Q.
a) Chứng minh đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác BP Q đi qua trung điểm
M của AH;

b) Gọi P A, P H cắt (K) ở S, T khác P . Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại
S, T của K cắt nhau trên M E.
Bài 4. Một số nguyên dương n ≥ 2 được gọi là tốt nếu với mọi 2 ≤ k ≤ n thì
n có dạng n = a1 + a2 + .... + ak trong đó (n, ak ) = 1 và các số ai là nguyên
dương. Tính tổng tất cả các số tốt nhỏ hơn 2016.


Đề chọn đội VMO 2017

11.2

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ hai

Bài 1. Cho dãy số (xn ) thỏa x1 = 3, x2 = 7 và
xn+2 = x2n+1 − x2n + xn ∀n ≥ 1.
Xét dãy (yn ) xác định bởi
n

yn =
k=1

1
∀n ≥ 1.
xk

Chứng minh (yn ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p2 − 1 là một lũy thừa
của 7.

Bài 3. Cho tam giác ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn (O) và có
trực tâm H, lấy điểm P thuộc trung trực BH. Đường thẳng qua A song
song HP cắt (O) ở E, đường thẳng qua E song song AH cắt (O) tại F . Lấy
Q đối xứng của P qua O, điểm G thuộc HP sao cho F G song song AQ.
a) Chứng minh B, C, Q, P đồng viên trên đường tròn (K).
b) Gọi AQ cắt (O) ở R , F R cắt trung trực BC ở L. Chứng minh OP = KL.
Bài 4. Tìm số lớn nhất phần tử của một tập hợp là tập con của {1, 2, 3, ....2016}
thỏa mãn hiệu hai phần tử bất kỳ khác 4 và 7.


Đề chọn đội VMO 2017

11.3

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ ba

Bài 1. Tìm f : R → R thỏa mãn
1
2f (x) · f (x + y) − f (x2 ) = x(f (2x) + 4f (f (y))) ∀x, y ∈ R.
2
Bài 2. Cho n nguyên dương. Các tâm thẻ trong một bộ sưu tập có giá trị
m! với m là số nguyên dương nào đó, Một bộ sưu tập tốt là một bộ sưu tập
sao cho với mọi số k thỏa mãn k ≤ n!, luôn tồn tại một số tâm thẻ trọng bộ
sưu tập mà tồng giá trị các thẻ này bằng k. Tìm số tấm thẻ ít nhất của bộ
sưu tập tốt.
Bài 3. Tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I). Đường tròn qua B, C
tiếp xúc (I) tại P . AI giao BC tại X. Tiếp tuyến qua X của (I) khác BC,
giao tiếp tuyến tại (I) tại P tại S. AS giao (O) tại T khác A. Chứng minh

rằng ∠AT I = 90◦ .
Bài 4. Cho x, y là các số thực dương sao cho 2x + y, 2y + x = 2. Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
(2x2 + y)(4x + y 2 ) (2y 2 + x)(4y + x2 )
+
− 3(x + y).
P =
(2x + y − 2)2
(x + 2y − 2)2


Đề chọn đội VMO 2017

11.4

Nguyễn Trung Tuân

Ngày thứ tư

Bài 1. Cho n nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương m
có n chữ số, chỉ gồm các chữ số 1, 2, 3 và chia hết cho S(m) (tổng các chữ số
của m).
Bài 2. Cho một hoán vị của dãy số {1, 2, 3, ..., n}, viết từ trái sang phải.
Ta sẽ chuyển dãy số này về đúng vị trí, tức là {1, 2, 3, ..., n}. Mỗi bước ta
thực hiện như sau : Chọn số gần tay nhất mà không đứng đúng vị trí rồi
chuyển nó về vị trí đúng (ví dụ : Dãy 3 1 4 2. Sau một bước chuyển thì 2 về
vị trí thức hai thành 3 2 1 4. Chứng minh rằng sau ít hơn 2n bước thì dãy
luôn chuyển về đúng vị trí.
Bài 3. Tứ giác ABCD nội tiếp (O) sao cho ABCD không phải là hình
thang. Tiếp tuyến tại C, D của (O) cắt nhau tại T.T A giao BD tại S.E đối

xứng B qua S.AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC tại F.EC giao
T A tại P .
a, Chứng minh rằng P F tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC.
b, Giả sử P F cắt AC tại Q.H, K lần lượt là hình chiếu của Q lên F A, F C.M
là trung điểm F A. Chứng minh rằng tiếp tuyến qua A của (O) và đường
thẳng qua Q song song với AO cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
M HK.
Bài 4. Cho a, b, c > 0 sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng
b
c
9
a
+ 2
+ 2
≥
.
+ 1) c (ab + 1) a (cb + 1)
(1 + abc)(ab + bc + ca)

b2 (ca


Đề chọn đội VMO 2017

12

Nguyễn Trung Tuân

Hà Tĩnh

Nguồn: diendantoanhoc.net

12.1

Ngày thứ nhất

Bài 1. (5 điểm) Với mỗi số nguyên dương n xét hàm số fn trên R được xác
định bởi
fn (x) = x2n + x2n−1 + ... + x2 + x + 1.
a) Chứng minh hàm số fn đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm duy nhất;
b) Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm số fn là sn . Chứng minh dãy số (sn ) có giới
hạn hữu hạn.
Bài 2. (5 điểm) Cho các số thực dương a, b, c dương và thỏa mãn a5 +
b5 + c5 = 3. Chứng minh rằng a6 b6 + b6 c6 + c6 a6 ≤ 3.
Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường
tròn (C). Gọi H là trực tâm tam giác ABC, O là tâm đường tròn (C);
A , B , C theo thứ tự là chân các đường cao của tam giác ABC hạ từ
các đỉnh A, B, C. Gọi A1 , B1 , C1 là các điểm trên (C) sao cho AA1 BC,
BB1 AC, CC1 AB; A1 , B1 , C1 là các điểm trên (C) sao cho A1 A1
AA , B1 B1 BB , C1 C1 CC .
a) Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OA1 A1 ; OB1 B1 ; OC1 C1
cùng đi qua điểm K (khác điểm O);
abc
trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của tam
b) Chứng minh OK.OH =
p
giác ABC và p là chu vi tam giác A1 B1 C1 .
Bài 4. (5 điểm) Cho tập S = {1, 2, 3, ..., 2016}. Hỏi có bao nhiêu hoán
.
vị (a1 , a2 , ..., a2016 ) của tập S sao cho 2(a1 + a2 + a3 + ... + ak ) .. k với

∀k = 1, 2, ..., 2016.